Gazdasági matematika II. tanmenet

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Gazdasági matematika II. tanmenet"

Átírás

1 Gazdasági matematika II. tanmenet Mádi-Nagy Gergely A hivatkozásokban az alábbi tankönyvekre utalunk: T: Tóth Irén (szerk.): Operációkutatás I., Nemzeti Tankönyvkiadó Cs: Csernyák László (szerk.): Valószín ségszámítás, Nemzeti Tankönyvkiadó G: Gáspár László: Mátrixaritmetikai gyakorlatok, Nemzeti Tankönyvkiadó D: Denkinger Géza: Valószín ségszámítási gyakorlatok, Nemzeti Tankönyvkiadó S: Scharnitzky Viktor: Mátrixszámítás (Bolyai sorozat), M szaki Könyvkiadó Mátrixaritmetika Irodalom: T 3.1, 3.2 fejezet, (G 1.1, 1.2 bevezetései), S 89-97, o A mátrix fogalma Mátrix deníciója, jelölései, mérete. Példákkal. Mátrix transzponáltja. Sorvektor, oszlovektor. Példákkal. Négyzetes mátrix. Mátrix rendje. F átló. Példákkal. Alsó, fels háromszögmátrix. Szimmetrikus mátrix, Ferdén szimmetrikus mátrix. Diagonális mátrix. Példákkal. Vektorok közti rendezés: nem teljes! 1.2. M veletek mátrixokkal Összeadás, pontos denícióval. Számmal való szorzás. Lineáris kombináció (vektorokkal, mátrixokkal). Konvex kombináció (vektorokkal). Példákkal. n dimenziós vektorok skaláris szorzata. Pár példa. Mátrixszorzás deníciója. Sok példa, a méret számít!!! 1

2 1.3. M veleti tulajdonságok Megfelel méretek mellett szinte minden tulajdonság teljesül kivéve a szorzás felcserélhet ségét. Tehát általában AB BA, még négyzetes mátrixokra sem! Ezt pár példán szemléltetni. Transzponált összeadása, szorzása M veletek négyzetes mátrixokkal Egységmátrix (I n ). M veleti tulajdonságai: AI = IA = A. Példán is mutatni. Mátrixok hatványa, ha a kitev természetes szám. Példák Feladatok G 1.2/9-12, 23, 27, S 113. oldaltól 3-5, 9, 11, 24-35, 43-50, Mátrixaritmetikai alkalmazások Irodalom: T 3.4 fejezet (G 1.4 bevezetés), S 99. oldaltól a kidolgozott feladatok 2.1. Fogalmak Összegz vektor, egységvektor. Deníciók, tulajdonságok Termelési feladat Szöveges példa. Technológia mátrix, termelési program, termelés költsége, árbevétel. Ugyanezek er forrásonként ill. termékenként. 3. Lineáris egyenletrendszerek megoldása Irodalom: T 5.3 vagy G 4.1 bevezet (az el adáson teljes mátrixszal dolgozunk!), S o. (itt a Gauss elimináció szerepel, ezzel is elfogadom a megoldást), 2

3 3.1. Megoldási módszerek Lineáris egyenletrendszer. Együttható mátrix. B vített együttható mátrix. Megengedett sorm veletek: (a) sor (nemnulla) számmal való szorzása, (b) egy sor számszorosának másik sorhoz adása, (c) sorcsere. Gauss-Jordan elimináció (sorcserés) példán keresztül. A megoldások számára vonatkozó kritériumok. Végtelen sok megoldás felírása. Mindhárom esetre egy-egy példa. Esetleg pár paraméteres feladat. Az ajánlott irodalom jelölésrendszere Feladatok G 4.1/ S 212. oldaltól (Gauss v. Gauss-Jordan eliminációval megoldani és a végeredményt a könyv eredményével összehasonlítani) 4. Mátrix inverze Irodalom: T 5.4 (G 4.2 bevezetés), S 168 o. közepe "másik módszer"-171 o Az inverz deníciója, tulajdonságai Csak négyzetes mátrixra. Deníció. Tulajdonságok: nem minden mátrixnak létezik. Ha (bármelyik oldali) létezik, akkor: AA 1 = A 1 A = I Az inverz meghatározása AX = I megoldását keressük. Ez lényegében n darab lineáris egyenletrendszer, ugyanazzal az együttható mátrixszal, más-más (egységvektor) jobboldalakkal. Felírni az egyenletrendszert elemekkel, és bemutatni, hogy X j-edik oszlopa pont az Ax j = e j megoldása. Az n darab egyenletrendszer együttes megoldása Gauss-Jordan elimináció segítségével. Sok-sok példa. Hogy vesszük észre, ha az inverz nem létezik. 3

4 4.3. Feladatok G 4.2/ S 179. oldaltól Kombinatorika Irodalom: Cs Permutáció Ismétlés nélküli, n! deníciója, ismétléses Variáció Ismétlés nélküli, ismétléses Kombináció Csak ismétlés nélküli, ( ) n k deníciója Feladatok D 2-21, 30-41, 44, Eseményalgebra Irodalom: Cs Alapfogalmak Elemi esemény (jel: h i ), Eseménytér (jel: H), Esemény (jel: latin nagybet ). Példák (kocka, vezeték Wenn diagramokkal) Biztos esemény (H), Lehetetlen esemény ( ). A maga után vonja B-t: A B. Példák (kocka, vezeték, Wenn diagramm) A H. 4

5 6.2. M veletek eseményekkel Kocka, vezeték, Wenn diagramm példákkal is illusztrálva: Ellentétes (komplementer) esemény (jel: A). H =, = H, A = A. Események összege (A B). Események szorzata (A B). Egymást kizáró események (A B = ). Események különbsége (A \ B). A \ B = A B Teljes eseményrendszer (B i -kel). A és A teljes eseményrendszer Fontosabb azonosságok Boole-algebra. De-Morgan egyenl ségek Feladatok D 118, 119, 133, A valószín ségszámítás elemei Irodalom: Cs A valószín ség axiómái Motiváció. Axióma rendszer Valószín ségszámítási tételek Komplementer valószín sége. Teljes eseményrendszer tulajdonsága. P (A B). P (A \ B), ha A B. Klasszikus képlet: kedvez /összes. Visszatevéses és visszatevés nélküli mintavétel Feladatok D

