matematikai statisztika
|
|
- Elek Fekete
- 5 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Valószínűségszámítás és matematikai statisztika május 23.
2 ii
3 Tartalomjegyzék I. Valószínűségszámítás 1 1. Véletlen jelenségek matematikai modellje Valószínűségi mező Nevezetes véletlen kísérletek Feladatok Feltételes valószínűség, függetlenség A függetlenség tulajdonságai A feltételes valószínűség tulajdonságai Bayes döntés Feladatok Valószínűségi változók Valószínűségi változóval kapcsolatos események Valószínűségi változók struktúrája Valószínűségi változók eloszlása Nevezetes eloszlású valószínűségi változók Feladatok Várható érték, szórás Várható érték Szórás Nevezetes eloszlások várható értéke, szórása Momentumok, kovariancia Feladatok Nagy számok törvénye Nevezetes egyenlőtlenségek Nagy számok törvényei Feladatok Karakterisztikus függvény Határeloszlások Véletlen tagszámú összeg Feladatok iii
4 iv TARTALOMJEGYZÉK 7. Vektor valószínűségi változók jellemzői Jelölések, elnevezések Várható érték, kovariancia mátrix Karakterisztikus függvény Vektor valószínűségi változó főkomponensei Normális eloszlású vektor valószínűségi változó Feladatok Nevezetes eloszlások χ 2 eloszlás T és F-eloszlás Feladatok Regresszió analízis Többváltozós lineáris regresszió Elméleti regresszió, feltételes várható érték A Bayes döntés Feladatok Sztochasztikus folyamatok Véletlen eseményfolyamat, Poisson folyamat Brown-mozgás, Wiener folyamat Független és stacionárius növekményű folyamatok Stacionárius folyamatok Feladatok II. Matematikai statisztika A matematikai statisztika alapfogalmai Statisztikai mező Statisztikák Paraméterek Likelihood függvény Feladatok Paraméterbecslés Pontbecslés Becslések hatékonysága Maximum likelihood becslés Hatékonyabb becslés mint az elégséges statsiztika függvénye A hatékonyság információs határa Intervallum becslések Feladatok
5 TARTALOMJEGYZÉK v 13.Hipotézis vizsgálat Alapfogalmak Valószínűséghányados próba Bartlett próba Valószínűség próbája, (n;c) terv Normális eloszlás paramétereinek próbái Feladatok Lineáris függőségi kapcsolat Egyenlő mértékű, független megfigyelési hiba Korrelált megfigyelési hibák Ridge becslés Nemlineáris regressziós függvények Fealadatok Szórásanalízis Rögzített hatások modellje Véletlen hatások modellje Feladatok: Nem paraméteres próbák Illeszkedés vizsgálat Függetlenség vizsgálat Homogenitás vizsgálat Feladatok A. Mérték és integrál 207 A.1. Mérték A.2. Mérhető függvény A.3. Integrál B. Táblázatok 217 C. Képletek 227 Kézirat, módosítva: május 23.
6 vi TARTALOMJEGYZÉK
7 I. rész Valószínűségszámítás 1
8
9 1. fejezet Véletlen jelenségek matematikai modellje 1.1. Valószínűségi mező Véletlen jelenségek körének meghatározása hasonló nehézségekkel jár, mint más természettudományok esetén a vizsgálatok tárgyának megadása. Azt azonban elfogadhatjuk, és mindennapi szóhasználatunk is ezt jelzi, hogy vannak olyan jelenségek, történések, melyek lejátszódásával kapcsolatos bizonytalanságunkat úgy fejezzük ki, hogy a véletlenül, találomra, stb. kifejezéseket használjuk. Ilyen jelenségek például egy kocka dobása, vagy egy adott helyen és időpontban mérhető időjárási elem (pl. hőmérséklet). Ezen jelenségekről bőséges tapasztalat szerezhető ismételt megfigyelésükkel. Ilyen tapasztalat, hogy szabályos kockát dobva minden eredmény hasonló gyakorisággal következik be, vagy másképp fogalmazva, egyforma esélyű, illetve januárban kevésbé valószínű a 20C feletti hőmérséklet, mint a fagypont alatti, vagy általában a gyakrabban bekövetkező dolgokat, éppen gyakoriságuknak megfelelően, valószínűbbnek mondjuk. Foglaljuk most össze az ilyen, un. véletlen kísérletek közös vonásait: a véletlen kísérletnek jól meghatározható kimenetelei vannak; bizonyos kimenetelek bekövetkezésének eseményéről beszélhetünk; az ilyen események bekövetkezési esélye mennyiségi formában megadható; Célunk olyan modell megfogalmazása, ahol mindezeknek matematikai fogalmakat feleltetünk meg, és matematikai módszerekkel olyan eredményeket nyerhetünk, amelyek segítenek ezen jelenségek megértésében, illetve a tapasztalat által is megerősíthető törvényszerűségeket tudunk bizonyítani. 3
10 4 1. FEJEZET. VÉLETLEN JELENSÉGEK MATEMATIKAI MODELLJE 1.1. Definíció. Valószínűségi mezőnek nevezzük az (Ω, A, P ) hármast, ahol Ω az elemi események halmaza, eseménytér; A az eseménytér részeinek σ-algebrája, az eseményalgebra, azaz teljesülnek: A1 Ω A ; A2 ha A, B A akkor A \ B A ; A3 ha A n A n = 1, 2,... akkor n=1 A n A ; P az eseményalgebrán értelmezett függvény, a valószínűségi mérték, azaz teljesülnek: P1 P (Ω) = 1 ; P2 ha A A akkor P (A) 0 ; P3 ha A n A n = 1, 2,... és A k A l = k l = 1, 2,... akkor ( ) P A n = P (A n ) ; n=1 Tehát a valószínűségi mező egy mértéktér véges mértékkel (lásd A. Függelék). A továbbiakban minden esetben egy ilyen modellt tételezünk fel, és ha külön nem is említjük, fogalmaink egy (Ω, A, P ) valószínűségi mezővel lesznek kapcsolatosak. Az alábbiakban felsorolunk néhány egyszerűen következő tulajdonságot, és itt használatos elnevezést, kifejezést. 1. Az A eseményalgebra elemei az események, Ω A a biztos esemény. 2. Mivel = Ω \ Ω A, az üres halmazt lehetetlen eseménynek nevezzük. 3. Az eseményalgebra zárt a szokásos müveletekre: ha A, B A akkor A c = Ω \ A A A B = A B... A A B = (A c B c ) c A 4. A lehetetlen esemény valószínűsége 0, mivel n=1 P ( ) = P (... ) = P ( ) + P ( ) + P ( ) +... ami csak úgy teljesülhet, ha P ( ) = 0.
11 1.1. VALÓSZÍNŰSÉGI MEZŐ 5 5. A valószínűségi mérték végesen additív: ha A, B A és A B = vagyis A és B kizárják egymást, akkor kizáró események egyesítése, és így A B = A B... P (A B) = P (A) + P (B) = P (A) + P (B). 6. Néhány további számolási szabály : ha A, B A akkor mivel Ω = A A c kizáró események úniója, így P (A c ) = 1 P (A) ; mivel A = (A B) (A \ B) kizáró események úniója, így P (A \ B) = P (A) P (A B) ; ha teljesül még A B, vagyis B bekövetkezése maga után vonja A bekövetkezését, akkor P (A) P (B) és P (A \ B) = P (A) P (B) ; mivel A B = A (B \ A) kizáró események úniója, használva az előző eredményt, kapjuk P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) ; az előző eredményből kapjuk a valószínűség un. szubadditív tulajdonságát: P (A B) P (A) + P (B) ami véges vagy megszámlálható únióra is következik. 7. A valószínűségi mérték folytonossága: ha A 1 A 2... A, akkor B 0 =, B 1 = A 1, B 2 = A 2 \ A 1, B 3 = A 3 \ A 2,... páronként kizáró események, és egyesítésük B n = A n, n=0 n=1 amiből kapjuk ( ) P A n = 0 + P (A 1 ) + (P (A 2 P (A 1 )) + (P (A 3 P (A 2 )) +... = lim P (A n ). n n=1 Hasonlóan teljesül A 1 A 2... A esetén ( ) P A n = lim P (A n ). n n=1 Kézirat, módosítva: május 23.
12 6 1. FEJEZET. VÉLETLEN JELENSÉGEK MATEMATIKAI MODELLJE A továbbiakban néhány tipikus, véletlen jelenségek modellezésére jól használható példát adunk valószínűségi mezők megadására. 1. Kombinatórikus valószínűségszámítási problémák Véges sok, egyformán valószínű kimenetellel rendelkező véletlen kísérlet modellje. Ω = {ω 1, ω 2,..., ω n } 2. Diszkrét valószínűségi mező A = 2 Ω P (A) = < A elemeinek száma > < Ω elemeinek száma > A Ω Véges vagy megszámlálhatóan végtelen sok kimenetelű véletlen kísérlet modellje, ahol a kimenetelek valószínűségei egy (p n ) n=1,2,... diszkrét valószínűségeloszlással adottak. Ω = {ω 1, ω 2,..., ω n,... } A = 2 Ω P (A) = ω n A ahol (p n ) n=1,2,... egy diszkrét valószínűségeloszlás, azaz p n 0 n = 1, 2,... és p n = Geometriai valószínűségszámítási problémák p n R n valamely véges, pozitív mértékű részhalmazát kitöltő kimenetelekkel rendelkező véletlen kísérlet modellje, ahol egy résztartomány bekövetkezési valószínűsége arányos annak mértékével. Ω R n A = {Ω B B B n } P (A) = < A mértéke > < Ω mértéke > A A ahol B n jelöli az R n intervallumait tartalmazó legszűkebb σ-algebrát. 4. Folytonos valószínűségi mező A véletlen kísérlet kimenetelei R n (vagy valamely mérhető részének) pontjaival azonosíthatók, és egy x R n pont kis környezetébe esés valószínűsége arányos egy valószínűségi sűrűségfüggvény f(x) értékével. Ω = R n n A = B n P (A) = f A A A
13 1.2. NEVEZETES VÉLETLEN KÍSÉRLETEK 7 ahol az f : R n R egy valószínűségi sűrűségfüggvény, azaz f(x) 0 x R n és f = 1. R n A fenti példákban a 1.1 definíciónak megfelelő hármast adtunk meg, ami a 2. példa kapcsán egyszerűen ellenőrízhető, az 1. példa pedig ennek speciális esete a p k = 1 n k = 1, 2,... n valószínűségeloszlással. A 4. példa az A. függelék egyik példája mérték megadására, és a 3. példa lényegében az előbbi speciális esete az { 1 ha x Ω f(x) = <Ω mértéke> 0 egyébként valószínűségi sűrűségfüggvény választásával Nevezetes véletlen kísérletek Az alábbiakban felsorolunk néhány nevezetes véletlen jelenséget, és megfogalmazzuk a velük kapcsolatos valószínűségi modellt és megadjuk események valószínűségeit. Ezek a valószínűségi mezők a fenti példák konkrét esetei lesznek, ezért mindíg csak az Ω eseményteret és a megfelelő diszkrét valószínűségeloszlást, illetve valószínűségi sűrűségfüggvényt adjuk meg. (1) Visszatevés nélküli mintavétel Egy N N + elemszámú halmaz elemei között M N számú megjelölt van. Véletlenszerűen kiválasztva n N számút, mennyi annak valószínűsége, hogy k számú megjelölt van a kiválasztottak között, azaz a mintában? Legyenek Ω az N elem n-ed osztályú ismétlés nélküli kombinációinak C n N = ( N n) elemszámú halmaza, minden kombináció egyformán valószínű, A k esemény (azon kombinációk halmaza) amikor a kiválasztottak között k-számú megjelölt van, k = 0, 1, 2,... n. Használjuk a továbbiakban az ( ) a = 0 b ha a < b N Kézirat, módosítva: május 23.
