Gazdasági matematika 2 előadás

Átírás

1 Gazdasági matematika 2 előadás Aradi Bernadett 2017/18 tavasz A kurzushoz tartozó oktatási anyagok: Aradi Bernadett Gazdasági matematika /18 tavasz 1 / 104

2 Témakörök 1 Lineáris algebra Az R n tér Mátrixok, determinánsok Lineáris egyenletrendszerek Lineáris leképezések, lineáris transzformációk Euklideszi terek, kvadratikus formák 2 Valószínűségszámítás Kombinatorika Valószínűségi mező Aradi Bernadett Gazdasági matematika /18 tavasz 2 / 104

3 Az R n tér Legyen n N {0} = {0, 1, 2, 3,... }. Az R n (vektor)tér: R n := {(x 1, x 2,..., x n ) x i R, minden i {1, 2,..., n} esetén}. Ekkor x = (x 1, x 2,..., x n ) egy pont vagy vektor R n -ben, azaz a valós szám n-esek terében. Továbbá R 0 = {0}. műveletek R n -ben Összeadás. Ha x = (x 1,..., x n ) R n és y = (y 1,..., y n ) R n, akkor x + y := (x 1 + y 1, x 2 + y 2,..., x n + y n ) R n. Skalárral való szorzás. Ha x = (x 1,..., x n ) R n és λ R, akkor λx := (λx 1, λx 2,..., λx n ) R n. Példa. R 2 : a sík vektorai. Elemei: (x 1, x 2 ) alakú számpárok, x 1, x 2 R. Aradi Bernadett Gazdasági matematika /18 tavasz 3 / 104

4 Műveletek tulajdonságai, altér Álĺıtás a műveletek tulajdonságai Összeadás. Legyen u, v, w R n. Létezik egy 0 R n nullvektor, valamint minden v R n vektorhoz egy v-vel jelölt ún. ellentett vektor, melyekre (u + v) + w = u + (v + w) (asszociativitás) v + w = w + v (kommutativitás) v + 0 = v és v + ( v) = 0. Skalárral való szorzás. Ha v, w R n és λ, µ R, akkor (λ + µ)v = λv + µv és λ(v + w) = λv + λw, λ(µv) = (λµ)v és 1v = v. Az R n tér egy nemüres W részhalmazát altérnek nevezzük, ha zárt a vektorösszeadásra és a skalárral való szorzásra. Példák: 1 R n -ben {0} és R n mindig altér. Ezeket triviális altereknek nevezzük. 2 Ha R 2 -ben v tetsz. rögzített vektor, W = {λv R 2 λ R} altér. Aradi Bernadett Gazdasági matematika /18 tavasz 4 / 104

5 Lineáris kombináció Az R n tér v 1, v 2,..., v k vektorainak lineáris kombinációi a λ 1 v 1 + λ 2 v λ k v k ; λ 1, λ 2,..., λ k R, alakú (R n -beli) vektorok. Megj.: A nullvektor mindig előáll ún. triviális lineáris kombinációként. Példák: 1 Egy rögzített v 0 vektor lineáris kombinációi: λv alakú vektorok. 2 v = (2, 1), w = (0, 3) R 2. A sík mely pontjai kaphatók meg v és w lineáris kombinációjaként? Tétel és definíció Legyenek v 1, v 2,..., v k vektorok R n -ben. Ekkor a {v 1, v 2,..., v k } vektorrendszer összes lineáris kombinációi alteret alkotnak R n -ben, melyet a vektorrendszer által generált altérnek, a v 1, v 2,..., v k vektorok lineáris lezártjának, vagy a vektorok által kifeszített altérnek nevezünk. Jele: L(v 1,..., v k ). Aradi Bernadett Gazdasági matematika /18 tavasz 5 / 104

6 Lineáris függőség, függetlenség Vektorrendszer: R n vektorainak egy halmaza. (Itt: véges halmaz.) Az R n tér egy {v 1, v 2,..., v k } vektorrendszerét lineárisan függőnek nevezzük, ha léteznek olyan λ 1, λ 2,..., λ k R nem mind 0 skalárok, hogy λ 1 v 1 + λ 2 v λ k v k = 0. Azaz ha a nullvektor nemtriviálisan kombinálható ki a vektorrendszer tagjaiból. Ellenkező esetben a vektorrendszer lineárisan független. Megjegyzés A lineárisan független esetben tehát λ 1 v 1 + λ 2 v λ k v k = 0 csak úgy állhat fenn, hogy λ 1 = λ 2 = = λ k = 0. Példa: v = (2, 1), w = (0, 3) R 2 ; v és w függetlenek-e? Aradi Bernadett Gazdasági matematika /18 tavasz 6 / 104

7 Lineáris függőség, függetlenség Tétel R n -ben egy legalább kételemű vektorrendszer pontosan akkor lineárisan függő, ha a vektorrendszer valamely tagja előáll a többi tag lineáris kombinációjaként. Következmények 1 Ha egy vektorrendszerben egy vektor egy másiknak skalárszorosa, akkor a vektrorrendszer lineárisan függő. 2 Ha a nullvektor benne van egy vektorrendszerben, akkor az függő, tehát lineárisan független vektorrendszer nem tartalmazhatja a nullvektort. 3 Ha egy vektorrendszer valamely részrendszere lineárisan függő, akkor maga a vektorrendszer is az. Lineárisan független vektorrendszer bármely részrendszere is lineárisan független. Aradi Bernadett Gazdasági matematika /18 tavasz 7 / 104

8 Generátorrendszer Legyen G az R n tér egy vektorrendszere. G-t R n generátorrendszerének nevezzük, ha a G által generált altér a teljes R n. Ekkor tehát a tér minden vektora előáll G-beli vektorok lineáris kombinációjaként. Példa: R 2 -ben: v = ( ( 2 1), w = 0 3). Ekkor {v, w} generátorrendszer. Legyen u = ( 1 0). Ekkor {u, v, w} is generátorrendszer, viszont lineárisan függő, hiszen 6u 3v + w = 0. Egy vektor többféleképpen is kikombinálható az u, v, w vektorokból, pl. ( ) 2 = v + w = 2u w. Aradi Bernadett Gazdasági matematika /18 tavasz 8 / 104

9 Bázis, dimenzió A R n tér egy lineárisan független generátorrendszerét bázisnak nevezzük. Ha a B vektorrendszer bázis, akkor R n minden eleme pontosan egyféleképpen kombinálható ki lineárisan B elemeiből. R n -nek több (végtelen sok) bázisa van. Tétel és definíció Az R n tér bármely bázisának a számossága n. Ezt a tér dimenziójának nevezzük. Tehát: dim(r n ) = n. Példák: 1 R n egy bázisa: {e 1, e 2,..., e n }, a természetes (vagy kanonikus) bázis e 1 =., e 2 =.,..., e n = R 2 természetes bázisa: {e 1, e 2 }, ahol e 1 = ( ) 1 0, e2 = ( 0 1).. 1. Másik bázis: {v, w} = { ( 2 1), ( 0 3) }. Aradi Bernadett Gazdasági matematika /18 tavasz 9 / 104

10 Bázisra vonatkozó koordináták Tétel Ha R n -ben adott egy n elemű lineárisan független vektorrendszer, akkor az bázis. Legyen B = {b 1,..., b n } egy bázisa R n -nek. Ekkor a fentiek szerint v R n egyértelműen kombinálható lineárisan B vektoraiból, azaz egyértelműen léteznek λ 1, λ 2,..., λ n skalárok, hogy v = λ 1 b λ n b n. Ezeket a skalárokat a v vektor B bázisra vonatkozó koordinátáinak nevezzük. Ekkor v alakja a B bázisban: λ 1 λ 2 v =.. λ n Aradi Bernadett Gazdasági matematika /18 tavasz 10 / 104

11 Vektorrendszer rangja Az R n tér egy altere k dimenziós, ha tartalmaz k lineárisan független vektort, de k + 1 darabot már nem. Tekintsük R n egy A vektorrendszerét. Az A vektorrendszer rangja az általa generált altér dimenziója: rang(a) = dim(l(a)). Példa: R 3 -ban legyen A = {u, v, w}, ahol 1 1 u = 1, v = 3, w = 1 0 Mivel w = 2u + v, ezért w benne van a másik 2 vektor által generált altérben. Viszont u és v lineárisan független, ezért rang(a) = 2. Megjegyzés: Tekintsük R n egy vektorrendszerét: A = {v 1,..., v m } R n. Ekkor rang(a) n és rang(a) m. Aradi Bernadett Gazdasági matematika /18 tavasz 11 /

