Hipotéziselmélet - paraméteres próbák. eloszlások. Matematikai statisztika Gazdaságinformatikus MSc szeptember 10. 1/58

Save this PDF as:

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Hipotéziselmélet - paraméteres próbák. eloszlások. Matematikai statisztika Gazdaságinformatikus MSc szeptember 10. 1/58"

Átírás

1 u- t- Matematikai statisztika Gazdaságinformatikus MSc 2. előadás szeptember 10. 1/58

2 u- t- 2/58

3 eloszlás eloszlás m várható értékkel, σ szórással N(m, σ) Sűrűségfüggvénye: f (x) = 1 e (x m)2 2σ 2 2πσ u- t- 3/58

4 χ 2 -eloszlás u- t- X 1,..., X n standard normális (N(0, 1)), teljesen független valváltozók. Ekkor n i=1 X 2 i n szabadságfokú χ 2 n eloszlást követ. χ 2 n sűrűségfüggvénye: f (x) = 1 2 n 2 Γ( n 2 )e x 2 x n 2 1, x > 0, ahol Γ(s) = 0 e t t s 1 dt az ún. gamma-függvény. 4/58

5 χ 2 -eloszlás - eloszlás- és sűrűségfgv. u- t- 5/58

6 χ 2 -eloszlás u- t- Ha V = (V 1, V 2,..., V r ) T egy n, p 1, p 2,..., p r paraméterű polinomiális eloszlású valószínűségi vektorváltozó, akkor r i=1 V i np i np i e χ 2 r 1 (n ) Ezen alapulnak a χ 2 - (köv. előadás). 6/58

7 Student-(vagy t-)eloszlás u- t- X 1,..., X n és Y standard normális, teljesen független valváltozók. Ekkor Y n X 2 i=1 i n n szabadságfokú Student vagy t n -eloszlást követ. (ún. Lukács tétel következménye.) Sűrűségfüggvénye: f (x) = n+1 Γ( 2 ) Ç å n n Γ( 1 2 )Γ( n 2 ), x R 1 + x 2 n 7/58

8 Student eloszlás u- t- 8/58

9 Eloszlások - F-eloszlás u- t- Ha X χ 2 n-eloszlású és Y tőle független χ 2 k-eloszlás, akkor Z = X n Y k n, k paraméterű F n,k -(Fisher)-eloszlás. Sűrűségfüggvénye: f (x) = Γ( n+k 2 ) Γ(n)Γ(k) x k 2 1 (k + nx) k+n 2, x > 0 9/58

10 F-eloszlás u- t- 10/58

11 Intervallumbecslés u- t- Legyen X 1,..., X n statisztikai minta az ismeretlen várható értékű (m) és ismeretlen szórású (σ) normális eloszlás várható értékére. X n m n tn 1 sn Legyen t krit a ε szignifikanciaszinthez tartozó kritikus érték, azaz P( t n 1 t krit ) = 1 ε. Tehát P( t krit X n m n tkrit sn ) = P(X n t kritsn n m X n + t kritsn ) n T 1 = X n t krits n n, T 2 = X n + t krits n n 11/58

12 u- t- 12/58

13 Bevezető példa u- t- Feladat. Egy autógyár azt álĺıtja, hogy egyik modelljének a fogyasztása városban 5, 4 l 100 kilométerként, 0, 2 l szórással. Ám fölmerült a gyanú, hogy ez nincs így és ezért a vásárlók panaszt tettek. Az egyik vásárló a bírósághoz fordult az ügy tisztázásának érdekében, és azzal vádolja az autógyárat, hogy hamis adatokat tüntettek fel a modellek leírásban. A bíróság elrendeli, hogy egy független szakértői csoport mérje meg a kocsik fogyasztását egy 150 elemű statisztikai mintán. Tudjuk, hogy a fogyasztási adatok az átlag körül fognak normális eloszlással elhelyezkedni. (Nagy mintánál ez nagyjából igaz, még ha az eloszlás nem normális, akkor is.) 13/58

14 Bevezető példa u- t- Fogyasztó: Ha a mérési eredmények átlagai olyan (5,4 l-re szimmetrikus) tartományba esnek, ahova az 5,4 l várható értékű, 0,2 l szórással rendelkező modellek fogyasztása esik 0,9 valószínűséggel, akkor elfogadom, hogy helyesek az autógyár adatai. (Így 0,1 valószínűséggel történhet meg, hogy igazak az adatok, mégis eĺıtélik az autógyárat.) Autógyár: Szerintem ez túl magas (a 0,1), válasszunk úgy tartományt, hogy az igazságtalan eĺıtélés valószínűségét csökkentsük le 0,01-re! 14/58

15 Bevezető példa u- t- Fogyasztó: De ebben az esetben megnő annak a valószínűsége, hogy rossz fogyasztási adatok esetén is felmentik az autógyárat! Bíróság: Legyen 0,05! Mi lett a vége?? FONTOS. Itt nem arról van szó, hogy a begyűjtött minták alapján akarjuk a paramétert becsülni, hanem tesztelni akarunk egy hipotézist. 15/58

16 Általános bevezető - matematikai modell u- t- Vannak eloszlásaink, amiket θ konkretizál: {F (x, θ) : θ Θ}. Θ = Θ 0 Θ 1 (Θ 0 Θ 1 = ) H 0 : θ Θ 0 nullhipotézis H 1 : θ Θ 0 Döntési eljárást dolgozunk ki annak eldöntésére, hogy a nullhipotézis igaz-e. Ha úgy kell döntenünk, hogy a nullhipotézis nem igaz, automatikusan az alternatív hipotézist fogjuk elfogadni. A döntésünkhöz szignifikancia szintet fogunk rendelni, amivel jellemezzük, hogy a nullhipotézisünk melletti döntés milyen erős. 16/58

17 Általános bevezető - megoldás leírása u- t- X 1,..., X n statisztikai minta Legyen T n (X 1,..., X n ) próbastatisztika, hogy minden ε > 0-hoz megadhatóak K 1 (ε) és K 2 (ε) számok, hogy minden θ Θ 0 esetén P(K 1 (ε) < T n < K 2 (ε)) > 1 ε. 17/58

18 Általános bevezető u- t- Legyen x a mintarealizáció. Elfogadási tartomány. (ε szignifikanciaszinten): X elf = {x R n : K 1 (ε) < T n (x) < K 2 (ε)} Kritikus tartomány. X krit = R n \ X elf DÖNTÉS. Ha x X elf, akkor elfogadjuk H 0 -t az ε szignifikanciaszinten. 18/58

19 Általános bevezető - konkrét lépések u- t- 0. Van egy feladat, amihez tartozik egy próbastatisztika. 1. Megválasztom a szignifikanciaszintet. 2. Táblázatból kikeresem a szignifikanciaszinthez tartozó kritikus értékeket. 3. Kiszámolom a próbastatisztikát a mintára. 4. Összehasonĺıtom a próbastatisztika értékét a kritikus értékével és döntök. 19/58

20 Általános bevezető - elkövethető hibák H 0 -t elfogadjuk H 0 -t elvetjük u- t- H 0 igaz Helyes döntés Elsőfajú hiba H 0 nem igaz Másodfajú hiba Helyes döntés Elsőfajű hiba valószínűsége: p 1 (n, ε, θ) ez mi álĺıtjuk be. Másodfajú hiba valószínűsége: p 2 (n, ε, θ) ez nehezebben meghatározható. 20/58

21 Általános bevezető u- t- 21/58

22 Általános bevezető u- t- 22/58

23 Általános bevezető u- t- 23/58

24 Általános bevezető u- t- az elsőfajú hibát 5-10%-ra választjuk az a jó, ha a másodfajú hiba valószínűsége max. 20% (kísérlettervező felelőssége) 24/58

