Meghirdetés féléve 2 Kreditpont Összóraszám (elm+gyak) 2+0

Átírás

1 Tantárgy neve Lineáris algebra I Tantárgy kódja MTB1004 Meghirdetés féléve 2 Kreditpont 3k Összóraszám elm+gyak 2+0 Számonkérés módja kollokvium Előfeltétel tantárgyi kód MTB1003 Tantárgyfelelős neve Kurdics János Tantárgyfelelős beosztása Főiskolai tanár 1. A tantárgy általános célja és specifikus célkitűzései A lineáris algebra tantárgy célja a lineáris algebra klasszikus fejezeteinek megismerése szabadvektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek, determinánsok és a modern lineáris algebra alapjainak elsajátítása végesen generált vektorterek, lineáris leképezések. A tantárgy nyújtson biztos alapot a matematika további fejezeteinek tanulmányozásához. 2. A tantárgy tartalma Test fölötti vektortér, altér. Alterek összege és metszete. Lineáris kombináció, lineárisan független vektorrendszer, generátorrendszer, bázis, jellemzésük. A dimenzió fogalmát előkészítő tételek, dimenzió. Direkt összeg és különböző jellemzései. Lineáris sokaság, faktortér. A faktortér dimenziója. A skalár n-esek euklideszi vektortere. A szám n-esek terénk vektortér és euklideszi vektortér struktúrája. Norma, a Cauchy-Schwarz egyenlőtlenség. Távolság és szög. Multilineáris alternáló formák, a determinánsfüggvény bevezetése és alaptulajdonságai. Lineáris leképezés fogalma, műveletek lineáris leképezésekkel, a lineáris leképezések tere. Lineáris leképezés bázispárra vonatkozó mátrixa. Báziscsere. A koordináták transzformációja báziscsere esetén. Lineáris transzformáció mátrixának transzformációja báziscsere esetén, hasonló mátrixok. Képtér, magtér, a homomorfiatétel. Mátrix fogalma, a mátrixok algebrája, mátrixgyűrű. Mátrix transzponáltja. Lépcsős mátrixok, mátrixok elemi sorátalakításai, a Gauss kiküszöbölés algoritmusa. Mátrixok szorzása, inverze. invertálhatósága. Mátrix inverzének meghatározása szimultán Gauss kiküszöböléssel. Mátrixok rangja, rangszámtétele, algoritmus a rang megállapítására. A szorzatmátrix rangjára vonatkozó tétel. Algoritmus a determináns kiszámítására. A determinánsok szorzástétele. A transzponált mátrix determinánsa. Kofaktorok, a kifejtési tétel és a ferde kifejtési tétel. Lineáris egyenletrendszerek és alapvető elnevezések. Homogén lineáris egyenletrendszer megoldásának szerkezete. Inhomogén lineáris egyenletrendszer megoldhatósága, a Kronecker-Capelli tétel. A megoldható inhomogén lineáris egyenletrendszer megoldásának szerkezete. Algoritmus a lineáris egyenletrendszerek megoldhatóságának eldöntésére és megoldására Gauss kiküszöböléssel. Speciális lineáris egyenletrendszerek megoldása Cramer-szabály segítségével. 3. Évközi ellenőrzés módja Az anyag első fele vektorterek, lineáris leképezések a félév során kerül számonkérésre zárthelyi dolgozat formájában. A vizsgára bocsátás feltétele ebből a dolgozatból legalább

2 50%-os eredmény elérése. Követelmény a tételek és definíciók pontos ismerete, a tanult eljárások ismerete és gyakorlati alkalmazása. A számonkéréskor az alábbi tételek bizonyítását kötelező tudni: 1. A CBS egyenlõtlenség a skalár n-esek terében. 2. Steinitz-féle kicserélési tétel. Végesen generált vektortérben létezik bázis és minden bázis azonos tagszámú. 3. A faktortér dimenziójára vonatkozó tétel. 4. A mátrixszorzás műveleti tulajdonságai asszociativitás, disztributivitás. 5. Minden mátrix sorekvivalens egy lépcsős mátrixszal. 6. A determinánsok kifejtési tétele. 7. Kronecker-Capelli tétel. 8. Cramer szabály. 9. A homomorfiatétel, a,,nullitás+rang'' tétel. 10. Az első SMS formula. A számonkéréskor az alábbi eljárások gyakorlati alkalmazását kötelező tudni: 1. Szám n-es hosszának, két szám n-es szögének kiszámítása. 2. Mátrixalgebra: megfelelő típusú mátrixok összege, szorzata, mátrix skalárszorosa, mátrix behelyettesítése polinomba. 3. Mátrix lépcsős alakra hozása, rangjának megállapítása a lépcsõs alakból. 4. Mátrix inverzének meghatározása szimultán Gauss eliminációval. Két mátrixról eldönteni, hogy egymás inverzei-e. 5. Lineáris egyenletrendszer megoldása, a megoldás szerkezetének felírása. 6. Determináns kiszámítása. 4. A tárgy előírt külső szakmai gyakorlatai Nincs külső szakmai gyakorlat. 5. A kötelező ill. ajánlott irodalom Kötelező irodalom: 1. Freud Róbert: Lineáris algebra. ELTE Eötvös Kiadó, Budapest, Gaál István-Kozma László: Lineáris algebra. Kossuth Egyetemi Kiadó, Debrecen, Kovács Zoltán: Lineáris algebra előadásvázlat. zeus.nyf.hu/~kovacsz 4. Kovács Zoltán szerk.: Feladatgyűjtemény lineáris algebra gyakorlatokhoz. Egyetemi Kiadó, Debrecen, Ajánlott irodalom 1. Halmos, P.R.: Véges dimenziós vektorterek. Műszaki Könyvkiadó, Kovács Zoltán: Tesztfeladatok lineáris algebrából. zeus.nyf.hu/~kovacsz. 3. Szabó László: Bevezetés a lineáris algebrába. Polygon, Szeged. 6. A tantárgy tárgyi szükségletei és ellátása A tantárgy nem igényel speciális felszerelést.