12 Ranginvariáns átalakítások Tétel Egy vektorrendszer által generált altér nem változik, ha bármely eleméhez hozzáadjuk a többi elem tetszőleges lineáris kombinációját. Következmény ranginvariáns átalakítások Egy vektorrendszer rangja nem változik, ha valamelyik vektort megszorozzuk egy nem-nulla skalárral; valamelyik vektorhoz hozzáadjuk egy másik vektor tetszőleges skalárszorosát; elhagyunk a vektorrendszerből olyan vektort, mely a többi vektor lineáris kombinációja. Aradi Bernadett Gazdasági matematika /18 tavasz 12 / 104

13 Mátrixok Egy m sorral és n oszloppal rendelkező számtáblázatot m n-es mátrixnak nevezünk. a 11 a a 1n a 21 a a 2n A = A elemei: a ij A = (a ij )... a m1 a m2... a mn Az összes m n-es mátrix halmazát M m n -nel jelöljük. Ha n = m, akkor a mátrix négyzetes vagy kvadratikus. Egy mátrix főátlója alatt az (a 11, a 22,..., a kk ) szám k-ast értjük (k = min{m, n}). Két mátrix egyenlő, ha azonos típusúak (azaz ugyanannyi soruk és oszlopuk van), és a megfelelő elemeik megegyeznek. Azon n n-es mátrixot, melynek főátlójában csupa 1-es áll, minden más eleme 0, n-edrendű vagy n-dimenziós egységmátrixnak nevezzük. Jele: E n vagy I n. Aradi Bernadett Gazdasági matematika /18 tavasz 13 / 104

14 Mátrixműveletek 1. Mátrixok összeadása Csak azonos típusú mátrixokat tudunk összeadni. Legyenek A = (a ij ), B = (b ij ), C = (c ij ) m n-es mátrixok. Ekkor C = A + B, ha c ij = a ij + b ij ; i = 1,..., m, j = 1,..., n. 2. Mátrixok skalárral való szorzása Elemenként végezzük, azaz ha λ R, A = (a ij ) M m n, akkor λa = (λa ij ) M m n. Speciálisan: ha A és B sor-, vagy oszlopvektorok, akkor a fenti 2 művelet éppen a vektorok szokásos összeadása és skalárral való szorzása. 3. Mátrixszorzás Legyen A = (a ij ) egy m k, B = (b ij ) pedig egy k n típusú mátrix. Ekkor A és B szorzata az a C = (c ij ) m n típusú mátrix, amelyre k c ij = a ir b rj. r=1 Aradi Bernadett Gazdasági matematika /18 tavasz 14 / 104

15 Tétel a mátrixszorzás tulajdonságai Ha A m n típusú, akkor E m A = A és A E n = A. Legyenek A, B mátrixok és tegyük fel, hogy létezik AB. Ha λ R tetszőleges, akkor λ(ab) = (λa)b = A(λB). Ha A, B, C olyan mátrixok, hogy AB és BC létezik, akkor (AB)C = A(BC). Azaz a mátrixszorzás asszociatív. Ha A és B azonos típusú mátrixok és létezik AC, akkor BC is létezik és (A + B)C = AC + BC. Azaz teljesül a disztributivitás. A mátrixszorzás nem kommutatív, azaz általában AB BA. Legyen A egy m n-es mátrix. Azt az A T -vel jelölt n m-es mátrixot, amelynek sorai az A oszlopai A transzponáltjának nevezzük. Álĺıtás a transzponálás tulajdonságai (A T ) T = A. Azaz a transzponálás involutív művelet. A transzponálás és a mátrixszorzás kapcsolata: (AB) T = B T A T. Aradi Bernadett Gazdasági matematika /18 tavasz 15 / 104

16 Legyen A egy n-edrendű kvadratikus mátrix. A szimmetrikus, ha A T = A, A ferdeszimmetrikus, ha A T = A. Példák: A = B = Álĺıtás szimmetrikus és ferdeszimmetrikus mátrixok tulajdonságai Ferdeszimmetrikus mátrix főátlójában 0-k állnak. Szimmetrikus mátrixok összege szimmetrikus. Ferdeszimmetrikus mátrixok összege ferdeszimmetrikus. Szimmetrikus mátrixok szorzata nem feltétlenül szimmetrikus. Aradi Bernadett Gazdasági matematika /18 tavasz 16 / 104

17 Mátrixok inverze Azt mondjuk az A n-edrendű négyzetes mátrixról, hogy invertálható, vagy létezik az inverze, ha létezik olyan B n-edrendű kvadratikus mátrix, hogy Tétel AB = BA = E n. Ha A invertálható, akkor az inverze egyértelmű. Jele: A 1. Példa: A = ( ) A 1 = ( ) Álĺıtás a mátrixinvertálás tulajdonságai Ha A invertálható, akkor A 1 is az és (A 1 ) 1 = A. Ha A és B invertálható és létezik AB, akkor ez is invertálható és (AB) 1 = B 1 A 1. Ha A invertálható, akkor A T is az és (A 1 ) T = (A T ) 1. Aradi Bernadett Gazdasági matematika /18 tavasz 17 / 104

18 Determinánsok Determináns: négyzetes mátrixhoz rendelt valós szám. Legyen n N és jelölje σ az {1, 2,..., n} halmaz egy permutációját, azaz legyen σ : {1, 2,..., n} {1, 2,..., n}, i σ(i) bijektív függvény. (Itt σ(i) jelöli a permutációban az i. helyen álló elemet.) Azt mondjuk, hogy a σ permutációnál az i és j elem inverzióban áll, ha i < j és σ(i) > σ(j). Egy σ permutáció esetén az inverzióban álló párok számát jelölje I (σ). A σ permutáció páros vagy páratlan aszerint, amint I (σ) páros vagy páratlan. Példa: J 4 = {1, 2, 3, 4}, σ 1 = (1, 3, 4, 2) I (σ 1 ) = 2 σ 2 = (1, 2, 3, 4) I (σ 2 ) = 0 σ 3 = (4, 3, 2, 1) I (σ 3 ) = 6 σ 4 = (2, 3, 4, 1) I (σ 4 ) = 3 Aradi Bernadett Gazdasági matematika /18 tavasz 18 / 104

19 Determinánsok Legyen A = (a ij ) egy n n-es kvadratikus mátrix. Az A n 2 eleméből válasszunk ki úgy n elemet, hogy minden sorból és oszlopból pontosan egyet választunk. A kiválasztott elemek alakja: a 1σ(1), a 2σ(2),..., a nσ(n). Az A mátrix determinánsa: det(a) = A = ( 1) I (σ) a 1σ(1) a 2σ(2)... a nσ(n). σ A fenti összeg n! tagú. Másik jelölés: ε(σ) = ( 1) I (σ). Példa: 1 n = 2: det(a) = A = a 11 a 22 a 12 a n = 3: det(a) =.... Tétel a determinánsok szorzástétele Ha A és B azonos rendű négyzetes mátrixok, akkor det(ab) = det(a) det(b). Aradi Bernadett Gazdasági matematika /18 tavasz 19 / 104

20 Speciális alakú mátrixok determinánsa Álĺıtás Tetszőleges n N esetén az egységmátrix determinánsa 1. det(e n ) = 1 Álĺıtás Legyen A egy felső háromszög alakú mátrix, azaz olyan kvadratikus mátrix, melynek főátlója alatt csupa nulla szerepel: A = a 11 a 12 a a 1n 0 a 22 a a 2n 0 0 a a 3n a nn. Ekkor A determinánsa éppen a főátlóbeli elemek szorzata. Aradi Bernadett Gazdasági matematika /18 tavasz 20 / 104

