Dr. Karácsony Zsolt. Miskolci Egyetem november
|
|
- Csaba Vincze
- 7 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Valószínűségszámítás és Matematikai statisztika Dr. Karácsony Zsolt Miskolci Egyetem, Alkalmazott Matematikai Tanszék tanév 1. félév Miskolci Egyetem november Dr. Karácsony Zsolt Valószínűségszámítás és Matematikai statisztika 1/62
2 Tartalom előadás előadás előadás Dr. Karácsony Zsolt Valószínűségszámítás és Matematikai statisztika 2/62
3 Tartalom előadás előadás előadás Dr. Karácsony Zsolt Valószínűségszámítás és Matematikai statisztika 3/62
4 10. előadás Statisztika Alapfeladat Következtetés tapasztalati adatokból események ismeretlen valószínűségére vagy valószínűségi változók ismeretlen eloszlásfüggvényére és ezek paramétereire. (Vincze, 1975) Dr. Karácsony Zsolt Valószínűségszámítás és Matematikai statisztika 4/62
5 10. előadás Minta, mintavétel Bevezetés A valószínűség-számítás tárgyalása során feltételeztük, hogy a háttérben egy (Ω, A, P) valószínűségi mező áll, az X vagy ξ valószínűségi változó Ω-n értelmezett, X eloszlásfüggvénye F és F ismert. A statisztikai megfigyeléseket éppen azért végezzük, hogy az F eloszlásfüggvényt megismerjük. Legyen Θ egy nemüres halmaz, minden θ Θ legyen (Ω, A, P θ ) valószínűségi mező. Az (Ω, A, P θ ), θ Θ összeséget statisztikai mintának nevezzük. Θ-t paramétertérnek, elemeit pedig paramétereknek nevezzük. Dr. Karácsony Zsolt Valószínűségszámítás és Matematikai statisztika 5/62
6 10. előadás Minta, mintavétel Az X 1, X 2,..., X n független, azonos eloszlású valószínűségi változókat mintának nevezzük. Rögzített ω Ω esetén az x 1 = X 1 (ω), x 2 = X 2 (ω),..., x n = X n (ω) szám n-est minta realizációjának nevezzük. Empírikus eloszlásfüggvény Próbáljuk meg rekonstruálni a minta alapján az F eloszlásfüggvényt! Legyen ω Ω rögzített, jelölje X 1 (ω) X 2 (ω)... X n (ω) az X 1 (ω), X 2 (ω),..., X n (ω) minta realizáció elemeinek nagyság szerint növekvő permutációja. Az X 1 X 2... X n valószínűségi változókat rendezett mintának nevezzük. Dr. Karácsony Zsolt Valószínűségszámítás és Matematikai statisztika 6/62
7 10. előadás Empírikus eloszlásfüggvény Legyen X 1, X 2,..., X n rendezett minta. Az Fn (x) = 0, ha x X 1, k n, ha X k x X k+1, k = 1, 2,..., n 1 1, ha x > X n. függvényt empírikus eloszlásfüggvénynek nevezzük. Dr. Karácsony Zsolt Valószínűségszámítás és Matematikai statisztika 7/62
8 10. előadás Empírikus eloszlásfüggvénynekk Tétel Rögzített x R esetén az alábbiak teljesülnek: a.) nf n (x) binomiális eloszlású; b.) F n (x) várható értéke F (x); c.) F n (x) szórása 0-hoz tart, ha n ; d.) F n (x) F (x) sztochasztikusan, ha n. Tétel Bármely rögzített x R esetén lim F n n (x) = F (x) majdnem biztosan; lim F n n (x + 0) = F (x + 0) majdnem biztosan. Dr. Karácsony Zsolt Valószínűségszámítás és Matematikai statisztika 8/62
9 10. előadás A matematikai statisztika alaptétele Glivenko-tétele Ha az X 1, X 2,..., X n független minta, akkor sup Fn (x) F (x) 0, x R ha n teljesül 1 valószínűséggel. Dr. Karácsony Zsolt Valószínűségszámítás és Matematikai statisztika 9/62
10 10. előadás Statisztikák Sokféle statisztika használatos, ki kell emelni ezek közül is a hisztogramokat. Tekintsünk egy X 1, X 2,..., X n mintát! Osszuk fel a számegyenest y 0 < y 1 <... < y r osztópontokkal. Tegyük fel, hogy minden mintaelem beleesik az (y 0, y r ) intervallumba. Jelölje ν i az [y i 1, y i ) intervallumba eső elemek számát. (i = 1, 2,..., r) Rajzoljunk az [y i 1, y i ) intervallum felé ν i -vel arányos területű téglalapot.(i = 1, 2,..., r) Így megkapjuk a hisztogramot. Ha a téglalapok összterülete n, akkor a gyakorisági-hisztogramhoz jutunk. Ha a téglalapok öszterülete 1, akkor a sűrűség-hisztogramhoz jutunk. Dr. Karácsony Zsolt Valószínűségszámítás és Matematikai statisztika 10/62
11 10. előadás Statisztikák A gyakorisági-hisztogram az az f n valós függvény, melyre { νi y f n (x) = i y i 1, ha x [y i 1, y i ], i = 1, 2,..., n 0, ha x / [y 0, y r ]. Megjegyzés Sűrűség-hisztogram esetén az i-dik téglalap magassága: ν i n(y i y i 1 ). Dr. Karácsony Zsolt Valószínűségszámítás és Matematikai statisztika 11/62
12 10. előadás Statisztikák Legyen x 1, x 2,..., x n minta X -re. Az X = 1 n (x 1 + x x n ) valószínűségi változót empírikus középnek nevezzük. Legyen x 1, x 2,..., x n minta X -re. Az s 2 n = 1 n n (x i X ) 2 i=1 mennyiséget empírikus szórásnégyzetnek nevezzük. Dr. Karácsony Zsolt Valószínűségszámítás és Matematikai statisztika 12/62
13 10. előadás Statisztikák Legyen x 1, x 2,..., x n minta X -re. Az s 2 n = 1 n 1 n (x i X ) 2 mennyiséget korrigált empírikus szórásnégyzetnek nevezzük. i=1 Megjegyzés Az empírikus szórásnégyzet segítségével következtethetünk az X ismeretlen szórásnégyzetére. Dr. Karácsony Zsolt Valószínűségszámítás és Matematikai statisztika 13/62
14 10. előadás Steiner-formula Tétel (Steiner-formula) Tetszőleges a R esetén ns 2 n = n (x i a) 2 n(x a) 2. i=1 Bizonyítás n nsn 2 = [(x i a) (X a)] 2 = i=1 n (x i a) 2 2 i=1 n (x i a) 2 n(x a) 2. n n (x i a)(x a) + (X a) 2 = i=1 i=1 i=1 Dr. Karácsony Zsolt Valószínűségszámítás és Matematikai statisztika 14/62
15 10. előadás Steiner-formula Megjegyzés Számolhatjuk ki az sn 2 a = m-et írunk. várható értékét, ha a Steiner formulába Tétel Legyen E(X ) = m, D 2 (X ) = σ 2. Ekkor E(s 2 n ) = σ 2. Bizonyítás [ ] E(sn 2 1 n ) = E (x i m) 2 n (X m)2 = n 1 n 1 i=1 1 n E(x i m) 2 n n 1 n 1 E(X m)2. i=1 Dr. Karácsony Zsolt Valószínűségszámítás és Matematikai statisztika 15/62
16 10. előadás Steiner-formula Bizonyítás Mivel E(x i m) 2 = σ 2, illetve E(X m) 2 = E ( x x n nm) 2 n = 1 nσ 2, ezért n 2 E(s 2 n ) = n n 1 σ2 n σ 2 n 1 n = σ2, tehát a korrigált empírikus szórásnégyzet várható értéke éppen az elméleti szórásnégyzet. Dr. Karácsony Zsolt Valószínűségszámítás és Matematikai statisztika 16/62
