Matematikai statisztika feladatsor

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Matematikai statisztika feladatsor"

Átírás

1 Matematikai statisztika feladatsor Nagy-György Judit A feladatsor Bolla Marianna és Krámli András Statisztikai következtetések elmélete cím könyvének [1] elméletére épül, a fejezetek számozása és a jelölések is ennek megfelel ek. Tartalomjegyzék 1. El ismeretek 2 2. Statisztikai alapfogalmak 7 3. Becsléselmélet Hipotézisvizsgálat Többváltozós módszerek Lineáris módszerek 33 1

2 1. El ismeretek 1. Tekintsük A 1,..., A n mátrixokat, ahol A i m i m i+1 -es i = 1,..., n 1 esetén és A n m n m 1 -es mátrix. Igazoljuk, hogy tr(a 1... A n ) = tr(a n A 1... A n 1 )! 2. Legyen A egy n n-es szimmetrikus mátrix λ 1,..., λ n sajátértékekkel. Mutassuk meg, hogy tr(a) = λ λ n. 3. Legyen R egy d d-s mátrix, amely f diagonálisának minden eleme 1, minden más eleme r. (a) Adjuk meg R spektrálfelbontását! (b) Adjunk szükséges és elégséges feltételt r-re, hogy R pozitív denit legyen! 4. Igazoljuk, hogy ha A egy pozitív denit mátrix, akkor egyértelm en létezik egy V alsó trianguláris mátrix, amelyre A = VV (Cholesky felbontás). 5. Bizonyítsuk be, hogy az unitér mátrixok sajátértékei a komplex egységkörön helyezkednek el! 6. Mutassuk meg, hogy ha egy mátrix sajátértékei különböz ek, akkor sajátvektorai lineárisan függetlenek! 7. Két személy megbeszéli, hogy 3 óra után találkoznak. Érkezésük független, (a) 3 és 4 óra között egyenletes eloszlást követ. (b) 4 paraméter exponenciális eloszlást követ (órában mérve). Adjuk meg a korábban érkez érkezési idejének s r ségfüggvényét! Adjuk meg a korábban érkez várakozási idejének s r ségfüggvényét is! Adjuk meg a kés bb érkez Y várakozási idejének "abszolút", és a korábban érkez érkezési idejere vett feltételes s r ségfüggvényét is! 8. Számítsuk ki a λ paraméter Poisson eloszlás els négy momentumát! 9. Legyen X egy (n, p) paraméter negatív binomiális eloszlású valószín ségi változó. Számítsuk ki E( 1 ) várható értéket! X 1

3 1. ELŽISMERETEK Számoljuk ki az n-edrend λ paraméter Gamma eloszlás k-adik momentumát, ahol k < n. 11. Igazoljuk, hogy (a) a Poisson eloszlás (b) a Gamma eloszlás korlátlanul osztható! 12. Legyenek X, Y független, azonos eloszlású, véges várható érték valószín ségi változók. Határozzuk meg E(X + Y X) és E(X X + Y ) feltételes várható értékeket! 13. Legyen X és Y két független, 1/2 paraméter Bernoulli-eloszlású valószín ségi változó. Adjuk meg E(X X +Y ) által generált σ-algebrát és E(X X + Y ) eloszlását! 14. Legyen X nemnegatív valószín ségi változó. (a) Határozzuk meg E(X 2 X)-et! (b) Határozzuk meg E( 1 X X)-et! 15. Legyen X a [ 1, 1] intervallumon egyenletes eloszlású valószín ségi változó. Határozzuk meg E(X X 2 )-t! 16. Legyenek X 1, X 2 a [0, 1] intervallumon egyenletes eloszlású független valószín ségi változók, továbbá Y := min{x 1, X 2 }, valamint Z := max{x 1, X 2 }. Határozzuk meg (a) E(Y Z), (b) E(Z Y ), (c) E(X 1 Z) feltételes várható értékeket! 17. Legyenek X, Y N (0, 1) független valószín ségi változók, továbbá a, b, c R. (a) Milyen eloszlású ax + by + c? (b) Adjuk meg X s r ségfüggvényét! (c) Határozzuk meg X 2 s r ségfüggvényét! Milyen eloszlást követ X 2? (d) Milyen eloszlású X 2 + Y 2? 18. Legyenek X, Y exp(λ) független valószín ségi változók. (a) Milyen eloszlású X + Y? (b) Adjuk meg X Y s r ségfüggvényét!

4 1. ELŽISMERETEK * Legyenek N, X 1, X 2... független valószín ségi változók, ahol N egy p paraméter geometriai eloszlású, X 1, X 2,... pedig λ paraméter exponenciális eloszlásúak. Bizonyítsuk be, hogy N i=1 X i is exponenciális eloszlású! 20. Mi a kapcsolat az alábbi eloszláscsaládok között? (a) Bernoulli, binomiális és Poisson; (b) geometriai és negatív binomiális; (c) exponenciális, χ 2 és Gamma; (d) Student és Cauchy. 21. Legyen X egy (α, λ), Y pedig (β, λ) paraméter Gamma eloszlású, egymástól független valószín ségi változó. Igazoljuk, hogy X/Y egy (α, β) paraméter másodfajú Béta eloszlású valószín ségi változó, amely s r ségfüggvénye f(x) = Γ(α + β) Γ(α)Γ(β) x α 1 (x + 1). α+β 22. Legyen X egy (α, β) paraméter másodfajú Béta eloszlású valószín ségi változó. Igazoljuk, hogy (a) 1 valószín ségi változó (β, α) paraméter másodfajú Béta eloszlású! X (b) X 1+X (c) 1 1+X valószín ségi változó (α, β) paraméter Béta eloszlású! valószín ségi változó (β, α) paraméter Béta eloszlású! 23. Legyen X 1,..., X n, X n+1,..., X n+m exp(λ) fae valószín ségi változók. (a) Milyen eloszlású n i=1 X i? (b) Igazoljuk, hogy Z = n i=1 X i n+m i=n+1 X i statisztika (n, m) paraméter másodfajú Béta eloszlású!

5 1. ELŽISMERETEK 5 (c) Igazoljuk, hogy n i=1 X i n+m i=1 X = i /Z Beta(n, m). 24. Mi a kapcsolat a Student, F és Béta eloszláscsaládok között? 25. Legyenek X 1,..., X n N (0, 1) és Y 1,..., Y m N (0, 1) független változók, továbbá T 2 n := X X 2 n és T 2 m := Y Y 2 m. (a) Határozzuk meg X 2 1 s r ségfüggvényét! (b) Mutassuk meg, hogy T 2 n statisztika egy n szabadságfokú χ 2 (n) = Gamma(n/2, 1/2) eloszlású valószín ségi változó. (c) Bizonyítsuk be, hogy statisztika Student eloszlású! (d) Bizonyítsuk be, hogy Z n := Y 1 T 2 n /n Z n,m := mt n 2 ntm 2 statisztika (n, m) szabadságfokú F eloszlású! Az (n, m) szabadságfokú F eloszlás s r ségfüggvénye: f n,m (z) = nγ ( ) n+m 2 mγ ( ) ( n 2 Γ m ) 2 ( n z) n 2 1 m ( n+m. 1 + n 2 z) m 26. Legyen X 1,..., X n+m független standard normális eloszlású változók. Bizonyítsuk be, hogy n i=1 Z n,m := X2 i n+m i=1 X2 i statisztika (n/2, m/2) paraméter béta eloszlású! 27. (a) Adjuk meg X n határeloszlását (n ), ha X n egy n szabadságfokú Stundent eloszlású valószín ségi változó, amely s r ségfüggvénye g n (x) = Γ ( ) n+1 ) n+1 2 ( πn Γ n ) (1 + x2 2, (x > 0). n 2

6 1. ELŽISMERETEK 6 (b) Adjuk meg Xn n n határeloszlását (n ), ha X n egy n szabadságfokú χ 2 eloszlású valószín ségi változó, amely s r ségfüggvénye f n (x) = x n 2 1 e x 2, (x > 0). 2 n 2 Γ( n ) * Legyen X 1,..., X n N (0, 1) fae változók, továbbá T := X X 2 n. (a) Legyen Z 1 := X 1 /T. Bizonyítsuk be, hogy Z 2 1 és T 2 is függetlenek! (b) Legyen Z := X/T. Bizonyítsuk be, hogy Z és T 2 is függetlenek! 29. Legyenek X 1,..., X n χ 2 (m) fae változók. Milyen eloszlású X X n?

7 2. Statisztikai alapfogalmak 1. Az 1. táblázat néhány diák testsúlyát és magasságát tartalmazza testsúly (kg) magasság (cm) táblázat. (a) Adjuk meg a testsúly empirikus eloszlásfüggvényét! (b) Adjuk meg a testsúly tapasztalati mediáját! (c) Határozzuk meg a testsúly empirikus várható értékét, empirikus szórását és korrigált empirikus szórását! (d) Határozzuk meg a testsúly és testmagasság empirikus kovarianciáját! (e) Adjuk meg az empirikus korrelációt! Jellemezzük a kapcsolat szorosságát! 2. Igazoljuk, hogy a tapasztalati korreláció 1 és 1 közé esik. Mikor teljesül valamelyik egyenl ség? 3. Legyen X 1,..., X n független, p paraméter Bernoulli eloszlásból vett statisztikai minta. (a) Milyen eloszlású n i=1 X i? (b) Adjuk meg a k-adik empirikus (tapasztalati) momentum eloszlását! (c) Adjuk meg a második empirikus (tapasztalati) centrális momentum eloszlását! 4. Legyen X 1,..., X n független, λ 1,..., λ n paraméter Poisson eloszlásból vett minta. (a) Milyen eloszlású n i=1 X i? (b) Adjuk meg X eloszlását!

8 2. STATISZTIKAI ALAPFOGALMAK 8 5. Legyen X 1,..., X n N (µ, σ 2 ) független minta. Milyen eloszlású X? (Adjuk meg a várható értéket és a szórásnégyzetet is!) 6. Legyen X 1,..., X n U( 1, 1) független minta. Aszimptotikusan milyen eloszlású n X? 7. Legyen X 1,..., X n független minta f(x) = 1 2 e 2 x s r ségfüggvénnyel. Aszimptotikusan milyen eloszlású n X? 8. Legyen X 1,..., X n független, λ paraméter exponenciális eloszlásból vett minta. Milyen eloszlású X? 9. Legyen X 1,..., X n+1 független, λ paraméter exponenciális eloszlásból vett minta, továbbá Y k := X X k, ahol k = 1,..., n + 1. (a) Bizonyítsuk be, hogy az Y 1,..., Y n valószín ségi változók együttes eloszlása amellett a feltétel mellett, hogy Y n+1 = θ, éppen a [0, θ] intervallumon egyenletes eloszlás rendezett mintájának az eloszlása. (b) Bizonyítsuk be, hogy az Y k /Y n+1 eloszlása éppen a [0, 1] intervallumon egyenletes eloszlás k-adik rendezett mintaelemének az eloszlása. (c) Bizonyítsuk be, hogy az Y 1 /Y n+1,..., Y n /Y n+1 valószín ségi változók együttes eloszlása éppen a [0, 1] intervallumon egyenletes eloszlás rendezett mintájának az együttes eloszlása. 10. Legyen X 1 <... < X n a [0, 1] intervallumon egyenletes eloszlásból vett rendezett minta. (a) Igazoljuk, hogy X 1,..., X n nem függetlenek! (b) Igazoljuk, hogy 1 X n,..., 1 X 1 szintén a [0, 1] intervallumon egyenletes eloszlásból vett rendezett minta! (c) Milyen eloszlású Xk+1 X k, ahol 1 k < n? 11. Legyen X 1,..., X n független, az [a, b] intervallumon egyenletes eloszlásból vett minta, X 1 <... < X n pedig a bel le gyártott rendezett minta. Adjuk meg X k eloszlás- és s r ségfüggvényét, valamint várható értékét! 12. Legyen X 1,..., X n független minta az F (x) = x (0 < x < 1) eloszlásfüggvénnyel. Adjuk meg X k s r ségfüggvényét!

9 2. STATISZTIKAI ALAPFOGALMAK Legyen X1 <... < Xn a [0, 1] intervallumon egyenletes eloszlásból vett rendezett minta, és Y1 <... < Yn az el z t l független, szintén a [0, 1] intervallumon egyenletes eloszlásból vett rendezett minta. Adjuk meg Xk Y k s r ségfüggvényét (1 k n)! 14. Legyen X 1,..., X n a λ paraméter exponenciális eloszlásból vett rendezett minta. (a) Adjuk meg a k-adik (1 k n) mintaelem eloszlás- és s r ségfüggvényét! (b) Milyen eloszlású Xk+1 X k, ahol 1 k < n? 15. Legyen X 1,..., X n független, a (θ 1, θ + 1 ) intervallumon egyenletes 2 2 eloszlású minta. Legyen T (X) = X 1 + Xn. 2 Határozzuk meg T (X) eloszlásfüggvényét! 16. Igazoljuk, hogy ha n > 1, akkor T (X) = X 1 semmilyen paraméterre sem elégséges! 17. Igazoljuk, hogy a rendezett minta minden paraméterre elégséges statisztika! 18. Elégséges statisztika-e θ paraméterre L θ (X) (ahol L θ a likelihood-függvény)? 19. Legyenek X 1,..., X n független, λ paraméter Poisson eloszlású valószín ségi változók. (a) Igazoljuk, hogy X elégséges statisztika a λ paraméterre! (b) Adjunk a λ paraméterre a fentit l különböz elégséges statisztikát! 20. Legyen X 1,..., X n független, λ paraméter exponenciális eloszlásból vett statisztikai minta. (a) Igazoljuk, hogy n i=1 X i elégséges statisztika a λ paraméterre! (b) Adjunk a λ paraméterre a fentit l különböz elégséges statisztikát! 21. Legyen X 1,..., X n független, p paraméter geometriai eloszlásból vett minta. Adjunk p paraméterre elégséges statisztikát!

