Matematikai statisztika feladatsor

Átírás

1 Matematikai statisztika feladatsor Nagy-György Judit A feladatsor Bolla Marianna és Krámli András Statisztikai következtetések elmélete cím könyvének [1] elméletére épül, a fejezetek számozása és a jelölések is ennek megfelel ek. Tartalomjegyzék 1. El ismeretek 2 2. Statisztikai alapfogalmak 7 3. Becsléselmélet Hipotézisvizsgálat Többváltozós módszerek Lineáris módszerek 33 1

2 1. El ismeretek 1. Tekintsük A 1,..., A n mátrixokat, ahol A i m i m i+1 -es i = 1,..., n 1 esetén és A n m n m 1 -es mátrix. Igazoljuk, hogy tr(a 1... A n ) = tr(a n A 1... A n 1 )! 2. Legyen A egy n n-es szimmetrikus mátrix λ 1,..., λ n sajátértékekkel. Mutassuk meg, hogy tr(a) = λ λ n. 3. Legyen R egy d d-s mátrix, amely f diagonálisának minden eleme 1, minden más eleme r. (a) Adjuk meg R spektrálfelbontását! (b) Adjunk szükséges és elégséges feltételt r-re, hogy R pozitív denit legyen! 4. Igazoljuk, hogy ha A egy pozitív denit mátrix, akkor egyértelm en létezik egy V alsó trianguláris mátrix, amelyre A = VV (Cholesky felbontás). 5. Bizonyítsuk be, hogy az unitér mátrixok sajátértékei a komplex egységkörön helyezkednek el! 6. Mutassuk meg, hogy ha egy mátrix sajátértékei különböz ek, akkor sajátvektorai lineárisan függetlenek! 7. Két személy megbeszéli, hogy 3 óra után találkoznak. Érkezésük független, (a) 3 és 4 óra között egyenletes eloszlást követ. (b) 4 paraméter exponenciális eloszlást követ (órában mérve). Adjuk meg a korábban érkez érkezési idejének s r ségfüggvényét! Adjuk meg a korábban érkez várakozási idejének s r ségfüggvényét is! Adjuk meg a kés bb érkez Y várakozási idejének "abszolút", és a korábban érkez érkezési idejere vett feltételes s r ségfüggvényét is! 8. Számítsuk ki a λ paraméter Poisson eloszlás els négy momentumát! 9. Legyen X egy (n, p) paraméter negatív binomiális eloszlású valószín ségi változó. Számítsuk ki E( 1 ) várható értéket! X 1

3 1. ELŽISMERETEK Számoljuk ki az n-edrend λ paraméter Gamma eloszlás k-adik momentumát, ahol k < n. 11. Igazoljuk, hogy (a) a Poisson eloszlás (b) a Gamma eloszlás korlátlanul osztható! 12. Legyenek X, Y független, azonos eloszlású, véges várható érték valószín ségi változók. Határozzuk meg E(X + Y X) és E(X X + Y ) feltételes várható értékeket! 13. Legyen X és Y két független, 1/2 paraméter Bernoulli-eloszlású valószín ségi változó. Adjuk meg E(X X +Y ) által generált σ-algebrát és E(X X + Y ) eloszlását! 14. Legyen X nemnegatív valószín ségi változó. (a) Határozzuk meg E(X 2 X)-et! (b) Határozzuk meg E( 1 X X)-et! 15. Legyen X a [ 1, 1] intervallumon egyenletes eloszlású valószín ségi változó. Határozzuk meg E(X X 2 )-t! 16. Legyenek X 1, X 2 a [0, 1] intervallumon egyenletes eloszlású független valószín ségi változók, továbbá Y := min{x 1, X 2 }, valamint Z := max{x 1, X 2 }. Határozzuk meg (a) E(Y Z), (b) E(Z Y ), (c) E(X 1 Z) feltételes várható értékeket! 17. Legyenek X, Y N (0, 1) független valószín ségi változók, továbbá a, b, c R. (a) Milyen eloszlású ax + by + c? (b) Adjuk meg X s r ségfüggvényét! (c) Határozzuk meg X 2 s r ségfüggvényét! Milyen eloszlást követ X 2? (d) Milyen eloszlású X 2 + Y 2? 18. Legyenek X, Y exp(λ) független valószín ségi változók. (a) Milyen eloszlású X + Y? (b) Adjuk meg X Y s r ségfüggvényét!

4 1. ELŽISMERETEK * Legyenek N, X 1, X 2... független valószín ségi változók, ahol N egy p paraméter geometriai eloszlású, X 1, X 2,... pedig λ paraméter exponenciális eloszlásúak. Bizonyítsuk be, hogy N i=1 X i is exponenciális eloszlású! 20. Mi a kapcsolat az alábbi eloszláscsaládok között? (a) Bernoulli, binomiális és Poisson; (b) geometriai és negatív binomiális; (c) exponenciális, χ 2 és Gamma; (d) Student és Cauchy. 21. Legyen X egy (α, λ), Y pedig (β, λ) paraméter Gamma eloszlású, egymástól független valószín ségi változó. Igazoljuk, hogy X/Y egy (α, β) paraméter másodfajú Béta eloszlású valószín ségi változó, amely s r ségfüggvénye f(x) = Γ(α + β) Γ(α)Γ(β) x α 1 (x + 1). α+β 22. Legyen X egy (α, β) paraméter másodfajú Béta eloszlású valószín ségi változó. Igazoljuk, hogy (a) 1 valószín ségi változó (β, α) paraméter másodfajú Béta eloszlású! X (b) X 1+X (c) 1 1+X valószín ségi változó (α, β) paraméter Béta eloszlású! valószín ségi változó (β, α) paraméter Béta eloszlású! 23. Legyen X 1,..., X n, X n+1,..., X n+m exp(λ) fae valószín ségi változók. (a) Milyen eloszlású n i=1 X i? (b) Igazoljuk, hogy Z = n i=1 X i n+m i=n+1 X i statisztika (n, m) paraméter másodfajú Béta eloszlású!

5 1. ELŽISMERETEK 5 (c) Igazoljuk, hogy n i=1 X i n+m i=1 X = i /Z Beta(n, m). 24. Mi a kapcsolat a Student, F és Béta eloszláscsaládok között? 25. Legyenek X 1,..., X n N (0, 1) és Y 1,..., Y m N (0, 1) független változók, továbbá T 2 n := X X 2 n és T 2 m := Y Y 2 m. (a) Határozzuk meg X 2 1 s r ségfüggvényét! (b) Mutassuk meg, hogy T 2 n statisztika egy n szabadságfokú χ 2 (n) = Gamma(n/2, 1/2) eloszlású valószín ségi változó. (c) Bizonyítsuk be, hogy statisztika Student eloszlású! (d) Bizonyítsuk be, hogy Z n := Y 1 T 2 n /n Z n,m := mt n 2 ntm 2 statisztika (n, m) szabadságfokú F eloszlású! Az (n, m) szabadságfokú F eloszlás s r ségfüggvénye: f n,m (z) = nγ ( ) n+m 2 mγ ( ) ( n 2 Γ m ) 2 ( n z) n 2 1 m ( n+m. 1 + n 2 z) m 26. Legyen X 1,..., X n+m független standard normális eloszlású változók. Bizonyítsuk be, hogy n i=1 Z n,m := X2 i n+m i=1 X2 i statisztika (n/2, m/2) paraméter béta eloszlású! 27. (a) Adjuk meg X n határeloszlását (n ), ha X n egy n szabadságfokú Stundent eloszlású valószín ségi változó, amely s r ségfüggvénye g n (x) = Γ ( ) n+1 ) n+1 2 ( πn Γ n ) (1 + x2 2, (x > 0). n 2

6 1. ELŽISMERETEK 6 (b) Adjuk meg Xn n n határeloszlását (n ), ha X n egy n szabadságfokú χ 2 eloszlású valószín ségi változó, amely s r ségfüggvénye f n (x) = x n 2 1 e x 2, (x > 0). 2 n 2 Γ( n ) * Legyen X 1,..., X n N (0, 1) fae változók, továbbá T := X X 2 n. (a) Legyen Z 1 := X 1 /T. Bizonyítsuk be, hogy Z 2 1 és T 2 is függetlenek! (b) Legyen Z := X/T. Bizonyítsuk be, hogy Z és T 2 is függetlenek! 29. Legyenek X 1,..., X n χ 2 (m) fae változók. Milyen eloszlású X X n?

