1. A kísérlet naiv fogalma. melyek közül a kísérlet minden végrehajtásakor pontosan egy következik be.

Átírás

1 IX. ESEMÉNYEK, VALÓSZÍNŰSÉG IX.1. Események, a valószínűség bevezetése 1. A kísérlet naiv fogalma. Kísérlet nek nevezzük egy olyan jelenség előidézését vagy megfigyelését, amelynek kimenetelét az általunk figyelembe vett körülmények nem határozzák meg egyértelműen. Egy kísérletnek több lehetséges kimenetel e van, melyek közül a kísérlet minden végrehajtásakor pontosan egy következik be. Példák. (a) Kockadobás. Feldobunk egy szabályos dobókockát. A lehetséges kimenetelek: 1-est dobunk, 2-est dobunk, -ast dobunk, 4-est dobunk, -öst dobunk, 6-ost dobunk (röviden 1, 2,, 4,, 6); mindegyik azonos eséllyel lehet a kimenetel. Érmedobás. Feldobunk egy szabályos érmét. A lehetséges kimenetelek: a dobás eredménye fej (röviden f), a dobás eredménye írás (röviden í); mindkettő azonos eséllyel lehet a kimenetel. (c) Véletlenszerűen kiválasztott ember testmagassága. Megmérjük az első szembejövő ember testmagasságát cm-ben. A lehetséges kimenetelek valós számok kb. az [0, 00] intervallumban. (d) Adott,,szép síkbeli halmaz egy pontjának véletlenszerű kiválasztása. A síkbeli halmaznak véletlenszerűen kiválasztjuk egy pontját (minden pontot azonos eséllyel választhatunk), pontosabban annak az esélye, hogy az adott halmaz valamely,,szép részhalmazából válaszjuk a pontot, egyenesen arányos a,,szép részhalmaz területével. A lehetséges kimenetelek az adott halmaz pontjai. 2. Alapfogalmak. Definíció. Eseménytér nek nevezzük a kísérlet lehetséges kimeneteleinek halmazát, jele H. A kísérlet lehetséges kimeneteleit néha elemi eseményeknek is hívjuk. Az esemény és az eseményalgebra naiv fogalma: Eseménynek hívjuk az eseménytér bizonyos,,szép részhalmazait, vagyis egy esemény bizonyos lehetséges kimenetelekből álló halmaz. (A H eseménytér azon részhalmazainak valószínűségét fogjuk definiálni, melyek események.) Eseményalgebrának mondjuk az összes eseményből álló halmazt. Két nevezetes esemény a biztos esemény (H) és a lehetetlen esemény ( ). Példa. A kockadobásnál esemény E = páros számot dobunk, hiszen E = {2-est dobunk, 4-est dobunk, 6-ost dobunk}, és szintén esemény F = a dobás eredménye megalább, mert F = {-ast dobunk, 4-est dobunk, -öst dobunk, 6-ost dobunk}. Definíció. Ha H az eseménytér, akkor eseményalgebrának nevezzük (az események halmazának is mondjuk) az olyan H-beli halmazokból álló E halmazt, melyre teljesül az alábbi három tulajdonság: 1. H E (a biztos esemény valóban esemény). 2. E E E = H \E E (esemény ellentettje is esemény),. E n E, n = 1,2,... E n E (véges számú esemény uniója és események végtelen sorozatának uniója is esemény). Állítás. Ha E eseményalgebra, akkor (i) E (a lehetetlen esemény is esemény), (ii) E n E, n = 1,2,... E n E (véges számú esemény metszete és események végtelen sorozatának metszete is esemény). (iii) E,F E E \F E (események különbsége is esemény). Bizonyítás. (i) Az 1. axióma szerint H E, utána a 2. axiómát felhasználva = H E. (ii) A 2. axióma szerint E 1,E 2,... E, ezért a. axióma alapján E 1 E 2... E. Ismét a 2. axiómát alkalmazva E 1 E 2... E, végül de Morgan-azonosságból következik E 1... E n = E 1 E 2... E.