10 2. STATISZTIKAI ALAPFOGALMAK Legyen X 1,..., X n független, (5, p) paraméter binomiális eloszlásból vett minta. Adjunk p paraméterre elégséges statisztikát! 23. X 1,..., X n független, (3, p) paraméter negatív binomiális eloszlásból vett minta. Adjunk az p paraméterre elégséges statisztikát! 24. X 1,..., X n független, θ = (r, p) paraméter negatív binomiális eloszlásból vett minta. A θ paraméterre elégséges statisztika-e a mintaátlag? 25. Legyen X 1,..., X n független, (2, λ) paraméter Gamma eloszlásból vett statisztikai minta. Adjunk λ paraméterre elégséges statisztikát! 26. Legyen X 1,..., X n független, (α, 2) paraméter Gamma eloszlásból vett statisztikai minta. Adjunk α paraméterre elégséges statisztikát! 27. Legyen X 1,..., X n független, θ = (α, λ) paraméter Gamma eloszlásból vett statisztikai minta. Adjunk θ paraméterre elégséges statisztikát! 28. Legyen X 1,..., X n független N (µ, 1) eloszlásból vett minta. Adjunk µ-re elégséges statisztikát! 29. Legyen X 1,..., X n független, m szabadságfokú χ 2 eloszlásból vett statisztikai minta. Adjunk m-re elégséges statisztikát! 30. Legyen X 1,..., X n független, θ = (a, b) paraméter Béta eloszlásból vett statisztikai minta. Adjunk θ paraméterre elégséges statisztikát! 31. Legyen X 1,..., X n független N (0, σ 2 ) eloszlásból vett minta. Adjunk σ 2 -re elégséges statisztikát! 32. Legyen X 1,..., X n független N (µ, σ 2 ) eloszlásból vett minta. Adjunk (µ, σ 2 ) paraméterre elégséges statisztikát! 33. Legyen X 1,..., X n független, azonos eloszlásból vett minta az f θ (x) = θx θ 1 (0 < x < 1) s r ségfüggvénnyel. Adjunk a θ-ra elégséges statisztikát! 34. Legyen X 1,..., X n független, azonos eloszlású minta az f α (x) = 2αx(1 x 2 ) α 1 (0 < x < 1) s r ségfüggvénnyel. Adjunk a α-ra elégséges statisztikát! 35. Legyenek X 1,..., X n független, a [0, θ] intervallumon egyenletes eloszlásból vett minta! Igazoljuk, hogy X n a θ paraméterre elégséges statisztika!

11 2. STATISZTIKAI ALAPFOGALMAK Legyenek X 1,..., X n független, a [ α, α] intervallumon egyenletes eloszlásból vett minta! Adjunk a α-ra elégséges statisztikát!

12 3. Becsléselmélet 1. Tekintsünk egy 0 várható érték 1 szórásnégyzet eloszlást. Hány mintaelem kell a várható érték becsléséhez, hogy P( X > 0,1) < 0,1 legyen, ha (a) a Csebisev egyenl tlenséget alkalmazzuk? (b) a centrális határeloszlástételt alkalmazzuk? 2. Tegyük fel, hogy T statisztika torzítatlan becslése θ paraméternek. Tekintsünk egy tetsz leges S statisztikát. Igaz-e, hogy E(T S) is torzítatlan becslése θ-nak? 3. Legyen X valószín ségi változó, amelynek létezik a szórása. (a) Tegyük fel, hogy ismert az E(X) = θ várható érték. Igazoljuk, hogy S 2 1 = 1 n n i=1 (X i θ) torzítatlan becslése a szórásnégyzetnek! Mit mondhatunk a konzisztenciáról? (b) Az (a) pont segítségével igazoljuk, hogy S 2 n = 1 n n i=1 (X i X) empirikus szórásnégyzet nem torzítatlan becslése a szórásnégyzetnek! Készítsünk segítségével torzítatlan becslést! 4. Legyen X 1,..., X n független, p paraméter geometriai eloszlású minta, továbbá legyen Y = X X n. Torzítatlan becslése-e p-nek n 1 Y 1? 5. Legyen X 1,..., X n független, a [θ + 1, θ 1 ] intervallumon egyenletes 2 2 eloszlású minta. (a) X torzítatlan becslése-e θ-nak? Ha nem, készítsünk segítségével torzítatlan becslést! (b) Xn 1 torzítatlan becslése-e θ-nak? Ha nem, készítsünk segítségével torzítatlan 2 becslést! (c) Igazoljuk, hogy X és Xn 1 is (gyengén illetve er sen is) konzisztens 2 becslései θ-nak! 6. Legyen X 1,..., X n független, a [0, θ] intervallumon egyenletes eloszlású minta. (a) Igazoljuk, hogy 2X torzítatlan becslés θ-ra!

13 3. BECSLÉSELMÉLET 13 (b) Mivel a θ/2-re szimmetrikus az eloszlásunk, a medián egybeesik a várható értékkel. Tegyük fel, hogy n páratlan, és készítsünk a tapasztalati medián segítségébel torzítatlan becslést θ-ra! (c) X 1 torzítatlan becslése-e θ-nak? Ha nem, készítsünk segítségével torzítatlan becslést! (d) X 1 torzítatlan becslése-e θ-nak? Ha nem, készítsünk segítségével torzítatlan becslést! (e) X n torzítatlan becslése-e θ-nak? Ha nem, készítsünk segítségével torzítatlan becslést! (f) A fenti becslések közül melyik konzisztens? (g) Számítsuk ki és hasonlítsuk össze a fenti torzítatlan becslések szórásnégyzetét! Melyik a leghatásosabb? (h) Teljesül-e az I n (θ) = ni 1 (θ) összefüggés? Teljesül-e minden esetben a Cramér-Rao egyenl tlenség? (i) Igazoljuk, hogy X n elégséges statisztika θ-ra. Segítségével blackwellizáljuk a fenti torzítatlan becsléseket! 7. Legyen X 1,..., X n független, a [ θ, θ] intervallumon egyenletes eloszlású minta. (a) Adjunk θ-ra torzítatlan becslést a rendezett minta segítségével! (b) Adjunk θ-ra torzítatlan becslést X segítségével! (c) Konzisztensek-e a fenti becslések? 8. Legyenek X 1, X 2, X 3 rendre N (µ, 1), N (µ, 4), N (µ, 1/4) eloszlású független mintaelemek. (a) Milyen a, b, c értékekre lesz ax 1 + bx 2 + cx 3 torzítatlan becslése µ-nek? (b) Milyen a, b, c választással kapjuk meg a leghatásosabb becslést a torzítatlanok közül? 9. Tekintsük az X 1,..., X n független, p paraméter Bernoulli eloszlású mintát és számítsuk ki a Fisher-információját! Tekintsük az Y 1,..., Y n független mintát is, amely háttérváltozója p valószín séggel 1, 1 p valószín séggel 1 értéket vesz fel. Számítsuk ki ennek is a Fisherinformációját és vessük össze az el bb meghatározott információval!

14 3. BECSLÉSELMÉLET Legyen X 1,..., X n független, p paraméter Bernoulli eloszlású minta. (a) Számítsuk ki D 2 p(x)-ot is! Mit mondhatunk a CramérRao-egyenl tlenség alapján? (b) Szeretnénk p-re torzítatlan becslést adni. Mekkora legyen n, ha azt szeretnénk, hogy becslésünk szórása ne haladja meg 0,03-at p bármely értéke esetén sem? (c) Adjunk p-re er sen konzisztens becslést! (d) Adjunk X 1 és X 2 függvényeként T torzítatlan becslést p(1 p)-re! Adjunk elégséges statisztikát p-re, majd adjunk a Rao-Balckwell- Kolmogorov tétel segítségével legalább olyan hatásos becslést p(1 p)-re, mint T! 11. Legyen X 1,..., X n egy λ, Y 1,..., Y n pedig 4λ paraméter Poisson eloszlásból vett független minta. Milyen a és b értékekre lesz ax +by torzítatlan becslése λ-nak? Melyik a és b választással kapjuk ezek közül a leghatásosabb becslést? 12. Legyen X 1,..., X n független, λ paraméter exponenciális eloszlású minta. (a) Számoljuk ki a minta Fisher-információját! (b) 1/X nem torzítatlan becslése a λ paraméternek. Készítsünk segítségével ˆη torzítatlan becslést és számoljuk ki ˆη szórásnégyzetét! (c) Az X elégséges statisztika segítségével blackwellizáljuk a fenti torzítatlan becslést! (Ismert, hogy az így kapott becslés hatásos becslése λ-nak. Ellentmond-e ez a CramérRao egyenl tlenségnek?) (d) 1/X konzisztens becslése-e λ paraméternek? (e) Mutassuk meg, hogy 1 n n i=1 I(X i 1) torzítatlan és konzisztens becslése e λ -nak, de nem éri el az e λ -ra vonatkozó információs határt! 13. Legyen X 1,..., X n független, (2, λ) paraméter Gamma eloszlású minta. (a) Torzítatlan becslése-e X 1 statisztika a 1/λ-nak? Ha nem, készítsünk segítségével torzítatlan becslést! (b) Torzítatlan becslése-e 1/X 1 statisztika a λ paraméternek? Ha nem, készítsünk segítségével torzítatlan becslést!

15 3. BECSLÉSELMÉLET 15 (c) Torzítatlan becslése-e 1/X statisztika a λ paraméternek? Ha nem, készítsünk segítségével torzítatlan becslést! (d) Igazoljuk, hogy n i=1 X i elégséges statisztika a λ paraméterre! Segítségével blackwellizáljuk a fenti torzítatlan becsléseket! 14. Legyen X 1,..., X n N (µ, 1) független minta. (a) Igazoljuk, hogy X 1 torzítatlan, de nem konzisztens becslése µ-nek! Mit mondhatunk a CramérRao-egyenl tlenség alapján? (b) Számítsuk ki a minta Fisher-információját! Számítsuk ki D 2 µ(x)- ot is! Igazoljuk, hogy X hatásos becslése µ-nek! (c) Torzítatlan becslése-e µ 2 -nek X 1 X 2? Mennyi a szórásnégyzete? Mondhatunk-e valamit a CramérRao-egyenl tlenség alapján? (d) Torzítatlan becslése-e µ 2 -nek X 2? Ha nem, tegyük azzá, és számítsuk ki a szórásnégyzetét! 15. Legyen X 1,..., X n N (0, σ 2 ) független minta. (a) Igazoljuk, hogy S 2 1 = 1 n n i=1 X2 i hatásos becslése σ 2 -nek! (b) Igazoljuk, hogy a korrigált empirikus szórásnégyzet nem hatásos becslése a σ 2 paraméternek! 16. Válasszunk a {1, 2,..., θ} halmazból egymástól függetlenül találomra n darab számot. Vegyük θ maximum likelihood becslését! Torzítatlan-e? Konzisztens-e? Adjunk becslést a momentumok módszerével is! 17. Legyen X 1,..., X n független, λ paraméter Poisson eloszlású minta. (a) Vegyük λ maximum likelihood becslését! Minden realizáció mellett létezik-e ML becslés? (b) Igazoljuk, hogy a maximum likelihood módszerrel kapott becslés torzítatlan és számítsuk ki a szórásnégyzetét! Mit mondhatunk a CramérRao-egyenl tlenség alapján? (c) Igazoljuk, hogy X 1 is torzítatlan becslése λ-nak! Az X elégséges statisztika (ld. 2. feladatsor 19.(a) feladat) segítségével blackwellizáljuk az X 1 becslést! (d) Torzítatlan becslése-e λ-nak az empirikus szórásnégyzet? Ha nem, tegyük azzá! Hatásos becslést kapunk-e így?

16 3. BECSLÉSELMÉLET 16 (e) A fenti becslések közül melyik konzisztens? 18. Legyen X 1,..., X n Bin(5, p). (a) Vizsgáljuk meg a maximum likelihood és a momentumok módszerével kapott becslések torzítatlanságát és hatásosságát! (b) Számítsuk ki a minta Fisher-információját! 19. A kékbálnaállomány becslésére a következ módszert alkalmazták: néhány napon át kb. 30 cm hosszú fémhengereket l ttek be a bálnák zsírpárnájába, közvetlenül a b r alá. Feljegyezték, hogy hány bálnát jelöltek meg (M). Ezután felszólították a bálnahalászhajókat, hogy adják meg, hány bálnát fogtak (n), s azok közt hány volt megjelölve (k). Adjunk maximum likelihood becslést a bálnák N számára! 20. Egy céllöv p valószín séggel talál el egy célpontot egy lövésb l. Adjunk maximum-likelihood becslést p-re, ha (a) a céllöv n kísérletb l k találatot ért el! (b) az els találat k-adikra következett be! 21. Adjunk becslést a negatív binomiális eloszlás paramétereire momentumok módszerével! 22. Tekintsünk az [1, Θ] intervallumon egyenletes eloszlásból származó mintát! Adjunk maximum likelihood becslést Θ-ra az x 1,..., x n realizáció segítségével! 23. Legyen X 1,..., X n független, a [0, θ] intervallumon egyenletes eloszlású minta. Adjunk maximum likelihood becslést θ-ra, majd a kapott becslést tegyük torzítatlanná! 24. Tekintsünk az [ Θ, Θ] intervallumon egyenletes eloszlásból származó n elem mintát! Adjunk becslést Θ-ra maximum likelihood elv és momentumok módszere segítségével is! 25. Határozzuk meg egy ismeretlen helyzet 1 hosszúságú intervallum felez pontjának maximum likelihood becslését! Adjunk becslést a momentumok módszerével is!

