Dr. Karácsony Zsolt. Miskolci Egyetem november

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Dr. Karácsony Zsolt. Miskolci Egyetem november"

Átírás

1 Valószínűségszámítás és Matematikai statisztika Dr. Karácsony Zsolt Miskolci Egyetem, Alkalmazott Matematikai Tanszék tanév 1. félév Miskolci Egyetem november Dr. Karácsony Zsolt Valószínűségszámítás és Matematikai statisztika 1/62

2 Tartalom előadás előadás előadás Dr. Karácsony Zsolt Valószínűségszámítás és Matematikai statisztika 2/62

3 Tartalom előadás előadás előadás Dr. Karácsony Zsolt Valószínűségszámítás és Matematikai statisztika 3/62

4 10. előadás Statisztika Alapfeladat Következtetés tapasztalati adatokból események ismeretlen valószínűségére vagy valószínűségi változók ismeretlen eloszlásfüggvényére és ezek paramétereire. (Vincze, 1975) Dr. Karácsony Zsolt Valószínűségszámítás és Matematikai statisztika 4/62

5 10. előadás Minta, mintavétel Bevezetés A valószínűség-számítás tárgyalása során feltételeztük, hogy a háttérben egy (Ω, A, P) valószínűségi mező áll, az X vagy ξ valószínűségi változó Ω-n értelmezett, X eloszlásfüggvénye F és F ismert. A statisztikai megfigyeléseket éppen azért végezzük, hogy az F eloszlásfüggvényt megismerjük. Legyen Θ egy nemüres halmaz, minden θ Θ legyen (Ω, A, P θ ) valószínűségi mező. Az (Ω, A, P θ ), θ Θ összeséget statisztikai mintának nevezzük. Θ-t paramétertérnek, elemeit pedig paramétereknek nevezzük. Dr. Karácsony Zsolt Valószínűségszámítás és Matematikai statisztika 5/62

6 10. előadás Minta, mintavétel Az X 1, X 2,..., X n független, azonos eloszlású valószínűségi változókat mintának nevezzük. Rögzített ω Ω esetén az x 1 = X 1 (ω), x 2 = X 2 (ω),..., x n = X n (ω) szám n-est minta realizációjának nevezzük. Empírikus eloszlásfüggvény Próbáljuk meg rekonstruálni a minta alapján az F eloszlásfüggvényt! Legyen ω Ω rögzített, jelölje X 1 (ω) X 2 (ω)... X n (ω) az X 1 (ω), X 2 (ω),..., X n (ω) minta realizáció elemeinek nagyság szerint növekvő permutációja. Az X 1 X 2... X n valószínűségi változókat rendezett mintának nevezzük. Dr. Karácsony Zsolt Valószínűségszámítás és Matematikai statisztika 6/62

7 10. előadás Empírikus eloszlásfüggvény Legyen X 1, X 2,..., X n rendezett minta. Az Fn (x) = 0, ha x X 1, k n, ha X k x X k+1, k = 1, 2,..., n 1 1, ha x > X n. függvényt empírikus eloszlásfüggvénynek nevezzük. Dr. Karácsony Zsolt Valószínűségszámítás és Matematikai statisztika 7/62

8 10. előadás Empírikus eloszlásfüggvénynekk Tétel Rögzített x R esetén az alábbiak teljesülnek: a.) nf n (x) binomiális eloszlású; b.) F n (x) várható értéke F (x); c.) F n (x) szórása 0-hoz tart, ha n ; d.) F n (x) F (x) sztochasztikusan, ha n. Tétel Bármely rögzített x R esetén lim F n n (x) = F (x) majdnem biztosan; lim F n n (x + 0) = F (x + 0) majdnem biztosan. Dr. Karácsony Zsolt Valószínűségszámítás és Matematikai statisztika 8/62

9 10. előadás A matematikai statisztika alaptétele Glivenko-tétele Ha az X 1, X 2,..., X n független minta, akkor sup Fn (x) F (x) 0, x R ha n teljesül 1 valószínűséggel. Dr. Karácsony Zsolt Valószínűségszámítás és Matematikai statisztika 9/62

10 10. előadás Statisztikák Sokféle statisztika használatos, ki kell emelni ezek közül is a hisztogramokat. Tekintsünk egy X 1, X 2,..., X n mintát! Osszuk fel a számegyenest y 0 < y 1 <... < y r osztópontokkal. Tegyük fel, hogy minden mintaelem beleesik az (y 0, y r ) intervallumba. Jelölje ν i az [y i 1, y i ) intervallumba eső elemek számát. (i = 1, 2,..., r) Rajzoljunk az [y i 1, y i ) intervallum felé ν i -vel arányos területű téglalapot.(i = 1, 2,..., r) Így megkapjuk a hisztogramot. Ha a téglalapok összterülete n, akkor a gyakorisági-hisztogramhoz jutunk. Ha a téglalapok öszterülete 1, akkor a sűrűség-hisztogramhoz jutunk. Dr. Karácsony Zsolt Valószínűségszámítás és Matematikai statisztika 10/62

11 10. előadás Statisztikák A gyakorisági-hisztogram az az f n valós függvény, melyre { νi y f n (x) = i y i 1, ha x [y i 1, y i ], i = 1, 2,..., n 0, ha x / [y 0, y r ]. Megjegyzés Sűrűség-hisztogram esetén az i-dik téglalap magassága: ν i n(y i y i 1 ). Dr. Karácsony Zsolt Valószínűségszámítás és Matematikai statisztika 11/62

12 10. előadás Statisztikák Legyen x 1, x 2,..., x n minta X -re. Az X = 1 n (x 1 + x x n ) valószínűségi változót empírikus középnek nevezzük. Legyen x 1, x 2,..., x n minta X -re. Az s 2 n = 1 n n (x i X ) 2 i=1 mennyiséget empírikus szórásnégyzetnek nevezzük. Dr. Karácsony Zsolt Valószínűségszámítás és Matematikai statisztika 12/62

13 10. előadás Statisztikák Legyen x 1, x 2,..., x n minta X -re. Az s 2 n = 1 n 1 n (x i X ) 2 mennyiséget korrigált empírikus szórásnégyzetnek nevezzük. i=1 Megjegyzés Az empírikus szórásnégyzet segítségével következtethetünk az X ismeretlen szórásnégyzetére. Dr. Karácsony Zsolt Valószínűségszámítás és Matematikai statisztika 13/62

14 10. előadás Steiner-formula Tétel (Steiner-formula) Tetszőleges a R esetén ns 2 n = n (x i a) 2 n(x a) 2. i=1 Bizonyítás n nsn 2 = [(x i a) (X a)] 2 = i=1 n (x i a) 2 2 i=1 n (x i a) 2 n(x a) 2. n n (x i a)(x a) + (X a) 2 = i=1 i=1 i=1 Dr. Karácsony Zsolt Valószínűségszámítás és Matematikai statisztika 14/62

15 10. előadás Steiner-formula Megjegyzés Számolhatjuk ki az sn 2 a = m-et írunk. várható értékét, ha a Steiner formulába Tétel Legyen E(X ) = m, D 2 (X ) = σ 2. Ekkor E(s 2 n ) = σ 2. Bizonyítás [ ] E(sn 2 1 n ) = E (x i m) 2 n (X m)2 = n 1 n 1 i=1 1 n E(x i m) 2 n n 1 n 1 E(X m)2. i=1 Dr. Karácsony Zsolt Valószínűségszámítás és Matematikai statisztika 15/62

16 10. előadás Steiner-formula Bizonyítás Mivel E(x i m) 2 = σ 2, illetve E(X m) 2 = E ( x x n nm) 2 n = 1 nσ 2, ezért n 2 E(s 2 n ) = n n 1 σ2 n σ 2 n 1 n = σ2, tehát a korrigált empírikus szórásnégyzet várható értéke éppen az elméleti szórásnégyzet. Dr. Karácsony Zsolt Valószínűségszámítás és Matematikai statisztika 16/62

17 10. előadás Statisztikák Legyen x 1, x 2,..., x n minta X -re. A k-dik tapasztalati momentum 1 n alatt a következő kifejezést értjük: xi k. n Legyen x 1, x 2,..., x n minta X -re. A minta terjedelme alatt a xn x1 mennyiséget értjük. Legyen x 1, x 2,..., x n minta X -re. A szórási együttható alatt a sn X mennyiséget értjük. i=1 Dr. Karácsony Zsolt Valószínűségszámítás és Matematikai statisztika 17/62

18 10. előadás Statisztikák Legyen x 1, x 2,..., x n minta X -re. A minta mediánja alatt a { x m+1, ha n = 2m + 1, med(x) = xm+x m+1 2, ha n = 2m mennyiséget értjük. Legyen x 1, x 2,..., x n minta X -re. A minta medián abszolút eltérése alatt a mennyiséget értjük. MAD(x) = med( x i med(x) ) Dr. Karácsony Zsolt Valószínűségszámítás és Matematikai statisztika 18/62