21 Álĺıtás a determináns tulajdonságai det(a) = det(a T ) Ha A valamely oszlopa csupa 0 elemből áll, akkor det(a) = 0. Ha A két oszlopát felcseréljük, a determináns 1-szeresére változik. Ha A két oszlopa egyenlő, akkor det(a) = 0. Ha A valamely oszlopát megszorozzuk egy λ valós számmal, akkor az így kapott mátrix determinánsa λ det(a). Ha A minden oszlopát megszorozzuk egy λ számmal és A n-edrendű, akkor a kapott mátrix determinánsa λ n det(a). Ha A két oszlopa egymás skalárszorosa, akkor det(a) = 0. Egy mátrix determinánsa nem változik, ha valamely oszlopához hozzáadjuk egy másik oszlop λ-szorosát. Ha A valamely oszlopa előálĺıtható a többi oszlop lináris kombinációjaként, akkor det(a) = 0. A fentiek igazak oszlopok helyett sorokra is. Következmény Ha det(a) 0, akkor A oszlopai (vagy sorai) lineárisan független vektorok. Ekkor ha A n n-es: oszlopai R n egy bázisát alkotják. Aradi Bernadett Gazdasági matematika /18 tavasz 21 / 104

22 A determináns kapcsolata az invertálással Azt mondjuk, hogy az A négyzetes mátrix szinguláris, ha determinánsa 0. Ellenkező esetben (azaz ha det(a) 0) A reguláris. Tétel Egy négyzetes mátrix pontosan akkor invertálható, ha reguláris. Megjegyzés: Legyen A egy reguláris mátrix. Mivel A A 1 = E, ahol E az A-val azonos méretű egységmátrix, ezért a determinánsok szorzástétele alapján det(a) det(a 1 ) = det(e) = 1. A fenti egyenletből következik, hogy A és A 1 determinánsa egymás reciproka: det(a) 1 = det(a 1 ). Aradi Bernadett Gazdasági matematika /18 tavasz 22 / 104

23 A determináns kiszámítási módjai 1 Sarrus-szabály: 2 2-es és 3 3-as mátrixok determinánsára 2 Gauss-elimináció: bizonyos a fenti tulajdonságokat használó átalakítások révén a mátrixot felső háromszög alakúra hozzuk (főátló alatt csupa 0), ekkor a determináns éppen a főátlóbeli elemek szorzata. Ezek az átalakítások: sorcsere, ekkor a determináns előjelet vált; λ R kiemelése egy sorból; egy sor λ-szorosának hozzáadása egy másik sorhoz. 3 Kifejtési tétel: Legyen A egy n-edrendű mátrix. Kiválasztjuk A egy tetszőleges sorát (vagy oszlopát), ennek minden elemét megszorozzuk az elemhez tartozó algebrai aldeterminánssal, majd a kapott szorzatokat összeadjuk. Az a ij elemhez tartozó algebrai aldetermináns ( 1) i+j A ij, ahol A ij annak az (n 1)-edrendű determinánsnak az értéke, amelyet A-ból az i. sor és j. oszlop kihúzásával kapunk. Aradi Bernadett Gazdasági matematika /18 tavasz 23 / 104

24 Lineáris egyenletrendszerek Az a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2. a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m alakú egyenletrendszert, ahol az a ij (i {1,..., m}, j {1,..., n}) és a b k (k {1,..., m}) valós számok ismertek, x 1,..., x n ismeretlenek, lineáris egyenletrendszernek nevezzük. a ij : az egyenletrendszer együtthatói b k : szabad tagok, vagy konstansok az egyenletrendszer alapmátrixa, ill. kibővített mátrixa: A = a a 1n a a 2n.. a m1... a mn és A b =. a a 1n a a 2n.. a m1... a mn b 1 b 2. b m Aradi Bernadett Gazdasági matematika /18 tavasz 24 / 104

25 Lineáris egyenletrendszerek megoldhatósága A lineáris egyenletrendszer mátrixos alakja: Ax = b. A lineáris egyenletrendszer megoldható, ha van megoldása, azaz létezik olyan (x 1,..., x n ) vektor, hogy Ax = b fennáll; határozott, ha pontosan 1 megoldása van; határozatlan, ha több megoldása van; ellentmondásos, ha nincs megoldása. Egy mátrix rangja alatt a mátrix sorai (vagy oszlopai), mint vektorok által alkotott vektorrendszer rangját értjük. Jelölés: rang(a). Tétel rangkritérium Egy lineáris egyenletrendszer pontosan akkor oldható meg, ha rang(a) = rang(a b). Ha megoldható és rang(a) = n (ahol n az ismeretlenek száma), akkor határozott, ha rang(a) < n, akkor határozatlan. Aradi Bernadett Gazdasági matematika /18 tavasz 25 / 104

26 Lineáris egyenletrendszerek megoldáshalmaza A lineáris egyenletrendszer homogén, ha b = 0, azaz ekkor mátrixos alakja Ax = 0. Egyébként a lineáris egyenletrendszer inhomogén. Megjegyzés: egy homogén lineáris egyenletrendszernek a nullvektor mindig megoldása. Álĺıtás homogén lineáris egyenletrendszer megoldásai Egy homogén lineáris egyenletrendszer összes megoldása alteret alkot R n -ben, melynek dimenziója n rang(a). Ezt az alteret megoldástérnek nevezzük. Álĺıtás inhomogén lineáris egyenletrendszer megoldásai Ha Ax = b megoldható, akkor megoldáshalmaza x 0 + H alakú, ahol x 0 a lineáris egyenletrendszer egy rögzített megoldása; H a megfelelő homogén lineáris egyenletrendszer (azaz Ax = 0) megoldástere. Aradi Bernadett Gazdasági matematika /18 tavasz 26 / 104

27 Lineáris egyenletrendszerek megoldása Két módszer: 1 Gauss-elimináció 2 Cramer-szabály: csak akkor használható, ha n = m és A reguláris. 1 Gauss-elimináció: Az alábbi ekvivalens átalakítások nem változtatják meg a lineáris egyenletrendszer megoldáshalmazát: Egyenlet szorzása λ 0-val. (Egyenlet kibővített mátrix sorai.) Egy egyenlethez hozzáadni egy másik egyenlet λ-szorosát. Egyenletek sorrendjének megváltoztatása. Elhagyni olyan egyenletet, amely egy másik egyenlet λ-szorosa. Ismeretlenek felcserélése együtthatóikkal együtt, minden egyenletben. (Alapmátrixban: oszlopcsere.) Ezen átalakítások segítségével az egyenletrendszer kibővített mátrixát (ahol a mátrix sorai felelnek meg 1-1 egyenletnek) trapéz alakúra hozzuk (főátló alatt csupa 0), ahonnan visszahelyettesítéssel adódnak a megoldások. Ha az eljárás közben ( ) sor adódik, akkor az egyenletrendszer ellentmondásos. Ha az eljárás végén n sor marad, akkor az egyenletrendszer határozott, ha kevesebb, akkor határozatlan. Aradi Bernadett Gazdasági matematika /18 tavasz 27 / 104

28 Lineáris egyenletrendszerek megoldása Két módszer: 1 Gauss-elimináció 2 Cramer-szabály: csak akkor használható, ha n = m és A reguláris. 2 Cramer-szabály: Tétel Cramer-szabály Ha az Ax = b lineáris egyenletrendszer alapmátrixa négyzetes és reguláris, akkor az egyenletrendszer határozott, és egyetlen megoldása x i = det(a i ) det(a) (i {1,..., n}), ahol az A i mátrix úgy adódik A-ból, hogy az i-edik oszlopot kicseréljük a szabad tagok oszlopvektorára: a a 1,i 1 b 1 a 1,i+1... a 1n... a n1... a n,i 1 b n a n,i+1... a nn Aradi Bernadett Gazdasági matematika /18 tavasz 28 / 104

29 Lineáris leképezések A ϕ: R n R m leképezés lineáris, ha additív, azaz u, v R n : ϕ(u + v) = ϕ(u) + ϕ(v); homogén, azaz v R n, λ R: ϕ(λv) = λϕ(v). Megjegyzés: lineáris leképezésnél nullvektor képe nullvektor. Példák: Forgatások, tükrözések, λ-nyújtások. Vetítések, pl. R 3 egy rögzített, origón áthaladó síkjára merőlegesen. Identikus transzformáció: ϕ(v) = v, v R n. Tétel Egy lineáris leképezést egyértelműen meghatároz egy bázison való hatása, azaz ha B = (b 1, b 2,..., b n ) bázisa R n -nek, w 1, w 2,..., w n vektorai R m -nek, akkor egyértelműen létezik olyan ϕ lineáris leképezés, hogy ϕ(b i ) = w i. Továbbá ekkor tetszőleges v R n vektor ϕ általi hatása megadható a ϕ(v) = λ 1 w 1 + λ 2 w λ n w n, képlettel, ha v = λ 1 b 1 + λ 2 b λ n b n. Aradi Bernadett Gazdasági matematika /18 tavasz 29 / 104