6 8. Feltételes valószín ség, események függetlensége Irodalom: Cs A feltételes valószín ség Üzemes példa. Deníció. Teljesíti az axiómarendszert. Szorzási szabály. Teljes valószín ség tétele. Bayes tétel Események függetlensége Deníció. Komplementerek is függetlenek. Teljesen független rendszer. Példa páronként független de nem teljesen független rendszerre. Független kísérletek. Bernoulli féle képlet Feladatok Feltételes valószín ség: D Függetlenség: D Valószín ségi változók és jellemz ik Irodalom: Cs A valószín ségi változó fogalma Deníció. Diszkrét (kocka) és folytonos (vezeték) példák. Diszkrét valószín ségi változó deníciója. Valószín ségi eloszlás deníció és példa Az eloszlásfüggvény és tulajdonságai Eloszlásfüggvény deníció. El z példák eloszlásfüggvényei. Folytonos valószín ségi változó deníciója (F (x) folytonos és véges sok pont kivételével dierenciálható). P (a ξ < b) = F (b) F (a). Eloszlásfüggvény tulajdonságai. Folytonos esetben P (ξ = x 0 ) = 0, illetve ennek következményei. 6

7 9.3. A s r ségfüggvény és tulajdonságai Deníció (f(x) = F (x)). P (a ξ < b) = b a f(x)dx. Tulajdonságok. El z folytonos példa folytatása Feladatok D , , 311, , , Várható érték és szórás Irodalom: Cs Várható érték Deníció diszkrétre. Motiváció (relatív gyakoriságokkal). Példa. Deníció folytonosra, példával. M(p n (ξ)) Szórás Motiváció. Deníció. D 2 (ξ) = M(ξ 2 ) M 2 (ξ). D(aξ + b) = a D(ξ). Példákkal tovább számolni Feladatok D , 358, 360, 366, 369/a,b,e,f, Markov- és Csebisev egyenl tlenség Irodalom: Cs 4.7 Rövid példa mindkett re. P (η a) M(η) a. P ( ξ M(ξ) td(ξ)) 1 t 2. 7

8 11.1. Feladatok D 396, 399, 401, Nevezetes eloszlások Irodalom: Cs Diszkrét eloszlások Karakterisztikus eloszlás. Binomiális eloszlás. Hipergeometrikus eloszlás. Poisson eloszlás. Példákkal Folytonos eloszlások Egyenletes eloszlás. Exponenciális eloszlás. Normális eloszlás. Példákkal Feladatok D 530, 531, 537, , , , , Nagy számok törvényei Irodalom: Cs Bernoulli féle alak P ( Centrális határeloszlás tétel ξ n n p ) pq ɛ 2 n. ( lim P ξ1 + + ξ n nm n σ n < x ) = Φ(x). 8

9 13.3. Feladatok Bernoulli: D , CHT: D

Elméleti összefoglaló a Valószín ségszámítás kurzushoz

Elméleti összefoglaló a Valószín ségszámítás kurzushoz Elméleti összefoglaló a Valószín ségszámítás kurzushoz Véletlen kísérletek, események valószín sége Deníció. Egy véletlen kísérlet lehetséges eredményeit kimeneteleknek nevezzük. A kísérlet kimeneteleinek

Részletesebben

Gazdasági matematika II. Tantárgyi útmutató

Gazdasági matematika II. Tantárgyi útmutató Módszertani Intézeti Tanszék Gazdálkodási és menedzsment, pénzügy és számvitel szakok távoktatás tagozat Gazdasági matematika II. Tantárgyi útmutató 2016/17 tanév II. félév 1/6 A KURZUS ALAPADATAI Tárgy

Részletesebben

TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok II. útmutató

TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok II. útmutató BGF PÉNZÜGYI ÉS SZÁMVITELI KAR Módszertani Intézeti Tanszéki Osztály TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok II. útmutató 2013/2014. tanév II. félév Tantárgyi program Tantárgy megnevezése Tantárgy jellege/típusa:

Részletesebben

Tantárgy kódja Meghirdetés féléve 3 Kreditpont 4 Összóraszám (elm+gyak) 2+2

Tantárgy kódja Meghirdetés féléve 3 Kreditpont 4 Összóraszám (elm+gyak) 2+2 Tantárgy neve Alkalmazott matematika II. Tantárgy kódja MT003 Meghirdetés féléve 3 Kreditpont 4 Összóraszám (elm+gyak) 2+2 Számonkérés módja gyakorlati jegy Előfeltétel (tantárgyi kód) MT002 Tantárgyfelelős

Részletesebben

TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok 2. útmutató

TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok 2. útmutató BGF PÉNZÜGYI ÉS SZÁMVITELI KAR Módszertani Intézeti Tanszéki Osztály TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok 2. útmutató 2015/2016. tanév I. félév Tantárgyi program Tantárgy megnevezése Tantárgy jellege/típusa:

Részletesebben

4. Az A és B események egymást kizáró eseményeknek vagy idegen (diszjunkt)eseményeknek nevezzük, ha AB=O

4. Az A és B események egymást kizáró eseményeknek vagy idegen (diszjunkt)eseményeknek nevezzük, ha AB=O 1. Mit nevezünk elemi eseménynek és eseménytérnek? A kísérlet lehetséges kimeneteleit elemi eseményeknek nevezzük. Az adott kísélethez tartozó elemi események halmazát eseménytérnek nevezzük, jele: X 2.

Részletesebben

Eseményalgebra. Esemény: minden amirl a kísérlet elvégzése során eldönthet egyértelmen hogy a kísérlet során bekövetkezett-e vagy sem.

Eseményalgebra. Esemény: minden amirl a kísérlet elvégzése során eldönthet egyértelmen hogy a kísérlet során bekövetkezett-e vagy sem. Eseményalgebra. Esemény: minden amirl a kísérlet elvégzése során eldönthet egyértelmen hogy a kísérlet során bekövetkezett-e vagy sem. Elemi esemény: a kísérlet egyes lehetséges egyes lehetséges kimenetelei.

