Biometria az orvosi gyakorlatban. Számítógépes döntéstámogatás

Átírás

1 SZDT-01 p. 1/23 Biometria az orvosi gyakorlatban Számítógépes döntéstámogatás Werner Ágnes Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék

2 Gyakorlat SZDT-01 p. 2/23

3 Kísérlet, esemény, valószínűség SZDT-01 p. 3/23

4 SZDT-01 p. 4/23 Fogalmak Kísérlet: minden olyan tevékenység, amit valamilyen cél érdekében hajtunk végre és amely azonos körülmények mellett tetszőlegesen sokszor megismételhető, de az ismétlésekben az eredmény más lehet pl. otthoni vérnyomás-ellenőrzés reggelente és este Kísérlet: jelenségek megfigyelése pl. megfigyeljük az 50 éven felüli dohányzók körében egy adott időszak alatt a tüdőrákos megbetegedések számát Elemi esemény: egy kísérlet lehetséges kimenetelei pl. a mért vérnyomásérték normális vagy magas Ha két esemény, A és B olyan kapcsolatban van egymással, hogy A csak akkor következhet be, ha B is bekövetkezik, akkor az A esemény maga után vonja a B eseményt: A B pl. a HIV-fertőzés (A esemény) maga után vonja az AIDS-betegség (B esemény) kifejlődését Eseménytér: egy kísérlet összes elemi eseményének halmaza: Ω lehetetlen esemény: O biztos esemény: I ellentett (komplementer) esemény: A

5 SZDT-01 p. 5/23 Eseményalgebra Összeadás: A=egy baleset során az egyik kéz elvesztése, B=az egyik láb elvesztése, C=munkaképesség csökkenése A + B = C (C akkor következik be, ha A vagy B bekövetkezik) Kivonás: A esemény teljesül, de B nem: A B = F = AB Szorzás: A és B események szorzata az az esemény, amely csak akkor következik be, ha A és B is bekövetkezik: C = AB Összetett esemény: A esemény öszetett vagy felbontható, ha legalább két különböző esemény összegeként egyértelműen előállítható: D = A + B + C Teljes eseményrendszer: A 1,...A n teljes eseményrendszert képeznek, ha igazak az alábbi feltételek: A 1 + A A n = I A i A j =, ha i j i = 1,...,n és j = 1,...,n

6 SZDT-01 p. 6/23 A valószínűség fogalma 1. 0 P(A) 1 2. P(0) = 0 lehetetlen esemény 3. P(I) = 1 biztos esemény 4. Ha az A és B események, akkor az A és B eseményekre igaz: P(A + B) = P(A) + P(B) 5. Ha az A 1,A 2,...,A n események páronként kizárják egymást, akkor igaz. P(A 1 + A A n ) = P(A 1 ) + P(A 2 ) P(A n ) Feltételes valószínűség: A és B két esemény és P(B) 0: P(A B) = P(AB) P(B)

7 SZDT-01 p. 7/23 Feladatokhoz: Megfigyelési eredmények nemek szerinti bontásban tüdőrákra vonatkozóan Nem alakult ki Kialakult Összes Férfi Nő Összes

8 SZDT-01 p. 8/23 Feladatokhoz: Megfigyelési eredmények dohányzási szokás szerint tüdőrákra vonatkozóan Dohányzási szokás Nem alakult ki Kialakult Összes Nem Mérsékelt Erős Összes

9 SZDT-01 p. 9/23 A teljes valószínűség tétele Ha a B 1,B 2,...,B n események teljes eseményrendszert alkotnak és P(B i ) 0, akkor tetszőleges A esemény valószínűségére igaz: P(A) = n i=1 P(A B i) P(B i ) az A esemény valószínűsége a B i események feltétele mellett meghatározható. Feladat: Egy gyógyszertári aszisztens megfigyelte, hogy a leszállított lázmérők között hibásak is vannak. Megfigyelése szerint egy csomagban 0-tól 3-ig fordul elő sérült lázmérő. Véletlenül kiválasztva egy csomagot a 25 lázmérőből kivesz 3 darabot. Mi a valószínűsége annak, hogy a kiválasztott lázmérők nem sérültek?