19 10. előadás Kvantilis Adott az F eloszlásfüggvény és a p valószínűség. Az x p p-kvantilis, ha p = F (x p ). Ha p = 0.5, akkor mediánnak, még p = 0.25 és 0.75 esetén alsó illetve felső kvartilisnek nevezzük. Egy sokaság p tapasztalati kvartilise x p = (1 q)xa + qx B, A = [np]; B = [np] + 1; q = {np}. Példa Ha p = 0.21, n = 40, akkor x p = (1 0.4)x x 9. Dr. Karácsony Zsolt Valószínűségszámítás és Matematikai statisztika 19/62

20 10. előadás Becslési módszerek Bevezetés A becsléselméletben gyakran feltételezzük, hogy a megfigyelt mennyiségek független valószínűségi változók, közös F θ0 eloszlással, amely egy meghatározott {F θ θ Θ} eloszláshalmazba tartozik. Θ általában R k egy részhalmaza. Megpróbáljuk θ 0 értékét a megfigyelések alapján meghatározni. Legyen adott az X 1, X 2,..., X n minta, melynek sűrűségfüggvénye f és ez a Θ paramétertől függ. Tehát adott a {f (., θ) θ Θ R k }. Dr. Karácsony Zsolt Valószínűségszámítás és Matematikai statisztika 20/62

21 10. előadás Becslési módszerek Pontbecslésnek nevezzük a mintaelemek mérhető függvényét, ahol a becslés és a paraméter koordinátáinak a száma megegyezik, azaz Θ n (X 1, X 2,..., X n ) Θ. Intervallumbecslésnek nevezzük a Γ tartományt 1 α megbízhatósági szinttel, ha Γ Θ és P(θ Γ) = 1 α. Dr. Karácsony Zsolt Valószínűségszámítás és Matematikai statisztika 21/62

22 10. előadás Pontbecslés Legyen adott az x 1, x 2,..., x n minta f (x 1, x 2,..., x n ; Θ) sűrűségfüggvénnyel. A Θ n (x 1, x 2,..., x n ) (röviden Θ n ) a Θ paraméter torzítatlan becslése, ha E( Θ n ) = Θ. Θ n a Θ paraméter aszimptotikusan torzítatlan becslése, ha Megjegyzés lim E( Θ n ) = Θ. n Az átlag a várható érték torzítatlan becslése. A korrigált tapasztalati szórásnégyzet torzítatlan becslése a szórásnégyzetnek. Dr. Karácsony Zsolt Valószínűségszámítás és Matematikai statisztika 22/62

23 10. előadás Pontbecslés Adott a Θ n és a Θ n torzítatlan becslés. A Θ n hatásosabb a Θ n becslésnél, ha D 2 ( Θ n ) D 2 ( Θ n ). A Θ n (x 1, x2,..., x n ) sorozat konzisztens becsléssorozata a Θ paraméterre, ha ( ) lim P Θ n Θ > ε = 0, n minden ε > 0 esetén. A Θ n (x 1, x2,..., x n ) sorozat erősen konzisztens becsléssorozata a Θ paraméterre, ha n esetén E( Θ n ) = Θ, és lim n D2 ( Θ n ) = 0. Dr. Karácsony Zsolt Valószínűségszámítás és Matematikai statisztika 23/62

24 10. előadás Likelihood-becslés Tekintsünk egy X -re adott x 1, x 2,..., x n mintát. Az L(x 1, x 2,..., x n ; θ) = n f (x i, θ) i=1 függvényt az x 1, x 2,..., x n mintához tartozó likelihood-függvénynek nevezzük. A Θ statisztikát a Θ paraméter maximum likelihood-becslésének nevezzük, ha Θ globális maximumhelye a likelihood-függvénynek, azaz L(x 1, x 2,..., x n ; Θ(x 1, x 2,..., x n )) L(x 1, x 2,..., x n, θ) minden θ Θ esetén. Dr. Karácsony Zsolt Valószínűségszámítás és Matematikai statisztika 24/62

25 10. előadás Likelihood-becslés Példa: λ paraméterű Poisson-eloszlás Legyen adott az x 1, x 2,..., x n minta. Az általánosított sűrűségfüggvényhez használjuk az f (k, λ) = λk k! e λ. logl(x 1, x 2,..., x n ; λ) = logλ meghatározni a maximumát. n x i i=1 n logx i! nλ, ennek kell i=1 A számítások elvégzése után kapjuk, hogy 1 λ ahonnan λ n = x. Még ellenőrizni kell, hogy 2 logl(x xi 2 1, x 2,..., x n, λ) = 1 n λ 2 i=1 x i < 0. n x i n = 0, i=1 Dr. Karácsony Zsolt Valószínűségszámítás és Matematikai statisztika 25/62

26 10. előadás Likelihood-becslés Példa: λ paraméterű exponenciális-eloszlás f (x, λ) = λe λx logl(x 1, x 2,..., x n, λ) = nlogλ λ n n λ x i = 0 λ = 1 x. i=1 n i=1 x i Dr. Karácsony Zsolt Valószínűségszámítás és Matematikai statisztika 26/62

27 10. előadás Momentumok módszere Ha egy valószínűségi változónak létezik a várható értéke, akkor a nagy számok törvénye alapján, ha x 1, x 2,... független, vele azonos eloszlású valószínűségi változók sorozata, akkor a részletösszegek átlaga tart a várható értékhez. Továbbá tudjuk, hogy ha általában nem is, de elég gyenge feltételek mellett a momentumok meghatározzák az eloszlást. µ k = E(x k ) és m k = xk 1 +xk xk n n és µ k = m k. Dr. Karácsony Zsolt Valószínűségszámítás és Matematikai statisztika 27/62

28 Köszönöm a figyelmet! Dr. Karácsony Zsolt Valószínűségszámítás és Matematikai statisztika 28/62

29 Tartalom előadás előadás előadás Dr. Karácsony Zsolt Valószínűségszámítás és Matematikai statisztika 29/62

30 11. előadás Intervallum becslés Bevezetés Az eddigiek során arra törekedtünk, hogy megfigyeléseink alapján egyetlen értékkel becsüljük az ismeretlen paramétert. Ebben a szakaszban a feladat megadni egy Γ Θ tartományt, amelyre P(θ Γ) = 1 α. Legyen a Θ R, az x 1, x 2,..., x n minta. A Θ n (x 1, x 2,..., x n ) Θ Θ n (x 1, x 2,..., x n ) 1 α megbízhatóságú konfidencia intervallum a Θ paraméterre, ha P Θ ( Θ n Θ Θ n ) = 1 α. Dr. Karácsony Zsolt Valószínűségszámítás és Matematikai statisztika 30/62

31 11. előadás Intervallum becslés 1. Tekintsünk egy x 1, x 2,..., x n mintát az m ismeretlen várható értékű és σ 2 ismert szórásnégyzetű normális eloszlásra. (X N (m, σ 2 )) Tudjuk, hogy X N (m, σ2 n ), így n(x m) σ standard normális eloszlású. Ezért egy adott 1 ε megbízhatósági szinthez válasszunk olyan u R-t, hogy n(x m) P m ( u σ u) = 1 ε, Φ(u) = 1 ε 2, ahonnan P m (X u ε σ 2 n < m < X + u ε σ 2 n ) = 1 ε. Tehát az m-re kapott 1 ε megbízhatósági szintű konfidencia intervallum: ( ) σ σ X u ε ; X + u ε 2 n 2 n Dr. Karácsony Zsolt Valószínűségszámítás és Matematikai statisztika 31/62

32 11. előadás Intervallum becslés 2. Szerkesszünk konfidencia intervallumot a σ 2 szórásnégyzetre, ha az m várható érték ismert. Felhasználjuk, hogy n (x i m) 2 i=1 statisztika χ 2 eloszlású n szabadsági fokkal, így ( ) 1 n i m) χ 2 ε i=1(x 2 ; 1 n χ 2 (x i m) 2. ε i=1 σ 2 Dr. Karácsony Zsolt Valószínűségszámítás és Matematikai statisztika 32/62

33 11. előadás Intervallum becslés 3. Adjunk meg konfidencia intervallumot m-re, ha σ 2 is ismeretlen! Mivel n(x m) s n t-eloszlású n 1 szabadsági fokkal, így n(x m) P( t ε < 2 sn < t ε ) = 1 ε, 2 ahonnan a konfidencia intervallum: ( X t ε 2 s n n ; X + t ε 2 sn ) n Dr. Karácsony Zsolt Valószínűségszámítás és Matematikai statisztika 33/62

34 11. előadás Intervallum becslés 4. Szerkesszünk konfidencia intervallumot egy A esemény ismeretlen P(A) = p valószínűségére az A eseményre végzett n számú független kísérlet alapján. A Csebisev-egyenlőtlenségből kapjuk, hogy ( P X p ) p(1 p) < ε > 1 1 n ε 2, valamint felhasználva, hogy p(1 p) 1 4 kapjuk, hogy ( ) X P p 1 < ε > 1 1 4n ε 2. Így a kapott intervallum ( X ε 1 2 n ; X + ε 1 ) 2 n Dr. Karácsony Zsolt Valószínűségszámítás és Matematikai statisztika 34/62