2 (iii) Tudjuk, hogy E \F = E F. F E 2. axióma = F E E E } (ii) állítás = E F E. Definíció. Adott kísérlet egy végrehajtásakor egy esemény bekövetkezik, ha a kísérlet kimenetele a vizsgált eseményt alkotó valamelyik lehetséges kimenetel. A biztos esemény akkor következik be, ha H-beli lehetséges kimenetel következik be. A kísérlet minden végrehajtásakor ez történik, így a biztos esemény mindig (biztosan) bekövetkezik. A lehetetlen esemény akkor következik be, ha -beli lehetséges kimenetel következik be. Ilyen lehetséges kimenetel nincs, tehát a kísérlet egyetlen végrehajtásakor sem következik be a lehetetlen esemény. Ez magyarázza a nevét. Definíció. Az E és F eseményekre E F azt jelenti, hogy amikor E bekövetkezik, akkor F is bekövetkezik. Ezt úgy is mondhatjuk, hogy E bekövetkezése maga után vonja F bekövetkezését. Példa. A kockadobásnál legyen E = 6-ost dobunk, F = páros számot dobunk. Ekkor E bekövetkezése maga után vonja F bekövetkezését. Definíció. Két eseményt egymást kizárónak mondunk, ha egyszerre nem következhetnek be. Néhány eseményt egymást páronként kizárónak hívunk, ha közülük semelyik kettő nem következhet be egyszerre. Néhány esemény teljes eseményrendszer t alkot, ha egymást páronként kizáróak, és a kísérlet minden végrehajtásakor valamelyik bekövetkezik. Példák a kockadobásnál. (a) Egymást kizáró események E = páros számot dobunk, F = 1-est dobunk. Egymást páronként kizáró események E = páros számot dobunk, F = 1-est dobunk, G = -ast dobunk, de E és F is. (c) Teljes eseményrendszert alkot (c/1) E = páros számot dobunk, F = páratlan számot dobunk. (c/2) E = a dobás értéke legfeljebb, F = a dobás értéke legalább 4. (c/) E 1 = a dobás értéke legfeljebb 2, E 2 = a dobás értéke vagy 4, E = a dobás értéke legalább. (c/4) E 1 = páros számot dobunk, E 2 = 1-est dobunk, E = -ast dobunk, E 4 = -öst dobunk. (c/) E 1 = 1-est dobunk, E 2 = 2-est dobunk, E = -ast dobunk, E 4 = 4-est dobunk, E = -öst dobunk, E 6 = 6-ost dobunk. A teljes eseményrendszer az eseménytér felosztása véges számú páronként diszjunkt eseményre. Bármely esemény és az ellentettje (E, E) kételemű teljes eseményrendszert alkot. Ha az eseménytér véges sok lehetséges kimenetelből áll, és minden lehetséges kimenetel esetén az abból álló egyelemű halmaz esemény, akkor azok teljes eseményrendszert alkotnak.. Műveletek eseményekkel: Definíció. Az E és F események összege (vagy uniója) az az esemény, amelyik akkor következik be, amikor a két esemény közül legalább az egyik bekövetkezik. Jele E +F (vagy E F). Az E és F események szorzata (vagy metszete) az az esemény, amelyik akkor következik be, amikor mindkét esemény bekövetkezik. Jele E F (vagy E F). Az E és F események különbsége az az esemény, amelyik akkor következik be, amikor E bekövetkezik, de F nem következik be. Jele E F (vagy E \F). Az E esemény ellentett je (vagy komplementer e) az az esemény, amelyik akkor következik be, amikor E nem következik be. Jele E (vagy E c ). Példák a kockadobásnál. Legyen E = páros számot dobunk, F = a dobás értéke legalább. (a) E +F = a dobás értéke páros szám vagy legalább = nem 1-est dobunk.

