A biostatisztika alapfogalmai, hipotézisvizsgálatok. Dr. Boda Krisztina PhD SZTE ÁOK Orvosi Informatikai Intézet

Átírás

1 A biostatisztika alapfogalmai, hipotézisvizsgálatok Dr. Boda Krisztina PhD SZTE ÁOK Orvosi Informatikai Intézet

2 Hipotézis Állítás a populációról (vagy annak paraméteréről) Példák H1: p=0.5 (a pénzérme szabályos a dobások fele fej, másik fele írás; p=pl. a fejdobás valószínűsége) H2: p 0.5 ( a pénzérme nem szabályos) H3: =20 (a populáció átlag 20) H4: 20 (a populáció átlag nem 20) Kétféle hipotézis: nullhipotézis általában a szabályosság, egyenlőség feltételezése Ellentéte, az alternatív hipotézis, különbség, eltérés feltételezése. Gyakran ez az, amit bizonyítani szeretnénk. Krisztina Boda 2

3 Hipotézisek tesztelése Mekkora esélyt adjunk a véletlennek, azaz, mekkora legyen a megbízhatósági szint: akármennyi lehet, (tőlünk függ), általában 95% vagy ami ugyanaz, mekkora legyen a szignifikancia szint: általában 5% ( =0.05) Krisztina Boda 3

4 A hipotézisvizsgálat menete Hipotézisek felállítása Nullhipotézis (H 0 ): semmi nem történt Alternatív hipotézis (H a ): valami változás van A döntés megbízhatósága (vagy a hiba) rögzítése: =0.05 Döntési szabály felállítása (függ: a kísérleti elrendezéstől, -tól, az elemszámtól) Mintaelemszám (n) meghatározása A minta előállítása (mérés, adatgyűjtés,stb) A döntési szabály kiszámítása Döntés A nullhipotézist elfogadjuk (nincs szignifikáns különbség 100%-os szinten, nincs elegendő információ a különbség (hatás) kimutatására) A nullhipotézist elvetjük, a különbség szignifikáns 100%-os szinten. A tapasztalt különbség nem csupán a véletlen műve, valami más hatás (kezelés??) is közbejátszott. Krisztina Boda 4

5 Egymintás t-próba Hipotézis-vizsgálat a normális eloszlású populáció μ átlagára Példa. Egy cég 16 ml-es üvegekben árul bizonyos szert. Az üvegeket egy automata tölti. Ha nem tölt pontosan, tehát többet vagy kevesebbet tölt az üvegekbe, akkor a töltést le kell állítani és újra be kell állítani az automatát. A cég csak akkor állítja le a folyamatot, ha nagyon biztos abban, hogy az átlagos töltés a 16 ml alatt vagy felett van. Az automata adott beállítása esetén az összes lehetséges legyártott vagy legyártható üvegek (végtelen) populációjáról van szó, amely populáció átlaga, =16. A gyártás ellenőrzésére időnként véletlenszerűen kiválasztanak néhány üveget (minta), ennek alapján próbálnak következtetni a populációra. Tegyük fel, hogy a következő, hatelemű mintát kapták az egyik ellenőrzés során: 15.68, 16.00, 15.61, 15.93, 15.86, Mintaátlag=15.8, SD=0.153 Leállítsuk az automatát vagy nem? H O : A populáció átlag 16, =16 H a : A populáció átlag nem 16, 16 (kétoldalas) Krisztina Boda 5

6 Egymintás t-próba nullhipotézise, feltétele Adott x 1, x 2,, x n statisztikai minta, amely N(, 2 ) normális eloszlású populációból származik. H0: =c (c adott konstans) Ha: c Krisztina Boda 6

7 Döntési szabály a konfidencia intervallum alapján Általában Ha c benne van az intervallumban: megtartjuk a nullhipotézist, a különbség nem szignifikáns adott szinten Ha c nincs benne az intervallumban : elvetjük a nullhipotézist, a különbség szignifikáns adott szinten Esetünkben Adjuk meg a populáció-átlagra vonatkozó 95%-os konfidencia intervallumot! =0.05, df=5, t 5,0.05 =2.57, mintaátlag=15.8, SD=0.153 SE=SD/ n=0.153/ 6. A konfidencia intervallum: (mintaátlag t 5,0.05 *SE, mintaátlag + t 5,0.05 * SE )= ( * 0.153/ 6, * 0.153/ 6) =(15.64, 15.96) Döntés: Mondhatjuk-e a konfidencia intervallum, hogy a minta-adatok 16 átlagú populációból származnak? A konfidencia-intervallum az a tartomány, amely a populáció-átlagot nagy valószínűséggel lefedi. Esetünkben 16 nincs benne a konfidencia intervallumban, tehát a különbség szignifikáns 5%-os szinten. Krisztina Boda 7