17 3. BECSLÉSELMÉLET Tekintsünk egy n elem független, λ paraméter exponenciális eloszlású mintát. Az x 1,..., x n realizáció segítségével adjunk maximum likelihood becslést λ-ra! Adjunk becslést a momentumok módszerével is! 27. Egy alkatrész élettartama exponenciális eloszlású η/t paraméterrel, ha t h mérsékleten m ködtetjük. (a) Hogyan függ a várható élettartam a t h mérséklett l? (b) Tegyük fel, hogy n meggyelést különböz t 1, t 2,..., t n h mérsékleten végeztünk és x 1, x 2,..., x n élettartamot gyeltünk meg. Adjunk maximum likelihood becslést η-ra! 28. Legyen X 1,..., X n Gamma(α, λ) független minta. (a) Tegyük fel, hogy α ismert. Adjunk maximum likelihood becslést λ-ra! (b) * Adjunk maximum likelihood becslést a két paraméterre! (A Ψ(x) = d log Γ(x) = Γ (x) digamma függvényt tekinthetjük ismertnek.) dx Γ(x) 29. Tekintsünk egy n elem független, N (µ, σ 2 ) eloszlású mintát. Az x 1,..., x n realizáció segítségével adjunk maximum likelihood becslést θ = (µ, σ 2 )- re! Adjunk becslést a momentumok módszerével is! 30. Legyen f α (x) = { 2α x(1 x 2 ) α 1, ha 0 < x < 1, 0 különben ahol α > 0 ismeretlen paraméter. Tekintsünk egy n elem független mintát közös f α (x) s r ségfüggvénnyel. Az x 1,..., x n realizáció segítségével adjunk maximum likelihood becslést α-ra! 31. Legyen f α (x) = { θx θ 1, ha 0 x 1, 0 különben ahol θ > 0 ismeretlen paraméter. Tekintsünk egy n elem független mintát közös f α (x) s r ségfüggvénnyel. Az x 1,..., x n realizáció segítségével adjunk θ-ra maximum likelihood becslést, illetve adjunk becslést a momentumok módszerével is!

18 3. BECSLÉSELMÉLET Legyen f ϑ (x) = { 2ϑ 2 x 3, ha x ϑ, 0 különben ahol ϑ > 0 ismeretlen paraméter. Tekintsünk egy n elem független mintát közös f ϑ (x) s r ségfüggvénnyel. Az x 1,..., x n realizáció segítségével adjunk maximum likelihood becslést ϑ-ra! 33. Legyen 3x 2, ha η x η, f η (x) = 2η3 0 különben ahol (η > 0) ismeretlen paraméter. Tekintsünk egy n elem független mintát közös f η (x) s r ségfüggvénnyel. Az x 1,..., x n realizáció segítségével adjunk maximum likelihood becslést η-ra!, 34. Tekintsük az p a p, ha x a, f a,p (x) = xp+1 0 különben s r ségfüggvény Pareto-eloszlást, ahol a, p > 0 paraméterek. Az x 1,..., x n realizáció segítségével adjunk maximum likelihood becslést θ = (a, p)- re! Tegyük fel, hogy p > 2. Adjunk becslést θ-ra a momentumok módszerével! 35. Legyen X 1,..., X n független minta az f α,β (x) = αe α(x β) (x β) s r ségfüggvény eloszlásból (α pozitív, β valós). Adjuk becslést (α, β)- ra maximum likelihood módszerrel, illetve momentumok módszerével! 36. Tekintsünk egy kételem független, (µ, 1) paraméter Cauchy eloszlású mintát! A (µ, σ) paraméter Cauchy eloszlás s r ségfüggvénye: f µ,σ (x) = σ π(σ 2 + (x µ) 2 ). (a) Adjunk maximum likelihood becslést µ-re az x 1, x 2 realizáció segítségével! (b) Tudunk-e becslést adni momentumok módszerével? Használjuk ki, hogy 1-nél kisebb momentumok is léteznek!

19 3. BECSLÉSELMÉLET Legyen X 1,..., X n független, [a, b] intervallumon egyenletes eloszlású minta. Adjunk becslést (a, b)-re a momentumok módszerével! Adjunk maximum likelihood becslést is! 38. Legyen X 1,..., X n P oisson(λ) független minta. Legyen Y i = (X i X) 2. Adjunk becslést λ-ra az Y 1,..., Y n minta alapján momentumok módszerével! Számítsuk ki a kapott becslés szórását! 39. Legyen X 1,..., X n N (µ, σ 2 ) független minta. Szerkesszünk 1 ε megbízhatósági szint kondencia intervallumot µ-re ismert és ismeretlen szórás esetén is! Használjuk segítségül µ torzítatlan, konzisztens becslését! Hogyan változik az intervallum hossza a mintaelemszám növelésével? 40. Legyen X 1,..., X n N (µ, σ 2 ) független minta. Adjunk 1 ε megbízhatósági szint kondencia intervallumot σ-ra (a) X µ σ/, (b) ns2 n n σ 2 segítségével! 41. Tekintsük az 1. táblázat adatait. (a) Feltételezzük, hogy a testsúly normális eloszlást követ 15 kg szórással. Adjunk 95%-os kondencia intervallumot a testsúly várható értékére! (b) Feltételezzük, hogy a testmagasság normális eloszlást követ. Adjunk meg egy olyan intervallumot, amely a magasság várható értékét 0,99 valószín séggel tartalmazza! (c) Adjunk egy 95%-os kondencia intervallumot a magasság szórására! (d) Mit mondhatunk, ha nem tesszük fel a testsúlyról és a testmagasságról, hogy normális eloszlásúak? 42. Egy cukorgyárban kockacukrokat gyártanak. Tegyük fel, hogy a cukrok élhossza közelít leg normális eloszlású. Megmérjük 16 cukor élhosszúságát. Az adatok átlaga 10,06 mm, tapasztalati szórása 0,46 mm. Adjunk 95% megbízhatósági szint kondencia intervallumot µ 3 -re (azaz egy átlagos kockacukor térfogatára)! 43. Legyenek X 1,..., X n N (µ 1, σ 2 ) és Y 1,..., Y m N (µ 2, σ 2 ) független minták. Adjunk 1 ε szint kondencia intervallumot µ 1 µ 2 -re X Y segítségével!

20 3. BECSLÉSELMÉLET Legyenek X 1,..., X n N (µ 1, σ 2 1) és Y 1,..., Y m N (µ 2, σ 2 2) független minták. Adjunk 1 ε szint kondencia intervallumot σ 1 /σ 2 -re! 45. Legyen X 1,..., X n független, a [0, θ] intervallumon egyenletes eloszlásból vett minta. Adjunk 1 ε megbízhatósági szint kondencia intervallumot θ-ra (a) X 1 + X 2, (b) X n segítségével! 46. Legyen X 1,..., X n független, λ paraméter Poisson eloszlású minta. Adjunk λ-ra 1 ε megbízhatósági szint kondencia intervallumot (a) n i=1 X i segítségével! (b) a Csebisev-egyenl tlenség felhasználásával! (c) a centrális határeloszlás-tétellel! 47. Legyen X 1,..., X n független, λ paraméter exponenciális eloszlású minta. Adjunk λ-ra 1 ε megbízhatósági szint kondencia intervallumot (a) n i=1 X i segítségével! (b) a Csebisev-egyenl tlenség felhasználásával! (c) a centrális határeloszlás-tétellel! 48. Végezzünk el n-szer egy kísérletet, legyen az A esemény bekövetkezéseinek száma K n. Szerkesszünk 1 ε megbízhatósági szint kondencia intervallumot p = P(A)-ra n = 10 és n = esetén is! 49. Legyen X 1,..., X n független, a (θ 1/2, θ + 1/2) intervallumon egyenletes eloszlású minta. Adjunk 1 ε megbízhatósági szint kondencia intervallumot θ-ra T (X) = (X 1 + X n)/2 segítségével! Használjuk fel a 2. feladatsor 15. feladatát! 50. Legyen X egy egyelem minta, s r ségfüggvénye e θ x, ha x > θ. Szerkesszünk 1 ε megbízhatósági szint kondencia intervallumot a θ paraméterre X segítségével!

21 4. Hipotézisvizsgálat 1. Legyen X 1,..., X n N (µ, σ 2 ) független minta. Tekintsük a H 0 : σ = σ 0 és H 1 : σ < σ 0 hipotéziseket, és azt a próbát, amelyre X k = {x : ns 2 n/σ 2 0 > c} (S 2 n = 1 n n i=1 (X i X) 2 az empirikus szórásnégyzet). Torzítatlan-e az adott próba? 2. Legyen X 1,..., X n független, λ paraméter exponenciális eloszlású minta. (a) Konstruáljunk ε terjedelm próbát H 0 : λ = λ 0 és H 1 : λ λ 0 hipotézisekre X 1 segítségével! (b) Konstruáljunk ε terjedelm próbát H 0 : λ = λ 0 és H 1 : λ λ 0 hipotézisekre 1/X alapján! (c) A fenti próbák közül melyik konzisztens? 3. Valódi (θ) selejtarányra szeretnénk min ségellen rzést. Vegyünk egy n = 25 elem független Bernoulli-mintát: X 1,..., X n. Konstruáljunk ε terjedelm (randomizált) próbát a H 0 : θ = θ 0 és H 1 : θ > θ 0 választáshoz! Határozzuk meg a másodfajú hibát! 4. Legyen X 1 egy egyelem, p paraméter geometriai eloszlású minta. (a) A H 0 : p = 0,5 vs. H 1 : p = 0,9 esetén a mekkora a terjedelme annak a véletlenített próbának, amelynek er függvénye 0 k 3 Ψ(X 1 ) = 0,5 k = 2? 1 k = 1 Adjuk meg a mádosfajú hiba valószín ségét is! (b) Konstruáljunk pontosan ε terjedelm (randomizált) próbát a H 0 : p = p 0 és H 1 : p < p 0 választáshoz! Torzítatlan-e a konstruált próba? 5. Legyen X 1,..., X n független, λ paraméter exponenciális eloszlású minta. Konstruáljuk meg a H 0 : λ = λ 0 és H 1 : λ = λ 1 egyszer alternatívához tartozó ε terjedelm leger sebb próbát a Neyman-Pearson alaplemma segítségével!

22 4. HIPOTÉZISVIZSGÁLAT X 1,..., X n N (µ, 1) független minta. Konstruáljuk meg a H 0 : µ = µ 0 és H 1 : µ = µ 1 egyszer alternatívához tartozó ε terjedelm leger sebb próbát a Neyman-Pearson alaplemma segítségével! 7. X 1,..., X n N (0, σ 2 ) független minta. Konstruáljuk meg a H 0 : σ = σ 0 és H 1 : σ = σ 1 egyszer alternatívához tartozó ε terjedelm leger sebb próbát a Neyman-Pearson alaplemma segítségével! 8. 5 elem mintát feltételezve konstruáljuk meg a Bernoulli-eloszlás p paraméterére vonatkozó H 0 : p = 1/2 és H 1 : p = 1/4 egyszer alternatívához tartozó pontosan 0,2 terjedelm, leger sebb próbát! 9. Legyen X 1,..., X n független, p paraméter geometriai eloszlású minta. Konstruáljuk meg a H 0 : p = p 0 és H 1 : p = p 1 egyszer alternatívához tartozó pontosan ε terjedelm, leger sebb próbát! 10. Írjuk fel a likelihood-hányados próba statisztikáját, ahol (a) X geom(p) és H 0 : p = p 0 vs H 1 : p p 0. (b) X P oisson(λ) és H 0 : λ = λ 0 vs H 1 : λ λ 0. (c) X exp(λ) és H 0 : λ = λ 0 vs H 1 : λ λ 0. (d) X U(a, b) és H 0 : b = b 0 vs H 1 : b b 0. (e) Teljesülnek-e a fenti esetekben a regularitási feltételek? 11. Legyen X 1,..., X n N (µ, σ 2 ) független minta, mindkét paraméter ismeretlen (n elegend en nagy). Legyen H 0 : σ = 1 és H 1 : σ 1. Konstruáljunk ezekhez 0,05 terjedelm likelihood-hányados próbát! 12. Legyenek X 1,..., X n N (µ 1, σ 2 ) és Y 1,..., Y m N (µ 2, σ 2 ) független minták. (a) Írjuk fel a H 0 : σ = σ 0 és H 1 : σ σ 0 hipotézisekhez konstruált likelihood-hányados próba statisztikáját! (b) Írjuk fel a H 0 : µ 1 = µ 2 és H 1 : µ 1 µ 2 hipotézisekhez konstruált likelihood-hányados próba statisztikáját, ha σ ismert! (c) Írjuk fel a H 0 : µ 1 = µ 2 és H 1 : µ 1 µ 2 hipotézisekhez konstruált likelihood-hányados próba statisztikáját, ha σ ismeretlen!