30 Lineáris leképezések nulltere, képtere Legyen ϕ: R n R m lineáris leképezés. Ekkor ϕ nulltere, vagy magja a Ker ϕ = {v R n ϕ(v) = 0 R m }, ϕ képtere pedig az Im ϕ = {w R m v R n : ϕ(v) = w} halmaz. Megjegyzés: 0 Ker ϕ R n, 0 Im ϕ R m. Álĺıtás Ha ϕ: R n R m lineáris leképezés, akkor Ker ϕ altér R n -ben, Im ϕ altér R m -ben. Tétel nullitás + rang tétel Legyen ϕ: R n R m lineáris leképezés. Ekkor dim(r n ) = dim(ker ϕ) + dim(im ϕ). Aradi Bernadett Gazdasági matematika /18 tavasz 30 / 104

31 Lineáris transzformációk Egy ϕ: R n R n leképezés lineáris transzformáció, ha additív és homogén. Azaz a lineáris transzformációk speciális lineáris leképezések, ahol m = n. Legyen B = (b 1, b 2,..., b n ) egy bázisa R n -nek, tekintsünk továbbá egy ϕ: R n R n lineáris transzformációt. Ekkor ϕ-nek a B bázisra vonatkozó mátrixa az az n n-es mátrix, amelynek i-edik oszlopában ϕ(b i )-nek a B bázisra vonatkozó koordinátái állnak. Ha ϕ mátrixa a B bázisban A, akkor ϕ hatása egy v vektoron: ϕ(v) = Av. Álĺıtás Egy lineáris transzformáció különböző bázisokra vonatkozó mátrixainak megegyezik a rangja és a determinánsa. Példák: Forgatások ( és tükrözések ) mátrixa R 2 -ben ( a természetes bázisban: ) cos α sin α cos(2α) sin(2α) rot α = refl sin α cos α α = sin(2α) cos(2α) Aradi Bernadett Gazdasági matematika /18 tavasz 31 / 104

32 Lineáris transzformáció mátrixa Legyenek ϕ, ψ lineáris transzformációi R n -nek, továbbá λ R. Ekkor v R n esetén (ϕ + ψ)(v) := ϕ(v) + ψ(v), (λϕ)(v) := λϕ(v), (ϕ ψ)(v) := ϕ(ψ(v)). Jelölés: Rögzítsünk egy bázist R n -ben, és jelölje ebben a bázisban tetszőleges ϕ lineáris transzformáció mátrixát A ϕ. Álĺıtás Ha ϕ, ψ lineáris transzformációi R n -nek és λ R, akkor ϕ + ψ, λϕ és ϕ ψ is lineáris transzformációi R n -nek. Ezek mátrixa a rögzített bázisban A ϕ+ψ := A ϕ + A ψ, A λϕ := λa ϕ, A ϕ ψ := A ϕ A ψ. Továbbá a ϕ lin. transzformáció pontosan akkor bijektív, ha A ϕ reguláris. Aradi Bernadett Gazdasági matematika /18 tavasz 32 / 104

33 Lineáris transzformáció sajátértékei, sajátvektorai Legyen ϕ: R n R n lineáris transzformáció. Egy nem-nulla v R n vektort ϕ sajátvektorának hívunk, ha λ R: ϕ(v) = λv. Ekkor λ-t ϕ v-hez tartozó sajátértékének mondjuk. Példák: sajátvektorok forgatás, tükrözés, λ-nyújtás esetén. Megjegyzések: Ha v sajátvektora ϕ-nek, akkor a hozzá tartozó sajátérték egyértelmű. Ha λ sajátérték, akkor a hozzá tartozó sajátvektorok halmaza altér: L λ := {v R n ϕ(v) = λv} altér R n -ben: a λ-hoz tartozó sajátaltér. és tétel Egy ϕ lineáris transzformáció karakterisztikus polinomján a det(a λe n ) n-edfokú polinomot értjük, ahol n a tér dimenziója, A pedig ϕ mátrixa tetszőleges bázisban. Ennek gyökei éppen ϕ sajátértékei. Példa: Határozzuk meg az alábbi ϕ sajátértékeit és sajátvektorait! ϕ: R 2 R 2, (x, y) ϕ(x, y) = (2x y, 12x + 3y) Aradi Bernadett Gazdasági matematika /18 tavasz 33 / 104

34 Lineáris transzformáció mátrixának diagonális alakja Azt mondjuk egy n n-es mátrixra, hogy diagonális alakú, ha a főátlón kívül minden eleme 0. Álĺıtás Tekintsünk R n -nek egy ϕ lineáris transzformációját. Ha ennek egy bázisban a mátrixa A ϕ, egy másik bázisban pedig B ϕ, akkor létezik olyan n n-es reguláris S mátrix, hogy B ϕ = S 1 A ϕ S. Egy A (négyzetes) mátrixot diagonalizálhatónak hívunk, ha létezik olyan S reguláris mátrix, hogy S 1 AS diagonális alakú. Aradi Bernadett Gazdasági matematika /18 tavasz 34 / 104

35 Lineáris transzformáció mátrixának diagonális alakja 2 Tétel lineáris transzformáció diagonalizálhatósága Egy ϕ lineáris transzformációnak egy rögzített bázisbeli A ϕ mátrixa pontosan akkor diagonalizálható, ha R n -nek létezik ϕ sajátvektoraiból álló bázisa. (Azaz ϕ-nek van n darab linárisan független sajátvektora.) Ekkor λ S 1 0 λ A ϕ S =......, λ n ahol az S mátrix oszlopvektorai ϕ lineárisan független sajátvektorai, a λ i skalárok pedig a sajátvektorokhoz tartozó sajátértékek, ugyanolyan sorrendben. Aradi Bernadett Gazdasági matematika /18 tavasz 35 / 104

36 Euklideszi terek Tegyük fel, hogy adott egy, : R n R n R leképezés (azaz bármely v, w vektorokhoz hozzá van rendelve egy v, w - vel jelölt valós szám), amelyre a következő tulajdonságok teljesülnek: (a) első változóban additív: u + v, w = u, w + v, w ; (b) első változóban homogén: λv, w = λ v, w ; (c) szimmetrikus: w, v = v, w ; (d) pozitív definit: v R n : v, v 0, és ( v, v = 0 v = 0). Ekkor a v, w mennyiséget a v és w vektorok skaláris vagy belső szorzatának nevezzük. Az R n vektorteret ellátva egy, : R n R n R skaláris szorzattal euklideszi térnek mondjuk. Jele: E = (R n,, ). (a)+(b) a skaláris szorzat első változójában lineáris... +(c) a skaláris szorzat a második változójában is lineáris Skaláris szorzat: pozitív definit szimmetrikus bilineáris forma. Aradi Bernadett Gazdasági matematika /18 tavasz 36 / 104

37 Példák euklideszi terekre (1) R 2, v : a v vektor hossza v, w = v w cos, skaláris szorzat R 2 -n (2) R n, rögzítsünk egy bázist. Legyen ebben v = (v 1, v 2,..., v n ), w = (w 1, w 2,..., w n ). v, w = v 1 w 1 + v 2 w v n w n skaláris szorzat R n -en n = 2 és a természetes bázis választása esetén visszakapjuk (1)-et. (3) R 3, rögzítsünk egy bázist. Legyen ebben v = (v 1, v 2, v 3 ), w = (w 1, w 2, w 3 ). v, w = v 1 w 1 + 2v 2 w 2 + 3v 3 w 3 skaláris szorzat R 3 -on Egy vektortéren több skaláris szorzatot is meg tudunk adni. A (2) példában szereplő skaláris szorzatot R n kanonikus vagy természetes skaláris szorzatának hívjuk. Aradi Bernadett Gazdasági matematika /18 tavasz 37 / 104

38 Vektorok normája euklideszi terekben Legyen E = (R n,, ) euklideszi tér. Egy v R n vektor normája vagy hossza v := v, v. Megj.: a gyökvonás elvégezhető a belső szorzat pozitív definitsége miatt. Példa: R 2 -ben a kanonikus belső szorzat esetén: v = v1 2 + v 2 2 = v. Tétel a Cauchy Schwarz-egyenlőtlenség Az E = (R n,, ) euklideszi tér tetszőleges v, w vektoraira v, w v w. Egyenlőség pontosan akkor teljesül, ha v = λw, λ R. Legyen v és w az E euklideszi tér 2 nem-nulla vektora. Ekkor a v és w által bezárt szög v, w arccos v w Aradi Bernadett Gazdasági matematika /18 tavasz 38 / 104