14 8 1. FEJEZET. VÉLETLEN JELENSÉGEK MATEMATIKAI MODELLJE értelmezést, amivel A k elemszáma ( ) M k tehát ( ) N M, n k ( M ) ( k N M ) n k P (A k ) = ( N k = 0, 1, 2,... n. (1.1) n) Mivel az A k k = 0, 1, 2,... n események páronként kizáróak, és Ω = n k=1 A k, teljesül n P (A k ) = 1 k=0 vagyis (1.1) egy diszkrét valószínűségeloszlás, amit hipergeometriai eloszlásnak nevezünk. (2) Visszatevéses mintavétel Egy N N + elemszámú halmaz elemei között M N számú megjelölt van. Véletlenszerűen kiválasztva n N számút egymás után a kiválasztottak visszatevésével, mennyi annak valószínűsége, hogy k számú megjelölt van a mintában? Legyenek Ω az N elem n-ed osztályú ismétléses variációinak V n,i N = N n elemszámú halmaza, minden variáció egyformán valószínű, A k esemény (azon variációk halmaza), amikor a választottak között k-számú megjelölt van, k = 0, 1, 2,... n. Mivel A k elemszáma ( ) n M k (N M) n k, k a p = M N jelölést bevezetve kapjuk: ( ) n P (A k ) = p k (1 p) n k k k = 0, 1, 2,... n. (1.2) Az A k k = 0, 1, 2,... n események most is páronként kizáróak, és Ω = n k=1 A k, tehát n P (A k ) = 1 k=0 vagyis (1.2) egy diszkrét valószínűségeloszlás, amit binomiális eloszlásnak nevezünk.
15 1.2. NEVEZETES VÉLETLEN KÍSÉRLETEK 9 (3) Bernoulli kísérlet Egy p [0; 1] valószínűségű esemény n-ismételt megfigyelése esetén mennyi annak valószínűsége, hogy a figyelt esemény k-szor következik be? Vegyük észre, hogy a visszatevéses mintavételtben egy p = M valószínűségű eseményt N figyelünk meg n-szer, és A k éppen azt jelenti, hogy k-szor következik be a figyelt esemény, azaz a megjelölt választása. Tehát választhatjuk Ω = {0, 1, 2,..., n} p k = ( n k) pk (1 p) n k k = 0, 1, 2,... n. Ezek a példák a véletlen jelenségekről szerezhető tapasztalatok leggyakoribb forrásait modellezik. Az ismételt megfigyelésből szerezhető tapasztalataink szerint egy esemény bekövetkezéseinek relatív gyakorisága a vélelmezett valószínűség egyfajta közelítése. Mindezt igazolni látszik az a könnyen ellenőrízhető körülmény is, hogy a hipergeometriai és binomiális eloszlások legnagyobb valószínűségei az np értékhez legközelebbi egészek egyike lesz. Tehát az np érték mintegy átlagos illetve legvalószínűbb gyakoriság értelmezhető. Ezzel a fogalommal lehetővé válik olyan jelenségek modellezése, ahol a megfigyelések n száma igen nagy és a p bekövetkezési valószínűség nagyon kicsi, de az átlagos gyakoriság megadható mint egy 0 < λ mennyiség. Létezik ugyanis a következő határérték és lim n np=λ ( ) n p (1 p) n k = λk k k! e λ k = 0, 1, 2,... (1.3) k=0 λ k k! e λ = 1, tehát (1.3) egy diszkrét valószínűségeloszlást, az un. Poisson eloszlást határoz meg, amivel megfogalmazhatjuk a következő véletlen kísérletet. (4) Véletlen eseményszám Egy átlagosan λ-szor bekövetkező esemény véletlen számú bekövetkezésének megfigyelése. Legyenek Ω = N p k = λk k! e λ k N. Ha ez utóbbi kísérletet olyan esetben fogalmazzuk meg, amikor egy esemény bekövetkezése egy berendezés meghibásodását jelenti, és λ az időegységre jutó meghibásodások átlagos száma, akkor t-időtartamú meghibásodás mentes működés valószínűsége: p 0 = e λt = t λ e λt dt, Kézirat, módosítva: május 23.
16 10 1. FEJEZET. VÉLETLEN JELENSÉGEK MATEMATIKAI MODELLJE ahol f(t) = { λ e λt ha 0 t 0 egyébként egy un. exponenciális valószínűségi sűrűségfüggvény. Megfogalmazhatjuk tehát a következő véletlen kísérletet, melynek modellje egy folytonos valószínűségi mező. (6) Véletlen időtartam Egy átlagosan T = 1 idejű véletlen időtartam megfigyelése esetén, adjuk meg egy λ t-nél hosszabb időtartam bekövetkezésének valószínűségét! Legyenek Ω = R + f(t) = λ e λt t R + [t; + [ 0 < t-nél hosszabb időtartam megfigyelésének eseménye, akkor P ([t; + [) = e λt = t λ e λt dt t > 0. (1.4) Vizsgáljuk a következő kísérletet: egy lejtőn az alábbi módon helyezünk el ékeket 2n számú sorban, és egy golyót legurítunk úgy, hogy az minden soron áthaladva, és egy éknél véletlenszerűen irányt változtatva érkezik le a k = n, (n 1),..., 1, 0, 1,..., (n 1), n helyek valamelyikére. 1.sor 2.sor 3.sor n.sor n 0 n érkezési helyek A k helyre érkezés pontosan akkor következik be, ha a golyó 2n számú ütközésből n k számúszór fog jobbra gurulni, és feltehetjük a jobbra és balra haladás egyforma valószínűségét. Tehát a Bernoulli késérlet szerint a k helyre érkezés valószínűsége: p k = ( 2n n k ) 1 2 2n k = 0, ±1, ±2,..., ±n. Ha a sorok számát növeljük, de egyben a méretek csökkentésével elérjük, hogy a leérkezési helyek egymás közti távolsága csökkenjen, és éppen 1 n legyen, az x = k n rögzített helyre érkezés valószínűségére nyerjük a következő határértéket: lim n pk = 1 e x2 x R. (1.5) π n n x= k
17 1.2. NEVEZETES VÉLETLEN KÍSÉRLETEK 11 Ezt felhasználva, elég nagy tábla esetén, két x 1 = l 1 n < x 2 = l 2 n hely közé érkezés A [x1 ;x 2 ] eseményének valószínűségére kapjuk: P ( ) l 2 A [x1 ;x 2 ] = p k k=l 1 l 2 k=l 1 1 π e x2 k 1 x2 1 π e x2 dx n x 1 ahol x k = k n k = l 1,, l 2. Tehát egy folytonos valószínűségi modellt kapunk az f(x) = 1 π e x2 x R sűrűségfüggvénnyel. Ennek egyszerű transzformáltjaként kapható f(x) = 1 π σ e (x m)2 2σ 2 x R (1.6) az un. Gauss, vagy normális valószínűségi sűrűségfüggvény, ahol m R és σ > 0. Mindezek alapján megfogalmazhatjuk sok véletlen eltérés összegének, mint pl. egy mérés véletlen eredményének modelljét. (6) Mérési eredmény Sok kicsiny eltérés összegeként nyerhető véletlen érték megfigyelése. Legyenek Ω = R f(x) = 1 π σ e (x m)2 2σ 2 x R ahol az f normális sűrűségfüggvény alakja miatt, m a hiba mentes, igazi érték, σ > 0 pedig a pontosság egyfajta mértékeként értékelhető. Egy [x 1 ; x 2 ] intervallumba eső érték megfigyelésének valószínűsége (7) Véletlen pont választása P ([x 1 ; x 2 ]) = x2 e (x m)2 2σ π σ 2 dx. (1.7) x 1 1 Egy [a; b] R intervallumban válasszunk találomra egy számot, adjuk meg annak valószínűségét, hogy a pont egy [x; y] [a; b] részintervallumba esik! Legyenek Ω = [a; b] f(x) = 1 b a x [a; b], akkor egy [x 1 ; x 2 ] [a; b] intervallumba eső érték választásának valószínűsége P ([x 1 ; x 2 ]) = x2 1 dx. (1.8) x 1 b a Kézirat, módosítva: május 23.
18 12 1. FEJEZET. VÉLETLEN JELENSÉGEK MATEMATIKAI MODELLJE 1.3. Feladatok 1. Legyenek A 1, A 2,..., A n páronként diszjukt halmazok, és Ω = n k=1 A k. Adjuk meg az ezeket tartalmazó legszűkebb eseményalgebrát, és az ezen értelmezhető valósznínűségi mértékeket mi határozza meg? 2. Legyenk A 1, A 2,..., A n halmazok, és Ω = n k=1 A k, továbbá teljesüljön A 1 A 2... A n ahol A k vagy az A k halmaz, vagy A c k = Ω \ A k. Adjuk meg az ezeket tartalmazó legszűkebb eseményalgebrát, és mutassuk meg, hogy pontosan egy olyan valószínűségi mérték adható meg ezen, hogy teljesüljenek P (A k ) = p k [0; 1] k = 1, 2,... n P (A 1 A 2... A n ) = P (A 1 ) P (A 2 )... P (A n ). 3. Adjuk meg a hipergeometriai, binomiális és Poisson eloszlás legnagyobb valószínűségét! 4. Igazoljuk az (1.5) határértéket az n! = α n 2πn n n e n ahol lim α n = 1 n Stirling formula segítségével! 5. Vizsgáljuk az (1.6) függvény menetét, és mutassuk meg, hogy valószínűségi sűrűségfüggvény! 6. Számítsuk ki a LOTTO jéték kapcsán a különböző nyerő osztályok valószínűségeit! 7. Egy jegypénztárban 500Ft-ért lehet egy jegyet vásárolni. Ha 100 sorbanálló mindegyike egy jegyet vásárol, és negyvenen ezressel, hatvanan pedig ötszázassal akarnak fizetni, mennyi annak valószínűsége, hogy a nyitáskor üres pénztár ellenére nem lesz fennakadás? 8. Mi valószínűbb: (a) egy kockával 4 dobásból legalább egyszer hatost dobni? (b) két kockával 24 dobásból legalább egyszer dupla hatost dobni? 9. n 1 számú 1-est és n 2 számú 0-át véletlenszerűen elrendezve, adjunk rekurzív formulát annak valószínűségére, hogy a véletlen sorrendben az egyeseket összesen k = 0, 1,..., n 1 n 2 számú nulla előzi meg! 10. Egy síklapon egymástól d távolságra párhuzamos vonalak vannak, és egy l < d hosszúságú tűt ejtünk találomra a síkra. Mennyi annak valószínűsége, hogy valamelyik vonalat metszi a tű? 11. Egy r sugarú körben találomra választott húr milyen valószínűséggel lesz r-nél rövidebb?
19 2. fejezet Feltételes valószínűség, függetlenség Véletlen jelenségek kapcsán megfogalmazott valamely esemény bekövetkezése esetén, más események bekövetkezésének esélyét sok esetben újra értékeljük, és kevésbé vagy még inkább valószínűnek véljük mint korábban. Mindezt annak megfelelően tesszük, hogy a vizsgált eseményt alkotó kimenetelek milyen mértékben töltik ki a bekövetkezett eseményt Definíció. Legyenek A, B A események, és P (B) > 0. Az A esemény B-re vonatkozó feltételes valószínűségének nevezzük: P (A B) = P (A B) P (B) Az így definiált feltételes valószínűséget az A esemény (feltétel nélküli, abszulut, teljes) valószínűségével összehasonlítva, mondhatjuk: P (A B) > P (A) B bekövetkezése esetén az A esemény bekövetkezése valószínűbb. P (A B) < P (A) B bekövetkezése esetén az A esemény bekövetkezése kevésbé valószínű. P (A B) = P (A) B bekövetkezése nem befolyásolja az A esemény bekövetkezési esélyét, és ilyenkor ha még P (A) > 0 is teljesül, kapjuk P (B A) = P (B) és P (A B) = P (A) P (B). Tehát ez utóbbi esetben A bekövetkezése sem befolyásolja a B esemény bekövetkezési esélyét, amit függetlenségnek nevezünk Definíció. i) Az A, B A eseményeket függetleneknek nevezzük, ha teljesül P (A B) = P (A) P (B). 13
20 14 2. FEJEZET. FELTÉTELES VALÓSZÍNŰSÉG, FÜGGETLENSÉG ii) Az A 1, A 2,... A eseményhalmazokat, vagy másképpen eseményrendszereket páronként függetleneknek nevezzük, ha A A k éés B A l függetlenek k l = 1, 2,.... iii) Az A 1, A 2,... A eseményrendszereket teljesen függetleneknek nevezzük, ha esetén teljesül A ki A ki {k 1, k 2,..., k n } N + n N + P (A k1 A k2... A kn ) = P (A k1 ) P (A k2 )... P (A kn ) A függetlenség tulajdonságai A 2.2 definícióból következik néhány egyszerű állítás, megjegyzés: 1. Ha az eseményrendszerek egyetlen eseményből állnak, az eseményeket mondjuk páronként illetve teljesen függetleneknek. 2. Ha eseményrendszerek teljesen függetlenek, akkor páronként is függetlenek, és az A k1 A k2... A kn A l1 A l2... A lm események függetlenek, ahol A kı A kı {k 1, k 2,..., k n } N + n N + A lı A lı {l 1, l 2,..., l m } N + m N + = {k 1, k 2,..., k n } {l 1, l 2,..., l m }. A páronkénti függetlenségből nem következik a teljesen függetlenség (lásd 1. feladat). 3. A lehetetlen illetve biztos esemény minden eseménytől független, mivel A A esetén P (A ) = 0 = P (A) 0, 4. Ha A és B független események, akkor függetlenek, mert pl. P (A Ω) = P (A) = P (A) 1. A c éés B, Aéés B c, A c éés B c P (A c B) = P (B \ A) = P (B) P (A) P (B) = P (A c ) P (B). Következmény: Független eseményrendszerek bővíthetők az események komplementereivel, a páronkénti illetve teljesen függetlenség megtartásával.