7 2. Statisztikai alapfogalmak 1. Az 1. táblázat néhány diák testsúlyát és magasságát tartalmazza testsúly (kg) magasság (cm) táblázat. (a) Adjuk meg a testsúly empirikus eloszlásfüggvényét! (b) Adjuk meg a testsúly tapasztalati mediáját! (c) Határozzuk meg a testsúly empirikus várható értékét, empirikus szórását és korrigált empirikus szórását! (d) Határozzuk meg a testsúly és testmagasság empirikus kovarianciáját! (e) Adjuk meg az empirikus korrelációt! Jellemezzük a kapcsolat szorosságát! 2. Igazoljuk, hogy a tapasztalati korreláció 1 és 1 közé esik. Mikor teljesül valamelyik egyenl ség? 3. Legyen X 1,..., X n független, p paraméter Bernoulli eloszlásból vett statisztikai minta. (a) Milyen eloszlású n i=1 X i? (b) Adjuk meg a k-adik empirikus (tapasztalati) momentum eloszlását! (c) Adjuk meg a második empirikus (tapasztalati) centrális momentum eloszlását! 4. Legyen X 1,..., X n független, λ 1,..., λ n paraméter Poisson eloszlásból vett minta. (a) Milyen eloszlású n i=1 X i? (b) Adjuk meg X eloszlását!

8 2. STATISZTIKAI ALAPFOGALMAK 8 5. Legyen X 1,..., X n N (µ, σ 2 ) független minta. Milyen eloszlású X? (Adjuk meg a várható értéket és a szórásnégyzetet is!) 6. Legyen X 1,..., X n U( 1, 1) független minta. Aszimptotikusan milyen eloszlású n X? 7. Legyen X 1,..., X n független minta f(x) = 1 2 e 2 x s r ségfüggvénnyel. Aszimptotikusan milyen eloszlású n X? 8. Legyen X 1,..., X n független, λ paraméter exponenciális eloszlásból vett minta. Milyen eloszlású X? 9. Legyen X 1,..., X n+1 független, λ paraméter exponenciális eloszlásból vett minta, továbbá Y k := X X k, ahol k = 1,..., n + 1. (a) Bizonyítsuk be, hogy az Y 1,..., Y n valószín ségi változók együttes eloszlása amellett a feltétel mellett, hogy Y n+1 = θ, éppen a [0, θ] intervallumon egyenletes eloszlás rendezett mintájának az eloszlása. (b) Bizonyítsuk be, hogy az Y k /Y n+1 eloszlása éppen a [0, 1] intervallumon egyenletes eloszlás k-adik rendezett mintaelemének az eloszlása. (c) Bizonyítsuk be, hogy az Y 1 /Y n+1,..., Y n /Y n+1 valószín ségi változók együttes eloszlása éppen a [0, 1] intervallumon egyenletes eloszlás rendezett mintájának az együttes eloszlása. 10. Legyen X 1 <... < X n a [0, 1] intervallumon egyenletes eloszlásból vett rendezett minta. (a) Igazoljuk, hogy X 1,..., X n nem függetlenek! (b) Igazoljuk, hogy 1 X n,..., 1 X 1 szintén a [0, 1] intervallumon egyenletes eloszlásból vett rendezett minta! (c) Milyen eloszlású Xk+1 X k, ahol 1 k < n? 11. Legyen X 1,..., X n független, az [a, b] intervallumon egyenletes eloszlásból vett minta, X 1 <... < X n pedig a bel le gyártott rendezett minta. Adjuk meg X k eloszlás- és s r ségfüggvényét, valamint várható értékét! 12. Legyen X 1,..., X n független minta az F (x) = x (0 < x < 1) eloszlásfüggvénnyel. Adjuk meg X k s r ségfüggvényét!

9 2. STATISZTIKAI ALAPFOGALMAK Legyen X1 <... < Xn a [0, 1] intervallumon egyenletes eloszlásból vett rendezett minta, és Y1 <... < Yn az el z t l független, szintén a [0, 1] intervallumon egyenletes eloszlásból vett rendezett minta. Adjuk meg Xk Y k s r ségfüggvényét (1 k n)! 14. Legyen X 1,..., X n a λ paraméter exponenciális eloszlásból vett rendezett minta. (a) Adjuk meg a k-adik (1 k n) mintaelem eloszlás- és s r ségfüggvényét! (b) Milyen eloszlású Xk+1 X k, ahol 1 k < n? 15. Legyen X 1,..., X n független, a (θ 1, θ + 1 ) intervallumon egyenletes 2 2 eloszlású minta. Legyen T (X) = X 1 + Xn. 2 Határozzuk meg T (X) eloszlásfüggvényét! 16. Igazoljuk, hogy ha n > 1, akkor T (X) = X 1 semmilyen paraméterre sem elégséges! 17. Igazoljuk, hogy a rendezett minta minden paraméterre elégséges statisztika! 18. Elégséges statisztika-e θ paraméterre L θ (X) (ahol L θ a likelihood-függvény)? 19. Legyenek X 1,..., X n független, λ paraméter Poisson eloszlású valószín ségi változók. (a) Igazoljuk, hogy X elégséges statisztika a λ paraméterre! (b) Adjunk a λ paraméterre a fentit l különböz elégséges statisztikát! 20. Legyen X 1,..., X n független, λ paraméter exponenciális eloszlásból vett statisztikai minta. (a) Igazoljuk, hogy n i=1 X i elégséges statisztika a λ paraméterre! (b) Adjunk a λ paraméterre a fentit l különböz elégséges statisztikát! 21. Legyen X 1,..., X n független, p paraméter geometriai eloszlásból vett minta. Adjunk p paraméterre elégséges statisztikát!

10 2. STATISZTIKAI ALAPFOGALMAK Legyen X 1,..., X n független, (5, p) paraméter binomiális eloszlásból vett minta. Adjunk p paraméterre elégséges statisztikát! 23. X 1,..., X n független, (3, p) paraméter negatív binomiális eloszlásból vett minta. Adjunk az p paraméterre elégséges statisztikát! 24. X 1,..., X n független, θ = (r, p) paraméter negatív binomiális eloszlásból vett minta. A θ paraméterre elégséges statisztika-e a mintaátlag? 25. Legyen X 1,..., X n független, (2, λ) paraméter Gamma eloszlásból vett statisztikai minta. Adjunk λ paraméterre elégséges statisztikát! 26. Legyen X 1,..., X n független, (α, 2) paraméter Gamma eloszlásból vett statisztikai minta. Adjunk α paraméterre elégséges statisztikát! 27. Legyen X 1,..., X n független, θ = (α, λ) paraméter Gamma eloszlásból vett statisztikai minta. Adjunk θ paraméterre elégséges statisztikát! 28. Legyen X 1,..., X n független N (µ, 1) eloszlásból vett minta. Adjunk µ-re elégséges statisztikát! 29. Legyen X 1,..., X n független, m szabadságfokú χ 2 eloszlásból vett statisztikai minta. Adjunk m-re elégséges statisztikát! 30. Legyen X 1,..., X n független, θ = (a, b) paraméter Béta eloszlásból vett statisztikai minta. Adjunk θ paraméterre elégséges statisztikát! 31. Legyen X 1,..., X n független N (0, σ 2 ) eloszlásból vett minta. Adjunk σ 2 -re elégséges statisztikát! 32. Legyen X 1,..., X n független N (µ, σ 2 ) eloszlásból vett minta. Adjunk (µ, σ 2 ) paraméterre elégséges statisztikát! 33. Legyen X 1,..., X n független, azonos eloszlásból vett minta az f θ (x) = θx θ 1 (0 < x < 1) s r ségfüggvénnyel. Adjunk a θ-ra elégséges statisztikát! 34. Legyen X 1,..., X n független, azonos eloszlású minta az f α (x) = 2αx(1 x 2 ) α 1 (0 < x < 1) s r ségfüggvénnyel. Adjunk a α-ra elégséges statisztikát! 35. Legyenek X 1,..., X n független, a [0, θ] intervallumon egyenletes eloszlásból vett minta! Igazoljuk, hogy X n a θ paraméterre elégséges statisztika!

11 2. STATISZTIKAI ALAPFOGALMAK Legyenek X 1,..., X n független, a [ α, α] intervallumon egyenletes eloszlásból vett minta! Adjunk a α-ra elégséges statisztikát!

