Baran Ágnes. Gyakorlat MATLAB. Baran Ágnes Gyakorlat 1 / 70

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Baran Ágnes. Gyakorlat MATLAB. Baran Ágnes Gyakorlat 1 / 70"

Átírás

1 Valószínűségszámítás és matematikai statisztika Baran Ágnes Gyakorlat MATLAB Baran Ágnes Gyakorlat 1 / 7

2 Véletlenszám generátorok randi(n,n,m) n m pszeudorandom egész szám az [1, N]-en adott diszkrét egyenletes eloszlásból rand(n,m) n m véletlen szám a [, 1]-en adott egyenletes eloszlásból randn(n,m) n m véletlen szám a standard normális eloszlásból [a, b] intervallumon egyenletes eloszlású véletlen számok generálása: (b-a)*rand(n,m)+a µ várható értékű, σ szórású normális eloszlású véletlen számok: µ+randn(n,m)*σ Véletlen számok a random függvénnyel: random( name,a,b,c,d,n,m) ahol name az eloszlás neve, A,B,C,D az eloszlás paraméterei (számuk függ az eloszlástól, ld. a random függvény help-jét.), n m az output mérete Baran Ágnes Gyakorlat 2 / 7

3 Nevezetes eloszlások eloszlásfüggvénye A cdf (cummulative distribution function) beépített függvénnyel: y = cdf( name,x,a,b,c,d) ahol name az eloszlás neve, x ahol az eloszlásfüggvény értékét tudni szeretnénk, A,B,C,D az eloszlás paraméterei (számuk függ az eloszlástól, ld. a cdf függvény help-jét.) Példa Rajzoltassa ki a standard normális eloszlás eloszlásfüggvényét a [ 3, 3] intervallumon. Normális eloszlás esetén a két paraméter a várható érték és a szórás (most és 1) >> x=linspace(-3,3); >> y=cdf('normal',x,,1); >> figure; plot(x,y,'linewidth',2); >> ax=gca; >> ax.xaxislocation='origin'; >> ax.yaxislocation='origin'; Baran Ágnes Gyakorlat 3 / 7

4 x=linspace(-3,3); y=cdf('normal',x,,1); figure; plot(x,y,'linewidth',2); ax=gca; ax.xaxislocation='origin'; ax.yaxislocation='origin'; Baran Ágnes Gyakorlat 4 / 7

5 Feladat Rajzoltassa ki a [ 3, 3] intervallumon a várható értékű, 1 szórású, 1 várható értékű, 1 szórású, várható értékű, 2 szórású, 1 várható értékű, 2 szórású normális eloszlás eloszlásfüggvényét. =, =1 =1, = =, = =1, = Baran Ágnes Gyakorlat 5 / 7

6 Példa Rajzoltassa ki a.8 várható értékű exponenciális eloszlás eloszlásfüggvényét a [ 3, 3] intervallumon. Exponenciális eloszlás esetén egy paraméter van, a Matlab-ban ez a várható érték (ez most.8). >> x=linspace(-3,3); >> y=cdf('exponential',x,.8); >> figure; plot(x,y,'linewidth',2); >> ax=gca; >> ax.xaxislocation='origin'; >> ax.yaxislocation='origin'; Baran Ágnes Gyakorlat 6 / 7

7 x=linspace(-3,3); y=cdf('exponential',x,.8); figure; plot(x,y,'linewidth',2); ax=gca; ax.xaxislocation='origin'; ax.yaxislocation='origin'; Baran Ágnes Gyakorlat 7 / 7

8 Példa Rajzoltassa ki a.8, az 1 és az 1.2 várható értékű exponenciális eloszlás eloszlásfüggvényét a [ 1, 5] intervallumon. x=linspace(-1,5); y1=cdf('exponential',x,1); y2=cdf('exponential',x,.8); y3=cdf('exponential',x,1.2); figure; plot(x,y1,x,y2,x,y3,'linewidth',2); legend('\mu=1','\mu=.8','\mu=1.2'); title('exponencilis eloszlas, eloszlasfuggveny') Baran Ágnes Gyakorlat 8 / 7

9 x=linspace(-1,5); y1=cdf('exponential',x,1); y2=cdf('exponential',x,.8); y3=cdf('exponential',x,1.2); figure; plot(x,y1,x,y2,x,y3,'linewidth',2); legend('\mu=1','\mu=.8','\mu=1.2'); title('exponencilis eloszlas, eloszlasfuggveny') exponenciális eloszlás, eloszlásfüggvény =1 =.8 = Baran Ágnes Gyakorlat 9 / 7

10 Eloszlásfüggvények Példa Rajzoltassa ki az F (x) = { ha x 1 1 e x x egyébként eloszlásfüggvényt a [ 1, 6] intervallumon. x=linspace(-1,6); y=(1-(1-exp(-x))./x).*(x>); figure; plot(x,y,'linewidth',2); Baran Ágnes Gyakorlat 1 / 7

11 x=linspace(-1,6); y=(1-(1-exp(-x))./x).*(x>); figure; plot(x,y,'linewidth',2); Baran Ágnes Gyakorlat 11 / 7

12 Nevezetes eloszlások sűrűségfüggvénye A pdf (probability density function) beépített függvénnyel: y = pdf( name,x,a,b,c,d) ahol name az eloszlás neve, x ahol a sűrűségfüggvény értékét tudni szeretnénk, A,B,C,D az eloszlás paraméterei (számuk függ az eloszlástól, ld. a pdf függvény help-jét.) Példa Rajzoltassa ki a standard normális eloszlás sűrűségfüggvényét a [ 3, 3] intervallumon. Normális eloszlás esetén a két paraméter a várható érték és a szórás (most és 1) >> x=linspace(-3,3); >> y=pdf('normal',x,,1); >> figure; plot(x,y,'linewidth',2); Baran Ágnes Gyakorlat 12 / 7

13 x=linspace(-3,3); y=pdf('normal',x,,1); figure; plot(x,y,'linewidth',2); Baran Ágnes Gyakorlat 13 / 7

14 Feladat Ábrázolja a várható értékű, 1 szórású, 1 várható értékű, 1 szórású, várható értékű, 2 szórású, 1 várható értékű, 2 szórású normális eloszlás sűrűségfüggvényét =, =1 =1, =1 =, =2 =1, = Baran Ágnes Gyakorlat 14 / 7

15 A nevezetes eloszlások eloszlás- és sűrűségfüggvényét kirajzoltathatjuk a disttool alkalmazással is. Adjuk ki a disttool parancsot és a megjelenő ablakban álĺıtsuk be mit szeretnénk ábrázolni. >>disttool Distribution: Normal Function type: CDF 1.8 Probability X: Upper bound 2 Upper bound 2 Upper bound Mu Sigma 1 Lower bound -2 Lower bound.5 Lower bound Baran Ágnes Gyakorlat 15 / 7

16 Példa Legyen ξ egy 4 várható értékű, 3 szórású normális eloszlású valószínűségi változó. Mennyi a valószínűsége, hogy ξ a [398,41] intervallumba esik? Papíron számolva ξ-t előbb normalizáltuk, majd a standard normális eloszlás táblázatait használva meghatároztuk a kérdéses valószínűséget. A Matlab-ot használva nincs szükség a standardizálásra. 1. megoldás: eloszlásfüggvénnyel (p = F ξ (41) F ξ (398)) >> p=cdf('normal',41,4,3)-cdf('normal',398,4,3) megoldás: sűrűségfüggvénnyel (p = >> pdf('normal',x,4,3); >> p=integral(f,398,41) f ξ (x)dx) Baran Ágnes Gyakorlat 16 / 7

17 Példa Legyen ξ N (, 1). Adja meg a értékét úgy, hogy P(ξ [1, a]) =.14 teljesüljön. Tudjuk, hogy P(ξ [1, a]) = F (a) F (1), így F (a) =.14 + F (1). >> t=.14+cdf('normal',1,,1); >> a=norminv(t) a = norminv(p): a standard normális eloszlás eloszlásfüggvényének inverze a p helyen norminv(p,µ,σ): a µ várható értékű, σ szórású normális eloszlás eloszlásfüggvényének inverze a p helyen Baran Ágnes Gyakorlat 17 / 7

18 Kétdimenziós eloszlások Példa Ábrázoljuk az F (x, y) = { 1 + e x y e x e y, ha x >, y >, egyébként eloszlásfüggvényt a [ 2, 5] [ 2, 5] tartományon. x=linspace(-2,5); y=x; [X,Y]=meshgrid(x,y); Z=(1+exp(-X-Y)-exp(-X)-exp(-Y)).*(X>).*(Y>); figure; mesh(x,y,z) xlabel('x') ylabel('y') Baran Ágnes Gyakorlat 18 / 7

19 x=linspace(-2,5); y=x; [X,Y]=meshgrid(x,y); Z=(1+exp(-X-Y)-exp(-X)-exp(-Y)).*(X>).*(Y>); figure; mesh(x,y,z) xlabel('x') ylabel('y') y -2-2 x Baran Ágnes Gyakorlat 19 / 7