Részletesebben

Készítette: Fegyverneki Sándor

Készítette: Fegyverneki Sándor VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS Összefoglaló segédlet Készítette: Fegyverneki Sándor Miskolci Egyetem, 2001. i JELÖLÉSEK: N a természetes számok halmaza (pozitív egészek) R a valós számok halmaza R 2 {(x, y) x, y

Részletesebben

Elméleti összefoglaló a Sztochasztika alapjai kurzushoz

Elméleti összefoglaló a Sztochasztika alapjai kurzushoz Elméleti összefoglaló a Sztochasztika alapjai kurzushoz 1. dolgozat Véletlen kísérletek, események valószín sége Deníció. Egy véletlen kísérlet lehetséges eredményeit kimeneteleknek nevezzük. A kísérlet

Részletesebben

Mátrixok 2017 Mátrixok

Mátrixok 2017 Mátrixok 2017 számtáblázatok" : számok rendezett halmaza, melyben a számok helye két paraméterrel van meghatározva. Például lineáris egyenletrendszer együtthatómátrixa 2 x 1 + 4 x 2 = 8 1 x 1 + 3 x 2 = 1 ( 2 4

Részletesebben

Matematika tanmenet 11. évfolyam (középszintű csoport)

Matematika tanmenet 11. évfolyam (középszintű csoport) Matematika tanmenet 11. évfolyam (középszintű csoport) Műveltségi terület: MATEMATIKA Iskola, osztályok: Vetési Albert Gimnázium, 11.A, 11.B, 11.D (alap) Tantárgy: MATEMATIKA Heti óraszám: 4 óra Készítették:

Részletesebben

Matematika 11. évfolyam

Matematika 11. évfolyam Matematika 11. évfolyam Tanmenet Másodfokúra visszavezethető magasabb rendű egyenletek, másodfokú egyenletrendszerek 1. Másodfokú egyenletek (ismétlés) 2. Másodfokú egyenletrendszerek (behelyettesítő módszer)

Részletesebben

3. el adás: Determinánsok

3. el adás: Determinánsok 3. el adás: Determinánsok Wettl Ferenc 2015. február 27. Wettl Ferenc 3. el adás: Determinánsok 2015. február 27. 1 / 19 Tartalom 1 Motiváció 2 A determináns mint sorvektorainak függvénye 3 A determináns

Részletesebben

Feladatok 2. zh-ra. 1. Eseményalgebra április Feladat. Az A és B eseményekr l tudjuk, hogy P (A) = 0, 6, P (B) = 0, 7 és

Feladatok 2. zh-ra. 1. Eseményalgebra április Feladat. Az A és B eseményekr l tudjuk, hogy P (A) = 0, 6, P (B) = 0, 7 és Feladatok 2 zh-ra 205 április 3 Eseményalgebra Feladat Az A és B eseményekr l tudjuk, hogy P (A) = 0, 7, P (B) = 0, 4 és P (A B) = 0, 5 Határozza meg az A B esemény valószín ségét! P (A B) = 0, 2 2 Feladat

Részletesebben

Részletes tantárgyprogram és követelményrendszer

Részletes tantárgyprogram és követelményrendszer Részletes tantárgyprogram és követelményrendszer Óbudai Egyetem Mikroelektronikai és Technológia Intézet Kandó Kálmán Villamosmérnöki Kar Tantárgy neve és kódja: Matematika III. KMEMA31TND Kreditérték:

Részletesebben

YBL - SGYMMAT2012XA Matematika II.

YBL - SGYMMAT2012XA Matematika II. YBL - SGYMMAT2012XA Matematika II. Tantárgyfelelős: Dr. Joós Antal Tárgyelőadó: Dr. Joós Antal Tantárgyi leírás Oktatási cél: Azoknak a matematikai alapoknak a megszerzése, melyek a szaktárgyak elsajátításához

Részletesebben

Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat megoldása, június 10

Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat megoldása, június 10 Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat megoldása, 204. június 0 A dolgozatírásnál íróeszközön kívül más segédeszköz nem használható. A dolgozat időtartama: 90 perc. Ha a dolgozat első részéből szerzett

Részletesebben

Valószín ségszámítás és statisztika

Valószín ségszámítás és statisztika Valószín ségszámítás és statisztika Informatika BSc, esti tagozat Backhausz Ágnes agnes@cs.elte.hu 2016/2017. tavaszi félév Bevezetés Célok: véletlen folyamatok modellezése; kísérletekb l, felmérésekb

Részletesebben

LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK október 12. Irodalom A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: ezek egyrészt elhangzanak

LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK október 12. Irodalom A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: ezek egyrészt elhangzanak LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 004. október. Irodalom A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: ezek egyrészt elhangzanak az előadáson, másrészt megtalálják a jegyzetben: Szabó László:

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 3 III. VÉLETLEN VEKTOROK 1. A KÉTDIMENZIÓs VÉLETLEN VEKTOR Definíció: Az leképezést (kétdimenziós) véletlen vektornak nevezzük, ha Definíció:

Részletesebben

Lineáris algebra Gyakorló feladatok

Lineáris algebra Gyakorló feladatok Lineáris algebra Gyakorló feladatok. október.. Feladat: Határozzuk meg a, 4b, c és a b c vektorokat, ha a = (; ; ; ; b = (; ; ; ; c = ( ; ; ; ;.. Feladat: Határozzuk meg a, 4b, a, c és a b; c + b kifejezések

Részletesebben

A valószínűségszámítás elemei

A valószínűségszámítás elemei Alapfogalmak BIOSTATISZTIKA ÉS INFORMATIKA A valószínűségszámítás elemei Jelenség: minden, ami lényegében azonos feltételek mellett megismételhető, amivel kapcsolatban megfigyeléseket lehet végezni, lehet

Részletesebben

Véletlen jelenség: okok rendszere hozza létre - nem ismerhetjük mind, ezért sztochasztikus.

Véletlen jelenség: okok rendszere hozza létre - nem ismerhetjük mind, ezért sztochasztikus. Valószín ségelméleti és matematikai statisztikai alapfogalmak összefoglalása (Kemény Sándor - Deák András: Mérések tervezése és eredményeik értékelése, kivonat) Véletlen jelenség: okok rendszere hozza

Részletesebben

Irodalom. (a) A T, B T, (b) A + B, C + D, D C, (c) 3A, (d) AD, DA, B T A, 1 2 B = 1 C = A = 1 0 D = (a) 1 1 3, B T = = ( ) ; A T = 1 0

Irodalom. (a) A T, B T, (b) A + B, C + D, D C, (c) 3A, (d) AD, DA, B T A, 1 2 B = 1 C = A = 1 0 D = (a) 1 1 3, B T = = ( ) ; A T = 1 0 Irodalom ezek egyrészt el- A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: hangzanak az előadáson, másrészt megtalálják a jegyzetben: Szabó László: Bevezetés a lineáris algebrába, Polygon

Részletesebben

1. Determinánsok. Oldjuk meg az alábbi kétismeretlenes, két egyenletet tartalmaz lineáris egyenletrendszert:

1. Determinánsok. Oldjuk meg az alábbi kétismeretlenes, két egyenletet tartalmaz lineáris egyenletrendszert: 1 Determinánsok 1 Bevezet definíció Oldjuk meg az alábbi kétismeretlenes, két egyenletet tartalmaz lineáris egyenletrendszert: a 11 x 1 +a 12 x 2 = b 1 a 21 x 1 +a 22 x 2 = b 2 Szorozzuk meg az első egyenletet

Részletesebben

Diszkrét matematika I., 12. előadás Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach november 30.