39 Ortogonalitás Megj.: Ha v vagy w nullvektor, akkor a bezárt szögük def. szerint arccos 0 = π 2. Azt mondjuk, hogy v és w merőlegesek vagy ortogonálisak, ha v, w = 0. Jelölés: v w. Azt mondjuk, hogy v V egységvektor, ha v = 1. Megj.: v V, v 0 esetén Álĺıtás v v egységvektor. Legyen e egységvektor. Ekkor v, e a v vektor e-re eső merőleges vetületének a hossza, v, e e pedig v-nek az e-re eső merőleges vetülete. Aradi Bernadett Gazdasági matematika /18 tavasz 39 / 104

40 Szimmetrikus és ortogonális mátrixok Egy négyzetes A mátrix ortogonális, ha A 1 = A T. Tétel ortogonalitással ekvivalens álĺıtások Egy négyzetes A mátrix esetén a következő álĺıtások ekvivalensek: Az A mátrix ortogonális. A A T = E. A sorai páronként merőleges egységvektorok. A oszopai páronként merőleges egységvektorok. Tétel szimmetrikus mátrixok sajátértékei Legyen A négyzetes szimmetrikus mátrix, azaz A T = A. Ekkor A sajátértékei (a det(a λe n ) = 0 egyenlet gyökei) valós számok. A különböző sajátértékekhez tartozó sajátvektorok ortogonálisak. Következésképpen, A-hoz létezik olyan U ortogonális mátrix, hogy U 1 AU diagonális alakú. Aradi Bernadett Gazdasági matematika /18 tavasz 40 / 104

41 Kvadratikus függvények Legyen A egy n n-es szimmetrikus mátrix,, pedig jelölje R n kanonikus skaláris szorzatát. Ekkor a Q : R n R, x Q(x) := Ax, x függvényt kvadratikus függvénynek vagy kvadratikus formának nevezzük. Ha x-et R n egy oszlopvektorának tekintjük, akkor Ax, x = x T Ax. A fenti Q kvadratikus függvény, valamint a hozzá tartozó A mátrix pozitív definit, ha Q(x) > 0 minden x R n, x 0 esetén; negatív definit, ha Q(x) < 0 minden x R n, x 0 esetén; indefinit, ha Q(x) felvesz pozitív és negatív értékeket is. Álĺıtás Jelölje, az R n tér kanonikus skaláris szorzatát. Ekkor a tér minden skaláris szorzata előáll Ax, y = x T Ay alakban valamilyen A szimmetrikus, pozitív definit mátrixszal. Aradi Bernadett Gazdasági matematika /18 tavasz 41 / 104

42 Kvadratikus formák definitsége Tétel A Q(x) = Ax, x, x R n képlettel definiált kvadratikus függvény pontosan akkor pozitív definit, ha A összes sajátértéke pozitív; negatív definit, ha A összes sajátértéke negatív; indefinit, ha A-nak van pozitív és negatív sajátértéke is. Tétel Tekintsük ismét a fenti Q kvadratikus formát, és jelölje k az A mátrix bal felső k-adrendű sarokdeterminánsát (vagy sarokfőminorát), azaz 1 = a 11, 2 = a 11 a 12 a 21 a 22,..., n = A. A Q kvadratikus függvény pontosan akkor pozitív definit, ha k > 0 minden k = 1,..., n esetén; negatív definit, ha ( 1) k k > 0 minden k = 1,..., n esetén. Aradi Bernadett Gazdasági matematika /18 tavasz 42 / 104

43 Valószínűségszámítás bevezetés Valószínűségszámítás tárgya: véletlen jelenségek, véletlen kísérletek vizsgálata. Véletlen jelenség vagy véletlen esemény alatt azt értjük, amikor a (figyelembevehető) körülmények nem határozzák meg egyértelműen a jelenség kimenetelét. Kísérlet: több alkalommal lényegében azonos módon megismételhető. Egy kísérlettel kapcsolatos eseményeknek fogunk valószínűséget tulajdonítani. Leszámlálási problémák megoldásához szükségünk van a kombinatorikai fogalmakra. Aradi Bernadett Gazdasági matematika /18 tavasz 43 / 104

44 Kombinatorika Permutáció Legyen n N és tekintsük az A = {1, 2,..., n} halmazt. A egy permutációján A-nak egy önmagára vett bijektív leképezését értjük, azaz az 1, 2,..., n elemek valamilyen sorrendben való felsorolását. Jelölje P n az A halmaz összes permutációinak számát. Ekkor P 1 = 1. Belátjuk, hogy P n = n P n 1. Az n elemű halmazból rögzítünk egy elemet. A maradék n 1 elemet P n 1 -féleképpen rendezhetjük sorba, majd a rögzített elemet n helyre sorolhatjuk be. Így P n = n P n 1, azaz P n = n (n 1) = n!. Tétel n különböző elem lehetséges sorbarendezéseinek a száma P n = n!. Példák: (1) Hányféleképpen érhet célba 10 futó egy futóversenyen? (2) Hány 5-jegyű szám írható fel a 3,4,5,7,9 számjegyekből, ha minden számjegy csak egyszer szerepelhet? És a 2,2,2,7,7 számjegyekből? Aradi Bernadett Gazdasági matematika /18 tavasz 44 / 104

45 Ismétléses permutáció Hány 5-jegyű szám írható fel a 2,2,2,7,7 számjegyekből? Megoldás: Ha megkülönböztetnénk egymástól a ketteseket és a heteseket, akkor 5! lenne a sorrend, viszont a kettesek illetve a hetesek cserélgetésével nem kapunk új 5-jegyű számot. Az ismétlődő elemek lehetséges sorrendjeivel osztanunk kell az 5!-t, azaz a végeredmény: 5! 2! 3! = 10. Tétel Ha n elemünk van k különböző fajtából, az 1. fajtából l 1, a 2.-ból l 2, stb. (azaz l 1 + l l k = n), akkor az n elem lehetséges sorrendjeinek a száma P l 1,...,l k n = n! l 1!... l k! Ismétléses permutáció: n elem sorbarendezése, melyek között vannak azonosak. Példa: Van 2 piros, 1 narancs és 3 sárga muskátlink. Hányféleképpen rakhatjuk ki az ablakunkba ezeket a virágokat? Aradi Bernadett Gazdasági matematika /18 tavasz 45 / 104

46 Variáció és tétel Egy n elemű halmaz k-ad osztályú ismétlés nélküli variációi alatt a halmaz elemeiből kiválasztott k hosszúságú sorozatokat értjük. Ezek száma: V n,k = Itt szükségképpen n k. n! = n (n 1)... (n k + 1). (n k)! Azaz a variáció: kiválasztás és sorbarendezés. Példák: (1) Hányféleképpen alakulhatnak a dobogós helyezések egy 10 fős futóversenyen? (2) Egy nyereménysorsoláson 5 különböző díj van, a résztvevők száma 200 fő. Hány lehetséges kimenetele van a sorsolásnak, ha mindenki csak egyszer nyerhet? visszatevés nélküli mintavétel És ha az egyes nyertesek kihúzása után visszadobják a győztes nevét a kalapba? visszatevéses kiválasztás Aradi Bernadett Gazdasági matematika /18 tavasz 46 / 104

47 Ismétléses variáció és tétel Egy n elemű halmaz k-ad osztályú ismétléses variációi alatt a halmaz elemeiből visszatevéssel kiválasztott k hosszúságú sorozatokat értjük. Ezek száma: V i n,k = nk. Ismétléses variáció: kiválasztás és sorbarendezés, de mivel egy elemet többször is választhatunk, ezért itt n < k is lehetséges. Példák: (1) Hányféleképpen tölthetünk ki egy totószelvényt? (2) Hány részhalmaza van egy k elemű halmaznak? Megoldás: Minden elem esetén döntünk arról, hogy igen vagy nem, azaz bekerüljön-e az elem a részhalmazba, vagy nem. Tehát a 2 lehetőségből k-szor választunk visszatevéssel. Így az összes részhalmaz megkapható. Összesen V i 2,k = 2k lehetőség. A részhalmazok megfelelnek a k hosszúságú bináris sorozatoknak: Aradi Bernadett Gazdasági matematika /18 tavasz 47 / 104

48 Kombináció és tétel Egy n elemű halmaz k elemű részhalmazait a halmaz k-ad osztályú ismétlés nélküli kombinációinak nevezzük. Számuk: szerint 0! = 1. Itt szükségképpen n k. C n,k = n! k!(n k)! =: Azaz a kombináció: kiválasztás. Példák: (1) Hányféleképpen tölthetünk ki egy ötöslottó szelvényt? (2) Egy nyereménysorsoláson 5 egyforma díj van, a résztvevők száma 200 fő. Hány lehetséges kimenetele van a sorsolásnak, ha mindenki csak egyszer nyerhet? visszatevés nélküli mintavétel És ha az egyes nyertesek kihúzása után visszadobják a győztes nevét a kalapba? visszatevéses kiválasztás Aradi Bernadett Gazdasági matematika /18 tavasz 48 / 104 ( n k ).