20 Kétdimenziós eloszlások Példa Mennyi a valószínűsége, hogy az előző eloszlásfüggvénnyel adott (ξ, η) valószínűségi változó értéke az [1, 3] [2, 4] tartományba esik? Tudjuk, hogy P((ξ, η) [a 1, b 1 ] [a 2, b 2 ]) = F (b 1, b 2 ) F (a 1, b 2 ) F (b 1, a 2 )+F (a 1, a 2 ) Ezek alapján a keresett valószínűség: 1+exp(-x-y)-exp(-x)-exp(-y); p=f(3,4)-f(1,4)-f(3,2)+f(1,2) Baran Ágnes Gyakorlat 2 / 7

21 Kétdimenziós eloszlások Példa Ábrázoljuk a kétdimenziós standard normális eloszlás sűrűségfüggvényét a [ 3, 3] [ 3, 3] tartományon! Tudjuk, hogy f (x, y) = 1 x 2 +y 2 2π e 2, (x, y) R 2. x=linspace(-3,3); y=x; [X,Y]=meshgrid(x,y); Z=exp(-(X.^2+Y.^2)/2)/2/pi; figure; mesh(x,y,z) xlabel('x') ylabel('y') Baran Ágnes Gyakorlat 21 / 7

22 x=linspace(-3,3); y=x; [X,Y]=meshgrid(x,y); Z=exp(-(X.^2+Y.^2)/2)/2/pi; figure; mesh(x,y,z) xlabel('x') ylabel('y') y -4-4 x Baran Ágnes Gyakorlat 22 / 7

23 Példa Legyen (ξ, η) egy kétdimenziós standard normális eloszlású valószínűségi változó. Mennyi a valószínűsége, hogy (ξ, η) értéke a [ 1, 1] [1.5, 2] tartományba esik? Tudjuk, hogy P((ξ, η) [a 1, b 1 ] [a 2, b 2 ]) = b 1 b 2 f (x, y)dydx, a 1 a 2 ezért exp(-(x.^2+y.^2)/2)/2/pi; p=integral2(f,-1,1,1.5,2) Baran Ágnes Gyakorlat 23 / 7

24 Nagy számok törvénye Példa Szimuláljuk egy szabályos dobókocka 1 egymás utáni feldobását. Vizsgáljuk meg hogyan alakul az 5-ös dobások relatív gyakorisága a kísérlet során! Használjuk a randi függvényt! randi(n,n,m) : előálĺıt n m pszeudorandom egész számot az [1, N]-en adott diszkrét egyenletes eloszlásból. n=1; x=randi(6,1,n); rel=zeros(1,n); for i=1:n rel(i)=sum(x(1:i)==5)/i; end figure;plot(1:n,rel,[,n],[1/6,1/6]) Baran Ágnes Gyakorlat 24 / 7

25 Baran Ágnes Gyakorlat 25 / 7

26 Példa Egy szabályos dobókockával dobva jelölje A azt az eseményt, hogy a dobott szám 4-nél nagyobb. Szimuláljuk a kísérlet 1 egymás utáni végrehajtását és figyeljük hogy alakul A relatív gyakorisága! N=1; x=randi(6,1,n); rel=zeros(1,n); for n=1:n rel(n)=sum(x(1:n)>4)/n; end figure; plot(1:n,rel,[ N],[1/3,1/3]) xlabel('n') ylabel('k_a/n') Baran Ágnes Gyakorlat 26 / 7

27 k A /n n Baran Ágnes Gyakorlat 27 / 7

28 Példa Szimuláljuk az alábbi kísérletet: 1-szer egymás után, egymástól függetlenül véletlenszerűen (egyenletes eloszlás szerint) választunk egy pontot az [1, 3] intervallumból. Jelölje ξ i az i-edik esetben választott számot. Ábrázoljuk az S n n := ξ ξ n n értékeket n függvényében (n = 1,..., 1). N=1; x=random('uniform',1,3,1,n); s=zeros(1,n); for n=1:n s(n)=sum(x(1:n))/n; end figure; plot(1:n,s,[,n],[2,2]) xlabel('n') ylabel('s_n/n') Baran Ágnes Gyakorlat 28 / 7

29 S n /n n Baran Ágnes Gyakorlat 29 / 7

30 Hisztogramok Példa Generáljunk egy 1 elemű standard normális eloszlású, és egy 1 elemű 2 várható értékű,.8 szórású normális eloszlású mintát. Készítsünk a mintákhoz gyakoriság hisztogramot! Használjuk a Matlab histogram függvényét! x=randn(1,1); figure; histogram(x) x=2+randn(1,1)*.8; figure; histogram(x) Baran Ágnes Gyakorlat 3 / 7

31 Standard normális eloszlású minta Baran Ágnes Gyakorlat 31 / 7

32 2 várható értékű,.8 szórású normális eloszlású minta Baran Ágnes Gyakorlat 32 / 7

33 Példa Generáljunk egy 1 elemű 2 várható értékű exponenciális eloszlású mintát. Készítsünk a mintákhoz gyakoriság hisztogramot! Baran Ágnes Gyakorlat 33 / 7

34 Hisztogramok Példa Generáljunk egy N (N = 1, 1, 1, 1) elemű [, 1]-en egyenletes eloszlású mintát, és készitsünk gyakoriság hisztogramot (1 részintervallumot használjunk). x=rand(1,1); subplot(2,2,1) histogram(x,1); title('n=1') x=rand(1,1); subplot(2,2,2) histogram(x,1); title('n=1') x=rand(1,1); subplot(2,2,3) histogram(x,1); title('n=1') x=rand(1,1); subplot(2,2,4) histogram(x,1); title('n=1') Baran Ágnes Gyakorlat 34 / 7

35 15 N=1 12 N= N=1 12 N= Baran Ágnes Gyakorlat 35 / 7

36 Empirikus eloszlásfüggvény Példa Generáljunk egy 3 elemű standard normális eloszlású mintát, rajzoltassuk ki a minta empirikus eloszlásfüggvényét, illetve a standard normális eloszlás eloszlásfüggvényét. Használjuk a Matlab ecdf (empirical cumulative distribution function) függvényét! x=random('normal',,1,1,3); figure; ecdf(x) xx=linspace(-3,3); yy=cdf('normal',xx,,1); hold on; plot(xx,yy) Baran Ágnes Gyakorlat 36 / 7

37 x=random('normal',,1,1,3); figure; ecdf(x) xx=linspace(-3,3); yy=cdf('normal',xx,,1); hold on; plot(xx,yy) F(x) x Baran Ágnes Gyakorlat 37 / 7

38 Ismételjük meg az előző feladatot egy 1 elemű mintával! F(x) x Baran Ágnes Gyakorlat 38 / 7

39 Empirikus eloszlásfüggvény Példa Generáljunk egy 3 elemű [, 1]-en egyenletes eloszlású mintát, rajzoltassuk ki a minta empirikus eloszlásfüggvényét, illetve az elméleti eloszlásfüggvényt. x=rand(1,3); figure; ecdf(x) xx=linspace(-.1,1.1); yy=cdf('uniform',xx,,1); hold on; plot(xx,yy) Baran Ágnes Gyakorlat 39 / 7

40 F(x) x Baran Ágnes Gyakorlat 4 / 7

41 Ismételjük meg az előző feladatot egy 1 elemű mintával! F(x) x Baran Ágnes Gyakorlat 41 / 7

42 Empirikus eloszlásfüggvény Példa Generáljunk egy 3 elemű mintát a 2 várható értékű exponenciális eloszlásból, rajzoltassuk ki a minta empirikus eloszlásfüggvényét, illetve az elméleti eloszlásfüggvényt. x=random('exponential',2,1,3); figure; ecdf(x) xx=linspace(,8); yy=cdf('exponential',xx,2); hold on; plot(xx,yy) Baran Ágnes Gyakorlat 42 / 7

43 F(x) x Baran Ágnes Gyakorlat 43 / 7

44 Ismételjük meg az előző feladatot egy 1 elemű mintával! F(x) x Baran Ágnes Gyakorlat 44 / 7

45 Kétoldali u-próba Példa Egy üzemben csöveket gyártanak, melyek hossza normális eloszlású 2 mm szórással. Véletlenszerűen kiválasztva 8 elkészült csövet és megmérve hosszukat az alábbi értékeket kaptuk: 199, 197, 196, 198, 199, 2, 22, %-os döntési szintet használva vizsgálja meg azt az álĺıtást, hogy az üzemben gyártott csövek hossza átlagosan 2 mm. A nullhipotézis: az ellenhipotézis: n = 8, σ = 2, α =.5, X = 199. H : µ = 2, H 1 : µ 2. Baran Ágnes Gyakorlat 45 / 7

46 A próbastatisztika: u = X 2 σ n = 8 = A kritikus tartomány (amikor elvetjük H -at): ( u Φ 1 1 α ) = Φ 1 (.975) = Mivel így H -at elfogadjuk. u = < 1.96 Baran Ágnes Gyakorlat 46 / 7