25 u- t-. A ban közös lesz, hogy az elemzett minta eloszlása normális eloszlást követ. A hipotézisek, amiket vizsgálunk a normális eloszlás paramétereivel kapcsolatosak. eloszlás várható értékéről: egy/kétmintás u-próba egy/két/párosmintás t-próba Welch-próba eloszlás szórásáról: F-próba 25/58

26 Egymintás u-próba - kétoldali ellenhipotézis u- t- Probléma: X 1,..., X n normális eloszlású mintának ismerjük a szórását (σ 0 ). H 0 : m X = m 0. H 1 : m X m 0 Próbastatisztika. u = X n m 0 n σ 0 26/58

27 Egymintás u-próba - kétoldali ellenhipotézis esetén u- t- Ha H 0 igaz, akkor X n m 0 σ 0 n N(0, 1). Legyen u krit olyan, hogy P( N(0, 1) < u krit ) = 1 ε. P( N(0, 1) < u krit ) = P( u krit < N(0, 1) < u krit ) = Φ(u krit ) Φ( u krit ) = 2Φ(u krit ) 1 = 1 ε. Tehát Φ(u krit ) = 1 ε 2. DÖNTÉS: Ha u proba u krit elfogadjuk H 0 -t ε szignifikanciaszinten. 27/58

28 Egymintás u-próba - Kritikus értékek u- t- 0,1 szignifikanciaszint: Φ(1,28) = 0,9; Φ(1,64) = 0,95 0,05 szignifikanciaszint: Φ(1,64) = 0,95; Φ(1,96) = 0,975 28/58

29 Egymintás u-próba - első- és másodfajú hiba p 1 (ε, n) = P m0 ( u(x) u krit ) = 1 P m0 ( u krit u(x) u krit ) = 1 (Φ(u krit ) Φ( u krit )) = 2 Φ(u krit ) = ε. u- t- p 2 (ε, n, m) = P m ( u krit u(x) u krit ) = P m ( u krit Xn m0 σ 0 n ukrit ) = P m ( u krit m m0 σ 0 n X n m σ 0 n ukrit m m0 σ 0 n) = Φ( u krit m m0 σ 0 n) Φ(ukrit m m0 σ 0 n). Ugyanis most Xn m σ 0 N(0, 1) 29/58

30 Egymintás u-próba - Erőfüggvény, tulajdonságok u- t- Egy próba erőfüggvénye= 1 p 2 (ε, n, m) = 1 Φ( u krit m m 0 n) + Φ(ukrit m m 0 n). σ 0 σ 0 a próbastatisztika torzítatlan és konzisztens. 30/58

31 Egymintás u-próba - Egyoldali ellenpróba u- t- Probléma: X 1,..., X n normális eloszlású mintának ismerjük a szórását (σ 0 ). H 0 : m X m 0 (baloldali), m X m 0 (jobboldali) H 1 : m X < m 0 (baloldali ellenhip.), m X > m 0 (jobboldali ellenhipotézis) Próbastatisztika ugyanaz, de a Döntés: (baloldali) Ha u proba u ε, akkor elfogadjuk a H 0 -t ε szignifikanciaszinten. (jobboldali) Ha u proba u ε, akkor elfogadjuk a H 0 -t ε szignifikanciaszinten. 31/58

32 Egymintás u-próba - Megjegyzés u- t- A gyakorlatban akkor is alkalmazzák az u-próbát, amikor a minta nem normális eloszlású, de a mintaelemszám nagy. Az alkalmazás jogosságát a centrális határeloszlás-tétellel lehet indokolni. Ugyanis a próbastatisztika normális eloszlású lesz aszimptotikusan, mivel a CHT szerint a mintaátlag már közel normális eloszlású! 32/58

33 Feladat u- t- 33/58

34 Megoldás u- t- 34/58

35 Feladat u- t- Magyarországon egy teljes körű felmérés szerint az elsőéves egyetemisták hetente 7,5 órát töltenek bulizással. Az adatok szórása 7 óra. Egy egyetem rektora gyanakodik, hogy náluk a hallgatók nem buliznak ennyit, ezért 100 fős véletlen mintát vesz az egyetemének elsőévesei közül (kb elsős van). A mintavétel eredménye 6,6 órás átlag. Kimutatható-e szignifikáns eltérés a populációs átlagtól? (m = 7, 5, X 100 = 6, 6, σ = 7, n = 100) (u = 1, 29) 35/58

36 Kétmintás u-próba - Kétoldali u- t- Adottak egymástól független X 1,..., X n és Y 1,..., Y m statisztikai minták. A minták normális eloszlásúak és a szórásaik ismertek. H 0 : m X = m Y H 1 : m X m Y Próbastatisztika. X n Y m σ 2 X n + σ2 Y m 36/58

37 Kétmintás u-próba - Kétoldali, háttér u- t- H 0 esetén: X n m X σ X n N(0, 1) & Y m m Y σ Y n N(0, 1) X n Y m N(m X m Y, σ 2 X n + σ2 Y m ) X n Y m σ 2 X n + σ2 Y m N(0, 1) DÖNTÉS. H 0 -t elfogadjuk ε szignifikanciaszinten, ha X n Y n σ 2 X n + σ2 Y m < u ε 2. 37/58

38 Kétmintás u-próba - Egyoldali u- t- H 0 : m X m Y (baloldali), m X m Y (jobboldali) H 1 : m X < m Y (baloldali eh), m X > m Y (jobboldali eh) DÖNTÉS. Elfogadjuk H 0 -t ε szignifikanciaszinten, ha (baloldali) u ε < u proba esetén elfogadjuk H 0 -t (jobboldali) u proba < u ε esetén elfogadjuk H 0 -t 38/58

39 Feladat u- t- 39/58

40 Megoldás u- t- 40/58

41 Egymintás t-próba - Kétoldali u- t- Van egy normális eloszlású X 1,..., X n statisztikai mintám, de nem ismerem a szórást. H 0 : m X = m 0 H 1 : m X m 0 Próbastatisztika X n m 0 n sn 41/58

42 Egymintás t-próba - Kétoldali, háttér u- t- X n m 0 n tn 1 sn DÖNTÉS. Legyen t krit az n 1 szabadságfokú Student eloszláshoz tartozó kritikus érték. t proba t krit, akkor elfogadjuk H 0 -t, egyébként elvetjük. 42/58

43 Egymintás t-próba - Egyoldali u- t- Probléma: X 1,..., X n normális eloszlású mintának nem ismerjük a szórását. H 0 : m X m 0 (baloldali), m X m 0 (jobboldali) H 1 : m X < m 0 (baloldali ellenhip.), m X > m 0 (jobboldali ellenhipotézis) Próbastatisztika ugyanaz, de a Döntés: (baloldali) Ha t proba t ε, akkor elfogadjuk a H 0 -t ε szignifikanciaszinten. (jobboldali) Ha t proba t ε, akkor elfogadjuk a H 0 -t ε szignifikanciaszinten. 43/58

44 Feladat u- t- 44/58

45 Megoldás u- t- 45/58

46 Kétmintás t-próba u- t- Van két statisztikai mintám X 1,..., X n és Y 1,..., Y m, melyek várható értékei és szórásai ismeretlenek. (a szórások egyenlőeknek tekintendőek, ellenőrzés: F-próbával (később)) H 0 : m X = m Y H 1 : m X m Y Próbastatisztika. t = X n Y m» (n 1)(s X,n ) 2 + (m 1)(s Y,m )2 nm(n + m 2) n + m 46/58

47 Kétmintás t-próba u- t- H 0 esetén t = X n Y» m nm(n + m 2) t n+m 2 (n 1)(s X,n ) 2 + (m 1)(sY,m )2 n + m DÖNTÉS. Legyen t krit az n + m 2 szabadságfokú Student eloszláshoz tartozó kritikus érték. t proba < t krit, akkor elfogadjuk H 0 -t, egyébként elvetjük 47/58