3 Tantárgy neve Lineáris algebra I gyakorlat Tantárgy kódja MTB1005 Meghirdetés féléve 2 Kreditpont 2k Összóraszám elm+gyak 0+2 Számonkérés módja gyakorlati jegy Előfeltétel tantárgyi kód MTB1003, MTB1004E Tantárgyfelelős neve Kurdics János Tantárgyfelelős beosztása Főiskolai tanár 1. A tantárgy általános célja és specifikus célkitűzései A lineáris algebra tantárgy célja a lineáris algebra klasszikus fejezeteinek megismerése szabadvektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek, determinánsok és a modern lineáris algebra alapjainak elsajátítása végesen generált vektorterek, lineáris leképezések. A gyakorlat nyújtson megfelelő támogatást az elméletben tanultak elsajátításához és az elmélet gyakorlati alkalmazásaihoz. A hallgatók ismerjék meg és hatékonyan tudják alkalmazni az elemi lineáris algebra alapvető algoritmusait. 2. A tantárgy tartalma A gyakorlatok kötelező feladatanyaga: a kötelező irodalom feladatai. 3. Évközi ellenőrzés módja Két zárthelyi dolgozat írása a kijelölt feladatanyagból. A két zárthelyi dolgozat együttes eredményének el kell érnie az 50%-ot a tárgy sikeres teljesítéséhez. 4. A tárgy előírt külső szakmai gyakorlatai Nincs külső szakmai gyakorlat. 5. A kötelező ill. ajánlott irodalom Kötelező irodalom: 1. Kovács Zoltán szerk.: Feladatgyűjtemény lineáris algebra gyakorlatokhoz. Egyetemi Kiadó, Debrecen, A tantárgy tárgyi szükségletei és ellátása A tantárgy nem igényel speciális felszerelést.

4 I. Elmélet 20pt Mintafeladatsor Lineáris algebra-a 1. Mit ért irányított szakaszon, és szabadvektoron? 2 2. Mondja ki két szabadvektor skaláris szorzatának definícióját, valamint kiszámítását egy ortonormált bázisra vonatkozó koordinátákból! 2 3. Test feletti vektortér fogalma Lineáris leképezés fogalma. Hogyan értelmezzük az összeadást és a skalárral való szorzást az LV ; W vektortérben Mondja ki a Cramer szabályt! 2 6. Bizonyítsa be: Nincs négy lineárisan független szabadvektor Bizonyítsa be: Végesen generált vektortérben létezik bázis és minden bázis azonos tagszámú. 5 II. Feladatok 4 5pt=20pt 8. Legyen a1, 2, 2, b2, 4, 4, c 1, 1, 0. A koordináták pozitív ON bázisra vonatkoznak. Számítsa ki: a a, a b, b c, a, b! b Lineárisan független-e az a, b, c vektorrendszer? Indoklással! 9. Legyen a1, 1, 1. A koordináták pozitív ON bázisra vonatkoznak. a Írja fel az origóra illeszkedő a irányvektorú egyenes egyenletrendszerét. 2 b Adjon meg az előbbi egyenesen egy origótól különböző pontot. 1 c az 1, 0, 0 pontra illeszkedő a normálvektorú sík egyenletét Legyen A = Állapítsa meg A rangját! 11. Írja fel azt a homogén lineáris egyenletrendszert, amelynek alapmátrixa az előbbi A mátrix, oldja meg, adja meg a megoldás szerkezetét!