47 Kétoldali u-próba Φ -1 (1-α /2) Φ -1 (1-α /2) 3 A kritikus és az elfogadási tartomány Baran Ágnes Gyakorlat 47 / 7

48 A Matlab ztest függvényével: h=ztest(minta,µ,σ) Ha h= akkor elfogadjuk, ha h=1 elvetjük H -at 95%-os szinten. X=[199, 197, 196, 198, 199, 2, 22, 21]; h=ztest(x,2,2) h = Így elfogadjuk H -at. Kiszámíthatjuk a p-értéket és a várható értékre vonatkozó konfidencia intervallumot is: [h,p,kint]=ztest(x,2,2) h = p =.1573 Kint = Baran Ágnes Gyakorlat 48 / 7

49 Egyoldali u-próba Példa Egy tejipari vállalkozás 5 g-os kiszerelésben gyárt gyümölcsjoghurtokat, melyek átlagos gyümölcstartalma a dobozon található felirat szerint 1%. Több fogyasztói panasz érkezett, hogy a termék a megjelöltnél kevesebb gyümölcsöt tartalmaz, így a cég önellenőrzést tartott. Megvizsgálták 1 véletlenszerűen kiválasztott termék gyümölcstartalmát, grammban kifejezve az alábbi értékeket kapták: 51, 45, 45, 51, 54, 5, 42, 53, 53, 5. Feltételezve, hogy a joghurtok grammban kifejezett gyümölcstartalma normális eloszlású 3 g szórással döntsön 98%-os szinten, hogy igaza van-e a vásárlóknak. Baran Ágnes Gyakorlat 49 / 7

50 A nullhipotézis: az ellenhipotézis: H : µ = 5, H 1 : µ < 5. n = 1, σ = 3, α =.2, X = A próbastatisztika: u = X 5 σ n = 1 = A kritikus tartomány (amikor elvetjük H -at): u Φ 1 (α) = Φ 1 (.2) = Mivel a kapott u érték ebbe nem esik bele, ezért elfogadjuk H -at. Baran Ágnes Gyakorlat 5 / 7

51 Egyoldali u-próba, baloldali ellenhipotézis Φ -1 (α ) 3 A kritikus és az elfogadási tartomány Megj.: Φ 1 (α) = Φ 1 (1 α) Baran Ágnes Gyakorlat 51 / 7

52 A Matlab ztest függvényével: A baloldali ellenhipotézis és a 98%-os szint beálĺıtása: h=ztest(x,µ,σ, alpha,.2, tail, left ) Esetünkben: X=[51, 45, 45, 51, 54, 5, 42, 53, 53, 5]; h=ztest(x,5,3,'alpha',.2,'tail','left') h = Mivel h= a nullhipotézist elfogadjuk. Baran Ágnes Gyakorlat 52 / 7

53 Egyoldali u-próba Példa Felmérések szerint az emberek átlagos IQ értéke 1. A sajtkészítők szövetsége azt álĺıtja, hogy a sajtkészítéssel foglalkozó emberek esetén ez az érték magasabb. 1 véletlenszerűen választott sajtkészítő IQ értékére az alábbiakat kaptuk: 14, 97, 14, 98, 13, 112, 99, 95, 12, 16. Feltételezve, hogy az IQ érték normális eloszlású 3 szórással, döntsön 98%-os szinten a szövetség álĺıtásáról. A nullhipotézis: az ellenhipotézis: n = 1, σ = 3, α =.2, X = 12. H : µ = 1, H 1 : µ > 1. Baran Ágnes Gyakorlat 53 / 7

54 A próbastatisztika: u = X 1 σ 12 1 n = 1 = A kritikus tartomány (amikor elvetjük H -at): u > Φ 1 (1 α) = Φ 1 (.98) = Mivel a kapott u érték ebbe beleesik, ezért elvetjük H -at (és boldogok a sajtkészítők). Baran Ágnes Gyakorlat 54 / 7

55 Egyoldali u-próba (jobboldali ellenhipotézis) Φ -1 (1-α ) 3 Az elfogadási és a kritikus tartomány Baran Ágnes Gyakorlat 55 / 7

56 A Matlab ztest függvényével: X=[14, 97, 14, 98, 13, 112, 99, 95, 12, 16]; h=ztest(x,1,3,'alpha',.2,'tail','right') h = 1 Mivel h=1 a nullhipotézist elvetjük. Számíttassuk ki a p-értéket is! [h,p]=ztest(x,1,3,'alpha',.2,'tail','right') h = 1 p =.175 A p-értékből látjuk, hogy 99%-os szinten már elfogadtuk volna a nullhipotézist. Baran Ágnes Gyakorlat 56 / 7

57 t-eloszlás Példa Rajzoltassuk ki közös ábrán a standard normális eloszlás és az 5 és 1 szabadsági fokú t-eloszlás sűrűségfüggvényét! x=linspace(-5,5); yn=pdf('normal',x,,1); y1=pdf('t',x,5); y2=pdf('t',x,1); figure; plot(x,yn,x,y1,x,y2) legend('standard normalis','t_5','t_{1}') Baran Ágnes Gyakorlat 57 / 7

58 t-eloszlás standard normális t 5 t Megj.: A t-eloszlás is szimmetrikus -ra. Baran Ágnes Gyakorlat 58 / 7

59 t-próba Példa Egy fogkrémgyárban ellenőrizni szeretnék, hogy a 1 ml-es fogkrémek tubusát töltő automata jól van-e kalibrálva. Véletlenszerűen kiválasztva 1 tubust, lemérve a bennük lévő fogkrém mennyiségét a következő értékeket kapták. 12, 16, 93, 13, 11, 96, 99, 11, 111, 18 Feltételezve, hogy a tubusokba töltött fogkrém mennyisége normális eloszlású, döntsön a fenti kérdésről 95%-os szinten. A nullhipotézis: Az ellenhipotézis: H : µ = 1 H 1 : µ 1 n = 1, X = 12, s n = , α =.5 Baran Ágnes Gyakorlat 59 / 7

60 A nullhipotézis: Az ellenhipotézis: H : µ = 1 H 1 : µ 1 n = 1, X = 12, sn = , α =.5 A próbastatisztika: t = X µ n = sn A kritikus tartomány (amikor elvetjük H -at): ( t t n 1 1 α ) = t 9 (.975) = Mivel az előbb kiszámolt t értékre ez nem teljesül, ezért H -at elfogadjuk. Baran Ágnes Gyakorlat 6 / 7

61 Az előző feladat megoldása Matlab-bal: Használjuk a Matlab ttest függvényét. h=ttest(x,µ ), ahol X a minta, µ a feltételezett várható érték. Ha h= akkor 95%-os szinten (α =.5) elfogadjuk, ha h=1 akkor elvetjük a nullhipotézist. Ha más α érték mellett szeretnénk dönteni: h=ttest(x,µ, Alpha,α) Esetünkben: X=[ ]; h=ttest(x,1) h = Tehát elfogadjuk H -at. Baran Ágnes Gyakorlat 61 / 7

62 t-próba Példa Több vásárlói panasz érkezett, hogy a 1 ml-esként árult fogkrémek tubusa a feltüntetettnél kevesebb fogkrémet tartalmaz. Az esetet kivizsgálandó megmérték 1 véletlenszerűen kiválasztott tubus tartalmát. Az alábbi értékeket kapták: 96, 94, 94, 15, 12, 98, 93, 94, 96, 99 Döntsön 95%-os szinten a fogyasztók álĺıtásáról. A nullhipotézis: Az ellenhipotézis (baloldali): H : µ = 1 H 1 : µ < 1 n = 1, X = 97.1, s n = , α =.5 Baran Ágnes Gyakorlat 62 / 7

63 A nullhipotézis: Az ellenhipotézis (baloldali): H : µ = 1 H 1 : µ < 1 n = 1, X = 97.1, sn = , α =.5 A próbastatisztika: t = X µ n = sn A kritikus tartomány (amikor elvetjük H -at): t t n 1 (α) = t n 1 (1 α) = t 9 (.95) = Mivel az előbb kiszámolt t értékre ez teljesül, ezért H -at elvetjük. Baran Ágnes Gyakorlat 63 / 7

64 Az előző feladat megoldása Matlab-bal: Mivel az ellenhipotézisünk baloldali, így X =[ ]; h=ttest(x,1,'tail','left') h = 1 ami azt jelenti, hogy a nullhipotézist elvetjük. Kiszámolhatjuk a p-értéket is: [h,p]=ttest(x,1,'tail','left') h = 1 p =.222 Innen látszik, hogy 99%-os szinten már elfogadtuk volna a nullhipotézist. Baran Ágnes Gyakorlat 64 / 7

65 Párosított t-próba Példa Egy 1 kisebb üzletet működtető bolthálózat megmérte az egyes boltok napi átlagos forgalmát: X : 2987, 2976, 2995, 2971, 3, 2989, 344, 323, 295, 39. Ezután egy reklámkampányba kezdtek, azt remélve, hogy ezzel megnövelik a forgalmat. A kampány után megismételték a mérést: Y : 311, 318, 35, 33, 336, 326, 315, 2999, 314, 318. Feltételezve, hogy az üzletek forgalma normális eloszlású, döntsön 99%-os szinten a kampány eredményességéről. Baran Ágnes Gyakorlat 65 / 7

