Elemi statisztika. >> =weiszd= << december 20. Szerintem nincs sok szükségünk erre... [visszajelzés esetén azt is belerakom] x x = n

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Elemi statisztika. >> =weiszd= << december 20. Szerintem nincs sok szükségünk erre... [visszajelzés esetén azt is belerakom] x x = n"

Átírás

1 Elemi statisztika >> =weiszd= << december előadás Szerintem nincs sok szükségünk erre... [visszajelzés esetén azt is belerakom] előadás 2.1. Mintabeli értékek átlaga x x = n 2.2. Populáció minden tagjára vett átlag x µ = N 2.3. Átlag számítása a gyakoriság eloszlásból (fx) x = f ahol x az osztály felezőpontja, f a gyakoriság, f pedig az n 2.4. Súlyozott átlag x = (wx) w előadás 3.1. Minta szórása s = (x x) 2 n 1 1

2 Egyszerűsített képlet n( x s = 2 ) ( x) 2 n(n 1) 3.2. Populáció szórása σ = (x µ) Standard eltérés kiszámítása a gyakoriság eloszlásból n[ (fx s = 2 )] [ (fx)] 2 n(n 1) 3.4. Az eltérés mértéke [z érték] Minta N z = x x s Populáció z = x µ σ 3.5. Konverzió a k-adik percentilis és a megfelelő adat értékek között L = k 100 n 3.6. Kvartilisek Interkvartilis terjedelem (IQR) Q 3 Q Félinterkvartilis terjedelem Kvartilis felező Q 3 Q 1 2 Q 3 + Q 1 2 2

3 percentilis terjedelem 3.7. Outlier P 90 P 10 Outlier az érték akkor, ha Q 3 -at 1, 5IQR-rel meghaladja, vagy 1, 5IQR-nél kisebb előadás szabály: A valószínűség közelítése a relatív gyakorisággal (A) bekövetkezéseinek száma hányszor ismétlődött a kísérlet összesen szabály: Klasszikus/kombinatorikus megközelítés (Egyformán valószínű kimeneteket feltételez) P (A) = s n = (A) bekövetkezésének esetei az összes elemi események száma 4.3. Formális összeadási szabály P (A + B) = P (A) + P (B) P (A B) 4.4. Komplementerer események szabályai 4.5. Feltételes valószínűség P (A) + P (A) = 1 P (A) = 1 P (A) P (A) = 1 P (A) P (B A) = P (A B) P (A) ahol P (B A) jelöli B esemény valószínűségét, feltéve, hogy A bekövetkezett Formális szorzási szabály Ha A és B független események, akkor P (A B) = P (A) P (B A) P (B A) = P (B) 3

4 5. 5.előadás 5.1. Valószínűség-eloszlás tulajdonságai P (x) = 1 ahol x pozitív értékeket vehet fel. 0 P (x) 1 minden x értékre 5.2. Átlag, variancia, szórás Átlag µ = [x P (x)] Variancia [rövidített] Szórás 5.3. Várható érték σ 2 = [(x µ) 2 P (x)] σ 2 = [ x 2 P (x)] µ 2 σ = [x2 P (x)] µ 2 A diszkrét véletlen változó a kimenetek átlaga, jelölés: E 5.4. Binomiális eloszlás Jelölések E = [x P (x)] S és F jelöli a két lehetséges kimenet csoportot [succes/failure], p és q jelöli ezek valószínűségét: P (S) = p ÉS P (F ) = 1 p = q n a fix próbálkozások száma x az n próbálkozások közül a sikeresek száma 4

5 P (x) annak valószínűsége, hogy pontosan x próbálkozás lesz sikeres n próbálkozás közül A binomiális eloszlás képlete ahol x = 0, 1, 2,..., n P (x) = n! (n x)!x! px q n x 5.5. A binomiális eloszlás átlaga, varianciája és szórása Diszkrét eloszlásra vonatkozó képletek Átlag: µ = [x P (x)] µ = n p Variancia: σ 2 = [ x 2 P (x)] µ 2 σ 2 = n p q Szórás: σ = [ x 2 P (x)] µ 2 σ = n p q 5.6. Poisson eloszlás Feltételek Az x véletlen változó bizonyos események előfordulásának számát adja meg egy adottintervallumban. Az előfordulásoknak véletlenszerűeknek és függetlenek kell lenniük, továbbá egyenletesen kell eloszlaniuk az inetrvallumon belül Standard normális eloszlás Jellemzők Harang alakú, szórása=0, átlaga=1 f(x) = e 1 2 x µ 2 σ σ 2π 5

6 6. 6. előadás 6.1. A normális eloszlás alkalmazásai Konverziós formula [standardizálás] azaz z = x µ σ x = µ + σz Változó értékeinek megtalálása 1. Rajzolj egy normális eloszlás görbét, rajzold be, hogy hol és milyen valószínűségeket vagy százalékokat keresel, és rajzold be a keresett x értékeket! 2. A táblázatot használva keressük meg azt a z értéket, amelyik az x-től balra eső területhez tartozik. A táblázat belsejében keresd ki a területet és abból a z értéket! 3. Képlethasználat 4. Nézd meg az eredeti ábrán, hogy értelmes-e az eredmény Definíció A statisztika eloszlása (mint például a minta arány vagy a minta átlag eloszlása) a statisztika minden lehetséges értékének eloszlása abban az esetben, amikor értékét a populáció minden lehetséges n elemszámú mintájára kiszámítjuk Tulajdonságok 1. A minta arányok a populációs arányhoz tartanak. 2. Bizonyos feltételek mellett a mintabeli arányok eloszlása normális eloszlással közelítheti Központi határeloszlás tétel Adott: 1. Az x véletlen változónak µ átlaga és s szórással rendelkező eloszlása van (ami vagy normális vagy sem). 2. Egyszerű n elemszámú véletlen mintákat választunk a populációból. (A mintákat úgy választjuk, hogy bármely n elemszámú mintát ugyanazzal az eséllyel választunk ki.) Konklúziók 1. A minta átlag x, ahogy a minta méretét növeljük, a normális eloszláshoz tart. 2. A minta átlagok átlaga µ 6

7 3. A minta átlagok szórása pedig: σ x = σ n 4. Általában ha a minta n mérete nagyobb, mint 30, akkor a minta átlagok eloszlását meglehetősen jól lehet normális eloszlással közelíteni. A közelítés egyre jobb, ahogy n növekszik. 5. Ha az eredeti populáció maga is normális eloszlású, akkor a minta átlagok eloszlása mindig normális bármely n-re (nem csak a 30-nál nagyobb értékek esetén) Binomiális eloszlás 1. A véletlen kísérletek száma állandó. 2. A kísérletek függetlenek. 3. Minden kísérletnek két kimenete van. 4. A siker valószínűsége állandó a kísérletek során Normál kvantilis plot Egy pontokból (x, y) álló gráf, ahol az x érték az eredeti minta adatokból áll és az y érték a megfelelő z érték, ami a standard normális eloszlásból származó kvantilis érték előadás - Következtető statisztika 7.1. A populáció arány becslése Feltételek 1. A minta egy egyszerű véletlen minta. 2. A binomiális eloszlás feltételei fennállnak. 3. np 5 és nq 5. [sikertelen és sikeres esetek száma] A p-re vonatkozó konfidencia intervallum megkonstruálása 1. Feltételek 2. z α/2 [normális eloszlás-táblázat] 3. Hiba: 4. E = pq n p E < p < p + E 7