Diszkrét matematika I., 12. előadás Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet   takach november 30. 1 Diszkrét matematika I, 12 előadás Dr Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@infnymehu http://infnymehu/ takach 2005 november 30 Vektorok Definíció Egy tetszőleges n pozitív egész számra n-komponensű

Részletesebben

[Biomatematika 2] Orvosi biometria

[Biomatematika 2] Orvosi biometria [Biomatematika 2] Orvosi biometria 2016.02.22. Valószínűségi változó Véletlentől függő számértékeket (értékek sokasága) felvevő változókat valószínűségi változóknak nevezzük(jelölés: ξ, η, x). (pl. x =

Részletesebben

2. A ξ valószín ségi változó eloszlásfüggvénye a következ : x 4 81 F (x) = x 4 ha 3 < x 0 különben

2. A ξ valószín ségi változó eloszlásfüggvénye a következ : x 4 81 F (x) = x 4 ha 3 < x 0 különben 1 feladatsor 1 Egy dobozban 20 fehér golyó van Egy szabályos dobókockával dobunk, majd a következ t tesszük: ha a dobott szám 1,2 vagy 3, akkor tíz golyót cserélünk ki pirosra; ha a dobott szám 4 vagy

Részletesebben

Lineáris algebra 2. Filip Ferdinánd december 7. siva.banki.hu/jegyzetek

Lineáris algebra 2. Filip Ferdinánd december 7. siva.banki.hu/jegyzetek Lineáris algebra 2 Filip Ferdinánd filipferdinand@bgkuni-obudahu sivabankihu/jegyzetek 2015 december 7 Filip Ferdinánd 2016 februar 9 Lineáris algebra 2 1 / 37 Az el adás vázlata Determináns Determináns

Részletesebben

1. Kombinatorikai bevezetés

1. Kombinatorikai bevezetés 1. Kombinatorikai bevezetés 1.1. Permutációk Adott n különböző elem ismétlés nélküli permutációján az elemek egy meghatározott sorrendjét értjük. Az n különböző elem összes permutációinak számát P n -nel

Részletesebben

Legfontosabb bizonyítandó tételek

Legfontosabb bizonyítandó tételek Legfontosabb bizonyítandó tétele 1. A binomiális tétel Tetszőleges éttagú ifejezés (binom) bármely nem negatív itevőj ű hatványa polinommá alaítható a övetez ő módon: Az nem más, mint egy olyan n tényezős

Részletesebben

A valószínűségszámítás elemei

A valószínűségszámítás elemei A valószínűségszámítás elemei Kísérletsorozatban az esemény relatív gyakorisága: k/n, ahol k az esemény bekövetkezésének abszolút gyakorisága, n a kísérletek száma. Pl. Jelenség: kockadobás Megfigyelés:

Részletesebben

Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból

Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból 9. évfolyam I. Halmazok 1. Alapfogalmak, jelölések 2. Halmaz, részhalmaz fogalma, részhalmazok száma, jelölések 3. Nevezetes számhalmazok (N,

Részletesebben

TANMENET. a matematika tantárgy tanításához 11.E osztályok számára

TANMENET. a matematika tantárgy tanításához 11.E osztályok számára Az iskola fejbélyegzője TANMENET a matematika tantárgy tanításához 11.E osztályok számára Készítette: Természettudományi Munkaközösség matematikát tanító tanárai Készült: a gimnáziumi tanterv alapján Használatos

Részletesebben

Osztályozóvizsga követelményei

Osztályozóvizsga követelményei Osztályozóvizsga követelményei Képzés típusa: Tantárgy: Nyolcosztályos gimnázium Matematika Évfolyam: 11 Emelt óraszámú csoport Emelt szintű csoport Vizsga típusa: Írásbeli Követelmények, témakörök: Gondolkodási

Részletesebben

Megoldások MATEMATIKA II. VIZSGA (VK) NBT. NG. NMH. SZAKOS HALLGATÓK RÉSZÉRE (Kérjük, hogy a megfelelő szakot jelölje be!

Megoldások MATEMATIKA II. VIZSGA (VK) NBT. NG. NMH. SZAKOS HALLGATÓK RÉSZÉRE (Kérjük, hogy a megfelelő szakot jelölje be! MATEMATIKA II. VIZSGA (VK) NBT. NG. NMH. SZAKOS HALLGATÓK RÉSZÉRE (Kérjük, hogy a megfelelő szakot jelölje be!) 2016. JANUÁR 21. Elérhető pontszám: 50 pont Megoldások 1. 6. 2. 7. 3. 8. 4. 9. 5. Össz.:

Részletesebben

[Biomatematika 2] Orvosi biometria

[Biomatematika 2] Orvosi biometria [Biomatematika 2] Orvosi biometria 2016.02.15. Esemény Egy kísérlet vagy megfigyelés (vagy mérés) lehetséges eredményeinek összessége (halmaza) alkotja az eseményteret. Esemény: az eseménytér részhalmazai.