21 2.1. A FÜGGETLENSÉG TULAJDONSÁGAI Véletlen kísérletek függetlenségét modellezhetjük valószínűségi mezők szorzat mértékterével. Legyen (Ω 1, A 1, P 1 ) és (Ω 2, A 2, P 2 ) két valószínűségi mező, akkor az (Ω, A, P ) szorzat mértéktér (lásd A. Függelék) egy valószínűségi mező, ahol és ebben az Ω = Ω 1 Ω 2 A = σ {A B A A 1, B A 2 } P (A B) = P 1 (A) P 2 (B) A A 1, B A 2, Ã 1 = {A Ω 2 A A 1 } A Ã 2 = {Ω 1 B B A 2 } A eseményrendszerek függetlenek. Hasonlóan kapjuk több véletlen kísérlet teljesen független beágyazását a szorzat modellbe. A függetlenség fogalmával a korábban már említett Bernoulli kísérlet újra megfogalmazható, és újabb nevezetes véletlen kísérleteket vizsgálhatunk. (3) Bernoulli kísérlet Egy p [0; 1] valószínűségű eseményt n-szer megfigyelve, mennyi annak valószínűsége, hogy k-szor következik be? Legyenek a B 1, B 2,..., B n események teljesen függetlenek, és P (B i ) = p i = 1, 2,..., n. Jelölje továbbá A k esemény k-számú bekövetkezését a B 1, B 2,..., B n események közül. Akkor az A k = ( B 1 B 2... B k B c k+1... Bc n)... események valószínűségeire kapjuk ( ) n P (A k ) = p k (1 p) n k k = 0, 1, 2,... n. k (7) Több kimenetelű kísérlet ismételt megfigyelése Egy r kimenetelű kísérletet n-szer megismételve, adjuk meg annak valószínűségét, hogy az egyes kimenetelek k 1, k 2,... k r -szer következnek be, ha az egyes kimenetelek valószínűségei a p 1, p 2,..., p r diszkrét valószínűségeloszlással adottak! Legyenek a {B i1, B i2,..., B ir } A i = 1, 2,..., n Kézirat, módosítva: május 23.
22 16 2. FEJEZET. FELTÉTELES VALÓSZÍNŰSÉG, FÜGGETLENSÉG teljes eseményrendszerek teljesen függetlenek, és P (B ij ) = p i i = 1, 2,..., r, j = 1, 2,..., n. Ekkor a vizsgált A k1,k 2,...,k r = ( n ) B iji i=1 esemény egy pontosan n! k 1! k 2!... k r! tagú diszjunkt únió, ahol j 1, j 2,..., j n egy ismétléses permutáció k 1 számú 1-essel, k 2 számú 2-essel, és k r számú r-essel, így a függetlenséget is használva, kapjuk P (A k1,k 2,...,k r ) = n! k 1! k 2!... k r! pk 1 1 p k p kr r (2.1) r ha k j N j = 1, 2,..., néés k j = n. Mivel (2.1) valószínűségeinek összege (a polinomiális tétel szerint is) 1, ezt a valószínűségeloszlást polinomiális eloszlásnak nevezzük. (8) Esemény megfigyelése az első bekövetkezésig Egy p ]0; 1[ valószínűségű eseményt figyelünk meg az első bekövetkezésig, adjuk meg annak valószínűségét, hogy ez a k-adik kisérletben történik meg! Legyenek a B 1, B 2,... események teljesen függetlenek, és P (B i ) = p i = 1, 2,.... Jelölje továbbá a vizsgálandó eseményt akkor a függetlenségből kapjuk: A k = B c 1 B c 2... B c k 1 B k k = 1, 2,... j= P (A k ) = p (1 p) k 1 k = 1, 2,... ami az un. diszkrét geometriai eloszlás, ugyanis p (1 p) k 1 = 1. k=1 Ez egyben azt is jelenti, hogy az A = B c 1 B c 2... = (A 1 A 2... ) c esemény valószínűsége P (A ) = 0.
23 2.2. A FELTÉTELES VALÓSZÍNŰSÉG TULAJDONSÁGAI A feltételes valószínűség tulajdonságai Az alábiakban felsoroljuk a feltételes valószínűség néhány fontos tulajdonságát, melyek indokolják a fogalom értelmezését, és módszereket adnak bizonyos típusú problémák megoldásához. 1. Ha B A A, és P (B) > 0, akkor P (A B) = 1, tehát ha B maga után vonja az A eseményt, annak erre vonatkozó valószínűsége 1, ha pedig A, B A kizáróak, akkor P (A B) = Ha B A egy rögzített esemény, és P (B) > 0, akkor valószínűségi mérték A-n. P ( B) : A R A P (A B) Következmény: A valószínűségggel kapcsolatos számolási szabályokat a feltételes valószínűségre is alkalmazhatjuk, mint pl. P (A c B) = 1 P (A B) P (A 1 \ A 2 B) = P (A 1 B) P (A 1 A 2 B) P (A 1 A 2 B) = P (A 1 B) + P (A 2 B) P (A 1 A 2 B). 3. Szorzási szabály Legyenek A 1, A 2,..., A n A események olyanok, hogy P (A 1 A 2... A n ) > 0, akkor P (A 1 A 2... A n ) = P (A 1 ) P (A 2 A 1 ) P (A 3 A 1 A 2 )... P (A n A 1 A 2... A n ). 4. Teljes valószínűség tétel Legyenek B 1, B 2,..., B n A, B k B l = ha k l = 1, 2,..., n és n k=1 B k = Ω, vagyis egy un. teljes esményrendszer, továbbá A A, akkor n P (A) = P (A B k ) P (B k ). 5. Bayes tétel k=1 Legyen B 1, B 2,..., B n A egy teljes eseményrendszer, A A és P (A) > 0, akkor P (B l A) = P (A B l ) P (B l ) n k=1 P (A B k) P (B k ) l = 1, 2,..., n. Kézirat, módosítva: május 23.
24 18 2. FEJEZET. FELTÉTELES VALÓSZÍNŰSÉG, FÜGGETLENSÉG 2.3. Bayes döntés A feltételes valószínűség segítségével megadhatjuk a következő, un. döntési feladat megoldását. Legyenek (A i ) n i=1 és (B j) m j=1 teljes eseményrendszerek, és P (B j) > 0 j = 1, 2,... m. Keressük azt a un. döntés függvényt, mellyel a d : {1, 2,..., m} {1, 2,..., n} H d = m ( ) A c d(j) B j j=1 döntési hiba valószínűsége a legkisebb. A döntési hiba valószínűségét átalakítva kapjuk: P (H d ) = 1 m P ( ) m A d(j) B j = 1 P ( ) A d(j) B j P (Bj ). j=1 Ez pedig akkor maximális, ha azt a d döntésfüggvényt választjuk, melyre teljesül P (A d (j) B j ) P (A i B j ) i = 1, 2,..., n j = 1, 2,..., m, amit Bayes döntésnek nevezünk. Természetesen d nem egyértelműen adott, de minden Bayes döntés hibavalószínűsége ugyanaz. Egy másik lehetséges döntésfüggvény az a konstans d max, melyre teljesül amivel a döntés hibája j=1 P (A dmax ) = max {P (A 1 ), P (A 2 ),..., P (A n )} P (H dmax ) = 1 P (A dmax ) P (H d ). Ha a két teljes eseményrendszer független, akkor d = d max. Egy másik szélsőséges eset, amikor minden B j -hez van olyan A ı esemény, hogy B j A i, vagyis az Ω eseménytér (B j ) m j=1 feloszása finomabb, mint az (A i) n i=1 felosztás, másképpen fogalmazva minden B j esemény maga után vonja egy A i esemény bekövetkezését. Ekkor d (j) = i ha B j A i amiből következik, hogy ilyenkorp (H d ) = 0.
25 2.4. FELADATOK Feladatok 1. Válasszunk egy origó középpontú r sugarú körben találomra egy pontot, és jelölje A a pont az x tengely fölötti félkörbe esik; B a pont az y tengelytől jobbra eső félkörbe esik; C a pont az első, vagy a harmadik síknegyedbe esik; Mutassuk meg, hogy az A, B és C események páronként függetlenek, de nem teljesen! 2. Mutassuk meg, hogy ha Ω = I 0 J 0 R 2 intervallum, és a geometriai valószínűségszámítás modelljét használjuk, akkor az és eseményrendszerek függetlenek. I x = {I J 0 I I 0 intervallum} J y = {I 0 J J J 0 intervallum} 3. Bizonyítsuk a feltételes valószínűség tulajdonságait! 4. Két céllövő felváltva lő, és az nyer, aki először eltalálja a célt. Ha feltesszük, hogy a cél eltalálásának eseményei az egymást követő lövések során teljesen függetlenek, és az elsőnek lövő esetén 0.6, illetve a másodiknál 0.8 a találati valószínűség, adjuk meg annak valószínűségét, hogy az első, illetve a második lövő nyer! 5. Egy kosárlabda játékos egymás után végez büntető dobásokat. Az elsőt bedobja, a másodikat nem, és minden további dobása akkora valószínűséggel lesz sikeres, mint amennyi a megelőző dobásokban a kosarak relatív gyakorisága. Mennyi annak valószínűsége, hogy 100 dobásból pontosan 50 kosarat fog dobni? 6. Egy kosárlabda játékos egymás után végez büntető dobásokat. Az elsőt bedobja, a másodikat nem, és minden további dobása akkora valószínűséggel lesz sikeres, mint amennyi a megelőző dobásokban a bedobott kosarak relatív gyakorisága. Mennyi annak valószínűsége, hogy 100 dobásból pontosan 50 kosarat fog dobni? 7. Szinbád, a szultánnak tett szolgálataiért, választhat egyet a N számú háremhölgy közül úgy, hogy az egyenként előtte elvonuló hölgyek valamelyikére rámutat. Tegyük fel, hogy a háremhölgyek szépségük szerint egyértelműen sorrendbe állíthatóak, és Szinbád taktikája a következő: az első n számú hölgy szemrevétele után azt választja, aki szebb minden korábban látottnál. Mennyi annak valószínűsége, hogy Szinbád a legszebb háremhölgyet választja? Hogyan kell az N értékét megválasztani n elég nagy N esetén, hogy ez a valószínűség a legnagyobb legyen? Kézirat, módosítva: május 23.
26 20 2. FEJEZET. FELTÉTELES VALÓSZÍNŰSÉG, FÜGGETLENSÉG 8. Két város közötti távíró összeköttetés olyan, hogy a leadott távíró jelek közül a pontok 2 -e vonallá torzul, a vonalak 1 -a pedig ponttá. A leadott jelek közül a 5 3 pontok és vonalak aránya 5 : 3. Adjunk döntési szabályt a vevő számára, mennyi a hibás dekódolás valószínűsége?