17 10. előadás Statisztikák Legyen x 1, x 2,..., x n minta X -re. A k-dik tapasztalati momentum 1 n alatt a következő kifejezést értjük: xi k. n Legyen x 1, x 2,..., x n minta X -re. A minta terjedelme alatt a xn x1 mennyiséget értjük. Legyen x 1, x 2,..., x n minta X -re. A szórási együttható alatt a sn X mennyiséget értjük. i=1 Dr. Karácsony Zsolt Valószínűségszámítás és Matematikai statisztika 17/62
18 10. előadás Statisztikák Legyen x 1, x 2,..., x n minta X -re. A minta mediánja alatt a { x m+1, ha n = 2m + 1, med(x) = xm+x m+1 2, ha n = 2m mennyiséget értjük. Legyen x 1, x 2,..., x n minta X -re. A minta medián abszolút eltérése alatt a mennyiséget értjük. MAD(x) = med( x i med(x) ) Dr. Karácsony Zsolt Valószínűségszámítás és Matematikai statisztika 18/62
19 10. előadás Kvantilis Adott az F eloszlásfüggvény és a p valószínűség. Az x p p-kvantilis, ha p = F (x p ). Ha p = 0.5, akkor mediánnak, még p = 0.25 és 0.75 esetén alsó illetve felső kvartilisnek nevezzük. Egy sokaság p tapasztalati kvartilise x p = (1 q)xa + qx B, A = [np]; B = [np] + 1; q = {np}. Példa Ha p = 0.21, n = 40, akkor x p = (1 0.4)x x 9. Dr. Karácsony Zsolt Valószínűségszámítás és Matematikai statisztika 19/62
20 10. előadás Becslési módszerek Bevezetés A becsléselméletben gyakran feltételezzük, hogy a megfigyelt mennyiségek független valószínűségi változók, közös F θ0 eloszlással, amely egy meghatározott {F θ θ Θ} eloszláshalmazba tartozik. Θ általában R k egy részhalmaza. Megpróbáljuk θ 0 értékét a megfigyelések alapján meghatározni. Legyen adott az X 1, X 2,..., X n minta, melynek sűrűségfüggvénye f és ez a Θ paramétertől függ. Tehát adott a {f (., θ) θ Θ R k }. Dr. Karácsony Zsolt Valószínűségszámítás és Matematikai statisztika 20/62
21 10. előadás Becslési módszerek Pontbecslésnek nevezzük a mintaelemek mérhető függvényét, ahol a becslés és a paraméter koordinátáinak a száma megegyezik, azaz Θ n (X 1, X 2,..., X n ) Θ. Intervallumbecslésnek nevezzük a Γ tartományt 1 α megbízhatósági szinttel, ha Γ Θ és P(θ Γ) = 1 α. Dr. Karácsony Zsolt Valószínűségszámítás és Matematikai statisztika 21/62
22 10. előadás Pontbecslés Legyen adott az x 1, x 2,..., x n minta f (x 1, x 2,..., x n ; Θ) sűrűségfüggvénnyel. A Θ n (x 1, x 2,..., x n ) (röviden Θ n ) a Θ paraméter torzítatlan becslése, ha E( Θ n ) = Θ. Θ n a Θ paraméter aszimptotikusan torzítatlan becslése, ha Megjegyzés lim E( Θ n ) = Θ. n Az átlag a várható érték torzítatlan becslése. A korrigált tapasztalati szórásnégyzet torzítatlan becslése a szórásnégyzetnek. Dr. Karácsony Zsolt Valószínűségszámítás és Matematikai statisztika 22/62
23 10. előadás Pontbecslés Adott a Θ n és a Θ n torzítatlan becslés. A Θ n hatásosabb a Θ n becslésnél, ha D 2 ( Θ n ) D 2 ( Θ n ). A Θ n (x 1, x2,..., x n ) sorozat konzisztens becsléssorozata a Θ paraméterre, ha ( ) lim P Θ n Θ > ε = 0, n minden ε > 0 esetén. A Θ n (x 1, x2,..., x n ) sorozat erősen konzisztens becsléssorozata a Θ paraméterre, ha n esetén E( Θ n ) = Θ, és lim n D2 ( Θ n ) = 0. Dr. Karácsony Zsolt Valószínűségszámítás és Matematikai statisztika 23/62
24 10. előadás Likelihood-becslés Tekintsünk egy X -re adott x 1, x 2,..., x n mintát. Az L(x 1, x 2,..., x n ; θ) = n f (x i, θ) i=1 függvényt az x 1, x 2,..., x n mintához tartozó likelihood-függvénynek nevezzük. A Θ statisztikát a Θ paraméter maximum likelihood-becslésének nevezzük, ha Θ globális maximumhelye a likelihood-függvénynek, azaz L(x 1, x 2,..., x n ; Θ(x 1, x 2,..., x n )) L(x 1, x 2,..., x n, θ) minden θ Θ esetén. Dr. Karácsony Zsolt Valószínűségszámítás és Matematikai statisztika 24/62
25 10. előadás Likelihood-becslés Példa: λ paraméterű Poisson-eloszlás Legyen adott az x 1, x 2,..., x n minta. Az általánosított sűrűségfüggvényhez használjuk az f (k, λ) = λk k! e λ. logl(x 1, x 2,..., x n ; λ) = logλ meghatározni a maximumát. n x i i=1 n logx i! nλ, ennek kell i=1 A számítások elvégzése után kapjuk, hogy 1 λ ahonnan λ n = x. Még ellenőrizni kell, hogy 2 logl(x xi 2 1, x 2,..., x n, λ) = 1 n λ 2 i=1 x i < 0. n x i n = 0, i=1 Dr. Karácsony Zsolt Valószínűségszámítás és Matematikai statisztika 25/62
26 10. előadás Likelihood-becslés Példa: λ paraméterű exponenciális-eloszlás f (x, λ) = λe λx logl(x 1, x 2,..., x n, λ) = nlogλ λ n n λ x i = 0 λ = 1 x. i=1 n i=1 x i Dr. Karácsony Zsolt Valószínűségszámítás és Matematikai statisztika 26/62
27 10. előadás Momentumok módszere Ha egy valószínűségi változónak létezik a várható értéke, akkor a nagy számok törvénye alapján, ha x 1, x 2,... független, vele azonos eloszlású valószínűségi változók sorozata, akkor a részletösszegek átlaga tart a várható értékhez. Továbbá tudjuk, hogy ha általában nem is, de elég gyenge feltételek mellett a momentumok meghatározzák az eloszlást. µ k = E(x k ) és m k = xk 1 +xk xk n n és µ k = m k. Dr. Karácsony Zsolt Valószínűségszámítás és Matematikai statisztika 27/62
28 Köszönöm a figyelmet! Dr. Karácsony Zsolt Valószínűségszámítás és Matematikai statisztika 28/62
29 Tartalom előadás előadás előadás Dr. Karácsony Zsolt Valószínűségszámítás és Matematikai statisztika 29/62
30 11. előadás Intervallum becslés Bevezetés Az eddigiek során arra törekedtünk, hogy megfigyeléseink alapján egyetlen értékkel becsüljük az ismeretlen paramétert. Ebben a szakaszban a feladat megadni egy Γ Θ tartományt, amelyre P(θ Γ) = 1 α. Legyen a Θ R, az x 1, x 2,..., x n minta. A Θ n (x 1, x 2,..., x n ) Θ Θ n (x 1, x 2,..., x n ) 1 α megbízhatóságú konfidencia intervallum a Θ paraméterre, ha P Θ ( Θ n Θ Θ n ) = 1 α. Dr. Karácsony Zsolt Valószínűségszámítás és Matematikai statisztika 30/62