48 Kétmintás t-próba - Egyoldali u- t- Van két statisztikai mintám X 1,..., X n és Y 1,..., Y m, melyek várható értékei és szórásai ismeretlenek (de σ X = σ Y ). H 0 : m X m Y (baloldali), m X m Y (jobboldali) H 1 : m X < m Y (baloldali eh), m X > m Y (jobboldali eh) Próbastatisztika. ugyanaz. DÖNTÉS. Legyen t krit az n + m 2 szabadságfokú Student eloszláshoz tartozó kritikus érték. (baloldali) Ha t proba t ε, akkor elfogadjuk a H 0 -t ε szignifikanciaszinten. (jobboldali) Ha t proba t ε, akkor elfogadjuk a H 0 -t ε szignifikanciaszinten. 48/58

49 Páros t-próba u- t- Legyenek (X 1, Y 1 ),..., (X n, Y n ) statisztikai minta X i N(m X, σ X ), Y i N(m Y, σ Y ). (a szórások egyenlőeknek tekintendőek, ellenőrzés: F-próbával (később)) H 0 : m X = m Y H 1 : m X m Y Próbastatisztika. X n Y n» (s X,n ) 2 + (s Y,n )2 n tn 1 49/58

50 Kétmintás, páros t-próba u- t- Mikor? Ha pl egy kezelés előtt és után a testsúly (azaz ugyanazon populáción paraméterek), akkor páros. 50/58

51 F-próba u- t- Legyenek X 1,..., X n N(m X, σ X ) eloszlású és Y 1,..., Y m N(m Y, σ Y ) független statisztikai minták, melyek várható értéke és szórása is ismeretlen. H 0 : σ X = σ Y H 1 : σ X σ Y Próbastatisztika. Ha s X,n > s Y,m (s X,n )2 (s Y,m )2 51/58

52 F-próba u- t- Ha H 0 igaz, akkor s X,n s Y,m F n 1,m 1 DÖNTÉS. Ha F krit az F n 1,m 1 eloszláshoz tartozó kritikus érték F proba < F krit, akkor elfogadjuk H 0 -t, egyébként elvetjük 52/58

53 Feladat u- t- 53/58

54 Megoldás u- t- 54/58

55 Megoldás u- t- 55/58

56 Welch-próba 1. u- t- Ha az F-próbát el kell vetnünk, nem alkalmazható a két független mintás t-próba a két minta várható értékei egyezésének ellenőrzésére. Erre az esetre dolgozta ki Welch a következő próbát. Feladat. Legyenek X 1,..., X n N(m X, σ X ) eloszlású és Y 1,..., Y m N(m Y, σ Y ) független statisztikai minták, melyek várható értéke és szórása is ismeretlen. H 0 : m X = m Y H 1 : m X m Y Próbastatisztika. W n,m = X n Y m s 2 X,n n + s2 Y,m m 56/58

57 Welch-próba 2. H 0 esetén W n,m Student eloszlású [f ] szabadsági fokkal, ahol u- t- 1 f = c2 m c2 n 1 és c = s 2 Y,m m s 2 X,n n + s2 Y,m m DÖNTÉS. Legyen t krit az [f ] szabadságfokú Student eloszláshoz tartozó kritikus érték. t proba < t krit, akkor elfogadjuk H 0 -t, egyébként elvetjük 57/58

58 u- t- Folyt. köv. 58/58

1. Adatok kiértékelése. 2. A feltételek megvizsgálása. 3. A hipotézis megfogalmazása

1. Adatok kiértékelése. 2. A feltételek megvizsgálása. 3. A hipotézis megfogalmazása HIPOTÉZIS VIZSGÁLAT A hipotézis feltételezés egy vagy több populációról. (pl. egy gyógyszer az esetek 90%-ában hatásos; egy kezelés jelentősen megnöveli a rákos betegek túlélését). A hipotézis vizsgálat

Részletesebben

GVMST22GNC Statisztika II. Keleti Károly Gazdasági Kar Vállalkozásmenedzsment Intézet

GVMST22GNC Statisztika II. Keleti Károly Gazdasági Kar Vállalkozásmenedzsment Intézet GVMST22GNC Statisztika II. 3. előadás: 8. Hipotézisvizsgálat Kóczy Á. László Keleti Károly Gazdasági Kar Vállalkozásmenedzsment Intézet Hipotézisvizsgálat v becslés Becslés Ismeretlen paraméter Közeĺıtő

Részletesebben

Hipotézis STATISZTIKA. Kétmintás hipotézisek. Munkahipotézis (H a ) Tematika. Tudományos hipotézis. 1. Előadás. Hipotézisvizsgálatok

Hipotézis STATISZTIKA. Kétmintás hipotézisek. Munkahipotézis (H a ) Tematika. Tudományos hipotézis. 1. Előadás. Hipotézisvizsgálatok STATISZTIKA 1. Előadás Hipotézisvizsgálatok Tematika 1. Hipotézis vizsgálatok 2. t-próbák 3. Variancia-analízis 4. A variancia-analízis validálása, erőfüggvény 5. Korreláció számítás 6. Kétváltozós lineáris

Részletesebben

egyetemi jegyzet Meskó Balázs

egyetemi jegyzet Meskó Balázs egyetemi jegyzet 2011 Előszó 2. oldal Tartalomjegyzék 1. Bevezetés 4 1.1. A matematikai statisztika céljai.............................. 4 1.2. Alapfogalmak......................................... 4 2.

Részletesebben

Statisztika Elıadások letölthetık a címrıl

Statisztika Elıadások letölthetık a címrıl Statisztika Elıadások letölthetık a http://www.cs.elte.hu/~arato/stat*.pdf címrıl Konfidencia intervallum Def.: 1-α megbízhatóságú konfidencia intervallum: Olyan intervallum, mely legalább 1-α valószínőséggel

Részletesebben

Hipotézis vizsgálatok

Hipotézis vizsgálatok Hipotézis vizsgálatok Hipotézisvizsgálat Hipotézis: az alapsokaság paramétereire vagy az alapsokaság eloszlására vonatkozó feltevés. Hipotézis ellenőrzés: az a statisztikai módszer, amelynek segítségével

Részletesebben

Intervallumbecsle s Mintave tel+ Hipote zisvizsga lat Egyminta s pro ba k Ke tminta s pro ba k Egye b vizsga latok O sszef.

Intervallumbecsle s Mintave tel+ Hipote zisvizsga lat Egyminta s pro ba k Ke tminta s pro ba k Egye b vizsga latok O sszef. Intervallumbecsle s Mintave tel+ Hipote zisvizsga lat Egyminta s pro ba k Ke tminta s pro ba k Egye b vizsga latok O sszef. Feladatok Gazdaságstatisztika 7. Statisztikai becslések (folyt.); 8. Hipotézisvizsgálat

Részletesebben

Hipotézis vizsgálatok

Hipotézis vizsgálatok Hipotézis vizsgálatok Hipotézisvizsgálat Hipotézis: az alapsokaság paramétereire vagy az alapsokaság eloszlására vonatkozó feltevés. Hipotézis ellenőrzés: az a statisztikai módszer, amelynek segítségével

Részletesebben

Kabos: Statisztika II. t-próba 9.1. Ha ismert a doboz szórása de nem ismerjük a

Kabos: Statisztika II. t-próba 9.1. Ha ismert a doboz szórása de nem ismerjük a Kabos: Statisztika II. t-próba 9.1 Egymintás z-próba Ha ismert a doboz szórása de nem ismerjük a doboz várhatóértékét, akkor a H 0 : a doboz várhatóértéke = egy rögzített érték hipotézisről úgy döntünk,

Részletesebben

Hipotézis, sejtés STATISZTIKA. Kétmintás hipotézisek. Tudományos hipotézis. Munkahipotézis (H a ) Nullhipotézis (H 0 ) 11. Előadás