10 SZDT-01 p. 10/23 Bayes-tétel Ha a B 1,B 2,...,B n események teljes eseményrendszert alkotnak és P(B i ) 0 és egy tetszőleges A eseményre P(A) 0, akkor a B i eseményekre igaz: P(B i A) = P(A B i ) P(B i ) n k=1 P(A B k) P(B k ) a B i események valószínűsége az A esemény bekövetkezése esetén mint feltétel mellett a formula segítségével meghatározható. Feladat: Egy nehéz fémeket feldolgozó ipari környezetben a férfiak és nők száma azonos. Egy tüdőgyógyász szerint 100 férfi közül 15 és minden 100 nő közül 7 légzési panaszokkal kűzd. Mi a valószínűsége annak, hogy közülük kiválasztva egy személyt nő lesz?

11 Valószínűségi változó,várható érték, szórás SZDT-01 p. 11/23

12 SZDT-01 p. 12/23 Valószínűségi változó A biometriai vizsgálatok során megfigyelt vagy mért értékek véletlentől függő mennyiségek, amelyekhez számértékeket rendelünk. Ezeket a véletlen által befolyásolt értékeket közös néven valószínűségi változóknak nevezzük. pl. vérnyomásmérés valószínűségi változó, mert a mért értéket több tényező befolyásolhatja (a készülék állapota, fronthatás stb.), az értékben csak bizonyos valószínűség mellett lehetünk biztosak Pontosabban: ha egy eseménytér (Ω) elemeihez számokat rendelünk, akkor az eseményeken egy függvényt értelmezhetünk (ξ valószínűségi változó) pl. adott egy populáció, amelyet a végbélrák (A) kialakulásának szempontjából vizsgálunk; az Ω 2 elemű: lesz vagy nem lesz végbélrák (k = 1, 2) A valószínűségi változó az egyes eseményekhez rendelt valószínűségeket fogja sorra felvenni; minden esemény valószínűsége: 1 2 p k = P(A k ) = P(ξ = k) = 1 2, k = 1,2

13 SZDT-01 p. 13/23 Diszkrét valószínűségi változó Ha az ξ valószínűségi változó értékkészlete véges vagy megszámlálhatóan végtelen x k számsorozat, akkor a ξ-t diszkrét valószínűségi változónak nevezzük. Az egyes események valószínűségei: p k = P(A k ) = P(ξ = x k ) Az így meghatározott valószínűségeket a ξ változó eloszlásának nevezzük. pl. a 4,5 mmol/l vércukorérték milyen valószínűséggel fordul elő egy betegnél a vizsgálat során. A korábbi végbélrák előfordulásánál: 2 k=1 p k = 2 k=1 P(A k) = 2 k=1 P(ξ = x k) = = 1 Egy ξ valószínűségi változó eloszlásfüggvénye: F(x) = P(ξ < x) megadja annak valószínűségét, hogy a ξ milyen valószínűséggel vesz fel egy tetszőleges x értéknél kisebb értéket

14 SZDT-01 p. 14/23 Folytonos valószínűségi változó Értékkészlete végtelen vagy nem megszámlálhatóan végtelen Pl. vérnyomásértékek Az ilyen típusú változó eloszlásfüggvényének meghatározása nehezebb az egyes tartományok valószínűségének megadása közvetlenül nem lehetséges bevezetésre került a sűrűségfüggvény (minden szakasz valószínűsége megadható a szakaszhoz tartozó függvénygörbe alatti terület (integráljának) nagyságával sűrűségfügvény: f(x)

15 SZDT-01 p. 15/23 Valószínűségi változók várható értéke Ha egy kísérletet sokszor megismétlünk és mindegyik kísérletet egymástól függetlenül hajtjuk végre, akkor a valószínűségi változónak az egyes kísérletek során felvett értékei egy jól meghatározott érték körül ingadoznak. Diszkrét valószínűségi változó esetén: M(ξ) = n k=1 p kx k Feladat: Egy biztosítótársaság adatai szerint egy 30 éves ember 0, 985 valószínűséggel él meg egy évet és 0,015 valószínűséggel hal meg egy éven belül. Ha egy ilyen korú ember Ft-os életbiztosítást köt, akkor Ft-ot kap, ha megéli a biztosítástól számított egy évet. Mi lesz a biztosítótársaság várható nyeresége?