8 A minta elemszám [n] meghatározása E-s képletből 1. Ha van előzetes becslés p-re: 2. Ha nincs, p := 0, 25 n = (z α/2) 2 pq E Pontbecslés p = (felső határ) + (alsó határ) / 2 [ugyanez E-nél] 7.2. Populáció átlagbecslés ismert σ esetén Feltevések 1. A minta egyszerű véletlen mintavételezéssel lett kiválasztva. (Minden ugyanolyan hosszúságú minta kiválasztásának egyenlő az esélye.) 2. A populáció σ szórása ismert. 3. Egyik vagy mindkét alábbi feltétel igaz: A populáció normális eloszlású vagy n > Becslés A minta átlag x a populáció átlag µ legjobb pontbecslése Az átlag hibája E = z α/2 σ n KI határok x E < µ < x + E A µ populációs átlag meghatározásához szükséges minta elemszám n = [(z α/2)σ E ] A populáció átlag becslése, ha σ nem ismert - Student t Student t-eloszlás t = x µ s n 8

9 Szabadsági fokok száma n Hiba [σ nem ismert] s E = t α/2 n ahol t α/2 n 1 szabadsági fokkal rendelkezik KI µ-re [σ nem ismert] x E < µ < x + E 7.4. A populáció variancia becslése Feltételek 1. A minta legyen egyszerű véletlen. 2. A populációnak normális eloszlásúnak kell lennie (nem elég, hogy a minta nagy legyen) χ 2 -eloszlás χ 2 (n 1)s2 = σ 2 d f = n KI a populáció varianciára [σ 2 ] (n 1)s 2 < σ 2 < χ 2 R (n 1)s2 χ 2 L előadás - Hipotézis tesztelés 8.1. Definíció A hipotézis egy a populáció valamilyen tulajdonságára vonatkozó állítás/kijelentés. Standard módszer a szignifikancia vagy hipotézis tesztelés Ritka esemény szabály Ha, adott feltevések mellett egy bizonyos esemény valószínősége kicsi, de mi mégis megfigyeljük egy ilyen esemény bekövetkezését, akkor arra a konklúzióra jutunk, hogy a feltevés nem igaz. 9

10 8.3. A tesztelés elemei Nullhipotézis 1. H 0 egy állítás a populáció valamilyen paraméter értékéről, miszerint az egyenlő valamilyen feltételezett értékkel. 2. H 0 -t közvetlenül tesztelhetjük. 3. Vagy elutasítjuk a H 0 -t hipotézist, vagy nem tudjuk elutasítani a H 0 hipotézist Alternatív hipotézis [H 1 ] 1. H 1 legyen a saját feltételezésünk 2. H 1 egy állítás, ami szerint a paraméter értéke valamilyen módon különbözik H 0 -tól. 3. H 1 szimbolikus kifejezése az alábbi szimbólumokat kell, hogy tartalmazza:, <, > Teszt statisztika A teszt statisztika egy olyan számérték, aminek segítségével döntést tudunk hozni H 0 -ról. A minta statisztika értékéből képezzük annak a feltevésével, hogy H 0 igaz Teszt statisztika - képletek Arányra: Átlagra: Varianciára: z = p p pq n z = x µ x σ n χ 2 = (n 1)2 s 2 σ Szignifikancia szint [α] Az a valószínűség, amivel a teszt statisztika a kritikus tartományba esik, amikor H 0 valójában igaz. [α ugyanaz, mint z α/2 -ben!] Szokásos választások α-ra: 0.05, 0.01 és Kritikus értékek Elválasztják a kritikus tartományt (ahol elutasítjuk H 0 -t) azoktól az értékektől, ahol nem utasítjuk el. A kritikus értékek függnek H 0 fajtájától, a minta eloszlástól és a szignifikancia szinttől. 10

11 P -érték A P-érték annak a valószínűsége, hogy a teszt statisztika olyan értéket adjon, ami legalább annyira szélsőséges, mint az az érték, amit a mintánkból kaptunk, azzal a feltevéssel, hogy H 0 igaz. H 0 -t elvetjük, ha a P -érték nagyon kicsi, pl. < Eredmény, döntési kritériumok 1. Mindig a H 0 -t teszteljük! 2. Tradicionális módszer: elvetjük H 0 -t, ha a teszt statisztika a kritikus tartományba esik; ha nem esik bele, nem tudjuk elvetni. 3. P -érték módszer: elvetjük H 0 -t, ha ha a P -érték α; nem tudjuk elvetni, ha P -érték > α I. fajú hiba Akkor következik be, ha hibás módon elutasítjuk H 0 -t, amikor az igaz. Jelölés: α II. fajú hiba Akkor következik be, ha nem utasítjuk el H 0 -t akkor, amikor az nem igaz. Jelölés: β Erősség A helytelen H 0 elutasításának valószínűsége. [1 β] 8.4. Az arányra vonatkozó feltevés tesztelése Feltevések 1. Véletlen egyszerű mintavétel. 2. A binomiális eloszlás feltételei fennállnak. 3. Az np 5 és nq 5 feltételek fennállnak, így a binomiális eloszlást egy olyan normálissal közelíthetjük, aminek a paraméterei µ = np és σ = npq Az arányra vonatkozó teszt statisztika z = p p pq n 11

12 8.5. A populáció átlagra vonatkozó feltételezés tesztelése: [σ nem ismert] Feltételek 1. A minta véletlen egyszerű. 2. Valamelyik, vagy mindkét feltétel igaz: A populáció normális eloszlású, vagy n > Teszt statisztika t = x µ x s n 8.6. A szórásra és a varianciára vonatkozó feltevések becslése Feltételek 1. Véletlen egyszerő minta. 2. A populáció normális eloszlású Teszt statisztika [A σ 2 H 0 -ban van megadva!] χ 2 = (n 1)s2 σ előadás 9.1. Korreláció Definíció Két változó között korreláció lép fel, ha az egyik a másikkal valamilyen módon kapcsolatban van Definíció A lineáris korrelációs együttható [r] méri a lineáris kapcsolat erősségét egy x és y párokból álló minta értékei között. [szórásdiagram!] Követelmények 1. Az (x, y) párokból álló adatok véletlen független minta adatok. 2. Az adatok [ránézésre] nagyjából egyenest kell, hogy alkossanak. 3. Outleierek hatásának vizsgálata [kiszámoljuk azokkal és anélkül is az r-t] 12

13 Képlet r = n xy ( x)( y) n( x2 ) ( x) 2 n( y 2 ) ( y) 2 (xi x)(y i y) r xy = (n 1)s x s y Megmagyarázott variabilitás Az r 2 érték mondja meg, hogy y variabilitásának hányad részét magyarázza az x és y közti lineáris kapcsolat Formális hipotézis tesztelés H 0 : ρ = 0 és H 1 0 Teszt statisztika [megegyezik az n 2 d f -ú Student-t statisztikával!] t = r 1 r 2 n Regressziós egyenes és egyenlete az az egyenes, és az az egyenletet, ami legjobban reprezentálja a változók közti kapcsolatot. A regressziós egyenes illik legjobban az adatokhoz Feltételek 1. Az adatpárok (x, y) véletlen minta adatok. 2. Vizuális vizsgálattal arra jutunk, hogy a szórásdiagram egy egyeneshez hasonló. 3. Ki kell hagyni azokat az outliereket, amik hibák miatt vannak jelen Általános alak y = b 0 + b 1 x Meredekség, y tengelymetszet [b 1 és b 0 ] b 1 = n( xy) ( x)( y) n( x 2 ) ( x) 2 b 0 = y b 1 x 13