Hipotézis, sejtés STATISZTIKA. Kétmintás hipotézisek. Tudományos hipotézis. Munkahipotézis (H a ) Nullhipotézis (H 0 ) 11. Előadás STATISZTIKA Hipotézis, sejtés 11. Előadás Hipotézisvizsgálatok, nem paraméteres próbák Tudományos hipotézis Nullhipotézis felállítása (H 0 ): Kétmintás hipotézisek Munkahipotézis (H a ) Nullhipotézis (H

Részletesebben

Normális eloszlás paramétereire vonatkozó próbák

Normális eloszlás paramétereire vonatkozó próbák Normális eloszlás paramétereire vonatkozó próbák Az alábbi próbák akkor használhatók, ha a meggyelések függetlenek, és feltételezhetjük, hogy normális eloszlásúak a meggyelések függetlenek, véges szórású

Részletesebben

biometria II. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert Matematikai-statisztikai adatfeldolgozás

biometria II. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert Matematikai-statisztikai adatfeldolgozás Kísérlettervezés - biometria II. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert Matematikai-statisztikai adatfeldolgozás A matematikai-statisztika feladata tapasztalati adatok feldolgozásával segítséget nyújtani

Részletesebben

STATISZTIKA. Egymintás u-próba. H 0 : Kefir zsírtartalma 3% Próbafüggvény, alfa=0,05. Egymintás u-próba vagy z-próba

STATISZTIKA. Egymintás u-próba. H 0 : Kefir zsírtartalma 3% Próbafüggvény, alfa=0,05. Egymintás u-próba vagy z-próba Egymintás u-próba STATISZTIKA 2. Előadás Középérték-összehasonlító tesztek Tesztelhetjük, hogy a valószínűségi változónk értéke megegyezik-e egy konkrét értékkel. Megválaszthatjuk a konfidencia intervallum

Részletesebben

Kiválasztás. A változó szerint. Rangok. Nem-paraméteres eljárások. Rang: Egy valamilyen szabály szerint felállított sorban elfoglalt hely.

Kiválasztás. A változó szerint. Rangok. Nem-paraméteres eljárások. Rang: Egy valamilyen szabály szerint felállított sorban elfoglalt hely. Kiválasztás A változó szerint Egymintás t-próba Mann-Whitney U-test paraméteres nem-paraméteres Varianciaanalízis De melyiket válasszam? Kétmintás t-próba Fontos, hogy mindig a kérdésnek és a változónak

Részletesebben

Dr. Karácsony Zsolt. Miskolci Egyetem november

Dr. Karácsony Zsolt. Miskolci Egyetem november Valószínűségszámítás és Matematikai statisztika Dr. Karácsony Zsolt Miskolci Egyetem, Alkalmazott Matematikai Tanszék 2013-2014 tanév 1. félév Miskolci Egyetem 2013. november 11-18 - 25. Dr. Karácsony

Részletesebben

[Biomatematika 2] Orvosi biometria

[Biomatematika 2] Orvosi biometria [Biomatematika 2] Orvosi biometria 2016.02.29. A statisztika típusai Leíró jellegű statisztika: összegzi egy adathalmaz jellemzőit. A középértéket jelemzi (medián, módus, átlag) Az adatok változékonyságát

Részletesebben

Statisztika I. 9. előadás. Előadó: Dr. Ertsey Imre

Statisztika I. 9. előadás. Előadó: Dr. Ertsey Imre Statisztika I. 9. előadás Előadó: Dr. Ertsey Imre Statisztikai hipotézis vizsgálatok elsősorban a biometriában alkalmazzák, újabban reprezentatív jellegű ökonómiai vizsgálatoknál, üzemi szinten élelmiszeripari

Részletesebben

BIOMETRIA (H 0 ) 5. Előad. zisvizsgálatok. Hipotézisvizsg. Nullhipotézis

BIOMETRIA (H 0 ) 5. Előad. zisvizsgálatok. Hipotézisvizsg. Nullhipotézis Hipotézis BIOMETRIA 5. Előad adás Hipotézisvizsg zisvizsgálatok Tudományos hipotézis Nullhipotézis feláll llítása (H ): Kétmintás s hipotézisek Munkahipotézis (H a ) Nullhipotézis (H ) > = 1 Statisztikai

Részletesebben

földtudományi BSc (geológus szakirány) Matematikai statisztika elıadás, 2014/ félév 6. elıadás

földtudományi BSc (geológus szakirány) Matematikai statisztika elıadás, 2014/ félév 6. elıadás Matematikai statisztika elıadás, földtudományi BSc (geológus szakirány) 2014/2015 2. félév 6. elıadás Konfidencia intervallum Def.: 1-α megbízhatóságú konfidencia intervallum: Olyan intervallum, mely legalább

Részletesebben

K oz ep ert ek es variancia azonoss ag anak pr ob ai: t-pr oba, F -pr oba m arcius 21.

K oz ep ert ek es variancia azonoss ag anak pr ob ai: t-pr oba, F -pr oba m arcius 21. Középérték és variancia azonosságának próbái: t-próba, F -próba 2012. március 21. Hipotézis álĺıtása Feltételezés: a minta egy adott szempont alapján más populációhoz tartozik, mint b minta. Nullhipotézis

Részletesebben

Biomatematika 15. Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar. Fodor János

Biomatematika 15. Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar. Fodor János Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar Biomatematikai és Számítástechnikai Tanszék Biomatematika 15. Nemparaméteres próbák Fodor János Copyright c Fodor.Janos@aotk.szie.hu Last Revision Date: November

Részletesebben

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Statisztikai becslés Statisztikák eloszlása

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Statisztikai becslés Statisztikák eloszlása Matematikai alapok és valószínőségszámítás Statisztikai becslés Statisztikák eloszlása Mintavétel A statisztikában a cél, hogy az érdeklõdés tárgyát képezõ populáció bizonyos paramétereit a populációból

Részletesebben

A konfidencia intervallum képlete: x± t( α /2, df )

A konfidencia intervallum képlete: x± t( α /2, df ) 1. feladat. Egy erdőben az egy fészekben levő tojásszámokat vizsgáltuk egy madárfajnál. A következő tojásszámokat találtuk: 1, 1, 1,,,,,,, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 5, 6, 7. Mi a mintának a minimuma, maximuma,

Részletesebben

Statisztika - bevezetés Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc 1

Statisztika - bevezetés Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc 1 Statisztika - bevezetés 00.04.05. Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc Bevezetés Véletlen jelenség fogalma jelenséget okok bizonyos rendszere hozza létre ha mindegyik figyelembe vehető egyértelmű leírás általában

Részletesebben

Matematika III. 9. Statisztikai hipotézisek Prof. Dr. Závoti, József

Matematika III. 9. Statisztikai hipotézisek Prof. Dr. Závoti, József Matematika III. 9. Statisztikai hipotézisek Prof. Dr. Závoti, József Matematika III. 9. : Statisztikai hipotézisek Prof. Dr. Závoti, József Lektor : Bischof, Annamária Ez a modul a TÁMOP - 4.1.2-08/1/A-2009-0027

Részletesebben

Leíró és matematikai statisztika el adásnapló Matematika alapszak, matematikai elemz szakirány 2016/2017. tavaszi félév

Leíró és matematikai statisztika el adásnapló Matematika alapszak, matematikai elemz szakirány 2016/2017. tavaszi félév Leíró és matematikai statisztika el adásnapló Matematika alapszak, matematikai elemz szakirány 2016/2017. tavaszi félév A pirossal írt anyagrészeket nem fogom közvetlenül számon kérni a vizsgán, azok háttérismeretként,

Részletesebben

Kabos: Statisztika II. ROC elemzések 10.1. Szenzitivitás és specificitás a jelfeldolgozás. és ilyenkor riaszt. Máskor nem.