12 3. Becsléselmélet 1. Tekintsünk egy 0 várható érték 1 szórásnégyzet eloszlást. Hány mintaelem kell a várható érték becsléséhez, hogy P( X > 0,1) < 0,1 legyen, ha (a) a Csebisev egyenl tlenséget alkalmazzuk? (b) a centrális határeloszlástételt alkalmazzuk? 2. Tegyük fel, hogy T statisztika torzítatlan becslése θ paraméternek. Tekintsünk egy tetsz leges S statisztikát. Igaz-e, hogy E(T S) is torzítatlan becslése θ-nak? 3. Legyen X valószín ségi változó, amelynek létezik a szórása. (a) Tegyük fel, hogy ismert az E(X) = θ várható érték. Igazoljuk, hogy S 2 1 = 1 n n i=1 (X i θ) torzítatlan becslése a szórásnégyzetnek! Mit mondhatunk a konzisztenciáról? (b) Az (a) pont segítségével igazoljuk, hogy S 2 n = 1 n n i=1 (X i X) empirikus szórásnégyzet nem torzítatlan becslése a szórásnégyzetnek! Készítsünk segítségével torzítatlan becslést! 4. Legyen X 1,..., X n független, p paraméter geometriai eloszlású minta, továbbá legyen Y = X X n. Torzítatlan becslése-e p-nek n 1 Y 1? 5. Legyen X 1,..., X n független, a [θ + 1, θ 1 ] intervallumon egyenletes 2 2 eloszlású minta. (a) X torzítatlan becslése-e θ-nak? Ha nem, készítsünk segítségével torzítatlan becslést! (b) Xn 1 torzítatlan becslése-e θ-nak? Ha nem, készítsünk segítségével torzítatlan 2 becslést! (c) Igazoljuk, hogy X és Xn 1 is (gyengén illetve er sen is) konzisztens 2 becslései θ-nak! 6. Legyen X 1,..., X n független, a [0, θ] intervallumon egyenletes eloszlású minta. (a) Igazoljuk, hogy 2X torzítatlan becslés θ-ra!

13 3. BECSLÉSELMÉLET 13 (b) Mivel a θ/2-re szimmetrikus az eloszlásunk, a medián egybeesik a várható értékkel. Tegyük fel, hogy n páratlan, és készítsünk a tapasztalati medián segítségébel torzítatlan becslést θ-ra! (c) X 1 torzítatlan becslése-e θ-nak? Ha nem, készítsünk segítségével torzítatlan becslést! (d) X 1 torzítatlan becslése-e θ-nak? Ha nem, készítsünk segítségével torzítatlan becslést! (e) X n torzítatlan becslése-e θ-nak? Ha nem, készítsünk segítségével torzítatlan becslést! (f) A fenti becslések közül melyik konzisztens? (g) Számítsuk ki és hasonlítsuk össze a fenti torzítatlan becslések szórásnégyzetét! Melyik a leghatásosabb? (h) Teljesül-e az I n (θ) = ni 1 (θ) összefüggés? Teljesül-e minden esetben a Cramér-Rao egyenl tlenség? (i) Igazoljuk, hogy X n elégséges statisztika θ-ra. Segítségével blackwellizáljuk a fenti torzítatlan becsléseket! 7. Legyen X 1,..., X n független, a [ θ, θ] intervallumon egyenletes eloszlású minta. (a) Adjunk θ-ra torzítatlan becslést a rendezett minta segítségével! (b) Adjunk θ-ra torzítatlan becslést X segítségével! (c) Konzisztensek-e a fenti becslések? 8. Legyenek X 1, X 2, X 3 rendre N (µ, 1), N (µ, 4), N (µ, 1/4) eloszlású független mintaelemek. (a) Milyen a, b, c értékekre lesz ax 1 + bx 2 + cx 3 torzítatlan becslése µ-nek? (b) Milyen a, b, c választással kapjuk meg a leghatásosabb becslést a torzítatlanok közül? 9. Tekintsük az X 1,..., X n független, p paraméter Bernoulli eloszlású mintát és számítsuk ki a Fisher-információját! Tekintsük az Y 1,..., Y n független mintát is, amely háttérváltozója p valószín séggel 1, 1 p valószín séggel 1 értéket vesz fel. Számítsuk ki ennek is a Fisherinformációját és vessük össze az el bb meghatározott információval!

14 3. BECSLÉSELMÉLET Legyen X 1,..., X n független, p paraméter Bernoulli eloszlású minta. (a) Számítsuk ki D 2 p(x)-ot is! Mit mondhatunk a CramérRao-egyenl tlenség alapján? (b) Szeretnénk p-re torzítatlan becslést adni. Mekkora legyen n, ha azt szeretnénk, hogy becslésünk szórása ne haladja meg 0,03-at p bármely értéke esetén sem? (c) Adjunk p-re er sen konzisztens becslést! (d) Adjunk X 1 és X 2 függvényeként T torzítatlan becslést p(1 p)-re! Adjunk elégséges statisztikát p-re, majd adjunk a Rao-Balckwell- Kolmogorov tétel segítségével legalább olyan hatásos becslést p(1 p)-re, mint T! 11. Legyen X 1,..., X n egy λ, Y 1,..., Y n pedig 4λ paraméter Poisson eloszlásból vett független minta. Milyen a és b értékekre lesz ax +by torzítatlan becslése λ-nak? Melyik a és b választással kapjuk ezek közül a leghatásosabb becslést? 12. Legyen X 1,..., X n független, λ paraméter exponenciális eloszlású minta. (a) Számoljuk ki a minta Fisher-információját! (b) 1/X nem torzítatlan becslése a λ paraméternek. Készítsünk segítségével ˆη torzítatlan becslést és számoljuk ki ˆη szórásnégyzetét! (c) Az X elégséges statisztika segítségével blackwellizáljuk a fenti torzítatlan becslést! (Ismert, hogy az így kapott becslés hatásos becslése λ-nak. Ellentmond-e ez a CramérRao egyenl tlenségnek?) (d) 1/X konzisztens becslése-e λ paraméternek? (e) Mutassuk meg, hogy 1 n n i=1 I(X i 1) torzítatlan és konzisztens becslése e λ -nak, de nem éri el az e λ -ra vonatkozó információs határt! 13. Legyen X 1,..., X n független, (2, λ) paraméter Gamma eloszlású minta. (a) Torzítatlan becslése-e X 1 statisztika a 1/λ-nak? Ha nem, készítsünk segítségével torzítatlan becslést! (b) Torzítatlan becslése-e 1/X 1 statisztika a λ paraméternek? Ha nem, készítsünk segítségével torzítatlan becslést!

15 3. BECSLÉSELMÉLET 15 (c) Torzítatlan becslése-e 1/X statisztika a λ paraméternek? Ha nem, készítsünk segítségével torzítatlan becslést! (d) Igazoljuk, hogy n i=1 X i elégséges statisztika a λ paraméterre! Segítségével blackwellizáljuk a fenti torzítatlan becsléseket! 14. Legyen X 1,..., X n N (µ, 1) független minta. (a) Igazoljuk, hogy X 1 torzítatlan, de nem konzisztens becslése µ-nek! Mit mondhatunk a CramérRao-egyenl tlenség alapján? (b) Számítsuk ki a minta Fisher-információját! Számítsuk ki D 2 µ(x)- ot is! Igazoljuk, hogy X hatásos becslése µ-nek! (c) Torzítatlan becslése-e µ 2 -nek X 1 X 2? Mennyi a szórásnégyzete? Mondhatunk-e valamit a CramérRao-egyenl tlenség alapján? (d) Torzítatlan becslése-e µ 2 -nek X 2? Ha nem, tegyük azzá, és számítsuk ki a szórásnégyzetét! 15. Legyen X 1,..., X n N (0, σ 2 ) független minta. (a) Igazoljuk, hogy S 2 1 = 1 n n i=1 X2 i hatásos becslése σ 2 -nek! (b) Igazoljuk, hogy a korrigált empirikus szórásnégyzet nem hatásos becslése a σ 2 paraméternek! 16. Válasszunk a {1, 2,..., θ} halmazból egymástól függetlenül találomra n darab számot. Vegyük θ maximum likelihood becslését! Torzítatlan-e? Konzisztens-e? Adjunk becslést a momentumok módszerével is! 17. Legyen X 1,..., X n független, λ paraméter Poisson eloszlású minta. (a) Vegyük λ maximum likelihood becslését! Minden realizáció mellett létezik-e ML becslés? (b) Igazoljuk, hogy a maximum likelihood módszerrel kapott becslés torzítatlan és számítsuk ki a szórásnégyzetét! Mit mondhatunk a CramérRao-egyenl tlenség alapján? (c) Igazoljuk, hogy X 1 is torzítatlan becslése λ-nak! Az X elégséges statisztika (ld. 2. feladatsor 19.(a) feladat) segítségével blackwellizáljuk az X 1 becslést! (d) Torzítatlan becslése-e λ-nak az empirikus szórásnégyzet? Ha nem, tegyük azzá! Hatásos becslést kapunk-e így?