23 4. HIPOTÉZISVIZSGÁLAT Az 1. táblázatbeli adatok alapján Teszteljük azt a nullhipotézist, hogy a testsúly várható értéke 45 kg, ha (a) a szórás ismeretlen! (b) a szórás 15 kg! (c) Fel kell-e tennünk a normalitást? 14. Igazoljuk, hogy az ε terjedelm (kétoldali) u-próba pontosan akkor fogadja el a nullhipotézist, ha µ 0 benne van az X segítségével µ-re szerkesztett 1 ε szint kondencia intervallumban! 15. Legyen X 1,..., X n N (µ, σ 2 0) független minta, (σ 0 ismert). Legyen H 0 : µ = µ 0 és H 1 : µ µ 0. Konstruáljunk ezekhez 0,05 terjedelm likelihood-hányados próbát! Vessük össze a kapott próbát az u-próbával (két- és egyoldali változatával is)! 16. Legyen (X 1, Y 1 ),... (X n, Y n ) N (m, C), ahol ( σ m 2 = (µ 1, µ 2 ) és C = σ2 2 ). Alkalmazzunk önkontrollos vizsgálatot a H 0 : µ 1 = µ 2 vs H 1 : µ 1 µ 2 hipotézisek vizsgálatára ismert szórások esetén, és vessük össze a kapott tesztet a kétmintás u-próba kétoldali változatával! 17. Legyen X 1,..., X n N (µ, σ 2 ) független minta. Tekintsük a t-próba statisztikáját: t(x) = X µ 0 S n/ n és a következ (likelihood-hányados próbához tartozó) statisztikát: ( n j=1 λ n (X) = (X ) j X) 2 n/2 n j=1 (X. j µ 0 ) 2 Igazoljuk, hogy ( ) n/2 1 λ n (X) =. 1 + t2 (X) n 1 Mutassuk meg, hogy ez azt jelenti, hogy a fenti likelihood-próba a t- próba kétoldali változatával ekvivalens!

24 4. HIPOTÉZISVIZSGÁLAT Határozzuk meg az egyoldali u-próba er függvényét! Igazoljuk, hogy a próba torzítatlan és konzisztens is! Hogyan változik a próba ereje, ha (a) ε, (b) θ θ 0, (c) n n? 19. Ha kétdimenziós normális eloszlású mintánk van, ahol a komponensek függetlenek, azonos szórásúak, akkor a komponensek várható értékeinek egyenl ségének tesztelésére a páros és a kétmintás t-próbát is alkalmazhatunk. Írjuk fel a két próba er függvényt! Ha az empirikus kovariancia 0, mondhatjuk-e, hogy a kétmintás t-próba er sebb? 20. Egy, az 1. táblázatbelit l különböz csoportban a diákok magassága rendre 176, 165, 145, 177, 155, 175, 164, 166, 148, 163, 145, 161, 170 cm. Azt a nullhipotézist szeretnénk tesztelni, hogy a két csoport magasságának várható értéke megegyezik. Alkalmazható-e a kétmintás t- próba? Ha igen, alkalmazzuk, ha nem, milyen próbát használhatunk helyette? 21. Egy dobókockával n = 1200-szor dobunk. Az egyes oldalak gyakoriságai: ν 1 = 184, ν 2 = 212, ν 3 = 190, ν 4 = 208, ν 5 = 212, ν 6 = 194. Teszteljük 90%-os szignikancia-szinten azt a nullhipotézist, hogy a dobókocka szabályos! Hogyan változik az eredmény, ha n = lenne és ν i -k 10-szereseik? Miért? 22. Tekinthet -e az 1. táblázatban a testsúly normális eloszlásúnak 5%-os szignikancia-szinten? 23. Békéscsabán 80 évig gyelték az októberi középh mérsékletet. Az adatok gyakorisági eloszlása az alábbi: <11 C C C C >14 C Igazolható-e 0,05 szinten az adatok normális eloszlás szerinti megoszlása? Milyen próbát alkalmaznánk, ha ismernénk a 80 év pontos októberi középh mérsékleteit? 24. Egy kísérlet során kiderült, hogy két egyetemi csoportban a úk közül 7-en dohányoznak, 8-an nem. A lányok közül 28 a dohányos és 7 nem az. Hogyan tudnánk ezekb l az adatokból eldönteni, hogy az egyetemisták esetében a úk vagy a lányok között magasabb a dohányzók aránya (5%-os szignikancia-szinten)? Mi itt a nullhipotézis?

25 4. HIPOTÉZISVIZSGÁLAT Egy társaságban 20 dohányzó fér, 10 nemdohányzó fér, 10 dohányzó n és 10 nemdohányzó n van. Teszteljük 5%-os szignikancia-szinten, hogy a nem és a dohányzás függetlenek! 26. Igazoljuk, hogy a függetlenségvizsgálatra vonatkozó χ 2 próba becsléses változata a diszkrét minták homogenitásvizsgálatára vonatkozó χ 2 próba általánosítása! 27. Teszteljük 5%-os szignikancia-szinten azt a nullhipotézist, hogy az 1. táblázatbeli magasságok mediánja 170 cm! 28. Teszteljük 5%-os szignikancia-szinten azt a nullhipotézist, hogy az 1. táblázatbeli magasságok és a 20. feladatbeli adatok azonos eloszlásból származnak! 29. Legyenek X 1,..., X n és Y 1,..., Y n független, 0 mediánú minták. Deniáljuk ɛ i,j -t a következ képpen: { 1, ha Xi < Y j, ɛ i,j = 0 ha X i > Y j. Feltehetjük, hogy P(X i = Y j ) = 0. Számítsuk ki a kétmintás Wilcoxonpróba R = i,j ɛ i,j statisztikájának várható értékét és szórásnégyzetét! 30. Tekintsük az (X 1, Y 1 ),..., (X n, Y n ) mintát és az r sp Spearman-féle rangkorrelációs együtthatót. (a) Igazoljuk, hogy r sp 1 és egyenl ség pontosan akkor teljesül, ha minden i j párra X i X j az Y i Y j, illetve Y i Y j relációt vonja maga után (r sp el jelének megfelel en). (b) Igazoljuk, hogy ha a háttérváltozók függetlenek, akkor E(r sp ) = Legyen X 1, X 2,... N (µ, σ 2 0) független azonos eloszlású minta (σ 0 ismert). Adjunk a H 0 : µ = µ 0 vs. H 1 : µ = µ 1 egyszer alternatíva eldöntésére szekvenciális eljárást (ε 1 els fajú és ε 2 másodfajú hibával)! Adjuk meg a várható lépésszámokat! 32. Legyen X 1, X 2,... B(p) független azonos Bernoulli eloszlású minta. Adjunk a H 0 : p = p 0 vs. H 1 : p = p 1 egyszer alternatíva eldöntésére szekvenciális eljárást (ε 1 els fajú és ε 2 másodfajú hibával)! Adjuk meg a várható lépésszámokat!

26 4. HIPOTÉZISVIZSGÁLAT Legyen X 1, X 2,... exp(λ) független azonos eloszlású minta. Adjunk a H 0 : λ = λ 0 vs. H 1 : λ = λ 1 egyszer alternatíva eldöntésére szekvenciális eljárást (ε 1 els fajú és ε 2 másodfajú hibával)! Adjuk meg a várható lépésszámokat!

27 5. Többváltozós módszerek 1. Igazoljuk, hogy egy többdimenziós normális eloszlású vektorváltozó komponensei pontosan akkor függetlenek, ha páronként korrelálatlanok! 2. Mutassuk meg, hogy ha Y 1,..., Y m független normális eloszlásúak, akkor együttes eloszlásuk m-dimenziós normális! 3. * Adjunk olyan véletlen vektorváltozót, amely komponensei 1-dimenziós normális eloszlásúak, maga nem többdimenziós (és nem is elfajult többdimenziós) normális eloszlású! 4. Legyen Y N d (m, C), ahol C pozitív denit, B pedig egy d d-s nemszinguláris mátrix. Milyen eloszlású X = BY? 5. Legyen X N 2 (m, C). (a) Adjuk meg a komponensek összegének, különbségének eloszlását! (b) Adjuk meg X komponenseinek tetsz leges ax 1 +bx 2 lineáris kombinációjának eloszlását! (c) Adjuk meg X komponenseinek korrelációs mátrixát! (d) Adjuk meg annak a lineáris transzformációnak a mátrixát, amely X véletlen vektort a 2-dimenziós standard normális eloszlásúba viszi át. Egyértelm -e ez a mátrix? 6. Legyenek X i N d (m i, C i ), i = 1,..., n független véletlen vektorok. Adjuk meg n i=1 X i eloszlását! 7. Legyen X egy d dimenziós ún. szimmetrikus normális eloszlású vektor, azaz komponensei azonos eloszlásúak és bármely két komponens kovarianciája ugyanakkora. (a) Határozzuk meg a korrelációs mátrix spektrálfelbontását! (b) Határozzuk meg C 1 -et, ahol C a kovarianciamátrix! (c) Adjuk meg annak a lineáris transzformációnak a mátrixát, amely X véletlen vektort a d-dimenziós standard normális eloszlásúba viszi át. (d) Mutassuk meg, hogy bármely két komponens korrelációja nagyobb mint (1 d) 1.

28 5. TÖBBVÁLTOZÓS MÓDSZEREK * Legyen A és B két n n-es pozitív denit mátrix. Mutassuk meg, hogy elemenkénti szorzatuk is pozitív denit! 9. Mutassuk meg, hogy egy d-dimenziós normális eloszlású vektorváltozó komponensei közül (d >)k-t tetsz legesen kiválasztva azok együttes eloszlása k-dimenziós normális! 10. * Van-e olyan d-dimenziós vektorváltozó, amely nem többdimenziós (és nem is elfajuló többdimenziós) normális, de komponensei közül bárhogy kiválasztva d 1-et azok együttes eloszlása már d 1-dimenziós normális? 11. Mutassuk meg, hogy (X 1, X 2 ) N 2 (0, C) esetén X 2 1/c 1,1 + X 2 2/c 2,2 pontosan akkor χ 2 (2) eloszlású, ha X 1 és X 2 korrelálatlanok! 12. Legyen Y N d (0, C), továbbá A egy d d-s szimmetrikus r rangú mátrix. Igazoljuk, hogy Y AY χ 2 (r) pontosan akkor teljesül, ha ACA = A. 13. Legyen ν = (ν 1,..., ν k ) P oly n (p 1,..., p k ). Igazoljuk, hogy ν i B n (p i ). 14. A polinomiális és χ 2 eloszlások kapcsolatát felhasználva adjuk meg a χ 2 -próbák statisztikáinak aszimptotikus eloszlásainak szabadságfokait! 15. Tekintsük az X = (X 1,..., X n ) mátrixot, amely oszlopvektorai X i N d (0, C), i = 1,..., n fae változók, valamint a W = XX Wishartmátrixot! (a) Milyen eloszlású W? (b) Hogy változik meg W, ha X két oszlopát felcseréljük? (c) Hogy változik meg W, ha X két sorát felcseréljük? (d) Adjunk meg W várható értékét! (e) Milyen eloszlású W k-adik f minora? 16. Legyenek W i W d (n i, C), i = 1,..., k független Wishart-mártixok. Milyen eloszlású k i=1 W i? 17. Legyen W W d (n, C) és a R +. Milyen eloszlású aw?

29 5. TÖBBVÁLTOZÓS MÓDSZEREK Legyen W W d (n, C) és B egy d d-s nemszinguláris mártix. Milyen eloszlású BWB? 19. Legyen W W d (n, I). (a) Milyen eloszlásúak W diagonális elemei? (b) Milyen eloszlású trw? (c) Igazoljuk, hogy W nemdiagonális elemei el állnak két független χ 2 (n) eloszlású változó különbségének konstansszorosaként! 20. Legyen X 1,..., X n N d (m, C) független minta. Milyen eloszlású (a) (X m)(x m)? (b) az empirikus kovarianciamátrix? (c) a korrigált empirikus kovarianciamátrix? 21. Igazoljuk a Steiner-egyenl ség következ többdimenziós változatát: ha x 1,..., x n, v R d, akkor n (x k v)(x k v) = k=1 n (x k x)(x k x) + n(x v)(x v). k=1 22. Legyen X 1,..., X n N d (m, C) független minta. Igazoljuk, hogy Cov(X, X i X) = Legyen X 1,..., X n N (µ, σ 2 ) minta. (a) Adjuk meg az I 1 Fisher-féle információs mátrixot! a kor- (b) Igazoljuk, hogy (X, Sn 2 ) hatásos becslése (µ, σ 2 )-nek (Sn 2 rigált empirikus szórásnégyzet)! 24. Legyen X 1,..., X n U(a, b) független minta. Adjuk meg az I 1 és I n Fisher-féle információs mátrixokat! 25. X 1,..., X n egy d-dimenziós a középpontú b sugarú gömbben egyenletes eloszlásból vett független minta. (a) Adjuk meg az I 1 Fisher-féle információs mátrixot!