35 11. előadás Hipotézisvizsgálat A vizsgálandó feltételezést nullhipotézisnek nevezzük (jele: H 0 ), ezzel ellentétes álĺıtás az alternatív hipotézis (jele: H 1 ). Azt az eljárást, amelynek során a minta segítségével döntünk a hipotézisről, statisztikai próbának nevezzük. Ha az eloszlás jellege ismert és a nullhipotézisünk az eloszlás valamely paraméterére vonatkozik, akkor paraméteres próbáról beszélünk. Dr. Karácsony Zsolt Valószínűségszámítás és Matematikai statisztika 35/62

36 11. előadás Hipotézisvizsgálat Ha Θ 0 egy pontból álló halmaz, a nullhipotézis egyszerű, ellenkedző esetben összetett. A H 0 : Θ = Θ 0 nullhipotézis és H 1 : Θ > Θ 0 (H 1 : Θ < Θ 0 ) ellenhipotézis esetén egyoldali nullhipotézisről illetve egyoldali próbáról beszélünk. A H 0 : Θ = Θ 0 nullhipotézis és H 1 : Θ Θ 0 alakú hipotézis esetén kétoldali próbáról beszélünk. Dr. Karácsony Zsolt Valószínűségszámítás és Matematikai statisztika 36/62

37 11. előadás Hipotézisvizsgálat Bontsuk fel a teret C 0 és C 1 diszjunkt halmazokra. Ha a minta x 1, x 2,..., x n realizációja a C 0 halmaz eleme, akkor elfogadjuk a nullhipotézist, ha x 1, x 2,..., x n a C 1 eleme, akkor H 1 alternatív hipotézist fogadjuk el. A C 0 halmazt elfogadási tartománynak, a C 1 halmazt kritikus tartománynak nevezzük. A P θ (C 1 ) α, θ Θ 0 realizációt teljesítő α számot a próba terjedelmének (kritikus tartomány) nevezzük. Dr. Karácsony Zsolt Valószínűségszámítás és Matematikai statisztika 37/62

38 11. előadás Hipotézisvizsgálat Ha adott C 1 tartomány esetén elfogadjuk vagy elvetjük a hipotézist a paraméterre vagy az F alakjára, akkor azt statisztikai próbának nevezzük. Egy próbát α-szintűnek nevezünk, ha P((x 1, x 2,..., x n ) C 1 H 0 ) α. Dr. Karácsony Zsolt Valószínűségszámítás és Matematikai statisztika 38/62

39 11. előadás Hipotézisvizsgálat Ha H 0 igaz és ennek ellenére elvetjük, akkor azt mondjuk, hogy elsőfajú hibát követünk el. Megjegyzés Az elsőfajú hiba elkövetésének valószínűsége P((x 1, x 2,..., x n ) C 1 H 0 ) = α. Tehát a próba szintjével együtt az elsőfajú hiba elkövetésének a valószínűségét is rögzítjük. Ha a H 1 hipotézis az igaz és mégis elfogadjuk H 0 -t, akkor azt mondjuk, hogy másodfajú hibát követünk el. Dr. Karácsony Zsolt Valószínűségszámítás és Matematikai statisztika 39/62

40 11. előadás Hipotézisvizsgálat Jelölje H 0 azt, hogy Θ a valódi paraméter. Rögzített C 1 kritikus tartomány esetén a γ(h θ ) = P((x 1, x 2,..., x n ) C 1 H 0 ), θ Θ valószínűséget a próba erőfüggvényének nevezzük. Dr. Karácsony Zsolt Valószínűségszámítás és Matematikai statisztika 40/62

41 11. előadás Próbák U-próba (1 mintás eset) Az U-próba segítségével ismert szórású, normális eloszlású valószínűségi változó várható értékére vonatkozó hipotézisről dönthetünk. E(X ) = m ismeretlen Hipotézis: D(X ) = σ 0 ismert paraméter. H 0 : E(X ) = m 0 H 1 : E(X ) = m 1 m 0. Dr. Karácsony Zsolt Valószínűségszámítás és Matematikai statisztika 41/62

42 11. előadás Próbák U-próba (1 mintás eset) Ha a nullhipotézisünk igaz, akkor a próbastatisztika U = X m 0 n σ 0 standard normális eloszlású valószínűségi változó. Ha tehát igaz a nullhipotézis, akkor az U statisztika konkrét értéke 1 α valószínűséggel ( u α, u α ) intervallumba esik. 2 2 Dr. Karácsony Zsolt Valószínűségszámítás és Matematikai statisztika 42/62

43 11. előadás Próbák U-próba (1 mintás eset) Így az elfogadási tartomány: C 0 = Kritikus tartomány: C 1 = { (x 1, x 2,..., x n ) : { (x 1, x 2,..., x n ) : X m 0 σ 0 X m 0 σ 0 } n < u α 2 } n u α 2 Dr. Karácsony Zsolt Valószínűségszámítás és Matematikai statisztika 43/62

44 11. előadás Próbák U-próba (2 mintás eset) Két független, ismert szórású, normális eloszlású valószínűségi változó várható értékeinek azonosságáról dönthetünk. (X N (m 1, σ 2 1 ); Y N (m 2, σ 2 2 ); n 1 illetve n 2 elemű mintát tekintve.) Hipotézis: H 0 : m 1 = m 2 ; U-próbastatisztika: H 1 := m 1 m 2. U = X Y. σ 2 1 n 1 + σ2 2 n 2 Dr. Karácsony Zsolt Valószínűségszámítás és Matematikai statisztika 44/62

45 11. előadás Próbák t-próba (1 mintás eset) Legyen X N (m, σ 2 ), ahol m és σ 2 is ismeretlenek. Tekintsünk egy x 1, x 2,..., x n n elemű mintát. A hipotézisünk a várható értékre vonatkozik: H 0 : m = m 0 ; H 1 := m m 0. Ismert, hogy az X m s n valószínűségi változó (n 1) n szabadságfokú t- eloszlású. Dr. Karácsony Zsolt Valószínűségszámítás és Matematikai statisztika 45/62

46 11. előadás Próbák t-próba (1 mintás eset) Tehát, ha a nullhipotézis igaz, akkor a t = X m s n n próbastatisztika (n 1) paraméterű t eloszlású. A kritikus tartomány: { ( α )} C 1 = (x 1, x 2,..., x n ) : t t n 1 2 Az elfogadási tartomány: { ( α )} C 0 = (x 1, x 2,..., x n ) : t < t n 1 2 Dr. Karácsony Zsolt Valószínűségszámítás és Matematikai statisztika 46/62

47 11. előadás Próbák t-próba (2 mintás eset) Legyen X és Y független, normális eloszlású valószínűségi változó. (E(x) = m 1 ; D(X ) = σ 1 ; E(Y ) = m 2 ; D(Y ) = σ 2 ahol m 1, m 2, σ 1, σ 2 ismeretlenek.) Az X valószínűségi változó n 1, még az Y n 2 elemű egymástól független minták. A hipotézis a várható értékek azonosságára vonatkozik: A próba szintje 1 α. H 0 : m 1 = m 2 ; H 1 := m 1 m 2. Dr. Karácsony Zsolt Valószínűségszámítás és Matematikai statisztika 47/62

48 11. előadás Próbák t-próba (2 mintás eset) A nullhipotézisről fennál, hogy X Y n t = 1 n 2 (n 1 + n 2 2) (n 1 1)sn (n 2 1)sn 2 n 1 + n 2 2 statisztika n 1 + n 2 2 paraméterű t-eloszlású. A { ( α )} C 1 = (x 1, x 2,..., x n1, y 1, y 2,..., y n2 ) : t t n1 +n Dr. Karácsony Zsolt Valószínűségszámítás és Matematikai statisztika 48/62

49 11. előadás Próbák F-próba Két független, normális eloszlású valószínűségi változó szórásainak egyenlőségét ellenőrzi az F -próba. X N (m 1, σ 2 1 ), n 1 elemű minta; Y N (m 2, σ 2 2 ), n 2 elemű minta; A próba szintje: 1 α. H 0 : σ 2 1 = σ 2 2; H 1 := σ 2 1 σ 2 2. Dr. Karácsony Zsolt Valószínűségszámítás és Matematikai statisztika 49/62

50 11. előadás Próbák F-próba Felhasználva, hogy n 1 1 s 2 σ1 2 1 és n 2 1 σ2 2 s 2 2 χ 2 eloszlásúak (n 1 1) illetve (n 2 1) paraméterekkel és függetlenek, kapjuk, hogy a nullhipotézisre fennáll az F = s 2 1 s2 2 próbastatisztika F -eloszlású (n 1 1, n 2 1) paraméterekkel. Dr. Karácsony Zsolt Valószínűségszámítás és Matematikai statisztika 50/62