66 Legyen Z = Y X. Ekkor Z : 24, 42, 55, 32, 36, 37, 29, 24, 64, 9. A nullhipotézis: Az ellenhipotézis (jobboldali): H : µ Z = H 1 : µ Z >. n = 1, Z = 24.6, s n = 3.91, α =.1 A próbastatisztika: A kritikus tartomány: t = Z s n n = t t n 1 (1 α) = t 9 (.99) = Mivel a kiszámolt t érték ebbe nem esik bele, ezért H -at elfogadjuk Baran Ágnes Gyakorlat 66 / 7

67 Az előző feladat megoldása Matlab-bal: Használjuk a Matlab ttest függvényét. h=ttest(x,y), ahol X és Y a két minta, kétoldali párosított t-próbát végez, α =.5 mellett. Ha jobboldali ellenhipotézisünk van, és α =.1, akkor X=[ ]; Y=[ ]; h=ttest(y,x,'tail','right','alpha',.1) h = Egyoldali ellenhipotézis esetén figyeljünk a minták sorrendére! Baran Ágnes Gyakorlat 67 / 7

68 Független mintás t-próba Példa Egy tantárgy két különböző napon zajló írásbeli vizsgájának nehézségét szeretnék összehasonĺıtani. Az első vizsganapon írt dolgozatok közül véletlenszerűen kiválasztva 1-et azok pontszámai az alábbiak: X : 69, 82, 65, 73, 74, 84, 89, 83, 76, 88. A második napon írt dolgozatok közül 12-t választottunk, pontszámaik: Y : 8, 61, 71, 87, 8, 7, 75, 83, 71, 91, 75, 99. A mintákat független normális eloszlásúaknak feltételezve döntsön 95%-os szinten arról, hogy a két vizsga azonos nehézségű volt-e. Baran Ágnes Gyakorlat 68 / 7

69 A megoldás Matlab-bal Először végezzünk egy F-próbát annak eldöntésére, hogy a szórások megegyeznek-e: A nullhipotézis: H : σ X = σ Y Az ellenhipotézis: H 1 : σ X σ Y. X =[ ]; Y =[ ]; h=vartest2(x,y) h = Azt kaptuk, hogy 95%-os szinten elfogadjuk a szórások egyenlőségét. Baran Ágnes Gyakorlat 69 / 7

70 Ezután meghívhatjuk a ttest2 függvényt. A nullhipotézis: Az ellenhipotézis: H : µ X = µ Y H 1 : µ X µ Y. h=ttest2(x,y) h = Tehát 95%-os szinten elfogadjuk H -at. Baran Ágnes Gyakorlat 7 / 7

Valószín ségszámítás és statisztika Gyakorlat (Statisztika alapjai)

Valószín ségszámítás és statisztika Gyakorlat (Statisztika alapjai) Gyakorlat (Statisztika alapjai) 2018. december 2. Statisztika alapjai 1 A mérnökinformatikus hallgatók zárthelyi dolgozatot írtak, ahol a maximális pontszám 50 pont volt. Véletlenszer en megnéztük 5 hallgató

Részletesebben

biometria II. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert Matematikai-statisztikai adatfeldolgozás

biometria II. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert Matematikai-statisztikai adatfeldolgozás Kísérlettervezés - biometria II. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert Matematikai-statisztikai adatfeldolgozás A matematikai-statisztika feladata tapasztalati adatok feldolgozásával segítséget nyújtani

Részletesebben

Hipotéziselmélet - paraméteres próbák. eloszlások. Matematikai statisztika Gazdaságinformatikus MSc szeptember 10. 1/58

Hipotéziselmélet - paraméteres próbák. eloszlások. Matematikai statisztika Gazdaságinformatikus MSc szeptember 10. 1/58 u- t- Matematikai statisztika Gazdaságinformatikus MSc 2. előadás 2018. szeptember 10. 1/58 u- t- 2/58 eloszlás eloszlás m várható értékkel, σ szórással N(m, σ) Sűrűségfüggvénye: f (x) = 1 e (x m)2 2σ

Részletesebben

1. Adatok kiértékelése. 2. A feltételek megvizsgálása. 3. A hipotézis megfogalmazása

1. Adatok kiértékelése. 2. A feltételek megvizsgálása. 3. A hipotézis megfogalmazása HIPOTÉZIS VIZSGÁLAT A hipotézis feltételezés egy vagy több populációról. (pl. egy gyógyszer az esetek 90%-ában hatásos; egy kezelés jelentősen megnöveli a rákos betegek túlélését). A hipotézis vizsgálat

Részletesebben

Normális eloszlás paramétereire vonatkozó próbák

Normális eloszlás paramétereire vonatkozó próbák Normális eloszlás paramétereire vonatkozó próbák Az alábbi próbák akkor használhatók, ha a meggyelések függetlenek, és feltételezhetjük, hogy normális eloszlásúak a meggyelések függetlenek, véges szórású

Részletesebben

Nemparaméteres próbák

Nemparaméteres próbák Nemparaméteres próbák Budapesti Mőszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Gépészmérnöki Kar Hidrodinamikai Rendszerek Tanszék 1111, Budapest, Mőegyetem rkp. 3. D ép. 334. Tel: 463-16-80 Fax: 463-30-91 http://www.vizgep.bme.hu

Részletesebben

A konfidencia intervallum képlete: x± t( α /2, df )

A konfidencia intervallum képlete: x± t( α /2, df ) 1. feladat. Egy erdőben az egy fészekben levő tojásszámokat vizsgáltuk egy madárfajnál. A következő tojásszámokat találtuk: 1, 1, 1,,,,,,, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 5, 6, 7. Mi a mintának a minimuma, maximuma,

Részletesebben

egyetemi jegyzet Meskó Balázs

egyetemi jegyzet Meskó Balázs egyetemi jegyzet 2011 Előszó 2. oldal Tartalomjegyzék 1. Bevezetés 4 1.1. A matematikai statisztika céljai.............................. 4 1.2. Alapfogalmak......................................... 4 2.

Részletesebben

Bevezetés a hipotézisvizsgálatokba

Bevezetés a hipotézisvizsgálatokba Bevezetés a hipotézisvizsgálatokba Nullhipotézis: pl. az átlag egy adott µ becslése : M ( x -µ ) = 0 Alternatív hipotézis: : M ( x -µ ) 0 Szignifikancia: - teljes bizonyosság csak teljes enumerációra -

Részletesebben

Gyakorló feladatok. Az alábbi feladatokon kívül a félév szemináriumi anyagát is nézzék át. Jó munkát! Gaál László

Gyakorló feladatok. Az alábbi feladatokon kívül a félév szemináriumi anyagát is nézzék át. Jó munkát! Gaál László Gyakorló feladatok Az alábbi feladatokon kívül a félév szemináriumi anyagát is nézzék át. Jó munkát! Gaál László I/. A vizsgaidőszak második napján a hallgatók %-ának az E épületben, %-ának a D épületben,

Részletesebben

Hipotézis STATISZTIKA. Kétmintás hipotézisek. Munkahipotézis (H a ) Tematika. Tudományos hipotézis. 1. Előadás. Hipotézisvizsgálatok

Hipotézis STATISZTIKA. Kétmintás hipotézisek. Munkahipotézis (H a ) Tematika. Tudományos hipotézis. 1. Előadás. Hipotézisvizsgálatok STATISZTIKA 1. Előadás Hipotézisvizsgálatok Tematika 1. Hipotézis vizsgálatok 2. t-próbák 3. Variancia-analízis 4. A variancia-analízis validálása, erőfüggvény 5. Korreláció számítás 6. Kétváltozós lineáris

Részletesebben

földtudományi BSc (geológus szakirány) Matematikai statisztika elıadás, 2014/ félév 6. elıadás

földtudományi BSc (geológus szakirány) Matematikai statisztika elıadás, 2014/ félév 6. elıadás Matematikai statisztika elıadás, földtudományi BSc (geológus szakirány) 2014/2015 2. félév 6. elıadás Konfidencia intervallum Def.: 1-α megbízhatóságú konfidencia intervallum: Olyan intervallum, mely legalább

Részletesebben

2. A ξ valószín ségi változó eloszlásfüggvénye a következ : x 4 81 F (x) = x 4 ha 3 < x 0 különben

2. A ξ valószín ségi változó eloszlásfüggvénye a következ : x 4 81 F (x) = x 4 ha 3 < x 0 különben 1 feladatsor 1 Egy dobozban 20 fehér golyó van Egy szabályos dobókockával dobunk, majd a következ t tesszük: ha a dobott szám 1,2 vagy 3, akkor tíz golyót cserélünk ki pirosra; ha a dobott szám 4 vagy

Részletesebben

Matematika A3 Valószínűségszámítás, 6. gyakorlat 2013/14. tavaszi félév

Matematika A3 Valószínűségszámítás, 6. gyakorlat 2013/14. tavaszi félév Matematika A3 Valószínűségszámítás, 6. gyakorlat 2013/14. tavaszi félév 1. A várható érték és a szórás transzformációja 1. Ha egy valószínűségi változóhoz hozzáadunk ötöt, mínusz ötöt, egy b konstanst,

Részletesebben

Statisztika - bevezetés Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc 1

Statisztika - bevezetés Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc 1 Statisztika - bevezetés 00.04.05. Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc Bevezetés Véletlen jelenség fogalma jelenséget okok bizonyos rendszere hozza létre ha mindegyik figyelembe vehető egyértelmű leírás általában