49 Ismétléses kombináció és tétel Ha egy n elemű halmaz elemeiből úgy képezünk k elemű halmazt, hogy egy elemet többször is választhatunk (azaz visszatevéssel), akkor az n elem k-ad osztályú ismétléses kombinációjáról ( beszélünk. ) Számuk: n + k 1 Cn,k i =. k Ismétléses kombináció: kiválasztás, de mivel egy elemet többször is választhatunk, ezért itt n < k is lehetséges. Példák: (1) Hányféleképpen oszthatunk szét 10 (egyforma) almát 4 ember között? (2) Feldobva 3 dobókockát, hányféleképpen alakulhat a dobott számok eloszlása? Álĺıtás Legyen k, n N {0}, n k. ( Ekkor ) n = k ( n n k Aradi Bernadett Gazdasági matematika /18 tavasz 49 / 104 ).

50 Binomiális tétel Tétel binomiális tétel Legyen x, y R, n N. Ekkor ( ) ( ) ( ) n n n (x + y) n = x n + x n 1 y + x n 2 y 2 + n n 1 n 2 ( ) ( ) n n n ( ) n + + xy n 1 + y n = x k y n k. 1 0 k Az ( n k) kifejezést binomiális együtthatónak nevezzük. Álĺıtás Minden n N, 0 < k < n esetén ( ) ( ) n n 1 = k k 1 ( n 1 + k ). k=0 Következmények: Pascal-háromszög; n elemű halmaz részhalmazai. Aradi Bernadett Gazdasági matematika /18 tavasz 50 / 104

51 Valószínűségi mező A valószínűséget egy függvényként fogjuk interpretálni, ami eseményekhez hozzárendeli azok bekövetkezésének a valószínűségét. Ehhez először az értelmezési tartományt, azaz az eseményeket kell megadnunk. Szükséges matematikai struktúra: eseményalgebra. Legyen Ω rögzített, nemüres halmaz: Ω = {ω 1, ω 2,... }. Ezt eseménytérnek, az elemeit pedig elemi eseményeknek nevezzük. Elemi események: egy kísérlet, vizsgált jelenség lehetséges kimenetelei. Események: Ω (bizonyos) részhalmazai, amiknek valószínűséget fogunk tulajdonítani. Példa: Tekintsük a kockadobás kísérletét. Ω = {ω 1, ω 2,..., ω 6 }, ahol ω k azt jelenti, hogy a dobás eredménye k. A = {ω 2, ω 4, ω 6 } Ω egy esemény: a dobás eredménye páros. Példa: Számoljuk meg, hogy egy adott üzletben hányan vásárolnak egy rögzített napon. Ekkor Ω = {0, 1, 2,... }. A = {0, 1, 2, 3, 4} Ω: a vizsgált napon 5-nél kevesebben vásároltak az üzletben. Aradi Bernadett Gazdasági matematika /18 tavasz 51 / 104

52 Események Az Ω eseménytér egy A Ω eseménye bekövetkezik, ha az ω Ω elemi esemény valósul meg és ω A. Ellenkező esetben, azaz ha ω a jelenség kimenetele és ω / A, akkor azt mondjuk, hogy A nem következik be. Példa: kockadobás, Ω = {ω 1, ω 2,..., ω 6 }. Legyen A = {ω 2, ω 4, ω 6 } és B = {ω 1, ω 2, ω 3 }. Ha 4-est dobunk, akkor az A esemény bekövetkezik, a B nem. Az üres halmaz, mint Ω részhalmaza a lehetetlen esemény, ez sohasem következik be. Ω, amely maga az eseménytér, mindig bekövetkezik, ezt biztos eseménynek is nevezzük. Aradi Bernadett Gazdasági matematika /18 tavasz 52 / 104

53 Műveletek eseményekkel Tekintsünk egy Ω eseményteret, valamint ennek A, B részhalmazait. Az A esemény ellentett vagy komplementer eseménye az az esemény, amely pontosan akkor következik be, ha A nem következik be. Jele: A. Az A és B események összege vagy uniója az az esemény, amely pontosan akkor következik be, ha a két esemény legalább egyike bekövetkezik. Jele: A + B vagy A B. Az A és B események szorzata vagy metszete az az esemény, amely pontosan akkor következik be, ha mindkét esemény bekövetkezik. Jele: A B vagy A B. Az A és B események különbsége az az esemény, amely pontosan akkor következik be, ha A bekövetkezik, B nem. Jele: A B vagy A \ B. Álĺıtás Tekintve az A és B eseményeket A B = A B. Aradi Bernadett Gazdasági matematika /18 tavasz 53 / 104

54 Kapcsolat az események között Tekintsünk egy Ω eseményteret, valamint ennek A, B részhalmazait. Az A és B események diszjunktak vagy egymást kizáró események, ha egyszerre nem következhetnek be. Az A esemény maga után vonja a B eseményt, ha az A esemény bekövetkezése esetén szükségképpen B is bekövetkezik. Jele: A B vagy A B. Megj.: az A és B események diszjunk volta azt jelenti, hogy szorzatuk a lehetetlen esemény: A B =. Álĺıtás Tekintve az A és B eseményeket a következők ekvivalensek: A B és B A. Aradi Bernadett Gazdasági matematika /18 tavasz 54 / 104

55 Eseményalgebra Tekintsünk egy Ω eseményteret, valamint Ω bizonyos részhalmazainak egy A halmazát. Az A halmazrendszert eseményalgebrának nevezzük, ha tartalmazza a biztos eseményt, azaz Ω A; zárt a komplementerképzésre, azaz ha A A, akkor A A; zárt a véges unióképzésre, azaz ha A, B A, akkor A + B A. A fentiekből következik, hogy A. Az A eseményalgebrát σ-algebrának hívjuk, ha a megszámlálható unióképzésre is zárt: A 1, A 2, A A i A. Megj.: ha Ω véges halmaz, akkor a fenti 2 fogalom egybeesik. Aradi Bernadett Gazdasági matematika /18 tavasz 55 / 104 i=1

56 Példák eseményalgebrára. Példa: A = 2 Ω mindig σ-algebra. Továbbá {, Ω} is σ-algebra. Kockadobás. Pénzérme feldobása. Pénzérme feldobása n-szer egymás után. Vizsgálhatjuk a különböző dobássorozatokat. Vizsgálhatjuk azt, hogy összesen hány fejdobás történt. Számoljuk meg, hogy egy adott üzletben hányan vásárolnak egy rögzített napon. Ekkor Ω = {0, 1, 2,... }. Mi lehet itt a σ-algebra? Legyen most a kísérlet az, hogy célbalövünk egy kör alakú céltáblára. Mik lehetnek itt az események, illetve a σ-algebra? (Tegyük fel, hogy a céltáblát mindenképpen eltaláljuk.) Aradi Bernadett Gazdasági matematika /18 tavasz 56 / 104

57 Gyakoriság, relatív gyakoriság Tekintsünk egy kísérlettel kapcsolatos A eseményt. Hajtsuk végre a kísérletet n-szer egymás után. Az A esemény gyakorisága az a szám, ahányszor az A esemény bekövetkezik az n kísérlet során. Jele: k n (A). Ekkor k n (A) {0, 1,..., n}. Az A esemény relatív gyakorisága a bekövetkezések számának és n-nek a hányadosa: r n (A) = k n(a). n Tapasztalat: a kísérletek számának növelésével az A esemény r n (A) relatív gyakorisága tart egy (a [0, 1] intervallumba eső) számhoz. Logikus ezt tekinteni A valószínűségének. Aradi Bernadett Gazdasági matematika /18 tavasz 57 / 104

