Valószínűségszámítás összefoglaló

Átírás

1 Statisztikai módszerek BMEGEVGAT Készítette: Halász Gábor Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Gépészmérnöki Kar Hidrodinamikai Rendszerek Tanszék, Budapest, Műegyetem rkp. 3. D ép Tel: Fa:

2 Valószínűségszámítás összefoglaló Történelem: o o o Görögöknél: nem XVII. sz. szerencsejátékok, különösen Franciaországban Ötlet: a kor matematikusaihoz fordultak Első eredmények: PASCAL és FERMAT Sokáig ellentmondásos KOLMOGOROV (933) aiomatikus megalapozás Val.szám összefoglaló

3 Valószínűségszámítás összefoglaló Véletlen Jelenséget (eseményt) meghatároz a körülmények, feltételek teljes halmaza Ha mindent figyelembe veszünk: egyértelmű Ha csak egy részét (csak a lényegeseket) : véletlenszerű Véletlen kísérlet (jelenség) Kimenetelét a figyelembe vett körülmények nem határozzák meg egyértelműen (Előállítjuk, vagy csak megfigyeljük) Pl: egy termék élettartamának megfigyelése, a Duna vízállásának megfigyelése, a hallgatóság vizsgaeredménye, infláció, kockadobálás 3 Val.szám összefoglaló

4 Valószínűségszámítás összefoglaló Esemény A kísérlet (bennünket érdeklő) eredménye Egyszerű (elemi) pl. izzólámpa élettartama É h Összetett pl. izzólámpa élettartama h<é<h Biztos esemény É<e6 h Lehetetlen esemény É-3h 4 Val.szám összefoglaló

5 Alapfogalmak Gyakoriság n kísérletek száma k a bennünket érdeklő ESEMÉNY darabszáma, a gyakoriság pl: n45 hallgató vizsgázott matematika A-ből, közepest kapott k hallgató A n és k összefügg Relatív gyakoriság γk/n Relatív gyakoriság tulajdonságai γ biztos esemény : γ 5 Val.szám összefoglaló

6 Relatív gyakoriság Relatív gyakoriság és a kísérletek száma: γk/n rel.gyak Ha n γ ingadozása 6 Val.szám összefoglaló

7 Relatív gyakoriság Átlag Berajzolható egy átlag, ami körül a rel.gyak ingadozik Ez az átlag az esemény valószínűsége (mérnöki megfogalmazás) 7 Val.szám összefoglaló

8 Valószínűség Hogy jutottunk ide? Véletlen Kísérlet Esemény Gyakoriság Relatív gyakoriság valószínűség A valószínűség jelölése: A esemény, ennek valószínűsége: P(A)p 8 Val.szám összefoglaló

9 Valószínűség Valószínűség Az eseményhez rendelt számérték P(A)p; függvénykapcsolat Pl. A{fej dobás szabályos érmével}; P(A).5 A{3-as dobás kockával} P(A)/6 9 Val.szám összefoglaló

10 Valószínűség A valószínűség tulajdonságai A relatív gyakoriság alapján Legyen A véletlen esemény,.) P(A).) B legyen a biztos esemény, P(B) pl. biztos eseményre: kockadobás eredménye legfeljebb 6 vizsgajegy és 5 között van, stb. Val.szám összefoglaló

11 Valószínűség 3. Ha A és A események egymást kizáróak, akkor P(A U A) P(A) + P(A) Magyarázat: Legyen A; A; A66 a kockadobás eredménye. Szabályos a kocka: P(A)/6; ; P(A6)/6 P(A U A4) { vagy 4} /6 + /6 /3 Val.szám összefoglaló

12 Valószínűség Kolmogorov aiómáit: Legyen A véletlen esemény,.) P(A).) B legyen a biztos esemény, P(B) 3. Ha A és A események egymást kizáróak, akkor P(A U A) P(A) + P(A) Val.szám összefoglaló