16 3. BECSLÉSELMÉLET 16 (e) A fenti becslések közül melyik konzisztens? 18. Legyen X 1,..., X n Bin(5, p). (a) Vizsgáljuk meg a maximum likelihood és a momentumok módszerével kapott becslések torzítatlanságát és hatásosságát! (b) Számítsuk ki a minta Fisher-információját! 19. A kékbálnaállomány becslésére a következ módszert alkalmazták: néhány napon át kb. 30 cm hosszú fémhengereket l ttek be a bálnák zsírpárnájába, közvetlenül a b r alá. Feljegyezték, hogy hány bálnát jelöltek meg (M). Ezután felszólították a bálnahalászhajókat, hogy adják meg, hány bálnát fogtak (n), s azok közt hány volt megjelölve (k). Adjunk maximum likelihood becslést a bálnák N számára! 20. Egy céllöv p valószín séggel talál el egy célpontot egy lövésb l. Adjunk maximum-likelihood becslést p-re, ha (a) a céllöv n kísérletb l k találatot ért el! (b) az els találat k-adikra következett be! 21. Adjunk becslést a negatív binomiális eloszlás paramétereire momentumok módszerével! 22. Tekintsünk az [1, Θ] intervallumon egyenletes eloszlásból származó mintát! Adjunk maximum likelihood becslést Θ-ra az x 1,..., x n realizáció segítségével! 23. Legyen X 1,..., X n független, a [0, θ] intervallumon egyenletes eloszlású minta. Adjunk maximum likelihood becslést θ-ra, majd a kapott becslést tegyük torzítatlanná! 24. Tekintsünk az [ Θ, Θ] intervallumon egyenletes eloszlásból származó n elem mintát! Adjunk becslést Θ-ra maximum likelihood elv és momentumok módszere segítségével is! 25. Határozzuk meg egy ismeretlen helyzet 1 hosszúságú intervallum felez pontjának maximum likelihood becslését! Adjunk becslést a momentumok módszerével is!

17 3. BECSLÉSELMÉLET Tekintsünk egy n elem független, λ paraméter exponenciális eloszlású mintát. Az x 1,..., x n realizáció segítségével adjunk maximum likelihood becslést λ-ra! Adjunk becslést a momentumok módszerével is! 27. Egy alkatrész élettartama exponenciális eloszlású η/t paraméterrel, ha t h mérsékleten m ködtetjük. (a) Hogyan függ a várható élettartam a t h mérséklett l? (b) Tegyük fel, hogy n meggyelést különböz t 1, t 2,..., t n h mérsékleten végeztünk és x 1, x 2,..., x n élettartamot gyeltünk meg. Adjunk maximum likelihood becslést η-ra! 28. Legyen X 1,..., X n Gamma(α, λ) független minta. (a) Tegyük fel, hogy α ismert. Adjunk maximum likelihood becslést λ-ra! (b) * Adjunk maximum likelihood becslést a két paraméterre! (A Ψ(x) = d log Γ(x) = Γ (x) digamma függvényt tekinthetjük ismertnek.) dx Γ(x) 29. Tekintsünk egy n elem független, N (µ, σ 2 ) eloszlású mintát. Az x 1,..., x n realizáció segítségével adjunk maximum likelihood becslést θ = (µ, σ 2 )- re! Adjunk becslést a momentumok módszerével is! 30. Legyen f α (x) = { 2α x(1 x 2 ) α 1, ha 0 < x < 1, 0 különben ahol α > 0 ismeretlen paraméter. Tekintsünk egy n elem független mintát közös f α (x) s r ségfüggvénnyel. Az x 1,..., x n realizáció segítségével adjunk maximum likelihood becslést α-ra! 31. Legyen f α (x) = { θx θ 1, ha 0 x 1, 0 különben ahol θ > 0 ismeretlen paraméter. Tekintsünk egy n elem független mintát közös f α (x) s r ségfüggvénnyel. Az x 1,..., x n realizáció segítségével adjunk θ-ra maximum likelihood becslést, illetve adjunk becslést a momentumok módszerével is!

18 3. BECSLÉSELMÉLET Legyen f ϑ (x) = { 2ϑ 2 x 3, ha x ϑ, 0 különben ahol ϑ > 0 ismeretlen paraméter. Tekintsünk egy n elem független mintát közös f ϑ (x) s r ségfüggvénnyel. Az x 1,..., x n realizáció segítségével adjunk maximum likelihood becslést ϑ-ra! 33. Legyen 3x 2, ha η x η, f η (x) = 2η3 0 különben ahol (η > 0) ismeretlen paraméter. Tekintsünk egy n elem független mintát közös f η (x) s r ségfüggvénnyel. Az x 1,..., x n realizáció segítségével adjunk maximum likelihood becslést η-ra!, 34. Tekintsük az p a p, ha x a, f a,p (x) = xp+1 0 különben s r ségfüggvény Pareto-eloszlást, ahol a, p > 0 paraméterek. Az x 1,..., x n realizáció segítségével adjunk maximum likelihood becslést θ = (a, p)- re! Tegyük fel, hogy p > 2. Adjunk becslést θ-ra a momentumok módszerével! 35. Legyen X 1,..., X n független minta az f α,β (x) = αe α(x β) (x β) s r ségfüggvény eloszlásból (α pozitív, β valós). Adjuk becslést (α, β)- ra maximum likelihood módszerrel, illetve momentumok módszerével! 36. Tekintsünk egy kételem független, (µ, 1) paraméter Cauchy eloszlású mintát! A (µ, σ) paraméter Cauchy eloszlás s r ségfüggvénye: f µ,σ (x) = σ π(σ 2 + (x µ) 2 ). (a) Adjunk maximum likelihood becslést µ-re az x 1, x 2 realizáció segítségével! (b) Tudunk-e becslést adni momentumok módszerével? Használjuk ki, hogy 1-nél kisebb momentumok is léteznek!

19 3. BECSLÉSELMÉLET Legyen X 1,..., X n független, [a, b] intervallumon egyenletes eloszlású minta. Adjunk becslést (a, b)-re a momentumok módszerével! Adjunk maximum likelihood becslést is! 38. Legyen X 1,..., X n P oisson(λ) független minta. Legyen Y i = (X i X) 2. Adjunk becslést λ-ra az Y 1,..., Y n minta alapján momentumok módszerével! Számítsuk ki a kapott becslés szórását! 39. Legyen X 1,..., X n N (µ, σ 2 ) független minta. Szerkesszünk 1 ε megbízhatósági szint kondencia intervallumot µ-re ismert és ismeretlen szórás esetén is! Használjuk segítségül µ torzítatlan, konzisztens becslését! Hogyan változik az intervallum hossza a mintaelemszám növelésével? 40. Legyen X 1,..., X n N (µ, σ 2 ) független minta. Adjunk 1 ε megbízhatósági szint kondencia intervallumot σ-ra (a) X µ σ/, (b) ns2 n n σ 2 segítségével! 41. Tekintsük az 1. táblázat adatait. (a) Feltételezzük, hogy a testsúly normális eloszlást követ 15 kg szórással. Adjunk 95%-os kondencia intervallumot a testsúly várható értékére! (b) Feltételezzük, hogy a testmagasság normális eloszlást követ. Adjunk meg egy olyan intervallumot, amely a magasság várható értékét 0,99 valószín séggel tartalmazza! (c) Adjunk egy 95%-os kondencia intervallumot a magasság szórására! (d) Mit mondhatunk, ha nem tesszük fel a testsúlyról és a testmagasságról, hogy normális eloszlásúak? 42. Egy cukorgyárban kockacukrokat gyártanak. Tegyük fel, hogy a cukrok élhossza közelít leg normális eloszlású. Megmérjük 16 cukor élhosszúságát. Az adatok átlaga 10,06 mm, tapasztalati szórása 0,46 mm. Adjunk 95% megbízhatósági szint kondencia intervallumot µ 3 -re (azaz egy átlagos kockacukor térfogatára)! 43. Legyenek X 1,..., X n N (µ 1, σ 2 ) és Y 1,..., Y m N (µ 2, σ 2 ) független minták. Adjunk 1 ε szint kondencia intervallumot µ 1 µ 2 -re X Y segítségével!