31 11. előadás Intervallum becslés 1. Tekintsünk egy x 1, x 2,..., x n mintát az m ismeretlen várható értékű és σ 2 ismert szórásnégyzetű normális eloszlásra. (X N (m, σ 2 )) Tudjuk, hogy X N (m, σ2 n ), így n(x m) σ standard normális eloszlású. Ezért egy adott 1 ε megbízhatósági szinthez válasszunk olyan u R-t, hogy n(x m) P m ( u σ u) = 1 ε, Φ(u) = 1 ε 2, ahonnan P m (X u ε σ 2 n < m < X + u ε σ 2 n ) = 1 ε. Tehát az m-re kapott 1 ε megbízhatósági szintű konfidencia intervallum: ( ) σ σ X u ε ; X + u ε 2 n 2 n Dr. Karácsony Zsolt Valószínűségszámítás és Matematikai statisztika 31/62
32 11. előadás Intervallum becslés 2. Szerkesszünk konfidencia intervallumot a σ 2 szórásnégyzetre, ha az m várható érték ismert. Felhasználjuk, hogy n (x i m) 2 i=1 statisztika χ 2 eloszlású n szabadsági fokkal, így ( ) 1 n i m) χ 2 ε i=1(x 2 ; 1 n χ 2 (x i m) 2. ε i=1 σ 2 Dr. Karácsony Zsolt Valószínűségszámítás és Matematikai statisztika 32/62
33 11. előadás Intervallum becslés 3. Adjunk meg konfidencia intervallumot m-re, ha σ 2 is ismeretlen! Mivel n(x m) s n t-eloszlású n 1 szabadsági fokkal, így n(x m) P( t ε < 2 sn < t ε ) = 1 ε, 2 ahonnan a konfidencia intervallum: ( X t ε 2 s n n ; X + t ε 2 sn ) n Dr. Karácsony Zsolt Valószínűségszámítás és Matematikai statisztika 33/62
34 11. előadás Intervallum becslés 4. Szerkesszünk konfidencia intervallumot egy A esemény ismeretlen P(A) = p valószínűségére az A eseményre végzett n számú független kísérlet alapján. A Csebisev-egyenlőtlenségből kapjuk, hogy ( P X p ) p(1 p) < ε > 1 1 n ε 2, valamint felhasználva, hogy p(1 p) 1 4 kapjuk, hogy ( ) X P p 1 < ε > 1 1 4n ε 2. Így a kapott intervallum ( X ε 1 2 n ; X + ε 1 ) 2 n Dr. Karácsony Zsolt Valószínűségszámítás és Matematikai statisztika 34/62
35 11. előadás Hipotézisvizsgálat A vizsgálandó feltételezést nullhipotézisnek nevezzük (jele: H 0 ), ezzel ellentétes álĺıtás az alternatív hipotézis (jele: H 1 ). Azt az eljárást, amelynek során a minta segítségével döntünk a hipotézisről, statisztikai próbának nevezzük. Ha az eloszlás jellege ismert és a nullhipotézisünk az eloszlás valamely paraméterére vonatkozik, akkor paraméteres próbáról beszélünk. Dr. Karácsony Zsolt Valószínűségszámítás és Matematikai statisztika 35/62
36 11. előadás Hipotézisvizsgálat Ha Θ 0 egy pontból álló halmaz, a nullhipotézis egyszerű, ellenkedző esetben összetett. A H 0 : Θ = Θ 0 nullhipotézis és H 1 : Θ > Θ 0 (H 1 : Θ < Θ 0 ) ellenhipotézis esetén egyoldali nullhipotézisről illetve egyoldali próbáról beszélünk. A H 0 : Θ = Θ 0 nullhipotézis és H 1 : Θ Θ 0 alakú hipotézis esetén kétoldali próbáról beszélünk. Dr. Karácsony Zsolt Valószínűségszámítás és Matematikai statisztika 36/62
37 11. előadás Hipotézisvizsgálat Bontsuk fel a teret C 0 és C 1 diszjunkt halmazokra. Ha a minta x 1, x 2,..., x n realizációja a C 0 halmaz eleme, akkor elfogadjuk a nullhipotézist, ha x 1, x 2,..., x n a C 1 eleme, akkor H 1 alternatív hipotézist fogadjuk el. A C 0 halmazt elfogadási tartománynak, a C 1 halmazt kritikus tartománynak nevezzük. A P θ (C 1 ) α, θ Θ 0 realizációt teljesítő α számot a próba terjedelmének (kritikus tartomány) nevezzük. Dr. Karácsony Zsolt Valószínűségszámítás és Matematikai statisztika 37/62
38 11. előadás Hipotézisvizsgálat Ha adott C 1 tartomány esetén elfogadjuk vagy elvetjük a hipotézist a paraméterre vagy az F alakjára, akkor azt statisztikai próbának nevezzük. Egy próbát α-szintűnek nevezünk, ha P((x 1, x 2,..., x n ) C 1 H 0 ) α. Dr. Karácsony Zsolt Valószínűségszámítás és Matematikai statisztika 38/62
39 11. előadás Hipotézisvizsgálat Ha H 0 igaz és ennek ellenére elvetjük, akkor azt mondjuk, hogy elsőfajú hibát követünk el. Megjegyzés Az elsőfajú hiba elkövetésének valószínűsége P((x 1, x 2,..., x n ) C 1 H 0 ) = α. Tehát a próba szintjével együtt az elsőfajú hiba elkövetésének a valószínűségét is rögzítjük. Ha a H 1 hipotézis az igaz és mégis elfogadjuk H 0 -t, akkor azt mondjuk, hogy másodfajú hibát követünk el. Dr. Karácsony Zsolt Valószínűségszámítás és Matematikai statisztika 39/62
40 11. előadás Hipotézisvizsgálat Jelölje H 0 azt, hogy Θ a valódi paraméter. Rögzített C 1 kritikus tartomány esetén a γ(h θ ) = P((x 1, x 2,..., x n ) C 1 H 0 ), θ Θ valószínűséget a próba erőfüggvényének nevezzük. Dr. Karácsony Zsolt Valószínűségszámítás és Matematikai statisztika 40/62
41 11. előadás Próbák U-próba (1 mintás eset) Az U-próba segítségével ismert szórású, normális eloszlású valószínűségi változó várható értékére vonatkozó hipotézisről dönthetünk. E(X ) = m ismeretlen Hipotézis: D(X ) = σ 0 ismert paraméter. H 0 : E(X ) = m 0 H 1 : E(X ) = m 1 m 0. Dr. Karácsony Zsolt Valószínűségszámítás és Matematikai statisztika 41/62
42 11. előadás Próbák U-próba (1 mintás eset) Ha a nullhipotézisünk igaz, akkor a próbastatisztika U = X m 0 n σ 0 standard normális eloszlású valószínűségi változó. Ha tehát igaz a nullhipotézis, akkor az U statisztika konkrét értéke 1 α valószínűséggel ( u α, u α ) intervallumba esik. 2 2 Dr. Karácsony Zsolt Valószínűségszámítás és Matematikai statisztika 42/62
43 11. előadás Próbák U-próba (1 mintás eset) Így az elfogadási tartomány: C 0 = Kritikus tartomány: C 1 = { (x 1, x 2,..., x n ) : { (x 1, x 2,..., x n ) : X m 0 σ 0 X m 0 σ 0 } n < u α 2 } n u α 2 Dr. Karácsony Zsolt Valószínűségszámítás és Matematikai statisztika 43/62
44 11. előadás Próbák U-próba (2 mintás eset) Két független, ismert szórású, normális eloszlású valószínűségi változó várható értékeinek azonosságáról dönthetünk. (X N (m 1, σ 2 1 ); Y N (m 2, σ 2 2 ); n 1 illetve n 2 elemű mintát tekintve.) Hipotézis: H 0 : m 1 = m 2 ; U-próbastatisztika: H 1 := m 1 m 2. U = X Y. σ 2 1 n 1 + σ2 2 n 2 Dr. Karácsony Zsolt Valószínűségszámítás és Matematikai statisztika 44/62
45 11. előadás Próbák t-próba (1 mintás eset) Legyen X N (m, σ 2 ), ahol m és σ 2 is ismeretlenek. Tekintsünk egy x 1, x 2,..., x n n elemű mintát. A hipotézisünk a várható értékre vonatkozik: H 0 : m = m 0 ; H 1 := m m 0. Ismert, hogy az X m s n valószínűségi változó (n 1) n szabadságfokú t- eloszlású. Dr. Karácsony Zsolt Valószínűségszámítás és Matematikai statisztika 45/62
