LINEÁRIS ALGEBRA FELADATOK

Átírás

1 LINEÁRIS ALGEBRA FELADATOK (a rutinfeladatok O-val vannak jelölve) Mátrixok 1. feladat. O Számítsa ki az A,A T,B,B T mátrixokból képezhető 16 kéttényezős szorzat közül azokat, amelyek értelmezettek. A = 0 9, B = feladat. O Számítsa ki az (A + B) 2, A 2 + 2AB + B 2, A 2 B 2, (A + B) (A B) mátrixokat. ( ) ( ) A =, B = ( ) feladat. Számítsa ki a mátrix n-edik hatványát. 1 0 ( ) feladat. Számítsa ki az A = mátrix n-edik hatványát. 0 1 ( ) feladat. Számítsa ki az A = mátrix n-edik hatványát. 1 0 ( ) cos ϕ sin ϕ 6. feladat. Számítsa ki az A = mátrix n-edik hatványát. sin ϕ cos ϕ ( ) feladat. Legyen f (x) = x 2 9x 1 és A =. Számítsa ki az f (A) = A A E 2 mátrixot. (Ezt értjük az f polinom A helyen felvett helyettesítési értékén.) 8. feladat. Mutassa meg, hogy minden 2 2-es mátrix gyöke valamely másodfokú polinomnak. Mely mátrixok esetén egyértelmű ez a másodfokú polinom? Mely mátrixok állnak elő elsőfokú polinom gyökeként? 9. feladat. Határozza meg az x 2 polinom összes gyökét R 2 2 -ben. 10. feladat. Határozza meg az x 2 1 polinom összes gyökét R 2 2 -ben. 11. feladat. Bizonyítsa be, hogy minden A R 2 2 mátrixra A 3 = 0 = A 2 = 0. (Felhasználható a 8. feladat.) 12. feladat. Nemcsak polinomokba, hanem más függvényekbe is lehet mátrixokat helyettesíteni. Például az exponenciális függvényre ismert a következő képlet: exp (x) = e x = 1 + x + x2 2! + x3 3! + x4 4! + = Itt e a természetes( logaritmus ) alapszáma, a végtelen összeget pedig egyelőre elég intuitívan a b értelmezni. Számítsa ki az exp mátrixot. 0 a 13. feladat. Mutassa meg, hogy az e x+y = e x e y azonosság nem érvényes a mátrixok körében, de ha A,B R 2 2 és AB = BA (azaz A és B felcserélhetőek), akkor e A+B = e A e B. 14. feladat. Mutassa meg, hogy egy n n-es mátrix akkor és csak akkor cserélhető fel minden n n-es mátrixszal, ha az egységmátrix konstansszorosa. 15. feladat. Az A = (a ij ) n n mátrix nyoma (trace) nem más, mint a főátlón álló elemek összege: Tr (A) = a a nn. Igazolja, hogy tetszőleges Q,R,A R n n mátrixokra RQ = E n = Tr (QAR) = Tr (A). n=0 x n n!.

2 16. feladat. Igazolja, hogy bármely A R n n mátrixra Tr ( AA T) 0, és egyenlőség csak A = 0 esetén áll fenn. 17. feladat. Mutassa meg, hogy AB BA soha nem lehet az egységmátrix. 18. feladat. Bizonyítsa be, hogy az alábbi mátrix négyzete az egységmátrix ( n ) ( 0 n ) ( n ) ( 1 2 n 3) ( 1) n ( ) n n 19. feladat. Oldja meg az AX = E mátrixegyenletet, ahol A az alábbi n n-es mátrix feladat. Tegyük fel, hogy az A,B R n n mátrixokra AB = E teljesül, továbbá A minden eleme pozitív. Bizonyítsa be, hogy B elemei között legalább n, de legfeljebb n 2 n pozitív szám van. Alkalmas példák megadásával mutassa meg, hogy ezek a becslések minden n-re élesek. 21. feladat. Jelölje A 1,...,A 12 egy ikozaéder csúcsait, és legyen A = (a ij ) az alábbi képlettel definiált mátrix: { 1, ha Ai és A a ij = j az ikozaéder egy élének két végpontja; 0, ha A i és A j nem szomszédos (i = j esetén is!). Ezt a mátrixot az ikozaéder (pontosabban az ikozaéder gráfja) adjacenciamátrixának nevezzük. Igazolja, hogy van olyan k kitevő, melyre A k egyetlen eleme sem 0. Melyik a legkisebb ilyen k? Mi a helyzet a kockával? 22. feladat. Az előző feladathoz hasonlóan tetszőleges poliéderhez (vagy akár gráfhoz) lehet adjacenciamátrixot rendelni. Bizonyítsa be, hogy bármely ilyen A mátrixra Tr (A 3 ) osztható 3-mal. (Lásd a 15. feladatot.) Az n-edrendű determináns 23. feladat. O Számítsa ki az alábbi determinánsokat. cos ϕ sin ϕ sin ϕ cosϕ 24. feladat. O Számítsa ki a következő determinánst feladat. Általánosítsa az előző feladatot. A feladatokban a megadott A = (a ij ) n n mátrix determinánsát kell kiszámítani. { ( 1) i j, ha i j; 26. feladat. a ij = 2, ha i = j. 27. feladat. a ij = s i j, ahol s 0,s 1,...,s n 1 egy d differenciájú számtani sorozat. 28. feladat. a ij = s i j, ahol s 0,s 1,...,s n 1 egy q kvóciensű mértani sorozat.