Részletesebben

Abszolút folytonos valószín ségi változó (4. el adás)

Abszolút folytonos valószín ségi változó (4. el adás) Abszolút folytonos valószín ségi változó (4. el adás) Deníció (Abszolút folytonosság és s r ségfüggvény) Az X valószín ségi változó abszolút folytonos, ha van olyan f : R R függvény, melyre P(X t) = t

Részletesebben

Valószínűségszámítás összefoglaló

Valószínűségszámítás összefoglaló Statisztikai módszerek BMEGEVGAT Készítette: Halász Gábor Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Gépészmérnöki Kar Hidrodinamikai Rendszerek Tanszék, Budapest, Műegyetem rkp. 3. D ép. 334. Tel:

Részletesebben

Gauss-Jordan módszer Legkisebb négyzetek módszere, egyenes LNM, polinom LNM, függvény. Lineáris algebra numerikus módszerei

Gauss-Jordan módszer Legkisebb négyzetek módszere, egyenes LNM, polinom LNM, függvény. Lineáris algebra numerikus módszerei A Gauss-Jordan elimináció, mátrixinvertálás Gauss-Jordan módszer Ugyanazzal a technikával, mint ahogy a k-adik oszlopban az a kk alatti elemeket kinulláztuk, a fölötte lévő elemeket is zérussá lehet tenni.

Részletesebben

Vektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek

Vektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek a Matematika mérnököknek I. című tárgyhoz Vektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek Vektorok A rendezett valós számpárokat kétdimenziós valós vektoroknak nevezzük. Jelölésükre latin kisbetűket használunk.

Részletesebben

Numerikus módszerek: Nemlineáris egyenlet megoldása (Newton módszer, húrmódszer). Lagrange interpoláció. Lineáris regresszió.

Numerikus módszerek: Nemlineáris egyenlet megoldása (Newton módszer, húrmódszer). Lagrange interpoláció. Lineáris regresszió. YBL - SGYMMAT202XXX Matematika II. Tantárgyfelelős: Dr. Joós Antal Tárgyelőadó: Dr. Joós Antal Tantárgyi leírás Oktatási cél: Azoknak a matematikai alapoknak a megszerzése, melyek a szaktárgyak elsajátításához

Részletesebben

Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból 2016 / tanév

Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból 2016 / tanév 9. évfolyam I. Halmazok Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból 2016 / 2017. tanév 1. Halmaz, részhalmaz fogalma, részhalmazok száma, jelölések 2. Intervallumok 3. Halmazműveletek

Részletesebben

Jármőtervezés és vizsgálat I. VALÓSZÍNŐSÉGSZÁMÍTÁSI ALAPFOGALMAK Dr. Márialigeti János

Jármőtervezés és vizsgálat I. VALÓSZÍNŐSÉGSZÁMÍTÁSI ALAPFOGALMAK Dr. Márialigeti János BUDAPESTI MŐSZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM KÖZLEKEDÉSMÉRNÖKI KAR JÁRMŐELEMEK ÉS HAJTÁSOK TANSZÉK Jármőtervezés és vizsgálat I. VALÓSZÍNŐSÉGSZÁMÍTÁSI ALAPFOGALMAK Dr. Márialigeti János Budapest 2008

Részletesebben

Vektorterek. Wettl Ferenc február 17. Wettl Ferenc Vektorterek február / 27

Vektorterek. Wettl Ferenc február 17. Wettl Ferenc Vektorterek február / 27 Vektorterek Wettl Ferenc 2015. február 17. Wettl Ferenc Vektorterek 2015. február 17. 1 / 27 Tartalom 1 Egyenletrendszerek 2 Algebrai struktúrák 3 Vektortér 4 Bázis, dimenzió 5 Valós mátrixok és egyenletrendszerek

Részletesebben

12. előadás. Egyenletrendszerek, mátrixok. Dr. Szörényi Miklós, Dr. Kallós Gábor

12. előadás. Egyenletrendszerek, mátrixok. Dr. Szörényi Miklós, Dr. Kallós Gábor 12. előadás Egyenletrendszerek, mátrixok Dr. Szörényi Miklós, Dr. Kallós Gábor 2015 2016 1 Tartalom Matematikai alapok Vektorok és mátrixok megadása Tömbkonstansok Lineáris műveletek Mátrixok szorzása

Részletesebben

VALÓSZÍNŰSÉG, STATISZTIKA TANÍTÁSA

VALÓSZÍNŰSÉG, STATISZTIKA TANÍTÁSA VALÓSZÍNŰSÉG, STATISZTIKA TANÍTÁSA A VALÓSZÍNŰSÉGI SZEMLÉLET ALAPOZÁSA 1-6. OSZTÁLY A biztos, a lehetetlen és a lehet, de nem biztos események megkülünböztetése Valószínűségi játékok, kísérletek események

Részletesebben

MATEMATIKA tanterv emelt szint 11-12. évfolyam

MATEMATIKA tanterv emelt szint 11-12. évfolyam MATEMATIKA tanterv emelt szint 11-12. évfolyam Batthyány Kázmér Gimnázium, 2004. 1 TARTALOM 11.osztály (222 óra)... 3 1. Gondolkodási műveletek (35 óra)... 3 2. Számelmélet, algebra (64 óra)... 3 3. Függvények,

Részletesebben

x, x R, x rögzített esetén esemény. : ( ) x Valószínűségi Változó: Feltételes valószínűség: Teljes valószínűség Tétele: Bayes Tétel:

x, x R, x rögzített esetén esemény. : ( ) x Valószínűségi Változó: Feltételes valószínűség: Teljes valószínűség Tétele: Bayes Tétel: Feltételes valószínűség: Teljes valószínűség Tétele: Bayes Tétel: Valószínűségi változó általános fogalma: A : R leképezést valószínűségi változónak nevezzük, ha : ( ) x, x R, x rögzített esetén esemény.

Részletesebben

Biomatematika 2 Orvosi biometria

Biomatematika 2 Orvosi biometria Biomatematika 2 Orvosi biometria 2017.02.13. Populáció és minta jellemző adatai Hibaszámítás Valószínűség 1 Esemény Egy kísérlet vagy megfigyelés (vagy mérés) lehetséges eredményeinek összessége (halmaza)

Részletesebben

Gauss-eliminációval, Cholesky felbontás, QR felbontás

Gauss-eliminációval, Cholesky felbontás, QR felbontás Közelítő és szimbolikus számítások 4. gyakorlat Mátrix invertálás Gauss-eliminációval, Cholesky felbontás, QR felbontás Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Somogyi Viktor London András Deák Gábor jegyzetei

Részletesebben

0,9268. Valószín ségszámítás és matematikai statisztika NGB_MA001_3, NGB_MA002_3 zárthelyi dolgozat