51 11. előadás Próbák χ 2 -próba A χ 2 -próba segítségével normális eloszlású valószínűségi változók ismeretlen szórásnégyzetéről dönthetünk. Legyen X N (m, σ 2 ) eloszlású, ahol m és σ is ismeretlen paraméterek. A hipotézis: A próba szintje: 1 α. H 0 : σ = σ 0 ; H 1 := σ σ 0. Dr. Karácsony Zsolt Valószínűségszámítás és Matematikai statisztika 51/62

52 11. előadás Próbák χ 2 -próba Tudjuk, hogy (n 1)s 2 χ 2 -eloszlású (n 1) paraméterrel. Ha a σ 2 nullhipotézis igaz, akkor h = (n 1)s 2 próbastatisztika χ 2 eloszlású. σ 2 Dr. Karácsony Zsolt Valószínűségszámítás és Matematikai statisztika 52/62

53 Köszönöm a figyelmet! Dr. Karácsony Zsolt Valószínűségszámítás és Matematikai statisztika 53/62

54 Tartalom előadás előadás előadás Dr. Karácsony Zsolt Valószínűségszámítás és Matematikai statisztika 54/62

55 12. előadás Regressziós egyenesek Beveztés Adott 2 mérési adatsor, amelyek alapján elkészíthető a regressziós egyenes. Adott (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ),..., (x n, y n ). Keressük az y = bx + a egyenest, melyre Q(a, b) = n (y i bx i a) 2 min. i=1 Dr. Karácsony Zsolt Valószínűségszámítás és Matematikai statisztika 55/62

56 12. előadás Regressziós egyenesek Vezessük be a következő jelöléseket: n i=1 X = x n i i=1 ; Y = y i n n Q x = n xi 2 nx 2 ; Q y = i=1 Q xy = n i=1 n x i y i nx Y. i=1 Ekkor a regressziós egyenes egyenlete: b = Q xy Q x ; a = Y bx. y 2 i ny 2 Dr. Karácsony Zsolt Valószínűségszámítás és Matematikai statisztika 56/62

57 12. előadás Regressziós egyenesek Általánosan y = b 0 + b 1 x b n x n. Vezessük be a β = (b 0, b 1,..., b n ) jelölést. A β becslését szeretnénk meghatározni. Ez az X X β = X y egyenletrendszer megoldásával adódik. Dr. Karácsony Zsolt Valószínűségszámítás és Matematikai statisztika 57/62

58 12. előadás Regressziós egyenesek Az X X β = X y egyenletrendszert normál-egyenletrendszernek nevezzük. Megjegyzés X X egy pozitív definit mátrix, ezért β = (X X ) 1 X y. Dr. Karácsony Zsolt Valószínűségszámítás és Matematikai statisztika 58/62

59 12. előadás Regressziós egyenesek Példa Adottak a következő (1,2); (2,4); (3,5); (4,8) pontok. Határozzuk meg az y = a + bx alakú regressziós egyenest! (Megoldás: y=0+1.9x) Példa Tekintsük a ξ valószínűségi változót, melyről tudjuk a következőket: 1 38; 2 53; 3 61; %-os szinten ellenőrizzük, hogy a minta egyenletes eloszlású-e? Dr. Karácsony Zsolt Valószínűségszámítás és Matematikai statisztika 59/62

60 12. előadás Cramer-Rao egyenlőtlenség Tétel Legyen az (Ω, A, P θ ), θ Θ statisztikai mezőn a T statisztika g(θ) torzítatlan becslése, ahol g egy adott függvény Θ-n és legyen E(T ) 2 lokálisan korlátos függvény Θ-n. Ekkor g folytonosan differenciálható Θ-n, I (θ) 0 minden θ Θ esetén és D 2 (T ) (g (θ)) 2 I (θ), ahol I (θ) a Fisher-féle információmennyiség. Dr. Karácsony Zsolt Valószínűségszámítás és Matematikai statisztika 60/62

61 12. előadás Rao-Blackwell tétel Legyen (Ω, A, P θ ), θ Θ statisztikai mező. A T : Ω R k statisztikát elégségesnek nevezzük, ha a P θ (A T = t), A A, t R k feltételes valószínűségeknek megadható θ-tól független közös értéke. Rao-Blackwell tétel Legyen T elégséges statisztika az (Ω, A, P θ ) statisztikai mezőn és legyen ĝ(θ) a g(θ) véges szórású, torzítatlan becslése. Ekkor a h(t) = E(ĝ(θ) T = t) függvényre fennállnak az alábbiak h csak t-től függ és nem függ θ-tól; h(t ) torzítatlan becslése g(θ)-nak; D 2 (h(t )) D 2 (ĝ(θ)). Dr. Karácsony Zsolt Valószínűségszámítás és Matematikai statisztika 61/62

62 Köszönöm a figyelmet! Dr. Karácsony Zsolt Valószínűségszámítás és Matematikai statisztika 62/62

egyetemi jegyzet Meskó Balázs

egyetemi jegyzet Meskó Balázs egyetemi jegyzet 2011 Előszó 2. oldal Tartalomjegyzék 1. Bevezetés 4 1.1. A matematikai statisztika céljai.............................. 4 1.2. Alapfogalmak......................................... 4 2.

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 4 IV. MINTA, ALAPsTATIsZTIKÁK 1. MATEMATIKAI statisztika A matematikai statisztika alapfeladatát nagy általánosságban a következőképpen

Részletesebben

biometria II. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert Matematikai-statisztikai adatfeldolgozás

biometria II. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert Matematikai-statisztikai adatfeldolgozás Kísérlettervezés - biometria II. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert Matematikai-statisztikai adatfeldolgozás A matematikai-statisztika feladata tapasztalati adatok feldolgozásával segítséget nyújtani

Részletesebben

GVMST22GNC Statisztika II. Keleti Károly Gazdasági Kar Vállalkozásmenedzsment Intézet

GVMST22GNC Statisztika II. Keleti Károly Gazdasági Kar Vállalkozásmenedzsment Intézet GVMST22GNC Statisztika II. 3. előadás: 8. Hipotézisvizsgálat Kóczy Á. László Keleti Károly Gazdasági Kar Vállalkozásmenedzsment Intézet Hipotézisvizsgálat v becslés Becslés Ismeretlen paraméter Közeĺıtő

Részletesebben

1. Adatok kiértékelése. 2. A feltételek megvizsgálása. 3. A hipotézis megfogalmazása

1. Adatok kiértékelése. 2. A feltételek megvizsgálása. 3. A hipotézis megfogalmazása HIPOTÉZIS VIZSGÁLAT A hipotézis feltételezés egy vagy több populációról. (pl. egy gyógyszer az esetek 90%-ában hatásos; egy kezelés jelentősen megnöveli a rákos betegek túlélését). A hipotézis vizsgálat

Részletesebben

Kabos: Statisztika II. t-próba 9.1. Ha ismert a doboz szórása de nem ismerjük a

Kabos: Statisztika II. t-próba 9.1. Ha ismert a doboz szórása de nem ismerjük a Kabos: Statisztika II. t-próba 9.1 Egymintás z-próba Ha ismert a doboz szórása de nem ismerjük a doboz várhatóértékét, akkor a H 0 : a doboz várhatóértéke = egy rögzített érték hipotézisről úgy döntünk,

Részletesebben

Statisztika - bevezetés Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc 1

Statisztika - bevezetés Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc 1 Statisztika - bevezetés 00.04.05. Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc Bevezetés Véletlen jelenség fogalma jelenséget okok bizonyos rendszere hozza létre ha mindegyik figyelembe vehető egyértelmű leírás általában

Részletesebben

A Statisztika alapjai

A Statisztika alapjai A Statisztika alapjai BME A3c Magyar Róbert 2016.05.12. Mi az a Statisztika? A statisztika a valóság számszerű információinak megfigyelésére, összegzésére, elemzésére és modellezésére irányuló gyakorlati

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 3 III. VÉLETLEN VEKTOROK 1. A KÉTDIMENZIÓs VÉLETLEN VEKTOR Definíció: Az leképezést (kétdimenziós) véletlen vektornak nevezzük, ha Definíció:

Részletesebben

Intervallumbecsle s Mintave tel+ Hipote zisvizsga lat Egyminta s pro ba k Ke tminta s pro ba k Egye b vizsga latok O sszef.