27 3. fejezet Valószínűségi változók Egy véletlen kísérlet eredményéhez sok esetben természetes módon tartozik egy vagy több (véletlen) mennyiség. A matematikai modellben ennek megfelellő fogalom definíciója: 3.1. Definíció. i) Skalár valószínűségi változónak (röviden v.v.) nevezzük a ξ : Ω R függvényt, ha x R esetén {ξ < x} = {ω Ω ξ(ω) < x} = ξ 1 (], x[) A ; ii) Vektor valószínűségi változónak (röviden v.v.v.) nevezzük a ξ = (ξ 1, ξ 2,..., ξ n ) : Ω R n függvényt, ha a ξ i : Ω R i = 1, 2,..., n komponensek skalár valószínűségi változók. A továbbiakban a skalár ill. vektor jelzőket csak akkor használjuk, ha azt hangsúlyozni kívánjuk, egyébként egyszerűen valószínűségi változóról, röviden (v.)v.v.-ról beszélünk Valószínűségi változóval kapcsolatos események Jelöljön a továbbiakban ξ egy skalár v.v.-t, ekkor a vele kapcsolatos események az alábbiak: 1. A definíció szerint x R esetén {ξ < x} = {ω Ω ξ(ω) < x} = ξ 1 (], x[) A ; 2. Az eseményalgebra tulajdonságaiból következnek x y R esetén {ξ x} = {ω Ω ξ(ω) x} = ξ 1 ([x, + [) = {ξ < x} c A ; {x ξ < y} = {ω Ω x ξ(ω) < y} = ξ 1 ([x, y[) = {ξ < y} \ {ξ < x} A ; { {ξ = x} = {ω Ω ξ(ω) = x} = ξ 1 ({x}) = x ξ < x + 1 } A ; n n=1 {x ξ y} = {ω Ω x ξ(ω) y} = ξ 1 ([x, y]) = = {x ξ < y} {ξ = y} A ;. 21
28 22 3. FEJEZET. VALÓSZÍNŰSÉGI VÁLTOZÓK tehát általában I R intervallum esetén {ξ I} = {ω Ω ξ(ω) I} = ξ 1 (I) A. Hasonlóan ellenőrízhető, hogy egy ξ = (ξ 1, ξ 2,..., ξ n ) : Ω R n v.v.v. esetén például {x 1 ξ 1 < y 1, x 2 ξ 2 < y 2,..., x n ξ n < y n } = vagy általában {ω Ω x ı ξ ı (ω) < y ı i = 1, 2,..., n} A x ı y ı R i = 1, 2,..., n, {ξ I} = {ω Ω ξ(ω) I} = ξ 1 (I) A I R n intervallum. Mindezekből (lásd : A. függelék) következnek az alábbiak: 3.2. Következmény. i) Egy ξ : Ω R n függvény pontosan akkor (v.)v.v., ha mérhető az intervallumokat tartalmazó legszűkebb B n σ-algebrára, azaz ii) {ξ B} = {ω Ω ξ(ω) B} = ξ 1 (B) A B B n. A ξ = ξ 1 (B n ) = { ξ 1 (B) B B n } A egy eseményalgebra, amit a ξ (v.)v.v.-val kapcsolatos események rendszerének is nevezünk. iii) A ξ (v.)v.v. egy valószínűségi mértéket generál. P ξ : B n [0; 1] B P (ξ B) Ennek megfelelően, valószínűségi változókat akkor fogunk (páronként, teljesen) függetleneknek nevezni, ha a velük kapcsolatos eseményrendszerek (eseményalgebrák) függetlenek. Ezzel kapcsolatos a következő tétel Tétel. A ξ : Ω R p és η : Ω R q (v.)v.v.-k pontosan akkor függetlenek, ha P ({ξ I} {η J}) = P (ξ I) P (η J) I R p, J R q intervallumok. (3.1) Bizonyítás. Az egyik irány nyilvánvaló, tehát tegyük fel, hogy 3.1 teljesül. Ekkor a B p+q -n (ξ, η)-által generált P (ξ,η) mértékre P (ξ,η) (I J) = P ξ (I) P η (J) I ı p, J ı q, tehát megegyezik a szorzatmértékkel az I p+q félgyűrűn, de akkor az egyértelmű kiterjesztés miatt P (ξ,η) a szorzatmérték (lásd: A. függelék), vagyis P (ξ,η) (A B) = P ({ξ A} {η B}) = P (ξ A) P (η B) A B p, B B q, amit bizonyítani kellett.
29 3.2. VALÓSZÍNŰSÉGI VÁLTOZÓK STRUKTÚRÁJA Valószínűségi változók struktúrája Az alábbiakban összefoglaljuk a skalár v.v.-k (mérhető függvények, lásd: A függelék) tulajdonságait. 1. Egy A A esemény indikátora 1 A (ω) = { 1 ha ω A 0 ha ω A c valószínűségi változó. Speciálisan az 1 Ω 1 iletve 1 0 konstans függvények v.v.-k. 2. A skalár v.v.-k L halmaza vektorháló, azaz ξ L, c R c ξ L ξ, η L ξ + η L max{ξ, η} min{ξ, η} L, amiből következik, hogy egy ξ v.v. pozitív és negatív része, és ξ + = max{0, ξ} ξ = min{0, ξ} ξ = ξ + ξ abszolút értéke is valószínűségi változó, továbbá egy véges értékkészletű ξ : Ω R függvény pontosan akkor v.v., ha és ekkor a {ξ = x} A x im(ξ), ξ = x im(ξ) valószínűségi változót egyszerűnek nevezzük. x 1 {ξ=x} 3. A skalár v.v.-k L halmaza zárt a pontonkénti limeszre, azaz ha ξ n L n = 1, 2,... és akkor ξ valószínűségi változó. lim ξ n = ξ : Ω R, n 4. Ha 0 ξ v.v., akkor megadható egyszerű v.v.-k (ξ n ) n=1 monoton nem csökkenő sorozata, hogy A ξn A ξ n = 1, 2,... és lim ξ n = ξ. (3.2) n 5. Valószínűségi változó mérhető függvénye is valószínűségi változó, tehát ha ξ : Ω R n (v.)v.v. és h : R n R mérhető, akkor h ξ : Ω R valószínűségi változó. Speciálisan, ha h folytonos függvény, akkor h ξ valószínűségi változó. Kézirat, módosítva: május 23.
30 24 3. FEJEZET. VALÓSZÍNŰSÉGI VÁLTOZÓK 3.3. Valószínűségi változók eloszlása Egy ξ : Ω R n (v.)v.v. mindíg generál egy (R n, B n, P ξ ) valószínűségi mezőt, ahol a P ξ (B) = P ( ξ 1 (B) ) B B n valószínűségi mértéket (vagy a generált valószínűségi mezőt), amely az egységnyi valószínűséget szétosztja R n mérhető halmazain, a ξ v.v. eloszlásának nevezzük. A ξ-t diszkrét eloszlásúnak nevezzük, ha ez a mérték egy diszkrét valószínűségeloszlással adott, vagyis P ξ (B) = x B P (ξ = x) B B n, ahol a P (ξ = x) x R n valószínűségek közül csak véges, vagy megszámlálhatóan végtelen sok különbözik nullától, és azok összege x R n P (ξ = x) = 1. A ξ-t folytonos eloszlásúnak nevezzük, ha ez a mérték egy valószínűségi sűrűségfüggvénnyel adott, vagyis P ξ (B) = f B B n, B ahol f : R n R + 0 valószínűségi sűrűségfüggvény, azaz R n f = 1. Ilyenkor f nulla mértékű halmazon történő megváltoztatása azonos eloszlást eredményez, tehát f megadása nulla mértékű halmaztól eltekintve egyértelmű. Mint később látni fogjuk, a P ξ mértéket, vagy ξ eloszlását egyértelműen meghatározza a következő fogalom Definíció. A ξ = (ξ 1, ξ 2,..., ξ n ) : Ω R n (v.)v.v. eloszlásfüggvényének nevezzük az F (x 1, x 2,..., x n ) = P (ξ 1 < x 1, ξ 2 < x 2,..., ξ n < x n ) (x 1, x 2,..., x n ) R n függvényt. A definícióból és a valószínűségi mérték tulajdonságaiból egyszerűen következnek az alábbiak.
31 3.3. VALÓSZÍNŰSÉGI VÁLTOZÓK ELOSZLÁSA 25 Az eloszlásfüggvény tulajdonságai: 1. A ξ (v.)v.v. F eloszlásfüggvénye korlátos, im (F ) [0; 1]. 2. Legyen a ξ v.v.v. eloszlásfüggvénye F, akkor rögzített (x 1,..., x k 1, x k+1,..., x n ) R n 1 esetén az parciális függvény F (k) = F (x 1,..., x k 1,, x k+1,..., x n ) : R [0; 1] x F (x 1,..., x k 1, x, x k+1,..., x n ) (a) monoton nem csökkenő, balról mindenütt folytonos; (b) határértéke a végtelenben: és lim F (k)(x) = 0 x lim F (k)(x) = P ( ) ξ 1 < x 1, ξ 2 < x 2,..., ξ k 1 < x k 1, ξ k+1 < x k+1,... ξ n < x n x + vagyis F (k) (+ ) a ( ξ 1, ξ 2,..., ξ k 1, ξ k+1,... ξ n ) n 1 dimenziós un. perem eloszlásfüggvénye az (x 1,..., x k 1, x k+1,..., x n ) R n 1 helyen. Ha ξ skalár v.v., F monoton nem csökkenő, balról folytonos, és lim F (x) = 0 x lim F (x) = 1. x + 3. Legyen ξ skalár v.v., akkor a ξ-vel kapcsolatos események valószínűségei x y R esetén: ahol P (ξ < x) = F (x) P (ξ x) = 1 F (x) P (x ξ < y) = F (y) F (x) P (ξ = x) = F (x + 0) F (x) P (x ξ y) = F (y + 0) F (x) P (x < ξ y) = F (y + 0) F (x + 0) P (x < ξ < y) = F (y) F (x + 0) F (x + 0) = lim t x+ F (t), vagy általában jelöljük mindezt az alábbi módon: P (ξ I) = [F ] I I R intervallum. Ha ξ vektor valószínűségi változó, hasonlóan írhatjuk P (ξ I) = [F ] I I R n intervallum, tehát P ξ -t, illetve ξ-eloszlását meghatározza eloszlásfüggvénye. Kézirat, módosítva: május 23.
32 26 3. FEJEZET. VALÓSZÍNŰSÉGI VÁLTOZÓK A továbbiakban felsorolunk néhány egyszerűen ellenőrízhető, feladatokban gyakran használt következményt. Következmények: 1. Legyen a ξ : Ω R skalár v.v. (a) diszkrét eloszlású, akkor a diszkrét eloszlás valószínűségei és az eloszlásfüggvény P (ξ = x) = F (x + 0) F (x) x R, F (x) = t<x P (ξ = t) x R. Egy I R intervallum esetén P (ξ I) = x I P (ξ = x). (b) folytonos eloszlású, akkor valószínűségi sűrűségfüggvénye f(x) = F (x) x R ahol f folytonos, és az eloszlásfüggvény F (x) = x f(t)dt x R. Egy I R intervallum esetén, ha belseje ]a; b[ P (ξ I) = f(t)dt = [F ] I = F (b) F (a). I Mindez ξ : Ω R n v.v.v. esetén az alábbi összefüggéseket jelenti: illetve f(x 1, x 2,..., x n ) = n x1 x2... xn F (x 1, x 2,..., x n ) (x 1, x 2,..., x n ) R n ahol f folytonos, F (x 1, x 2,..., x n ) = x 1 x2... x n f(t 1, t 2,..., t n )dt 1 dt 2... dt n (x 1, x 2,..., x n ) R n, és egy I R n intervallum esetén, P (ξ I) = I f = [F ] I. Megjegyzés. Egy ξ skalár v.v. eloszlásának folytonosága egyszerűen következik, ha teljesül az alábbi két feltétel:
33 3.3. VALÓSZÍNŰSÉGI VÁLTOZÓK ELOSZLÁSA 27 F folytonos függvény; F folytonosan differenciálható az ]a n ; b n [ n = 1, 2,..., N nyílt intervallumokon, ahol a 1 =, a 2 = b 1, a 3 = b 2, a N = Legyen a (ξ, η) : Ω R p+q v.v.v. (a) diszkrét eloszlású, akkor ξ illetve η diszkrét eloszlásúak, és P (ξ = x) = y P (η = y) = x P (ξ = x, η = y) x R p ; P (ξ = x, η = y) y R q ; (b) folytonos eloszlású f : R p+q R + 0 sűrűségfüggvénnyel, akkor ξ illetve η folytonos eloszlásúak, és sűrűségfüggvényeik f ξ (x) = f(x, y)dy x R p ; R q f η (y) = f(x, y)dx y R q ; R p 3. A (ξ, η) : Ω R p+q v.v.v. ξ : Ω R p és η : Ω R q peremei pontosan akkor függetlenek, ha a megfelelő eloszlásfüggvényekre teljesül F (ξ,η) (x, y) = F ξ (x) F η (y) x R p y R q. Ha (ξ, η) diszkrét eloszlású, ez a feltétel ekvivalens a P (ξ = x, η = y) = P (ξ = x) P (η = y) x R p y R q teljesülésével, és ha (ξ, η) folytonos eloszlású, a feltétel f(x, y) = f ξ (x) f η (y) x R p y R q alakban írható a megfelelő sűrűségfüggvények alkalmas választásával. 4. Valószínűségi változó megadása adott eloszlással: (a) Legyen (p n ) n=1,2,... egy diszkrét valószínűségeloszlás, és {x 1, x 2,... } R p, akkor az Ω = R p A = B p P (B) = x n B p n B A valószínűségi mezőn értelmezett ξ = id R p v.v. diszkrét eloszlású, és eloszlása: { pn ha x = x P (ξ = x) = n n = 1, 2, egyébként Kézirat, módosítva: május 23.