0,9268. Valószín ségszámítás és matematikai statisztika NGB_MA001_3, NGB_MA002_3 zárthelyi dolgozat A 1. A feln ttkorú munkaképes lakosság 24%-a beszél legalább egy idegen nyelvet, 76%-a nem beszél idegen nyelven. Az idegen nyelvet beszél k 2,5%-a, az idegen nyelvet nem beszél k 10%-a munkanélküli. Véletlenszer

Részletesebben

OSZTÁLYOZÓVIZSGA TÉMAKÖRÖK 9. OSZTÁLY

OSZTÁLYOZÓVIZSGA TÉMAKÖRÖK 9. OSZTÁLY OSZTÁLYOZÓVIZSGA TÉMAKÖRÖK 9. OSZTÁLY ALGEBRA ÉS SZÁMELMÉLET Halmazok Halmazműveletek Halmazok elemszáma Logikai szita Számegyenesek intervallumok Gráfok Betűk használata a matematikában Hatványozás. A

Részletesebben

NT Matematika 11. (Heuréka) Tanmenetjavaslat

NT Matematika 11. (Heuréka) Tanmenetjavaslat NT-17302 Matematika 11. (Heuréka) Tanmenetjavaslat A Dr. Gerőcs László Számadó László Matematika 11. tankönyv a Heuréka-sorozat harmadik tagja. Ebben a segédanyagban ehhez a könyvhöz a tizenegyedikes tananyag

Részletesebben

Osztályozó- és javítóvizsga. Matematika tantárgyból

Osztályozó- és javítóvizsga. Matematika tantárgyból Osztályozó- és javítóvizsga Matematika tantárgyból 2018-2019 A vizsga 60 perces írásbeli vizsga (feladatlap) a megadott témakörökből. A megjelölt százalék (50%) nem teljesítése esetén szóbeli vizsga is,

Részletesebben

Óra A tanítási óra anyaga Ismeretek, kulcsfogalmak/fogalmak 1. Év eleji szervezési feladatok 2.

Óra A tanítási óra anyaga Ismeretek, kulcsfogalmak/fogalmak 1. Év eleji szervezési feladatok 2. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI ELŐKÉSZTŐ 11. évfolyam Óra A tanítási óra anyaga Ismeretek, 1. Év eleji szervezési feladatok 2. A hatványozásról tanultak ismétlése, feladatok az n- edik gyök fogalmára, azonosságaira

Részletesebben

Biometria az orvosi gyakorlatban. Számítógépes döntéstámogatás

Biometria az orvosi gyakorlatban. Számítógépes döntéstámogatás SZDT-01 p. 1/23 Biometria az orvosi gyakorlatban Számítógépes döntéstámogatás Werner Ágnes Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék e-mail: werner.agnes@virt.uni-pannon.hu Gyakorlat SZDT-01 p.

Részletesebben

Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat megoldása A csoport

Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat megoldása A csoport Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat megoldása A csoport Definiálja az alábbi fogalmakat!. Egy eseménynek egy másik eseményre vonatkozó feltételes valószínűsége. ( pont) Az A esemény feltételes valószínűsége

Részletesebben

A KroneckerCapelli-tételb l következik, hogy egy Bx = 0 homogén lineáris egyenletrendszernek

A KroneckerCapelli-tételb l következik, hogy egy Bx = 0 homogén lineáris egyenletrendszernek 10. gyakorlat Mátrixok sajátértékei és sajátvektorai Azt mondjuk, hogy az A M n mátrixnak a λ IR szám a sajátértéke, ha létezik olyan x IR n, x 0 vektor, amelyre Ax = λx. Ekkor az x vektort az A mátrix

Részletesebben

TANTÁRGYFELELŐS INTÉZET: Építőmérnöki Intézet. címe:

TANTÁRGYFELELŐS INTÉZET: Építőmérnöki Intézet.  címe: Tantárgy rövid neve (Matematika II.) Tantárgy teljes neve (Matematika II.) Tantárgy neve angolul (Mathematics II.) Neptun kódja (SGYMMAT2012XA) Szak (Építőmérnöki szak, Menedzser szak) Tagozat (Nappali

Részletesebben

Lineáris egyenletrendszerek

Lineáris egyenletrendszerek Lineáris egyenletrendszerek 1 Alapfogalmak 1 Deníció Egy m egyenletb l álló, n-ismeretlenes lineáris egyenletrendszer általános alakja: a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a

Részletesebben

Gyakorló feladatok I.

Gyakorló feladatok I. Gyakorló feladatok I. a Matematika Aa Vektorüggvények tárgyhoz (D D5 kurzusok) Összeállította: Szili László Ajánlott irodalmak:. G.B. Thomas, M.D. Weir, J. Hass, F.R. Giordano: Thomas-féle KALKULUS I.,

Részletesebben

NUMERIKUS MÓDSZEREK I. TÉTELEK

NUMERIKUS MÓDSZEREK I. TÉTELEK NUMERIKUS MÓDSZEREK I. TÉTELEK Szerkesztette: Balogh Tamás 014. január 19. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így

Részletesebben

Valószínűségszámítás

Valószínűségszámítás European Virtual Laboratory of Mathematics Project No. 2006 - SK/06/B/F/PP - 177436 Európai Virtuális Matematikai Laboratórium Árvai- Homolya Szilvia Valószínűségszámítás EVML e-könyvek Miskolc 2008 Sorozat

Részletesebben

1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás)

1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás) Matematika A2c gyakorlat Vegyészmérnöki, Biomérnöki, Környezetmérnöki szakok, 2017/18 ősz 1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás) 1. Valós vektorterek-e a következő

Részletesebben

Lineáris egyenletrendszerek

Lineáris egyenletrendszerek Lineáris egyenletrendszerek Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az a 11 x 1 + a 12 x 2 +... +a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... +a 2n x n = b 2.. a k1 x 1 + a k2 x 2 +... +a kn x n = b k n ismeretlenes,

Részletesebben

Lineáris algebra és a rang fogalma (el adásvázlat, szeptember 29.) Maróti Miklós

Lineáris algebra és a rang fogalma (el adásvázlat, szeptember 29.) Maróti Miklós Lineáris algebra és a rang fogalma (el adásvázlat, 2010. szeptember 29.) Maróti Miklós Ennek az el adásnak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudni: (1) A mátrixalgebrával kapcsolatban: számtest

Részletesebben

Valószín ségszámítás és statisztika

Valószín ségszámítás és statisztika Valószín ségszámítás és statisztika Informatika BSc, esti tagozat Backhausz Ágnes agnes@math.elte.hu fogadóóra: szerda 10-11 és 13-14, D 3-415 2018/2019. tavaszi félév Bevezetés A valószín ségszámítás