Kabos: Statisztika II. ROC elemzések 10.1. Szenzitivitás és specificitás a jelfeldolgozás. és ilyenkor riaszt. Máskor nem. Kabos: Statisztika II. ROC elemzések 10.1 ROC elemzések Szenzitivitás és specificitás a jelfeldolgozás szóhasználatával A riasztóberendezés érzékeli, ha támadás jön, és ilyenkor riaszt. Máskor nem. TruePositiveAlarm:

Részletesebben

Kiváltott agyi jelek informatikai feldolgozása Statisztika - Gyakorlat Kiss Gábor IB.157.

Kiváltott agyi jelek informatikai feldolgozása Statisztika - Gyakorlat Kiss Gábor IB.157. Kiváltott agyi jelek informatikai feldolgozása 2018 Statisztika - Gyakorlat Kiss Gábor IB.157. kiss.gabor@tmit.bme.hu Példa I (Vonat probléma) Aladár 25 éves és mindkét nagymamája él még: Borbála és Cecília.

Részletesebben

e (t µ) 2 f (t) = 1 F (t) = 1 Normális eloszlás negyedik centrális momentuma:

e (t µ) 2 f (t) = 1 F (t) = 1 Normális eloszlás negyedik centrális momentuma: Normális eloszlás ξ valószínűségi változó normális eloszlású. ξ N ( µ, σ 2) Paraméterei: µ: várható érték, σ 2 : szórásnégyzet (µ tetszőleges, σ 2 tetszőleges pozitív valós szám) Normális eloszlás sűrűségfüggvénye:

Részletesebben

Matematikai statisztikai elemzések 4.

Matematikai statisztikai elemzések 4. Matematikai statisztikai elemzések 4. Hipotézisvizsgálat: alapfogalmak, egymintás és kétmintás próbák. Prof. Dr. Závoti, József Matematikai statisztikai elemzések 4.: Hipotézisvizsgálat: alapfogalmak,

Részletesebben

Biometria az orvosi gyakorlatban. Korrelációszámítás, regresszió

Biometria az orvosi gyakorlatban. Korrelációszámítás, regresszió SZDT-08 p. 1/31 Biometria az orvosi gyakorlatban Korrelációszámítás, regresszió Werner Ágnes Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék e-mail: werner.agnes@virt.uni-pannon.hu Korrelációszámítás

Részletesebben

Illeszkedésvizsgálati módszerek összehasonlítása

Illeszkedésvizsgálati módszerek összehasonlítása Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Illeszkedésvizsgálati módszerek összehasonlítása Szakdolgozat Készítette: Tóth Alexandra Matematika BSc. Matematikai Elemző szakirány Témavezető: Zempléni

Részletesebben

x, x R, x rögzített esetén esemény. : ( ) x Valószínűségi Változó: Feltételes valószínűség: Teljes valószínűség Tétele: Bayes Tétel:

x, x R, x rögzített esetén esemény. : ( ) x Valószínűségi Változó: Feltételes valószínűség: Teljes valószínűség Tétele: Bayes Tétel: Feltételes valószínűség: Teljes valószínűség Tétele: Bayes Tétel: Valószínűségi változó általános fogalma: A : R leképezést valószínűségi változónak nevezzük, ha : ( ) x, x R, x rögzített esetén esemény.

Részletesebben

Matematikai statisztika c. tárgy oktatásának célja és tematikája

Matematikai statisztika c. tárgy oktatásának célja és tematikája Matematikai statisztika c. tárgy oktatásának célja és tematikája 2015 Tematika Matematikai statisztika 1. Időkeret: 12 héten keresztül heti 3x50 perc (előadás és szeminárium) 2. Szükséges előismeretek:

Részletesebben

Statisztika elméleti összefoglaló

Statisztika elméleti összefoglaló 1 Statisztika elméleti összefoglaló Tel.: 0/453-91-78 1. Tartalomjegyzék 1. Tartalomjegyzék.... Becsléselmélet... 3 3. Intervallumbecslések... 5 4. Hipotézisvizsgálat... 8 5. Regresszió-számítás... 11

Részletesebben

TARTALOMJEGYZÉK. 1. téma Átlagbecslés (Barna Katalin) téma Hipotézisvizsgálatok (Nagy Mónika Zita)... 23

TARTALOMJEGYZÉK. 1. téma Átlagbecslés (Barna Katalin) téma Hipotézisvizsgálatok (Nagy Mónika Zita)... 23 TARTALOMJEGYZÉK 1. téma Átlagbecslés (Barna Katalin).... 7 2. téma Hipotézisvizsgálatok (Nagy Mónika Zita)... 23 3. téma Összefüggések vizsgálata, korrelációanalízis (Dr. Molnár Tamás)... 73 4. téma Összefüggések

Részletesebben

Biostatisztika VIII. Mátyus László. 19 October

Biostatisztika VIII. Mátyus László. 19 October Biostatisztika VIII Mátyus László 19 October 2010 1 Ha σ nem ismert A gyakorlatban ritkán ismerjük σ-t. Ha kiszámítjuk s-t a minta alapján, akkor becsülhetjük σ-t. Ez további bizonytalanságot okoz a becslésben.

Részletesebben

Matematikai statisztikai elemzések 4.

Matematikai statisztikai elemzések 4. Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara Prof. Dr. Závoti József Matematikai statisztikai elemzések 4. MSTE4 modul Hipotézisvizsgálat: alapfogalmak, egymintás és kétmintás próbák. Illeszkedés-

Részletesebben

Egymintás próbák. Alapkérdés: populáció <paramétere/tulajdonsága> megegyezik-e egy referencia paraméter értékkel/tulajdonsággal?

Egymintás próbák. Alapkérdés: populáció <paramétere/tulajdonsága> megegyezik-e egy referencia paraméter értékkel/tulajdonsággal? Egymintás próbák σ s μ m Alapkérdés: A populáció egy adott megegyezik-e egy referencia paraméter értékkel/tulajdonsággal? egymintás t-próba Wilcoxon-féle előjeles

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 8 VIII. REGREssZIÓ 1. A REGREssZIÓs EGYENEs Két valószínűségi változó kapcsolatának leírására az eddigiek alapján vagy egy numerikus

Részletesebben

A biostatisztika alapfogalmai, hipotézisvizsgálatok. Dr. Boda Krisztina Boda PhD SZTE ÁOK Orvosi Informatikai Intézet

A biostatisztika alapfogalmai, hipotézisvizsgálatok. Dr. Boda Krisztina Boda PhD SZTE ÁOK Orvosi Informatikai Intézet A biostatisztika alapfogalmai, hipotézisvizsgálatok Dr. Boda Krisztina Boda PhD SZTE ÁOK Orvosi Informatikai Intézet Hipotézisvizsgálatok A hipotézisvizsgálat során a rendelkezésre álló adatok (statisztikai

Részletesebben

biometria III. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert Hipotézisvizsgálat

biometria III. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert Hipotézisvizsgálat Kísérlettervezés - biometria III. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert u-próba Feltétel: egy ormális eloszlású sokaság σ variaciájáak számszerű értéke ismert. Hipotézis: a sokaság µ várható értéke

Részletesebben

6. Előadás. Vereb György, DE OEC BSI, október 12.

6. Előadás. Vereb György, DE OEC BSI, október 12. 6. Előadás Visszatekintés: a normális eloszlás Becslés, mintavételezés Reprezentatív minta A statisztika, mint változó Paraméter és Statisztika Torzítatlan becslés A mintaközép eloszlása - centrális határeloszlás

Részletesebben

Normális eloszlás tesztje

Normális eloszlás tesztje Valószínűség, pontbecslés, konfidenciaintervallum Normális eloszlás tesztje Kolmogorov-Szmirnov vagy Wilk-Shapiro próba. R-funkció: shapiro.test(vektor) balra ferde eloszlás jobbra ferde eloszlás balra