Intervallumbecsle s Mintave tel+ Hipote zisvizsga lat Egyminta s pro ba k Ke tminta s pro ba k Egye b vizsga latok O sszef. Intervallumbecsle s Mintave tel+ Hipote zisvizsga lat Egyminta s pro ba k Ke tminta s pro ba k Egye b vizsga latok O sszef. Feladatok Gazdaságstatisztika 7. Statisztikai becslések (folyt.); 8. Hipotézisvizsgálat

Részletesebben

Készítette: Fegyverneki Sándor

Készítette: Fegyverneki Sándor VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS Összefoglaló segédlet Készítette: Fegyverneki Sándor Miskolci Egyetem, 2001. i JELÖLÉSEK: N a természetes számok halmaza (pozitív egészek) R a valós számok halmaza R 2 {(x, y) x, y

Részletesebben

[Biomatematika 2] Orvosi biometria

[Biomatematika 2] Orvosi biometria [Biomatematika 2] Orvosi biometria 2016.02.29. A statisztika típusai Leíró jellegű statisztika: összegzi egy adathalmaz jellemzőit. A középértéket jelemzi (medián, módus, átlag) Az adatok változékonyságát

Részletesebben

Matematikai statisztika c. tárgy oktatásának célja és tematikája

Matematikai statisztika c. tárgy oktatásának célja és tematikája Matematikai statisztika c. tárgy oktatásának célja és tematikája 2015 Tematika Matematikai statisztika 1. Időkeret: 12 héten keresztül heti 3x50 perc (előadás és szeminárium) 2. Szükséges előismeretek:

Részletesebben

A valószínűségszámítás elemei

A valószínűségszámítás elemei A valószínűségszámítás elemei Kísérletsorozatban az esemény relatív gyakorisága: k/n, ahol k az esemény bekövetkezésének abszolút gyakorisága, n a kísérletek száma. Pl. Jelenség: kockadobás Megfigyelés:

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 9 IX. ROBUsZTUs statisztika 1. ROBUsZTUssÁG Az eddig kidolgozott módszerek főleg olyanok voltak, amelyek valamilyen értelemben optimálisak,

Részletesebben

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat.

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat. Poisson folyamatok, exponenciális eloszlások Azt mondjuk, hogy a ξ valószínűségi változó Poisson eloszlású λ, 0 < λ

Részletesebben

Többváltozós lineáris regressziós modell feltételeinek

Többváltozós lineáris regressziós modell feltételeinek Többváltozós lineáris regressziós modell feltételeinek tesztelése I. - A hibatagra vonatkozó feltételek tesztelése - Petrovics Petra Doktorandusz Többváltozós lineáris regressziós modell x 1, x 2,, x p

Részletesebben

[Biomatematika 2] Orvosi biometria

[Biomatematika 2] Orvosi biometria [Biomatematika 2] Orvosi biometria 2016.02.15. Esemény Egy kísérlet vagy megfigyelés (vagy mérés) lehetséges eredményeinek összessége (halmaza) alkotja az eseményteret. Esemény: az eseménytér részhalmazai.

Részletesebben

KÖVETKEZTETŐ STATISZTIKA

KÖVETKEZTETŐ STATISZTIKA ÁVF GM szak 2010 ősz KÖVETKEZTETŐ STATISZTIKA A MINTAVÉTEL BECSLÉS A sokasági átlag becslése 2010 ősz Utoljára módosítva: 2010-09-07 ÁVF Oktató: Lipécz György 1 A becslés alapfeladata Pl. Hányan láttak

Részletesebben

Matematika III. 9. Statisztikai hipotézisek Prof. Dr. Závoti, József

Matematika III. 9. Statisztikai hipotézisek Prof. Dr. Závoti, József Matematika III. 9. Statisztikai hipotézisek Prof. Dr. Závoti, József Matematika III. 9. : Statisztikai hipotézisek Prof. Dr. Závoti, József Lektor : Bischof, Annamária Ez a modul a TÁMOP - 4.1.2-08/1/A-2009-0027

Részletesebben

A maximum likelihood becslésről

A maximum likelihood becslésről A maximum likelihood becslésről Definíció Parametrikus becsléssel foglalkozunk. Adott egy modell, mellyel elképzeléseink szerint jól leírható a meghatározni kívánt rendszer. (A modell típusának és rendszámának

Részletesebben

Kiválasztás. A változó szerint. Rangok. Nem-paraméteres eljárások. Rang: Egy valamilyen szabály szerint felállított sorban elfoglalt hely.

Kiválasztás. A változó szerint. Rangok. Nem-paraméteres eljárások. Rang: Egy valamilyen szabály szerint felállított sorban elfoglalt hely. Kiválasztás A változó szerint Egymintás t-próba Mann-Whitney U-test paraméteres nem-paraméteres Varianciaanalízis De melyiket válasszam? Kétmintás t-próba Fontos, hogy mindig a kérdésnek és a változónak

Részletesebben

Statisztikai következtetések Nemlineáris regresszió Feladatok Vége

Statisztikai következtetések Nemlineáris regresszió Feladatok Vége [GVMGS11MNC] Gazdaságstatisztika 10. előadás: 9. Regressziószámítás II. Kóczy Á. László koczy.laszlo@kgk.uni-obuda.hu Keleti Károly Gazdasági Kar Vállalkozásmenedzsment Intézet A standard lineáris modell

Részletesebben

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Statisztikai becslés Statisztikák eloszlása

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Statisztikai becslés Statisztikák eloszlása Matematikai alapok és valószínőségszámítás Statisztikai becslés Statisztikák eloszlása Mintavétel A statisztikában a cél, hogy az érdeklõdés tárgyát képezõ populáció bizonyos paramétereit a populációból

Részletesebben

Statisztikai alapismeretek (folytatás) 4. elıadás (7-8. lecke) Becslések, Hipotézis vizsgálat

Statisztikai alapismeretek (folytatás) 4. elıadás (7-8. lecke) Becslések, Hipotézis vizsgálat Statisztikai alapismeretek (folytatás) 4. elıadás (7-8. lecke) Becslések, Hipotézis vizsgálat 7. lecke Paraméter becslés Konfidencia intervallum Hipotézis vizsgálat feladata Paraméter becslés és konfidencia

Részletesebben

Matematikai statisztika Tómács Tibor

Matematikai statisztika Tómács Tibor Matematikai statisztika Tómács Tibor Matematikai statisztika Tómács Tibor Publication date 2011 Szerzői jog 2011 Hallgatói Információs Központ Copyright 2011, Educatio Kht., Hallgatói Információs Központ

Részletesebben

Számítógépes döntéstámogatás. Statisztikai elemzés

Számítógépes döntéstámogatás. Statisztikai elemzés SZDT-03 p. 1/22 Számítógépes döntéstámogatás Statisztikai elemzés Werner Ágnes Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék e-mail: werner.agnes@virt.uni-pannon.hu Előadás SZDT-03 p. 2/22 Rendelkezésre

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 10 X. SZIMULÁCIÓ 1. VÉLETLEN számok A véletlen számok fontos szerepet játszanak a véletlen helyzetek generálásában (pénzérme, dobókocka,

Részletesebben

A mérési eredmény megadása

A mérési eredmény megadása A mérési eredmény megadása A mérés során kapott értékek eltérnek a mérendő fizikai mennyiség valódi értékétől. Alapvetően kétféle mérési hibát különböztetünk meg: a determinisztikus és a véletlenszerű

Részletesebben

Eseményalgebra. Esemény: minden amirl a kísérlet elvégzése során eldönthet egyértelmen hogy a kísérlet során bekövetkezett-e vagy sem.

Eseményalgebra. Esemény: minden amirl a kísérlet elvégzése során eldönthet egyértelmen hogy a kísérlet során bekövetkezett-e vagy sem. Eseményalgebra. Esemény: minden amirl a kísérlet elvégzése során eldönthet egyértelmen hogy a kísérlet során bekövetkezett-e vagy sem. Elemi esemény: a kísérlet egyes lehetséges egyes lehetséges kimenetelei.

Részletesebben

Biomatematika 15. Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar. Fodor János

Biomatematika 15. Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar. Fodor János Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar Biomatematikai és Számítástechnikai Tanszék Biomatematika 15. Nemparaméteres próbák Fodor János Copyright c Fodor.Janos@aotk.szie.hu Last Revision Date: November

Részletesebben

Alap-ötlet: Karl Friedrich Gauss ( ) valószínűségszámítási háttér: Andrej Markov ( )

Alap-ötlet: Karl Friedrich Gauss ( ) valószínűségszámítási háttér: Andrej Markov ( ) Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Gépészmérnöki Kar Hidrodinamikai Rendszerek Tanszék, Budapest, Műegyetem rkp. 3. D ép. 334. Tel: 463-6-80 Fa: 463-30-9 http://www.vizgep.bme.hu Alap-ötlet:

Részletesebben

A konfidencia intervallum képlete: x± t( α /2, df )

A konfidencia intervallum képlete: x± t( α /2, df ) 1. feladat. Egy erdőben az egy fészekben levő tojásszámokat vizsgáltuk egy madárfajnál. A következő tojásszámokat találtuk: 1, 1, 1,,,,,,, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 5, 6, 7. Mi a mintának a minimuma, maximuma,

Részletesebben

Bevezetés. 1. előadás, 2015. február 11. Módszerek. Tematika

Bevezetés. 1. előadás, 2015. február 11. Módszerek. Tematika Bevezetés 1. előadás, 2015. február 11. Zempléni András Valószínűségelméleti és Statisztika Tanszék Természettudományi Kar Eötvös Loránd Tudományegyetem Áringadozások előadás Heti 2 óra előadás + 2 óra

Részletesebben

Biometria az orvosi gyakorlatban. Korrelációszámítás, regresszió

Biometria az orvosi gyakorlatban. Korrelációszámítás, regresszió SZDT-08 p. 1/31 Biometria az orvosi gyakorlatban Korrelációszámítás, regresszió Werner Ágnes Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék e-mail: werner.agnes@virt.uni-pannon.hu Korrelációszámítás

Részletesebben

Általánosan, bármilyen mérés annyit jelent, mint meghatározni, hányszor van meg

Általánosan, bármilyen mérés annyit jelent, mint meghatározni, hányszor van meg LMeasurement.tex, March, 00 Mérés Általánosan, bármilyen mérés annyit jelent, mint meghatározni, hányszor van meg a mérendő mennyiségben egy másik, a mérendővel egynemű, önkényesen egységnek választott

Részletesebben

Matematikai statisztikai elemzések 3.