8 Döntési szabály a t-érték alapján Általában Számítsuk ki a következő ún. próbastatisztikát: x c SE Ha igaz a nullhipotézis és teljesül a feltétel, a t próbastatisztika n-1 szabadságfokú t-eloszlást követ. Ekkor megadható az a tartomány, ahova a t nagy valószínűséggel beleesik - elfogadási tartomány. Ennek határait a t-eloszlás táblázatából keressük ki a megfelelő szabadságfok és alapján. Az elfogadási tartomány a változó azon értékeinek halmaza, amelyekre elfogadjuk a nullhipotézist : (- t tábla, t tábla ) A kritikus tartomány ennek ellentettje. A kritikus tartomány értékeire a nullhipotézist nem fogadjuk el. Döntési szabály: ha t >t tábla, a különbség szignifikáns adott szinten ha t <t tábla, a különbség nem szignifikáns adott szinten Esetünkben: ( ) t Szabadságfok: n-1=6-1=5 t 5,0.05 =2.57 (táblázatbeli érték): Döntés: -3.2 >2.57, a különbség szignifikáns 5%-os szinten t t=-3.2 Elfogadási tartomány Krisztina Boda 8

9 Döntési szabály a p-érték alapján Általában p-érték: a mi általunk számított t-érték által az eloszlásból az eloszlás két széléről levágott terület nagysága* Annak valószínűsége, hogy ha igaz a nullhipotézis (=nincs hatás), a tapasztalt eltérést vagy annál még nagyobb eltérést kapjunk Döntés: ha a p<, akkor a különbség szignifikáns adott szinten Ha p>, akkor a különbség nem szignifikáns adott szinten Esetünkben: p=0.024<0.05, a különbség szignifikáns 5%-os szinten t=-3.2 Elfogadási tartomány *H a : c esetén kétoldalas próba lásd később Krisztina Boda 9

10 t =3.2 df=5 p=0.024 valószínűségek df Krisztina Boda 10

11 Az egymintás t-próba során alkalmazható egyenértékű döntési szabályok. Feltétel: normalitás 1. H0: =c, (c adott konstans). 2. Ha: c. 3. rögzítsük a hibavalószínűséget. 4. Állapítsuk meg a mintaelemszámot n 5. Mérjük le (gyűjtsük be) az adatokat, ( x 1, x 2,..., x n.), számítsuk ki a minta-átlagot és szórást 6. A döntési szabály: Konfidencia intervallum Döntési szabályok s s (x t, x t ) n n Kritius pontok (t-érték) x c x c t SD SE n t = a kétoldalas t-táblázatból nyert, n-1 szabadságfokhoz és -hoz tartozó kritikus érték p-érték A p-értéket számítógépes programmal lehet kiszámolni 7. Döntés a) H a : elvetjük H0-t, a különbség szignifikáns 100%-os szinten. a) H0 : nem vetjük el H0-t, a különbség nem szignifikáns 100%-os szinten. Döntés Konfidencia intervallum c nincs benne a konfidenicaintervallumban c benne van a konfidenicaintervallumban Kritius pontok (t-érték) p-érték t t p < t t p > Krisztina Boda 11

12 R program > data=c(15.68, 16.00, 15.61, 15.93, 15.86, 15.72) > mean(data);sd(data) [1] 15.8 [1] > t.test(data, mu=16) One Sample t-test data: data t = , df = 5, p-value = alternative hypothesis: true mean is not equal to percent confidence interval: sample estimates: mean of x 15.8 Értelmezés. Null-és alternatív hipotézis leolvasható a harmadik sorból (bár csak az alternatív van kiírva). Tehát H0: =16, Ha: 16 Próbastatisztika, szabadságfok: t= , szabadságfok=5. Ez alapján táblázatból kereshetjük ki a döntést ehhez kell egy t-táblázat. p-érték p= p<0.05, a különbség szignifikáns 5%-os szinten. 95%-os konfidenciaintervallum: ( ). A populációátlag eltér 16-tól, a különbség szignifikáns 5%-os szinten, mivel a konfidenciaintervallum nem tartalmazza a 16-ot. Krisztina Boda 12