30 5. TÖBBVÁLTOZÓS MÓDSZEREK 30 (b) Adjunk maximum likelihood becslést a-ra b = 1 esetben! (c) Adjunk maximum likelihood becslést (a, b)-re! id s embert az orvos két csoportba sorolt aszerint, hogy van-e szenilis faktor a viselkedésükben (I. csoport) vagy sem (II. csoport). Ezután elvégeztettek velük 4 pszichológiai tesztet (1. információ, 2. hasonlóság, 3. aritmetika, 4. képfelismerés), melyekre kapott átlagpontszámok az alábbi táblázatban láthatók: I. (n=37) II. (m=12) 1. 12,57 8, ,57 5, ,49 8, ,97 4,75 Vizsgálja meg, 95%-os szignikanciaszinten elfogadható-e az a nullhipotézis, hogy a két csoport várhatóan nem különbözik szignikánsan a teszteredmények alapján. Feltesszük, hogy az egyes emberek teszteredményei 4-dimenziós normális eloszlást követnek ismeretlen (közös) kovarianciamátrixszal. Az egyesített (49) elem mintából számolt S = S 1 + S 2 mátrix inverze: S 1 = 0,0052 0,0028 0,0012 0,0012 0,0028 0,0038 0,0008 0,0002 0,0012 0,0008 0,0030 0,0004 0,0012 0,0002 0,0004 0, Legyen X 1,..., X n N d (m, C) független minta, ahol C ismert. (a) Adjuk meg az I 1 Fisher-féle információs mátrixot! (b) Igazoljuk, hogy X hatásos becslése m-nek! (Használjuk a Cramér- Rao egyenl tlenség többdimenziós változatát!) (c) Igazoljuk, hogy a H 0 : m = m 0, H 1 : m m 0 hipotézisek vizsgálatára konstruált próba likelihood-hányados teszt! (d) Igazoljuk, hogy az el z pontbeli teszt az u-próba általánosítása!

31 5. TÖBBVÁLTOZÓS MÓDSZEREK atal emberre az A, B, C stimuláló szerek hatását vizsgálták a reakcióid szempontjából (századmásodpercben). X A = 21,05 X B = 21,65 X C = 28,95, S = 45,2 43,6 32,6 43,6 53,2 36,4 32,6 36,4 49,4 95%-os szignikanciaszinten vizsgálja meg az egyenl hatás elvét a B A, C B különbségekre! (Feltesszük, hogy a hatások többdimenziós normális eloszlást követnek, és azt teszteljük, hogy a B és A hatás különbsége, valamint a C és B hatás különbsége mint 2-dimenziós normális eloszlású véletlen vektor 0 várható érték vektorúnak tekinthet e.) Megjegyezzük, hogy valójában a három stimulálószer hatása várható értékének egyenl sége itt a nullhipotézis, azonban meggyeléseink nem független mintákra, hanem ugyanarra a 20 emberre vonatkoznak. Így a javasolt vizsgálat a t-próbánál bevezetett önkontrollos vizsgálat többdimenziós általánosításának tekinthet. 29. Legyen X 1,..., X n N d (m, C) független minta. Vegyük az (m, C) paraméter ( ˆm, Ĉ) = (X, S/n) (maximum likelihood) becsléseit!. (a) Igazoljuk, hogy (X, S) elégséges statisztika (m, C)-re! (b) Torzítatlan becslése-e (X, S/n) az (m, C) paraméternek? Ha nem, korrigáljuk! (c) Mutassuk meg, hogy a (Hotelling-féle) T 2 -próba a t-próba (kétoldali változatának) általánosítása (de az egyoldalinak nem)! (d) Konstruáljunk likelihood-hányados próbát a H 0 : C = C 0 hipotézis tesztelésére! (e) Konstruáljunk ε terjedelm egyenletesen leger sebb próbát a Neyman- Pearson alaplemma segítségével a H 0 : (m, C) = (m 0, C 0 ) vs. H 1 : (m, C) = (m 1, C 0 ) egyszer alternatíva vizsgálatára! 30. Igazoljuk, hogy a (Hotelling-féle) kétmintás T 2 -próba likelihood-hányados próba! Igazoljuk, hogy ez a teszt a kétmintás t-próba általánosítása!

32 5. TÖBBVÁLTOZÓS MÓDSZEREK Legyen X 1,..., X n1 N d (m 1, C 1 ) és Y 1,..., Y n2 N d (m 2, C 2 ) független minták. Konstruáljunk likelihood-hányados próbát a H 0 : C 1 = C 2, H 1 : C 1 C 2 hipotézisek vizsgálatára (kétmintás T 2 próba feltételének ellen rzése)! 32. Legyen X 1, X 2,... N d (m, C) fae. Adjunk a H 0 : (m, C) = (m 0, C 0 ) vs. H 1 : (m, C) = (m 1, C 0 ) egyszer alternatíva eldöntésére szekvenciális eljárást (ε 1 els fajú és ε 2 másodfajú hibával)! Adjuk meg a várható lépésszámokat! 33. Legyen A 1,..., A k teljes eseményrendszer, P(A i ) = p i. Legyen X az eseményrendszer k-dimenziós indikátorváltozója, valamint p = (p 1,..., p k ). Legyenek X 1, X 2... független vektorok, amelyek eloszlása megegyezik X eloszlásával. (a) Mutassuk meg, hogy n i=1 X i P oly n (p 1,..., p k ). (b) Adjunk maximum likelihood becslést az els n mintaelem alapján p-re a Lagrange-multiplikátor módszerével! (c) Adjunk maximum likelihood becslést az els n mintaelem alapján p-re p k = 1 p 1... p k 1 felhasználásával is! (d) Adjunk a H 0 : p = p 0 vs. H 1 : p = p 1 egyszer alternatíva eldöntésére szekvenciális eljárást (ε 1 els fajú és ε 2 másodfajú hibával)! Adjuk meg a várható lépésszámokat!

33 6. Lineáris módszerek 1. Legyen X egy d-dimenziós vektorváltozó és Y a hozzá tartozó f komponensvektor. Adjuk meg X i és Y j kovarianciáját! ( ) 1 ρ 2. Legyen X N 2 (0, C), ahol C =, ahol 0 < ρ < 1. Adjuk meg ρ 1 a f komponenseket és a f komponensvektor kovarianciamátrixát! 3. Legyen X N d (0, C), ahol C diagonális mátrix f átlójában különböz (pozitív) értékekkel. Adjuk meg a f komponensvektort! 4. Legyen X N d (0, C), ahol C f diagonálisának minden eleme 1, minden más eleme r valamely 0 < r < 1 számra. (a) Adjuk meg X els f komponensét! (b) Adjuk meg a f komponensek szórásnégyzeteit! ( ) λ Legyen X N 2 (0, C), ahol C =. Adjunk maximum likelihood becslést C 0 λ 2 sajátértékeire! 6. A f komponensanalízis egy módosított változatában a korrelációs mátrixból indulunk ki. (a) Mutassuk meg, hogy ezzel a módszerrel más megoldást kapunk, mint a kovarianciamátrixot használó modellben! (b) A Kaiser-kritérium azon sajátvektorokkal konstruált f komponenseket választja, amelyekhez tartozó sajátérték legalább a sajátértékek átlaga. Igazoljuk, hogy tetsz leges nemszinguláris korrelációs mátrix sajátértékeinek átlaga 1! (c) Tegyük fel, hogy a korrelációs mátrix minden eleme nagyobb mint 1 ε. Mutassuk meg, hogy a legnagyobb sajátérték nagyobb d(1 ε)-nál (egy nagy és sok kis szórású f komponens van)! (d) Tegyük fel, hogy a korrelációs mátrix sajátértékei a legnagyobb kivételével kisebbek mint ε. Mutassuk meg, hogy a mátrix elemeinek abszolutértékei nagyobbak mint 1 2dε.

34 6. LINEÁRIS MÓDSZEREK Legyen X egy d-dimenziós véletlen vektor, k < d, és tekintsük a következ modellt: X = AY + Z + m, ahol A egy d k-as mátrix, Y egy k-dimenziós, Z egy d-dimenziós véletlen vektor, amelyekre E(Y) = 0, E(YY ) = I k, E(Z) = 0, E(YZ ) = 0 k d-s azonosan 0 mátrix (a faktoranalízissel szemben itt nem követelmény E(ZZ ) diagonális volta, de elvárjuk, hogy elemei kicsik legyenek). Adjunk megoldást a f komponensanalízis segítségével! 8. Tekintsük az X = Af + e + m k-faktor modellt (X egy d-dimenziós vektorváltozó, A a d k-as faktorsúlymátrix, f a k-dimenziós közös faktor I k kovarianciamátrixszal, e d-dimenziós egyedi faktor D diagonális kovarianciamátrixszal, amelyre E(fe ) = 0). (a) Mutassuk meg, hogy ha i j, akkor X i és e j korrelálatlanok! (b) Adjuk meg X i változó és e i egyedi faktorkomponens kovarianciáját! (c) Adjuk meg X i változó és f j közös faktorkomponens kovarianciáját! 9. A faktoranalízis modelljében legyen A és B két faktorsúly-mátrix, amelyekre AA = BB. Mutassuk meg, hogy ekkor van olyan G k k méret ortogonális mátrix, amelyre B = AG. 10. A faktoranalízis modelljének mátrixalakja C = AA + D, ahol A egy d k-s mátrix, D pedig egy d d-s diagonális mátrix nemnegatív elemekkel. Tekintsük a d = 2 és k = 1 esetet! (a) Mikor van megoldása a fenti modellnek? (b) Adjunk maximum likelihood becslést A-ra és D-re! 11. Legyen (Y, X 1,..., X m ) N (m, C). Adjuk meg az E((Y g(x 1,..., X m )) 2 )- et mininalizáló regressziós függvényt! 12. Igazoljuk, hogy ha X, Y véges szórású valószín ségi változók, valamint Y ax + b a legjobb lineáris közelítés négyzetes értelemben, akkor (a) r(x, Y ) = a D(X) D(Y ), (b) E((Y (ax + b)) 2 ) (1 r(x, Y ))D 2 (Y ).

35 6. LINEÁRIS MÓDSZEREK Tekintsük az (X, Y ) véletlen vektort, az l 1 (X) = ax + b (amelyre E((Y l 1 (X)) 2 ) minimális) és az l 2 (Y ) = cy +d (amelyre E(X l 2 (Y )) 2 minimális) regressziós egyeneseket. Mikor teljesül, hogy c = 1/a? 14. Legyenek x 1,..., x n mérési pontok, továbbá Y 1,..., Y n változók amelyek kielégítik a Y i = ax i +b+ɛ i, i = 1,..., n regressziós modellt, ahol a mérési hibák ɛ 1,..., ɛ n N (0, σ 2 ) független valószín ségi változók. (a) Adjunk maximum likelihood becslést az (a, b, σ 2 ) paraméterre a Y minta segítségével! (Mi köze a kapott becslésnek a legkisebb négyzetek módszeréhez?) (b) Igazoljuk, hogy a és b fenti becslései pontosan akkor korrelálatlanok, ha x = 0. (c) Adjunk kondencia intervallumot a-ra, ha b = 0 és σ ismert. (d) Konstruáljunk a H 0 : a = a 0 és H 1 : a a 0 hipotézisekhez ε terjedelm próbát, feltéve, hogy b és σ 2 ismert! (e) Konstruáljunk likelihood-hányados próbát H 0 : a = a 0 és H 1 : a a 0 hipotézisekhez, ha b = 0 és σ 2 ismeretlen! (f) Konstruáljunk likelihood-hányados próbát H 0 : a = a 0 és H 1 : a a 0 hipotézisekhez, ha b és σ 2 ismeretlen! (g) Hogyan ellen rizhetjük a modell alkalmazhatóságát, azaz a mérési hibákra vonatkozó feltételek teljesülését? 15. Tekintsük az Y = a x + ɛ regressziós modellt, ahol ɛ N (0, σ 2 ), σ 2 ismert értékre. Konstruáljuk meg a Neyman-Pearson alaplemma segítségével a H 0 : a = a 0 vs. H 1 : a = a 1 egyszer alternatívához tartozó ε terjedelm egyenletesen leger sebb próbát! 16. Tekintsük az Y = a 1 x a d x d + b + ɛ regressziós modellt és a H 0 : a 1 =... = a d = 0 hipotézist tesztel regresszióanalízist. (a) Legyen Q = n i=1 (Y i Y ) 2, Q r = n i=1 (Ŷi Y ) 2 és Q e = n i=1 (Ŷi Y i ) 2, ahol Ŷi = â 1 x i, â d x i,d +ˆb. Igazoljuk, hogy Q = Q r +Q e. (b) Jelölje R n a többszörös korrelációs együttható becslését. Mutassuk meg, hogy R 2 n = Qr Q. (c) Igazoljuk, hogy a próbastatisztika F = (n d 1)Qr dq e alakokban is felírható! = (n d 1)R2 n d(1 R 2 n )

36 6. LINEÁRIS MÓDSZEREK 36 (d) Vessük össze a regresszióanalízist a korrelációs együtthatókra vonatkozó tesztekkel! Indokolt-e a regresszióanalízist függetlenség tesztelésére használni? (e) A regresszióanalízist szokás varianciaanalízisnek is nevezni. Magyarázzuk meg az elnevezést! 17. Vessük össze a lineáris regresszió megoldását (a = C 1 d, ha a várható értékek 0-k) a determinisztikus változók esetén kapott megoldással (â = (X X) 1 X Y)! 18. Igazoljuk, hogy X X pontosan akkor nemszinguláris, ha X oszlopvektorai lineárisan függetlenek. 19. Tekintsük a következ multiplikatív modellt: Y = bx a X a k k. Vezessük vissza a lineáris modellre, és adjunk becslést a paraméterekre a módosított modellben a legkisebb négyzetek módszerével! Más becslést kapnánk-e, ha a legkisebb négyzetek módszerét közvetlenül az eredeti modellre alkalmaznánk? 20. Polinomiális regresszió esetén a modell Y = b + a 1 X a k X k alakú. A megoldást úgy keresik, hogy az X i = X i független változókra vonatkozó többváltozós lineáris regressziót vizsgálják. Viszont X i és X j nem független változók. Okoz-e ez problémát a megoldás egyértelm sége tekintetében? Miért? 21. Tekintsük az egyszempontos varianciaanalízis modelljében a paraméterek legkisebb négyzetek módszerével kapott becsléseit. (a) Mutassuk meg, hogy ezek maximum likelihood becslések! (b) * Számoljuk ki ezeket a becsléseket Lagrange-multiplikátor módszerrel! 22. Tekintsük az egyszempontos varianciaanalízis csoporthatás-vizsgálatát, ahol Q e = k ni i=1 j=1 (X ij X i ) 2 és Q a = k i=1 n i(x i X ) 2. (a) Mutassuk meg, hogy Q e /σ 2 χ 2 (n k)! (b) Igazoljuk, hogy H 0 teljesülése mellett Q a /σ 2 χ 2 (k 1), de ha H 0 nem teljesül, Q a nem χ 2 eloszlású! (c) Adjuk meg H 0 mellett Q a és Q e várható értékét és szórásnégyzetét!

egyetemi jegyzet Meskó Balázs

egyetemi jegyzet Meskó Balázs egyetemi jegyzet 2011 Előszó 2. oldal Tartalomjegyzék 1. Bevezetés 4 1.1. A matematikai statisztika céljai.............................. 4 1.2. Alapfogalmak......................................... 4 2.