20 3. BECSLÉSELMÉLET Legyenek X 1,..., X n N (µ 1, σ 2 1) és Y 1,..., Y m N (µ 2, σ 2 2) független minták. Adjunk 1 ε szint kondencia intervallumot σ 1 /σ 2 -re! 45. Legyen X 1,..., X n független, a [0, θ] intervallumon egyenletes eloszlásból vett minta. Adjunk 1 ε megbízhatósági szint kondencia intervallumot θ-ra (a) X 1 + X 2, (b) X n segítségével! 46. Legyen X 1,..., X n független, λ paraméter Poisson eloszlású minta. Adjunk λ-ra 1 ε megbízhatósági szint kondencia intervallumot (a) n i=1 X i segítségével! (b) a Csebisev-egyenl tlenség felhasználásával! (c) a centrális határeloszlás-tétellel! 47. Legyen X 1,..., X n független, λ paraméter exponenciális eloszlású minta. Adjunk λ-ra 1 ε megbízhatósági szint kondencia intervallumot (a) n i=1 X i segítségével! (b) a Csebisev-egyenl tlenség felhasználásával! (c) a centrális határeloszlás-tétellel! 48. Végezzünk el n-szer egy kísérletet, legyen az A esemény bekövetkezéseinek száma K n. Szerkesszünk 1 ε megbízhatósági szint kondencia intervallumot p = P(A)-ra n = 10 és n = esetén is! 49. Legyen X 1,..., X n független, a (θ 1/2, θ + 1/2) intervallumon egyenletes eloszlású minta. Adjunk 1 ε megbízhatósági szint kondencia intervallumot θ-ra T (X) = (X 1 + X n)/2 segítségével! Használjuk fel a 2. feladatsor 15. feladatát! 50. Legyen X egy egyelem minta, s r ségfüggvénye e θ x, ha x > θ. Szerkesszünk 1 ε megbízhatósági szint kondencia intervallumot a θ paraméterre X segítségével!

21 4. Hipotézisvizsgálat 1. Legyen X 1,..., X n N (µ, σ 2 ) független minta. Tekintsük a H 0 : σ = σ 0 és H 1 : σ < σ 0 hipotéziseket, és azt a próbát, amelyre X k = {x : ns 2 n/σ 2 0 > c} (S 2 n = 1 n n i=1 (X i X) 2 az empirikus szórásnégyzet). Torzítatlan-e az adott próba? 2. Legyen X 1,..., X n független, λ paraméter exponenciális eloszlású minta. (a) Konstruáljunk ε terjedelm próbát H 0 : λ = λ 0 és H 1 : λ λ 0 hipotézisekre X 1 segítségével! (b) Konstruáljunk ε terjedelm próbát H 0 : λ = λ 0 és H 1 : λ λ 0 hipotézisekre 1/X alapján! (c) A fenti próbák közül melyik konzisztens? 3. Valódi (θ) selejtarányra szeretnénk min ségellen rzést. Vegyünk egy n = 25 elem független Bernoulli-mintát: X 1,..., X n. Konstruáljunk ε terjedelm (randomizált) próbát a H 0 : θ = θ 0 és H 1 : θ > θ 0 választáshoz! Határozzuk meg a másodfajú hibát! 4. Legyen X 1 egy egyelem, p paraméter geometriai eloszlású minta. (a) A H 0 : p = 0,5 vs. H 1 : p = 0,9 esetén a mekkora a terjedelme annak a véletlenített próbának, amelynek er függvénye 0 k 3 Ψ(X 1 ) = 0,5 k = 2? 1 k = 1 Adjuk meg a mádosfajú hiba valószín ségét is! (b) Konstruáljunk pontosan ε terjedelm (randomizált) próbát a H 0 : p = p 0 és H 1 : p < p 0 választáshoz! Torzítatlan-e a konstruált próba? 5. Legyen X 1,..., X n független, λ paraméter exponenciális eloszlású minta. Konstruáljuk meg a H 0 : λ = λ 0 és H 1 : λ = λ 1 egyszer alternatívához tartozó ε terjedelm leger sebb próbát a Neyman-Pearson alaplemma segítségével!

22 4. HIPOTÉZISVIZSGÁLAT X 1,..., X n N (µ, 1) független minta. Konstruáljuk meg a H 0 : µ = µ 0 és H 1 : µ = µ 1 egyszer alternatívához tartozó ε terjedelm leger sebb próbát a Neyman-Pearson alaplemma segítségével! 7. X 1,..., X n N (0, σ 2 ) független minta. Konstruáljuk meg a H 0 : σ = σ 0 és H 1 : σ = σ 1 egyszer alternatívához tartozó ε terjedelm leger sebb próbát a Neyman-Pearson alaplemma segítségével! 8. 5 elem mintát feltételezve konstruáljuk meg a Bernoulli-eloszlás p paraméterére vonatkozó H 0 : p = 1/2 és H 1 : p = 1/4 egyszer alternatívához tartozó pontosan 0,2 terjedelm, leger sebb próbát! 9. Legyen X 1,..., X n független, p paraméter geometriai eloszlású minta. Konstruáljuk meg a H 0 : p = p 0 és H 1 : p = p 1 egyszer alternatívához tartozó pontosan ε terjedelm, leger sebb próbát! 10. Írjuk fel a likelihood-hányados próba statisztikáját, ahol (a) X geom(p) és H 0 : p = p 0 vs H 1 : p p 0. (b) X P oisson(λ) és H 0 : λ = λ 0 vs H 1 : λ λ 0. (c) X exp(λ) és H 0 : λ = λ 0 vs H 1 : λ λ 0. (d) X U(a, b) és H 0 : b = b 0 vs H 1 : b b 0. (e) Teljesülnek-e a fenti esetekben a regularitási feltételek? 11. Legyen X 1,..., X n N (µ, σ 2 ) független minta, mindkét paraméter ismeretlen (n elegend en nagy). Legyen H 0 : σ = 1 és H 1 : σ 1. Konstruáljunk ezekhez 0,05 terjedelm likelihood-hányados próbát! 12. Legyenek X 1,..., X n N (µ 1, σ 2 ) és Y 1,..., Y m N (µ 2, σ 2 ) független minták. (a) Írjuk fel a H 0 : σ = σ 0 és H 1 : σ σ 0 hipotézisekhez konstruált likelihood-hányados próba statisztikáját! (b) Írjuk fel a H 0 : µ 1 = µ 2 és H 1 : µ 1 µ 2 hipotézisekhez konstruált likelihood-hányados próba statisztikáját, ha σ ismert! (c) Írjuk fel a H 0 : µ 1 = µ 2 és H 1 : µ 1 µ 2 hipotézisekhez konstruált likelihood-hányados próba statisztikáját, ha σ ismeretlen!

23 4. HIPOTÉZISVIZSGÁLAT Az 1. táblázatbeli adatok alapján Teszteljük azt a nullhipotézist, hogy a testsúly várható értéke 45 kg, ha (a) a szórás ismeretlen! (b) a szórás 15 kg! (c) Fel kell-e tennünk a normalitást? 14. Igazoljuk, hogy az ε terjedelm (kétoldali) u-próba pontosan akkor fogadja el a nullhipotézist, ha µ 0 benne van az X segítségével µ-re szerkesztett 1 ε szint kondencia intervallumban! 15. Legyen X 1,..., X n N (µ, σ 2 0) független minta, (σ 0 ismert). Legyen H 0 : µ = µ 0 és H 1 : µ µ 0. Konstruáljunk ezekhez 0,05 terjedelm likelihood-hányados próbát! Vessük össze a kapott próbát az u-próbával (két- és egyoldali változatával is)! 16. Legyen (X 1, Y 1 ),... (X n, Y n ) N (m, C), ahol ( σ m 2 = (µ 1, µ 2 ) és C = σ2 2 ). Alkalmazzunk önkontrollos vizsgálatot a H 0 : µ 1 = µ 2 vs H 1 : µ 1 µ 2 hipotézisek vizsgálatára ismert szórások esetén, és vessük össze a kapott tesztet a kétmintás u-próba kétoldali változatával! 17. Legyen X 1,..., X n N (µ, σ 2 ) független minta. Tekintsük a t-próba statisztikáját: t(x) = X µ 0 S n/ n és a következ (likelihood-hányados próbához tartozó) statisztikát: ( n j=1 λ n (X) = (X ) j X) 2 n/2 n j=1 (X. j µ 0 ) 2 Igazoljuk, hogy ( ) n/2 1 λ n (X) =. 1 + t2 (X) n 1 Mutassuk meg, hogy ez azt jelenti, hogy a fenti likelihood-próba a t- próba kétoldali változatával ekvivalens!