3 EF = a dobás értéke páros szám és legalább = 4-est vagy 6-ost dobunk. (c) E F = a dobás értéke páros szám, de nem legalább = 2-est dobunk. (d) F E = a dobás értéke legalább, de nem páros szám = -ast vagy -öst dobunk. (e) E = nem páros számot dobunk = páratlan számot dobunk. (f) F = a dobás értéke nem legalább = a dobás értéke kisebb, mint = 1-est vagy 2-est dobunk. 4. Definíció. Kísérletsorozat nak nevezzük azt, amikor egy adott kísérletet egymástól,,függetlenül többször elvégzünk. Valamely kísérletsorozatban egy esemény bekövetkezéseinek számát az esemény gyakoriságának mondjuk. A gyakoriságnak és a kísérletek számának hányadosát a vizsgált esemény relatív gyakoriságának nevezzük. Példák az érmedobásnál. kísérletező dobások fejek relatív adatai száma száma gyakoriság Georges Buffon ( ) ,080 Karl Pearson ( ) ,016 Karl Pearson ( ) ,00 A valószínűség naiv fogalma: A relatív gyakoriságok egy bizonyos szám, az esemény valószínűsége körül,,ingadoznak. IX.2. Kombinatorikus valószínűség 1. Definíció. Ha egy kísérletnek véges sok lehetséges kimenetele van, és minden lehetséges kimenetel azonos eséllyel következik be, akkor az E esemény bekövetkezésének valószínűsége P(E) = E-beli lehetséges kimenetelek száma összes lehetséges kimenetel száma. Ezt a számot az E esemény kombinatorikus valószínűségének nevezzük. Itt az E-beli lehetséges kimeneteleket,,kedvező lehetséges kimeneteleknek is szokás mondani, így a kombinatorikus valószínűség képlete röviden P = kedvező összes. 2. Példák olyan kísérletre, ahol a valószínűség kombinatorikus valószínűség. (a) Kockabobás. A lehetséges kimenetelek: 1, 2,, 4,, 6. (c) Érmedobás. A lehetséges kimenetelek:,,fej (f),,,írás (í). Érmedobás kétszer egymás után, ill. két egymástól megkülönböztethető érmével egyszerre. A lehetséges kimenetelek: ff, fí, íf, íí. (d) Autoszómás recesszíven öröklődő tulajdonság szempontjából vizsgáljuk heterozigóta szülők utódának genotípusát. A négy lehetséges kimenetel a Punnett-táblán látható: A a A AA Aa a Aa aa IX.. Kombinatorikus valószínűségi feladatok 1. Mi a valószínűsége annak, hogy egy dobókockával egymás után háromszor dobva az összeg 17? Megoldás. Az összes lehetőség száma 6, a kedvezőeké, így P = 216 = (Ugyanez az eredmény, ha három különböző színű vagy három egyforma dobókockával egyszerre dobunk. 2. Egy urnában 10 piros és 10 zöld golyó van. Határozza meg az alábbi két esemény valószínűségét! (a) Visszatevéses eljárással (visszatevéses mintavétel) -ször húzva -szor kapunk pirosat. Visszatevés nélkül (visszatevés nélküli mintavétel) -ször húzva -szor kapunk pirosat. Megoldás. (a) Összes lehetőség: 20, kedvező lehetőség: ( ) , ezért P = ( 20! Összes lehetőség: 1!, kedvező lehetőség: ( )( ) ( 10 ) 2 20 = 10 2 = 0,12. ) ( , ezért P = ) ,48. 20! 1!