Matematikai statisztikai elemzések 3. Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara Prof. Dr. Závoti József Matematikai statisztikai elemzek 3. MSTE3 modul Becslelmélet: alapfogalmak, nevezetes statisztikák, intervallum-becsl SZÉKESFEHÉRVÁR

Részletesebben

STATISZTIKA. A maradék független a kezelés és blokk hatástól. Maradékok leíró statisztikája. 4. A modell érvényességének ellenőrzése

STATISZTIKA. A maradék független a kezelés és blokk hatástól. Maradékok leíró statisztikája. 4. A modell érvényességének ellenőrzése 4. A modell érvényességének ellenőrzése STATISZTIKA 4. Előadás Variancia-analízis Lineáris modellek 1. Függetlenség 2. Normális eloszlás 3. Azonos varianciák A maradék független a kezelés és blokk hatástól

Részletesebben

Biometria. Gergó Lajos 2012.

Biometria. Gergó Lajos 2012. Biometria Gergó Lajos 2012. Tartalomjegyzék 1. Valószínűségszámítási bevezető 4 1.1. Bevezető példák, definíciók................. 4 1.2. Valószínűségi változó.................... 6 1.2.1. Normális eloszlású

Részletesebben

Matematikai geodéziai számítások 10.

Matematikai geodéziai számítások 10. Matematikai geodéziai számítások 10. Hibaellipszis, talpponti görbe és közepes ponthiba Dr. Bácsatyai, László Matematikai geodéziai számítások 10.: Hibaellipszis, talpponti görbe és Dr. Bácsatyai, László

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 2 II. A valószínűségi VÁLTOZÓ És JELLEMZÉsE 1. Valószínűségi VÁLTOZÓ Definíció: Az leképezést valószínűségi változónak nevezzük, ha

Részletesebben

Matematikai statisztika feladatsor

Matematikai statisztika feladatsor Matematikai statisztika feladatsor Nagy-György Judit A feladatsor Bolla Marianna és Krámli András Statisztikai következtetések elmélete cím könyvének [1] elméletére épül, a fejezetek számozása és a jelölések

Részletesebben

Biostatisztika Összefoglalás

Biostatisztika Összefoglalás Biostatisztika Összefoglalás A biostatisztika vizsga A biostatisztika vizsga az Orvosi fizika és statisztika I. fizika vizsgájával egy napon történik. A vizsga keretében 30 perc alatt 0 kérdésre kell válaszolni

Részletesebben

Alapfogalmak, valós számok Sorozatok, határérték Függvények határértéke, folytonosság A differenciálszámítás Függvénydiszkusszió Otthoni munka

Alapfogalmak, valós számok Sorozatok, határérték Függvények határértéke, folytonosság A differenciálszámítás Függvénydiszkusszió Otthoni munka Pintér Miklós miklos.pinter@uni-corvinus.hu Ősz Alapfogalmak Halmazok Definíció Legyen A egy tetszőleges halmaz, ekkor x A (x / A) jelentése: x (nem) eleme A-nak. A B (A B) jelentése: A (valódi) részhalmaza

Részletesebben

Adatok statisztikai értékelésének főbb lehetőségei

Adatok statisztikai értékelésének főbb lehetőségei Adatok statisztikai értékelésének főbb lehetőségei 1. a. Egy- vagy kétváltozós eset b. Többváltozós eset 2. a. Becslési problémák, hipotézis vizsgálat b. Mintázatelemzés 3. Szint: a. Egyedi b. Populáció

Részletesebben

Statisztika I. 4. előadás Mintavétel. Kóczy Á. László KGK-VMI. Minta Mintavétel Feladatok. http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1.

Statisztika I. 4. előadás Mintavétel. Kóczy Á. László KGK-VMI. Minta Mintavétel Feladatok. http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1. Statisztika I. 4. előadás Mintavétel http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1.htm Kóczy Á. László KGK-VMI koczy.laszlo@kgk.uni-obuda.hu Sokaság és minta Alap- és mintasokaság A mintasokaság az a részsokaság,

Részletesebben

BIOMETRIA (H 0 ) 5. Előad. zisvizsgálatok. Hipotézisvizsg. Nullhipotézis

BIOMETRIA (H 0 ) 5. Előad. zisvizsgálatok. Hipotézisvizsg. Nullhipotézis Hipotézis BIOMETRIA 5. Előad adás Hipotézisvizsg zisvizsgálatok Tudományos hipotézis Nullhipotézis feláll llítása (H ): Kétmintás s hipotézisek Munkahipotézis (H a ) Nullhipotézis (H ) > = 1 Statisztikai

Részletesebben

A valószínűségszámítás elemei

A valószínűségszámítás elemei Alapfogalmak BIOSTATISZTIKA ÉS INFORMATIKA A valószínűségszámítás elemei Jelenség: minden, ami lényegében azonos feltételek mellett megismételhető, amivel kapcsolatban megfigyeléseket lehet végezni, lehet

Részletesebben

Valószínűségelmélet. Pap Gyula. Szegedi Tudományegyetem. Szeged, 2016/2017 tanév, I. félév

Valószínűségelmélet. Pap Gyula. Szegedi Tudományegyetem. Szeged, 2016/2017 tanév, I. félév Valószínűségelmélet Pap Gyula Szegedi Tudományegyetem Szeged, 2016/2017 tanév, I. félév Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 1 / 125 Ajánlott irodalom: CSÖRGŐ SÁNDOR Fejezetek

Részletesebben

Eloszlás-független módszerek (folytatás) 14. elıadás ( lecke) 27. lecke khí-négyzet eloszlású statisztikák esetszámtáblázatok

Eloszlás-független módszerek (folytatás) 14. elıadás ( lecke) 27. lecke khí-négyzet eloszlású statisztikák esetszámtáblázatok Eloszlás-független módszerek (folytatás) 14. elıadás (7-8. lecke) Illeszkedés-vizsgálat 7. lecke khí-négyzet eloszlású statisztikák esetszámtáblázatok elemzésére Illeszkedés-vizsgálat Gyakorisági sorok

Részletesebben

Sztochasztikus folyamatok alapfogalmak

Sztochasztikus folyamatok alapfogalmak Matematikai Modellalkotás Szeminárium 2012. szeptember 4. 1 Folytonos idejű Markov láncok 2 3 4 1 Folytonos idejű Markov láncok 2 3 4 Folytonos idejű Markov láncok I Adott egy G = (V, E) gráf Folytonos

Részletesebben

Statisztika I. 4. előadás Mintavétel. Kóczy Á. László KGK-VMI. Minta Mintavétel Feladatok. http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1.

Statisztika I. 4. előadás Mintavétel. Kóczy Á. László KGK-VMI. Minta Mintavétel Feladatok. http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1. Statisztika I. 4. előadás Mintavétel http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1.htm Kóczy Á. László KGK-VMI koczy.laszlo@kgk.uni-obuda.hu Sokaság és minta Alap- és mintasokaság A mintasokaság az a részsokaság,

Részletesebben

Likelihood, deviancia, Akaike-féle információs kritérium

Likelihood, deviancia, Akaike-féle információs kritérium Többváltozós statisztika (SZIE ÁOTK, 2011. ősz) 1 Likelihood, deviancia, Akaike-féle információs kritérium Likelihood függvény Az adatokhoz paraméteres modellt illesztünk. A likelihood függvény a megfigyelt

Részletesebben

Kabos: Statisztika II. ROC elemzések 10.1. Szenzitivitás és specificitás a jelfeldolgozás. és ilyenkor riaszt. Máskor nem.

Kabos: Statisztika II. ROC elemzések 10.1. Szenzitivitás és specificitás a jelfeldolgozás. és ilyenkor riaszt. Máskor nem. Kabos: Statisztika II. ROC elemzések 10.1 ROC elemzések Szenzitivitás és specificitás a jelfeldolgozás szóhasználatával A riasztóberendezés érzékeli, ha támadás jön, és ilyenkor riaszt. Máskor nem. TruePositiveAlarm:

Részletesebben

11. Matematikai statisztika

11. Matematikai statisztika 11. Matematikai statisztika 11.1. Alapfogalmak A statisztikai minta valamely valószínűségi változóra vonatkozó véges számú független kisérlet eredménye. Ez véges sok, azonos eloszlású valószínűségi változó

Részletesebben

K oz ep ert ek es variancia azonoss ag anak pr ob ai: t-pr oba, F -pr oba m arcius 21.