34 28 3. FEJEZET. VALÓSZÍNŰSÉGI VÁLTOZÓK (b) Legyen f : R p R egy valószínűségi sűrűségfüggvény, akkor az Ω = R p A = B p P (B) = f B B A valószínűségi mezőn értelmezett ξ = id R p v.v. folytonos eloszlású, és sűrűségfüggvénye: f : R p R. 5. Valószínűségi változó függvényének eloszlása: Legyen ξ : Ω R p v.v.v. (a) diszkrét eloszlású, és h : R p R q, akkor η = h ξ : Ω R q diszkrét eloszlású v.v., és P (η = y) = P (ξ = x) y R q. (3.3) {x R p h(x)=y} (b) folytonos eloszlású f : R p R sűrűségfüggvénnyel, h : R p R p invertálható, és h 1 folytonosan differenciálható függvény, akkor η = h ξ : Ω R p v.v.v. eloszlása folytonos, és sűrűségfüggvénye ( ) f η (y) = det y h 1 (y) f ( h 1 (y) ) y R p. (3.4) Következmény: Ha a (ξ, η) : Ω R valószínűségi változó (a) diszkrét eloszlású, akkor ξ + η eloszlása is diszkrét, és P (ξ + η = x) = z P (ξ = x z, η = z) = z és ha még függetlenek is, akkor P (ξ + η = x) = z P (ξ = x z) P (η = z) = z P (ξ = z, η = x z) x R, P (ξ = z) P (η = x z) x R. (b) folytonos eloszlású f : R 2 R sűrűségfüggvénnyel, akkor ξ + η eloszlása is folytonos, és sűrűségfüggvénye f ξ+η (x) = + és ha még függetlenek is, akkor f ξ+η (x) = + f(x z, z)dz = f ξ (x z) f η (z)dz = + + ahol f ξ és f η a megfelelő peremek sűrűségfüggvényei. f(z, x z)dz x R, f ξ (z) f η (x z)dz x R,
35 3.4. NEVEZETES ELOSZLÁSÚ VALÓSZÍNŰSÉGI VÁLTOZÓK Nevezetes eloszlású valószínűségi változók A továbbiakban röviden összefoglaljuk a már korábban felsorolt, nevezetes véletlen kísérletek kapcsán megfogalmazható valószínűségi változók jellemzőit, és néhány könnyen ellenőrízhető tulajdonságát. Az egyszerűbb jelölés érdekében, diszkrét eloszlások esetén csak a pozitív valószínűségeket soroljuk fel a megfelelő értékekkel, továbbá folytonos eloszlás sűrűségfüggvényét csak ott adjuk meg, ahol pozitív értéket vesz fel. Tehetjük mindezt azért is, mert 0 vallószínűségű eseményen egy v.v. tetszőlegesen megváltoztatható az eloszlás változatlansága mellett. (1) Visszatevés nélküli mintavétel Egy N N + elemszámú halmaz elemei között M N számú megjelölt van. Véletlenszerűen kiválasztva n N számút, jelölje ξ a megjelöltek számát a mintában. Ekkor ξ diszkrét eloszlású, eloszlása hipergeometrikus (lásd: 1.1): ( M ) ( k N M ) n k P (ξ = k) = ( N k = 0, 1, 2,... n, n) jelölése ξ Hyp(N, M, n). Vezessük be továbbá a következő eseményeket A k a k-adik kiválasztott a megjelöltek közül való k = 1, 2,..., n; akkor ξ = 1 A1 + 1 A An (3.5) ahol P (A k ) = M N = p P (A k A l ) = M(M 1) N(N 1) k l = 1, 2,..., n. Tulajdonsága: Ha ξ N Hyp(N, M, n) és p = M N lim P (ξ N N = k) = p= M N (2,3) Visszatevéses mintavétel, Bernoulli kísérlet állandó, akkor ( ) n p (1 p) n k k = 0, 1, 2,... n. k Egy p [0; 1] valószínűségű esemény n-ismételt megfigyelése esetén jelölje a ξ v.v. a bekövetkezések számát. Ekkor ξ diszkrét eloszlású, eloszlása n-edrendű p-paraméterű binomiális eloszlás (lásd: 1.2): ( ) n P (ξ = k) = p (1 p) n k k = 0, 1, 2,... n, k Kézirat, módosítva: május 23.
36 30 3. FEJEZET. VALÓSZÍNŰSÉGI VÁLTOZÓK jelölése ξ Bin(n; p). Vezessük be továbbá a következő (teljesen) független eseményeket A k a k-adik megfigyelésben bekövetkezik a figyelt esemény k = 1, 2,..., n; akkor ahol Tulajdonságok: ξ = 1 A1 + 1 A An (3.6) P (A k ) = p k = 1, 2,..., n. (a) Ha ξ 1 Bin(n 1 ; p) és ξ 2 Bin(n 2 ; p) függetlenek, akkor ξ 1 + ξ 2 Bin(n 1 + n 2 ; p). (b) Ha ξ n Bin(n; p) és np = λ állandó, akkor (4) Véletlen eseményszám lim P (ξ n n = k) = λk k! e λ k = 0, 1, 2,.... np=λ Egy átlagosan λ-szor bekövetkező esemény bekövetkezéseinek számát jelölje a ξ v.v. Ekkor ξ diszkrét eloszlású, eloszlása λ-paraméterű Poisson eloszlás (lásd: 1.3): jelölése ξ Po(λ). P (ξ = k) = λk k! e λ k N, Tulajdonsága: Ha ξ 1 Po(λ) és ξ 2 Po(µ) függetlenek, akkor (5) Véletlen időtartam Egy átlagosan T = 1 λ változó. ξ 1 + ξ 2 Po(λ + µ) idejű véletlen időtartam értéke legyen a ξ valószínűségi Ekkor ξ folytonos eloszlású, eloszlása λ-paraméterű exponenciális eloszlás (lásd: 1.4), sűrűségfüggvénye eloszlásfüggvénye jelölése ξ Exp(λ). Tulajdonságok: f(t) = λ e λt dt t > 0, { F (t) = 0 ha t 0 1 e λt ha 0 < t,
37 3.4. NEVEZETES ELOSZLÁSÚ VALÓSZÍNŰSÉGI VÁLTOZÓK 31 (a) Egy folytonos eloszlásfüggvényű ξ : Ω R + 0 v.v. akkor és csak akkor exponenciális eloszlású, ha x, y > 0 esetén teljesül: P (ξ > x + y ξ > y) = P (ξ > x). (b) Ha ξ Exp(λ), és c R +, akkor c ξ Exp( λ c ). (6) Mérési eredmény Sok kicsiny eltérés összegeként nyerhető véletlen értéket jelölje a ξ valószínűségi változó. Ekkor ξ folytonos eloszlású, eloszlása m R és σ > 0 paraméterű normális (vagy Gauss) eloszlás (lásd: 1.7), sűrűségfüggvénye f(x) = 1 2π σ e (x m)2 2σ 2 x R, eloszlásfüggvénye jelölése ξ N (m; σ). Tulajdonságok: F (x) = x f(t)dt x R, (a) Ha m = 0 és σ = 1, standard normális eloszlásról beszélünk, aminek sűrűségfüggvénye eloszlásfüggvénye pedig ϕ(x) = 1 2π e x2 2 x R, Φ(x) = x ϕ(t)dt x R, amit táblázat segítségével használhatunk (lásd: B. függelék). Mivel ϕ páros függvény, teljesül Φ( x) = 1 Φ(x) x R, ezért a táblázatok általában csak 0 x helyeken adják meg az eloszlásfüggvényt. (b) Ha ξ N (m; σ), és a 0, b R, akkor a ξ + b N (a m + b; a σ), tehát a lineáris transzformáció nem változtat az eloszlás normális voltán. Speciálisan a ξ u.n. standardizáltja ξ m σ N (0; 1). Kézirat, módosítva: május 23.
38 32 3. FEJEZET. VALÓSZÍNŰSÉGI VÁLTOZÓK (c) Ha ξ N (m; σ), akkor sürűségfüggvénye f(x) = 1 ( ) x m σ ϕ σ x R, eloszlásfüggvénye ( ) x m F (x) = Φ σ x R. (d) Ha ξ 1 N (m 1 ; σ 1 ) és ξ 2 N (m 2 ; σ 2 ) függetlenek, akkor ξ 1 + ξ 2 N ( ) m 1 + m 2 ; σ σ 2 2 (7) Véletlen pont választása Egy [a; b] R intervallumban válasszunk találomra egy számot, jelölje ezt a ξ valószínűségi változó. Ekkor ξ folytonos eloszlású, az [a; b] intervallumon egyenletes eloszálsú v.v. (lásd: 1.8), sűrűségfüggvénye f(x) = 1 b a a < x < b, eloszlásfüggvénye jelölése ξ U(a; b). Tulajdonságok: F (x) = 0 ha x a ha a < x b 1 ha b < x x a b a, (a) Ha ξ U(a; b) és 0 α, β R akkor α ξ + β U ( α a + b + β α b a 2 2 ; α a + b + β + α b a ) 2 2. (b) Ha a ξ skalár v.v. F eloszlásfüggvénye folytonos, akor F (ξ) U(0; 1). (3.7) (c) Ha F egy eloszlásfüggvény, mely folytonos és invertálható, τ U(0; 1), akkor az F 1 (τ) v.v. eloszlásfüggvénye F.
39 3.5. FELADATOK Feladatok 1. Mutassuk meg, hogy egy ξ skalár v.v. eloszlásfüggvénye legfeljebb megszámlálhatóan sok pont kivételével folytonos! 2. Kockát dobunk kétszer, és jelölje ξ az eredmények minimumát, η az eredmények maximumát. Adjuk meg ξ, η és (ξ, η) eloszlását! Függetlenek-e ξ és η? 3. Válasszunk két véletlen pontot a [0; 1] intervallumban, jelölje ezeket ξ 1 és ξ 2. Adjuk meg ξ 1, ξ 2 és (ξ 1, ξ 2 ) eloszlását! Legyen továbbá η = max{ξ 1, ξ 2 }, adjuk meg (ξ 1, η) eloszlását! Függetlenek-e ξ 1 és ξ 2, illetve ξ 1 és η? 4. Egy egységnyi sugarú körben találomra választunk egy pontot. Jelölje a pont polárkoordinátáit (ρ, ϕ), függetlenek-e a ρ és ϕ v.v.-k? 5. Egy dobozban 5 db cédula van, az 1,2,3,4 és 5 számokkal. Találomra kiválsztunk (visszatevés nélkül) hármat, és jelölje a ξ v.v. a három kiválsztott közül a legkisebbet. Adjuk meg ξ eloszlását, számítsuk ki a P (2 ξ 4) valószínűséget! 6. Legyen a ξ v.v. sűrűségfüggvénye f(x) = { c cos(x) ha 0 x π 2 0 egyébként. Adjuk meg ξ eloszlásfüggvényét, és a P (ξ 2 > 1) valószínűséget! 7. Legyenek ξ 1, ξ 2 N (0, 1) független valószínűségi változók, adjuk meg η 1 = ξ 2 1 és η 2 = ξ ξ 2 2 eloszlását!. 8. Legyenek ξ, η N (0, 1) független valószínűségi változók, adjuk meg eloszlását! η = ξ η 9. Legyen τ U(0; 1), és λ > 0, adjuk meg 1 ln(τ) eloszlását! λ 10. Legyenek ξ k U(a; b), η k U(c; d) k = 1, 2,... függetlenek, f : [a; b] [c; d] egy valószínűségi sűrűségfüggvény, és a ζ v.v. olyan hogy ζ = ξ n ha f(ξ n ) η n és f(ξ k ) < η k k = 1, 2,..., n 1. Adjuk meg ζ eloszlását! 11. Legyenek a ξ és η független skalár valószínűségi változók, és eloszlásfüggvényeik folytonosak. Mutassuk meg, hogy P (ξ = η) = 0. Kézirat, módosítva: május 23.