4 . Most az urnában 100 piros és 100 zöld golyó van. Határozza meg az előző feladatbeli két esemény valószínűségét! (a) Visszatevéses eljárással -ször húzva -szor kapunk pirosat. Visszatevés nélkül -ször húzva -szor kapunk pirosat. (c) Oldja meg a feladatot 1000 piros és 1000 zöld golyót tartalmazó urnával is. Megoldás. (a) Összes lehetőség: 200, kedvező lehetőség: ( ) , ezért P = ( 200! Összes lehetőség: 19!, kedvező lehetőség: ( (c) Visszatevéssel: P = ( )( ) ( 1000 ) = 10 2 = 0,12. Visszatevés nélkül: P = ( ) ! 199! )( ) ( 100 ) = 10 ) ( , ezért P = ) , ! 19! 2 = 0,12. 0,17. (Minden egyes húzáskor a piros golyó húzásának valószínűsége csak az urnabeli piros és zöld golyók arányától függ. Visszatevéses mintavétel során ez az arány változatlan marad minden húzás után, hiszen a kivett golyót a következő húzás előtt visszatesszük az urnába. Ezért azonos a feladatban kérdezett valószínűség 10-10, és golyó esetén. Visszatevés nélküli mintavétel közben húzásról húzásra változik a piros golyó húzásának valószínűsége, és különbözik a kérdezett valószínűség a visszatevéses mintavételétől. Ha a golyók száma az urnában nagyobb azonos piros-zöld arány mellett, akkor egy, ill. néhány golyó kihúzása után kevésbé változik meg az arány. Ez magyarázza azt, hogy miért van egyre közelebb a visszatevés nélküli mintavétel során a keresett valószínűség a visszatevéses esetben kapott valószínűséghez, amikor a golyók száma nő.) IX.4. Példák nem kombinatorikus valószínűségre 1. Definíció. (Diszkrét valószínűség.) Tekintsünk egy olyan kísérletet, melynek véges számú vagy megszámlálhatóan végtelen sok lehetséges kimenetele van (ez azt jelenti, hogy a lehetséges kimenetelek egy véges vagy végtelen sorozatban felsorolhatók), és azok bekövetkezésének valószínűsége nem biztosan azonos. Az eseménytér legyen H = {h 1,h 2,...}, az eseményalgebra álljon H összes részhalmazából. Ha p i jelöli h i bekövetkezésének valószínűségét, akkor p 1 + p = 1. Ebben az esetben egy esemény valószínűsége az eseményt alkotó lehetséges kimenetelek valószínűségének összege, tehát pl. P({h 1,h 4,h 9 }) = p 1 +p 4 +p 9, P({h,h 6,h 9,h 12...}) = p +p 6 +p 9 +p Példa. Két A vércsoportú heterozigóta szülő utódának genotípusa lehet A 0 A AA A0 0 A0 00. Az utód genotípusára vonatkozó eseménytér H = {AA, A0, 00}, a valószínűségek P(AA) = 1 4, P(A0) = 1 2, P(00) = 1 4. Az utód fenotípusára vonatkozó eseménytér H = {A,0}, a valószínűségek P(A) = 4, P(0) = 1 4. Sem a H, sem a H eseménytéren a valószínűség nem kombinatorikus valószínűség. (Az allélek származását is figyelembe vevő négyelemű eseménytéren viszont a valószínűség kombinatorikus.) 2. Definíció. (Egydimenziós geometriai valószínűség.) Az [a, b] intervallumból kiválasztunk egy pontot úgy, hogy annak a valószínűsége, hogy a pontot az E halmazból választjuk, amikor az E [a,b] halmaznak van hossza. P(E) = E hossza [a,b] hossza, Ekkor mondjuk azt, hogy véletlenszerűen választunk az intervallumból, minden pontot azonos eséllyel.