13 Valószínűségi változó Determinisztikus változó A figyelembe vett körülmények egyértelműen meghatározzák a változó értékét: s út; t idő a v sebesség vs/t V térfogat; ρ sűrűség. az m tömeg m ρv Valószínűségi változó A figyelembe vett körülmények nem határozzák meg egyértelműen a változó értékét: Sorozatgyártás (azonos körülmények): τ élettartam Célba lövés: r távolság a céltábla közepétől Mérési eredmény (hiba) ξ Jele általában görög betű. 3 Val.szám összefoglaló

14 Valószínűségi változó Determinisztikus változó: v m/s Valószínűségi változó Ingadozik: sokféle értéket vehet fel Lehet diszkrét: pl. kockadobás, meghibásodások száma, mobiltelefonra befutó hívások száma, stb. Lehet folytonos: holnapi középhőmérséklet, élettartam, Hogyan jellemezhető? 4 Val.szám összefoglaló

15 Eloszlásfüggvény (folytonos változó) F() γ F γ P{ξ<} F 5 Val.szám összefoglaló

16 Eloszlásfüggvény (diszkrét változó) F() Val.szám összefoglaló

17 Eloszlásfüggvény (folytonos változó) F() Szavakban: F() F()P{ξ<} ξ valószínűségi változó F() eloszlás függvénye A függvényérték annak az eseménynek a valószínűsége, hogy ξ -nél kisebb 7 Val.szám összefoglaló

18 Eloszlásfüggvény (folytonos változó) F() Tulajdonságai Monoton növekedő: ha > F( ) F( ) F() Határértékei: lim lim + F F ( ( ) ) Balról folytonos 8 Val.szám összefoglaló

19 9 Val.szám összefoglaló Eloszlásfüggvény (folytonos változó) F() F(a) a b F(b) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( a F b F b a P b F b P a F a P < < < < ξ ξ ξ Intervallumba - esés valószínűsége

20 Sűrűségfüggvény ξ sűrűségfüggvényének nevezzük az f() függvényt, ha F() eloszlásfüggvény differenciálható és: f ( ) df d ebből következik F ( ) f ( t) dt Val.szám összefoglaló

21 Sűrűségfüggvény F() Tulajdonságok f ( ) f () a b f ( ) d a b F(b) F(a) b a f()d Val.szám összefoglaló

22 Alapfogalmak Fontos fogalmak: Véletlen esemény Gyakoriság, relatív gyakoriság, Valószínűség Valószínűségi változó Eloszlásfüggvény Sűrűségfüggvény Val.szám összefoglaló

23 Várható érték Valószínűségi változó részleges jellemzése: o o az ingadozás közepe várható érték az ingadozás mértéke szórás 3 Val.szám összefoglaló

24 Várható érték ξ,..., ξ, ξ 3 ξ n Megfigyelés sorozat, pl. testmagasságok ξ n n i ξ i Átlag: az ingadozás közepe Részintervallumokra bontás 45 j j + ν ν ν j j gyakoriságok ξ n K j j ν 4 Val.szám összefoglaló

25 5 Val.szám összefoglaló Várható érték Folytatás: j K j j j j j K j j j j j K j j j K j j f n n n ) ( ν ν ν ξ d f M ) ( (ξ )

26 Várható érték Összefoglalva: Ki akartuk számolni a valószínűségi változó ingadozásának közepét. Ez a matematikai átlag. Ha nagyon sok elem átlagát vesszük, akkor ξ M (ξ ) f ( ) d 6 Val.szám összefoglaló

27 Várható érték Tulajdonságai: additív: ξ η M ( ξ) M( ξ + η) M( ξ) + M( η) M ( ξ) Lineáris η aξ + b; a, b konstans M ( η) M ( aξ + b) am ( ξ ) + b Konstans várható értéke önmaga 7 Val.szám összefoglaló

28 Szórás A valószínűségi változó várható értéke körüli ingadozását, szóródását méri a szórás, ennek négyzete a szórásnégyzet. M ( ξ M ( σ [ ξ M ( ξ )] ha a M ( ξ )) konstans ) σ D D ( a) 8 Val.szám összefoglaló ( ξ ) Átlagos négyzetes eltérés szórásnégyzet A szórásnégyzet pozítiv négyzetgyöke a szórás