46 11. előadás Próbák t-próba (1 mintás eset) Tehát, ha a nullhipotézis igaz, akkor a t = X m s n n próbastatisztika (n 1) paraméterű t eloszlású. A kritikus tartomány: { ( α )} C 1 = (x 1, x 2,..., x n ) : t t n 1 2 Az elfogadási tartomány: { ( α )} C 0 = (x 1, x 2,..., x n ) : t < t n 1 2 Dr. Karácsony Zsolt Valószínűségszámítás és Matematikai statisztika 46/62
47 11. előadás Próbák t-próba (2 mintás eset) Legyen X és Y független, normális eloszlású valószínűségi változó. (E(x) = m 1 ; D(X ) = σ 1 ; E(Y ) = m 2 ; D(Y ) = σ 2 ahol m 1, m 2, σ 1, σ 2 ismeretlenek.) Az X valószínűségi változó n 1, még az Y n 2 elemű egymástól független minták. A hipotézis a várható értékek azonosságára vonatkozik: A próba szintje 1 α. H 0 : m 1 = m 2 ; H 1 := m 1 m 2. Dr. Karácsony Zsolt Valószínűségszámítás és Matematikai statisztika 47/62
48 11. előadás Próbák t-próba (2 mintás eset) A nullhipotézisről fennál, hogy X Y n t = 1 n 2 (n 1 + n 2 2) (n 1 1)sn (n 2 1)sn 2 n 1 + n 2 2 statisztika n 1 + n 2 2 paraméterű t-eloszlású. A { ( α )} C 1 = (x 1, x 2,..., x n1, y 1, y 2,..., y n2 ) : t t n1 +n Dr. Karácsony Zsolt Valószínűségszámítás és Matematikai statisztika 48/62
49 11. előadás Próbák F-próba Két független, normális eloszlású valószínűségi változó szórásainak egyenlőségét ellenőrzi az F -próba. X N (m 1, σ 2 1 ), n 1 elemű minta; Y N (m 2, σ 2 2 ), n 2 elemű minta; A próba szintje: 1 α. H 0 : σ 2 1 = σ 2 2; H 1 := σ 2 1 σ 2 2. Dr. Karácsony Zsolt Valószínűségszámítás és Matematikai statisztika 49/62
50 11. előadás Próbák F-próba Felhasználva, hogy n 1 1 s 2 σ1 2 1 és n 2 1 σ2 2 s 2 2 χ 2 eloszlásúak (n 1 1) illetve (n 2 1) paraméterekkel és függetlenek, kapjuk, hogy a nullhipotézisre fennáll az F = s 2 1 s2 2 próbastatisztika F -eloszlású (n 1 1, n 2 1) paraméterekkel. Dr. Karácsony Zsolt Valószínűségszámítás és Matematikai statisztika 50/62
51 11. előadás Próbák χ 2 -próba A χ 2 -próba segítségével normális eloszlású valószínűségi változók ismeretlen szórásnégyzetéről dönthetünk. Legyen X N (m, σ 2 ) eloszlású, ahol m és σ is ismeretlen paraméterek. A hipotézis: A próba szintje: 1 α. H 0 : σ = σ 0 ; H 1 := σ σ 0. Dr. Karácsony Zsolt Valószínűségszámítás és Matematikai statisztika 51/62
52 11. előadás Próbák χ 2 -próba Tudjuk, hogy (n 1)s 2 χ 2 -eloszlású (n 1) paraméterrel. Ha a σ 2 nullhipotézis igaz, akkor h = (n 1)s 2 próbastatisztika χ 2 eloszlású. σ 2 Dr. Karácsony Zsolt Valószínűségszámítás és Matematikai statisztika 52/62
53 Köszönöm a figyelmet! Dr. Karácsony Zsolt Valószínűségszámítás és Matematikai statisztika 53/62
54 Tartalom előadás előadás előadás Dr. Karácsony Zsolt Valószínűségszámítás és Matematikai statisztika 54/62
55 12. előadás Regressziós egyenesek Beveztés Adott 2 mérési adatsor, amelyek alapján elkészíthető a regressziós egyenes. Adott (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ),..., (x n, y n ). Keressük az y = bx + a egyenest, melyre Q(a, b) = n (y i bx i a) 2 min. i=1 Dr. Karácsony Zsolt Valószínűségszámítás és Matematikai statisztika 55/62
56 12. előadás Regressziós egyenesek Vezessük be a következő jelöléseket: n i=1 X = x n i i=1 ; Y = y i n n Q x = n xi 2 nx 2 ; Q y = i=1 Q xy = n i=1 n x i y i nx Y. i=1 Ekkor a regressziós egyenes egyenlete: b = Q xy Q x ; a = Y bx. y 2 i ny 2 Dr. Karácsony Zsolt Valószínűségszámítás és Matematikai statisztika 56/62
57 12. előadás Regressziós egyenesek Általánosan y = b 0 + b 1 x b n x n. Vezessük be a β = (b 0, b 1,..., b n ) jelölést. A β becslését szeretnénk meghatározni. Ez az X X β = X y egyenletrendszer megoldásával adódik. Dr. Karácsony Zsolt Valószínűségszámítás és Matematikai statisztika 57/62
58 12. előadás Regressziós egyenesek Az X X β = X y egyenletrendszert normál-egyenletrendszernek nevezzük. Megjegyzés X X egy pozitív definit mátrix, ezért β = (X X ) 1 X y. Dr. Karácsony Zsolt Valószínűségszámítás és Matematikai statisztika 58/62
59 12. előadás Regressziós egyenesek Példa Adottak a következő (1,2); (2,4); (3,5); (4,8) pontok. Határozzuk meg az y = a + bx alakú regressziós egyenest! (Megoldás: y=0+1.9x) Példa Tekintsük a ξ valószínűségi változót, melyről tudjuk a következőket: 1 38; 2 53; 3 61; %-os szinten ellenőrizzük, hogy a minta egyenletes eloszlású-e? Dr. Karácsony Zsolt Valószínűségszámítás és Matematikai statisztika 59/62
60 12. előadás Cramer-Rao egyenlőtlenség Tétel Legyen az (Ω, A, P θ ), θ Θ statisztikai mezőn a T statisztika g(θ) torzítatlan becslése, ahol g egy adott függvény Θ-n és legyen E(T ) 2 lokálisan korlátos függvény Θ-n. Ekkor g folytonosan differenciálható Θ-n, I (θ) 0 minden θ Θ esetén és D 2 (T ) (g (θ)) 2 I (θ), ahol I (θ) a Fisher-féle információmennyiség. Dr. Karácsony Zsolt Valószínűségszámítás és Matematikai statisztika 60/62
61 12. előadás Rao-Blackwell tétel Legyen (Ω, A, P θ ), θ Θ statisztikai mező. A T : Ω R k statisztikát elégségesnek nevezzük, ha a P θ (A T = t), A A, t R k feltételes valószínűségeknek megadható θ-tól független közös értéke. Rao-Blackwell tétel Legyen T elégséges statisztika az (Ω, A, P θ ) statisztikai mezőn és legyen ĝ(θ) a g(θ) véges szórású, torzítatlan becslése. Ekkor a h(t) = E(ĝ(θ) T = t) függvényre fennállnak az alábbiak h csak t-től függ és nem függ θ-tól; h(t ) torzítatlan becslése g(θ)-nak; D 2 (h(t )) D 2 (ĝ(θ)). Dr. Karácsony Zsolt Valószínűségszámítás és Matematikai statisztika 61/62
62 Köszönöm a figyelmet! Dr. Karácsony Zsolt Valószínűségszámítás és Matematikai statisztika 62/62
egyetemi jegyzet Meskó Balázs
egyetemi jegyzet 2011 Előszó 2. oldal Tartalomjegyzék 1. Bevezetés 4 1.1. A matematikai statisztika céljai.............................. 4 1.2. Alapfogalmak......................................... 4 2.