24 4. HIPOTÉZISVIZSGÁLAT Határozzuk meg az egyoldali u-próba er függvényét! Igazoljuk, hogy a próba torzítatlan és konzisztens is! Hogyan változik a próba ereje, ha (a) ε, (b) θ θ 0, (c) n n? 19. Ha kétdimenziós normális eloszlású mintánk van, ahol a komponensek függetlenek, azonos szórásúak, akkor a komponensek várható értékeinek egyenl ségének tesztelésére a páros és a kétmintás t-próbát is alkalmazhatunk. Írjuk fel a két próba er függvényt! Ha az empirikus kovariancia 0, mondhatjuk-e, hogy a kétmintás t-próba er sebb? 20. Egy, az 1. táblázatbelit l különböz csoportban a diákok magassága rendre 176, 165, 145, 177, 155, 175, 164, 166, 148, 163, 145, 161, 170 cm. Azt a nullhipotézist szeretnénk tesztelni, hogy a két csoport magasságának várható értéke megegyezik. Alkalmazható-e a kétmintás t- próba? Ha igen, alkalmazzuk, ha nem, milyen próbát használhatunk helyette? 21. Egy dobókockával n = 1200-szor dobunk. Az egyes oldalak gyakoriságai: ν 1 = 184, ν 2 = 212, ν 3 = 190, ν 4 = 208, ν 5 = 212, ν 6 = 194. Teszteljük 90%-os szignikancia-szinten azt a nullhipotézist, hogy a dobókocka szabályos! Hogyan változik az eredmény, ha n = lenne és ν i -k 10-szereseik? Miért? 22. Tekinthet -e az 1. táblázatban a testsúly normális eloszlásúnak 5%-os szignikancia-szinten? 23. Békéscsabán 80 évig gyelték az októberi középh mérsékletet. Az adatok gyakorisági eloszlása az alábbi: <11 C C C C >14 C Igazolható-e 0,05 szinten az adatok normális eloszlás szerinti megoszlása? Milyen próbát alkalmaznánk, ha ismernénk a 80 év pontos októberi középh mérsékleteit? 24. Egy kísérlet során kiderült, hogy két egyetemi csoportban a úk közül 7-en dohányoznak, 8-an nem. A lányok közül 28 a dohányos és 7 nem az. Hogyan tudnánk ezekb l az adatokból eldönteni, hogy az egyetemisták esetében a úk vagy a lányok között magasabb a dohányzók aránya (5%-os szignikancia-szinten)? Mi itt a nullhipotézis?

25 4. HIPOTÉZISVIZSGÁLAT Egy társaságban 20 dohányzó fér, 10 nemdohányzó fér, 10 dohányzó n és 10 nemdohányzó n van. Teszteljük 5%-os szignikancia-szinten, hogy a nem és a dohányzás függetlenek! 26. Igazoljuk, hogy a függetlenségvizsgálatra vonatkozó χ 2 próba becsléses változata a diszkrét minták homogenitásvizsgálatára vonatkozó χ 2 próba általánosítása! 27. Teszteljük 5%-os szignikancia-szinten azt a nullhipotézist, hogy az 1. táblázatbeli magasságok mediánja 170 cm! 28. Teszteljük 5%-os szignikancia-szinten azt a nullhipotézist, hogy az 1. táblázatbeli magasságok és a 20. feladatbeli adatok azonos eloszlásból származnak! 29. Legyenek X 1,..., X n és Y 1,..., Y n független, 0 mediánú minták. Deniáljuk ɛ i,j -t a következ képpen: { 1, ha Xi < Y j, ɛ i,j = 0 ha X i > Y j. Feltehetjük, hogy P(X i = Y j ) = 0. Számítsuk ki a kétmintás Wilcoxonpróba R = i,j ɛ i,j statisztikájának várható értékét és szórásnégyzetét! 30. Tekintsük az (X 1, Y 1 ),..., (X n, Y n ) mintát és az r sp Spearman-féle rangkorrelációs együtthatót. (a) Igazoljuk, hogy r sp 1 és egyenl ség pontosan akkor teljesül, ha minden i j párra X i X j az Y i Y j, illetve Y i Y j relációt vonja maga után (r sp el jelének megfelel en). (b) Igazoljuk, hogy ha a háttérváltozók függetlenek, akkor E(r sp ) = Legyen X 1, X 2,... N (µ, σ 2 0) független azonos eloszlású minta (σ 0 ismert). Adjunk a H 0 : µ = µ 0 vs. H 1 : µ = µ 1 egyszer alternatíva eldöntésére szekvenciális eljárást (ε 1 els fajú és ε 2 másodfajú hibával)! Adjuk meg a várható lépésszámokat! 32. Legyen X 1, X 2,... B(p) független azonos Bernoulli eloszlású minta. Adjunk a H 0 : p = p 0 vs. H 1 : p = p 1 egyszer alternatíva eldöntésére szekvenciális eljárást (ε 1 els fajú és ε 2 másodfajú hibával)! Adjuk meg a várható lépésszámokat!

26 4. HIPOTÉZISVIZSGÁLAT Legyen X 1, X 2,... exp(λ) független azonos eloszlású minta. Adjunk a H 0 : λ = λ 0 vs. H 1 : λ = λ 1 egyszer alternatíva eldöntésére szekvenciális eljárást (ε 1 els fajú és ε 2 másodfajú hibával)! Adjuk meg a várható lépésszámokat!

27 5. Többváltozós módszerek 1. Igazoljuk, hogy egy többdimenziós normális eloszlású vektorváltozó komponensei pontosan akkor függetlenek, ha páronként korrelálatlanok! 2. Mutassuk meg, hogy ha Y 1,..., Y m független normális eloszlásúak, akkor együttes eloszlásuk m-dimenziós normális! 3. * Adjunk olyan véletlen vektorváltozót, amely komponensei 1-dimenziós normális eloszlásúak, maga nem többdimenziós (és nem is elfajult többdimenziós) normális eloszlású! 4. Legyen Y N d (m, C), ahol C pozitív denit, B pedig egy d d-s nemszinguláris mátrix. Milyen eloszlású X = BY? 5. Legyen X N 2 (m, C). (a) Adjuk meg a komponensek összegének, különbségének eloszlását! (b) Adjuk meg X komponenseinek tetsz leges ax 1 +bx 2 lineáris kombinációjának eloszlását! (c) Adjuk meg X komponenseinek korrelációs mátrixát! (d) Adjuk meg annak a lineáris transzformációnak a mátrixát, amely X véletlen vektort a 2-dimenziós standard normális eloszlásúba viszi át. Egyértelm -e ez a mátrix? 6. Legyenek X i N d (m i, C i ), i = 1,..., n független véletlen vektorok. Adjuk meg n i=1 X i eloszlását! 7. Legyen X egy d dimenziós ún. szimmetrikus normális eloszlású vektor, azaz komponensei azonos eloszlásúak és bármely két komponens kovarianciája ugyanakkora. (a) Határozzuk meg a korrelációs mátrix spektrálfelbontását! (b) Határozzuk meg C 1 -et, ahol C a kovarianciamátrix! (c) Adjuk meg annak a lineáris transzformációnak a mátrixát, amely X véletlen vektort a d-dimenziós standard normális eloszlásúba viszi át. (d) Mutassuk meg, hogy bármely két komponens korrelációja nagyobb mint (1 d) 1.

28 5. TÖBBVÁLTOZÓS MÓDSZEREK * Legyen A és B két n n-es pozitív denit mátrix. Mutassuk meg, hogy elemenkénti szorzatuk is pozitív denit! 9. Mutassuk meg, hogy egy d-dimenziós normális eloszlású vektorváltozó komponensei közül (d >)k-t tetsz legesen kiválasztva azok együttes eloszlása k-dimenziós normális! 10. * Van-e olyan d-dimenziós vektorváltozó, amely nem többdimenziós (és nem is elfajuló többdimenziós) normális, de komponensei közül bárhogy kiválasztva d 1-et azok együttes eloszlása már d 1-dimenziós normális? 11. Mutassuk meg, hogy (X 1, X 2 ) N 2 (0, C) esetén X 2 1/c 1,1 + X 2 2/c 2,2 pontosan akkor χ 2 (2) eloszlású, ha X 1 és X 2 korrelálatlanok! 12. Legyen Y N d (0, C), továbbá A egy d d-s szimmetrikus r rangú mátrix. Igazoljuk, hogy Y AY χ 2 (r) pontosan akkor teljesül, ha ACA = A. 13. Legyen ν = (ν 1,..., ν k ) P oly n (p 1,..., p k ). Igazoljuk, hogy ν i B n (p i ). 14. A polinomiális és χ 2 eloszlások kapcsolatát felhasználva adjuk meg a χ 2 -próbák statisztikáinak aszimptotikus eloszlásainak szabadságfokait! 15. Tekintsük az X = (X 1,..., X n ) mátrixot, amely oszlopvektorai X i N d (0, C), i = 1,..., n fae változók, valamint a W = XX Wishartmátrixot! (a) Milyen eloszlású W? (b) Hogy változik meg W, ha X két oszlopát felcseréljük? (c) Hogy változik meg W, ha X két sorát felcseréljük? (d) Adjunk meg W várható értékét! (e) Milyen eloszlású W k-adik f minora? 16. Legyenek W i W d (n i, C), i = 1,..., k független Wishart-mártixok. Milyen eloszlású k i=1 W i? 17. Legyen W W d (n, C) és a R +. Milyen eloszlású aw?