29 Szórás Tulajdonságok: Legyen: ξ ; D ( ξ ) Kérdés: σ ξ η a ξ + b szórása ( η) D ( aξ + b) a D ( ξ ) D( η) a D( ξ ) D Legyen: ξ ; η σ ξ ; σ η Kérdés: ( ξ + η) szórása (ξ és η független) ( ξ + η) D ( ξ ) D ( η) D + 9 Val.szám összefoglaló

30 Nevezetes eloszlások Binomiális eloszlás: kísérletnek két kimenetele lehet: A vagy Â. Jelöljük P(A)p és P(Â)-p Magyarázat: egy szállítmányban p3% selejt van. Kérdés, hogy n5 darabot kiválasztva, pontosan db selejtet találok. 3 Val.szám összefoglaló

31 Nevezetes eloszlások: egyenletes eloszlás f() valószínűségi változó egyenletes eloszlású a [a,b] intervallumban, ha egyenlő valószínűséggel esik egyenlő hosszúságú részintervallumokba. a b3 F() Val.szám összefoglaló

32 f() F() Nevezetes eloszlások: egyenletes eloszlás f ( ) 3 Val.szám összefoglaló b M ( ξ ) f a + b σ b a. 5 a ( ) d 3 ( b a) 3 σ 4 3 4

33 Nevezetes eloszlások: normális eloszlás f() F() sűrűségfüggvény: f ( ) e σ π m ; σ ( m ) σ m: várható érték σ: szórás F() eloszlásfüggvény: 33 Val.szám összefoglaló F ( ) f ( t) dt

34 Nevezetes eloszlások: normális eloszlás Két paraméteres eloszlás: m és σ Jele: ξ єn(m, σ) Ha m és σ: standard normális eloszlás. Standardizálás: ξ s ξ m σ Belátjuk, hogy ξ s єn(, ) 34 Val.szám összefoglaló

35 35 Val.szám összefoglaló Nevezetes eloszlások: standardizálás Belátjuk, hogy ξ s єn(, ) σ ξ σ ξ σ ξ ξ m M m M m M M s ) ( ) ( ) ( ) ( σ ξ σ ξ σ ξ ξ ) ( ) ( ) ( ) ( D m D m D D s

36 Nevezetes eloszlások: standard normális eloszlás f() Standard normális eloszlás m; σ F() Val.szám összefoglaló

37 Nevezetes eloszlások: standard normális eloszlás ξ єn(m, σ) ξ s єn(, ) f(). f() F().8.8 F().6.4 F() Val.szám összefoglaló

38 Nagy számok törvénye Bernoulli (73) Nagy számú kísérlet esetén a relatív gyakoriság tart az esemény valószínűségéhez. n kísérletek száma k kedvező esetek száma, p az esemény valószínűsége limp( n k n p ε ) 38 Val.szám összefoglaló

39 Nagy számok törvénye limp( n k n p ε ) Sztochasztikus konvergencia k n ε { ε { p n 39 Val.szám összefoglaló

40 Nagy számok törvénye Átlag és várható érték kapcsolata ξ, ξ,... ξ n ξ n i n ξ i ξ st m 4 Val.szám összefoglaló

41 Centrális határeloszlás tétel Az n darab független valószínűségi változó összegének eloszlása tart a normális eloszláshoz: ξ + ξ ξn n m lim P( < ) Φ( ) n n σ ahol: u Φ( ) e π du 4 Val.szám összefoglaló

42 Centrális határeloszlás tétel f ξ Példa: Legyen ξ egyenletes eloszlású valószínűségi változó. f f 3 ξ + ξ ξ + + ξ ξ3 f 4 3 ξ + + ξ + ξ3 ξ Val.szám összefoglaló

43 Fogalmak Várható érték Szórás Binomiális eloszlás Egyenletes eloszlás Normális eloszlás Standardizálás Nagy számok törvénye Stochasztikus konvergencia Centrális határeloszlás tétel 43 Val.szám összefoglaló