RészletesebbenHipotéziselmélet - paraméteres próbák. eloszlások. Matematikai statisztika Gazdaságinformatikus MSc szeptember 10. 1/58
u- t- Matematikai statisztika Gazdaságinformatikus MSc 2. előadás 2018. szeptember 10. 1/58 u- t- 2/58 eloszlás eloszlás m várható értékkel, σ szórással N(m, σ) Sűrűségfüggvénye: f (x) = 1 e (x m)2 2σ
RészletesebbenFEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI
FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 4 IV. MINTA, ALAPsTATIsZTIKÁK 1. MATEMATIKAI statisztika A matematikai statisztika alapfeladatát nagy általánosságban a következőképpen
Részletesebbenbiometria II. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert Matematikai-statisztikai adatfeldolgozás
Kísérlettervezés - biometria II. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert Matematikai-statisztikai adatfeldolgozás A matematikai-statisztika feladata tapasztalati adatok feldolgozásával segítséget nyújtani
Részletesebben1. Adatok kiértékelése. 2. A feltételek megvizsgálása. 3. A hipotézis megfogalmazása
HIPOTÉZIS VIZSGÁLAT A hipotézis feltételezés egy vagy több populációról. (pl. egy gyógyszer az esetek 90%-ában hatásos; egy kezelés jelentősen megnöveli a rákos betegek túlélését). A hipotézis vizsgálat
RészletesebbenGVMST22GNC Statisztika II. Keleti Károly Gazdasági Kar Vállalkozásmenedzsment Intézet
GVMST22GNC Statisztika II. 3. előadás: 8. Hipotézisvizsgálat Kóczy Á. László Keleti Károly Gazdasági Kar Vállalkozásmenedzsment Intézet Hipotézisvizsgálat v becslés Becslés Ismeretlen paraméter Közeĺıtő
RészletesebbenKabos: Statisztika II. t-próba 9.1. Ha ismert a doboz szórása de nem ismerjük a
Kabos: Statisztika II. t-próba 9.1 Egymintás z-próba Ha ismert a doboz szórása de nem ismerjük a doboz várhatóértékét, akkor a H 0 : a doboz várhatóértéke = egy rögzített érték hipotézisről úgy döntünk,
Részletesebbenx, x R, x rögzített esetén esemény. : ( ) x Valószínűségi Változó: Feltételes valószínűség: Teljes valószínűség Tétele: Bayes Tétel:
Feltételes valószínűség: Teljes valószínűség Tétele: Bayes Tétel: Valószínűségi változó általános fogalma: A : R leképezést valószínűségi változónak nevezzük, ha : ( ) x, x R, x rögzített esetén esemény.
Részletesebbene (t µ) 2 f (t) = 1 F (t) = 1 Normális eloszlás negyedik centrális momentuma:
Normális eloszlás ξ valószínűségi változó normális eloszlású. ξ N ( µ, σ 2) Paraméterei: µ: várható érték, σ 2 : szórásnégyzet (µ tetszőleges, σ 2 tetszőleges pozitív valós szám) Normális eloszlás sűrűségfüggvénye:
RészletesebbenFEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI
FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 8 VIII. REGREssZIÓ 1. A REGREssZIÓs EGYENEs Két valószínűségi változó kapcsolatának leírására az eddigiek alapján vagy egy numerikus
RészletesebbenStatisztika elméleti összefoglaló
1 Statisztika elméleti összefoglaló Tel.: 0/453-91-78 1. Tartalomjegyzék 1. Tartalomjegyzék.... Becsléselmélet... 3 3. Intervallumbecslések... 5 4. Hipotézisvizsgálat... 8 5. Regresszió-számítás... 11
RészletesebbenStatisztika - bevezetés Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc 1
Statisztika - bevezetés 00.04.05. Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc Bevezetés Véletlen jelenség fogalma jelenséget okok bizonyos rendszere hozza létre ha mindegyik figyelembe vehető egyértelmű leírás általában
RészletesebbenStatisztika Elıadások letölthetık a címrıl
Statisztika Elıadások letölthetık a http://www.cs.elte.hu/~arato/stat*.pdf címrıl Konfidencia intervallum Def.: 1-α megbízhatóságú konfidencia intervallum: Olyan intervallum, mely legalább 1-α valószínőséggel
RészletesebbenA Statisztika alapjai
A Statisztika alapjai BME A3c Magyar Róbert 2016.05.12. Mi az a Statisztika? A statisztika a valóság számszerű információinak megfigyelésére, összegzésére, elemzésére és modellezésére irányuló gyakorlati
RészletesebbenHipotézis STATISZTIKA. Kétmintás hipotézisek. Munkahipotézis (H a ) Tematika. Tudományos hipotézis. 1. Előadás. Hipotézisvizsgálatok
STATISZTIKA 1. Előadás Hipotézisvizsgálatok Tematika 1. Hipotézis vizsgálatok 2. t-próbák 3. Variancia-analízis 4. A variancia-analízis validálása, erőfüggvény 5. Korreláció számítás 6. Kétváltozós lineáris
RészletesebbenFEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI
FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 3 III. VÉLETLEN VEKTOROK 1. A KÉTDIMENZIÓs VÉLETLEN VEKTOR Definíció: Az leképezést (kétdimenziós) véletlen vektornak nevezzük, ha Definíció:
RészletesebbenValószínűségi változók. Várható érték és szórás
Matematikai statisztika gyakorlat Valószínűségi változók. Várható érték és szórás Valószínűségi változók 2016. március 7-11. 1 / 13 Valószínűségi változók Legyen a (Ω, A, P) valószínűségi mező. Egy X :
Részletesebben[Biomatematika 2] Orvosi biometria
[Biomatematika 2] Orvosi biometria 2016.02.29. A statisztika típusai Leíró jellegű statisztika: összegzi egy adathalmaz jellemzőit. A középértéket jelemzi (medián, módus, átlag) Az adatok változékonyságát
RészletesebbenKészítette: Fegyverneki Sándor
VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS Összefoglaló segédlet Készítette: Fegyverneki Sándor Miskolci Egyetem, 2001. i JELÖLÉSEK: N a természetes számok halmaza (pozitív egészek) R a valós számok halmaza R 2 {(x, y) x, y
RészletesebbenIntervallumbecsle s Mintave tel+ Hipote zisvizsga lat Egyminta s pro ba k Ke tminta s pro ba k Egye b vizsga latok O sszef.
Intervallumbecsle s Mintave tel+ Hipote zisvizsga lat Egyminta s pro ba k Ke tminta s pro ba k Egye b vizsga latok O sszef. Feladatok Gazdaságstatisztika 7. Statisztikai becslések (folyt.); 8. Hipotézisvizsgálat
RészletesebbenLeíró és matematikai statisztika el adásnapló Matematika alapszak, matematikai elemz szakirány 2016/2017. tavaszi félév
Leíró és matematikai statisztika el adásnapló Matematika alapszak, matematikai elemz szakirány 2016/2017. tavaszi félév A pirossal írt anyagrészeket nem fogom közvetlenül számon kérni a vizsgán, azok háttérismeretként,
RészletesebbenElméleti összefoglaló a Sztochasztika alapjai kurzushoz
Elméleti összefoglaló a Sztochasztika alapjai kurzushoz 1. dolgozat Véletlen kísérletek, események valószín sége Deníció. Egy véletlen kísérlet lehetséges eredményeit kimeneteleknek nevezzük. A kísérlet
RészletesebbenHipotézis, sejtés STATISZTIKA. Kétmintás hipotézisek. Tudományos hipotézis. Munkahipotézis (H a ) Nullhipotézis (H 0 ) 11. Előadás
STATISZTIKA Hipotézis, sejtés 11. Előadás Hipotézisvizsgálatok, nem paraméteres próbák Tudományos hipotézis Nullhipotézis felállítása (H 0 ): Kétmintás hipotézisek Munkahipotézis (H a ) Nullhipotézis (H
RészletesebbenMatematikai statisztika szorgalmi feladatok
Matematikai statisztika szorgalmi feladatok 1. Feltételes várható érték és konvolúció 1. Legyen X és Y független és azonos eloszlású valószín ségi változó véges második momentummal. Mutassuk meg, hogy
Részletesebbenegyenletesen, és c olyan színű golyót teszünk az urnába, amilyen színűt húztunk. Bizonyítsuk
Valószínűségszámítás 8. feladatsor 2015. november 26. 1. Bizonyítsuk be, hogy az alábbi folyamatok mindegyike martingál. a S n, Sn 2 n, Y n = t n 1+ 1 t 2 Sn, t Fn = σ S 1,..., S n, 0 < t < 1 rögzített,
RészletesebbenMatematikai statisztika c. tárgy oktatásának célja és tematikája
Matematikai statisztika c. tárgy oktatásának célja és tematikája 2015 Tematika Matematikai statisztika 1. Időkeret: 12 héten keresztül heti 3x50 perc (előadás és szeminárium) 2. Szükséges előismeretek:
RészletesebbenBevezetés a hipotézisvizsgálatokba
Bevezetés a hipotézisvizsgálatokba Nullhipotézis: pl. az átlag egy adott µ becslése : M ( x -µ ) = 0 Alternatív hipotézis: : M ( x -µ ) 0 Szignifikancia: - teljes bizonyosság csak teljes enumerációra -
RészletesebbenAbszolút folytonos valószín ségi változó (4. el adás)
Abszolút folytonos valószín ségi változó (4. el adás) Deníció (Abszolút folytonosság és s r ségfüggvény) Az X valószín ségi változó abszolút folytonos, ha van olyan f : R R függvény, melyre P(X t) = t
RészletesebbenNagy számok törvényei Statisztikai mintavétel Várható érték becslése. Dr. Berta Miklós Fizika és Kémia Tanszék Széchenyi István Egyetem
agy számok törvényei Statisztikai mintavétel Várható érték becslése Dr. Berta Miklós Fizika és Kémia Tanszék Széchenyi István Egyetem A mérés mint statisztikai mintavétel A méréssel az eloszlásfüggvénnyel
RészletesebbenFEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI
FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 9 IX. ROBUsZTUs statisztika 1. ROBUsZTUssÁG Az eddig kidolgozott módszerek főleg olyanok voltak, amelyek valamilyen értelemben optimálisak,
RészletesebbenBiomatematika 12. Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar. Fodor János
Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar Biomatematikai és Számítástechnikai Tanszék Biomatematika 12. Regresszió- és korrelációanaĺızis Fodor János Copyright c Fodor.Janos@aotk.szie.hu Last Revision
RészletesebbenA valószínűségszámítás elemei
A valószínűségszámítás elemei Kísérletsorozatban az esemény relatív gyakorisága: k/n, ahol k az esemény bekövetkezésének abszolút gyakorisága, n a kísérletek száma. Pl. Jelenség: kockadobás Megfigyelés:
RészletesebbenNormális eloszlás paramétereire vonatkozó próbák
Normális eloszlás paramétereire vonatkozó próbák Az alábbi próbák akkor használhatók, ha a meggyelések függetlenek, és feltételezhetjük, hogy normális eloszlásúak a meggyelések függetlenek, véges szórású
RészletesebbenA következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat.