Részletesebben

Dr. Karácsony Zsolt. Miskolci Egyetem november

Dr. Karácsony Zsolt. Miskolci Egyetem november Valószínűségszámítás és Matematikai statisztika Dr. Karácsony Zsolt Miskolci Egyetem, Alkalmazott Matematikai Tanszék 2013-2014 tanév 1. félév Miskolci Egyetem 2013. november 11-18 - 25. Dr. Karácsony

Részletesebben

Statisztika - bevezetés Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc 1

Statisztika - bevezetés Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc 1 Statisztika - bevezetés 00.04.05. Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc Bevezetés Véletlen jelenség fogalma jelenséget okok bizonyos rendszere hozza létre ha mindegyik figyelembe vehető egyértelmű leírás általában

Részletesebben

Matematikai statisztika c. tárgy oktatásának célja és tematikája

Matematikai statisztika c. tárgy oktatásának célja és tematikája Matematikai statisztika c. tárgy oktatásának célja és tematikája 2015 Tematika Matematikai statisztika 1. Időkeret: 12 héten keresztül heti 3x50 perc (előadás és szeminárium) 2. Szükséges előismeretek:

Részletesebben

Statisztikai következtetések Nemlineáris regresszió Feladatok Vége

Statisztikai következtetések Nemlineáris regresszió Feladatok Vége [GVMGS11MNC] Gazdaságstatisztika 10. előadás: 9. Regressziószámítás II. Kóczy Á. László koczy.laszlo@kgk.uni-obuda.hu Keleti Károly Gazdasági Kar Vállalkozásmenedzsment Intézet A standard lineáris modell

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 3 III. VÉLETLEN VEKTOROK 1. A KÉTDIMENZIÓs VÉLETLEN VEKTOR Definíció: Az leképezést (kétdimenziós) véletlen vektornak nevezzük, ha Definíció:

Részletesebben

1. Adatok kiértékelése. 2. A feltételek megvizsgálása. 3. A hipotézis megfogalmazása

1. Adatok kiértékelése. 2. A feltételek megvizsgálása. 3. A hipotézis megfogalmazása HIPOTÉZIS VIZSGÁLAT A hipotézis feltételezés egy vagy több populációról. (pl. egy gyógyszer az esetek 90%-ában hatásos; egy kezelés jelentősen megnöveli a rákos betegek túlélését). A hipotézis vizsgálat

Részletesebben

Biometria az orvosi gyakorlatban. Korrelációszámítás, regresszió

Biometria az orvosi gyakorlatban. Korrelációszámítás, regresszió SZDT-08 p. 1/31 Biometria az orvosi gyakorlatban Korrelációszámítás, regresszió Werner Ágnes Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék e-mail: werner.agnes@virt.uni-pannon.hu Korrelációszámítás

Részletesebben

Készítette: Fegyverneki Sándor

Készítette: Fegyverneki Sándor VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS Összefoglaló segédlet Készítette: Fegyverneki Sándor Miskolci Egyetem, 2001. i JELÖLÉSEK: N a természetes számok halmaza (pozitív egészek) R a valós számok halmaza R 2 {(x, y) x, y

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 4 IV. MINTA, ALAPsTATIsZTIKÁK 1. MATEMATIKAI statisztika A matematikai statisztika alapfeladatát nagy általánosságban a következőképpen

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 9 IX. ROBUsZTUs statisztika 1. ROBUsZTUssÁG Az eddig kidolgozott módszerek főleg olyanok voltak, amelyek valamilyen értelemben optimálisak,

Részletesebben

A maximum likelihood becslésről

A maximum likelihood becslésről A maximum likelihood becslésről Definíció Parametrikus becsléssel foglalkozunk. Adott egy modell, mellyel elképzeléseink szerint jól leírható a meghatározni kívánt rendszer. (A modell típusának és rendszámának

Részletesebben

Eseményalgebra. Esemény: minden amirl a kísérlet elvégzése során eldönthet egyértelmen hogy a kísérlet során bekövetkezett-e vagy sem.

Eseményalgebra. Esemény: minden amirl a kísérlet elvégzése során eldönthet egyértelmen hogy a kísérlet során bekövetkezett-e vagy sem. Eseményalgebra. Esemény: minden amirl a kísérlet elvégzése során eldönthet egyértelmen hogy a kísérlet során bekövetkezett-e vagy sem. Elemi esemény: a kísérlet egyes lehetséges egyes lehetséges kimenetelei.

Részletesebben

A valószínűségszámítás elemei

A valószínűségszámítás elemei A valószínűségszámítás elemei Kísérletsorozatban az esemény relatív gyakorisága: k/n, ahol k az esemény bekövetkezésének abszolút gyakorisága, n a kísérletek száma. Pl. Jelenség: kockadobás Megfigyelés:

Részletesebben

GVMST22GNC Statisztika II. Keleti Károly Gazdasági Kar Vállalkozásmenedzsment Intézet

GVMST22GNC Statisztika II. Keleti Károly Gazdasági Kar Vállalkozásmenedzsment Intézet GVMST22GNC Statisztika II. 3. előadás: 8. Hipotézisvizsgálat Kóczy Á. László Keleti Károly Gazdasági Kar Vállalkozásmenedzsment Intézet Hipotézisvizsgálat v becslés Becslés Ismeretlen paraméter Közeĺıtő

Részletesebben

Gyakorló feladatok statisztikai programcsomagokhoz

Gyakorló feladatok statisztikai programcsomagokhoz Gyakorló feladatok statisztikai programcsomagokhoz Az elvégzett tesztek eredményeit és azok magyarázatait mentsük el egy valasz.txt, ha ábra is van, a valasz.xls nev fájlba! 1. Nyissuk meg a kolcson.txt-t!

Részletesebben

A Statisztika alapjai

A Statisztika alapjai A Statisztika alapjai BME A3c Magyar Róbert 2016.05.12. Mi az a Statisztika? A statisztika a valóság számszerű információinak megfigyelésére, összegzésére, elemzésére és modellezésére irányuló gyakorlati

Részletesebben

Többváltozós lineáris regressziós modell feltételeinek

Többváltozós lineáris regressziós modell feltételeinek Többváltozós lineáris regressziós modell feltételeinek tesztelése I. - A hibatagra vonatkozó feltételek tesztelése - Petrovics Petra Doktorandusz Többváltozós lineáris regressziós modell x 1, x 2,, x p

Részletesebben

Miért fontos számunkra az előző gyakorlaton tárgyalt lineáris algebrai ismeretek

Miért fontos számunkra az előző gyakorlaton tárgyalt lineáris algebrai ismeretek Az november 23-i szeminárium témája Rövid összefoglaló Miért fontos számunkra az előző gyakorlaton tárgyalt lineáris algebrai ismeretek felfrissítése? Tekintsünk ξ 1,..., ξ k valószínűségi változókat,

Részletesebben

Biometria gyakorló feladatok BsC hallgatók számára

Biometria gyakorló feladatok BsC hallgatók számára Biometria gyakorló feladatok BsC hallgatók számára 1. Egy üzem alkalmazottainak megoszlása az elért teljesítmény %-a szerint a következı: Norma teljesítmény % Dolgozók száma 60-80 30 81-90 70 91-100 90

Részletesebben

biometria II. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert Matematikai-statisztikai adatfeldolgozás

biometria II. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert Matematikai-statisztikai adatfeldolgozás Kísérlettervezés - biometria II. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert Matematikai-statisztikai adatfeldolgozás A matematikai-statisztika feladata tapasztalati adatok feldolgozásával segítséget nyújtani

Részletesebben

Kabos: Statisztika II. t-próba 9.1. Ha ismert a doboz szórása de nem ismerjük a

Kabos: Statisztika II. t-próba 9.1. Ha ismert a doboz szórása de nem ismerjük a Kabos: Statisztika II. t-próba 9.1 Egymintás z-próba Ha ismert a doboz szórása de nem ismerjük a doboz várhatóértékét, akkor a H 0 : a doboz várhatóértéke = egy rögzített érték hipotézisről úgy döntünk,

Részletesebben

Korreláció és lineáris regresszió

Korreláció és lineáris regresszió Korreláció és lineáris regresszió Két folytonos változó közötti összefüggés vizsgálata Szűcs Mónika SZTE ÁOK-TTIK Orvosi Fizikai és Orvosi Informatikai Intézet Orvosi Fizika és Statisztika I. előadás 2016.11.02.

Részletesebben

Matematikai statisztika Tómács Tibor

Matematikai statisztika Tómács Tibor Matematikai statisztika Tómács Tibor Matematikai statisztika Tómács Tibor Publication date 2011 Szerzői jog 2011 Hallgatói Információs Központ Copyright 2011, Educatio Kht., Hallgatói Információs Központ

Részletesebben

Statisztikai alapismeretek (folytatás) 4. elıadás (7-8. lecke) Becslések, Hipotézis vizsgálat

Statisztikai alapismeretek (folytatás) 4. elıadás (7-8. lecke) Becslések, Hipotézis vizsgálat Statisztikai alapismeretek (folytatás) 4. elıadás (7-8. lecke) Becslések, Hipotézis vizsgálat 7. lecke Paraméter becslés Konfidencia intervallum Hipotézis vizsgálat feladata Paraméter becslés és konfidencia

Részletesebben

Több valószínűségi változó együttes eloszlása, korreláció

Több valószínűségi változó együttes eloszlása, korreláció Tartalomjegzék Előszó... 6 I. Valószínűségelméleti és matematikai statisztikai alapok... 8 1. A szükséges valószínűségelméleti és matematikai statisztikai alapismeretek összefoglalása... 8 1.1. Alapfogalmak...

Részletesebben

Adatok statisztikai értékelésének főbb lehetőségei

Adatok statisztikai értékelésének főbb lehetőségei Adatok statisztikai értékelésének főbb lehetőségei 1. a. Egy- vagy kétváltozós eset b. Többváltozós eset 2. a. Becslési problémák, hipotézis vizsgálat b. Mintázatelemzés 3. Szint: a. Egyedi b. Populáció

Részletesebben

Intervallumbecsle s Mintave tel+ Hipote zisvizsga lat Egyminta s pro ba k Ke tminta s pro ba k Egye b vizsga latok O sszef.

Intervallumbecsle s Mintave tel+ Hipote zisvizsga lat Egyminta s pro ba k Ke tminta s pro ba k Egye b vizsga latok O sszef. Intervallumbecsle s Mintave tel+ Hipote zisvizsga lat Egyminta s pro ba k Ke tminta s pro ba k Egye b vizsga latok O sszef. Feladatok Gazdaságstatisztika 7. Statisztikai becslések (folyt.); 8. Hipotézisvizsgálat

Részletesebben

Bevezetés. 1. fejezet. Algebrai feladatok. Feladatok

Bevezetés. 1. fejezet. Algebrai feladatok. Feladatok . fejezet Bevezetés Algebrai feladatok J. A számok gyakran használt halmazaira a következ jelöléseket vezetjük be: N a nemnegatív egész számok, N + a pozitív egész számok, Z az egész számok, Q a racionális

Részletesebben

Gyakorló feladatok. Az alábbi feladatokon kívül a félév szemináriumi anyagát is nézzék át. Jó munkát! Gaál László

Gyakorló feladatok. Az alábbi feladatokon kívül a félév szemináriumi anyagát is nézzék át. Jó munkát! Gaál László Gyakorló feladatok Az alábbi feladatokon kívül a félév szemináriumi anyagát is nézzék át. Jó munkát! Gaál László I/. A vizsgaidőszak második napján a hallgatók %-ának az E épületben, %-ának a D épületben,

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 10 X. SZIMULÁCIÓ 1. VÉLETLEN számok A véletlen számok fontos szerepet játszanak a véletlen helyzetek generálásában (pénzérme, dobókocka,

Részletesebben

[Biomatematika 2] Orvosi biometria

[Biomatematika 2] Orvosi biometria [Biomatematika 2] Orvosi biometria 2016.02.15. Esemény Egy kísérlet vagy megfigyelés (vagy mérés) lehetséges eredményeinek összessége (halmaza) alkotja az eseményteret. Esemény: az eseménytér részhalmazai.

