A biostatisztika alapfogalmai, konfidenciaintervallum. Dr. Boda Krisztina PhD SZTE ÁOK Orvosi Fizikai és Orvosi Informatikai Intézet

Átírás

1 A biostatisztika alapfogalmai, kofideciaitervallum Dr. Boda Krisztia PhD SZTE ÁOK Orvosi Fizikai és Orvosi Iformatikai Itézet

2 Mitavétel ormális eloszlásból 1 ötelemű mita vétele utá (2. sor) 1 átlagot kapok (3. sor) 1000 ötelemű mita vétele utá (2. sor) az 1000 átlag eloszlása közelítőe ormális (3. sor) Krisztia Boda 2

3 Mitavétel em ormális eloszlásból Krisztia Boda 3

4 Cetrális határeloszlás tétel Egy átlagú és szórású populációból vett agy elemszámú miták átlagai olya populációból származak, melyek eloszlása (az átlagolással yert új populáció eloszlása): közelítőe ormális eloszlású az átlaga (az összes lehetséges miták átlagaiak az átlaga) ugyaaz, mit a populáció átlaga,. A stadard deviáció kisebb az eredeti populáció stadard deviációjáál: függetleül az eredeti populáció eloszlásától : az átlag szórása, stadard error, SE Krisztia Boda 4

5 Stadard error számítása, ha em ismert Az x 1, x 2, x 3,, x statisztikai mita adatai alapjá a stadard error közelítő értékét a mita stadard deviációból számítjuk: SE SD i1 ~ ( x i x) ( 1) 2 Azt fejezi ki, hogy a populációból vett újabb miták alapjá számolt külöböző átlagok hogya igadozak az (ismeretle) populáció-átlag körül. Krisztia Boda 5

6 Stadard deviáció vagy stadard error?? Stadard deviáció, SD: a mita szórása, a mitaadatok szóródása az átlag körül. Normális eloszlás eseté az átlag 2SD- belül va az adatok kb. 95%-a Stadard error (SE=SD/): az átlag megbízhatósága, a mitaátlag szóródása az (ismeretle) populáció átlag körül. Normális eloszlás eseté az átlag 2SE- belül va az igazi átlag kb. 95%-os valószíűséggel. Krisztia Boda 6

7 SD vagy SE? (SD) (SE, =100) Probability Desity Fuctio y=ormal(x;52.2;1.57) Ebbe az itervallumba va az adatok 95.44%-a Ebbe az itervallumba va az igazi átlag 95.44%-os valószíűséggel Krisztia Boda 7

8 Ábratípusok a számolt jellemzők alapjá 85 Mea Plot (kerd97 20v*43c) 80 Átlag-szórás ábra Átlag + SD Átlag + SE SULY Átlag + 95% CI 45 fiú láy NEM Átlag SE Mea Mea±SE 85 Mea Plot (kerd97 20v*43c) 85 Mea Plot (kerd97 20v*43c) SULY SULY fiú NEM láy Mea Mea±0.95 Cof. Iterval 45 fiú NEM láy Mea Mea±SD Átlag 95% CI Átlag SD Krisztia Boda 8

9 Statisztikai becslés A paraméter olya szám, amely egyértelműe jellemzi a sokaság eloszlását. Becslés: a mitaadatok alapjá kiszámítjuk azt a számot (statisztika- statistic), amely közelíti a sokaság megfelelő paraméterét. Pot-becslés: egyetle szám Pl. a mitaátlag a (ismeretle) populáció-átlag becslése. xi közelíti -t x SD x x... x 1 2 i 1 i1 ( x i x) 1 2 közelíti -t Krisztia Boda 9

10 Itervallum becslés, bizoyossági itervallum (kofidecia itervallum) Olya, a mitaelemekből számolt itervallum, amely agy valószíűséggel tartalmazza a populáció-paraméter valódi (ismeretle) értékét A megbízhatóság mértékét jelző agy valószíűség (kofidecia szit, megbízhatósági szit) tőlük függ. Szokásos értékei: 0.90, 0.95, 0.99 ) A becslés hibája (-val jelöljük) a megbízhatósági szit függvéyébe =0.10, =0.05, =0.01 Leggyakrabba haszált kofidecia szit 95% (0.95), tehát -ra leggyakrabba =0.05 értéket alkalmazzák. Krisztia Boda 10