Részletesebben

Hipotézis vizsgálatok

Hipotézis vizsgálatok Hipotézis vizsgálatok Hipotézisvizsgálat Hipotézis: az alapsokaság paramétereire vagy az alapsokaság eloszlására vonatkozó feltevés. Hipotézis ellenőrzés: az a statisztikai módszer, amelynek segítségével

Részletesebben

[Biomatematika 2] Orvosi biometria

[Biomatematika 2] Orvosi biometria [Biomatematika 2] Orvosi biometria 2016.02.29. A statisztika típusai Leíró jellegű statisztika: összegzi egy adathalmaz jellemzőit. A középértéket jelemzi (medián, módus, átlag) Az adatok változékonyságát

Részletesebben

Hipotézis vizsgálatok

Hipotézis vizsgálatok Hipotézis vizsgálatok Hipotézisvizsgálat Hipotézis: az alapsokaság paramétereire vagy az alapsokaság eloszlására vonatkozó feltevés. Hipotézis ellenőrzés: az a statisztikai módszer, amelynek segítségével

Részletesebben

Hipotézisvizsgálat R-ben

Hipotézisvizsgálat R-ben Hipotézisvizsgálat R-ben 1-mintás u-próba Az elmúlt évben egy, az Antarktiszon talált királypingvinkolónia esetén a pingvinek átlagos testtömege 15.4 kg volt. Idén ugyanebből a kolóniából megmérték 35

Részletesebben

Statisztika Elıadások letölthetık a címrıl

Statisztika Elıadások letölthetık a címrıl Statisztika Elıadások letölthetık a http://www.cs.elte.hu/~arato/stat*.pdf címrıl Konfidencia intervallum Def.: 1-α megbízhatóságú konfidencia intervallum: Olyan intervallum, mely legalább 1-α valószínőséggel

Részletesebben

Normális eloszlás tesztje

Normális eloszlás tesztje Valószínűség, pontbecslés, konfidenciaintervallum Normális eloszlás tesztje Kolmogorov-Szmirnov vagy Wilk-Shapiro próba. R-funkció: shapiro.test(vektor) balra ferde eloszlás jobbra ferde eloszlás balra

Részletesebben

Hipotézis, sejtés STATISZTIKA. Kétmintás hipotézisek. Tudományos hipotézis. Munkahipotézis (H a ) Nullhipotézis (H 0 ) 11. Előadás

Hipotézis, sejtés STATISZTIKA. Kétmintás hipotézisek. Tudományos hipotézis. Munkahipotézis (H a ) Nullhipotézis (H 0 ) 11. Előadás STATISZTIKA Hipotézis, sejtés 11. Előadás Hipotézisvizsgálatok, nem paraméteres próbák Tudományos hipotézis Nullhipotézis felállítása (H 0 ): Kétmintás hipotézisek Munkahipotézis (H a ) Nullhipotézis (H

Részletesebben

36 0,3. Mo.: 36 0,19. Mo.: 36 0,14. Mo.: 32 = 0,9375 32 = 0,8125 32 = 0,40625. Mo.: 32 = 0,25

36 0,3. Mo.: 36 0,19. Mo.: 36 0,14. Mo.: 32 = 0,9375 32 = 0,8125 32 = 0,40625. Mo.: 32 = 0,25 Valószínűségszámítás I. Kombinatorikus valószínűségszámítás. BKSS 4... Egy szabályos dobókockát feldobva mennyi annak a valószínűsége, hogy a -ost dobunk; 0. b legalább 5-öt dobunk; 0, c nem az -est dobjuk;

Részletesebben

e (t µ) 2 f (t) = 1 F (t) = 1 Normális eloszlás negyedik centrális momentuma:

e (t µ) 2 f (t) = 1 F (t) = 1 Normális eloszlás negyedik centrális momentuma: Normális eloszlás ξ valószínűségi változó normális eloszlású. ξ N ( µ, σ 2) Paraméterei: µ: várható érték, σ 2 : szórásnégyzet (µ tetszőleges, σ 2 tetszőleges pozitív valós szám) Normális eloszlás sűrűségfüggvénye:

Részletesebben

STATISZTIKA. Egymintás u-próba. H 0 : Kefir zsírtartalma 3% Próbafüggvény, alfa=0,05. Egymintás u-próba vagy z-próba

STATISZTIKA. Egymintás u-próba. H 0 : Kefir zsírtartalma 3% Próbafüggvény, alfa=0,05. Egymintás u-próba vagy z-próba Egymintás u-próba STATISZTIKA 2. Előadás Középérték-összehasonlító tesztek Tesztelhetjük, hogy a valószínűségi változónk értéke megegyezik-e egy konkrét értékkel. Megválaszthatjuk a konfidencia intervallum

Részletesebben

Megoldások. ξ jelölje az első meghibásodásig eltelt időt. Akkor ξ N(6, 4; 2, 3) normális eloszlású P (ξ

Megoldások. ξ jelölje az első meghibásodásig eltelt időt. Akkor ξ N(6, 4; 2, 3) normális eloszlású P (ξ Megoldások Harmadik fejezet gyakorlatai 3.. gyakorlat megoldása ξ jelölje az első meghibásodásig eltelt időt. Akkor ξ N(6, 4;, 3 normális eloszlású P (ξ 8 ξ 5 feltételes valószínűségét (.3. alapján számoljuk.

Részletesebben

Kabos: Statisztika II. t-próba 9.1. Ha ismert a doboz szórása de nem ismerjük a

Kabos: Statisztika II. t-próba 9.1. Ha ismert a doboz szórása de nem ismerjük a Kabos: Statisztika II. t-próba 9.1 Egymintás z-próba Ha ismert a doboz szórása de nem ismerjük a doboz várhatóértékét, akkor a H 0 : a doboz várhatóértéke = egy rögzített érték hipotézisről úgy döntünk,

Részletesebben

GVMST22GNC Statisztika II. Keleti Károly Gazdasági Kar Vállalkozásmenedzsment Intézet

GVMST22GNC Statisztika II. Keleti Károly Gazdasági Kar Vállalkozásmenedzsment Intézet GVMST22GNC Statisztika II. 3. előadás: 8. Hipotézisvizsgálat Kóczy Á. László Keleti Károly Gazdasági Kar Vállalkozásmenedzsment Intézet Hipotézisvizsgálat v becslés Becslés Ismeretlen paraméter Közeĺıtő

Részletesebben

Valószínűségszámítás összefoglaló

Valószínűségszámítás összefoglaló Statisztikai módszerek BMEGEVGAT Készítette: Halász Gábor Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Gépészmérnöki Kar Hidrodinamikai Rendszerek Tanszék, Budapest, Műegyetem rkp. 3. D ép. 334. Tel:

Részletesebben

Abszolút folytonos valószín ségi változó (4. el adás)

Abszolút folytonos valószín ségi változó (4. el adás) Abszolút folytonos valószín ségi változó (4. el adás) Deníció (Abszolút folytonosság és s r ségfüggvény) Az X valószín ségi változó abszolút folytonos, ha van olyan f : R R függvény, melyre P(X t) = t

Részletesebben

[Biomatematika 2] Orvosi biometria

[Biomatematika 2] Orvosi biometria [Biomatematika 2] Orvosi biometria 2016.02.22. Valószínűségi változó Véletlentől függő számértékeket (értékek sokasága) felvevő változókat valószínűségi változóknak nevezzük(jelölés: ξ, η, x). (pl. x =

Részletesebben

Való szí nű sé gi va ltózó, sű rű sé gfű ggvé ny, élószla sfű ggvé ny

Való szí nű sé gi va ltózó, sű rű sé gfű ggvé ny, élószla sfű ggvé ny Való szí nű sé gi va ltózó, sű rű sé gfű ggvé ny, élószla sfű ggvé ny Szűk elméleti összefoglaló Valószínűségi változó: egy függvény, ami az eseményteret a valós számok halmazára tudja vetíteni. A val.

Részletesebben

Statisztikai becslés

Statisztikai becslés Kabos: Statisztika II. Becslés 1.1 Statisztikai becslés Freedman, D. - Pisani, R. - Purves, R.: Statisztika. Typotex, 2005. Reimann J. - Tóth J.: Valószínűségszámítás és matematikai statisztika. Tankönyvkiadó,

Részletesebben

Nagy számok törvényei Statisztikai mintavétel Várható érték becslése. Dr. Berta Miklós Fizika és Kémia Tanszék Széchenyi István Egyetem

Nagy számok törvényei Statisztikai mintavétel Várható érték becslése. Dr. Berta Miklós Fizika és Kémia Tanszék Széchenyi István Egyetem agy számok törvényei Statisztikai mintavétel Várható érték becslése Dr. Berta Miklós Fizika és Kémia Tanszék Széchenyi István Egyetem A mérés mint statisztikai mintavétel A méréssel az eloszlásfüggvénnyel

Részletesebben

STATISZTIKA ELŐADÁS ÁTTEKINTÉSE. Matematikai statisztika. Mi a modell? Binomiális eloszlás sűrűségfüggvény. Binomiális eloszlás

STATISZTIKA ELŐADÁS ÁTTEKINTÉSE. Matematikai statisztika. Mi a modell? Binomiális eloszlás sűrűségfüggvény. Binomiális eloszlás ELŐADÁS ÁTTEKINTÉSE STATISZTIKA 9. Előadás Binomiális eloszlás Egyenletes eloszlás Háromszög eloszlás Normális eloszlás Standard normális eloszlás Normális eloszlás mint modell 2/62 Matematikai statisztika

Részletesebben

Statisztika I. 4. előadás Mintavétel. Kóczy Á. László KGK-VMI. Minta Mintavétel Feladatok. http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1.