Részletesebben

Matematikai statisztikai elemzések 3.

Matematikai statisztikai elemzések 3. Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara Prof. Dr. Závoti József Matematikai statisztikai elemzek 3. MSTE3 modul Becslelmélet: alapfogalmak, nevezetes statisztikák, intervallum-becsl SZÉKESFEHÉRVÁR

Részletesebben

[Biomatematika 2] Orvosi biometria

[Biomatematika 2] Orvosi biometria [Biomatematika 2] Orvosi biometria 2016.02.29. A statisztika típusai Leíró jellegű statisztika: összegzi egy adathalmaz jellemzőit. A középértéket jelemzi (medián, módus, átlag) Az adatok változékonyságát

Részletesebben

GVMST22GNC Statisztika II.

GVMST22GNC Statisztika II. GVMST22GNC Statisztika II. 4. előadás: 9. Kétváltozós korreláció- és regressziószámítás Kóczy Á. László koczy.laszlo@kgk.uni-obuda.hu Keleti Károly Gazdasági Kar Vállalkozásmenedzsment Intézet Korrelációszámítás

Részletesebben

KÖVETKEZTETŐ STATISZTIKA

KÖVETKEZTETŐ STATISZTIKA ÁVF GM szak 2010 ősz KÖVETKEZTETŐ STATISZTIKA A MINTAVÉTEL BECSLÉS A sokasági átlag becslése 2010 ősz Utoljára módosítva: 2010-09-07 ÁVF Oktató: Lipécz György 1 A becslés alapfeladata Pl. Hányan láttak

Részletesebben

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat.

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat. Poisson folyamatok, exponenciális eloszlások Azt mondjuk, hogy a ξ valószínűségi változó Poisson eloszlású λ, 0 < λ

Részletesebben

A mérési eredmény megadása

A mérési eredmény megadása A mérési eredmény megadása A mérés során kapott értékek eltérnek a mérendő fizikai mennyiség valódi értékétől. Alapvetően kétféle mérési hibát különböztetünk meg: a determinisztikus és a véletlenszerű

Részletesebben

1. Név:... Neptun Kód:... Feladat: Egy összeszerel½o üzemben 3 szalag van. Mindehárom szalagon ugyanazt

1. Név:... Neptun Kód:... Feladat: Egy összeszerel½o üzemben 3 szalag van. Mindehárom szalagon ugyanazt 1. Név:......................... Egy összeszerel½o üzemben 3 szalag van. Mindehárom szalagon ugyanazt a gyártmányt készítik. Egy gyártmány összeszerelési ideje normális eloszlású valószín½uségi változó

Részletesebben

A valószínűségszámítás elemei

A valószínűségszámítás elemei Alapfogalmak BIOSTATISZTIKA ÉS INFORMATIKA A valószínűségszámítás elemei Jelenség: minden, ami lényegében azonos feltételek mellett megismételhető, amivel kapcsolatban megfigyeléseket lehet végezni, lehet

Részletesebben

Kiválasztás. A változó szerint. Rangok. Nem-paraméteres eljárások. Rang: Egy valamilyen szabály szerint felállított sorban elfoglalt hely.

Kiválasztás. A változó szerint. Rangok. Nem-paraméteres eljárások. Rang: Egy valamilyen szabály szerint felállított sorban elfoglalt hely. Kiválasztás A változó szerint Egymintás t-próba Mann-Whitney U-test paraméteres nem-paraméteres Varianciaanalízis De melyiket válasszam? Kétmintás t-próba Fontos, hogy mindig a kérdésnek és a változónak

Részletesebben

Bemenet modellezése (III.), forgalommodellezés

Bemenet modellezése (III.), forgalommodellezés Bemenet modellezése (III.), forgalommodellezés Vidács Attila 2007. október 31. Hálózati szimulációs technikák, 2007/10/31 1 Modellválasztás A modellezés kedvez esetben leegyszer södik a megfelel eloszlás

Részletesebben

Többváltozós statisztikai módszerek (elektronikus tananyag) Bolla Marianna, Krámli András, Nagy-György Judit

Többváltozós statisztikai módszerek (elektronikus tananyag) Bolla Marianna, Krámli András, Nagy-György Judit Többváltozós statisztikai módszerek (elektronikus tananyag) Bolla Marianna, Krámli András, Nagy-György Judit 2 Tartalomjegyzék 1. El ismeretek 1.: valószín sgelmélet 9 1.1. Elméleti háttér............................

Részletesebben

STATISZTIKA. A maradék független a kezelés és blokk hatástól. Maradékok leíró statisztikája. 4. A modell érvényességének ellenőrzése

STATISZTIKA. A maradék független a kezelés és blokk hatástól. Maradékok leíró statisztikája. 4. A modell érvényességének ellenőrzése 4. A modell érvényességének ellenőrzése STATISZTIKA 4. Előadás Variancia-analízis Lineáris modellek 1. Függetlenség 2. Normális eloszlás 3. Azonos varianciák A maradék független a kezelés és blokk hatástól

Részletesebben

Populációbecslés és monitoring. Eloszlások és alapstatisztikák

Populációbecslés és monitoring. Eloszlások és alapstatisztikák Populációbecslés és monitoring Eloszlások és alapstatisztikák Eloszlások Az eloszlás megadja, hogy milyen valószínűséggel kapunk egy adott intervallumba tartozó értéket, ha egy olyan populációból veszünk

Részletesebben

A bergengóc lakosság szemszín szerinti megoszlása a négy tartományban azonos:

A bergengóc lakosság szemszín szerinti megoszlása a négy tartományban azonos: A. Matematikai Statisztika 2.MINTA ZH. 2003 december Név (olvasható) :... A feladatmegoldásnak az alkalmazott matematikai modell valószínűségszámítási ill. statisztikai szóhasználat szerinti megfogalmazását,

Részletesebben

III. Kvantitatív változók kapcsolata (korreláció, regresszió)

III. Kvantitatív változók kapcsolata (korreláció, regresszió) III. Kvantitatív változók kapcsolata (korreláció, regresszió) Tartalom Változók kapcsolata Kétdimenziós minta (pontdiagram) Regressziós előrejelzés (predikció) Korreláció Tanuló Kétdimenziós minta Tanulással

Részletesebben

A szimplex algoritmus

A szimplex algoritmus A szimplex algoritmus Ismétlés: reprezentációs tétel, az optimális megoldás és az extrém pontok kapcsolata Alapfogalmak: bázisok, bázismegoldások, megengedett bázismegoldások, degenerált bázismegoldás

Részletesebben

A konfidencia intervallum képlete: x± t( α /2, df )

A konfidencia intervallum képlete: x± t( α /2, df ) 1. feladat. Egy erdőben az egy fészekben levő tojásszámokat vizsgáltuk egy madárfajnál. A következő tojásszámokat találtuk: 1, 1, 1,,,,,,, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 5, 6, 7. Mi a mintának a minimuma, maximuma,

Részletesebben

Valószín ségszámítás és statisztika gyakorlat Programtervez informatikus szak, esti képzés

Valószín ségszámítás és statisztika gyakorlat Programtervez informatikus szak, esti képzés Valószín ségszámítás és statisztika gyakorlat Programtervez informatikus szak, esti képzés Játékszabályok 0 + x pontot lehet szerezni a félév során: 50 pont:. ZH a félév közepén 50 pont:. ZH a félév végén

Részletesebben

Sztochasztikus folyamatok alapfogalmak

Sztochasztikus folyamatok alapfogalmak Matematikai Modellalkotás Szeminárium 2012. szeptember 4. 1 Folytonos idejű Markov láncok 2 3 4 1 Folytonos idejű Markov láncok 2 3 4 Folytonos idejű Markov láncok I Adott egy G = (V, E) gráf Folytonos

Részletesebben

Két diszkrét változó függetlenségének vizsgálata, illeszkedésvizsgálat

Két diszkrét változó függetlenségének vizsgálata, illeszkedésvizsgálat Két diszkrét változó függetlenségének vizsgálata, illeszkedésvizsgálat Szűcs Mónika SZTE ÁOK-TTIK Orvosi Fizikai és Orvosi Informatikai Intézet Orvosi fizika és statisztika I. előadás 2016.11.09 Orvosi

Részletesebben

Matematika (mesterképzés)

Matematika (mesterképzés) Matematika (mesterképzés) Környezet- és Településmérnököknek Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 1 / 29 Lineáris tér,

Részletesebben

Biostatisztika VIII. Mátyus László. 19 October

Biostatisztika VIII. Mátyus László. 19 October Biostatisztika VIII Mátyus László 19 October 2010 1 Ha σ nem ismert A gyakorlatban ritkán ismerjük σ-t. Ha kiszámítjuk s-t a minta alapján, akkor becsülhetjük σ-t. Ez további bizonytalanságot okoz a becslésben.

Részletesebben

Lineáris algebra 2. Filip Ferdinánd december 7. siva.banki.hu/jegyzetek

Lineáris algebra 2. Filip Ferdinánd december 7. siva.banki.hu/jegyzetek Lineáris algebra 2 Filip Ferdinánd filipferdinand@bgkuni-obudahu sivabankihu/jegyzetek 2015 december 7 Filip Ferdinánd 2016 februar 9 Lineáris algebra 2 1 / 37 Az el adás vázlata Determináns Determináns

Részletesebben

[Biomatematika 2] Orvosi biometria

[Biomatematika 2] Orvosi biometria [Biomatematika 2] Orvosi biometria 2016.02.22. Valószínűségi változó Véletlentől függő számértékeket (értékek sokasága) felvevő változókat valószínűségi változóknak nevezzük(jelölés: ξ, η, x). (pl. x =

Részletesebben

Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz

Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Gazdasági matematika II tárgy gyakorlataihoz a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottnak tekintjük a nehezebb

Részletesebben

1.gyakorlat

1.gyakorlat 1.gyakorlat 2015.09.11. I. János, Jakab, József, Joli és Jen egy együttest alkotnak, mely öt hangszeren játszik. Ha mindegyikük tud mind az 5 hangszeren játszani, hányféle elrendezés lehetséges? És, ha

Részletesebben

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Statisztikai becslés Statisztikák eloszlása

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Statisztikai becslés Statisztikák eloszlása Matematikai alapok és valószínőségszámítás Statisztikai becslés Statisztikák eloszlása Mintavétel A statisztikában a cél, hogy az érdeklõdés tárgyát képezõ populáció bizonyos paramétereit a populációból

Részletesebben

Valószín ségelmélet házi feladatok

Valószín ségelmélet házi feladatok Valószín ségelmélet házi feladatok Minden héten 3-4 házi feladatot adok ki. A megoldásokat a következ órán kell beadni, és kés bb már nem lehet pótolni. Csak az mehet vizsgázni, aki a 13 hét során kiadott

Részletesebben

Számítógépes döntéstámogatás. Statisztikai elemzés

Számítógépes döntéstámogatás. Statisztikai elemzés SZDT-03 p. 1/22 Számítógépes döntéstámogatás Statisztikai elemzés Werner Ágnes Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék e-mail: werner.agnes@virt.uni-pannon.hu Előadás SZDT-03 p. 2/22 Rendelkezésre

Részletesebben

Véletlenszám generátorok és tesztelésük HORVÁTH BÁLINT

Véletlenszám generátorok és tesztelésük HORVÁTH BÁLINT Véletlenszám generátorok és tesztelésük HORVÁTH BÁLINT Mi a véletlen? Determinisztikus vs. Véletlen esemény? Véletlenszám: számok sorozata, ahol véletlenszerűen követik egymást az elemek Pszeudo-véletlenszám

Részletesebben

Tantárgy kódja Meghirdetés féléve 3 Kreditpont 4 Összóraszám (elm+gyak) 2+2

Tantárgy kódja Meghirdetés féléve 3 Kreditpont 4 Összóraszám (elm+gyak) 2+2 Tantárgy neve Alkalmazott matematika II. Tantárgy kódja MT003 Meghirdetés féléve 3 Kreditpont 4 Összóraszám (elm+gyak) 2+2 Számonkérés módja gyakorlati jegy Előfeltétel (tantárgyi kód) MT002 Tantárgyfelelős

Részletesebben

Eloszlás-független módszerek (folytatás) 14. elıadás ( lecke) 27. lecke khí-négyzet eloszlású statisztikák esetszámtáblázatok

Eloszlás-független módszerek (folytatás) 14. elıadás ( lecke) 27. lecke khí-négyzet eloszlású statisztikák esetszámtáblázatok Eloszlás-független módszerek (folytatás) 14. elıadás (7-8. lecke) Illeszkedés-vizsgálat 7. lecke khí-négyzet eloszlású statisztikák esetszámtáblázatok elemzésére Illeszkedés-vizsgálat Gyakorisági sorok

Részletesebben

Általánosan, bármilyen mérés annyit jelent, mint meghatározni, hányszor van meg

Általánosan, bármilyen mérés annyit jelent, mint meghatározni, hányszor van meg LMeasurement.tex, March, 00 Mérés Általánosan, bármilyen mérés annyit jelent, mint meghatározni, hányszor van meg a mérendő mennyiségben egy másik, a mérendővel egynemű, önkényesen egységnek választott

Részletesebben

Intergrált Intenzív Matematika Érettségi

Intergrált Intenzív Matematika Érettségi . Adott a mátri, determináns determináns, ahol,, d Számítsd ki:. b) Igazold, hogy a b c. Adott a az 6 0 egyenlet megoldásai. a). c) Számítsd ki a d determináns értékét. d c a b determináns, ahol abc,,.