16 SZDT-01 p. 16/23 Valószínűségi változók szórása Egy valószínűségi változó értékeinek a várható érték körüli szóródását nevezzük a változó szórásának: D(ξ) Variancia: V ar(ξ) = D 2 (ξ) = M[(ξ M(ξ)) 2 ] = M(ξ 2 ) [M(ξ)] 2 Diszkrét valószínűségi változó esetén: V ar(ξ) = D 2 (ξ) = n k=1 p kx 2 k ( n k=1 p kx k ) 2

17 Nevezetes diszkrét eloszlások SZDT-01 p. 17/23

18 SZDT-01 p. 18/23 Binomiális eloszlás Végezzünk el egy kísérletet n-szer egymástól függetlenül. A kísérlet során egy A esemény bekövetkezésének valószínűsége legyen P(A) = p P(A) = q = 1 p p k = P(ξ = k) = ( n k) p k q n k, (k = 0,1,2,... n) A ξ valószínűségi változó eloszlását binomiális eloszlásnak nevezzük, amelynek várható értéke: M(ξ) = n p szórása: D(ξ) = n p q Feladat: Egy város lakóinak egyhatod része szenved egy bizonyos betegségben. Találomra egyenként kiválasztunk 5 főt úgy, hogy mindig a teljes létszámból választunk. Határozzuk meg annak valószínűségét, hogy a kiválasztottak egyike sem beteg, vagy 1, 2, 3, 4, illetve 5 ember beteg.

19 SZDT-01 p. 19/23 Poisson-eloszlás p k = P(ξ = k) = λk k! e λ, (k = 0,1,2,... n) eloszlást a ξ valószínűségi változó Poisson-eloszlásának nevezzük, ahol λ > 0 egy tetszőleges valós szám Várható értéke: M(ξ) = λ Szórása: D(ξ) = λ pl.: lehulló hópelyhek száma egy adott tartományon baktériumok száma egy adott térfogatban balesetek száma egy időintervallumban adott idő alatt lezajló események száma Feladat: Egy kórház parkolója 300 autó befogadására alkalmas. Annak valószínűsége, hogy autó érkezik a parkolóba egy meghatározott percben, 0,04. Határozzuk meg annak valószínűségét, hogy az adott percben 10-nél kevesebb autó érkezik a parkolóba.

20 Nevezetes folytonos eloszlások SZDT-01 p. 20/23

21 SZDT-01 p. 21/23 Egyenletes eloszlás Sűrűségfüggvénye: 0, ha x a, f(x) = 1, ha a < x b, b a 0, ha x > b Eloszlásfüggvénye: F(x) = P(ξ < x)= Várható értéke: M(ξ) = a+b 2 Szórása: D(ξ) = b a 12 0, ha x a, x a, ha a < x b, b a 1, ha x > b Feladat: Egy műszer a környezeti hőmérséklettől függően 6 10 s múlva lesz üzemképes. Legyen ξ a bekapcsolástól a működésig eltelt idő egyenletes eloszlású valószínűségi változó. Határozzuk meg az eloszlás jellemzőit és a várható értékekhez tartozó valószínűségét.

22 SZDT-01 p. 22/23 Exponenciális eloszlás Sűrűségfüggvénye: 0, ha x 0, f(x) = λe λx, ha x > 0 Eloszlásfüggvénye: F(x) = P(ξ < x)= 0, ha x 0, 1 e λx, ha x > 0 Várható értéke: M(ξ) = 1 λ Szórása: D(ξ) = 1 λ Pl. alkatrészek élettertama radioaktív bomlási folyamatok Feladat: Egy röntgenberendezés működési ideje a meghibásodásig exponenciális eloszlású. A folyamatot leíró valószínűségi változó várható értéke legyen 400 óra. Határozzuk meg a ξ valószínűségi változó sűrűség- és eloszlásfüggvényét.

23 SZDT-01 p. 23/23 Normális eloszlás Egy tetszőleges ξ valószínűségi változó normális eloszlású, ha sűrűségfüggvényére igaz, hogy f(x) = 1 σ (x µ)2 e 2π 2σ 2 Az eloszlás várható értéke: M(ξ) = µ Szórása: D(ξ) = σ 1. Feladat: Tegyük fel, hogy a lakosság körében a fehérvérsejtszám várható értéke 8000, a szórása 1200 és az értékek normális eloszlást követnek. Várhatóan a lakosság hány %-a esik a 7000 és érték közé? 2. Feladat: Az SE-en az egyik tárgyból a hallgatók 30%-a rendszerint megbukik a teszt során. A pontszámok eloszlása normálisnak tekinthető 72-es átlaggal és 6 pont szórással. Hány pontot kell szereznie egy hallgatónak, hogy biztosan átmenjen a vizsgán?