14 Reziduum A reziduum egy (x, y) adatpár esetén, az (y - yi különbség a megfigyelt y minta érték és a regressziós egyenes által adott y érték között. reziduum = megfigyelt y - prediktált y = y - ym Reziduum diagram felvételekor a szórásdiagram y koordináták helyett az y - ymra kapott koordinátákat használjuk! Ha a reziduális diagram nem mutat semmilyen szabályosságot vagy alakzatot, akkor a regressziós egyenlet jól reprezentálja a két változó közti kapcsolatot. Ha a reziduális diagram valamilyen szabályos mintázatot mutat, akkor a regressziós egyenlet nem jó reprezentáció Variabilitás és predikciós intervallum Definíció A predikciós intervallum az y értékének egy intervallum becslése Definíció A teljes deviancia [eltérés] az (x, y) pont párra vonatkozóan az a függőleges y - y távolság, ami az (x, y) pont és a minta átlagon y keresztül húzott vízszintes vonal között van. [= magyarázott + nem magyarázott deviancia] Definíció A magyarázott deviancia az a függőleges távolság, ami a becsült y-érték y - y távolsága a minta átlagától Definíció Nem magyarázott deviancia = reziduum [!] A becslés hibájának szórása y2 b 0 y b1 xy s e = n A becslési intervallum egyes y értékekre vonatkozóan ahol E = t α/2 s e x 0 az x megadott értéke. t α/2 -nek n 2 d f -e van. y E < y < y + E n + n(x 0 x) 2 n( x 2 ) ( x) 2 14

15 9.4. Többszörös regresszió Többszörös regressziós egyenlet Lineáris kapcsolat a válasz változó y és a kettő vagy több prediktor változó között (x 1, x 2, x 3,..., x k ) Általános alakja: y = b 0 + b 1 x 1 + b 2 x b k x k Többszörös determinációs együttható R 2 annak a mérőszáma, hogy mennyire illik a többszörös regressziós egyenlet a mintaadatokhoz Korrigált többszörös determinációs együttható az előző R 2 olyan korrekciója, amely figyelembe veszi a változók számát és a minta méretét is. R 2 (n 1) = 1 [n (k + 1)] (1 R2 ) ahol n a minta elemszáma, k pedig a független változók (x) száma Modellezés Aki igényt tart rá, szóljon! [ES10.pdf / 86. oldaltól] [leginkább csak fv.-ek általános alakjai] előadás Az első számjegyek, Branford törvénye Képlet Kulcsfogalmak P (d) = log 10(1 + 1 d ) log 1 0B Adott, kategóriákba sorolt adatok esetén azt a hipotézist teszteljük, hogy az adatok eloszlása megegyezik valamilyen általunk feltételezett eloszlással. A hipotézis teszt a χ 2 eloszlást használja a megfigyelt gyakoriságok és az általunk várt gyakoriságok összehasonlítására. 15

16 Definíció - Multinomiális kísérlet az alábbi feltételeknek tesz eleget: 1. A próbálkozások/kísérletek száma előre adott. 2. A próbálkozások/kísérletek függetlenek. 3. A kísérlet minden kimenetele egyértelműen besorolható pontosan egybe a lehetséges kategóriák közül. 4. A kísérletek során a kategóriák valószínűsége nem változik, állandó marad Definíció - Illeszkedés vizsgálat Az illeszkedés vizsgálatot annak tesztelésére használjuk, hogy a megfigyelt gyakoriságok illeszkednek a feltételezett gyakoriság eloszláshoz. 11. Megjegyzés Ha az utolsó előadás kell egyáltalán, akkor szóljon valaki, csak most már unom... :) Jó tanulást mindenkinek: Weisz Dávid 16

s.s. Bere Anikó Zsuzsanna

s.s. Bere Anikó Zsuzsanna s.s. Bere Anikó Zsuzsanna Statisztikai módszerek a fizikában statisztika: adatokon alapuló kísérlettervezési, gyűjtési, rendezési, összesítési, ábrázolási, analizálási, értelmezési és következtetési módszerek

Részletesebben

[Biomatematika 2] Orvosi biometria

[Biomatematika 2] Orvosi biometria [Biomatematika 2] Orvosi biometria 2016.02.29. A statisztika típusai Leíró jellegű statisztika: összegzi egy adathalmaz jellemzőit. A középértéket jelemzi (medián, módus, átlag) Az adatok változékonyságát

Részletesebben

Biomatematika 12. Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar. Fodor János

Biomatematika 12. Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar. Fodor János Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar Biomatematikai és Számítástechnikai Tanszék Biomatematika 12. Regresszió- és korrelációanaĺızis Fodor János Copyright c Fodor.Janos@aotk.szie.hu Last Revision

Részletesebben

1. Adatok kiértékelése. 2. A feltételek megvizsgálása. 3. A hipotézis megfogalmazása

1. Adatok kiértékelése. 2. A feltételek megvizsgálása. 3. A hipotézis megfogalmazása HIPOTÉZIS VIZSGÁLAT A hipotézis feltételezés egy vagy több populációról. (pl. egy gyógyszer az esetek 90%-ában hatásos; egy kezelés jelentősen megnöveli a rákos betegek túlélését). A hipotézis vizsgálat

Részletesebben

Statisztika - bevezetés Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc 1

Statisztika - bevezetés Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc 1 Statisztika - bevezetés 00.04.05. Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc Bevezetés Véletlen jelenség fogalma jelenséget okok bizonyos rendszere hozza létre ha mindegyik figyelembe vehető egyértelmű leírás általában

Részletesebben

Az első számjegyek Benford törvénye

Az első számjegyek Benford törvénye Az első számjegyek Benford törvénye Frank Benford (1883-1948) A General Electric fizikusa Simon Newcomb (1835 1909) asztronómus 1. oldal 2. oldal A híres arizonai csekk sikkasztási eset http://www.aicpa.org/pubs/jofa/may1999/nigrini.htm

Részletesebben

Statisztika elméleti összefoglaló

Statisztika elméleti összefoglaló 1 Statisztika elméleti összefoglaló Tel.: 0/453-91-78 1. Tartalomjegyzék 1. Tartalomjegyzék.... Becsléselmélet... 3 3. Intervallumbecslések... 5 4. Hipotézisvizsgálat... 8 5. Regresszió-számítás... 11

Részletesebben

Adatok statisztikai értékelésének főbb lehetőségei

Adatok statisztikai értékelésének főbb lehetőségei Adatok statisztikai értékelésének főbb lehetőségei 1. a. Egy- vagy kétváltozós eset b. Többváltozós eset 2. a. Becslési problémák, hipotézis vizsgálat b. Mintázatelemzés 3. Szint: a. Egyedi b. Populáció

Részletesebben

Bevezetés a hipotézisvizsgálatokba

Bevezetés a hipotézisvizsgálatokba Bevezetés a hipotézisvizsgálatokba Nullhipotézis: pl. az átlag egy adott µ becslése : M ( x -µ ) = 0 Alternatív hipotézis: : M ( x -µ ) 0 Szignifikancia: - teljes bizonyosság csak teljes enumerációra -

Részletesebben

Hipotézis STATISZTIKA. Kétmintás hipotézisek. Munkahipotézis (H a ) Tematika. Tudományos hipotézis. 1. Előadás. Hipotézisvizsgálatok

Hipotézis STATISZTIKA. Kétmintás hipotézisek. Munkahipotézis (H a ) Tematika. Tudományos hipotézis. 1. Előadás. Hipotézisvizsgálatok STATISZTIKA 1. Előadás Hipotézisvizsgálatok Tematika 1. Hipotézis vizsgálatok 2. t-próbák 3. Variancia-analízis 4. A variancia-analízis validálása, erőfüggvény 5. Korreláció számítás 6. Kétváltozós lineáris

Részletesebben

Elemi statisztika fizikusoknak

Elemi statisztika fizikusoknak 1. oldal Elemi statisztika fizikusoknak Pollner Péter Biológiai Fizika Tanszék pollner@elte.hu Az adatok leírása, megismerése és összehasonlítása 2-1 Áttekintés 2-2 Gyakoriság eloszlások 2-3 Az adatok

Részletesebben

Korreláció és lineáris regresszió

Korreláció és lineáris regresszió Korreláció és lineáris regresszió Két folytonos változó közötti összefüggés vizsgálata Szűcs Mónika SZTE ÁOK-TTIK Orvosi Fizikai és Orvosi Informatikai Intézet Orvosi Fizika és Statisztika I. előadás 2016.11.02.