11 A bizoyossági itervallum szemléltetése az adott kísérlet képzeletbeli ismétléseivel Ha a kísérletet képzeletbe 100-szor megismételék, a 100 kapott 95%-os kofidecia itervallum közül várhatóa (átlagosa) 95 fogja tartalmazi a populáció paraméterét, és 5 em Krisztia Boda 11

12 A populáció eloszlása Krisztia Boda 12

13 Hisztogram, átlag és 95%-os kofideciaitervallum egy, a populációból vett 30 elemű mita alapjá Krisztia Boda 13

14 Hisztogram, átlag és 95%-os kofideciaitervallum egy másik, a populációból vett 30 elemű mita alapjá Krisztia Boda 14

15 Hisztogram, átlag és 95%-os kofideciaitervallum egy harmadik, a populációból vett 30 elemű mita alapjá Krisztia Boda 15

16 Hisztogram, átlag és 95%-os kofideciaitervallum 100, a populációból vett 30 elemű mita alapjá Krisztia Boda 16

17 Hisztogram, átlag és 95%-os kofideciaitervallum 100 másik, a populációból vett 30 elemű mita alapjá Krisztia Boda 17

18 Beállítások: 1000 mitavétel Krisztia Boda 18

19 Kofidecia itervallum számítása ormális eloszlású sokaság átlagára (), ha a sokaság szórása () ismert Megmutatható, hogy így P(x u x u ) 1 (x u, x u ) (1-)100% szitű kofideciaitervallum -re. Itt u a stadard ormális eloszlás táblázatába az az érték, amely az eloszlás két végéből összese területet vág le (a közepé 1- területet hagy meg. =0.05 eseté u =1.96 =0.01 eseté u = %-os kofideciaitervallum -re: (x 1.96, x 1.96 ) vagy ( x 1.96 SE, x 1.96 SE) Krisztia Boda 19

20 Példa Egy populációba az átlagos szívfrekveciát (per perc) szereték becsüli 36 pacies vizsgálata alapjá a mita-átlag 90, a stadard deviáció 15.5 (ismert). Feltéve, hogy a populáció ormális eloszlású, a 95 % -os kofidecia itervallum a populáció átlagára: =0.05, u =1.96, =15.5 Az alsó határ / 36= /6= = A felső határ / 36= /6= = A 95%-os kofidecia itervallum (84.94, 95.06) Ez azt jeleti, hogy az igazi (ismeretle) populáció átlag a (84.94, 95.06) itervallumba va, eek valószíűsége 95%. 95% biztosak vagyuk abba, hogy a szívfrekvecia populáció-átlag ebbe az itervallumba va. Krisztia Boda 20

21 Kofidecia itervallum a populáció átlagra, ha ismeretle Ha ismeretle, helyettesíthető a mita stadard deviációjával (SD). De ekkor már em haszálhatjuk u t, helyette t t kell haszáluk. (x SD t, x t SD ) (1-)100%-os kofideciaitervallum for -re. Itt t a Studet t-eloszlás -hoz és -1 szabadságfokhoz tartozó kritikus értéke (következő dia) Krisztia Boda 21

22 Studet-féle t-eloszlások df (degrees of freedom): szabadságfok=-1 Krisztia Boda 22

23 William Sealy Gosset, a t-eloszlás felfedezője Bor Jue 13, 1876, Died October 16, 1937 (aged 61) Emléktábla Dubliba Krisztia Boda 23

24 A t-eloszlás táblázata kétoldali alfa szabadságfok Krisztia Boda 24

25 A t-eloszlás táblázata kétoldali alfa szabadságfok Krisztia Boda 25

26 Kofidecia itervallum a populáció átlagra, ha ismeretle Ilyekor -t a mitából számol stadard deviációval helyettesítjük Bebizoyítható, hogy SD i1 ( x i x) 1 2 így P(x SD SD t x t ) 1 SD (x t, x t SD (1-)100%-os kofidecia itervallum -re. Itt t a Studet t eloszlás -hoz és -1 szabadságfokhoz tartozó kritikus értéke ) Krisztia Boda 26