13 Egymintás t-próba, mintapélda II. Hipotézisvizsgálat a normális eloszlású populáció μ átlagára Egy kezelés során szükségessé vált annak ellenőrzése, hogy az milyen hatással van a vérnyomásra. A vizsgált paciensek korcsoportjában a systolés vérnyomás normálértéke 120. Lehetsége-e, hogy a minta-adatok 120 átlagú populációból származnak? Döntsünk 5%-os szinten! H O : A populáció átlag 120, =120 H a : A populáció átlag nem 120, 120 (kétoldalas próba, részletesen később) =0 Mintavétel, adatok: n=9 személyen a következő értékeket kapták: Leíró statisztikák: n=9, átlag=162, SD= Döntés 95%-os konfidencia-intervallum alapján: t 8,0.05 =2.306 A standard error, SE=SD/ n= % CI (átlag - t 8,0.05 *SE, átlag + t 8,0.05 *SE )=(143.61, ) Döntés: 120 nincs benne a konfidencia intervallumban, a különbség szignifikáns 5%-os szinten Döntés t-érték alapján: ( ) t t =5.27 > 2.306, a különbség szignifikáns 5%-os szinten Döntés p-érték alapján: p= <0.05. Mivel p<0.05, a különbség szignifikáns 5%-os szinten Krisztina Boda 13

14 Eredmények az SPSS programmal A t-érték és szabadságfok alapján történő döntéshez szükségünk van a t-táblázatra p-érték, Ha p<, a különbség szignifikáns, Ha p>, a különbség nem szignifikáns Krisztina Boda 14

15 Eredmények az R programmal > bp <- c(182, 152, 178, 157, 194, 163, 144, 114, 174) > t.test(bp, mu=120 One Sample t-test data: bp t = , df = 8, p-value = alternative hypothesis: true mean is not equal to percent confidence interval: sample estimates: mean of x 162 Krisztina Boda valószínűségek df

16 Másik mintafeladat Két oktató beszélget: vajon mennyi lehet az elsőéves idegen nyelven tanuló hallgatók átlagéletkora? Az egyik oktató szerint ez 20 év, a másik oktató ezzel nem ért egyet. Oktató#1: A populáció-átlag 20. H0: μ=20 Oktató#2: A populáció-átlag nem 20. Ha: μ 20 Krisztina Boda 16

17 Egymintás t-próba Döntési szabály: konfidencia intervallum H 0 : =20, H a : 20 α =0.05 Adatgyűjtés. n=137 Minta átlag=20.87 Minta SD= %-os konfidenica intervallum számítás a populáció átlagra: Szabadságfok=136, t 136,0.05 =1.977 t SD n Alsó határ: = Felső határ: = Az intervallum: ( ). Az igazi átlag (a populációátlag) ebben az intervallumban van, 95%-os valószínűséggel. Döntési szabály: ellenőrizzük, hogy a hipotézisben szereplő feltételezett átlag (20) benne van-e az intervallumban Döntés 20 nincs benne a 95%-os konfidencia-intervallumban, ezért a nullhipotézist elvetjük és azt mondjuk, hogy a különbség szignifikáns 5%-os szinten. Krisztina Boda 17

18 Egymintás t-próba Döntési szabály: kritikus érték H 0 : =20, H a : 20 α =0.05 Adatgyűjtés. n=137 Minta átlag=20.87 Minta SD=3.071 Próbastatisztika (t-érték) számítása: x c t SE Ha H0 igaz, akkor a próbastatisztika n-1=136 szabadságfokú t-eloszlást követ. A t-eloszlás táblázatából meghatározható a kritikus érték, ennek segítségével az elfogadási tartomány: ( , 1.977) És ennek ellentéte, az elutasítási tartomány Döntési szabály: ellenőrizzük, hogy az általunk számolt próbastatisztika értéke benne van-e az elfogadási intervallumban Döntés t=3.321 nincs az elfogadási intervallumban, 3.321>1.977, t >t table, ezért a nullhipotézist elvetjük és azt mondjuk, hogy a különbség szignifikáns 5%-os szinten y=student(x;136) Elfogadási intervallum t= Krisztina Boda 18

19 H 0 : =20, H a : 20 α =0.05 Adatgyűjtés. n=137 Minta átlag=20.87 Minta SD=3.071 Egymintás t-próba Döntési szabály: p-érték Próbastatisztika (t-érték) számítása: A p-érték a t-eloszlásból a próbastatisztika által levágott szélső területek nagysága Annak valószínűsége, hogy ha igaz a nullhipotézis, a kapott, vagy annál nagyobb eltérést kapunk Döntés: p= <0.05, ezért a nullhipotézist elvetjük és azt mondjuk, hogy a különbség sziginifkáns 5%-os szinten. t x c SE Elfogadási intervallum t=3.321 p= Krisztina Boda 19