Statisztika I. 4. előadás Mintavétel. Kóczy Á. László KGK-VMI. Minta Mintavétel Feladatok. http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1. Statisztika I. 4. előadás Mintavétel http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1.htm Kóczy Á. László KGK-VMI koczy.laszlo@kgk.uni-obuda.hu Sokaság és minta Alap- és mintasokaság A mintasokaság az a részsokaság,

Részletesebben

Statisztika I. 4. előadás Mintavétel. Kóczy Á. László KGK-VMI. Minta Mintavétel Feladatok. http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1.

Statisztika I. 4. előadás Mintavétel. Kóczy Á. László KGK-VMI. Minta Mintavétel Feladatok. http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1. Statisztika I. 4. előadás Mintavétel http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1.htm Kóczy Á. László KGK-VMI koczy.laszlo@kgk.uni-obuda.hu Sokaság és minta Alap- és mintasokaság A mintasokaság az a részsokaság,

Részletesebben

Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat, megoldással,

Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat, megoldással, Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat, megoldással, levelező képzés Definiálja az alábbi fogalmakat! 1. Kvadratikus mátrix invertálhatósága és inverze. (4 pont) Egy A kvadratikus mátrixot invertálhatónak

Részletesebben

egyenletesen, és c olyan színű golyót teszünk az urnába, amilyen színűt húztunk. Bizonyítsuk

egyenletesen, és c olyan színű golyót teszünk az urnába, amilyen színűt húztunk. Bizonyítsuk Valószínűségszámítás 8. feladatsor 2015. november 26. 1. Bizonyítsuk be, hogy az alábbi folyamatok mindegyike martingál. a S n, Sn 2 n, Y n = t n 1+ 1 t 2 Sn, t Fn = σ S 1,..., S n, 0 < t < 1 rögzített,

Részletesebben

x, x R, x rögzített esetén esemény. : ( ) x Valószínűségi Változó: Feltételes valószínűség: Teljes valószínűség Tétele: Bayes Tétel:

x, x R, x rögzített esetén esemény. : ( ) x Valószínűségi Változó: Feltételes valószínűség: Teljes valószínűség Tétele: Bayes Tétel: Feltételes valószínűség: Teljes valószínűség Tétele: Bayes Tétel: Valószínűségi változó általános fogalma: A : R leképezést valószínűségi változónak nevezzük, ha : ( ) x, x R, x rögzített esetén esemény.

Részletesebben

A valószínűségszámítás elemei

A valószínűségszámítás elemei A valószínűségszámítás elemei Kísérletsorozatban az esemény relatív gyakorisága: k/n, ahol k az esemény bekövetkezésének abszolút gyakorisága, n a kísérletek száma. Pl. Jelenség: kockadobás Megfigyelés:

Részletesebben

NEVEZETES FOLYTONOS ELOSZLÁSOK

NEVEZETES FOLYTONOS ELOSZLÁSOK Bodó Beáta - MATEMATIKA II 1 NEVEZETES FOLYTONOS ELOSZLÁSOK EXPONENCIÁLIS ELOSZLÁS 1. A ξ valószínűségi változó eponenciális eloszlású 80 várható értékkel. (a) B Adja meg és ábrázolja a valószínűségi változó

Részletesebben

Biometria gyakorló feladatok BsC hallgatók számára

Biometria gyakorló feladatok BsC hallgatók számára Biometria gyakorló feladatok BsC hallgatók számára 1. Egy üzem alkalmazottainak megoszlása az elért teljesítmény %-a szerint a következı: Norma teljesítmény % Dolgozók száma 60-80 30 81-90 70 91-100 90

Részletesebben

Kiválasztás. A változó szerint. Rangok. Nem-paraméteres eljárások. Rang: Egy valamilyen szabály szerint felállított sorban elfoglalt hely.

Kiválasztás. A változó szerint. Rangok. Nem-paraméteres eljárások. Rang: Egy valamilyen szabály szerint felállított sorban elfoglalt hely. Kiválasztás A változó szerint Egymintás t-próba Mann-Whitney U-test paraméteres nem-paraméteres Varianciaanalízis De melyiket válasszam? Kétmintás t-próba Fontos, hogy mindig a kérdésnek és a változónak

Részletesebben

Matematika III. 9. Statisztikai hipotézisek Prof. Dr. Závoti, József

Matematika III. 9. Statisztikai hipotézisek Prof. Dr. Závoti, József Matematika III. 9. Statisztikai hipotézisek Prof. Dr. Závoti, József Matematika III. 9. : Statisztikai hipotézisek Prof. Dr. Závoti, József Lektor : Bischof, Annamária Ez a modul a TÁMOP - 4.1.2-08/1/A-2009-0027

Részletesebben

Véletlen jelenség: okok rendszere hozza létre - nem ismerhetjük mind, ezért sztochasztikus.

Véletlen jelenség: okok rendszere hozza létre - nem ismerhetjük mind, ezért sztochasztikus. Valószín ségelméleti és matematikai statisztikai alapfogalmak összefoglalása (Kemény Sándor - Deák András: Mérések tervezése és eredményeik értékelése, kivonat) Véletlen jelenség: okok rendszere hozza

Részletesebben

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Statisztikai becslés Statisztikák eloszlása

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Statisztikai becslés Statisztikák eloszlása Matematikai alapok és valószínőségszámítás Statisztikai becslés Statisztikák eloszlása Mintavétel A statisztikában a cél, hogy az érdeklõdés tárgyát képezõ populáció bizonyos paramétereit a populációból

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 4 IV. MINTA, ALAPsTATIsZTIKÁK 1. MATEMATIKAI statisztika A matematikai statisztika alapfeladatát nagy általánosságban a következőképpen

Részletesebben

A gyakorlat célja a fehér és a színes zaj bemutatása.

A gyakorlat célja a fehér és a színes zaj bemutatása. A gyakorlat célja a fehér és a színes zaj bemutatása. 1.@. FFT begyakorlása n = [:9]; % Harminc minta x = cos(*pi*n/1); % 1 mintát veszünk periodusonként N1 = 64; % Három módon számoljuk az FFT-t N = 18;

Részletesebben

Dr. Karácsony Zsolt. Miskolci Egyetem november

Dr. Karácsony Zsolt. Miskolci Egyetem november Valószínűségszámítás és Matematikai statisztika Dr. Karácsony Zsolt Miskolci Egyetem, Alkalmazott Matematikai Tanszék 2013-2014 tanév 1. félév Miskolci Egyetem 2013. november 11-18 - 25. Dr. Karácsony

Részletesebben

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Normál eloszlás

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Normál eloszlás Matematikai alapok és valószínőségszámítás Normál eloszlás A normál eloszlás Folytonos változók esetén az eloszlás meghatározása nehezebb, mint diszkrét változók esetén. A változó értékei nem sorolhatóak

Részletesebben

Készítette: Fegyverneki Sándor

Készítette: Fegyverneki Sándor VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS Összefoglaló segédlet Készítette: Fegyverneki Sándor Miskolci Egyetem, 2001. i JELÖLÉSEK: N a természetes számok halmaza (pozitív egészek) R a valós számok halmaza R 2 {(x, y) x, y

Részletesebben

Baran Ágnes, Burai Pál, Noszály Csaba. Gyakorlat Differenciálegyenletek numerikus megoldása

Baran Ágnes, Burai Pál, Noszály Csaba. Gyakorlat Differenciálegyenletek numerikus megoldása Matematika Mérnököknek 2. Baran Ágnes, Burai Pál, Noszály Csaba Gyakorlat Differenciálegyenletek numerikus megoldása Baran Ágnes, Burai Pál, Noszály Csaba Matematika Mérnököknek 2. Gyakorlat 1 / 18 Fokozatos

Részletesebben

Eseményalgebra. Esemény: minden amirl a kísérlet elvégzése során eldönthet egyértelmen hogy a kísérlet során bekövetkezett-e vagy sem.

Eseményalgebra. Esemény: minden amirl a kísérlet elvégzése során eldönthet egyértelmen hogy a kísérlet során bekövetkezett-e vagy sem. Eseményalgebra. Esemény: minden amirl a kísérlet elvégzése során eldönthet egyértelmen hogy a kísérlet során bekövetkezett-e vagy sem. Elemi esemény: a kísérlet egyes lehetséges egyes lehetséges kimenetelei.