Részletesebben

Statisztikai következtetések Nemlineáris regresszió Feladatok Vége

Statisztikai következtetések Nemlineáris regresszió Feladatok Vége [GVMGS11MNC] Gazdaságstatisztika 10. előadás: 9. Regressziószámítás II. Kóczy Á. László koczy.laszlo@kgk.uni-obuda.hu Keleti Károly Gazdasági Kar Vállalkozásmenedzsment Intézet A standard lineáris modell

Részletesebben

Biostatisztika Összefoglalás

Biostatisztika Összefoglalás Biostatisztika Összefoglalás A biostatisztika vizsga A biostatisztika vizsga az Orvosi fizika és statisztika I. fizika vizsgájával egy napon történik. A vizsga keretében 30 perc alatt 0 kérdésre kell válaszolni

Részletesebben

A biostatisztika alapfogalmai, hipotézisvizsgálatok. Dr. Boda Krisztina PhD SZTE ÁOK Orvosi Informatikai Intézet

A biostatisztika alapfogalmai, hipotézisvizsgálatok. Dr. Boda Krisztina PhD SZTE ÁOK Orvosi Informatikai Intézet A biostatisztika alapfogalmai, hipotézisvizsgálatok Dr. Boda Krisztina PhD SZTE ÁOK Orvosi Informatikai Intézet Hipotézis Állítás a populációról (vagy annak paraméteréről) Példák H1: p=0.5 (a pénzérme

Részletesebben

Baran Ágnes. Gyakorlat MATLAB. Baran Ágnes Gyakorlat 1 / 70

Baran Ágnes. Gyakorlat MATLAB. Baran Ágnes Gyakorlat 1 / 70 Valószínűségszámítás és matematikai statisztika Baran Ágnes Gyakorlat MATLAB Baran Ágnes Gyakorlat 1 / 7 Véletlenszám generátorok randi(n,n,m) n m pszeudorandom egész szám az [1, N]-en adott diszkrét egyenletes

Részletesebben

Két diszkrét változó függetlenségének vizsgálata, illeszkedésvizsgálat

Két diszkrét változó függetlenségének vizsgálata, illeszkedésvizsgálat Két diszkrét változó függetlenségének vizsgálata, illeszkedésvizsgálat Szűcs Mónika SZTE ÁOK-TTIK Orvosi Fizikai és Orvosi Informatikai Intézet Orvosi fizika és statisztika I. előadás 2016.11.09 Orvosi

Részletesebben

KÖVETKEZTETŐ STATISZTIKA

KÖVETKEZTETŐ STATISZTIKA ÁVF GM szak 2010 ősz KÖVETKEZTETŐ STATISZTIKA A MINTAVÉTEL BECSLÉS A sokasági átlag becslése 2010 ősz Utoljára módosítva: 2010-09-07 ÁVF Oktató: Lipécz György 1 A becslés alapfeladata Pl. Hányan láttak

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 4 IV. MINTA, ALAPsTATIsZTIKÁK 1. MATEMATIKAI statisztika A matematikai statisztika alapfeladatát nagy általánosságban a következőképpen

Részletesebben

Statisztikai alapismeretek (folytatás) 4. elıadás (7-8. lecke) Becslések, Hipotézis vizsgálat

Statisztikai alapismeretek (folytatás) 4. elıadás (7-8. lecke) Becslések, Hipotézis vizsgálat Statisztikai alapismeretek (folytatás) 4. elıadás (7-8. lecke) Becslések, Hipotézis vizsgálat 7. lecke Paraméter becslés Konfidencia intervallum Hipotézis vizsgálat feladata Paraméter becslés és konfidencia

Részletesebben

Többváltozós lineáris regressziós modell feltételeinek

Többváltozós lineáris regressziós modell feltételeinek Többváltozós lineáris regressziós modell feltételeinek tesztelése I. - A hibatagra vonatkozó feltételek tesztelése - Petrovics Petra Doktorandusz Többváltozós lineáris regressziós modell x 1, x 2,, x p

Részletesebben

Kísérlettervezés alapfogalmak

Kísérlettervezés alapfogalmak Kísérlettervezés alapfogalmak Rendszermodellezés Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Méréstechnika és Információs Rendszerek Tanszék Kísérlettervezés Cél: a modell paraméterezése a valóság alapján

Részletesebben

Megoldások. ξ jelölje az első meghibásodásig eltelt időt. Akkor ξ N(6, 4; 2, 3) normális eloszlású P (ξ

Megoldások. ξ jelölje az első meghibásodásig eltelt időt. Akkor ξ N(6, 4; 2, 3) normális eloszlású P (ξ Megoldások Harmadik fejezet gyakorlatai 3.. gyakorlat megoldása ξ jelölje az első meghibásodásig eltelt időt. Akkor ξ N(6, 4;, 3 normális eloszlású P (ξ 8 ξ 5 feltételes valószínűségét (.3. alapján számoljuk.

Részletesebben

Biostatisztika Összefoglalás

Biostatisztika Összefoglalás Biostatisztika Összefoglalás A biostatisztika vizsga A biostatisztika vizsga az Orvosi fizika és statisztika I. fizika vizsgájával egy napon történik. A vizsga keretében 30 perc alatt 0 kérdésre kell válaszolni

Részletesebben

Statisztikai becslés

Statisztikai becslés Kabos: Statisztika II. Becslés 1.1 Statisztikai becslés Freedman, D. - Pisani, R. - Purves, R.: Statisztika. Typotex, 2005. Reimann J. - Tóth J.: Valószínűségszámítás és matematikai statisztika. Tankönyvkiadó,

Részletesebben

Biomatematika 13. Varianciaanaĺızis (ANOVA)

Biomatematika 13. Varianciaanaĺızis (ANOVA) Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar Biomatematikai és Számítástechnikai Tanszék Biomatematika 13. Varianciaanaĺızis (ANOVA) Fodor János Copyright c Fodor.Janos@aotk.szie.hu Last Revision Date:

Részletesebben

Nagy számok törvényei Statisztikai mintavétel Várható érték becslése. Dr. Berta Miklós Fizika és Kémia Tanszék Széchenyi István Egyetem

Nagy számok törvényei Statisztikai mintavétel Várható érték becslése. Dr. Berta Miklós Fizika és Kémia Tanszék Széchenyi István Egyetem agy számok törvényei Statisztikai mintavétel Várható érték becslése Dr. Berta Miklós Fizika és Kémia Tanszék Széchenyi István Egyetem A mérés mint statisztikai mintavétel A méréssel az eloszlásfüggvénnyel

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 9 IX. ROBUsZTUs statisztika 1. ROBUsZTUssÁG Az eddig kidolgozott módszerek főleg olyanok voltak, amelyek valamilyen értelemben optimálisak,

Részletesebben

STATISZTIKA. A maradék független a kezelés és blokk hatástól. Maradékok leíró statisztikája. 4. A modell érvényességének ellenőrzése

STATISZTIKA. A maradék független a kezelés és blokk hatástól. Maradékok leíró statisztikája. 4. A modell érvényességének ellenőrzése 4. A modell érvényességének ellenőrzése STATISZTIKA 4. Előadás Variancia-analízis Lineáris modellek 1. Függetlenség 2. Normális eloszlás 3. Azonos varianciák A maradék független a kezelés és blokk hatástól

Részletesebben

Nemparaméteres próbák

Nemparaméteres próbák Nemparaméteres próbák Budapesti Mőszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Gépészmérnöki Kar Hidrodinamikai Rendszerek Tanszék 1111, Budapest, Mőegyetem rkp. 3. D ép. 334. Tel: 463-16-80 Fax: 463-30-91 http://www.vizgep.bme.hu