20 Eredmények az SPSS programmal One-Sample Statistics Age Age in years Std. Error N Mean Std. Dev iation Mean One-Sample Test Age Age in years Test Value = 20 95% Confidence Interv al of the Mean Diff erence t df Sig. (2-tailed) Dif f erence Lower Upper A t-érték és szabadságfok alapján történő döntéshez szükségünk van a t-táblázatra p-érték, Ha p<, a különbség szignifikáns, Ha p>, a különbség nem szignifikáns Krisztina Boda 20

21 > t.test(age,mu=20) Eredmények R-rel One Sample t-test data: Age t = 3.324, df = 136, p-value = alternative hypothesis: true mean is not equal to percent confidence interval: sample estimates: mean of x t-érték (próbastatisztika) és szabadságfok. A döntéshez szükségünk van egy t- táblázatra p-value Ha p<, a különbség szignifikáns szinten, Konfidenciaintervallum a populációátlagra. Azt nézzük, hogy a nullhipotézisben szereplő konstans (=true mean) benne van-e az intervallumban Krisztina Boda 21

22 Páros t-próba Adott két összetartozó minta, azaz ugyanazokon az egyedeken ugyanazt a változót kétszer megmérték önkontrollos kísérlet (kezelés előtti és utána adatok), vagy más módon összetartozó adatok pl. jobb oldal-bal oldal Vagy illesztett párok- matched pairs (különböző személyek, de a kísérlet szempontjából párba állíthatók) Nullhipotézis: a két minta-átlag ugyanannak a populáció-átlagnak a közelítése, (nincs kezelés-hatás, a tapasztalt különbség véletlen) H 0 : előtt = után vagy különbség = 0 (c=0)!! Alternatív hipotézis: van hatás. H a : előtt után vagy különbség 0 Feltétel: a különbség-minta normális eloszlású populációból származik Döntési szabály: Konfidencia intervallum a különbségre t-érték számítás és összehasonítás a táblázattal p-érték (szoftver) Krisztina Boda 22

23 Páros t-próba, döntési szabályok Rögzítjük -t ( =0.05) Konfidenciaintervallum a különbségre Ha 0 benne van a 95%-os konfidenciaintervallumban, elfogadjuk H0-t, és azt mondjuk, hogy a különbség nem szignifikáns 5%-os szinten Ha 0 nincs benne a 95%-os konfidenciaintervallumban, elvetjük H0-t, és azt mondjuk, hogy a különbség szignifikáns 5%-os szinten t-érték alapján. Kiszámítjuk t-t, xkül t kikeressük a táblabeli kritikus SEkül értéket t tábla =t n-1, Ha t <t tábla, elfogadjuk H0-t, és azt mondjuk, hogy a különbség nem szignifikáns 5%-os szinten Ha t >t tábla, elvetjük H0-t, és azt mondjuk, hogy a különbség szignifikáns 5%-os szinten p-érték alapján Ha p>, elfogadjuk H0-t, és azt mondjuk, hogy a különbség nem szignifikáns 5%-os szinten Ha p<, elvetjük H0-t, és azt mondjuk, hogy a különbség szignifikáns 5%-os szinten Krisztina Boda 23

24 Páros t-próba, példa Egy vizsgálat során egy speciális diéta hatását tesztelték. Szeretnénk ellenőrizni, vajon a diéta hatásos volt-e. A különbség-átlag=4 kg. Ez nagy vagy kis különbség? Véletlenül kaptunk-e ekkora eltérést (azaz, akár nulla is lehetne), vagy ekkora eltérést már nem minősíthetünk véletlen hatásnak? Before After Difference Mean SD Krisztina Boda 24

25 Páros t-próba, példa (folytatás) Gondolatmenet: ha a kezelés nem hatásos, az átlagos különbség kicsi (közel 0). Ha a diéta hatásos, az átlagos különbség nagy. A populációra nézve ez a következő hipotéziseket jelenti: H 0 : előtt = után vagy különbség = 0 (c=0)!! H 0 : előtt után vagy különbség 0 Legyen =0.05. A szabadságfok=10-1=9, t táblázat =t 0.05,9 =2.262 átlag=4, SD=3.333 SE=3.333/ 10=1.054 Krisztina Boda 25

26 Páros t-próba, példa (folytatás) Döntés a konfidencia-intervallum alapján: 95%CI: ( *1.054, *1.054)=(1.615, 6.384) Ha H0 igaz, akkor a 0 benne van a konfidenciaintervallumban Most 0 nincs benne a 95%-os konfidencia-intervallumabn, ezért döntésünk az, hogy a különbség szignifikáns 5%-os szinten, a kezelés hatásos volt Az átlagos súlyveszteség a mintában 4 kg. 95% bizonyosak vagyunk abban, hogy a populációban az átalgso súlyveszteség akár 6.36 is lehetne, de minimum Krisztina Boda 26