K oz ep ert ek es variancia azonoss ag anak pr ob ai: t-pr oba, F -pr oba m arcius 21. Középérték és variancia azonosságának próbái: t-próba, F -próba 2012. március 21. Hipotézis álĺıtása Feltételezés: a minta egy adott szempont alapján más populációhoz tartozik, mint b minta. Nullhipotézis

Részletesebben

Kutatásmódszertan és prezentációkészítés

Kutatásmódszertan és prezentációkészítés Kutatásmódszertan és prezentációkészítés 10. rész: Az adatelemzés alapjai Szerző: Kmetty Zoltán Lektor: Fokasz Nikosz Tizedik rész Az adatelemzés alapjai Tartalomjegyzék Bevezetés Leíró statisztikák I

Részletesebben

CHT& NSZT Hoeffding NET mom. stabilis. 2011. november 9.

CHT& NSZT Hoeffding NET mom. stabilis. 2011. november 9. CHT& NSZT Hoeffding NET mom. stabilis Becslések, határeloszlás tételek Székely Balázs 2011. november 9. CHT& NSZT Hoeffding NET mom. stabilis 1 CHT és NSZT 2 Hoeffding-egyenlőtlenség Alkalmazása: Beengedés

Részletesebben

Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat, megoldással,

Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat, megoldással, Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat, megoldással, levelező képzés Definiálja az alábbi fogalmakat! 1. Kvadratikus mátrix invertálhatósága és inverze. (4 pont) Egy A kvadratikus mátrixot invertálhatónak

Részletesebben

Statisztika I. 9. előadás. Előadó: Dr. Ertsey Imre

Statisztika I. 9. előadás. Előadó: Dr. Ertsey Imre Statisztika I. 9. előadás Előadó: Dr. Ertsey Imre Statisztikai hipotézis vizsgálatok elsősorban a biometriában alkalmazzák, újabban reprezentatív jellegű ökonómiai vizsgálatoknál, üzemi szinten élelmiszeripari

Részletesebben

Biometria az orvosi gyakorlatban. Számítógépes döntéstámogatás

Biometria az orvosi gyakorlatban. Számítógépes döntéstámogatás SZDT-01 p. 1/23 Biometria az orvosi gyakorlatban Számítógépes döntéstámogatás Werner Ágnes Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék e-mail: werner.agnes@virt.uni-pannon.hu Gyakorlat SZDT-01 p.

Részletesebben

1. Oldja meg a z 3 (5 + 3j) (8 + 2j) 2. Adottak az A(1,4,3), B(3,1, 1), C( 5,2,4) pontok a térben.

1. Oldja meg a z 3 (5 + 3j) (8 + 2j) 2. Adottak az A(1,4,3), B(3,1, 1), C( 5,2,4) pontok a térben. Szak: Műszaki menedzser I. Dátum: 006. június. MEGOLDÓKULCS Tárgy: Matematika szigorlat Idő: 0 perc Neptun kód: Előadó: Berta Gábor szig 06 06 0 Pontszám: /00p. Oldja meg a z (5 + j (8 + j + = (+5j (7

Részletesebben

Matematika III. Nagy Károly 2011

Matematika III. Nagy Károly 2011 Matematika III előadások összefoglalója (Levelezős hallgatók számára) Nagy Károly 20 . Kombinatorika.. Definíció. Adott n darab egymástól különböző elem. Ezeknek egy meghatározott sorrendjét az n elem

Részletesebben

Analízis előadás és gyakorlat vázlat

Analízis előadás és gyakorlat vázlat Analízis előadás és gyakorlat vázlat Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 2010-11. I. Félév 2 1. fejezet Számhalmazok és tulajdonságaik 1.1. Nevezetes számhalmazok ➀ a) jelölése: N b)

Részletesebben

Statisztika I. 8. előadás. Előadó: Dr. Ertsey Imre

Statisztika I. 8. előadás. Előadó: Dr. Ertsey Imre Statisztika I. 8. előadás Előadó: Dr. Ertsey Imre Minták alapján történő értékelések A statisztika foglalkozik. a tömegjelenségek vizsgálatával Bizonyos esetekben lehetetlen illetve célszerűtlen a teljes

Részletesebben

VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER október 15. Irodalom. További ajánlott feladatok

VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER október 15. Irodalom. További ajánlott feladatok VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER 2004. október 15. Irodalom A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: ezek egyrészt elhangzanak az előadáson, másrészt megtalálják

Részletesebben

[Biomatematika 2] Orvosi biometria

[Biomatematika 2] Orvosi biometria [Biomatematika 2] Orvosi biometria 2016.02.22. Valószínűségi változó Véletlentől függő számértékeket (értékek sokasága) felvevő változókat valószínűségi változóknak nevezzük(jelölés: ξ, η, x). (pl. x =

Részletesebben

Backhausz Ágnes 1. Bevezetés A valószínűség elemi tulajdonságai... 5

Backhausz Ágnes 1. Bevezetés A valószínűség elemi tulajdonságai... 5 Valószínűségszámítás Földtudomány BSc szak, 2016/2017. őszi félév Backhausz Ágnes agnes@cs.elte.hu Tartalomjegyzék 1. Bevezetés 2 2. A Kolmogorov-féle valószínűségi mező 3 2.1. Klasszikus valószínűségi

Részletesebben

TARTALOMJEGYZÉK. 1. téma Átlagbecslés (Barna Katalin) téma Hipotézisvizsgálatok (Nagy Mónika Zita)... 23

TARTALOMJEGYZÉK. 1. téma Átlagbecslés (Barna Katalin) téma Hipotézisvizsgálatok (Nagy Mónika Zita)... 23 TARTALOMJEGYZÉK 1. téma Átlagbecslés (Barna Katalin).... 7 2. téma Hipotézisvizsgálatok (Nagy Mónika Zita)... 23 3. téma Összefüggések vizsgálata, korrelációanalízis (Dr. Molnár Tamás)... 73 4. téma Összefüggések

Részletesebben

Biostatisztika VIII. Mátyus László. 19 October

Biostatisztika VIII. Mátyus László. 19 October Biostatisztika VIII Mátyus László 19 October 2010 1 Ha σ nem ismert A gyakorlatban ritkán ismerjük σ-t. Ha kiszámítjuk s-t a minta alapján, akkor becsülhetjük σ-t. Ez további bizonytalanságot okoz a becslésben.

Részletesebben

biometria III. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert Hipotézisvizsgálat

biometria III. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert Hipotézisvizsgálat Kísérlettervezés - biometria III. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert u-próba Feltétel: egy ormális eloszlású sokaság σ variaciájáak számszerű értéke ismert. Hipotézis: a sokaság µ várható értéke

Részletesebben

Sorozatok. 5. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Sorozatok p. 1/2

Sorozatok. 5. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Sorozatok p. 1/2 Sorozatok 5. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Sorozatok p. 1/2 A sorozat definíciója Definíció. A természetes számok halmazán értelmezett valós értékű a: N R függvényt

Részletesebben

Megoldások MATEMATIKA II. VIZSGA (VK) NBT. NG. NMH. SZAKOS HALLGATÓK RÉSZÉRE (Kérjük, hogy a megfelelő szakot jelölje be!

Megoldások MATEMATIKA II. VIZSGA (VK) NBT. NG. NMH. SZAKOS HALLGATÓK RÉSZÉRE (Kérjük, hogy a megfelelő szakot jelölje be! MATEMATIKA II. VIZSGA (VK) NBT. NG. NMH. SZAKOS HALLGATÓK RÉSZÉRE (Kérjük, hogy a megfelelő szakot jelölje be!) 2016. JANUÁR 21. Elérhető pontszám: 50 pont Megoldások 1. 6. 2. 7. 3. 8. 4. 9. 5. Össz.:

Részletesebben

A bergengóc lakosság szemszín szerinti megoszlása a négy tartományban azonos:

A bergengóc lakosság szemszín szerinti megoszlása a négy tartományban azonos: A. Matematikai Statisztika 2.MINTA ZH. 2003 december Név (olvasható) :... A feladatmegoldásnak az alkalmazott matematikai modell valószínűségszámítási ill. statisztikai szóhasználat szerinti megfogalmazását,

Részletesebben

Mérési hibák 2006.10.04. 1

Mérési hibák 2006.10.04. 1 Mérési hibák 2006.10.04. 1 Mérés jel- és rendszerelméleti modellje Mérési hibák_labor/2 Mérési hibák mérési hiba: a meghatározandó értékre a mérés során kapott eredmény és ideális értéke közötti különbség

Részletesebben

Bevezetés a biometriába Dr. Dinya Elek egyetemi tanár. PhD kurzus. KOKI,

Bevezetés a biometriába Dr. Dinya Elek egyetemi tanár. PhD kurzus. KOKI, Bevezetés a biometriába Dr. Dinya Elek egyetemi tanár PhD kurzus. KOKI, 2015.09.17. Mi a statisztika? A sokaság (a sok valami) feletti áttekintés megszerzése, a sokaságról való információszerzés eszköze.