40 34 3. FEJEZET. VALÓSZÍNŰSÉGI VÁLTOZÓK
41 4. fejezet Várható érték, szórás Véletlen mennyiségek megfigyelésével kapcsolatos tapasztalat, hogy a megfigyelt véletlen értékek egy közép-érték körül ingadoznak valamilyen mértékben. A továbbiakban egy ξ skalár v.v.-val kapcsolatban, ennek megfelelő fogalmakat vezetünk be a matematikai modellünkben Várható érték 4.1. Definíció. i) A ξ 0 egyszerű v.v., várható értékének nevezzük az E(ξ) = x R x P (ξ = x) összeget, ahol az összegzés a véges sok pozitív tagra vonatkozik. ii) A ξ 0 v.v. várható értékének nevezzük az véges határértéket, ha (ξ n ) n=1 sorozata, és lim n ξ n = ξ. E(ξ) = lim n E(ξ n ) nemnegatív egyszerű v.v.-k monoton nem csökkenő iii) A ξ skalár v.v. várható értékének nevezzük az E(ξ) = E(ξ + ) E(ξ ) különbséget, ha a ξ + = max{0, ξ} és ξ = max{0, ξ} nemnegatív v.v.-k várható értéke definiált. A definíció egyértelműen meghatározott, mivel egy ξ v.v. várható értéke a P valószínűségi mérték szerinti integrálja, ha az véges érték (lásd: A függelék). Tehát ha a ξ v.v.-nak definiált (létezik) a várható értéke, azt E(ξ) vagy ξ L 1 jelöli a továbbiakban. A várható érték (mint egy véges mérték szerinti integrál), teljesíti az alábbi tulajdonságokat. 35
42 36 4. FEJEZET. VÁRHATÓ ÉRTÉK, SZÓRÁS 1. Indikátor v.v. várható értéke: Legyen A A, akkor E(1 A ) = P (A). Speciálisan az 1 Ω 1 illetve 1 0 konstansok várható értéke 2. Nemnegatív tulajdonság: Ha ξ 0 és E(ξ), akkor 3. Homogén és additív tulajdonság: E(1 Ω ) = E(1) = 1 E(1 ) = E(0) = 0. E(ξ) 0 és E(ξ) = 0 P (ξ = 0) = 1. Ha ξ, η v.v.-k várható értéke létezik, és c R, akkor E(c ξ), E(ξ + η) és Következmények: E(c ξ) = c E(ξ) E(ξ + η) = E(ξ) + E(η). (a) (Monoton) Ha ξ η v.v.-k várható értéke létezik, akkor E(ξ) E(η) és E(ξ) = E(η) P (ξ = η) = 1. (b) (Konvex) Ha h : I R konvex függvény az I R intervallumon, és ξ : Ω I v.v., továbbá létezik az E(h(ξ)), E(ξ) várható érték, akkor h (E(ξ)) E(h(ξ)). (c) A ξ v.v. várható értéke akkor és csak akkor létezik, ha E( ξ ), és ekkor E(ξ) E( ξ ). (d) A ξ v.v. várható értéke akkor és csak akkor létezik, ha η L 1 és ξ η, és ekkor 4. Monoton konvergencia tulajdonság: E(ξ) E( ξ ) E(η). Ha ξ n L 1 n = 1, 2,... v.v.-k monoton nem csökkenő sorozata, ξ = lim n ξ n : Ω R, és (E(ξ n )) n=1 korlátos sorozat, akkor létezik a ξ v.v. várható értéke, és E(ξ) = lim n E(ξ n ).
matematikai statisztika 2006. október 24.
Valószínűségszámítás és matematikai statisztika 2006. október 24. ii Tartalomjegyzék I. Valószínűségszámítás 1 1. Véletlen jelenségek matematikai modellje 3 1.1. Valószínűségi mező..............................
RészletesebbenKészítette: Fegyverneki Sándor
VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS Összefoglaló segédlet Készítette: Fegyverneki Sándor Miskolci Egyetem, 2001. i JELÖLÉSEK: N a természetes számok halmaza (pozitív egészek) R a valós számok halmaza R 2 {(x, y) x, y
Részletesebben4. Az A és B események egymást kizáró eseményeknek vagy idegen (diszjunkt)eseményeknek nevezzük, ha AB=O
1. Mit nevezünk elemi eseménynek és eseménytérnek? A kísérlet lehetséges kimeneteleit elemi eseményeknek nevezzük. Az adott kísélethez tartozó elemi események halmazát eseménytérnek nevezzük, jele: X 2.
RészletesebbenGazdasági matematika II. vizsgadolgozat megoldása A csoport
Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat megoldása A csoport Definiálja az alábbi fogalmakat!. Egy eseménynek egy másik eseményre vonatkozó feltételes valószínűsége. ( pont) Az A esemény feltételes valószínűsége
RészletesebbenStatisztika - bevezetés Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc 1
Statisztika - bevezetés 00.04.05. Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc Bevezetés Véletlen jelenség fogalma jelenséget okok bizonyos rendszere hozza létre ha mindegyik figyelembe vehető egyértelmű leírás általában
RészletesebbenElméleti összefoglaló a Valószín ségszámítás kurzushoz
Elméleti összefoglaló a Valószín ségszámítás kurzushoz Véletlen kísérletek, események valószín sége Deníció. Egy véletlen kísérlet lehetséges eredményeit kimeneteleknek nevezzük. A kísérlet kimeneteleinek
RészletesebbenA következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat.
Poisson folyamatok, exponenciális eloszlások Azt mondjuk, hogy a ξ valószínűségi változó Poisson eloszlású λ, 0 < λ
Részletesebbene (t µ) 2 f (t) = 1 F (t) = 1 Normális eloszlás negyedik centrális momentuma:
Normális eloszlás ξ valószínűségi változó normális eloszlású. ξ N ( µ, σ 2) Paraméterei: µ: várható érték, σ 2 : szórásnégyzet (µ tetszőleges, σ 2 tetszőleges pozitív valós szám) Normális eloszlás sűrűségfüggvénye:
RészletesebbenEseményalgebra. Esemény: minden amirl a kísérlet elvégzése során eldönthet egyértelmen hogy a kísérlet során bekövetkezett-e vagy sem.
Eseményalgebra. Esemény: minden amirl a kísérlet elvégzése során eldönthet egyértelmen hogy a kísérlet során bekövetkezett-e vagy sem. Elemi esemény: a kísérlet egyes lehetséges egyes lehetséges kimenetelei.
RészletesebbenFEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI
FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 3 III. VÉLETLEN VEKTOROK 1. A KÉTDIMENZIÓs VÉLETLEN VEKTOR Definíció: Az leképezést (kétdimenziós) véletlen vektornak nevezzük, ha Definíció:
RészletesebbenValószínűségszámítás összefoglaló
Statisztikai módszerek BMEGEVGAT Készítette: Halász Gábor Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Gépészmérnöki Kar Hidrodinamikai Rendszerek Tanszék, Budapest, Műegyetem rkp. 3. D ép. 334. Tel:
Részletesebbenegyenletesen, és c olyan színű golyót teszünk az urnába, amilyen színűt húztunk. Bizonyítsuk
Valószínűségszámítás 8. feladatsor 2015. november 26. 1. Bizonyítsuk be, hogy az alábbi folyamatok mindegyike martingál. a S n, Sn 2 n, Y n = t n 1+ 1 t 2 Sn, t Fn = σ S 1,..., S n, 0 < t < 1 rögzített,
Részletesebbenx, x R, x rögzített esetén esemény. : ( ) x Valószínűségi Változó: Feltételes valószínűség: Teljes valószínűség Tétele: Bayes Tétel:
Feltételes valószínűség: Teljes valószínűség Tétele: Bayes Tétel: Valószínűségi változó általános fogalma: A : R leképezést valószínűségi változónak nevezzük, ha : ( ) x, x R, x rögzített esetén esemény.
RészletesebbenElméleti összefoglaló a Sztochasztika alapjai kurzushoz
Elméleti összefoglaló a Sztochasztika alapjai kurzushoz 1. dolgozat Véletlen kísérletek, események valószín sége Deníció. Egy véletlen kísérlet lehetséges eredményeit kimeneteleknek nevezzük. A kísérlet
Részletesebben1. tétel. Valószínűségszámítás vizsga Frissült: 2013. január 19. Valószínűségi mező, véletlen tömegjelenség.
1. tétel Valószínűségszámítás vizsga Frissült: 2013. január 19. Valószínűségi mező, véletlen tömegjelenség. A valószínűségszámítás tárgya: véletlen tömegjelenségek vizsgálata. véletlen: a kísérlet kimenetelét
RészletesebbenValószínűségi változók. Várható érték és szórás
Matematikai statisztika gyakorlat Valószínűségi változók. Várható érték és szórás Valószínűségi változók 2016. március 7-11. 1 / 13 Valószínűségi változók Legyen a (Ω, A, P) valószínűségi mező. Egy X :
RészletesebbenBiomatematika 2 Orvosi biometria
Biomatematika 2 Orvosi biometria 2017.02.13. Populáció és minta jellemző adatai Hibaszámítás Valószínűség 1 Esemény Egy kísérlet vagy megfigyelés (vagy mérés) lehetséges eredményeinek összessége (halmaza)
Részletesebben[Biomatematika 2] Orvosi biometria
[Biomatematika 2] Orvosi biometria 2016.02.15. Esemény Egy kísérlet vagy megfigyelés (vagy mérés) lehetséges eredményeinek összessége (halmaza) alkotja az eseményteret. Esemény: az eseménytér részhalmazai.
RészletesebbenMegoldások. ξ jelölje az első meghibásodásig eltelt időt. Akkor ξ N(6, 4; 2, 3) normális eloszlású P (ξ
Megoldások Harmadik fejezet gyakorlatai 3.. gyakorlat megoldása ξ jelölje az első meghibásodásig eltelt időt. Akkor ξ N(6, 4;, 3 normális eloszlású P (ξ 8 ξ 5 feltételes valószínűségét (.3. alapján számoljuk.
Részletesebben1. Kombinatorikai bevezetés
1. Kombinatorikai bevezetés 1.1. Permutációk Adott n különböző elem ismétlés nélküli permutációján az elemek egy meghatározott sorrendjét értjük. Az n különböző elem összes permutációinak számát P n -nel
RészletesebbenMi az adat? Az adat elemi ismeret. Az adatokból információkat
Mi az adat? Az adat elemi ismeret. Tények, fogalmak olyan megjelenési formája, amely alkalmas emberi eszközökkel történő értelmezésre, feldolgozásra, továbbításra. Az adatokból gondolkodás vagy gépi feldolgozás
Részletesebben1. A kísérlet naiv fogalma. melyek közül a kísérlet minden végrehajtásakor pontosan egy következik be.
IX. ESEMÉNYEK, VALÓSZÍNŰSÉG IX.1. Események, a valószínűség bevezetése 1. A kísérlet naiv fogalma. Kísérlet nek nevezzük egy olyan jelenség előidézését vagy megfigyelését, amelynek kimenetelét az általunk
RészletesebbenValószín ségszámítás és statisztika
Valószín ségszámítás és statisztika Informatika BSc, esti tagozat Backhausz Ágnes agnes@cs.elte.hu 2016/2017. tavaszi félév Bevezetés Célok: véletlen folyamatok modellezése; kísérletekb l, felmérésekb
RészletesebbenA valószínűségszámítás elemei
Alapfogalmak BIOSTATISZTIKA ÉS INFORMATIKA A valószínűségszámítás elemei Jelenség: minden, ami lényegében azonos feltételek mellett megismételhető, amivel kapcsolatban megfigyeléseket lehet végezni, lehet
RészletesebbenGazdasági matematika II. vizsgadolgozat, megoldással,
Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat, megoldással, levelező képzés Definiálja az alábbi fogalmakat! 1. Kvadratikus mátrix invertálhatósága és inverze. (4 pont) Egy A kvadratikus mátrixot invertálhatónak
RészletesebbenGazdasági matematika II. vizsgadolgozat megoldása, június 10
Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat megoldása, 204. június 0 A dolgozatírásnál íróeszközön kívül más segédeszköz nem használható. A dolgozat időtartama: 90 perc. Ha a dolgozat első részéből szerzett
RészletesebbenGazdasági matematika II. tanmenet
Gazdasági matematika II. tanmenet Mádi-Nagy Gergely A hivatkozásokban az alábbi tankönyvekre utalunk: T: Tóth Irén (szerk.): Operációkutatás I., Nemzeti Tankönyvkiadó 1987. Cs: Csernyák László (szerk.):
RészletesebbenA valószínűségszámítás elemei
A valószínűségszámítás elemei Kísérletsorozatban az esemény relatív gyakorisága: k/n, ahol k az esemény bekövetkezésének abszolút gyakorisága, n a kísérletek száma. Pl. Jelenség: kockadobás Megfigyelés:
RészletesebbenFEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI
FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 4 IV. MINTA, ALAPsTATIsZTIKÁK 1. MATEMATIKAI statisztika A matematikai statisztika alapfeladatát nagy általánosságban a következőképpen
Részletesebben1. Példa. A gamma függvény és a Fubini-tétel.