58 A relatív gyakoriság tulajdonságai Álĺıtás Tekintsünk egy kísérletet. Egy ezzel a kísérlettel kapcsolatos A esemény relatív gyakoriságát (n végrehajtás esetén) jelölje továbbra is r n (A). Ekkor 0 r n (A) 1; r n ( ) = 0, r n (Ω) = 1; ha A és B egymást kizáró események, akkor r n (A + B) = r n (A) + r n (B); ha A 1, A 2,... egymást páronként kizáró események, akkor ( ) r n A i = i=1 (r n (A i )); i=1 r n (A) = 1 r n (A); ha A B, akkor r n (A) r n (B). Aradi Bernadett Gazdasági matematika /18 tavasz 58 / 104

59 Valószínűségi mező Legyen Ω egy nemüres halmaz, az eseménytér, A 2 Ω pedig (Ω bizonyos részhalmazaiból álló) σ-algebra. Tekintsünk egy P : A R függvényt, melyre (1) P(A) 0, tetszőleges A A esetén; (2) P(Ω) = 1; (3) ha A 1, A 2, A egymást páronként kizáró események, akkor ( ) P A i = i=1 (P(A i )). i=1 Ez a valószínűség σ-additivitása. Ekkor P-t valószínűségnek vagy valószínűségi függvénynek, P(A)-t pedig az A esemény valószínűségének mondjuk. Az (Ω, A, P) hármast valószínűségi mezőnek hívjuk. Aradi Bernadett Gazdasági matematika /18 tavasz 59 / 104

60 A valószínűség további tulajdonságai Tétel Tekintsünk egy (Ω, A, P) valószínűségi mezőt. A P valószínűségi függvény rendelkezik az alábbi tulajdonságokkal. P( ) = 0. P (végesen) additív, azaz ha A 1, A 2,..., A n A páronként diszjunktak, akkor ( n ) n P A i = (P(A i )). P(A) = 1 P(A). i=1 P monoton: ha A B (azaz A B), akkor P(A) P(B). Tetszőleges A és B események esetén i=1 P(A + B) = P(A) + P(B) P(A B). Aradi Bernadett Gazdasági matematika /18 tavasz 60 / 104

61 Diszkrét valószínűségi mező Az Ω eseményteret, valamint az (Ω, A, P) valószínűségi mezőt diszkrétnek mondjuk, ha Ω megszámlálható halmaz, tehát véges: Ω = {ω 1,..., ω n }, vagy megszámlálhatóan végtelen: Ω = {ω 1, ω 2,... }, továbbá A = 2 Ω. Álĺıtás és definíció Diszkrét valószínűségi mezőben a p i := P({ω i }), i = 1, 2,... számok (azaz az elemi események valószínűségei) egyértelműen meghatározzák a P valószínűségi függvényt. Ekkor a fenti valószínűségek nemnegatívak: p i 0, és összegük 1, hiszen p i = ( ) P({ω i }) = P {ω i } = P(Ω) = 1. i i i Ekkor a {p 1, p 2,... } számok eloszlást alkotnak. Példa: szabályos, ill. szabálytalan dobókocka esete. Aradi Bernadett Gazdasági matematika /18 tavasz 61 / 104

62 Klasszikus valószínűségi mező Az (Ω, A, P) valószínűségi mező klasszikus valószínűségi mező, ha Ω véges, azaz Ω = {ω 1, ω 2,..., ω n }, A = 2 Ω, továbbá minden elemi esemény egyenlően valószínű. Ekkor a valószínűségi függvény tulajdonságai miatt P(ω i ) := P({ω i }) = 1 n, i {1, 2,..., n}. Álĺıtás Klasszikus valószínűségi mezőben egy k elemű A esemény valószínűsége kiszámítható a P(A) = k kedvező esetek száma = n összes eset száma képlettel, ahol n = Ω. Aradi Bernadett Gazdasági matematika /18 tavasz 62 / 104

63 Geometriai valószínűségi mező Ha az eseményteret R n egy véges részhalmazával tudjuk beazonosítani, az elemi események pedig egyenletesen oszlanak el ezen a halmazon, akkor geometriai valószínűségi mezőről beszélünk. Álĺıtás Geometriai valószínűségi mezőben egy A Ω halmaz valószínűsége A mértékével arányos, azaz P(A) = µ(a) µ(ω), ahol µ a halmaz mértékét jelöli, tehát például n = 1 esetén µ a hossz, n = 2 esetén µ a terület, n = 3 esetén µ a térfogat. Példa: Egy 1 méter hosszú rudat találomra kettétörünk. Mekkora a valószínűsége, hogy a 2 kapott darabból, valamint egy fél méter hosszúságú rúdból egy háromszöget tudunk összerakni? Aradi Bernadett Gazdasági matematika /18 tavasz 63 / 104

64 Feltételes valószínűség Tekintsünk egy (Ω, A, P) valószínűségi mezőt, valamint ebben egy pozitív valószínűségű B eseményt: B A, P(B) > 0. Ha tudjuk, hogy B bekövetkezett, az módosíhatja a következtetéseinket az adott valószínűségi mezőben. Példa: Tekintsük a szabályos dobókockával történő kockadobás kísérletét. Legyen A az az esemény, hogy párosat dobunk, B pedig az, hogy 3-nál nagyobbat dobunk. Mivel egyenlő A valószínűsége, és ez hogyan változik, ha tudjuk, hogy B bekövetkezett? Az A esemény feltételes valószínűsége a B feltétel mellett (tehát ha tudjuk, hogy B bekövetkezett) P(A B) = P(AB), ha P(B) > 0. P(B) Aradi Bernadett Gazdasági matematika /18 tavasz 64 / 104

65 A feltételes valószínűség láncszabálya Álĺıtás Legyenek A 1, A 2,..., A n A olyanok, hogy P(A 1 A 2... A n ) > 0. Ekkor P(A 1 A 2... A n ) = P(A 1 )P(A 2 A 1 )P(A 3 A 1 A 2 )... P(A n A 1... A n 1 ). Példa: Egy követségi fogadásra 5 angol, 8 német és 3 japán diplomata hivatalos. Egyenként érkeznek, véletlenszerű időpontban. Mennyi a valószínűsége annak, hogy elsőként angol, másodikként német, harmadikként japán diplomata érkezik meg a fogadásra? Azt mondjuk, hogy az A 1, A 2,..., A n A események teljes eseményrendszert alkotnak, ha pozitív valószínűségűek, az eseménytér egy diszjunkt felbontását alkotják, azaz egymást páronként kizárják, és összegük a teljes eseménytér. Egy teljes eseményrendszer tagjai közül tehát mindig pontosan egy következik be. Aradi Bernadett Gazdasági matematika /18 tavasz 65 / 104

66 A teljes valószínűség tétele Tétel teljes valószínűség tétele Legyen (Ω, A, P) valószínűségi mező és tekintsünk egy A 1, A 2,..., A n A teljes eseményrendszert. Ekkor tetszőleges B esemény esetén P(B) = n P(B A i ) P(A i ). i=1 Példa: Három termelőtől almát szálĺıtanak egy üzletbe. Az első termelőtől származik a mennyiség fele, melyből 40% elsőosztályú. A második termelőtől szálĺıtják a tétel 30%-át, amely 2/3 részben elsőosztályú. A többi gyümölcs a harmadik termelőtől kerül az üzletbe, és mind elsőosztályú. Mennyi a valószínűsége annak, hogy az üzletben e szálĺıtmányból találomra kiválasztva egy almát, az elsőosztályú? Aradi Bernadett Gazdasági matematika /18 tavasz 66 / 104

67 Bayes-tétel Legyen (Ω, A, P) valószínűségi mező. Tétel Bayes-formula Ha A és B tetszőleges, pozitív valószínűségű események, akkor P(A B) = P(A) P(B A) P(B) Tétel Bayes-tétel Tekintsünk egy A 1, A 2,..., A n A teljes eseményrendszert, valamint egy pozitív valószínűségű B eseményt: P(B) > 0. Ekkor P(A j B) = P(B A j) P(A j ) i P(B A i) P(A i ) Példa: Tekintsük a korábbi almás feladatot. Kiderül, hogy a találomra kiválasztott alma elsőosztályú. Mennyi a valószínűsége annak, hogy ez az alma az első, a második, ill. a harmadik termelőtől került az üzletbe? Aradi Bernadett Gazdasági matematika /18 tavasz 67 / 104