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 8 VIII. REGREssZIÓ 1. A REGREssZIÓs EGYENEs Két valószínűségi változó kapcsolatának leírására az eddigiek alapján vagy egy numerikus

Részletesebben

STATISZTIKA. Egymintás u-próba. H 0 : Kefir zsírtartalma 3% Próbafüggvény, alfa=0,05. Egymintás u-próba vagy z-próba

STATISZTIKA. Egymintás u-próba. H 0 : Kefir zsírtartalma 3% Próbafüggvény, alfa=0,05. Egymintás u-próba vagy z-próba Egymintás u-próba STATISZTIKA 2. Előadás Középérték-összehasonlító tesztek Tesztelhetjük, hogy a valószínűségi változónk értéke megegyezik-e egy konkrét értékkel. Megválaszthatjuk a konfidencia intervallum

Részletesebben

Többváltozós lineáris regressziós modell feltételeinek

Többváltozós lineáris regressziós modell feltételeinek Többváltozós lineáris regressziós modell feltételeinek tesztelése I. - A hibatagra vonatkozó feltételek tesztelése - Petrovics Petra Doktorandusz Többváltozós lineáris regressziós modell x 1, x 2,, x p

Részletesebben

6. Előadás. Vereb György, DE OEC BSI, október 12.

6. Előadás. Vereb György, DE OEC BSI, október 12. 6. Előadás Visszatekintés: a normális eloszlás Becslés, mintavételezés Reprezentatív minta A statisztika, mint változó Paraméter és Statisztika Torzítatlan becslés A mintaközép eloszlása - centrális határeloszlás

Részletesebben

STATISZTIKA. A maradék független a kezelés és blokk hatástól. Maradékok leíró statisztikája. 4. A modell érvényességének ellenőrzése

STATISZTIKA. A maradék független a kezelés és blokk hatástól. Maradékok leíró statisztikája. 4. A modell érvényességének ellenőrzése 4. A modell érvényességének ellenőrzése STATISZTIKA 4. Előadás Variancia-analízis Lineáris modellek 1. Függetlenség 2. Normális eloszlás 3. Azonos varianciák A maradék független a kezelés és blokk hatástól

Részletesebben

Egymintás próbák. Alapkérdés: populáció <paramétere/tulajdonsága> megegyezik-e egy referencia paraméter értékkel/tulajdonsággal?

Egymintás próbák. Alapkérdés: populáció <paramétere/tulajdonsága> megegyezik-e egy referencia paraméter értékkel/tulajdonsággal? Egymintás próbák σ s μ m Alapkérdés: A populáció egy adott megegyezik-e egy referencia paraméter értékkel/tulajdonsággal? egymintás t-próba Wilcoxon-féle előjeles

Részletesebben

Biostatisztika VIII. Mátyus László. 19 October

Biostatisztika VIII. Mátyus László. 19 October Biostatisztika VIII Mátyus László 19 October 2010 1 Ha σ nem ismert A gyakorlatban ritkán ismerjük σ-t. Ha kiszámítjuk s-t a minta alapján, akkor becsülhetjük σ-t. Ez további bizonytalanságot okoz a becslésben.

Részletesebben

Kiválasztás. A változó szerint. Rangok. Nem-paraméteres eljárások. Rang: Egy valamilyen szabály szerint felállított sorban elfoglalt hely.

Kiválasztás. A változó szerint. Rangok. Nem-paraméteres eljárások. Rang: Egy valamilyen szabály szerint felállított sorban elfoglalt hely. Kiválasztás A változó szerint Egymintás t-próba Mann-Whitney U-test paraméteres nem-paraméteres Varianciaanalízis De melyiket válasszam? Kétmintás t-próba Fontos, hogy mindig a kérdésnek és a változónak

Részletesebben

2013 ŐSZ. 1. Mutassa be az egymintás z-próba célját, alkalmazásának feltételeit és módszerét!

2013 ŐSZ. 1. Mutassa be az egymintás z-próba célját, alkalmazásának feltételeit és módszerét! GAZDASÁGSTATISZTIKA KIDOLGOZOTT ELMÉLETI KÉRDÉSEK A 3. ZH-HOZ 2013 ŐSZ Elméleti kérdések összegzése 1. Mutassa be az egymintás z-próba célját, alkalmazásának feltételeit és módszerét! 2. Mutassa be az

Részletesebben

Biometria, haladó biostatisztika EA+GY biometub17vm Szerda 8:00-9:00, 9:00-11:00 Déli Tömb 0-804, Lóczy Lajos terem

Biometria, haladó biostatisztika EA+GY biometub17vm Szerda 8:00-9:00, 9:00-11:00 Déli Tömb 0-804, Lóczy Lajos terem Biometria, haladó biostatisztika EA+GY biometub17vm Szerda 8:00-9:00, 9:00-11:00 Déli Tömb 0-804, Lóczy Lajos terem Előadások-gyakorlatok 2018-ban (13 alkalom) IX.12, 19, 26, X. 3, 10, 17, 24, XI. 7, 14,

Részletesebben

Biometria az orvosi gyakorlatban. Korrelációszámítás, regresszió

Biometria az orvosi gyakorlatban. Korrelációszámítás, regresszió SZDT-08 p. 1/31 Biometria az orvosi gyakorlatban Korrelációszámítás, regresszió Werner Ágnes Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék e-mail: werner.agnes@virt.uni-pannon.hu Korrelációszámítás

Részletesebben

Véletlen jelenség: okok rendszere hozza létre - nem ismerhetjük mind, ezért sztochasztikus.

Véletlen jelenség: okok rendszere hozza létre - nem ismerhetjük mind, ezért sztochasztikus. Valószín ségelméleti és matematikai statisztikai alapfogalmak összefoglalása (Kemény Sándor - Deák András: Mérések tervezése és eredményeik értékelése, kivonat) Véletlen jelenség: okok rendszere hozza

Részletesebben

GVMST22GNC Statisztika II. Keleti Károly Gazdasági Kar Vállalkozásmenedzsment Intézet

GVMST22GNC Statisztika II. Keleti Károly Gazdasági Kar Vállalkozásmenedzsment Intézet GVMST22GNC Statisztika II. 3. előadás: 8. Hipotézisvizsgálat Kóczy Á. László Keleti Károly Gazdasági Kar Vállalkozásmenedzsment Intézet Hipotézisvizsgálat v becslés Becslés Ismeretlen paraméter Közeĺıtő

Részletesebben

Eseményalgebra. Esemény: minden amirl a kísérlet elvégzése során eldönthet egyértelmen hogy a kísérlet során bekövetkezett-e vagy sem.

Eseményalgebra. Esemény: minden amirl a kísérlet elvégzése során eldönthet egyértelmen hogy a kísérlet során bekövetkezett-e vagy sem. Eseményalgebra. Esemény: minden amirl a kísérlet elvégzése során eldönthet egyértelmen hogy a kísérlet során bekövetkezett-e vagy sem. Elemi esemény: a kísérlet egyes lehetséges egyes lehetséges kimenetelei.