Poisson folyamatok, exponenciális eloszlások Azt mondjuk, hogy a ξ valószínűségi változó Poisson eloszlású λ, 0 < λ
Részletesebbenföldtudományi BSc (geológus szakirány) Matematikai statisztika elıadás, 2014/ félév 6. elıadás
Matematikai statisztika elıadás, földtudományi BSc (geológus szakirány) 2014/2015 2. félév 6. elıadás Konfidencia intervallum Def.: 1-α megbízhatóságú konfidencia intervallum: Olyan intervallum, mely legalább
RészletesebbenVéletlen jelenség: okok rendszere hozza létre - nem ismerhetjük mind, ezért sztochasztikus.
Valószín ségelméleti és matematikai statisztikai alapfogalmak összefoglalása (Kemény Sándor - Deák András: Mérések tervezése és eredményeik értékelése, kivonat) Véletlen jelenség: okok rendszere hozza
RészletesebbenKÖVETKEZTETŐ STATISZTIKA
ÁVF GM szak 2010 ősz KÖVETKEZTETŐ STATISZTIKA A MINTAVÉTEL BECSLÉS A sokasági átlag becslése 2010 ősz Utoljára módosítva: 2010-09-07 ÁVF Oktató: Lipécz György 1 A becslés alapfeladata Pl. Hányan láttak
Részletesebben1. Példa. A gamma függvény és a Fubini-tétel.
. Példa. A gamma függvény és a Fubini-tétel.. Az x exp x + t )) függvény az x, t tartományon folytonos, és nem negatív, ezért alkalmazható rá a Fubini-tétel. I x exp x + t )) dxdt + t dt π 4. [ exp x +
RészletesebbenTöbbváltozós lineáris regressziós modell feltételeinek
Többváltozós lineáris regressziós modell feltételeinek tesztelése I. - A hibatagra vonatkozó feltételek tesztelése - Petrovics Petra Doktorandusz Többváltozós lineáris regressziós modell x 1, x 2,, x p
Részletesebben[Biomatematika 2] Orvosi biometria
[Biomatematika 2] Orvosi biometria 2016.02.15. Esemény Egy kísérlet vagy megfigyelés (vagy mérés) lehetséges eredményeinek összessége (halmaza) alkotja az eseményteret. Esemény: az eseménytér részhalmazai.
RészletesebbenA maximum likelihood becslésről
A maximum likelihood becslésről Definíció Parametrikus becsléssel foglalkozunk. Adott egy modell, mellyel elképzeléseink szerint jól leírható a meghatározni kívánt rendszer. (A modell típusának és rendszámának
RészletesebbenKiválasztás. A változó szerint. Rangok. Nem-paraméteres eljárások. Rang: Egy valamilyen szabály szerint felállított sorban elfoglalt hely.
Kiválasztás A változó szerint Egymintás t-próba Mann-Whitney U-test paraméteres nem-paraméteres Varianciaanalízis De melyiket válasszam? Kétmintás t-próba Fontos, hogy mindig a kérdésnek és a változónak
RészletesebbenValószín ségszámítás és statisztika
Valószín ségszámítás és statisztika Informatika BSc, esti tagozat Backhausz Ágnes 2016/2017. tavaszi félév Valószín ségi vektorváltozó Deníció Az X = (X 1,..., X n ) : Ω R n függvény valószín ségi vektorváltozó,
RészletesebbenMatematika III. 9. Statisztikai hipotézisek Prof. Dr. Závoti, József
Matematika III. 9. Statisztikai hipotézisek Prof. Dr. Závoti, József Matematika III. 9. : Statisztikai hipotézisek Prof. Dr. Závoti, József Lektor : Bischof, Annamária Ez a modul a TÁMOP - 4.1.2-08/1/A-2009-0027
RészletesebbenStatisztikai következtetések Nemlineáris regresszió Feladatok Vége
[GVMGS11MNC] Gazdaságstatisztika 10. előadás: 9. Regressziószámítás II. Kóczy Á. László koczy.laszlo@kgk.uni-obuda.hu Keleti Károly Gazdasági Kar Vállalkozásmenedzsment Intézet A standard lineáris modell
RészletesebbenGazdasági matematika II. vizsgadolgozat megoldása A csoport
Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat megoldása A csoport Definiálja az alábbi fogalmakat!. Egy eseménynek egy másik eseményre vonatkozó feltételes valószínűsége. ( pont) Az A esemény feltételes valószínűsége
RészletesebbenMatematikai alapok és valószínőségszámítás. Statisztikai becslés Statisztikák eloszlása
Matematikai alapok és valószínőségszámítás Statisztikai becslés Statisztikák eloszlása Mintavétel A statisztikában a cél, hogy az érdeklõdés tárgyát képezõ populáció bizonyos paramétereit a populációból
RészletesebbenSTATISZTIKA. Egymintás u-próba. H 0 : Kefir zsírtartalma 3% Próbafüggvény, alfa=0,05. Egymintás u-próba vagy z-próba
Egymintás u-próba STATISZTIKA 2. Előadás Középérték-összehasonlító tesztek Tesztelhetjük, hogy a valószínűségi változónk értéke megegyezik-e egy konkrét értékkel. Megválaszthatjuk a konfidencia intervallum
RészletesebbenElemi statisztika. >> =weiszd= << december 20. Szerintem nincs sok szükségünk erre... [visszajelzés esetén azt is belerakom] x x = n
Elemi statisztika >> =weiszd=
RészletesebbenStatisztikai alapismeretek (folytatás) 4. elıadás (7-8. lecke) Becslések, Hipotézis vizsgálat
Statisztikai alapismeretek (folytatás) 4. elıadás (7-8. lecke) Becslések, Hipotézis vizsgálat 7. lecke Paraméter becslés Konfidencia intervallum Hipotézis vizsgálat feladata Paraméter becslés és konfidencia
Részletesebben3. Lineáris differenciálegyenletek
3. Lineáris differenciálegyenletek A közönséges differenciálegyenletek két nagy csoportba oszthatók lineáris és nemlineáris egyenletek csoportjába. Ez a felbontás kicsit önkényesnek tűnhet, a megoldásra
RészletesebbenMatematikai statisztika Tómács Tibor
Matematikai statisztika Tómács Tibor Matematikai statisztika Tómács Tibor Publication date 2011 Szerzői jog 2011 Hallgatói Információs Központ Copyright 2011, Educatio Kht., Hallgatói Információs Központ
RészletesebbenSTATISZTIKA ELŐADÁS ÁTTEKINTÉSE. Matematikai statisztika. Mi a modell? Binomiális eloszlás sűrűségfüggvény. Binomiális eloszlás
ELŐADÁS ÁTTEKINTÉSE STATISZTIKA 9. Előadás Binomiális eloszlás Egyenletes eloszlás Háromszög eloszlás Normális eloszlás Standard normális eloszlás Normális eloszlás mint modell 2/62 Matematikai statisztika
RészletesebbenFEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI
FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 10 X. SZIMULÁCIÓ 1. VÉLETLEN számok A véletlen számok fontos szerepet játszanak a véletlen helyzetek generálásában (pénzérme, dobókocka,
RészletesebbenGyak. vez.: Palincza Richárd ( Gyakorlatok ideje/helye: CS , QBF10
Intervallumek Matematikai statisztika Gazdaságinformatikus MSc 1. előadás 2018. szeptember 3. 1/53 - Előadó, hely, idő etc. Intervallumek Előadó: Vizer Máté (email: mmvizer@gmail.com) Előadások ideje/helye:
Részletesebben4. Az A és B események egymást kizáró eseményeknek vagy idegen (diszjunkt)eseményeknek nevezzük, ha AB=O
1. Mit nevezünk elemi eseménynek és eseménytérnek? A kísérlet lehetséges kimeneteleit elemi eseményeknek nevezzük. Az adott kísélethez tartozó elemi események halmazát eseménytérnek nevezzük, jele: X 2.