29 5. TÖBBVÁLTOZÓS MÓDSZEREK Legyen W W d (n, C) és B egy d d-s nemszinguláris mártix. Milyen eloszlású BWB? 19. Legyen W W d (n, I). (a) Milyen eloszlásúak W diagonális elemei? (b) Milyen eloszlású trw? (c) Igazoljuk, hogy W nemdiagonális elemei el állnak két független χ 2 (n) eloszlású változó különbségének konstansszorosaként! 20. Legyen X 1,..., X n N d (m, C) független minta. Milyen eloszlású (a) (X m)(x m)? (b) az empirikus kovarianciamátrix? (c) a korrigált empirikus kovarianciamátrix? 21. Igazoljuk a Steiner-egyenl ség következ többdimenziós változatát: ha x 1,..., x n, v R d, akkor n (x k v)(x k v) = k=1 n (x k x)(x k x) + n(x v)(x v). k=1 22. Legyen X 1,..., X n N d (m, C) független minta. Igazoljuk, hogy Cov(X, X i X) = Legyen X 1,..., X n N (µ, σ 2 ) minta. (a) Adjuk meg az I 1 Fisher-féle információs mátrixot! a kor- (b) Igazoljuk, hogy (X, Sn 2 ) hatásos becslése (µ, σ 2 )-nek (Sn 2 rigált empirikus szórásnégyzet)! 24. Legyen X 1,..., X n U(a, b) független minta. Adjuk meg az I 1 és I n Fisher-féle információs mátrixokat! 25. X 1,..., X n egy d-dimenziós a középpontú b sugarú gömbben egyenletes eloszlásból vett független minta. (a) Adjuk meg az I 1 Fisher-féle információs mátrixot!

30 5. TÖBBVÁLTOZÓS MÓDSZEREK 30 (b) Adjunk maximum likelihood becslést a-ra b = 1 esetben! (c) Adjunk maximum likelihood becslést (a, b)-re! id s embert az orvos két csoportba sorolt aszerint, hogy van-e szenilis faktor a viselkedésükben (I. csoport) vagy sem (II. csoport). Ezután elvégeztettek velük 4 pszichológiai tesztet (1. információ, 2. hasonlóság, 3. aritmetika, 4. képfelismerés), melyekre kapott átlagpontszámok az alábbi táblázatban láthatók: I. (n=37) II. (m=12) 1. 12,57 8, ,57 5, ,49 8, ,97 4,75 Vizsgálja meg, 95%-os szignikanciaszinten elfogadható-e az a nullhipotézis, hogy a két csoport várhatóan nem különbözik szignikánsan a teszteredmények alapján. Feltesszük, hogy az egyes emberek teszteredményei 4-dimenziós normális eloszlást követnek ismeretlen (közös) kovarianciamátrixszal. Az egyesített (49) elem mintából számolt S = S 1 + S 2 mátrix inverze: S 1 = 0,0052 0,0028 0,0012 0,0012 0,0028 0,0038 0,0008 0,0002 0,0012 0,0008 0,0030 0,0004 0,0012 0,0002 0,0004 0, Legyen X 1,..., X n N d (m, C) független minta, ahol C ismert. (a) Adjuk meg az I 1 Fisher-féle információs mátrixot! (b) Igazoljuk, hogy X hatásos becslése m-nek! (Használjuk a Cramér- Rao egyenl tlenség többdimenziós változatát!) (c) Igazoljuk, hogy a H 0 : m = m 0, H 1 : m m 0 hipotézisek vizsgálatára konstruált próba likelihood-hányados teszt! (d) Igazoljuk, hogy az el z pontbeli teszt az u-próba általánosítása!

31 5. TÖBBVÁLTOZÓS MÓDSZEREK atal emberre az A, B, C stimuláló szerek hatását vizsgálták a reakcióid szempontjából (századmásodpercben). X A = 21,05 X B = 21,65 X C = 28,95, S = 45,2 43,6 32,6 43,6 53,2 36,4 32,6 36,4 49,4 95%-os szignikanciaszinten vizsgálja meg az egyenl hatás elvét a B A, C B különbségekre! (Feltesszük, hogy a hatások többdimenziós normális eloszlást követnek, és azt teszteljük, hogy a B és A hatás különbsége, valamint a C és B hatás különbsége mint 2-dimenziós normális eloszlású véletlen vektor 0 várható érték vektorúnak tekinthet e.) Megjegyezzük, hogy valójában a három stimulálószer hatása várható értékének egyenl sége itt a nullhipotézis, azonban meggyeléseink nem független mintákra, hanem ugyanarra a 20 emberre vonatkoznak. Így a javasolt vizsgálat a t-próbánál bevezetett önkontrollos vizsgálat többdimenziós általánosításának tekinthet. 29. Legyen X 1,..., X n N d (m, C) független minta. Vegyük az (m, C) paraméter ( ˆm, Ĉ) = (X, S/n) (maximum likelihood) becsléseit!. (a) Igazoljuk, hogy (X, S) elégséges statisztika (m, C)-re! (b) Torzítatlan becslése-e (X, S/n) az (m, C) paraméternek? Ha nem, korrigáljuk! (c) Mutassuk meg, hogy a (Hotelling-féle) T 2 -próba a t-próba (kétoldali változatának) általánosítása (de az egyoldalinak nem)! (d) Konstruáljunk likelihood-hányados próbát a H 0 : C = C 0 hipotézis tesztelésére! (e) Konstruáljunk ε terjedelm egyenletesen leger sebb próbát a Neyman- Pearson alaplemma segítségével a H 0 : (m, C) = (m 0, C 0 ) vs. H 1 : (m, C) = (m 1, C 0 ) egyszer alternatíva vizsgálatára! 30. Igazoljuk, hogy a (Hotelling-féle) kétmintás T 2 -próba likelihood-hányados próba! Igazoljuk, hogy ez a teszt a kétmintás t-próba általánosítása!

32 5. TÖBBVÁLTOZÓS MÓDSZEREK Legyen X 1,..., X n1 N d (m 1, C 1 ) és Y 1,..., Y n2 N d (m 2, C 2 ) független minták. Konstruáljunk likelihood-hányados próbát a H 0 : C 1 = C 2, H 1 : C 1 C 2 hipotézisek vizsgálatára (kétmintás T 2 próba feltételének ellen rzése)! 32. Legyen X 1, X 2,... N d (m, C) fae. Adjunk a H 0 : (m, C) = (m 0, C 0 ) vs. H 1 : (m, C) = (m 1, C 0 ) egyszer alternatíva eldöntésére szekvenciális eljárást (ε 1 els fajú és ε 2 másodfajú hibával)! Adjuk meg a várható lépésszámokat! 33. Legyen A 1,..., A k teljes eseményrendszer, P(A i ) = p i. Legyen X az eseményrendszer k-dimenziós indikátorváltozója, valamint p = (p 1,..., p k ). Legyenek X 1, X 2... független vektorok, amelyek eloszlása megegyezik X eloszlásával. (a) Mutassuk meg, hogy n i=1 X i P oly n (p 1,..., p k ). (b) Adjunk maximum likelihood becslést az els n mintaelem alapján p-re a Lagrange-multiplikátor módszerével! (c) Adjunk maximum likelihood becslést az els n mintaelem alapján p-re p k = 1 p 1... p k 1 felhasználásával is! (d) Adjunk a H 0 : p = p 0 vs. H 1 : p = p 1 egyszer alternatíva eldöntésére szekvenciális eljárást (ε 1 els fajú és ε 2 másodfajú hibával)! Adjuk meg a várható lépésszámokat!