Részletesebben

KÖVETKEZTETŐ STATISZTIKA

KÖVETKEZTETŐ STATISZTIKA ÁVF GM szak 2010 ősz KÖVETKEZTETŐ STATISZTIKA A MINTAVÉTEL BECSLÉS A sokasági átlag becslése 2010 ősz Utoljára módosítva: 2010-09-07 ÁVF Oktató: Lipécz György 1 A becslés alapfeladata Pl. Hányan láttak

Részletesebben

Hipotézis, sejtés STATISZTIKA. Kétmintás hipotézisek. Tudományos hipotézis. Munkahipotézis (H a ) Nullhipotézis (H 0 ) 11. Előadás

Hipotézis, sejtés STATISZTIKA. Kétmintás hipotézisek. Tudományos hipotézis. Munkahipotézis (H a ) Nullhipotézis (H 0 ) 11. Előadás STATISZTIKA Hipotézis, sejtés 11. Előadás Hipotézisvizsgálatok, nem paraméteres próbák Tudományos hipotézis Nullhipotézis felállítása (H 0 ): Kétmintás hipotézisek Munkahipotézis (H a ) Nullhipotézis (H

Részletesebben

biometria II. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert Matematikai-statisztikai adatfeldolgozás

biometria II. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert Matematikai-statisztikai adatfeldolgozás Kísérlettervezés - biometria II. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert Matematikai-statisztikai adatfeldolgozás A matematikai-statisztika feladata tapasztalati adatok feldolgozásával segítséget nyújtani

Részletesebben

Populációbecslés és monitoring. Eloszlások és alapstatisztikák

Populációbecslés és monitoring. Eloszlások és alapstatisztikák Populációbecslés és monitoring Eloszlások és alapstatisztikák Eloszlások Az eloszlás megadja, hogy milyen valószínűséggel kapunk egy adott intervallumba tartozó értéket, ha egy olyan populációból veszünk

Részletesebben

Tartalomjegyzék I. RÉSZ: KÍSÉRLETEK MEGTERVEZÉSE

Tartalomjegyzék I. RÉSZ: KÍSÉRLETEK MEGTERVEZÉSE Tartalomjegyzék 5 Tartalomjegyzék Előszó I. RÉSZ: KÍSÉRLETEK MEGTERVEZÉSE 1. fejezet: Kontrollált kísérletek 21 1. A Salk-oltás kipróbálása 21 2. A porta-cava sönt 25 3. Történeti kontrollok 27 4. Összefoglalás

Részletesebben

Többváltozós lineáris regressziós modell feltételeinek tesztelése I.

Többváltozós lineáris regressziós modell feltételeinek tesztelése I. Többváltozós lineáris regressziós modell feltételeinek tesztelése I. - A hibatagra vonatkozó feltételek tesztelése - Kvantitatív statisztikai módszerek Petrovics Petra Többváltozós lineáris regressziós

Részletesebben

Normális eloszlás tesztje

Normális eloszlás tesztje Valószínűség, pontbecslés, konfidenciaintervallum Normális eloszlás tesztje Kolmogorov-Szmirnov vagy Wilk-Shapiro próba. R-funkció: shapiro.test(vektor) balra ferde eloszlás jobbra ferde eloszlás balra

Részletesebben

Hipotézis vizsgálatok

Hipotézis vizsgálatok Hipotézis vizsgálatok Hipotézisvizsgálat Hipotézis: az alapsokaság paramétereire vagy az alapsokaság eloszlására vonatkozó feltevés. Hipotézis ellenőrzés: az a statisztikai módszer, amelynek segítségével

Részletesebben

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Statisztikai becslés Statisztikák eloszlása

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Statisztikai becslés Statisztikák eloszlása Matematikai alapok és valószínőségszámítás Statisztikai becslés Statisztikák eloszlása Mintavétel A statisztikában a cél, hogy az érdeklõdés tárgyát képezõ populáció bizonyos paramétereit a populációból

Részletesebben

Khi-négyzet eloszlás. Statisztika II., 3. alkalom

Khi-négyzet eloszlás. Statisztika II., 3. alkalom Khi-négyzet eloszlás Statisztika II., 3. alkalom A khi négyzet eloszlást (Pearson) leggyakrabban kategorikus adatok elemzésére használjuk. N darab standard normális eloszlású változó négyzetes összegeként

Részletesebben

Egyszempontos variancia analízis. Statisztika I., 5. alkalom

Egyszempontos variancia analízis. Statisztika I., 5. alkalom Statisztika I., 5. alkalom Számos t-próba versus variancia analízis Kreativitás vizsgálata -nık -férfiak ->kétmintás t-próba I. Fajú hiba=α Kreativitás vizsgálata -informatikusok -építészek -színészek

Részletesebben

Elméleti összefoglaló a Sztochasztika alapjai kurzushoz

Elméleti összefoglaló a Sztochasztika alapjai kurzushoz Elméleti összefoglaló a Sztochasztika alapjai kurzushoz 1. dolgozat Véletlen kísérletek, események valószín sége Deníció. Egy véletlen kísérlet lehetséges eredményeit kimeneteleknek nevezzük. A kísérlet

Részletesebben

Kettőnél több csoport vizsgálata. Makara B. Gábor

Kettőnél több csoport vizsgálata. Makara B. Gábor Kettőnél több csoport vizsgálata Makara B. Gábor Három gyógytápszer elemzéséből az alábbi energia tartalom adatok származtak (kilokalória/adag egységben) Három gyógytápszer elemzésébô A B C 30 5 00 10

Részletesebben

Statisztika I. 8. előadás. Előadó: Dr. Ertsey Imre

Statisztika I. 8. előadás. Előadó: Dr. Ertsey Imre Statisztika I. 8. előadás Előadó: Dr. Ertsey Imre Minták alapján történő értékelések A statisztika foglalkozik. a tömegjelenségek vizsgálatával Bizonyos esetekben lehetetlen illetve célszerűtlen a teljes

Részletesebben

Biostatisztika Összefoglalás

Biostatisztika Összefoglalás Biostatisztika Összefoglalás A biostatisztika vizsga A biostatisztika vizsga az Orvosi fizika és statisztika I. fizika vizsgájával egy napon történik. A vizsga keretében 30 perc alatt 0 kérdésre kell válaszolni

Részletesebben

Kabos: Statisztika II. t-próba 9.1. Ha ismert a doboz szórása de nem ismerjük a

Kabos: Statisztika II. t-próba 9.1. Ha ismert a doboz szórása de nem ismerjük a Kabos: Statisztika II. t-próba 9.1 Egymintás z-próba Ha ismert a doboz szórása de nem ismerjük a doboz várhatóértékét, akkor a H 0 : a doboz várhatóértéke = egy rögzített érték hipotézisről úgy döntünk,

Részletesebben

Hipotézis vizsgálatok

Hipotézis vizsgálatok Hipotézis vizsgálatok Hipotézisvizsgálat Hipotézis: az alapsokaság paramétereire vagy az alapsokaság eloszlására vonatkozó feltevés. Hipotézis ellenőrzés: az a statisztikai módszer, amelynek segítségével

Részletesebben

Statisztikai következtetések Nemlineáris regresszió Feladatok Vége

Statisztikai következtetések Nemlineáris regresszió Feladatok Vége [GVMGS11MNC] Gazdaságstatisztika 10. előadás: 9. Regressziószámítás II. Kóczy Á. László koczy.laszlo@kgk.uni-obuda.hu Keleti Károly Gazdasági Kar Vállalkozásmenedzsment Intézet A standard lineáris modell

Részletesebben

Eloszlás-független módszerek (folytatás) 14. elıadás ( lecke) 27. lecke khí-négyzet eloszlású statisztikák esetszámtáblázatok

Eloszlás-független módszerek (folytatás) 14. elıadás ( lecke) 27. lecke khí-négyzet eloszlású statisztikák esetszámtáblázatok Eloszlás-független módszerek (folytatás) 14. elıadás (7-8. lecke) Illeszkedés-vizsgálat 7. lecke khí-négyzet eloszlású statisztikák esetszámtáblázatok elemzésére Illeszkedés-vizsgálat Gyakorisági sorok