. Példa. A gamma függvény és a Fubini-tétel.. Az x exp x + t )) függvény az x, t tartományon folytonos, és nem negatív, ezért alkalmazható rá a Fubini-tétel. I x exp x + t )) dxdt + t dt π 4. [ exp x +
Részletesebbenelőadás Diszkrét idejű tömegkiszolgálási modellek Poisson-folyamat Folytonos idejű Markov-láncok Folytonos idejű sorbanállás
13-14. előadás Diszkrét idejű tömegkiszolgálási modellek Poisson-folyamat Folytonos idejű Markov-láncok Folytonos idejű sorbanállás 2016. november 28. és december 5. 13-14. előadás 1 / 35 Bevezetés A diszkrét
RészletesebbenVALÓSZÍNŰSÉG, STATISZTIKA TANÍTÁSA
VALÓSZÍNŰSÉG, STATISZTIKA TANÍTÁSA A VALÓSZÍNŰSÉGI SZEMLÉLET ALAPOZÁSA 1-6. OSZTÁLY A biztos, a lehetetlen és a lehet, de nem biztos események megkülünböztetése Valószínűségi játékok, kísérletek események
Részletesebbenmatematikai statisztika gyakorlatok feladatok és megoldások
Valószínűségszámítás és matematikai statisztika gyakorlatok feladatok és megoldások. május 6. ii Tartalomjegyzék. Valószínűségszámítási feladatok.. Függetlenség, feltételes valószínűség.......................
RészletesebbenJármőtervezés és vizsgálat I. VALÓSZÍNŐSÉGSZÁMÍTÁSI ALAPFOGALMAK Dr. Márialigeti János
BUDAPESTI MŐSZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM KÖZLEKEDÉSMÉRNÖKI KAR JÁRMŐELEMEK ÉS HAJTÁSOK TANSZÉK Jármőtervezés és vizsgálat I. VALÓSZÍNŐSÉGSZÁMÍTÁSI ALAPFOGALMAK Dr. Márialigeti János Budapest 2008
RészletesebbenFEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI
FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 2 II. A valószínűségi VÁLTOZÓ És JELLEMZÉsE 1. Valószínűségi VÁLTOZÓ Definíció: Az leképezést valószínűségi változónak nevezzük, ha
Részletesebben3. Egy szabályos dobókockával háromszor dobunk egymás után. Legyen A az az esemény, hogy
Valószínűségszámítás. zárthelyi dolgozat 009. október 5.. Egy osztályba 3-an járnak. Minden fizikaórán a a többi órától függetlenül a tanár kisorsol egy felelőt, véletlenszerűen, egyenletesen, azaz mindig
Részletesebben[Biomatematika 2] Orvosi biometria
[Biomatematika 2] Orvosi biometria 2016.02.22. Valószínűségi változó Véletlentől függő számértékeket (értékek sokasága) felvevő változókat valószínűségi változóknak nevezzük(jelölés: ξ, η, x). (pl. x =
RészletesebbenGazdasági matematika II. Tantárgyi útmutató
Módszertani Intézeti Tanszék Gazdálkodási és menedzsment, pénzügy és számvitel szakok távoktatás tagozat Gazdasági matematika II. Tantárgyi útmutató 2016/17 tanév II. félév 1/6 A KURZUS ALAPADATAI Tárgy
RészletesebbenFEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI
FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 10 X. SZIMULÁCIÓ 1. VÉLETLEN számok A véletlen számok fontos szerepet játszanak a véletlen helyzetek generálásában (pénzérme, dobókocka,
RészletesebbenValószínűségszámítás
Valószínűségszámítás Pap Gyula Szegedi Tudományegyetem 2010/2011 tanév, II. félév Pap Gyula (SZE) Valószínűségszámítás 2010/2011 tanév, II. félév 1 / 122 Ajánlott irodalom: RÉNYI ALFRÉD Valószínűségszámítás
RészletesebbenMatematika A3 Valószínűségszámítás, 6. gyakorlat 2013/14. tavaszi félév
Matematika A3 Valószínűségszámítás, 6. gyakorlat 2013/14. tavaszi félév 1. A várható érték és a szórás transzformációja 1. Ha egy valószínűségi változóhoz hozzáadunk ötöt, mínusz ötöt, egy b konstanst,
RészletesebbenTANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok II. útmutató
BGF PÉNZÜGYI ÉS SZÁMVITELI KAR Módszertani Intézeti Tanszéki Osztály TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok II. útmutató 2013/2014. tanév II. félév Tantárgyi program Tantárgy megnevezése Tantárgy jellege/típusa:
RészletesebbenAbszolút folytonos valószín ségi változó (4. el adás)
Abszolút folytonos valószín ségi változó (4. el adás) Deníció (Abszolút folytonosság és s r ségfüggvény) Az X valószín ségi változó abszolút folytonos, ha van olyan f : R R függvény, melyre P(X t) = t
RészletesebbenNemparaméteres próbák
Nemparaméteres próbák Budapesti Mőszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Gépészmérnöki Kar Hidrodinamikai Rendszerek Tanszék 1111, Budapest, Mőegyetem rkp. 3. D ép. 334. Tel: 463-16-80 Fax: 463-30-91 http://www.vizgep.bme.hu
RészletesebbenSzámsorok. 1. Definíció. Legyen adott valós számoknak egy (a n ) n=1 = (a 1, a 2,..., a n,...) végtelen sorozata. Az. a n
Számsorok 1. Definíció. Legyen adott valós számoknak egy (a n ) = (a 1, a 2,..., a n,...) végtelen sorozata. Az végtelen összeget végtelen számsornak (sornak) nevezzük. Az a n számot a sor n-edik tagjának
RészletesebbenBiometria az orvosi gyakorlatban. Számítógépes döntéstámogatás
SZDT-01 p. 1/23 Biometria az orvosi gyakorlatban Számítógépes döntéstámogatás Werner Ágnes Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék e-mail: werner.agnes@virt.uni-pannon.hu Gyakorlat SZDT-01 p.
RészletesebbenValószín ségszámítás és statisztika
Valószín ségszámítás és statisztika Informatika BSc, esti tagozat Backhausz Ágnes agnes@math.elte.hu fogadóóra: szerda 10-11 és 13-14, D 3-415 2018/2019. tavaszi félév Bevezetés A valószín ségszámítás
RészletesebbenTANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok 2. útmutató
BGF PÉNZÜGYI ÉS SZÁMVITELI KAR Módszertani Intézeti Tanszéki Osztály TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok 2. útmutató 2015/2016. tanév I. félév Tantárgyi program Tantárgy megnevezése Tantárgy jellege/típusa:
RészletesebbenBiometria, haladó biostatisztika EA+GY biometub17vm Szerda 8:00-9:00, 9:00-11:00 Déli Tömb 0-804, Lóczy Lajos terem
Biometria, haladó biostatisztika EA+GY biometub17vm Szerda 8:00-9:00, 9:00-11:00 Déli Tömb 0-804, Lóczy Lajos terem Előadások-gyakorlatok 2018-ban (13 alkalom) IX.12, 19, 26, X. 3, 10, 17, 24, XI. 7, 14,
RészletesebbenBIOMATEMATIKA ELŐADÁS
BIOMATEMATIKA ELŐADÁS 9. Együttes eloszlás, kovarianca, nevezetes eloszlások Debreceni Egyetem, 2015 Dr. Bérczes Attila, Bertók Csanád A diasor tartalma 1 Bevezetés, definíciók Együttes eloszlás Függetlenség
Részletesebben2. A ξ valószín ségi változó eloszlásfüggvénye a következ : x 4 81 F (x) = x 4 ha 3 < x 0 különben
1 feladatsor 1 Egy dobozban 20 fehér golyó van Egy szabályos dobókockával dobunk, majd a következ t tesszük: ha a dobott szám 1,2 vagy 3, akkor tíz golyót cserélünk ki pirosra; ha a dobott szám 4 vagy
Részletesebbenminden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének mondjuk, f(x 0 )-at pedig az (abszolút) maximumértékének.
Függvények határértéke és folytonossága Egy f: D R R függvényt korlátosnak nevezünk, ha a függvényértékek halmaza korlátos. Ha f(x) f(x 0 ) teljesül minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének
RészletesebbenValószínűségszámítás
European Virtual Laboratory of Mathematics Project No. 2006 - SK/06/B/F/PP - 177436 Európai Virtuális Matematikai Laboratórium Árvai- Homolya Szilvia Valószínűségszámítás EVML e-könyvek Miskolc 2008 Sorozat
RészletesebbenMatematika III. 4. A valószínűségi változó és jellemzői Prof. Dr. Závoti, József
Matematika III. 4. A valószínűségi változó és jellemzői Prof. Dr. Závoti, József Matematika III. 4. : A valószínűségi változó és jellemzői Prof. Dr. Závoti, József Lektor : Bischof, Annamária Ez a modul
RészletesebbenMérhetőség, σ-algebrák, Lebesgue Stieltjes-integrál, véletlen változók és eloszlásfüggvényeik
Mérhetőség, σ-algebrák, Lebesgue Stieltjes-integrál, véletlen változók és eloszlásfüggvényeik Az A halmazrendszer σ-algebra az Ω alaphalmazon, ha Ω A; A A A c A; A i A, i N, i N A i A. Az A halmazrendszer
Részletesebben36 0,3. Mo.: 36 0,19. Mo.: 36 0,14. Mo.: 32 = 0,9375 32 = 0,8125 32 = 0,40625. Mo.: 32 = 0,25
Valószínűségszámítás I. Kombinatorikus valószínűségszámítás. BKSS 4... Egy szabályos dobókockát feldobva mennyi annak a valószínűsége, hogy a -ost dobunk; 0. b legalább 5-öt dobunk; 0, c nem az -est dobjuk;
Részletesebbenismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az eredmény. A kérdés a következő: Mikor mondhatjuk azt, hogy bizonyos események közül
A Borel Cantelli lemma és annak általánosítása. A valószínűségszámítás egyik fontos eredménye a Borel Cantelli lemma. Először informálisan ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az
RészletesebbenMatematika III. 2. Eseményalgebra Prof. Dr. Závoti, József
Matematika III. 2. Eseményalgebra Prof. Dr. Závoti, József Matematika III. 2. : Eseményalgebra Prof. Dr. Závoti, József Lektor : Bischof, Annamária Ez a modul a TÁMOP - 4.1.2-08/1/A-2009-0027 Tananyagfejlesztéssel
RészletesebbenAnalízis I. beugró vizsgakérdések
Analízis I. beugró vizsgakérdések Programtervező Informatikus szak 2008-2009. 2. félév Készítette: Szabó Zoltán SZZNACI.ELTE zotyo@bolyaimk.hu v1.7 Forrás: Dr. Weisz Ferenc: Prog. Mat. 2006-2007 definíciók
Részletesebben[Biomatematika 2] Orvosi biometria
[Biomatematika 2] Orvosi biometria 2016.02.29. A statisztika típusai Leíró jellegű statisztika: összegzi egy adathalmaz jellemzőit. A középértéket jelemzi (medián, módus, átlag) Az adatok változékonyságát
RészletesebbenVéletlen jelenség: okok rendszere hozza létre - nem ismerhetjük mind, ezért sztochasztikus.
Valószín ségelméleti és matematikai statisztikai alapfogalmak összefoglalása (Kemény Sándor - Deák András: Mérések tervezése és eredményeik értékelése, kivonat) Véletlen jelenség: okok rendszere hozza
RészletesebbenNagy számok törvényei Statisztikai mintavétel Várható érték becslése. Dr. Berta Miklós Fizika és Kémia Tanszék Széchenyi István Egyetem
agy számok törvényei Statisztikai mintavétel Várható érték becslése Dr. Berta Miklós Fizika és Kémia Tanszék Széchenyi István Egyetem A mérés mint statisztikai mintavétel A méréssel az eloszlásfüggvénnyel
Részletesebbenegyetemi jegyzet Meskó Balázs
egyetemi jegyzet 2011 Előszó 2. oldal Tartalomjegyzék 1. Bevezetés 4 1.1. A matematikai statisztika céljai.............................. 4 1.2. Alapfogalmak......................................... 4 2.