Részletesebben

Többváltozós lineáris regressziós modell feltételeinek

Többváltozós lineáris regressziós modell feltételeinek Többváltozós lineáris regressziós modell feltételeinek tesztelése I. - A hibatagra vonatkozó feltételek tesztelése - Petrovics Petra Doktorandusz Többváltozós lineáris regressziós modell x 1, x 2,, x p

Részletesebben

Biostatisztika Összefoglalás

Biostatisztika Összefoglalás Biostatisztika Összefoglalás A biostatisztika vizsga A biostatisztika vizsga az Orvosi fizika és statisztika I. fizika vizsgájával egy napon történik. A vizsga keretében 30 perc alatt 0 kérdésre kell válaszolni

Részletesebben

1. Oldja meg a z 3 (5 + 3j) (8 + 2j) 2. Adottak az A(1,4,3), B(3,1, 1), C( 5,2,4) pontok a térben.

1. Oldja meg a z 3 (5 + 3j) (8 + 2j) 2. Adottak az A(1,4,3), B(3,1, 1), C( 5,2,4) pontok a térben. Szak: Műszaki menedzser I. Dátum: 006. június. MEGOLDÓKULCS Tárgy: Matematika szigorlat Idő: 0 perc Neptun kód: Előadó: Berta Gábor szig 06 06 0 Pontszám: /00p. Oldja meg a z (5 + j (8 + j + = (+5j (7

Részletesebben

A biostatisztika alapfogalmai, hipotézisvizsgálatok. Dr. Boda Krisztina Boda PhD SZTE ÁOK Orvosi Informatikai Intézet

A biostatisztika alapfogalmai, hipotézisvizsgálatok. Dr. Boda Krisztina Boda PhD SZTE ÁOK Orvosi Informatikai Intézet A biostatisztika alapfogalmai, hipotézisvizsgálatok Dr. Boda Krisztina Boda PhD SZTE ÁOK Orvosi Informatikai Intézet Hipotézisvizsgálatok A hipotézisvizsgálat során a rendelkezésre álló adatok (statisztikai

Részletesebben

Függvények ábrázolása

Függvények ábrázolása Függvények ábrázolása Matematikai függvényeket analitikusan nem tudunk a matlabban megadni (tudunk, de ilyet még nem tanulunk). Ahhoz, hogy egy függvényt ábrázoljuk, hasonlóan kell eljárni, mint a házi

Részletesebben

Matematika III. 5. Nevezetes valószínűség-eloszlások Prof. Dr. Závoti, József

Matematika III. 5. Nevezetes valószínűség-eloszlások Prof. Dr. Závoti, József Matematika III. 5. Nevezetes valószínűség-eloszlások Prof. Dr. Závoti, József Matematika III. 5. : Nevezetes valószínűség-eloszlások Prof. Dr. Závoti, József Lektor : Bischof, Annamária Ez a modul a TÁMOP

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 3 III. VÉLETLEN VEKTOROK 1. A KÉTDIMENZIÓs VÉLETLEN VEKTOR Definíció: Az leképezést (kétdimenziós) véletlen vektornak nevezzük, ha Definíció:

Részletesebben

Két diszkrét változó függetlenségének vizsgálata, illeszkedésvizsgálat

Két diszkrét változó függetlenségének vizsgálata, illeszkedésvizsgálat Két diszkrét változó függetlenségének vizsgálata, illeszkedésvizsgálat Szűcs Mónika SZTE ÁOK-TTIK Orvosi Fizikai és Orvosi Informatikai Intézet Orvosi fizika és statisztika I. előadás 2016.11.09 Orvosi

Részletesebben

Matlab alapok. Baran Ágnes. Grafika. Baran Ágnes Matlab alapok Grafika 1 / 21

Matlab alapok. Baran Ágnes. Grafika. Baran Ágnes Matlab alapok Grafika 1 / 21 Matlab alapok Baran Ágnes Grafika Baran Ágnes Matlab alapok Grafika / 2 Vonalak, pontok síkon figure nyit egy új grafikus ablakot plot(x,y) ahol x és y ugyanolyan méretű vektorok, ábrázolja az (x i,y i

Részletesebben

Többváltozós lineáris regressziós modell feltételeinek tesztelése I.

Többváltozós lineáris regressziós modell feltételeinek tesztelése I. Többváltozós lineáris regressziós modell feltételeinek tesztelése I. - A hibatagra vonatkozó feltételek tesztelése - Kvantitatív statisztikai módszerek Petrovics Petra Többváltozós lineáris regressziós

Részletesebben

STATISZTIKA ELŐADÁS ÁTTEKINTÉSE. Mi a modell? Matematikai statisztika. 300 dobás. sűrűségfüggvénye. Egyenletes eloszlás

STATISZTIKA ELŐADÁS ÁTTEKINTÉSE. Mi a modell? Matematikai statisztika. 300 dobás. sűrűségfüggvénye. Egyenletes eloszlás ELŐADÁS ÁTTEKINTÉSE STATISZTIKA 7. Előadás Egyenletes eloszlás Binomiális eloszlás Normális eloszlás Standard normális eloszlás Normális eloszlás mint modell /56 Matematikai statisztika Reprezentatív mintavétel

Részletesebben

Számítógépes döntéstámogatás. Statisztikai elemzés

Számítógépes döntéstámogatás. Statisztikai elemzés SZDT-03 p. 1/22 Számítógépes döntéstámogatás Statisztikai elemzés Werner Ágnes Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék e-mail: werner.agnes@virt.uni-pannon.hu Előadás SZDT-03 p. 2/22 Rendelkezésre

Részletesebben

Elméleti összefoglaló a Sztochasztika alapjai kurzushoz

Elméleti összefoglaló a Sztochasztika alapjai kurzushoz Elméleti összefoglaló a Sztochasztika alapjai kurzushoz 1. dolgozat Véletlen kísérletek, események valószín sége Deníció. Egy véletlen kísérlet lehetséges eredményeit kimeneteleknek nevezzük. A kísérlet

Részletesebben

Matematikai statisztikai elemzések 4.

Matematikai statisztikai elemzések 4. Matematikai statisztikai elemzések 4. Hipotézisvizsgálat: alapfogalmak, egymintás és kétmintás próbák. Prof. Dr. Závoti, József Matematikai statisztikai elemzések 4.: Hipotézisvizsgálat: alapfogalmak,

Részletesebben

[Biomatematika 2] Orvosi biometria

[Biomatematika 2] Orvosi biometria [Biomatematika 2] Orvosi biometria 2016.02.15. Esemény Egy kísérlet vagy megfigyelés (vagy mérés) lehetséges eredményeinek összessége (halmaza) alkotja az eseményteret. Esemény: az eseménytér részhalmazai.

Részletesebben

Biomatematika 15. Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar. Fodor János

Biomatematika 15. Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar. Fodor János Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar Biomatematikai és Számítástechnikai Tanszék Biomatematika 15. Nemparaméteres próbák Fodor János Copyright c Fodor.Janos@aotk.szie.hu Last Revision Date: November

Részletesebben

Hipotézisvizsgálat az Excel adatelemző eljárásaival. Dr. Nyéki Lajos 2018

Hipotézisvizsgálat az Excel adatelemző eljárásaival. Dr. Nyéki Lajos 2018 Hipotézisvizsgálat az Excel adatelemző eljárásaival Dr. Nyéki Lajos 2018 Egymintás t-próba Az egymintás T-próba azt vizsgálja, hogy különbözik-e a változó M átlaga egy megadott m konstanstól. Az a feltételezés,

Részletesebben

A valószínűségszámítás elemei

A valószínűségszámítás elemei Alapfogalmak BIOSTATISZTIKA ÉS INFORMATIKA A valószínűségszámítás elemei Jelenség: minden, ami lényegében azonos feltételek mellett megismételhető, amivel kapcsolatban megfigyeléseket lehet végezni, lehet

Részletesebben

A biostatisztika alapfogalmai, hipotézisvizsgálatok. Dr. Boda Krisztina PhD SZTE ÁOK Orvosi Informatikai Intézet

A biostatisztika alapfogalmai, hipotézisvizsgálatok. Dr. Boda Krisztina PhD SZTE ÁOK Orvosi Informatikai Intézet A biostatisztika alapfogalmai, hipotézisvizsgálatok Dr. Boda Krisztina PhD SZTE ÁOK Orvosi Informatikai Intézet Hipotézis Állítás a populációról (vagy annak paraméteréről) Példák H1: p=0.5 (a pénzérme

Részletesebben

Elméleti összefoglaló a Valószín ségszámítás kurzushoz

Elméleti összefoglaló a Valószín ségszámítás kurzushoz Elméleti összefoglaló a Valószín ségszámítás kurzushoz Véletlen kísérletek, események valószín sége Deníció. Egy véletlen kísérlet lehetséges eredményeit kimeneteleknek nevezzük. A kísérlet kimeneteleinek

Részletesebben

Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat megoldása, június 10

Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat megoldása, június 10 Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat megoldása, 204. június 0 A dolgozatírásnál íróeszközön kívül más segédeszköz nem használható. A dolgozat időtartama: 90 perc. Ha a dolgozat első részéből szerzett

Részletesebben

Közlemény. Biostatisztika és informatika alapjai. Alapsokaság és minta

Közlemény. Biostatisztika és informatika alapjai. Alapsokaság és minta Közlemény Biostatisztika és informatika alajai. előadás: Az orvostudományban előforduló nevezetes eloszlások 6. szetember 9. Veres Dániel Statisztika és Informatika tankönyv (Herényi Levente) már kaható

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 10 X. SZIMULÁCIÓ 1. VÉLETLEN számok A véletlen számok fontos szerepet játszanak a véletlen helyzetek generálásában (pénzérme, dobókocka,

Részletesebben

BIOMATEMATIKA ELŐADÁS

BIOMATEMATIKA ELŐADÁS BIOMATEMATIKA ELŐADÁS 9. Együttes eloszlás, kovarianca, nevezetes eloszlások Debreceni Egyetem, 2015 Dr. Bérczes Attila, Bertók Csanád A diasor tartalma 1 Bevezetés, definíciók Együttes eloszlás Függetlenség

Részletesebben

2013 ŐSZ. 1. Mutassa be az egymintás z-próba célját, alkalmazásának feltételeit és módszerét!