RészletesebbenHipotézis vizsgálatok
Hipotézis vizsgálatok Hipotézisvizsgálat Hipotézis: az alapsokaság paramétereire vagy az alapsokaság eloszlására vonatkozó feltevés. Hipotézis ellenőrzés: az a statisztikai módszer, amelynek segítségével
RészletesebbenEgymintás próbák. Alapkérdés: populáció <paramétere/tulajdonsága> megegyezik-e egy referencia paraméter értékkel/tulajdonsággal?
Egymintás próbák σ s μ m Alapkérdés: A populáció egy adott megegyezik-e egy referencia paraméter értékkel/tulajdonsággal? egymintás t-próba Wilcoxon-féle előjeles
RészletesebbenSzámítógépes döntéstámogatás. Statisztikai elemzés
SZDT-03 p. 1/22 Számítógépes döntéstámogatás Statisztikai elemzés Werner Ágnes Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék e-mail: werner.agnes@virt.uni-pannon.hu Előadás SZDT-03 p. 2/22 Rendelkezésre
RészletesebbenTöbbváltozós lineáris regressziós modell feltételeinek tesztelése I.
Többváltozós lineáris regressziós modell feltételeinek tesztelése I. - A hibatagra vonatkozó feltételek tesztelése - Kvantitatív statisztikai módszerek Petrovics Petra Többváltozós lineáris regressziós
RészletesebbenBiomatematika 2 Orvosi biometria
Biomatematika 2 Orvosi biometria 2017.02.13. Populáció és minta jellemző adatai Hibaszámítás Valószínűség 1 Esemény Egy kísérlet vagy megfigyelés (vagy mérés) lehetséges eredményeinek összessége (halmaza)
Részletesebben0,1 P(X=1) = p p p(1-p) Egy p vszgő esemény bekövetkezik-e.
Egy kis emlékeztetı X val.változó értékek F(x) eloszlásfv. valségek P(a X
RészletesebbenMegoldások. ξ jelölje az első meghibásodásig eltelt időt. Akkor ξ N(6, 4; 2, 3) normális eloszlású P (ξ
Megoldások Harmadik fejezet gyakorlatai 3.. gyakorlat megoldása ξ jelölje az első meghibásodásig eltelt időt. Akkor ξ N(6, 4;, 3 normális eloszlású P (ξ 8 ξ 5 feltételes valószínűségét (.3. alapján számoljuk.
Részletesebben2013 ŐSZ. 1. Mutassa be az egymintás z-próba célját, alkalmazásának feltételeit és módszerét!
GAZDASÁGSTATISZTIKA KIDOLGOZOTT ELMÉLETI KÉRDÉSEK A 3. ZH-HOZ 2013 ŐSZ Elméleti kérdések összegzése 1. Mutassa be az egymintás z-próba célját, alkalmazásának feltételeit és módszerét! 2. Mutassa be az
RészletesebbenA mérési eredmény megadása
A mérési eredmény megadása A mérés során kapott értékek eltérnek a mérendő fizikai mennyiség valódi értékétől. Alapvetően kétféle mérési hibát különböztetünk meg: a determinisztikus és a véletlenszerű
RészletesebbenValószínűségszámítás összefoglaló
Statisztikai módszerek BMEGEVGAT Készítette: Halász Gábor Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Gépészmérnöki Kar Hidrodinamikai Rendszerek Tanszék, Budapest, Műegyetem rkp. 3. D ép. 334. Tel:
RészletesebbenBiomatematika 15. Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar. Fodor János
Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar Biomatematikai és Számítástechnikai Tanszék Biomatematika 15. Nemparaméteres próbák Fodor János Copyright c Fodor.Janos@aotk.szie.hu Last Revision Date: November
RészletesebbenEseményalgebra. Esemény: minden amirl a kísérlet elvégzése során eldönthet egyértelmen hogy a kísérlet során bekövetkezett-e vagy sem.
Eseményalgebra. Esemény: minden amirl a kísérlet elvégzése során eldönthet egyértelmen hogy a kísérlet során bekövetkezett-e vagy sem. Elemi esemény: a kísérlet egyes lehetséges egyes lehetséges kimenetelei.
RészletesebbenAnyagvizsgálati módszerek Mérési adatok feldolgozása. Anyagvizsgálati módszerek
Anyagvizsgálati módszerek Mérési adatok feldolgozása Anyagvizsgálati módszerek Pannon Egyetem Mérnöki Kar Anyagvizsgálati módszerek Statisztika 1/ 22 Mérési eredmények felhasználása Tulajdonságok hierarchikus
RészletesebbenValószín ségszámítás és statisztika
Valószín ségszámítás és statisztika Informatika BSc, esti tagozat Backhausz Ágnes agnes@cs.elte.hu 2016/2017. tavaszi félév Bevezetés Célok: véletlen folyamatok modellezése; kísérletekb l, felmérésekb
RészletesebbenAlap-ötlet: Karl Friedrich Gauss ( ) valószínűségszámítási háttér: Andrej Markov ( )
Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Gépészmérnöki Kar Hidrodinamikai Rendszerek Tanszék, Budapest, Műegyetem rkp. 3. D ép. 334. Tel: 463-6-80 Fa: 463-30-9 http://www.vizgep.bme.hu Alap-ötlet:
RészletesebbenA konfidencia intervallum képlete: x± t( α /2, df )
1. feladat. Egy erdőben az egy fészekben levő tojásszámokat vizsgáltuk egy madárfajnál. A következő tojásszámokat találtuk: 1, 1, 1,,,,,,, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 5, 6, 7. Mi a mintának a minimuma, maximuma,
RészletesebbenBiometria az orvosi gyakorlatban. Korrelációszámítás, regresszió
SZDT-08 p. 1/31 Biometria az orvosi gyakorlatban Korrelációszámítás, regresszió Werner Ágnes Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék e-mail: werner.agnes@virt.uni-pannon.hu Korrelációszámítás
RészletesebbenBevezetés. 1. előadás, 2015. február 11. Módszerek. Tematika
Bevezetés 1. előadás, 2015. február 11. Zempléni András Valószínűségelméleti és Statisztika Tanszék Természettudományi Kar Eötvös Loránd Tudományegyetem Áringadozások előadás Heti 2 óra előadás + 2 óra
RészletesebbenBiometria, haladó biostatisztika EA+GY biometub17vm Szerda 8:00-9:00, 9:00-11:00 Déli Tömb 0-804, Lóczy Lajos terem
Biometria, haladó biostatisztika EA+GY biometub17vm Szerda 8:00-9:00, 9:00-11:00 Déli Tömb 0-804, Lóczy Lajos terem Előadások-gyakorlatok 2018-ban (13 alkalom) IX.12, 19, 26, X. 3, 10, 17, 24, XI. 7, 14,
RészletesebbenHipotézis vizsgálatok
Hipotézis vizsgálatok Hipotézisvizsgálat Hipotézis: az alapsokaság paramétereire vagy az alapsokaság eloszlására vonatkozó feltevés. Hipotézis ellenőrzés: az a statisztikai módszer, amelynek segítségével
RészletesebbenKísérlettervezés alapfogalmak
Kísérlettervezés alapfogalmak Rendszermodellezés Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Méréstechnika és Információs Rendszerek Tanszék Kísérlettervezés Cél: a modell paraméterezése a valóság alapján
RészletesebbenA Matematikai Statisztika Alapjai
A Matematikai Statisztika Alapjai Dr. Márkus László 2017. március 1. Dr. Márkus László A Matematikai Statisztika Alapjai 2017. március 1. 1 / 80 Valszám alapfogalmak ismétlés Valszám alapfogalmak Véletlen
RészletesebbenElméleti összefoglaló a Valószín ségszámítás kurzushoz