Részletesebben

Nemparaméteres próbák

Nemparaméteres próbák Nemparaméteres próbák Budapesti Mőszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Gépészmérnöki Kar Hidrodinamikai Rendszerek Tanszék 1111, Budapest, Mőegyetem rkp. 3. D ép. 334. Tel: 463-16-80 Fax: 463-30-91 http://www.vizgep.bme.hu

Részletesebben

Segítség az outputok értelmezéséhez

Segítség az outputok értelmezéséhez Tanulni: 10.1-10.3, 10.5, 11.10. Hf: A honlapra feltett falco_exp.zip-ben lévő exploratív elemzések áttanulmányozása, érdekességek, észrevételek kigyűjtése. Segítség az outputok értelmezéséhez Leiro: Leíró

Részletesebben

x, x R, x rögzített esetén esemény. : ( ) x Valószínűségi Változó: Feltételes valószínűség: Teljes valószínűség Tétele: Bayes Tétel:

x, x R, x rögzített esetén esemény. : ( ) x Valószínűségi Változó: Feltételes valószínűség: Teljes valószínűség Tétele: Bayes Tétel: Feltételes valószínűség: Teljes valószínűség Tétele: Bayes Tétel: Valószínűségi változó általános fogalma: A : R leképezést valószínűségi változónak nevezzük, ha : ( ) x, x R, x rögzített esetén esemény.

Részletesebben

Intervallumbecsle s Mintave tel+ Hipote zisvizsga lat Egyminta s pro ba k Ke tminta s pro ba k Egye b vizsga latok O sszef.

Intervallumbecsle s Mintave tel+ Hipote zisvizsga lat Egyminta s pro ba k Ke tminta s pro ba k Egye b vizsga latok O sszef. Intervallumbecsle s Mintave tel+ Hipote zisvizsga lat Egyminta s pro ba k Ke tminta s pro ba k Egye b vizsga latok O sszef. Feladatok Gazdaságstatisztika 7. Statisztikai becslések (folyt.); 8. Hipotézisvizsgálat

Részletesebben

e (t µ) 2 f (t) = 1 F (t) = 1 Normális eloszlás negyedik centrális momentuma:

e (t µ) 2 f (t) = 1 F (t) = 1 Normális eloszlás negyedik centrális momentuma: Normális eloszlás ξ valószínűségi változó normális eloszlású. ξ N ( µ, σ 2) Paraméterei: µ: várható érték, σ 2 : szórásnégyzet (µ tetszőleges, σ 2 tetszőleges pozitív valós szám) Normális eloszlás sűrűségfüggvénye:

Részletesebben

[Biomatematika 2] Orvosi biometria

[Biomatematika 2] Orvosi biometria [Biomatematika 2] Orvosi biometria 2016.02.22. Valószínűségi változó Véletlentől függő számértékeket (értékek sokasága) felvevő változókat valószínűségi változóknak nevezzük(jelölés: ξ, η, x). (pl. x =

Részletesebben

4/24/12. Regresszióanalízis. Legkisebb négyzetek elve. Regresszióanalízis

4/24/12. Regresszióanalízis. Legkisebb négyzetek elve. Regresszióanalízis 1. feladat Regresszióanalízis. Legkisebb négyzetek elve 2. feladat Az iskola egy évfolyamába tartozó diákok átlagéletkora 15,8 év, standard deviációja 0,6 év. A 625 fős évfolyamból hány diák fiatalabb

Részletesebben

Hipotéziselmélet - paraméteres próbák. eloszlások. Matematikai statisztika Gazdaságinformatikus MSc szeptember 10. 1/58

Hipotéziselmélet - paraméteres próbák. eloszlások. Matematikai statisztika Gazdaságinformatikus MSc szeptember 10. 1/58 u- t- Matematikai statisztika Gazdaságinformatikus MSc 2. előadás 2018. szeptember 10. 1/58 u- t- 2/58 eloszlás eloszlás m várható értékkel, σ szórással N(m, σ) Sűrűségfüggvénye: f (x) = 1 e (x m)2 2σ

Részletesebben

STATISZTIKA ELŐADÁS ÁTTEKINTÉSE. Matematikai statisztika. Mi a modell? Binomiális eloszlás sűrűségfüggvény. Binomiális eloszlás

STATISZTIKA ELŐADÁS ÁTTEKINTÉSE. Matematikai statisztika. Mi a modell? Binomiális eloszlás sűrűségfüggvény. Binomiális eloszlás ELŐADÁS ÁTTEKINTÉSE STATISZTIKA 9. Előadás Binomiális eloszlás Egyenletes eloszlás Háromszög eloszlás Normális eloszlás Standard normális eloszlás Normális eloszlás mint modell 2/62 Matematikai statisztika

Részletesebben

Statisztika I. 9. előadás. Előadó: Dr. Ertsey Imre

Statisztika I. 9. előadás. Előadó: Dr. Ertsey Imre Statisztika I. 9. előadás Előadó: Dr. Ertsey Imre Statisztikai hipotézis vizsgálatok elsősorban a biometriában alkalmazzák, újabban reprezentatív jellegű ökonómiai vizsgálatoknál, üzemi szinten élelmiszeripari

Részletesebben

y ij = µ + α i + e ij

y ij = µ + α i + e ij Elmélet STATISZTIKA 3. Előadás Variancia-analízis Lineáris modellek A magyarázat a függő változó teljes heterogenitásának két részre bontását jelenti. A teljes heterogenitás egyik része az, amelynek okai

Részletesebben

Statisztika Elıadások letölthetık a címrıl

Statisztika Elıadások letölthetık a címrıl Statisztika Elıadások letölthetık a http://www.cs.elte.hu/~arato/stat*.pdf címrıl Konfidencia intervallum Def.: 1-α megbízhatóságú konfidencia intervallum: Olyan intervallum, mely legalább 1-α valószínőséggel

Részletesebben

Anyagvizsgálati módszerek Mérési adatok feldolgozása. Anyagvizsgálati módszerek

Anyagvizsgálati módszerek Mérési adatok feldolgozása. Anyagvizsgálati módszerek Anyagvizsgálati módszerek Mérési adatok feldolgozása Anyagvizsgálati módszerek Pannon Egyetem Mérnöki Kar Anyagvizsgálati módszerek Statisztika 1/ 22 Mérési eredmények felhasználása Tulajdonságok hierarchikus

Részletesebben

Biostatisztika Összefoglalás

Biostatisztika Összefoglalás Biostatisztika Összefoglalás A biostatisztika vizsga A biostatisztika vizsga az Orvosi fizika és statisztika I. fizika vizsgájával egy napon történik. A vizsga keretében 30 perc alatt 0 kérdésre kell válaszolni

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 3 III. VÉLETLEN VEKTOROK 1. A KÉTDIMENZIÓs VÉLETLEN VEKTOR Definíció: Az leképezést (kétdimenziós) véletlen vektornak nevezzük, ha Definíció:

Részletesebben

Biomatematika 2 Orvosi biometria

Biomatematika 2 Orvosi biometria Biomatematika 2 Orvosi biometria 2017.02.13. Populáció és minta jellemző adatai Hibaszámítás Valószínűség 1 Esemény Egy kísérlet vagy megfigyelés (vagy mérés) lehetséges eredményeinek összessége (halmaza)

Részletesebben

Statisztikai alapismeretek (folytatás) 4. elıadás (7-8. lecke) Becslések, Hipotézis vizsgálat

Statisztikai alapismeretek (folytatás) 4. elıadás (7-8. lecke) Becslések, Hipotézis vizsgálat Statisztikai alapismeretek (folytatás) 4. elıadás (7-8. lecke) Becslések, Hipotézis vizsgálat 7. lecke Paraméter becslés Konfidencia intervallum Hipotézis vizsgálat feladata Paraméter becslés és konfidencia

Részletesebben

Módszertani Intézeti Tanszéki Osztály. A megoldás részletes mellékszámítások hiányában nem értékelhető!