68 Teljes valószínűség tétele és a Bayes-tétel Példa: Egy tesztrendszerű vizsgánál minden kérdéshez 4 válasz van megadva, amelyek közül csak egy a helyes. A vizsgázónak ezt a lapot kell kitölteni a helyesnek vélt válasz megjelölésével. Tegyük fel, hogy egy vizsgázó p valószínűséggel tudja a helyes választ (p [0, 1]). Ha nem tudja a választ, akkor véletlenszerűen (azaz 1 4 valószínűséggel) jelöli meg a 4 lehetséges válasz közül az egyiket. Tekintsünk egy rögzített kérdést. Mennyi a valószínűsége, hogy a vizsgázó helyesen válaszol? A vizsgalap átnézése során kiderül, hogy helyes a válasz. Mennyi a valószínűsége, hogy a vizsgázó azért adott helyes választ, mert tudta a helyes eredményt? Aradi Bernadett Gazdasági matematika /18 tavasz 68 / 104

69 Események függetlensége Tekintsük az A és B eseményeket, és tegyük fel, hogy P(B) > 0. Az A esemény akkor nem függ B-től, ha P(A) = P(A B) = P(AB) P(B) Azt mondjuk, hogy az A és B események függetlenek, ha P(A B) = P(A) P(B). Álĺıtás Ha az A és B események pozitív valószínűségűek, akkor az alábbiak ekvivalensek: A és B függetlenek; P(A) = P(A B); P(B) = P(B A). Feladat: A szabályos dobókockával történő kockadobás kísérlete esetén mondjuk példát független és nem független eseményekre! Aradi Bernadett Gazdasági matematika /18 tavasz 69 / 104

70 Kettőnél több esemény függetlensége Álĺıtás A lehetetlen, valamint a biztos esemény minden eseménytől független. Az A 1, A 2,... események páronként függetlenek, ha közülük bármely két esemény független. Az A 1, A 2,... események (teljesen) függetlenek, ha tetszőleges i 1, i 2,... i k indexek esetén P(A i1 A i2... A ik ) = P(A i1 ) P(A i2 )... P(A ik ). Megj.: A teljes függetlenségből következik a páronkénti függetlenség, azonban ez fordítva nem igaz: dobjunk fel két pénzérmét, és legyen A = {első érmével fejet dobunk}, B = {másodikkal írást dobunk}, C = {mindkét érmével fejet, vagy mindkettővel írást dobunk}. Ekkor A, B és C páronként függetlenek, azonban teljesen nem. Aradi Bernadett Gazdasági matematika /18 tavasz 70 / 104

71 Valószínűségi változók Legyen (Ω, A, P) valószínűségi mező. A ξ : Ω R függvény valószínűségi változó, ha tetszőleges x R esetén {ω Ω ξ(ω) < x} A. (Azaz, a (, x) alakú intervallumok ξ általi inverzképe esemény, tehát létezik a valószínűsége.) Legyen ξ valószínűségi változó az (Ω, A, P) valószínűségi mezőn. Ennek eloszlásfüggvénye alatt az függvényt értjük. F ξ : R [0, 1], x F ξ (x) := P(ξ < x) Aradi Bernadett Gazdasági matematika /18 tavasz 71 / 104

72 Az eloszlásfüggvény F ξ : R [0, 1], x F ξ (x) := P(ξ < x) Tétel az eloszlásfüggvények tulajdonságai Egy F : R [0, 1] függvény pontosan akkor eloszlásfüggvénye valamely ξ : Ω R valószínűségi változónak, ha monoton növekvő; balról folytonos; lim F (x) = 0, lim F (x) = 1. x x Megj.: két különböző valószínűségi változónak lehet azonos az eloszlásfüggvénye. Példa: Dobjunk fel egy szabályos dobókockát! Tegyük fel, hogy 1000 Ft-ot nyerünk, ha 6-ost dobunk; 500 Ft-ot vesztünk, ha 1-est dobunk; 100 Ft-ot vesztünk az összes többi esetben. Jelölje ξ a nyereményünket. Adjuk meg ξ eloszlásfüggvényét! Aradi Bernadett Gazdasági matematika /18 tavasz 72 / 104

73 Diszkrét valószínűségi változók A ξ : Ω R valószínűségi változó diszkrét, ha értékkészlete megszámlálható. Példák: 1. Az előző dián szereplő példa. Itt ξ értékkészlete véges. 2. Dobáljunk addig egy dobókockát, amíg az első 6-os dobás be nem következik. Jelölje ξ a szükséges dobások számát. Ekkor ξ értékkészlete megszámlálhatóan végtelen. A ξ diszkrét valószínűségi változó eloszlása az a P ξ függvény a ξ lehetséges értékeinek X = {x 1, x 2,... } halmazán, melyre P ξ (x i ) = P({ω Ω ξ(ω) = x i }), x i X. Egy diszkrét valószínűségi változó eloszlásfüggvénye olyan lépcsős függvény, mely ξ értékkészletének x i elemeinél P(ξ = x i ) mennyiséget ugrik felfelé. Aradi Bernadett Gazdasági matematika /18 tavasz 73 / 104

74 Nevezetes diszkrét eloszlások Binomiális eloszlás Egy dobozban N golyó van, M db kék és N M db zöld. Visszatevéssel húzzunk ki n golyót. Jelölje ξ a kihúzott kék golyók számát. Ekkor ξ értékkészlete: {0, 1, 2,..., n}, továbbá Itt M N P(ξ = k) := P(ω Ω: ξ(ω) = k) = ( n k ) ( M N ) k ( 1 M N ) n k. (0, 1) az egyszeri kék golyó kihúzásának a valószínűsége. Legyen p (0, 1), n N. Azt mondjuk, hogy a ξ valószínűségi változó n-edrendű, p paraméterű binomiális eloszlású valószínűségi változó, ha értékkészlete {0, 1, 2,..., n}, és ( ) n P(ξ = k) = p k (1 p) n k. k ξ-t ebben az esetben n és p paraméterű binomiális eloszlású valószínűségi változónak is hívjuk. Aradi Bernadett Gazdasági matematika /18 tavasz 74 / 104

75 Binomiális eloszlás, Bernoulli-eloszlás ( ) n P(ξ = k) = p k (1 p) n k. k Ha azt vizsgáljuk, hogy egy kísérlet n független ismétlése esetén egy rögzített esemény hányszor következik be, akkor binomiális eloszláshoz jutunk. Speciálisan, n = 1 választással kapjuk a Bernoulli-eloszlást. Legyen p (0, 1). Azt mondjuk, hogy a ξ valószínűségi változó p paraméterű Bernoulli-eloszlású valószínűségi változó, ha értékkészlete {0, 1}, és P(ξ = 1) = p P(ξ = 0) = 1 p. Álĺıtás Egy n-edrendű, p paraméterű binomiális eloszlású valószínűségi változó feĺırható n darab p paraméterű Bernoulli-eloszlású valószínűségi változó összegeként. Aradi Bernadett Gazdasági matematika /18 tavasz 75 / 104

76 Hipergeometrikus eloszlás Egy dobozban N golyó van, M db kék és N M db zöld. Visszatevés nélkül húzzunk ki n golyót (n N). Jelölje ξ a kihúzott kék golyók számát. Ekkor ( M )( N M ) k n k P(ξ = k) = ( N, n) ahol az értékkészlet elemei olyan k értékek, melyekre 0 k n, k M és n k N M. Ha a ξ valószínűségi változó eloszlása a fenti alakú, akkor (n, M, N M) paraméterű hipergeometrikus eloszlásúnak mondjuk. Példa: 50 termékből, melyek között 5 selejtes található, találomra kiválasztunk ötöt. (a) Mennyi a valószínűsége, hogy ezek között 2 selejtest találunk, ha a mintavétel visszatevéssel történik? (b) Megváltozik-e az előbbi valószínűség, ha 100 termékből történik a mintavétel, változatlan selejtarány mellett? (c) Oldjuk meg a feladatot visszatevés nélküli mintavétel esetén is! Aradi Bernadett Gazdasági matematika /18 tavasz 76 / 104