33 6. Lineáris módszerek 1. Legyen X egy d-dimenziós vektorváltozó és Y a hozzá tartozó f komponensvektor. Adjuk meg X i és Y j kovarianciáját! ( ) 1 ρ 2. Legyen X N 2 (0, C), ahol C =, ahol 0 < ρ < 1. Adjuk meg ρ 1 a f komponenseket és a f komponensvektor kovarianciamátrixát! 3. Legyen X N d (0, C), ahol C diagonális mátrix f átlójában különböz (pozitív) értékekkel. Adjuk meg a f komponensvektort! 4. Legyen X N d (0, C), ahol C f diagonálisának minden eleme 1, minden más eleme r valamely 0 < r < 1 számra. (a) Adjuk meg X els f komponensét! (b) Adjuk meg a f komponensek szórásnégyzeteit! ( ) λ Legyen X N 2 (0, C), ahol C =. Adjunk maximum likelihood becslést C 0 λ 2 sajátértékeire! 6. A f komponensanalízis egy módosított változatában a korrelációs mátrixból indulunk ki. (a) Mutassuk meg, hogy ezzel a módszerrel más megoldást kapunk, mint a kovarianciamátrixot használó modellben! (b) A Kaiser-kritérium azon sajátvektorokkal konstruált f komponenseket választja, amelyekhez tartozó sajátérték legalább a sajátértékek átlaga. Igazoljuk, hogy tetsz leges nemszinguláris korrelációs mátrix sajátértékeinek átlaga 1! (c) Tegyük fel, hogy a korrelációs mátrix minden eleme nagyobb mint 1 ε. Mutassuk meg, hogy a legnagyobb sajátérték nagyobb d(1 ε)-nál (egy nagy és sok kis szórású f komponens van)! (d) Tegyük fel, hogy a korrelációs mátrix sajátértékei a legnagyobb kivételével kisebbek mint ε. Mutassuk meg, hogy a mátrix elemeinek abszolutértékei nagyobbak mint 1 2dε.

34 6. LINEÁRIS MÓDSZEREK Legyen X egy d-dimenziós véletlen vektor, k < d, és tekintsük a következ modellt: X = AY + Z + m, ahol A egy d k-as mátrix, Y egy k-dimenziós, Z egy d-dimenziós véletlen vektor, amelyekre E(Y) = 0, E(YY ) = I k, E(Z) = 0, E(YZ ) = 0 k d-s azonosan 0 mátrix (a faktoranalízissel szemben itt nem követelmény E(ZZ ) diagonális volta, de elvárjuk, hogy elemei kicsik legyenek). Adjunk megoldást a f komponensanalízis segítségével! 8. Tekintsük az X = Af + e + m k-faktor modellt (X egy d-dimenziós vektorváltozó, A a d k-as faktorsúlymátrix, f a k-dimenziós közös faktor I k kovarianciamátrixszal, e d-dimenziós egyedi faktor D diagonális kovarianciamátrixszal, amelyre E(fe ) = 0). (a) Mutassuk meg, hogy ha i j, akkor X i és e j korrelálatlanok! (b) Adjuk meg X i változó és e i egyedi faktorkomponens kovarianciáját! (c) Adjuk meg X i változó és f j közös faktorkomponens kovarianciáját! 9. A faktoranalízis modelljében legyen A és B két faktorsúly-mátrix, amelyekre AA = BB. Mutassuk meg, hogy ekkor van olyan G k k méret ortogonális mátrix, amelyre B = AG. 10. A faktoranalízis modelljének mátrixalakja C = AA + D, ahol A egy d k-s mátrix, D pedig egy d d-s diagonális mátrix nemnegatív elemekkel. Tekintsük a d = 2 és k = 1 esetet! (a) Mikor van megoldása a fenti modellnek? (b) Adjunk maximum likelihood becslést A-ra és D-re! 11. Legyen (Y, X 1,..., X m ) N (m, C). Adjuk meg az E((Y g(x 1,..., X m )) 2 )- et mininalizáló regressziós függvényt! 12. Igazoljuk, hogy ha X, Y véges szórású valószín ségi változók, valamint Y ax + b a legjobb lineáris közelítés négyzetes értelemben, akkor (a) r(x, Y ) = a D(X) D(Y ), (b) E((Y (ax + b)) 2 ) (1 r(x, Y ))D 2 (Y ).

35 6. LINEÁRIS MÓDSZEREK Tekintsük az (X, Y ) véletlen vektort, az l 1 (X) = ax + b (amelyre E((Y l 1 (X)) 2 ) minimális) és az l 2 (Y ) = cy +d (amelyre E(X l 2 (Y )) 2 minimális) regressziós egyeneseket. Mikor teljesül, hogy c = 1/a? 14. Legyenek x 1,..., x n mérési pontok, továbbá Y 1,..., Y n változók amelyek kielégítik a Y i = ax i +b+ɛ i, i = 1,..., n regressziós modellt, ahol a mérési hibák ɛ 1,..., ɛ n N (0, σ 2 ) független valószín ségi változók. (a) Adjunk maximum likelihood becslést az (a, b, σ 2 ) paraméterre a Y minta segítségével! (Mi köze a kapott becslésnek a legkisebb négyzetek módszeréhez?) (b) Igazoljuk, hogy a és b fenti becslései pontosan akkor korrelálatlanok, ha x = 0. (c) Adjunk kondencia intervallumot a-ra, ha b = 0 és σ ismert. (d) Konstruáljunk a H 0 : a = a 0 és H 1 : a a 0 hipotézisekhez ε terjedelm próbát, feltéve, hogy b és σ 2 ismert! (e) Konstruáljunk likelihood-hányados próbát H 0 : a = a 0 és H 1 : a a 0 hipotézisekhez, ha b = 0 és σ 2 ismeretlen! (f) Konstruáljunk likelihood-hányados próbát H 0 : a = a 0 és H 1 : a a 0 hipotézisekhez, ha b és σ 2 ismeretlen! (g) Hogyan ellen rizhetjük a modell alkalmazhatóságát, azaz a mérési hibákra vonatkozó feltételek teljesülését? 15. Tekintsük az Y = a x + ɛ regressziós modellt, ahol ɛ N (0, σ 2 ), σ 2 ismert értékre. Konstruáljuk meg a Neyman-Pearson alaplemma segítségével a H 0 : a = a 0 vs. H 1 : a = a 1 egyszer alternatívához tartozó ε terjedelm egyenletesen leger sebb próbát! 16. Tekintsük az Y = a 1 x a d x d + b + ɛ regressziós modellt és a H 0 : a 1 =... = a d = 0 hipotézist tesztel regresszióanalízist. (a) Legyen Q = n i=1 (Y i Y ) 2, Q r = n i=1 (Ŷi Y ) 2 és Q e = n i=1 (Ŷi Y i ) 2, ahol Ŷi = â 1 x i, â d x i,d +ˆb. Igazoljuk, hogy Q = Q r +Q e. (b) Jelölje R n a többszörös korrelációs együttható becslését. Mutassuk meg, hogy R 2 n = Qr Q. (c) Igazoljuk, hogy a próbastatisztika F = (n d 1)Qr dq e alakokban is felírható! = (n d 1)R2 n d(1 R 2 n )

36 6. LINEÁRIS MÓDSZEREK 36 (d) Vessük össze a regresszióanalízist a korrelációs együtthatókra vonatkozó tesztekkel! Indokolt-e a regresszióanalízist függetlenség tesztelésére használni? (e) A regresszióanalízist szokás varianciaanalízisnek is nevezni. Magyarázzuk meg az elnevezést! 17. Vessük össze a lineáris regresszió megoldását (a = C 1 d, ha a várható értékek 0-k) a determinisztikus változók esetén kapott megoldással (â = (X X) 1 X Y)! 18. Igazoljuk, hogy X X pontosan akkor nemszinguláris, ha X oszlopvektorai lineárisan függetlenek. 19. Tekintsük a következ multiplikatív modellt: Y = bx a X a k k. Vezessük vissza a lineáris modellre, és adjunk becslést a paraméterekre a módosított modellben a legkisebb négyzetek módszerével! Más becslést kapnánk-e, ha a legkisebb négyzetek módszerét közvetlenül az eredeti modellre alkalmaznánk? 20. Polinomiális regresszió esetén a modell Y = b + a 1 X a k X k alakú. A megoldást úgy keresik, hogy az X i = X i független változókra vonatkozó többváltozós lineáris regressziót vizsgálják. Viszont X i és X j nem független változók. Okoz-e ez problémát a megoldás egyértelm sége tekintetében? Miért? 21. Tekintsük az egyszempontos varianciaanalízis modelljében a paraméterek legkisebb négyzetek módszerével kapott becsléseit. (a) Mutassuk meg, hogy ezek maximum likelihood becslések! (b) * Számoljuk ki ezeket a becsléseket Lagrange-multiplikátor módszerrel! 22. Tekintsük az egyszempontos varianciaanalízis csoporthatás-vizsgálatát, ahol Q e = k ni i=1 j=1 (X ij X i ) 2 és Q a = k i=1 n i(x i X ) 2. (a) Mutassuk meg, hogy Q e /σ 2 χ 2 (n k)! (b) Igazoljuk, hogy H 0 teljesülése mellett Q a /σ 2 χ 2 (k 1), de ha H 0 nem teljesül, Q a nem χ 2 eloszlású! (c) Adjuk meg H 0 mellett Q a és Q e várható értékét és szórásnégyzetét!