Módszertani Intézeti Tanszéki Osztály. A megoldás részletes mellékszámítások hiányában nem értékelhető! BGF KKK Módszertani Intézeti Tanszéki Osztály Budapest, 2012.. Név:... Neptun kód:... Érdemjegy:..... STATISZTIKA II. VIZSGADOLGOZAT Feladatok 1. 2. 3. 4. 5. 6. Összesen Szerezhető pontszám 21 20 7 22

Részletesebben

Biomatematika 15. Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar. Fodor János

Biomatematika 15. Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar. Fodor János Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar Biomatematikai és Számítástechnikai Tanszék Biomatematika 15. Nemparaméteres próbák Fodor János Copyright c Fodor.Janos@aotk.szie.hu Last Revision Date: November

Részletesebben

[Biomatematika 2] Orvosi biometria

[Biomatematika 2] Orvosi biometria [Biomatematika 2] Orvosi biometria 2016.02.15. Esemény Egy kísérlet vagy megfigyelés (vagy mérés) lehetséges eredményeinek összessége (halmaza) alkotja az eseményteret. Esemény: az eseménytér részhalmazai.

Részletesebben

Kísérlettervezés alapfogalmak

Kísérlettervezés alapfogalmak Kísérlettervezés alapfogalmak Rendszermodellezés Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Méréstechnika és Információs Rendszerek Tanszék Kísérlettervezés Cél: a modell paraméterezése a valóság alapján

Részletesebben

Matematika A3 Valószínűségszámítás, 6. gyakorlat 2013/14. tavaszi félév

Matematika A3 Valószínűségszámítás, 6. gyakorlat 2013/14. tavaszi félév Matematika A3 Valószínűségszámítás, 6. gyakorlat 2013/14. tavaszi félév 1. A várható érték és a szórás transzformációja 1. Ha egy valószínűségi változóhoz hozzáadunk ötöt, mínusz ötöt, egy b konstanst,

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 4 IV. MINTA, ALAPsTATIsZTIKÁK 1. MATEMATIKAI statisztika A matematikai statisztika alapfeladatát nagy általánosságban a következőképpen

Részletesebben

A valószínűségszámítás elemei

A valószínűségszámítás elemei A valószínűségszámítás elemei Kísérletsorozatban az esemény relatív gyakorisága: k/n, ahol k az esemény bekövetkezésének abszolút gyakorisága, n a kísérletek száma. Pl. Jelenség: kockadobás Megfigyelés:

Részletesebben

Általánosan, bármilyen mérés annyit jelent, mint meghatározni, hányszor van meg

Általánosan, bármilyen mérés annyit jelent, mint meghatározni, hányszor van meg LMeasurement.tex, March, 00 Mérés Általánosan, bármilyen mérés annyit jelent, mint meghatározni, hányszor van meg a mérendő mennyiségben egy másik, a mérendővel egynemű, önkényesen egységnek választott

Részletesebben

Elméleti összefoglaló a Valószín ségszámítás kurzushoz

Elméleti összefoglaló a Valószín ségszámítás kurzushoz Elméleti összefoglaló a Valószín ségszámítás kurzushoz Véletlen kísérletek, események valószín sége Deníció. Egy véletlen kísérlet lehetséges eredményeit kimeneteleknek nevezzük. A kísérlet kimeneteleinek

Részletesebben

földtudományi BSc (geológus szakirány) Matematikai statisztika elıadás, 2014/ félév 6. elıadás

földtudományi BSc (geológus szakirány) Matematikai statisztika elıadás, 2014/ félév 6. elıadás Matematikai statisztika elıadás, földtudományi BSc (geológus szakirány) 2014/2015 2. félév 6. elıadás Konfidencia intervallum Def.: 1-α megbízhatóságú konfidencia intervallum: Olyan intervallum, mely legalább

Részletesebben

[Biomatematika 2] Orvosi biometria

[Biomatematika 2] Orvosi biometria [Biomatematika 2] Orvosi biometria Bódis Emőke 2016. 04. 25. J J 9 Korrelációanalízis Regresszióanalízis: hogyan változik egy vizsgált változó értéke egy másik változó változásának függvényében. Korrelációs

Részletesebben

Regressziós vizsgálatok

Regressziós vizsgálatok Regressziós vizsgálatok Regresszió (regression) Általános jelentése: visszaesés, hanyatlás, visszafelé mozgás, visszavezetés. Orvosi területen: visszafejlődés, involúció. A betegség tünetei, vagy maga

Részletesebben

y ij = µ + α i + e ij STATISZTIKA Sir Ronald Aylmer Fisher Példa Elmélet A variancia-analízis alkalmazásának feltételei Lineáris modell

y ij = µ + α i + e ij STATISZTIKA Sir Ronald Aylmer Fisher Példa Elmélet A variancia-analízis alkalmazásának feltételei Lineáris modell Példa STATISZTIKA Egy gazdálkodó k kukorica hibrid termesztése között választhat. Jelöljük a fajtákat A, B, C, D-vel. Döntsük el, hogy a hibridek termesztése esetén azonos terméseredményre számíthatunk-e.

Részletesebben

Mérési adatok illesztése, korreláció, regresszió

Mérési adatok illesztése, korreláció, regresszió Mérési adatok illesztése, korreláció, regresszió Korreláció, regresszió Két változó mennyiség közötti kapcsolatot vizsgálunk. Kérdés: van-e kapcsolat két, ugyanabban az egyénben, állatban, kísérleti mintában,

Részletesebben

Két diszkrét változó függetlenségének vizsgálata, illeszkedésvizsgálat

Két diszkrét változó függetlenségének vizsgálata, illeszkedésvizsgálat Két diszkrét változó függetlenségének vizsgálata, illeszkedésvizsgálat Szűcs Mónika SZTE ÁOK-TTIK Orvosi Fizikai és Orvosi Informatikai Intézet Orvosi fizika és statisztika I. előadás 2016.11.09 Orvosi

Részletesebben

Eloszlás-független módszerek 13. elıadás ( lecke)

Eloszlás-független módszerek 13. elıadás ( lecke) Eloszlás-független módszerek 13. elıadás (25-26. lecke) Rangszámokon alapuló korrelációs együttható A t-próbák és a VA eloszlásmentes megfelelıi 25. lecke A Spearman-féle rangkorrelációs együttható A Kendall-féle

Részletesebben

egyetemi jegyzet Meskó Balázs

egyetemi jegyzet Meskó Balázs egyetemi jegyzet 2011 Előszó 2. oldal Tartalomjegyzék 1. Bevezetés 4 1.1. A matematikai statisztika céljai.............................. 4 1.2. Alapfogalmak......................................... 4 2.

Részletesebben

Biomatematika 13. Varianciaanaĺızis (ANOVA)

Biomatematika 13. Varianciaanaĺızis (ANOVA) Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar Biomatematikai és Számítástechnikai Tanszék Biomatematika 13. Varianciaanaĺızis (ANOVA) Fodor János Copyright c Fodor.Janos@aotk.szie.hu Last Revision Date:

Részletesebben

III. Kvantitatív változók kapcsolata (korreláció, regresszió)

III. Kvantitatív változók kapcsolata (korreláció, regresszió) III. Kvantitatív változók kapcsolata (korreláció, regresszió) Tartalom Változók kapcsolata Kétdimenziós minta (pontdiagram) Regressziós előrejelzés (predikció) Korreláció Tanuló Kétdimenziós minta Tanulással

Részletesebben

Kettőnél több csoport vizsgálata. Makara B. Gábor MTA Kísérleti Orvostudományi Kutatóintézet

Kettőnél több csoport vizsgálata. Makara B. Gábor MTA Kísérleti Orvostudományi Kutatóintézet Kettőnél több csoport vizsgálata Makara B. Gábor MTA Kísérleti Orvostudományi Kutatóintézet Gyógytápszerek (kilokalória/adag) Három gyógytápszer A B C 30 5 00 10 05 08 40 45 03 50 35 190 Kérdések: 1. Van-e

Részletesebben

Virág Katalin. Szegedi Tudományegyetem, Bolyai Intézet

Virág Katalin. Szegedi Tudományegyetem, Bolyai Intézet Függetleségvizsgálat Virág Katali Szegedi Tudomáyegyetem, Bolyai Itézet Függetleség Függetleség Két változó függetle, ha az egyik változó megfigyelése a másik változóra ézve em szolgáltat iformációt; azaz

Részletesebben

STATISZTIKA. András hármas. Éva ötös. Nóri négyes. 5 4,5 4 3,5 3 2,5 2 1,5 ANNA BÉLA CILI 0,5 MAGY. MAT. TÖRT. KÉM.