2013 ŐSZ. 1. Mutassa be az egymintás z-próba célját, alkalmazásának feltételeit és módszerét! GAZDASÁGSTATISZTIKA KIDOLGOZOTT ELMÉLETI KÉRDÉSEK A 3. ZH-HOZ 2013 ŐSZ Elméleti kérdések összegzése 1. Mutassa be az egymintás z-próba célját, alkalmazásának feltételeit és módszerét! 2. Mutassa be az

Részletesebben

Matematikai statisztika I. témakör: Valószínűségszámítási ismétlés

Matematikai statisztika I. témakör: Valószínűségszámítási ismétlés Matematikai statisztika I. témakör: Valószínűségszámítási ismétlés Elek Péter 1. Valószínűségi változók és eloszlások 1.1. Egyváltozós eset Ismétlés: valószínűség fogalma Valószínűségekre vonatkozó axiómák

Részletesebben

Matematikai statisztikai elemzések 4.

Matematikai statisztikai elemzések 4. Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara Prof. Dr. Závoti József Matematikai statisztikai elemzések 4. MSTE4 modul Hipotézisvizsgálat: alapfogalmak, egymintás és kétmintás próbák. Illeszkedés-

Részletesebben

Véletlenszám generátorok és tesztelésük HORVÁTH BÁLINT

Véletlenszám generátorok és tesztelésük HORVÁTH BÁLINT Véletlenszám generátorok és tesztelésük HORVÁTH BÁLINT Mi a véletlen? Determinisztikus vs. Véletlen esemény? Véletlenszám: számok sorozata, ahol véletlenszerűen követik egymást az elemek Pszeudo-véletlenszám

Részletesebben

Egymintás próbák. Alapkérdés: populáció <paramétere/tulajdonsága> megegyezik-e egy referencia paraméter értékkel/tulajdonsággal?

Egymintás próbák. Alapkérdés: populáció <paramétere/tulajdonsága> megegyezik-e egy referencia paraméter értékkel/tulajdonsággal? Egymintás próbák σ s μ m Alapkérdés: A populáció egy adott megegyezik-e egy referencia paraméter értékkel/tulajdonsággal? egymintás t-próba Wilcoxon-féle előjeles

Részletesebben

STATISZTIKA. A maradék független a kezelés és blokk hatástól. Maradékok leíró statisztikája. 4. A modell érvényességének ellenőrzése

STATISZTIKA. A maradék független a kezelés és blokk hatástól. Maradékok leíró statisztikája. 4. A modell érvényességének ellenőrzése 4. A modell érvényességének ellenőrzése STATISZTIKA 4. Előadás Variancia-analízis Lineáris modellek 1. Függetlenség 2. Normális eloszlás 3. Azonos varianciák A maradék független a kezelés és blokk hatástól

Részletesebben

Kísérlettervezés alapfogalmak

Kísérlettervezés alapfogalmak Kísérlettervezés alapfogalmak Rendszermodellezés Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Méréstechnika és Információs Rendszerek Tanszék Kísérlettervezés Cél: a modell paraméterezése a valóság alapján

Részletesebben

Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat megoldása A csoport

Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat megoldása A csoport Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat megoldása A csoport Definiálja az alábbi fogalmakat!. Egy eseménynek egy másik eseményre vonatkozó feltételes valószínűsége. ( pont) Az A esemény feltételes valószínűsége

Részletesebben

Valószínűségi változók. Várható érték és szórás

Valószínűségi változók. Várható érték és szórás Matematikai statisztika gyakorlat Valószínűségi változók. Várható érték és szórás Valószínűségi változók 2016. március 7-11. 1 / 13 Valószínűségi változók Legyen a (Ω, A, P) valószínűségi mező. Egy X :

Részletesebben

6. Előadás. Vereb György, DE OEC BSI, október 12.

6. Előadás. Vereb György, DE OEC BSI, október 12. 6. Előadás Visszatekintés: a normális eloszlás Becslés, mintavételezés Reprezentatív minta A statisztika, mint változó Paraméter és Statisztika Torzítatlan becslés A mintaközép eloszlása - centrális határeloszlás

Részletesebben

BIOMETRIA (H 0 ) 5. Előad. zisvizsgálatok. Hipotézisvizsg. Nullhipotézis

BIOMETRIA (H 0 ) 5. Előad. zisvizsgálatok. Hipotézisvizsg. Nullhipotézis Hipotézis BIOMETRIA 5. Előad adás Hipotézisvizsg zisvizsgálatok Tudományos hipotézis Nullhipotézis feláll llítása (H ): Kétmintás s hipotézisek Munkahipotézis (H a ) Nullhipotézis (H ) > = 1 Statisztikai

Részletesebben

Biostatisztika Összefoglalás

Biostatisztika Összefoglalás Biostatisztika Összefoglalás A biostatisztika vizsga A biostatisztika vizsga az Orvosi fizika és statisztika I. fizika vizsgájával egy napon történik. A vizsga keretében 30 perc alatt 0 kérdésre kell válaszolni

Részletesebben

Biometria az orvosi gyakorlatban. Számítógépes döntéstámogatás

Biometria az orvosi gyakorlatban. Számítógépes döntéstámogatás SZDT-01 p. 1/23 Biometria az orvosi gyakorlatban Számítógépes döntéstámogatás Werner Ágnes Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék e-mail: werner.agnes@virt.uni-pannon.hu Gyakorlat SZDT-01 p.

Részletesebben

Statisztika elméleti összefoglaló

Statisztika elméleti összefoglaló 1 Statisztika elméleti összefoglaló Tel.: 0/453-91-78 1. Tartalomjegyzék 1. Tartalomjegyzék.... Becsléselmélet... 3 3. Intervallumbecslések... 5 4. Hipotézisvizsgálat... 8 5. Regresszió-számítás... 11

Részletesebben

TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok II. útmutató

TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok II. útmutató BGF PÉNZÜGYI ÉS SZÁMVITELI KAR Módszertani Intézeti Tanszéki Osztály TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok II. útmutató 2013/2014. tanév II. félév Tantárgyi program Tantárgy megnevezése Tantárgy jellege/típusa:

Részletesebben

Biometria az orvosi gyakorlatban. Korrelációszámítás, regresszió

Biometria az orvosi gyakorlatban. Korrelációszámítás, regresszió SZDT-08 p. 1/31 Biometria az orvosi gyakorlatban Korrelációszámítás, regresszió Werner Ágnes Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék e-mail: werner.agnes@virt.uni-pannon.hu Korrelációszámítás

Részletesebben

biometria III. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert Hipotézisvizsgálat

biometria III. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert Hipotézisvizsgálat Kísérlettervezés - biometria III. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert u-próba Feltétel: egy ormális eloszlású sokaság σ variaciájáak számszerű értéke ismert. Hipotézis: a sokaság µ várható értéke

Részletesebben

Biomatematika 2 Orvosi biometria

Biomatematika 2 Orvosi biometria Biomatematika 2 Orvosi biometria 2017.02.13. Populáció és minta jellemző adatai Hibaszámítás Valószínűség 1 Esemény Egy kísérlet vagy megfigyelés (vagy mérés) lehetséges eredményeinek összessége (halmaza)

Részletesebben

TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok 2. útmutató

TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok 2. útmutató BGF PÉNZÜGYI ÉS SZÁMVITELI KAR Módszertani Intézeti Tanszéki Osztály TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok 2. útmutató 2015/2016. tanév I. félév Tantárgyi program Tantárgy megnevezése Tantárgy jellege/típusa:

Részletesebben

Kísérlettervezés alapfogalmak

Kísérlettervezés alapfogalmak Kísérlettervezés alapfogalmak Rendszermodellezés Budapest University of Technology and Economics Fault Tolerant Systems Research Group Budapest University of Technology and Economics Department of Measurement

Részletesebben

3. Egy szabályos dobókockát kétszer feldobva mennyi annak a valószínűsége, hogy a dobott számok különbségének abszolutértéke nagyobb mint 4?

3. Egy szabályos dobókockát kétszer feldobva mennyi annak a valószínűsége, hogy a dobott számok különbségének abszolutértéke nagyobb mint 4? 1. Kombinatorikus valószínűség 1. Egy dobókockát kétszer feldobunk. a) Írjuk le az eseményteret! b) Mennyi annak a valószínűsége, hogy az első dobás eredménye nagyobb, mint a másodiké? 2. Mennyi a valószínűsége

Részletesebben