Elméleti összefoglaló a Valószín ségszámítás kurzushoz Véletlen kísérletek, események valószín sége Deníció. Egy véletlen kísérlet lehetséges eredményeit kimeneteleknek nevezzük. A kísérlet kimeneteleinek
RészletesebbenLINEÁRIS MODELLBEN május. 1. Lineáris modell, legkisebb négyzetek elve
BECSLÉS ÉS HIPOTÉZISVIZSGÁLAT LINEÁRIS MODELLBEN Móri Tamás ELTE TTK Valószínűségelméleti és Statisztika Tanszék 2008 május Lineáris modell, legkisebb négyzetek elve Tegyük fel, hogy egy bizonyos pl fizikai)
RészletesebbenÁltalánosan, bármilyen mérés annyit jelent, mint meghatározni, hányszor van meg
LMeasurement.tex, March, 00 Mérés Általánosan, bármilyen mérés annyit jelent, mint meghatározni, hányszor van meg a mérendő mennyiségben egy másik, a mérendővel egynemű, önkényesen egységnek választott
RészletesebbenNormális eloszlás tesztje
Valószínűség, pontbecslés, konfidenciaintervallum Normális eloszlás tesztje Kolmogorov-Szmirnov vagy Wilk-Shapiro próba. R-funkció: shapiro.test(vektor) balra ferde eloszlás jobbra ferde eloszlás balra
RészletesebbenSTATISZTIKA. A maradék független a kezelés és blokk hatástól. Maradékok leíró statisztikája. 4. A modell érvényességének ellenőrzése
4. A modell érvényességének ellenőrzése STATISZTIKA 4. Előadás Variancia-analízis Lineáris modellek 1. Függetlenség 2. Normális eloszlás 3. Azonos varianciák A maradék független a kezelés és blokk hatástól
RészletesebbenMatematikai statisztikai elemzések 3.
Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara Prof. Dr. Závoti József Matematikai statisztikai elemzek 3. MSTE3 modul Becslelmélet: alapfogalmak, nevezetes statisztikák, intervallum-becsl SZÉKESFEHÉRVÁR
RészletesebbenSTATISZTIKA. A Föld pályája a Nap körül. Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (A természetfilozófia matematikai alapelvei, 1687)
STATISZTIKA 10. Előadás Megbízhatósági tartományok (Konfidencia intervallumok) Sir Isaac Newton, 1643-1727 Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (A természetfilozófia matematikai alapelvei, 1687)
RészletesebbenFEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI
FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 2 II. A valószínűségi VÁLTOZÓ És JELLEMZÉsE 1. Valószínűségi VÁLTOZÓ Definíció: Az leképezést valószínűségi változónak nevezzük, ha
RészletesebbenMatematikai geodéziai számítások 10.
Matematikai geodéziai számítások 10. Hibaellipszis, talpponti görbe és közepes ponthiba Dr. Bácsatyai, László Matematikai geodéziai számítások 10.: Hibaellipszis, talpponti görbe és Dr. Bácsatyai, László
RészletesebbenBiometria. Gergó Lajos 2012.
Biometria Gergó Lajos 2012. Tartalomjegyzék 1. Valószínűségszámítási bevezető 4 1.1. Bevezető példák, definíciók................. 4 1.2. Valószínűségi változó.................... 6 1.2.1. Normális eloszlású
RészletesebbenNemparaméteres próbák
Nemparaméteres próbák Budapesti Mőszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Gépészmérnöki Kar Hidrodinamikai Rendszerek Tanszék 1111, Budapest, Mőegyetem rkp. 3. D ép. 334. Tel: 463-16-80 Fax: 463-30-91 http://www.vizgep.bme.hu
RészletesebbenBiostatisztika Összefoglalás
Biostatisztika Összefoglalás A biostatisztika vizsga A biostatisztika vizsga az Orvosi fizika és statisztika I. fizika vizsgájával egy napon történik. A vizsga keretében 30 perc alatt 0 kérdésre kell válaszolni
RészletesebbenAlapfogalmak, valós számok Sorozatok, határérték Függvények határértéke, folytonosság A differenciálszámítás Függvénydiszkusszió Otthoni munka
Pintér Miklós miklos.pinter@uni-corvinus.hu Ősz Alapfogalmak Halmazok Definíció Legyen A egy tetszőleges halmaz, ekkor x A (x / A) jelentése: x (nem) eleme A-nak. A B (A B) jelentése: A (valódi) részhalmaza
RészletesebbenMatematikai statisztikai elemzések 4.
Matematikai statisztikai elemzések 4. Hipotézisvizsgálat: alapfogalmak, egymintás és kétmintás próbák. Prof. Dr. Závoti, József Matematikai statisztikai elemzések 4.: Hipotézisvizsgálat: alapfogalmak,
RészletesebbenAz átlagra vonatkozó megbízhatósági intervallum (konfidencia intervallum)
Az átlagra voatkozó megbízhatósági itervallum (kofidecia itervallum) Határozzuk meg körül azt az itervallumot amibe előre meghatározott valószíűséggel esik a várható érték (µ). A várható értéket potosa
RészletesebbenMatematika III. 5. Nevezetes valószínűség-eloszlások Prof. Dr. Závoti, József
Matematika III. 5. Nevezetes valószínűség-eloszlások Prof. Dr. Závoti, József Matematika III. 5. : Nevezetes valószínűség-eloszlások Prof. Dr. Závoti, József Lektor : Bischof, Annamária Ez a modul a TÁMOP
RészletesebbenStatisztikai módszerek a skálafüggetlen hálózatok
Statisztikai módszerek a skálafüggetlen hálózatok vizsgálatára Gyenge Ádám1 1 Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Villamosmérnöki és Informatikai Kar Számítástudományi és Információelméleti
RészletesebbenMatematikai statisztikai elemzések 4.
Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara Prof. Dr. Závoti József Matematikai statisztikai elemzések 4. MSTE4 modul Hipotézisvizsgálat: alapfogalmak, egymintás és kétmintás próbák. Illeszkedés-
RészletesebbenMatematikai statisztika feladatsor
Matematikai statisztika feladatsor Nagy-György Judit A feladatsor Bolla Marianna és Krámli András Statisztikai következtetések elmélete cím könyvének [1] elméletére épül, a fejezetek számozása és a jelölések
RészletesebbenAdatok statisztikai értékelésének főbb lehetőségei
Adatok statisztikai értékelésének főbb lehetőségei 1. a. Egy- vagy kétváltozós eset b. Többváltozós eset 2. a. Becslési problémák, hipotézis vizsgálat b. Mintázatelemzés 3. Szint: a. Egyedi b. Populáció
RészletesebbenKiváltott agyi jelek informatikai feldolgozása Statisztika - Gyakorlat Kiss Gábor IB.157.
Kiváltott agyi jelek informatikai feldolgozása 2018 Statisztika - Gyakorlat Kiss Gábor IB.157. kiss.gabor@tmit.bme.hu Példa I (Vonat probléma) Aladár 25 éves és mindkét nagymamája él még: Borbála és Cecília.
RészletesebbenBIOMETRIA (H 0 ) 5. Előad. zisvizsgálatok. Hipotézisvizsg. Nullhipotézis
Hipotézis BIOMETRIA 5. Előad adás Hipotézisvizsg zisvizsgálatok Tudományos hipotézis Nullhipotézis feláll llítása (H ): Kétmintás s hipotézisek Munkahipotézis (H a ) Nullhipotézis (H ) > = 1 Statisztikai
Részletesebben