Részletesebben

Osztályozóvizsga és javítóvizsga témakörei Matematika 9. évfolyam

Osztályozóvizsga és javítóvizsga témakörei Matematika 9. évfolyam Osztályozóvizsga és javítóvizsga témakörei Matematika 9. évfolyam 1. félév Gondolkozás, számolás - halmazok, műveletek halmazokkal, intervallumok - racionális számok, műveletek racionális számokkal, zárójel

Részletesebben

Mi az adat? Az adat elemi ismeret. Az adatokból információkat

Mi az adat? Az adat elemi ismeret. Az adatokból információkat Mi az adat? Az adat elemi ismeret. Tények, fogalmak olyan megjelenési formája, amely alkalmas emberi eszközökkel történő értelmezésre, feldolgozásra, továbbításra. Az adatokból gondolkodás vagy gépi feldolgozás

Részletesebben

Matematika III. 2. Eseményalgebra Prof. Dr. Závoti, József

Matematika III. 2. Eseményalgebra Prof. Dr. Závoti, József Matematika III. 2. Eseményalgebra Prof. Dr. Závoti, József Matematika III. 2. : Eseményalgebra Prof. Dr. Závoti, József Lektor : Bischof, Annamária Ez a modul a TÁMOP - 4.1.2-08/1/A-2009-0027 Tananyagfejlesztéssel

Részletesebben

Lineáris algebra. (közgazdászoknak)

Lineáris algebra. (közgazdászoknak) Lineáris algebra (közgazdászoknak) 10A103 FELADATOK A GYAKORLATRA (3.) 2018/2019. tavaszi félév Lineáris egyenletrendszerek 3.1. Feladat. Oldjuk meg az alábbi lineáris egyenletrendszereket Gauss-eliminációval

Részletesebben

Rang, sajátérték. Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach/ február 15

Rang, sajátérték. Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet   takach/ február 15 Diszkrét matematika II, 2 el adás Rang, sajátérték Dr Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takachinfnymehu http://infnymehu/ takach/ 25 február 5 Gyakorlati célok Ezen el adáson, és a hozzá kapcsolódó

Részletesebben

1. GONDOLKODÁSI MÓDSZEREK, HALMAZOK, KOMBINATORIKA, GRÁFOK

1. GONDOLKODÁSI MÓDSZEREK, HALMAZOK, KOMBINATORIKA, GRÁFOK MATEMATIKA TÉMAKÖRÖK 11. évfolyam 1. GONDOLKODÁSI MÓDSZEREK, HALMAZOK, KOMBINATORIKA, GRÁFOK 1.1. HALMAZOK 1.1.1. Halmazok megadásának módjai 1.1.2. Halmazok egyenlősége, részhalmaz, üres halmaz, véges,

Részletesebben

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 15 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 151 Lineáris egyenletrendszer, Gauss elimináció 1 Definíció Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az (1) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a

Részletesebben

Gauss elimináció, LU felbontás

Gauss elimináció, LU felbontás Közelítő és szimbolikus számítások 3. gyakorlat Gauss elimináció, LU felbontás Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Somogyi Viktor London András Deák Gábor jegyzetei alapján 1 EGYENLETRENDSZEREK 1. Egyenletrendszerek

Részletesebben

BIOMATEMATIKA ELŐADÁS

BIOMATEMATIKA ELŐADÁS BIOMATEMATIKA ELŐADÁS 9. Együttes eloszlás, kovarianca, nevezetes eloszlások Debreceni Egyetem, 2015 Dr. Bérczes Attila, Bertók Csanád A diasor tartalma 1 Bevezetés, definíciók Együttes eloszlás Függetlenség

Részletesebben

Mátrixok, mátrixműveletek

Mátrixok, mátrixműveletek Mátrixok, mátrixműveletek 1 előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Mátrixok, mátrixműveletek p 1/1 Mátrixok definíciója Definíció Helyezzünk el n m elemet egy olyan téglalap

Részletesebben

Tantárgyi útmutató. Gazdasági matematika II.

Tantárgyi útmutató. Gazdasági matematika II. Módszertani Intézeti Tanszék Tantárgyi útmutató Gazdasági matematika II. Nappali Tagozat 2015/16 tanév II. félév 1/5 Tantárgyi program Tantárgy megnevezése Tantárgy jellege/típusa: Gazdasági matematika

Részletesebben

Bevezetés az algebrába 1

Bevezetés az algebrába 1 B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Bevezetés az algebrába 1 BMETE92AX23 Determinánsok H406 2017-11-27 Wettl Ferenc ALGEBRA

Részletesebben

Az osztályozóvizsgák követelményrendszere MATEMATIKA

Az osztályozóvizsgák követelményrendszere MATEMATIKA Az osztályozóvizsgák követelményrendszere MATEMATIKA 1. Számok, számhalmazok A 9. évfolyam során feldolgozásra kerülő témakörök: A nyelvi előkészítő és a két tanítási nyelvű osztályok tananyaga: A számfogalom

Részletesebben

Képfeldolgozás. 1. el adás. A képfeldolgozás m veletei. Mechatronikai mérnök szak BME, 2008

Képfeldolgozás. 1. el adás. A képfeldolgozás m veletei. Mechatronikai mérnök szak BME, 2008 Képfeldolgozás 1. el adás. A képfeldolgozás m veletei Mechatronikai mérnök szak BME, 2008 1 / 61 Alapfogalmak transzformációk Deníció Deníció Geometriai korrekciókra akkor van szükség, ha a képr l valódi

Részletesebben

1. Mátrixösszeadás és skalárral szorzás

1. Mátrixösszeadás és skalárral szorzás 1 Mátrixösszeadás és skalárral szorzás Mátrixok tömör jelölése T test Az M = a i j T n m azt az n sorból és m oszlopból álló mátrixot jelöli, amelyben az i-edik sor j-edik eleme a i j T Példák [ ] Ha M

Részletesebben

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1 Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =

Részletesebben

Biostatisztika. Sz cs Gábor. 2018/19 tavaszi félév. Szegedi Tudományegyetem, Bolyai Intézet