RészletesebbenMatematika alapjai; Feladatok
Matematika alapjai; Feladatok 1. Hét 1. Tekintsük a,, \ műveleteket. Melyek lesznek a.) kommutativok b.) asszociativak c.) disztributívak-e a, műveletek? Melyik melyikre? 2. Fejezzük ki a műveletet a \
RészletesebbenNyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara. Prof. Dr. Závoti József. Matematika III. 4. MA3-4 modul. A valószínűségi változó és jellemzői
Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara Prof. Dr. Závoti József Matematika III. 4. MA3-4 modul A valószínűségi változó és jellemzői SZÉKESFEHÉRVÁR 2010 Jelen szellemi terméket a szerzői jogról
RészletesebbenStatisztika elméleti összefoglaló
1 Statisztika elméleti összefoglaló Tel.: 0/453-91-78 1. Tartalomjegyzék 1. Tartalomjegyzék.... Becsléselmélet... 3 3. Intervallumbecslések... 5 4. Hipotézisvizsgálat... 8 5. Regresszió-számítás... 11
RészletesebbenBackhausz Ágnes 1. Bevezetés A valószínűség elemi tulajdonságai... 5
Valószínűségszámítás Földtudomány BSc szak, 2016/2017. őszi félév Backhausz Ágnes agnes@cs.elte.hu Tartalomjegyzék 1. Bevezetés 2 2. A Kolmogorov-féle valószínűségi mező 3 2.1. Klasszikus valószínűségi
RészletesebbenFEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI
FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 8 VIII. REGREssZIÓ 1. A REGREssZIÓs EGYENEs Két valószínűségi változó kapcsolatának leírására az eddigiek alapján vagy egy numerikus
RészletesebbenValószínűségszámítás. Tómács Tibor. F, P ) egy valószínűségi mező, A P (A). Ha ϱ n az A gyakorisága, kísérletek száma, akkor minden ε. p(1 p) nε 2.
Tómács Tibor Valószínűségszámítás F, P egy valószínűségi mező, A P (A. Ha ϱ n az A gyakorisága, kísérletek száma, akkor minden ε én ( ϱ n P n p ε p(1 p nε 2. Matematikai és Informatikai Intézet Tómács
RészletesebbenAnalízis előadás és gyakorlat vázlat
Analízis előadás és gyakorlat vázlat Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 2010-11. I. Félév 2 1. fejezet Számhalmazok és tulajdonságaik 1.1. Nevezetes számhalmazok ➀ a) jelölése: N b)
Részletesebben3. Lineáris differenciálegyenletek
3. Lineáris differenciálegyenletek A közönséges differenciálegyenletek két nagy csoportba oszthatók lineáris és nemlineáris egyenletek csoportjába. Ez a felbontás kicsit önkényesnek tűnhet, a megoldásra
Részletesebben1/1. Házi feladat. 1. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy
/. Házi feladat. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy mindig igaz. (p (( p) q)) (( p) ( q)). Igazoljuk, hogy minden A, B és C halmazra A \ (B C) = (A \ B) (A \ C) teljesül.
Részletesebbenbiometria II. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert Matematikai-statisztikai adatfeldolgozás
Kísérlettervezés - biometria II. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert Matematikai-statisztikai adatfeldolgozás A matematikai-statisztika feladata tapasztalati adatok feldolgozásával segítséget nyújtani
Részletesebben17. előadás: Vektorok a térben
17. előadás: Vektorok a térben Szabó Szilárd A vektor fogalma A mai előadásban n 1 tetszőleges egész szám lehet, de az egyszerűség kedvéért a képletek az n = 2 esetben szerepelnek. Vektorok: rendezett
RészletesebbenMatematikai statisztika I. témakör: Valószínűségszámítási ismétlés
Matematikai statisztika I. témakör: Valószínűségszámítási ismétlés Elek Péter 1. Valószínűségi változók és eloszlások 1.1. Egyváltozós eset Ismétlés: valószínűség fogalma Valószínűségekre vonatkozó axiómák
Részletesebbenf(x) vagy f(x) a (x x 0 )-t használjuk. lim melyekre Mivel itt ɛ > 0 tetszőlegesen kicsi, így a a = 0, a = a, ami ellentmondás, bizonyítva
6. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 6.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási
RészletesebbenBevezetés a biometriába Dr. Dinya Elek egyetemi tanár. PhD kurzus. KOKI,
Bevezetés a biometriába Dr. Dinya Elek egyetemi tanár PhD kurzus. KOKI, 2015.09.17. Mi a statisztika? A sokaság (a sok valami) feletti áttekintés megszerzése, a sokaságról való információszerzés eszköze.
RészletesebbenBevezetés. Valószínűségszámítás 2 előadás III. alk. matematikus szak. Irodalom. Egyéb info., számonkérés. Cél. Alapfogalmak (ismétlés)
Valószínűségszámítás 2 előaás III. alk. matematikus szak 2016/2017 1. félév Zempléni Anrás Bevezetés Iroalom, követelmények A félév célja Alapfogalmak mértékelméleti alapon Kapcsolóás a val.szám. 1-hez
RészletesebbenOsztályozóvizsga követelményei
Osztályozóvizsga követelményei Képzés típusa: Tantárgy: Nyolcosztályos gimnázium Matematika Évfolyam: 12 Emelt óraszámú csoport Emelt szintű csoport Vizsga típusa: Írásbeli Követelmények, témakörök: Emelt
RészletesebbenKörnyezet statisztika
Környezet statisztika Permutáció, variáció, kombináció k számú golyót n számú urnába helyezve hányféle helykitöltés lehetséges, ha a golyókat helykitöltés Minden urnába akárhány golyó kerülhet (ismétléses)
Részletesebben4. A negatív binomiális eloszlás
1 / 7 2011.03.17. 14:27 Virtuális laboratóriumok > 10. Bernoulli kísérletek > 1 2 3 4 5 6 4. Alapelmélet Tételezzük fel, hogy a véletlen kísérletünk, amit végrehajtunk Bernoulli kísérleteknek egy X = (X
RészletesebbenCentrális határeloszlás-tétel
13. fejezet Centrális határeloszlás-tétel A valószínűségszámítás legfontosabb állításai azok, amelyek független valószínűségi változók normalizált összegeire vonatkoznak. A legfontosabb ilyen tételek a
RészletesebbenMatematika III. 5. Nevezetes valószínűség-eloszlások Prof. Dr. Závoti, József
Matematika III. 5. Nevezetes valószínűség-eloszlások Prof. Dr. Závoti, József Matematika III. 5. : Nevezetes valószínűség-eloszlások Prof. Dr. Závoti, József Lektor : Bischof, Annamária Ez a modul a TÁMOP
RészletesebbenStatisztika I. 8. előadás. Előadó: Dr. Ertsey Imre
Statisztika I. 8. előadás Előadó: Dr. Ertsey Imre Minták alapján történő értékelések A statisztika foglalkozik. a tömegjelenségek vizsgálatával Bizonyos esetekben lehetetlen illetve célszerűtlen a teljes
RészletesebbenFraktálok. Kontrakciók Affin leképezések. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék. TARTALOMJEGYZÉK Kontrakciók Affin transzformációk
Fraktálok Kontrakciók Affin leképezések Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék TARTALOMJEGYZÉK 1 of 71 A Lipschitz tulajdonság ÁTMÉRŐ, PONT ÉS HALMAZ TÁVOLSÁGA Definíció Az (S, ρ) metrikus tér
RészletesebbenGyakorló feladatok I.
Gyakorló feladatok I. a Matematika Aa Vektorüggvények tárgyhoz (D D5 kurzusok) Összeállította: Szili László Ajánlott irodalmak:. G.B. Thomas, M.D. Weir, J. Hass, F.R. Giordano: Thomas-féle KALKULUS I.,
RészletesebbenValószínűségszámítás és statisztika a fizikában február 16.
számítás és statisztika a fizikában 2018. február 16. Technikai információk Palla Gergely / pallag@hal.elte.hu / ELTE TTK Biológiai Fizika Tanszék, Északi Tömb, 3.90. szoba Fogadó óra: hétfő, 16-18. Az
RészletesebbenAz ész természetéhez tartozik, hogy a dolgokat nem mint véletleneket, hanem mint szükségszerűeket szemléli (Spinoza: Etika, II. rész, 44.
Dr. Vincze Szilvia Az ész természetéhez tartozik, hogy a dolgokat nem mint véletleneket, hanem mint szükségszerűeket szemléli (Spinoza: Etika, II. rész, 44. tétel) Környezetünkben sok olyan jelenséget
Részletesebben(Independence, dependence, random variables)
Két valószínűségi változó együttes vizsgálata Feltételes eloszlások Két diszkrét változó együttes eloszlása a lehetséges értékpárok és a hozzájuk tartozó valószínűségek (táblázat) Példa: Egy urna 3 fehér,
RészletesebbenGyakorló feladatok. Az alábbi feladatokon kívül a félév szemináriumi anyagát is nézzék át. Jó munkát! Gaál László
Gyakorló feladatok Az alábbi feladatokon kívül a félév szemináriumi anyagát is nézzék át. Jó munkát! Gaál László I/. A vizsgaidőszak második napján a hallgatók %-ának az E épületben, %-ának a D épületben,
RészletesebbenFunkcionálanalízis. n=1. n=1. x n y n. n=1
Funkcionálanalízis 2011/12 tavaszi félév - 2. előadás 1.4. Lényeges alap-terek, példák Sorozat terek (Folytatás.) C: konvergens sorozatok tere. A tér pontjai sorozatok: x = (x n ). Ezen belül C 0 a nullsorozatok
RészletesebbenMatematikai statisztika Tómács Tibor
Matematikai statisztika Tómács Tibor Matematikai statisztika Tómács Tibor Publication date 2011 Szerzői jog 2011 Hallgatói Információs Központ Copyright 2011, Educatio Kht., Hallgatói Információs Központ
RészletesebbenMiért fontos számunkra az előző gyakorlaton tárgyalt lineáris algebrai ismeretek
Az november 23-i szeminárium témája Rövid összefoglaló Miért fontos számunkra az előző gyakorlaton tárgyalt lineáris algebrai ismeretek felfrissítése? Tekintsünk ξ 1,..., ξ k valószínűségi változókat,
RészletesebbenMetrikus terek, többváltozós függvények
Metrikus terek, többváltozós függvények 2003.10.15 Készítette: Dr. Toledo Rodolfo és Dr. Blahota István 1. Metrikus terek, metrika tulajdonságai 1.1. A valós, komplex, racionális, természetes és egész
RészletesebbenA fontosabb definíciók
A legfontosabb definíciókat jelöli. A fontosabb definíciók [Descartes szorzat] Az A és B halmazok Descartes szorzatán az A és B elemeiből képezett összes (a, b) a A, b B rendezett párok halmazát értjük,
Részletesebben1. Házi feladat. Határidő: I. Legyen f : R R, f(x) = x 2, valamint. d : R + 0 R+ 0
I. Legyen f : R R, f(x) = 1 1 + x 2, valamint 1. Házi feladat d : R + 0 R+ 0 R (x, y) f(x) f(y). 1. Igazoljuk, hogy (R + 0, d) metrikus tér. 2. Adjuk meg az x {0, 3} pontok és r {1, 2} esetén a B r (x)
RészletesebbenValószínűségelmélet. Pap Gyula. Szegedi Tudományegyetem. Szeged, 2016/2017 tanév, I. félév
Valószínűségelmélet Pap Gyula Szegedi Tudományegyetem Szeged, 2016/2017 tanév, I. félév Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 1 / 125 Ajánlott irodalom: CSÖRGŐ SÁNDOR Fejezetek
RészletesebbenKözlemény. Biostatisztika és informatika alapjai. Alapsokaság és minta
Közlemény Biostatisztika és informatika alajai. előadás: Az orvostudományban előforduló nevezetes eloszlások 6. szetember 9. Veres Dániel Statisztika és Informatika tankönyv (Herényi Levente) már kaható
RészletesebbenPélda a report dokumentumosztály használatára
Példa a report dokumentumosztály használatára Szerző neve évszám Tartalomjegyzék 1. Valószínűségszámítás 5 1.1. Események matematikai modellezése.............. 5 1.2. A valószínűség matematikai modellezése............
RészletesebbenSztochasztikus folyamatok alapfogalmak
Matematikai Modellalkotás Szeminárium 2012. szeptember 4. 1 Folytonos idejű Markov láncok 2 3 4 1 Folytonos idejű Markov láncok 2 3 4 Folytonos idejű Markov láncok I Adott egy G = (V, E) gráf Folytonos
Részletesebben