5 . Definíció. (Kétdimenziós geometriai valószínűség.) A H R 2,,szép síkbeli halmazból kiválasztunk egy pontot úgy, hogy annak a valószínűsége, hogy a pontot az E halmazból választjuk, amikor az E H halmaznak van területe. P(E) = E területe H területe, Ekkor mondjuk azt, hogy véletlenszerűen választunk a síkbeli halmazból, minden pontot azonos eséllyel. IX.. A valószínűség definíciója és tulajdonságai 1. A valószínűség naiv fogalma: A valószínűség olyan függvény, amelyik minden eseményhez egy nemnegatív valós számot, az esemény valószínűségét rendeli. 2. Definíció. Jelölje H az eseményteret és E az eseményalgebrát, vagyis az események halmazát. Az eseményekhez számot rendelő P: E R függvényt valószínűségnek nevezzük, ha rendelkezik a következő három tulajdonsággal: 1. P(E) 0 minden E eseményre (a valószínűség nemnegatív). 2. Egymást páronként kizáró események tetszőleges véges vagy végtelen E 1,E 2,... sorozatára teljesül P(E 1 +E ) = P(E 1 )+P(E 2 )+... (egymást páronként kizáró eseményeken a valószínűség additív).. P(H) = 1 (a biztos esemény valószínűsége 1).. Állítás. A valószínűség néhány tulajdonsága: (i) P( ) = 0, P(H) = 1. (ii) P(E +F) = P(E)+P(F), ha E és F egymást kizáró események. (iii) P(E +F) = P(E)+P(F) P(EF) minden E és F eseményre (szitaformula két eseményre). (iv) P(E) = 1 P(E) minden E eseményre. (v) E F eseményekre P(F \E) = P(F) P(E). (vi) E F eseményekre P(E) P(F) (a valószínűség monoton növekvő függvénye az eseménynek). (vii) 0 P(E) 1 minden E eseményre. (viii) Ha E 1,..., E n teljes eseményrendszert alkot, akkor P(E 1 )+...+P(E n ) = 1. Bizonyítás. (i) és egymást kizáró események, ezért a valószínűség additivitása (2. axióma) szerint P(H) = 1 pedig a valószínűség. axiómája. P( + ) = P( )+P( ) P( ) = 0. }{{} (ii) Az állítás a valószínűség additivitása (2. axióma) két eseményre alkalmazva. (iii) Az E + F esemény felírható két egymást kizáró esemény összegeként, ezért E +F = E +(F E) = P(E +F) = P(E)+P(F E), és hasonlóan F = (F E)+EF = P(F) = P(F E)+P(EF) P(F E) = P(F) P(EF). Végül az utóbbi eredményt az előbbibe helyettesítve P(E +F) = P(E)+P(F E) = P(E)+P(F) P(EF). (iv) E és E egymást kizáró események, melyek összege a teljes eseménytér, így H = E +E = 1 = P(H) = P(E)+P(E) P(E) = 1 P(E).

6 (v) Tetszőleges E F eseményekre az E és F E egymást kizáró események összege F, ezért F = E +(F E) = P(F) = P(E)+P(F E) P(F E) = P(F) P(E). (vi) Az előző pont szerint az E F eseményekre 0 P(F E) = P(F) P(E) P(E) P(F). (vii) A valószínűség nemnegativitása az 1. axióma. Másrészt bármely E eseményre E H P monoton = P(E) P(H) = 1. (viii) Az E 1,..., E n teljes eseményrendszer elemei egymást páronként kizáró események, melyek összege a teljes eseménytér, emiatt 1 = P(E E n ) = P(E 1 )+...+P(E n ). 4. Feladat. Szemléltesse az állításokat a kétdimenziós geometriai valószínűség segítségével! IX.6. Házi feladatok 1. Tíz golyó van egy urnában, közülük 2 piros, a többi zöld. Véletlenszerűen kiválasztunk golyót egyszerre. Mi a valószínűsége annak, hogy (a) egyik sem piros, éppen egy piros, (c) kettő piros köztük? Megoldás. Minden kiválasztás egy ismétlés nélküli kombináció, az összes lehetőség száma ( 10 2). (a) Ha a kihúzott golyók egyike sem piros, akkor mind az öt golyót a nyolc zöld közül választottuk, ami ( ) 8 lehetőséget jelent. Ezért ( 8 ) P(egyik sem piros) = ( 10 = ) 2 9. Amikoregypirosésnégyzöldgolyóthúzunk, akkorapirosat ( ( 2 1) = 2-féleképpen,anégyzöldet 8 4) -féleképpen választhatjuk. Mindkét pirossal együtt kihúzhatjuk bármelyik négy zöldet, ezért a kedvező lehetőségek száma 2 (8 ). ) 2 (8 4 P(éppen egy piros) = ) = 9. (c) ( Két piros és három zöld golyó húzásakor mindkét piros golyót kivesszük (egy lehetőség), a zöldeket pedig 8 ) -féle módon választhatjuk. A kedvező lehetőségek száma ( 10 1 (8 ) P(kettő piros) = ) = Tíz golyó van egy urnában, közülük 2 piros, a többi zöld. Véletlenszerűen kiválasztunk golyót egymás után. Mi a valószínűsége annak, hogy (a) egyik sem piros, éppen egy piros, (c) kettő piros köztük? Megoldás. Minden ilyen kiválasztás egy ismétlés nélküli variáció, az összes lehetőség száma = (a) Az öt zöld golyót az urnában levő nyolc közül = féleképpen választhatjuk ki egymás után, ( 10 P(egyik sem piros) = = 2 9. Egymás után egy piros és négy zöld golyót ( 1) = módon húzhatunk, mert a pirosat az öt húzás bármelyike során kivehetjük ( ( 1) = lehetőség), akkor a két piros golyó valamelyikét választjuk (2 lehetőség), a másik négy húzás során a zöld golyókat pedig féleképpen. P(éppen egy piros) = ( 1 ) = (c) Hasonlóan két piros és három zöld golyót egymás után ( 2) = 6720-féleképpen húzhatunk, P(kettő piros) = ( 2 ) =

7 (Egyszerre, ill. egymás után húzva két piros és nyolc zöld golyó közül ötöt, a kihúzott piros golyók száma szerint három lehetőség van (egyik sem piros, éppen egy piros, kettő piros). Ezek valószínűsége nem függ a húzás módjától, mert mindegyik egyszerre történő kiválasztás ugyanannyiféleképpen, mégpedig! = 120 módon valósítható meg, ha a kiválasztáskor a golyók sorrendjére is tekintettel vagyunk.). Egy könyvespolcon tíz könyvet helyezünk el tetszőleges sorrendben, melyek közül hármat előre megjelöltünk. Mi a valószínűsége annak, hogy a megjelölt könyvek egymás mellé kerülnek? Megoldás. Az összes lehetőség száma 10!, a kedvezőké pedig 8!!, mert akkor a három előre megjelölt egymás melletti könyvet egynek tekintve a sorrendek száma 8!, és mindegyiknél!-féle sorrendben állhat a három előre megjelölt könyv egymás mellett. A valószínűség P = 8!! 10! = Egy szabályos érmét többször egymás után feldobunk. (a) Mi a valószínűsége annak, hogy az eredmény az első, a második, a harmadik,..., az n-edik dobásnál lesz először írás? Mi a valószínűsége annak, hogy az első n dobás eredménye csupa fej? (c) Mi a valószínűsége annak, hogy az érmét egymás után végtelen sokszor feldobva minden dobás eredménye fej? Megoldás. (a) Ha az eredmény az n-edik dobásnál lesz először írás, akkor előtte (n 1)-szer a dobás eredménye fej volt. Minden dobásnak két kimenetele lehet, ezért az összes lehetőség = 2 n, közülük az egyetlen kedvező f...fí. A valószínűség kedvező kimenetelek száma P n = = 1 összes kimenetel száma 2 n. Az n dobás során az összes lehetőség most is 2 n, melyek közül csak f...f kedvező. Ezért a valószínűség P(f...f) = 1 }{{} 2 n. n db. (c) Ha minden dobás eredménye fej (E), akkor az első n dobás eredménye is csupa fej (E n ), így 0 P(E) P(E n ) = 1 2 n. P monoton Ebből n határértéket képezve kapható P(E) = 0. A (c)-beli esemény példa nulla valószínűségű, de nem lehetetlen eseményre.