Biostatisztika. Sz cs Gábor. 2018/19 tavaszi félév. Szegedi Tudományegyetem, Bolyai Intézet Biostatisztika Sz cs Gábor Szegedi Tudományegyetem, Bolyai Intézet 2018/19 tavaszi félév Bevezetés Tudnivalók, követelmények Tudnivalók, követelmények Félév tematikája: Értékelés: Valószín ségszámítás

Részletesebben

Matematika I. Vektorok, egyenesek, síkok

Matematika I. Vektorok, egyenesek, síkok Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika I Vektorok, egyenesek, síkok a) Hogyan számítjuk ki az a = (a 1, a 2, a 3 ) és b = (b 1, b 2, b 3 ) vektorok szögét? a) Hogyan számítjuk

Részletesebben

Bevezetés a számításelméletbe (MS1 BS)

Bevezetés a számításelméletbe (MS1 BS) Matematika szigorlat - konzultációs szeminárium Azoknak, akik másodszorra vagy többedszerre veszik fel a Matematika szigorlat (NAMMS1SAND) tárgyat. Bevezetés a számításelméletbe (MS1 BS) FŐBB TÉMAKÖRÖK

Részletesebben

TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok II. útmutató

TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok II. útmutató BGF PÉNZÜGYI ÉS SZÁMVITELI KAR Módszertani Intézeti Tanszéki Osztály TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok II. útmutató 2014/2015. tanév I. félév Tantárgyi program Tantárgy megnevezése Tantárgy jellege/típusa:

Részletesebben

Matematika tanmenet 10. osztály (heti 3 óra) A gyökvonás 14 óra

Matematika tanmenet 10. osztály (heti 3 óra) A gyökvonás 14 óra Matematika tanmenet 10. osztály (heti 3 óra) Tankönyv: Ábrahám Gábor Dr. Kosztolányiné Nagy Erzsébet Tóth Julianna: Matematika 10. Példatárak: Fuksz Éva Riener Ferenc: É rettségi feladatgyűjtemény matematikából

Részletesebben

Az osztályozóvizsgák követelményrendszere 9. évfolyam

Az osztályozóvizsgák követelményrendszere 9. évfolyam Az osztályozóvizsgák követelményrendszere 9. évfolyam Kombinatorika, halmazok Összeszámlálási feladatok Halmazok, halmazműveletek, halmazok elemszáma Logikai szita Számegyenesek intervallumok Algebra és

Részletesebben

Valószín ségszámítás. Survey statisztika mesterszak és földtudomány alapszak Backhausz Ágnes 2018/2019.

Valószín ségszámítás. Survey statisztika mesterszak és földtudomány alapszak Backhausz Ágnes 2018/2019. Valószín ségszámítás Survey statisztika mesterszak és földtudomány alapszak Backhausz Ágnes agnes@cs.elte.hu 2018/2019. szi félév A valószín ségszámítás kurzus céljai a statisztika megalapozása: a véletlen

Részletesebben

Közlemény. Biostatisztika és informatika alapjai. Alapsokaság és minta

Közlemény. Biostatisztika és informatika alapjai. Alapsokaság és minta Közlemény Biostatisztika és informatika alajai. előadás: Az orvostudományban előforduló nevezetes eloszlások 6. szetember 9. Veres Dániel Statisztika és Informatika tankönyv (Herényi Levente) már kaható

Részletesebben

e (t µ) 2 f (t) = 1 F (t) = 1 Normális eloszlás negyedik centrális momentuma:

e (t µ) 2 f (t) = 1 F (t) = 1 Normális eloszlás negyedik centrális momentuma: Normális eloszlás ξ valószínűségi változó normális eloszlású. ξ N ( µ, σ 2) Paraméterei: µ: várható érték, σ 2 : szórásnégyzet (µ tetszőleges, σ 2 tetszőleges pozitív valós szám) Normális eloszlás sűrűségfüggvénye:

Részletesebben

3. Egy szabályos dobókockával háromszor dobunk egymás után. Legyen A az az esemény, hogy

3. Egy szabályos dobókockával háromszor dobunk egymás után. Legyen A az az esemény, hogy Valószínűségszámítás. zárthelyi dolgozat 009. október 5.. Egy osztályba 3-an járnak. Minden fizikaórán a a többi órától függetlenül a tanár kisorsol egy felelőt, véletlenszerűen, egyenletesen, azaz mindig

Részletesebben

Gazdasági matematika 2 előadás

Gazdasági matematika 2 előadás Gazdasági matematika 2 előadás Aradi Bernadett 2017/18 tavasz A kurzushoz tartozó oktatási anyagok: https://arato.inf.unideb.hu/aradi.bernadett Aradi Bernadett Gazdasági matematika 2 2017/18 tavasz 1 /

Részletesebben

Vektorterek. =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott

Vektorterek. =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott Vektorterek =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott 40. Alteret alkotnak-e a valós R 5 vektortérben a megadott részhalmazok? Ha igen, akkor hány dimenziósak? (a) L = { (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) x 1 = x 5,

Részletesebben

Gazdasági matematika 2

Gazdasági matematika 2 I. Lineáris algebra 1. Az R n tér Gazdasági matematika 2 Gyakorlati feladatsor 1.1. Tekintsük az alábbi, vektorokra vonatkozó egyenletet. Mivel egyenl az (x 1, x 2, x 3 ) vektor? 3(x 1, x 2, x 3 ) + 5(

Részletesebben

1. Példa. A gamma függvény és a Fubini-tétel.

1. Példa. A gamma függvény és a Fubini-tétel. . Példa. A gamma függvény és a Fubini-tétel.. Az x exp x + t )) függvény az x, t tartományon folytonos, és nem negatív, ezért alkalmazható rá a Fubini-tétel. I x exp x + t )) dxdt + t dt π 4. [ exp x +

Részletesebben

TARTALOM. Előszó 9 HALMAZOK

TARTALOM. Előszó 9 HALMAZOK TARTALOM Előszó 9 HALMAZOK Halmazokkal kapcsolatos fogalmak, részhalmazok 10 Műveletek halmazokkal 11 Számhalmazok 12 Nevezetes ponthalmazok 13 Összeszámlálás, komplementer-szabály 14 Összeszámlálás, összeadási

Részletesebben

PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak

PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak MATEMATIKA (A tantárgy tartalma és a tananyag elsajátításának időterve.) Összeállította: Kis Miklós adjunktus Tankönyvek (mindhárom félévre): 1. Scharnitzky

Részletesebben