Részletesebben

Segítség az outputok értelmezéséhez

Segítség az outputok értelmezéséhez Tanulni: 10.1-10.3, 10.5, 11.10. Hf: A honlapra feltett falco_exp.zip-ben lévő exploratív elemzések áttanulmányozása, érdekességek, észrevételek kigyűjtése. Segítség az outputok értelmezéséhez Leiro: Leíró

Részletesebben

Matematika III. 9. Statisztikai hipotézisek Prof. Dr. Závoti, József

Matematika III. 9. Statisztikai hipotézisek Prof. Dr. Závoti, József Matematika III. 9. Statisztikai hipotézisek Prof. Dr. Závoti, József Matematika III. 9. : Statisztikai hipotézisek Prof. Dr. Závoti, József Lektor : Bischof, Annamária Ez a modul a TÁMOP - 4.1.2-08/1/A-2009-0027

Részletesebben

azonosságot minden 1 i, l n, 1 j k, indexre teljesítő együtthatókkal, amelyekre érvényes a = c (j) i,l l,i

azonosságot minden 1 i, l n, 1 j k, indexre teljesítő együtthatókkal, amelyekre érvényes a = c (j) i,l l,i A Cochran Fisher tételről A matematikai statisztika egyik fontos eredménye a Cochran Fisher tétel, amely a variancia analízisben játszik fontos szerepet. Ugyanakkor ez a tétel lényegét tekintve valójában

Részletesebben

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1 Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =

Részletesebben

( 1) i 2 i. megbízhatóságú a levont következtetése? A matematikai statisztika eszközeivel értékelje a kapott eredményeket!

( 1) i 2 i. megbízhatóságú a levont következtetése? A matematikai statisztika eszközeivel értékelje a kapott eredményeket! 1. Név:......................... Egy szabályos pénzérmét feldobunk, ha az els½o FEJ az i-edik dobásra jön, akkor a játékos nyereménye ( 1) i i forint. Vizsgálja szimulációval a játékot, különböz½o induló

Részletesebben

VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER október 15. Irodalom. További ajánlott feladatok

VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER október 15. Irodalom. További ajánlott feladatok VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER 2004. október 15. Irodalom A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: ezek egyrészt elhangzanak az előadáson, másrészt megtalálják

Részletesebben

Biomatematika 13. Varianciaanaĺızis (ANOVA)

Biomatematika 13. Varianciaanaĺızis (ANOVA) Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar Biomatematikai és Számítástechnikai Tanszék Biomatematika 13. Varianciaanaĺızis (ANOVA) Fodor János Copyright c Fodor.Janos@aotk.szie.hu Last Revision Date:

Részletesebben

Backhausz Ágnes 1. Bevezetés A valószínűség elemi tulajdonságai... 5

Backhausz Ágnes 1. Bevezetés A valószínűség elemi tulajdonságai... 5 Valószínűségszámítás Földtudomány BSc szak, 2016/2017. őszi félév Backhausz Ágnes agnes@cs.elte.hu Tartalomjegyzék 1. Bevezetés 2 2. A Kolmogorov-féle valószínűségi mező 3 2.1. Klasszikus valószínűségi

Részletesebben

y ij = µ + α i + e ij STATISZTIKA Sir Ronald Aylmer Fisher Példa Elmélet A variancia-analízis alkalmazásának feltételei Lineáris modell

y ij = µ + α i + e ij STATISZTIKA Sir Ronald Aylmer Fisher Példa Elmélet A variancia-analízis alkalmazásának feltételei Lineáris modell Példa STATISZTIKA Egy gazdálkodó k kukorica hibrid termesztése között választhat. Jelöljük a fajtákat A, B, C, D-vel. Döntsük el, hogy a hibridek termesztése esetén azonos terméseredményre számíthatunk-e.

Részletesebben

CHT& NSZT Hoeffding NET mom. stabilis. 2011. november 9.

CHT& NSZT Hoeffding NET mom. stabilis. 2011. november 9. CHT& NSZT Hoeffding NET mom. stabilis Becslések, határeloszlás tételek Székely Balázs 2011. november 9. CHT& NSZT Hoeffding NET mom. stabilis 1 CHT és NSZT 2 Hoeffding-egyenlőtlenség Alkalmazása: Beengedés

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

Bevezetés a biometriába Dr. Dinya Elek egyetemi tanár. PhD kurzus. KOKI,

Bevezetés a biometriába Dr. Dinya Elek egyetemi tanár. PhD kurzus. KOKI, Bevezetés a biometriába Dr. Dinya Elek egyetemi tanár PhD kurzus. KOKI, 2015.09.17. Mi a statisztika? A sokaság (a sok valami) feletti áttekintés megszerzése, a sokaságról való információszerzés eszköze.

Részletesebben

A matematikai statisztika elemei

A matematikai statisztika elemei A matematikai statisztika elemei Mikó Teréz, dr. Szalkai Istvá szalkai@almos.ui-pao.hu Pao Egyetem, Veszprém 2014. március 23. 2 Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék 3 Bevezetés................................

Részletesebben

1. hét. 1. Teljesülnek-e az alábbi egyenl½oségek? (a) A n B = B n A. (b) A \ B \ A \ B = A \ B \ A \ B. 2. Fejezzük ki

1. hét. 1. Teljesülnek-e az alábbi egyenl½oségek? (a) A n B = B n A. (b) A \ B \ A \ B = A \ B \ A \ B. 2. Fejezzük ki . hét. Teljesülnek-e az alábbi egyenl½oségek? (a) A n B = B n A (b) A \ B \ A \ B = A \ B \. Fejezzük ki (a) A \ B -t a n és [ m½uveletével! A \ B (b) A [ B -t a \ m½uveletével és az A; B halmazra vonatkozó

Részletesebben

Egyszempontos variancia analízis. Statisztika I., 5. alkalom

Egyszempontos variancia analízis. Statisztika I., 5. alkalom Statisztika I., 5. alkalom Számos t-próba versus variancia analízis Kreativitás vizsgálata -nık -férfiak ->kétmintás t-próba I. Fajú hiba=α Kreativitás vizsgálata -informatikusok -építészek -színészek

Részletesebben

Gauss-Jordan módszer Legkisebb négyzetek módszere, egyenes LNM, polinom LNM, függvény. Lineáris algebra numerikus módszerei

Gauss-Jordan módszer Legkisebb négyzetek módszere, egyenes LNM, polinom LNM, függvény. Lineáris algebra numerikus módszerei A Gauss-Jordan elimináció, mátrixinvertálás Gauss-Jordan módszer Ugyanazzal a technikával, mint ahogy a k-adik oszlopban az a kk alatti elemeket kinulláztuk, a fölötte lévő elemeket is zérussá lehet tenni.

Részletesebben

Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla

Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, 0. október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Az előadáshoz ajánlott jegyzet: Szabó László: Bevezetés a lineáris algebrába, Polygon Kiadó, Szeged,

Részletesebben

Skalárszorzat, norma, szög, távolság. Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2005.

Skalárszorzat, norma, szög, távolság. Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2005. 1 Diszkrét matematika II., 4. el adás Skalárszorzat, norma, szög, távolság Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2005. március 1 A téma jelent sége

Részletesebben

Biostatisztika Összefoglalás

Biostatisztika Összefoglalás Biostatisztika Összefoglalás A biostatisztika vizsga A biostatisztika vizsga az Orvosi fizika és statisztika I. fizika vizsgájával egy napon történik. A vizsga keretében 30 perc alatt 0 kérdésre kell válaszolni

Részletesebben

Statisztika I. 8. előadás. Előadó: Dr. Ertsey Imre

Statisztika I. 8. előadás. Előadó: Dr. Ertsey Imre Statisztika I. 8. előadás Előadó: Dr. Ertsey Imre Minták alapján történő értékelések A statisztika foglalkozik. a tömegjelenségek vizsgálatával Bizonyos esetekben lehetetlen illetve célszerűtlen a teljes

Részletesebben

Statisztika I. 9. előadás. Előadó: Dr. Ertsey Imre

Statisztika I. 9. előadás. Előadó: Dr. Ertsey Imre Statisztika I. 9. előadás Előadó: Dr. Ertsey Imre Statisztikai hipotézis vizsgálatok elsősorban a biometriában alkalmazzák, újabban reprezentatív jellegű ökonómiai vizsgálatoknál, üzemi szinten élelmiszeripari

Részletesebben

Matematikai geodéziai számítások 6.

Matematikai geodéziai számítások 6. Matematikai geodéziai számítások 6. Lineáris regresszió számítás elektronikus távmérőkre Dr. Bácsatyai, László Matematikai geodéziai számítások 6.: Lineáris regresszió számítás elektronikus távmérőkre

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 2 II. A valószínűségi VÁLTOZÓ És JELLEMZÉsE 1. Valószínűségi VÁLTOZÓ Definíció: Az leképezést valószínűségi változónak nevezzük, ha

Részletesebben

Statisztika I. 4. előadás Mintavétel. Kóczy Á. László KGK-VMI. Minta Mintavétel Feladatok. http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1.

Statisztika I. 4. előadás Mintavétel. Kóczy Á. László KGK-VMI. Minta Mintavétel Feladatok. http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1. Statisztika I. 4. előadás Mintavétel http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1.htm Kóczy Á. László KGK-VMI koczy.laszlo@kgk.uni-obuda.hu Sokaság és minta Alap- és mintasokaság A mintasokaság az a részsokaság,

Részletesebben

Modern műszeres analitika szeminárium Néhány egyszerű statisztikai teszt

Modern műszeres analitika szeminárium Néhány egyszerű statisztikai teszt Modern műszeres analitika szeminárium Néhány egyszerű statisztikai teszt Galbács Gábor KIUGRÓ ADATOK KISZŰRÉSE STATISZTIKAI TESZTEKKEL Dixon Q-tesztje Gyakori feladat az analitikai kémiában, hogy kiugrónak

Részletesebben

Megoldások MATEMATIKA II. VIZSGA (VK) NBT. NG. NMH. SZAKOS HALLGATÓK RÉSZÉRE (Kérjük, hogy a megfelelő szakot jelölje be!

Megoldások MATEMATIKA II. VIZSGA (VK) NBT. NG. NMH. SZAKOS HALLGATÓK RÉSZÉRE (Kérjük, hogy a megfelelő szakot jelölje be! MATEMATIKA II. VIZSGA (VK) NBT. NG. NMH. SZAKOS HALLGATÓK RÉSZÉRE (Kérjük, hogy a megfelelő szakot jelölje be!) 2016. JANUÁR 21. Elérhető pontszám: 50 pont Megoldások 1. 6. 2. 7. 3. 8. 4. 9. 5. Össz.:

Részletesebben

Permutációk véges halmazon (el adásvázlat, február 12.)

Permutációk véges halmazon (el adásvázlat, február 12.) Permutációk véges halmazon el adásvázlat 2008 február 12 Maróti Miklós Ennek az el adásnak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudni: ismétlés nélküli variáció leképezés indulási és érkezési halmaz

Részletesebben

Valószínűségelmélet. Pap Gyula. Szegedi Tudományegyetem. Szeged, 2016/2017 tanév, I. félév

Valószínűségelmélet. Pap Gyula. Szegedi Tudományegyetem. Szeged, 2016/2017 tanév, I. félév Valószínűségelmélet Pap Gyula Szegedi Tudományegyetem Szeged, 2016/2017 tanév, I. félév Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 1 / 125 Ajánlott irodalom: CSÖRGŐ SÁNDOR Fejezetek

Részletesebben

Gyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam

Gyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam Gyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam Halmazok:. Adott két halmaz: A = kétjegyű pozitív, 4-gyel osztható számok B = 0-nél nagyobb, de 0-nál nem nagyobb pozitív egész

Részletesebben

Likelihood, deviancia, Akaike-féle információs kritérium

Likelihood, deviancia, Akaike-féle információs kritérium Többváltozós statisztika (SZIE ÁOTK, 2011. ősz) 1 Likelihood, deviancia, Akaike-féle információs kritérium Likelihood függvény Az adatokhoz paraméteres modellt illesztünk. A likelihood függvény a megfigyelt

Részletesebben

Opkut deníciók és tételek

Opkut deníciók és tételek Opkut deníciók és tételek Készítette: Bán József Deníciók 1. Deníció (Lineáris programozási feladat). Keressük meg adott lineáris, R n értelmezési tartományú függvény, az ún. célfüggvény széls értékét

Részletesebben

5. elıadás március 22. Portfólió-optimalizálás

5. elıadás március 22. Portfólió-optimalizálás 5. elıadás 203. március 22. Portfólió-optimalizálás Alapfeladat Cél: minél nagyobb várható hozam elérése De: közben a kockázat legyen minél kisebb Kompromisszum: elvárt hozamot érje el a várható érték

Részletesebben

Statisztika I. 4. előadás Mintavétel. Kóczy Á. László KGK-VMI. Minta Mintavétel Feladatok. http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1.

Statisztika I. 4. előadás Mintavétel. Kóczy Á. László KGK-VMI. Minta Mintavétel Feladatok. http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1. Statisztika I. 4. előadás Mintavétel http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1.htm Kóczy Á. László KGK-VMI koczy.laszlo@kgk.uni-obuda.hu Sokaság és minta Alap- és mintasokaság A mintasokaság az a részsokaság,

Részletesebben