STATISZTIKA. András hármas. Éva ötös. Nóri négyes. 5 4,5 4 3,5 3 2,5 2 1,5 ANNA BÉLA CILI 0,5 MAGY. MAT. TÖRT. KÉM. STATISZTIKA 5 4,5 4 3,5 3 2,5 2 1,5 1 0,5 0 MAGY. MAT. TÖRT. KÉM. ANNA BÉLA CILI András hármas. Béla Az átlag 3,5! kettes. Éva ötös. Nóri négyes. 1 mérés: dolgokhoz valamely szabály alapján szám rendelése

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 9 IX. ROBUsZTUs statisztika 1. ROBUsZTUssÁG Az eddig kidolgozott módszerek főleg olyanok voltak, amelyek valamilyen értelemben optimálisak,

Részletesebben

Valószínűségi változók. Várható érték és szórás

Valószínűségi változók. Várható érték és szórás Matematikai statisztika gyakorlat Valószínűségi változók. Várható érték és szórás Valószínűségi változók 2016. március 7-11. 1 / 13 Valószínűségi változók Legyen a (Ω, A, P) valószínűségi mező. Egy X :

Részletesebben

VIZSGADOLGOZAT. I. PÉLDÁK (60 pont)

VIZSGADOLGOZAT. I. PÉLDÁK (60 pont) VIZSGADOLGOZAT (100 pont) A megoldások csak szöveges válaszokkal teljes értékűek! I. PÉLDÁK (60 pont) 1. példa (13 pont) Az egyik budapesti könyvtárban az olvasókból vett 400 elemű minta alapján a következőket

Részletesebben

Készítette: Fegyverneki Sándor

Készítette: Fegyverneki Sándor VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS Összefoglaló segédlet Készítette: Fegyverneki Sándor Miskolci Egyetem, 2001. i JELÖLÉSEK: N a természetes számok halmaza (pozitív egészek) R a valós számok halmaza R 2 {(x, y) x, y

Részletesebben

A bergengóc lakosság szemszín szerinti megoszlása a négy tartományban azonos:

A bergengóc lakosság szemszín szerinti megoszlása a négy tartományban azonos: A. Matematikai Statisztika 2.MINTA ZH. 2003 december Név (olvasható) :... A feladatmegoldásnak az alkalmazott matematikai modell valószínűségszámítási ill. statisztikai szóhasználat szerinti megfogalmazását,

Részletesebben

A Statisztika alapjai

A Statisztika alapjai A Statisztika alapjai BME A3c Magyar Róbert 2016.05.12. Mi az a Statisztika? A statisztika a valóság számszerű információinak megfigyelésére, összegzésére, elemzésére és modellezésére irányuló gyakorlati

Részletesebben

Valószínűségszámítás összefoglaló

Valószínűségszámítás összefoglaló Statisztikai módszerek BMEGEVGAT Készítette: Halász Gábor Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Gépészmérnöki Kar Hidrodinamikai Rendszerek Tanszék, Budapest, Műegyetem rkp. 3. D ép. 334. Tel:

Részletesebben

Normális eloszlás paramétereire vonatkozó próbák

Normális eloszlás paramétereire vonatkozó próbák Normális eloszlás paramétereire vonatkozó próbák Az alábbi próbák akkor használhatók, ha a meggyelések függetlenek, és feltételezhetjük, hogy normális eloszlásúak a meggyelések függetlenek, véges szórású

Részletesebben

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Középértékek és szóródási mutatók

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Középértékek és szóródási mutatók Matematikai alapok és valószínőségszámítás Középértékek és szóródási mutatók Középértékek A leíró statisztikák talán leggyakrabban használt csoportját a középértékek jelentik. Legkönnyebben mint az adathalmaz

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 10 X. SZIMULÁCIÓ 1. VÉLETLEN számok A véletlen számok fontos szerepet játszanak a véletlen helyzetek generálásában (pénzérme, dobókocka,

Részletesebben

Megoldások. ξ jelölje az első meghibásodásig eltelt időt. Akkor ξ N(6, 4; 2, 3) normális eloszlású P (ξ

Megoldások. ξ jelölje az első meghibásodásig eltelt időt. Akkor ξ N(6, 4; 2, 3) normális eloszlású P (ξ Megoldások Harmadik fejezet gyakorlatai 3.. gyakorlat megoldása ξ jelölje az első meghibásodásig eltelt időt. Akkor ξ N(6, 4;, 3 normális eloszlású P (ξ 8 ξ 5 feltételes valószínűségét (.3. alapján számoljuk.

Részletesebben

Statisztika I. 11. előadás. Előadó: Dr. Ertsey Imre

Statisztika I. 11. előadás. Előadó: Dr. Ertsey Imre Statisztika I. 11. előadás Előadó: Dr. Ertsey Imre Összefüggés vizsgálatok A társadalmi gazdasági élet jelenségei kölcsönhatásban állnak, összefüggnek egymással. Statisztika alapvető feladata: - tényszerűségek

Részletesebben

2. A ξ valószín ségi változó eloszlásfüggvénye a következ : x 4 81 F (x) = x 4 ha 3 < x 0 különben

2. A ξ valószín ségi változó eloszlásfüggvénye a következ : x 4 81 F (x) = x 4 ha 3 < x 0 különben 1 feladatsor 1 Egy dobozban 20 fehér golyó van Egy szabályos dobókockával dobunk, majd a következ t tesszük: ha a dobott szám 1,2 vagy 3, akkor tíz golyót cserélünk ki pirosra; ha a dobott szám 4 vagy

Részletesebben

Leíró és matematikai statisztika el adásnapló Matematika alapszak, matematikai elemz szakirány 2016/2017. tavaszi félév

Leíró és matematikai statisztika el adásnapló Matematika alapszak, matematikai elemz szakirány 2016/2017. tavaszi félév Leíró és matematikai statisztika el adásnapló Matematika alapszak, matematikai elemz szakirány 2016/2017. tavaszi félév A pirossal írt anyagrészeket nem fogom közvetlenül számon kérni a vizsgán, azok háttérismeretként,

Részletesebben

Matematikai geodéziai számítások 6.

Matematikai geodéziai számítások 6. Matematikai geodéziai számítások 6. Lineáris regresszió számítás elektronikus távmérőkre Dr. Bácsatyai, László Matematikai geodéziai számítások 6.: Lineáris regresszió számítás elektronikus távmérőkre

Részletesebben

Statisztikai módszerek 7. gyakorlat

Statisztikai módszerek 7. gyakorlat Statisztikai módszerek 7. gyakorlat A tanult nem paraméteres próbák: PRÓBA NEVE Illeszkedés-vizsgálat Χ 2 próbával Homogenitás-vizsgálat Χ 2 próbával Normalitás-vizsgálataΧ 2 próbával MIRE SZOLGÁL? A val.-i

Részletesebben