Részletesebben

Varianciaanalízis 4/24/12

Varianciaanalízis 4/24/12 1. Feladat Egy póker kártya keverő gép a kártyákat random módon választja ki. A vizsgálatban 1600 választott kártya színei az alábbi gyakorisággal fordultak elő. Vizsgáljuk meg, hogy a kártyák kiválasztása

Részletesebben

[Biomatematika 2] Orvosi biometria. Visegrády Balázs

[Biomatematika 2] Orvosi biometria. Visegrády Balázs [Biomatematika 2] Orvosi biometria Visegrády Balázs 2016. 03. 27. Probléma: Klinikai vizsgálatban három különböző antiaritmiás gyógyszert (ß-blokkoló) alkalmaznak, hogy kipróbálják hatásukat a szívműködés

Részletesebben

Valószín ségszámítás és statisztika Gyakorlat (Kétmintás próbák)

Valószín ségszámítás és statisztika Gyakorlat (Kétmintás próbák) Gyakorlat (Kétmintás próbák) 2018. december 4. Kétmintás u-próba 1 Adott két független minta 0.0012 szórású normális eloszlásból. Az egyik, 9 elem minta realizációjának átlaga 0.1672, a másik 16 elem é

Részletesebben

Az átlagra vonatkozó megbízhatósági intervallum (konfidencia intervallum)

Az átlagra vonatkozó megbízhatósági intervallum (konfidencia intervallum) Az átlagra voatkozó megbízhatósági itervallum (kofidecia itervallum) Határozzuk meg körül azt az itervallumot amibe előre meghatározott valószíűséggel esik a várható érték (µ). A várható értéket potosa

Részletesebben

Matematikai statisztika szorgalmi feladatok

Matematikai statisztika szorgalmi feladatok Matematikai statisztika szorgalmi feladatok 1. Feltételes várható érték és konvolúció 1. Legyen X és Y független és azonos eloszlású valószín ségi változó véges második momentummal. Mutassuk meg, hogy

Részletesebben

Valószín ségszámítás és statisztika

Valószín ségszámítás és statisztika Valószín ségszámítás és statisztika Informatika BSc, esti tagozat Backhausz Ágnes 2016/2017. tavaszi félév Valószín ségi vektorváltozó Deníció Az X = (X 1,..., X n ) : Ω R n függvény valószín ségi vektorváltozó,

Részletesebben

Hipotézisvizsgálat az Excel adatelemző eljárásaival. Dr. Nyéki Lajos 2018

Hipotézisvizsgálat az Excel adatelemző eljárásaival. Dr. Nyéki Lajos 2018 Hipotézisvizsgálat az Excel adatelemző eljárásaival Dr. Nyéki Lajos 2018 Egymintás t-próba Az egymintás T-próba azt vizsgálja, hogy különbözik-e a változó M átlaga egy megadott m konstanstól. Az a feltételezés,

Részletesebben

Kettőnél több csoport vizsgálata. Makara B. Gábor

Kettőnél több csoport vizsgálata. Makara B. Gábor Kettőnél több csoport vizsgálata Makara B. Gábor Három gyógytápszer elemzéséből az alábbi energia tartalom adatok származtak (kilokalória/adag egységben) Három gyógytápszer elemzésébô A B C 30 5 00 10

Részletesebben

Hipotézisvizsgálat R-ben

Hipotézisvizsgálat R-ben Hipotézisvizsgálat R-ben 1-mintás u-próba Az elmúlt évben egy, az Antarktiszon talált királypingvinkolónia esetén a pingvinek átlagos testtömege 15.4 kg volt. Idén ugyanebből a kolóniából megmérték 35

Részletesebben

y ij = µ + α i + e ij STATISZTIKA Sir Ronald Aylmer Fisher Példa Elmélet A variancia-analízis alkalmazásának feltételei Lineáris modell

y ij = µ + α i + e ij STATISZTIKA Sir Ronald Aylmer Fisher Példa Elmélet A variancia-analízis alkalmazásának feltételei Lineáris modell Példa STATISZTIKA Egy gazdálkodó k kukorica hibrid termesztése között választhat. Jelöljük a fajtákat A, B, C, D-vel. Döntsük el, hogy a hibridek termesztése esetén azonos terméseredményre számíthatunk-e.

Részletesebben

Kísérlettervezés alapfogalmak

Kísérlettervezés alapfogalmak Kísérlettervezés alapfogalmak Rendszermodellezés Budapest University of Technology and Economics Fault Tolerant Systems Research Group Budapest University of Technology and Economics Department of Measurement

Részletesebben

Többváltozós lineáris regressziós modell feltételeinek tesztelése I.

Többváltozós lineáris regressziós modell feltételeinek tesztelése I. Többváltozós lineáris regressziós modell feltételeinek tesztelése I. - A hibatagra vonatkozó feltételek tesztelése - Kvantitatív statisztikai módszerek Petrovics Petra Többváltozós lineáris regressziós

Részletesebben

A Matematikai Statisztika Alapjai

A Matematikai Statisztika Alapjai A Matematikai Statisztika Alapjai Dr. Márkus László 2017. március 1. Dr. Márkus László A Matematikai Statisztika Alapjai 2017. március 1. 1 / 80 Valszám alapfogalmak ismétlés Valszám alapfogalmak Véletlen

Részletesebben

y ij = µ + α i + e ij

y ij = µ + α i + e ij Elmélet STATISZTIKA 3. Előadás Variancia-analízis Lineáris modellek A magyarázat a függő változó teljes heterogenitásának két részre bontását jelenti. A teljes heterogenitás egyik része az, amelynek okai

Részletesebben

Egyszempontos variancia analízis. Statisztika I., 5. alkalom

Egyszempontos variancia analízis. Statisztika I., 5. alkalom Statisztika I., 5. alkalom Számos t-próba versus variancia analízis Kreativitás vizsgálata -nık -férfiak ->kétmintás t-próba I. Fajú hiba=α Kreativitás vizsgálata -informatikusok -építészek -színészek

Részletesebben

A bergengóc lakosság szemszín szerinti megoszlása a négy tartományban azonos:

A bergengóc lakosság szemszín szerinti megoszlása a négy tartományban azonos: A. Matematikai Statisztika 2.MINTA ZH. 2003 december Név (olvasható) :... A feladatmegoldásnak az alkalmazott matematikai modell valószínűségszámítási ill. statisztikai szóhasználat szerinti megfogalmazását,

Részletesebben

Korreláció és lineáris regresszió

Korreláció és lineáris regresszió Korreláció és lineáris regresszió Két folytonos változó közötti összefüggés vizsgálata Szűcs Mónika SZTE ÁOK-TTIK Orvosi Fizikai és Orvosi Informatikai Intézet Orvosi Fizika és Statisztika I. előadás 2016.11.02.