27 Páros t-próba, példa (folytatás) Döntés a próbastatisztika alapján (t-érték: x c t SE x 0 SE Azt hasonlítjuk a táblabeli kritikus értékhez. t =3.795>2.262(=t 0.05,9 ), a különbség szignifikáns 5%- os szinten Döntés p-érték alapján: p=0.004, p<0.05, a különbség szignifikáns 5%- os szinten Elfogadási tartomány t számított, próbastatisztika t tábla, kritikus érték Krisztina Boda 27

28 Példa. Tegyük fel, hogy 8 önként vállalkozó beteg kezelése során a következő systolés vérnyomásértékeket kaptuk (fiktív adatok) =0.05, és 7 -es szabadságfokhoz tartozó kritikus érték a t-eloszlás táblázatából t 0.025,7 = Kezelés előtt Kezelés után Különbség d =21.25 s d = t =3.324 Döntés: t =3.324>2.365, tehát elvetjük H 0 -t és azt mondjuk, hogy a populáció átlagok közötti különbség szignifikáns 5 %-os szinten. A döntés hibája első fajta hiba, valószínűsége %-os konfidencia-intervallum a különbségre: (6.137, 36.36) p-érték: p=0.013 Krisztina Boda 28

29 Eredmény R-rel > e=c(170,160,150,150,180,170,160,160) ########előtt > u=c(150,120,150,160,150,150,120,130) > t.test(e,u,paired=true) ########után # a páros t-próba Paired t-test data: e and u t = , df = 7, p-value = alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0 95 percent confidence interval: sample estimates: mean of the differences Krisztina Boda 29

30 Példa az orvosi irodalomból Krisztina Boda 30

31 Példa az orvosi irodalomból Krisztina Boda 31

32 A cikk részletei Krisztina Boda 32

33 Krisztina Boda 33

34 Student féle t-próbák Általános cél. A Student t-próbák normális eloszlású populációk átlagait vizsgálják. A hipotézisek teszteléséhez egy t próbastatisztikát használnak, amely a nullhipotézis fennállása esetén adott szabadságfokú t-eloszlást követ. Egymintás t-próba. Adott egyetlen minta, amelyről feltesszük, hogy normális eloszlásból származik. A próbával azt teszteljük, hogy a populációátlag lehet-e egy adott konstans H0: =c Páros t-próba (= egymintás t-próba a különbségekre). Két összetartozó mintát vizsgál. Feltételezzük, hogy a különbség-minta normális eloszlásból származik. A próbával azt teszteljük, hogy a különbség-átlag a populációban lehet-e nulla H0: különbség =0 Kétmintás t-próba ( independent samples t-test). Két független mintánk van, mindegyikről feltétezzük, hogy normális eloszlású populációból származik. A próbával azt teszteljük, hogy a két populáció-átlag azonos-e H0: 1 = 2 Krisztina Boda 34

35 Ellenőrző kérdések és feladatok A hipotézis fogalma Null- és alternatív hipotézis A hipotézisvizsgálat lépései Az egymintás t-próba null- és alternatív hipotézise Az egymintás t-próba döntési szabályai Az egymintás t-próba nullhipotézisének tesztelése konfidenciaintervallum alapján Az egymintás t-próba nullhipotézisének tesztelése t-érték alapján Az egymintás t-próba nullhipotézisének tesztelése p-érték alapján A p-érték jelentése A statisztikai szignifikancia jelentése és értelmezése Krisztina Boda 35

36 Feladatok Egy vizsgálatban, 10 egészséges nő systolés vérnyomását vizsgálva, az átlag 119, a standard error Feltéve, hogy a minta normális eloszlású populációból származik, ellenőrizzük, hogy a populáció-átlag 125-e? ( =0.05, t tábla =2.26). Egy új gyógyszer kipróbálásakor 5 betegen megmérték a systolés vérnyomást a gyógyszer beadása előtt és utána. Az átlagos különbség = 6, a különbségek standard errorja SE=4.65. Végezze el a megfelelő statisztikai próbát annak ellenőrzésére, hogy a két átlag között kimutatható-e szignifikáns különbség. ( =0.05, t tábla =2.57) Krisztina Boda 36

37 Hasznos WEB oldalak Klinikai Biostatisztikai Társaság Rice Virtual Lab in Statistics Statistics on the Web ndex.html Krisztina Boda 37