27 Példa Egy populációba az átlagos szívfrekveciát (per perc) szereték becsüli 36 pacies vizsgálata alapjá a mita-átlag 90, a stadard deviáció a mitaadatok alapjá: SD=15.5. Feltéve, hogy a populáció ormális eloszlású, a 95 % -os kofidecia itervallum a populáció átlagára: =0.05, SD=15.5 Szabadságfok: df=-1=36-1=35 t = Az alsó határ: / 36= = = A felső határ: / 36= = =95.24 A 95%-os kofidecia itervallum (84.76, 95.24) Ez azt jeleti, hogy az igazi (ismeretle) populáció átlaga (84.76, 95.24) itervallumba va, eek valószíűsége 95%. 95% biztosak vagyuk abba, hogy a szívfrekvecia átlag ebbe az itervallumba va. Krisztia Boda 27

28 Összehasolítás Egy populációba az átlagos szívfrekveciát (per perc) szereték becsüli 13 pacies vizsgálata alapjá a mita-átlag 90, a stadard deviáció a mitaadatok alapjá: SD=15.5. Feltéve, hogy a populáció ormális eloszlású, a 95 % -os kofidecia itervallum a populáció átlagára: =0.05, SD=15.5 Szabadságfok: df=-1=13-1=12 t =2.179 Az alsó határ: / 13= = = A felső határ: / 13= = = A 95%-os kofidecia itervallum (80.63, 99.36) Ez azt jeleti, hogy az igazi (ismeretle) populáció átlaga (80.63, 99.36) itervallumba va, eek valószíűsége 95%. 95% biztosak vagyuk abba, hogy a szívfrekvecia átlag ebbe az itervallumba va. Egy populációba az átlagos szívfrekveciát (per perc) szereték becsüli 36 pacies vizsgálata alapjá a mita-átlag 90, a stadard deviáció a mitaadatok alapjá: SD=15.5. Feltéve, hogy a populáció ormális eloszlású, a 95 % -os kofidecia itervallum a populáció átlagára: =0.05, SD=15.5 Szabadságfok: df=-1=36-1=35 t = Az alsó határ: / 36= = = A felső határ: / 36= = =95.24 A 95%-os kofidecia itervallum (84.76, 95.24) Ez azt jeleti, hogy az igazi (ismeretle) populáció átlaga (84.76, 95.24) itervallumba va, eek valószíűsége 95%. 95% biztosak vagyuk abba, hogy a szívfrekvecia átlag ebbe az itervallumba va. Krisztia Boda 28

29 95%-os CI számítás, SPSS > t.test(magassag) R Oe Sample t-test data: magassag t = , df = 60, p-value < 2.2e-16 alterative hypothesis: true mea is ot equal to 0 95 percet cofidece iterval: sample estimates: mea of x Krisztia Boda 29

30 99%-os CI számítás, SPSS R > t.test(magassag, cof.level=0.99) Oe Sample t-test data: magassag t = , df = 60, p-value < 2.2e-16 alterative hypothesis: true mea is ot equal to 0 99 percet cofidece iterval: sample estimates: mea of x Krisztia Boda 30

31 Kofideciaitervallum más populációparaméterekre és becslésekre Nem csak a populáció-átlagra tuduk kofideciaitervallumot számítai. Létezik és számítható kofideciaitervallum pl. egy p valószíűségre, vagy valószíűségek külöbségére, a stadard deviációra, stb. Ezekek a számítását em tauljuk. Krisztia Boda 31

32 Az eredméyek közlése Krisztia Boda 32

33 %-ra voatkozó kofidecia-itervallum Krisztia Boda 33

34 Kérdések és feladatok A cetrális határeloszlás tétel Az átlag szórása számítása és jeletése (SE - stadard error of mea) A kofideciaitervallum fogalma A kofidecia szit Melyik szélesebb a 95%-os vagy a 99%-os kofideciaitervallum? Miért? Kofideciaitervallum számítása a populációátlagra ismeretle populációs stadard deviáció eseté Egy vizsgálatba 16 egészséges ő véryomásértékeit vizsgálták. A mitaátlag 121 volt, a mita stadard deviációja SD=8.2. Számítsuk ki a stadard errort. Egy vizsgálatba 16 egészséges ő véryomásértékeit vizsgálták. A mitaátlag 121 volt, a mita stadard errorja SE= Adjuk meg a populációátlagra voatkozó 95%-os kofideciaitervallumot! (=0.05, t tábla =2.26). Krisztia Boda 34

35 Haszos WEB oldalak Kliikai Biostatisztikai Társaság Rice Virtual Lab i Statistics Statistics o the Web Krisztia Boda 35