Részletesebben

Biometria gyakorló feladatok BsC hallgatók számára

Biometria gyakorló feladatok BsC hallgatók számára Biometria gyakorló feladatok BsC hallgatók számára 1. Egy üzem alkalmazottainak megoszlása az elért teljesítmény %-a szerint a következı: Norma teljesítmény % Dolgozók száma 60-80 30 81-90 70 91-100 90

Részletesebben

Korreláció és lineáris regresszió

Korreláció és lineáris regresszió Korreláció és lineáris regresszió Két folytonos változó közötti összefüggés vizsgálata Szűcs Mónika SZTE ÁOK-TTIK Orvosi Fizikai és Orvosi Informatikai Intézet Orvosi Fizika és Statisztika I. előadás 2016.11.02.

Részletesebben

Matematikai statisztikai elemzések 6.

Matematikai statisztikai elemzések 6. Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara Prof. Dr. Závoti József Matematikai statisztikai elemzések 6. MSTE6 modul Regressziószámítás: kétváltozós lineáris és nemlineáris regresszió, többváltozós

Részletesebben

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok aximómarendszere Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 1.Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve, az

Részletesebben

Matematikai geodéziai számítások 6.

Matematikai geodéziai számítások 6. Matematikai geodéziai számítások 6. Lineáris regresszió számítás elektronikus távmérőkre Dr. Bácsatyai, László Matematikai geodéziai számítások 6.: Lineáris regresszió számítás elektronikus távmérőkre

Részletesebben

Véletlenszám generátorok és tesztelésük HORVÁTH BÁLINT

Véletlenszám generátorok és tesztelésük HORVÁTH BÁLINT Véletlenszám generátorok és tesztelésük HORVÁTH BÁLINT Mi a véletlen? Determinisztikus vs. Véletlen esemény? Véletlenszám: számok sorozata, ahol véletlenszerűen követik egymást az elemek Pszeudo-véletlenszám

Részletesebben

Segítség az outputok értelmezéséhez

Segítség az outputok értelmezéséhez Tanulni: 10.1-10.3, 10.5, 11.10. Hf: A honlapra feltett falco_exp.zip-ben lévő exploratív elemzések áttanulmányozása, érdekességek, észrevételek kigyűjtése. Segítség az outputok értelmezéséhez Leiro: Leíró

Részletesebben

Matematika III. harmadik előadás

Matematika III. harmadik előadás Matematika III. harmadik előadás Kézi Csaba Debreceni Egyetem, Műszaki Kar Debrecen, 2013/14 tanév, I. félév Kézi Csaba (DE) Matematika III. harmadik előadás 2013/14 tanév, I. félév 1 / 13 tétel Az y (x)

Részletesebben

Biomatematika 13. Varianciaanaĺızis (ANOVA)

Biomatematika 13. Varianciaanaĺızis (ANOVA) Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar Biomatematikai és Számítástechnikai Tanszék Biomatematika 13. Varianciaanaĺızis (ANOVA) Fodor János Copyright c Fodor.Janos@aotk.szie.hu Last Revision Date:

Részletesebben

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) Halmazok 1

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) Halmazok 1 Halmazok 1 Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) Halmazok 2 A fejezet legfontosabb elemei Halmaz megadási módjai Halmazok közti műveletek (metszet,

Részletesebben

4. A méréses ellenırzı kártyák szerkesztése

4. A méréses ellenırzı kártyák szerkesztése 4. A méréses ellenırzı kártyák szerkesztése A kártyákat háromféle módon alkalmazhatjuk. Az elızetes adatfelvétel során a fı feladat az eloszlás paramétereinek (µ és σ ) becslése a további ellenırzésekhez.

Részletesebben

A pont példájának adatai C1 C2 C3 C

A pont példájának adatai C1 C2 C3 C A 3..5 pont példájának adatai C C C3 C4 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.96 0.003 0.437 0.458 0.7336 0.00785 0.34957 0.565 0.3308 0.0096 0.43840 0.979 0.343 0.0440 0.44699 0.3008 0.370 0.083 0.44986

Részletesebben

6. Előadás. Vereb György, DE OEC BSI, október 12.

6. Előadás. Vereb György, DE OEC BSI, október 12. 6. Előadás Visszatekintés: a normális eloszlás Becslés, mintavételezés Reprezentatív minta A statisztika, mint változó Paraméter és Statisztika Torzítatlan becslés A mintaközép eloszlása - centrális határeloszlás

Részletesebben

STATISZTIKA ELŐADÁS ÁTTEKINTÉSE. Mi a modell? Matematikai statisztika. 300 dobás. sűrűségfüggvénye. Egyenletes eloszlás

STATISZTIKA ELŐADÁS ÁTTEKINTÉSE. Mi a modell? Matematikai statisztika. 300 dobás. sűrűségfüggvénye. Egyenletes eloszlás ELŐADÁS ÁTTEKINTÉSE STATISZTIKA 7. Előadás Egyenletes eloszlás Binomiális eloszlás Normális eloszlás Standard normális eloszlás Normális eloszlás mint modell /56 Matematikai statisztika Reprezentatív mintavétel

Részletesebben

Metrikus terek, többváltozós függvények

Metrikus terek, többváltozós függvények Metrikus terek, többváltozós függvények 2003.10.15 Készítette: Dr. Toledo Rodolfo és Dr. Blahota István 1. Metrikus terek, metrika tulajdonságai 1.1. A valós, komplex, racionális, természetes és egész

Részletesebben

Matematika. 4. konzultáció: Kétváltozós függvények szélsőértéke. Parciális függvény, parciális derivált

Matematika. 4. konzultáció: Kétváltozós függvények szélsőértéke. Parciális függvény, parciális derivált Matematika 1 NYME KTK, Egyetemi kiegészítő alapképzés 2004/2005. tanév, I. évf. I.félév Budapest Előadó: Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet 9400 Sopron, Bajcsy Zs. u. 9. GT fszt. 3. (99) 518

Részletesebben

Kutatásmódszertan és prezentációkészítés

Kutatásmódszertan és prezentációkészítés Kutatásmódszertan és prezentációkészítés 8. rész: Statisztikai eszköztár: Alapfokú statisztikai ismeretek Szerző: Kmetty Zoltán Lektor: Fokasz Nikosz Nyolcadik rész Statisztikai eszköztár: Alapfokú statisztikai

Részletesebben

Hódmezővásárhelyi Városi Matematikaverseny április 14. A osztályosok feladatainak javítókulcsa

Hódmezővásárhelyi Városi Matematikaverseny április 14. A osztályosok feladatainak javítókulcsa Hódmezővásárhelyi Városi Matematikaverseny 2003. április 14. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa 1. feladat Egy számtani sorozatot az első eleme és különbsége egyértelműen meghatározza, azt

Részletesebben

2. Alapfogalmak, műveletek

2. Alapfogalmak, műveletek 2. Alapfogalmak, műveletek Gépi intelligencia I. Fodor János BMF NIK IMRI NIMGIMIEM Tartalomjegyzék I Mit tudunk eddig? 2 Fuzzy halmazokkal kapcsolatos alapvető fogalmak Fuzzy halmaz tartója Fuzzy halmaz

Részletesebben

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé.

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. HA 1 Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) HA 2 Halmazok HA 3 Megjegyzések A halmaz, az elem és az eleme fogalmakat nem definiáljuk, hanem alapfogalmaknak

Részletesebben

Két diszkrét változó függetlenségének vizsgálata, illeszkedésvizsgálat

Két diszkrét változó függetlenségének vizsgálata, illeszkedésvizsgálat Két diszkrét változó függetlenségének vizsgálata, illeszkedésvizsgálat Szűcs Mónika SZTE ÁOK-TTIK Orvosi Fizikai és Orvosi Informatikai Intézet Orvosi fizika és statisztika I. előadás 2016.11.09 Orvosi

Részletesebben

előadás Diszkrét idejű tömegkiszolgálási modellek Poisson-folyamat Folytonos idejű Markov-láncok Folytonos idejű sorbanállás

előadás Diszkrét idejű tömegkiszolgálási modellek Poisson-folyamat Folytonos idejű Markov-láncok Folytonos idejű sorbanállás 13-14. előadás Diszkrét idejű tömegkiszolgálási modellek Poisson-folyamat Folytonos idejű Markov-láncok Folytonos idejű sorbanállás 2016. november 28. és december 5. 13-14. előadás 1 / 35 Bevezetés A diszkrét

Részletesebben

Populációbecslés és monitoring. Eloszlások és alapstatisztikák

Populációbecslés és monitoring. Eloszlások és alapstatisztikák Populációbecslés és monitoring Eloszlások és alapstatisztikák Eloszlások Az eloszlás megadja, hogy milyen valószínűséggel kapunk egy adott intervallumba tartozó értéket, ha egy olyan populációból veszünk

Részletesebben