Részletesebben

STATISZTIKA. A Föld pályája a Nap körül. Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (A természetfilozófia matematikai alapelvei, 1687)

STATISZTIKA. A Föld pályája a Nap körül. Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (A természetfilozófia matematikai alapelvei, 1687) STATISZTIKA 10. Előadás Megbízhatósági tartományok (Konfidencia intervallumok) Sir Isaac Newton, 1643-1727 Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (A természetfilozófia matematikai alapelvei, 1687)

Részletesebben

Kettőnél több csoport vizsgálata. Makara B. Gábor MTA Kísérleti Orvostudományi Kutatóintézet

Kettőnél több csoport vizsgálata. Makara B. Gábor MTA Kísérleti Orvostudományi Kutatóintézet Kettőnél több csoport vizsgálata Makara B. Gábor MTA Kísérleti Orvostudományi Kutatóintézet Gyógytápszerek (kilokalória/adag) Három gyógytápszer A B C 30 5 00 10 05 08 40 45 03 50 35 190 Kérdések: 1. Van-e

Részletesebben

A Statisztika alapjai

A Statisztika alapjai A Statisztika alapjai BME A3c Magyar Róbert 2016.05.12. Mi az a Statisztika? A statisztika a valóság számszerű információinak megfigyelésére, összegzésére, elemzésére és modellezésére irányuló gyakorlati

Részletesebben

VIZSGADOLGOZAT. I. PÉLDÁK (60 pont)

VIZSGADOLGOZAT. I. PÉLDÁK (60 pont) VIZSGADOLGOZAT (100 pont) A megoldások csak szöveges válaszokkal teljes értékűek! I. PÉLDÁK (60 pont) 1. példa (13 pont) Az egyik budapesti könyvtárban az olvasókból vett 400 elemű minta alapján a következőket

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 3 III. VÉLETLEN VEKTOROK 1. A KÉTDIMENZIÓs VÉLETLEN VEKTOR Definíció: Az leképezést (kétdimenziós) véletlen vektornak nevezzük, ha Definíció:

Részletesebben

ANOVA,MANOVA. Márkus László március 30. Márkus László ANOVA,MANOVA március / 26

ANOVA,MANOVA. Márkus László március 30. Márkus László ANOVA,MANOVA március / 26 ANOVA,MANOVA Márkus László 2013. március 30. Márkus László ANOVA,MANOVA 2013. március 30. 1 / 26 ANOVA / MANOVA One-Way ANOVA (Egyszeres ) Analysis of Variance (ANOVA) = szóráselemzés A szórásokat elemezzük,

Részletesebben

egyenletesen, és c olyan színű golyót teszünk az urnába, amilyen színűt húztunk. Bizonyítsuk

egyenletesen, és c olyan színű golyót teszünk az urnába, amilyen színűt húztunk. Bizonyítsuk Valószínűségszámítás 8. feladatsor 2015. november 26. 1. Bizonyítsuk be, hogy az alábbi folyamatok mindegyike martingál. a S n, Sn 2 n, Y n = t n 1+ 1 t 2 Sn, t Fn = σ S 1,..., S n, 0 < t < 1 rögzített,

Részletesebben

MÉRÉSI EREDMÉNYEK PONTOSSÁGA, A HIBASZÁMÍTÁS ELEMEI

MÉRÉSI EREDMÉNYEK PONTOSSÁGA, A HIBASZÁMÍTÁS ELEMEI MÉRÉSI EREDMÉYEK POTOSSÁGA, A HIBASZÁMÍTÁS ELEMEI. A mérési eredmény megadása A mérés során kapott értékek eltérnek a mérendő fizikai mennyiség valódi értékétől. Alapvetően kétféle mérési hibát különböztetünk

Részletesebben

Matematika A3 Valószínűségszámítás, 6. gyakorlat 2013/14. tavaszi félév

Matematika A3 Valószínűségszámítás, 6. gyakorlat 2013/14. tavaszi félév Matematika A3 Valószínűségszámítás, 6. gyakorlat 2013/14. tavaszi félév 1. A várható érték és a szórás transzformációja 1. Ha egy valószínűségi változóhoz hozzáadunk ötöt, mínusz ötöt, egy b konstanst,

Részletesebben

0,1 P(X=1) = p p p(1-p) Egy p vszgő esemény bekövetkezik-e.

0,1 P(X=1) = p p p(1-p) Egy p vszgő esemény bekövetkezik-e. Egy kis emlékeztetı X val.változó értékek F(x) eloszlásfv. valségek P(a X

Részletesebben

A pont példájának adatai C1 C2 C3 C

A pont példájának adatai C1 C2 C3 C A 3..5 pont példájának adatai C C C3 C4 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.96 0.003 0.437 0.458 0.7336 0.00785 0.34957 0.565 0.3308 0.0096 0.43840 0.979 0.343 0.0440 0.44699 0.3008 0.370 0.083 0.44986

Részletesebben

Modern műszeres analitika szeminárium Néhány egyszerű statisztikai teszt

Modern műszeres analitika szeminárium Néhány egyszerű statisztikai teszt Modern műszeres analitika szeminárium Néhány egyszerű statisztikai teszt Galbács Gábor KIUGRÓ ADATOK KISZŰRÉSE STATISZTIKAI TESZTEKKEL Dixon Q-tesztje Gyakori feladat az analitikai kémiában, hogy kiugrónak

Részletesebben

Populációbecslés és monitoring. Eloszlások és alapstatisztikák

Populációbecslés és monitoring. Eloszlások és alapstatisztikák Populációbecslés és monitoring Eloszlások és alapstatisztikák Eloszlások Az eloszlás megadja, hogy milyen valószínűséggel kapunk egy adott intervallumba tartozó értéket, ha egy olyan populációból veszünk

Részletesebben

Véletlen jelenség: okok rendszere hozza létre - nem ismerhetjük mind, ezért sztochasztikus.

Véletlen jelenség: okok rendszere hozza létre - nem ismerhetjük mind, ezért sztochasztikus. Valószín ségelméleti és matematikai statisztikai alapfogalmak összefoglalása (Kemény Sándor - Deák András: Mérések tervezése és eredményeik értékelése, kivonat) Véletlen jelenség: okok rendszere hozza

Részletesebben

A mintavétel szakszerűtlenségeinek hatása a monitoring-statisztikákra

A mintavétel szakszerűtlenségeinek hatása a monitoring-statisztikákra A mintavétel szakszerűtlenségeinek hatása a monitoring-statisztikákra Vörös Zsuzsanna NÉBIH RFI tervezési referens 2013. április 17. Egy kis felmérés nem kor Következtetések: 1. a jelenlevők nemi megoszlása:

Részletesebben

Adatok statisztikai értékelésének főbb lehetőségei

Adatok statisztikai értékelésének főbb lehetőségei Adatok statisztikai értékelésének főbb lehetőségei 1. a. Egy- vagy kétváltozós eset b. Többváltozós eset 2. a. Becslési problémák, hipotézis vizsgálat b. Mintázatelemzés 3. Szint: a. Egyedi b. Populáció

Részletesebben

Statisztika I. 8. előadás. Előadó: Dr. Ertsey Imre

Statisztika I. 8. előadás. Előadó: Dr. Ertsey Imre Statisztika I. 8. előadás Előadó: Dr. Ertsey Imre Minták alapján történő értékelések A statisztika foglalkozik. a tömegjelenségek vizsgálatával Bizonyos esetekben lehetetlen illetve célszerűtlen a teljes

Részletesebben

Elméleti összefoglaló a Sztochasztika alapjai kurzushoz

Elméleti összefoglaló a Sztochasztika alapjai kurzushoz Elméleti összefoglaló a Sztochasztika alapjai kurzushoz 1. dolgozat Véletlen kísérletek, események valószín sége Deníció. Egy véletlen kísérlet lehetséges eredményeit kimeneteleknek nevezzük. A kísérlet

Részletesebben

Számítógépes döntéstámogatás OPTIMALIZÁLÁSI FELADATOK A SOLVER HASZNÁLATA

Számítógépes döntéstámogatás OPTIMALIZÁLÁSI FELADATOK A SOLVER HASZNÁLATA SZDT-04 p. 1/30 Számítógépes döntéstámogatás OPTIMALIZÁLÁSI FELADATOK A SOLVER HASZNÁLATA Werner Ágnes Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék e-mail: werner.agnes@virt.uni-pannon.hu Előadás

Részletesebben

Biometria gyakorló feladatok BsC hallgatók számára

Biometria gyakorló feladatok BsC hallgatók számára Biometria gyakorló feladatok BsC hallgatók számára 1. Egy üzem alkalmazottainak megoszlása az elért teljesítmény %-a szerint a következı: Norma teljesítmény % Dolgozók száma 60-80 30 81-90 70 91-100 90

Részletesebben