Környezet statisztika

Átírás

1 Környezet statisztika

2 Permutáció, variáció, kombináció k számú golyót n számú urnába helyezve hányféle helykitöltés lehetséges, ha a golyókat helykitöltés Minden urnába akárhány golyó kerülhet (ismétléses) Minden urnába legfeljebb egy golyó kerülhet (ismétlés nélküli) Megkülönböztetjük egymástól (variáció) A kiválasztási sorrendet figyelembe vesszük Nem különböztetjük meg egymástól (kombináció) A kiválasztási sorrendet nem vesszük figyelembe A kihúzott golyót visszatesszük (ismétléses) A kihúzott golyót nem tesszük vissza (ismétlés nélküli) mintavétel Hányféleképpen választható ki k számú golyó egy n számú golyót tartalmazó urnából

3 Elemi esemény: Valószínűség számítás - Alapfogalmak egy kísérlet, jelenség lehetséges kimenetei. Minta tér (Ω): Egy kísérlettel kapcsolatos elemi események halmaza Pl: Húzzunk ki egy 32 lapos magyar kártyából lapot, ekkor a mintatér Ω={ω 1, ω 2,, ω 32 } Esemény A Ω tetszőleges részhalmaza. Legyen az esemény, hogy pirosat húzunk. Eseményrendszer (Α) A Ω tetszőleges részhalmaza. Valószínűségi tér: Az (Ω, Α) pár Ø lehetetlen esemény Ω biztos esemény

4 Valószínűségi tér Ha Ha Ha akkor, az esemény ellentettje akkor a két esemény uniója, vagy összege vagy akkor a két esemény metszete, vagy szorzata és Ha és vagyis az A esemény részhalmaza B eseménynek, akkor B következménye A- nak Ha és akkor, A és B események egymást kizáróak Ha akkor a két esemény különbsége

5 Eseményrendszer a) Tulajdonságai : b) Ha akkor, az esemény ellentettje c) Ha akko r sőt I = 1, 2,, n, akkor

6 Példa Húzzunk ki egy 32 lapos magyar kártyából lapot, ekkor a mintatér: Ω = {ω 1, ω 2,, ω 32 } 32 elemi eseményből áll. A esemény: pirosat húzunk (8 elemi esemény) B esemény: királyt húzunk (4 elemi esemény) A + B esemény: pirosat vagy királyt húzunk (11 elemi esemény) AB esemény: a piros király (1 elemi esemény) Ā: a nem piros lapok (24 elemi esemény) A-B: piros, de nem király (7 elemi esemény)

7 Valószínűség A valószínűség egy eseményhez rendelt [0,1] intervallumba eső valós szám. Ha az A esemény maga után vonja a B eseményt, akkor B valószínűsége legalább akkora, mint A-é, azaz: A valószínűség tulajdonságai: A lehetetlen esemény valószínűsége 0, A biztos esemény valószínűsége 1,

8 Valószínűség Bármely eseményekre teljesül: akkor

9 Valószínűség Ha egy esemény valószínűségét akarjuk meghatározni, akkor az esemény szempontjából kedvező esetek számát elosztjuk az összes lehetséges esetek számával Példa: Két különböző kockát feldobva, mennyi a valószínűsége, hogy mind kettőn páros számot látunk.

10 Feltételes valószínűség A esemény bekövetkezésének P(B A) feltételes valószínűsége az eseményre vonatkozóan: Tulajdonságai : feltéve, ha és A fordított feltételes valószínűség:

11 Teljes valószínűség tétele Bármely A esemény valószínűsége kiszámítható a B 1, B 2,, B n feltételre vonatkozóan az alábbi módon: Példa: Három gép gyárt csavarokat. Az első gép 1%, a második 2%, a harmadik 3% selejtet produkál. Az első gép az össztermék 50%-át, a második 30%-át, a harmadik 20%-át állítja elő. Az össztermékből véletlenszerűen választva egyet, mennyi a valószínűsége, hogy az selejtes? A=selejt, B 1, B 2, B 3, gépek gyártmányainak az össztermékben való részesedése. P(A B 1 ) = 0,01 P(B 1 ) = 0,5 P(A B 2 ) = 0,02 P(B 2 ) = 0,3 P(A B 3 ) = 0,03 P(B 3 ) = 0,2

12 Bayes tétele Ha ismerjük egy A esemény feltételes valószínűségét egy teljes eseményrendszer valamennyi B 1, B 2,..., B n eseménye, mint feltétel mellett, és ebből szeretnénk meghatározni az egyes B i eseményeknek az A-ra vonatkozó feltételes valószínűségét. Feltételes valószínűségből: Teljes valószínűség tételéből:

13 Példa: Egy populációban a fiatalok 5%-a, a középkorúak 10%-a, míg az idősek 20%-a szenved egy bizonyos betegségben. A népesség 60%-a fiatal, 30%-a középkorú, míg 10%-a idős. Ha tudjuk valakiről, hogy beteg, de nem ismerjük a korát, akkor milyen valószínűséggel tartozik az idősek közé? A=beteg P(A B 1 ) = 0,5 P(B 1 ) = 0,6 P(A B 2 ) = 0,1 P(B 2 ) = 0,3 P(A B 3 ) = 0,2 P(B 3 ) = 0,1 Idős és beteg: P(B 3 A) = P(A B 3 )P(B 3 ) = 0,2*0,1 = 0,02 Beteg: P(A)=P(A B 1 )*P(B 1 ) + P(A B 2 )*P(B 2 ) + P(A B 2 )*P(B 2 ) = 0,5*0,6 + 0,1*0,3 + 0,2*0,1 = 0,08 P ( B 3 A)= 0,02 0,08 =0,25

14 Tételezzük fel, hogy van három urnánk, amelyekben rendre: 1 piros és 1 fekete; 2 piros, 3 fekete illetve 4 piros és 2 fekete golyó van. Az urnákat nem tudjuk megkülönböztetni. a) Véletlenül kiválasztva az urnák közül, mennyi a valószínűsége, hogy pirosat húzunk. b) Tudjuk, hogy pirosat húzunk, mennyi a valószínűsége, hogy az első urnát választottuk. P (urna1)=p (urna2)=p (urna3)= 1 3 P ( piros/ urna1)= 1 2 P ( piros/ urna3)= 4 6 P ( piros/ urna2)= 2 5 P ( piros)= =47 90 =0, P (urna1 piros)= = =0,32