5 név III. Teszt 20pt A helyes válasz 1, 5 pont, a helytelen 0, 5 pont, az üresen hagyott négyzet 0 pont. Mindenki 5 ponttal indul, tehát ha minden választ elront, a szerzett pontszám 0p, ha valamennyi négyzetet üresen hagyja, akkor a szerzett pontszám 5p, míg ha valamennyi válasz helyes, a szerzett pontszám 20 pont. Ha az állítás igaz, írjon a négyzetbe I betűt, ha az állítás hamis, akkor H betűt. M 2 2, azaz a 2 2 típusú valós elemű mátrixok halmaza, csoport a mátrixszorzás műveletére nézve. M 2 2, azaz a 2 2 típusú valós elemű mátrixok halmaza, csoport a mátrixok összeadásának műveletére nézve. Az R 2 R 2, x, y x, y leképezés lineáris leképezés. Az R 2 R 2, x, y 1, 1 leképezés lineáris leképezés. Egy generátorrendszert bővítsük a zérusvektorral. Így változatlanul generátorrendszert kapunk. Ha egy generátorrendszer bázis, akkor egyben lineárisan független is. Az alábbi vektorrendszerből R 3 zérusvektora csak triviálisan kombinálható. 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1 1, 1, 1. Az R 2 vektortér y = x egyenesre vonatkozó tükrözésének mátrixa a kanonikus bázisban diagonális mátrix. Az R 2 vektortér y = x egyenesre vonatkozó tükrözésének mátrixa az 1, 1 t, 1, 1 t 1 1 bázisban:. 1 1 Az R 2 vektortér y = x egyenesre vonatkozó tükrözésének magtere az y = x egyenes. 2

6 mintafeladatsor Lineáris algebra-b Elmélet 1. Test feletti vektortér fogalma. Összeadás és skalárral való szorzás a valós polinomok terében Legyenek v 1, v 2,..., v n egy V vektortér vektorai. Mit jelöl Lv 1, v 2,..., v n? Mik az elemei, hogyan nevezzük? Altér lesz-e Lv 1, v 2,..., v n V -ben? 2 3. Mikor nevez egy vektorrendszert lineárisan függetlennek, generátorrendszernek, bázisnak? 2 4. Legyen H av vektortér altere. Mit ért a V/H faktortéren. Az összeadás és a skalárral való szorzás megadása. Példa Mit ért lineáris leképezésen? Mondjon példát R 3 R 2 nemzéró lineáris leképezésre! 2 6. Lineáris leképezés nulltere és magtere. Valamely rögzített k 0 valós számra tekintsük a V V, x k x lineáris leképezést! Mi a képtere, magtere, rangja. V valós n dimenziós vektortér Mit ért egy négyzetes mátrix inverzén?. Invertálható mátrixok szorzatának inverze. Az inverzképzés és a transzponálás kapcsolata n n-es determináns fogalma. A determinánsok sor szerinti kifejtési tétele A homomorfiatétel, nullitás + rang tétel A mátrixszorzás asszociatív tulajdonsága Cramer szabály. 6 Feladatok 5 5pt 12. Legyen A = Állapítsa meg A rangját! 13. Legyen Határozza meg A t B 2 -et! B = Írja fel azt a homogén lineáris egyenletrendszert, amelynek alapmátrixa az előbbi A mátrix, oldja meg, adja meg a megoldás szerkezetét! 1

7 név III. Teszt 20pt A helyes válasz 1, 5 pont, a helytelen 0, 5 pont, az üresen hagyott négyzet 0 pont. Mindenki 5 ponttal indul, tehát ha minden választ elront, a szerzett pontszám 0p, ha valamennyi négyzetet üresen hagyja, akkor a szerzett pontszám 5p, míg ha valamennyi válasz helyes, a szerzett pontszám 20 pont. Ha az állítás igaz, írjon a négyzetbe I betűt, ha az állítás hamis, akkor H betűt. M 2 2, azaz a 2 2 típusú valós elemű mátrixok halmaza, csoport a mátrixszorzás műveletére nézve. M 2 2, azaz a 2 2 típusú valós elemű mátrixok halmaza, csoport a mátrixok összeadásának műveletére nézve. Az R 2 R 2, x, y x, y leképezés lineáris leképezés. Az R 2 R 2, x, y 1, 1 leképezés lineáris leképezés. Egy generátorrendszert bővítsük a zérusvektorral. Így változatlanul generátorrendszert kapunk. Ha egy generátorrendszer bázis, akkor egyben lineárisan független is. Az alábbi vektorrendszerből R 3 zérusvektora csak triviálisan kombinálható. 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1 1, 1, 1. Az R 2 vektortér y = x egyenesre vonatkozó tükrözésének mátrixa a kanonikus bázisban diagonális mátrix. Az R 2 vektortér y = x egyenesre vonatkozó tükrözésének mátrixa az 1, 1 t, 1, 1 t 1 1 bázisban:. 1 1 Az R 2 vektortér y = x egyenesre vonatkozó tükrözésének magtere az y = x egyenes. 2