3 29. feladat. 30. feladat. 31. feladat. a ij = min (i,j) b 1 a 1 a 1 a 1 a 1 b A = 1 b 2 a 2 a 2 a 2 b 1 b 2 b 3 a 3 a b 1 b 2 b 3 b 4 a n A = feladat. a ij = i és j közös (pozitív) osztóinak száma. 33. feladat. 34. feladat. a ij = s n j i A = t j 1 i, ahol s 1,...,s n,t 1,...,t n adott valós számok. 35. feladat. a ij = 1 sn i tn j 1 s i t j, ahol s 1,...,s n,t 1,...,t n adott valós számok, amelyekre s i t j 1 (1 i,j n). 36. feladat. a ij = s i+j 1, ahol s k = x k 1 + x k n (1 k 2n 1), és x 1,...,x n adott valós számok. { t, ha i j; 37. feladat. a ij =, ahol s t + s i, ha i = j 1,...,s n adott nemnulla valós számok, t pedig tetszőleges valós szám. 38. feladat. Bizonyítsa be, hogy ha n páros szám, és az A R n n mátrix főátlójában végig nullák állnak, a többi elem pedig ±1 (tetszőlegesen), akkor A feladat. Legyen f (x) = (r 1 x)... (r n x), és legyen a és b két különböző valós szám. Igazolja, hogy r 1 a a a b r 2 a a b b r 3 a af (b) bf (a) = a b b b b r n 40. feladat. Bizonyítsa be, hogy poliéder adjacenciamátrixának determinánsa nem függ attól, hogy hogyan számozzuk meg a csúcsokat, és számolja ki ezt a determinánst a tetraéder és az oktaéder esetén. (Lásd a 21. feladatot.) 41. feladat. Igazolja számolás nélkül, hogy a kocka és a dodekaéder adjacenciamátrixának determinánsa osztható 3-mal, az ikozaéderé pedig osztható 5-tel. 42. feladat. Sorolja fel a négyzetet önmagába vivő egybevágósági transzformációkat (4 tükrözés és 4 forgatás van, az identitást is beleszámítva), és mindegyikre vizsgálja meg, hogy hogyan változik egy n n-es determináns értéke, ha ezt a transzformációt alkalmazzuk rá. 43. feladat. Ha olyan nemnulla determinánsú n n-es mátrixot akarunk felírni, amelyben minden elem nulla vagy egy, akkor legalább hány egyest kell felhasználnunk? És mennyi a nullák számának minimuma?

4 44. feladat. Bizonyítsa be, hogy bármely A R 2 2 és n N esetén A n = 0 = A 2 = 0. (Fel lehet használni a 8. feladatot.) 45. feladat. Mutassa meg, hogy a 3 3-as determináns Sarrus-szabály szerinti kifejtésében nem lehet mind a hat tag pozitív. (A jegyzetben a 10. oldal tetején található képletet nevezzük Sarrus-szabálynak.) 46. feladat. Mekkora lehet maximum egy olyan 3 3-as determináns értéke, amelynek minden eleme ±1? Mi a maximum a 4 4-es esetben? 47. feladat. Az n n-es determinánsra is felírható egy, a Sarrus-szabályhoz hasonló (de jóval bonyolultabb) képlet. Írja fel ezt a képletet, vagy legalább próbálja minél pontosabban leírni, hogy hogyan fest ez a képlet. 48. feladat. Tekintsük a síkban azt a paralelogrammát, amelynek egyik csúcsa az origó, a vele szomszédos két csúcs koordinátái (a, b) és (c, d). Igazolja, hogy a paralelogramma területe az a b c d determináns abszolút értéke. 49. feladat. Mutassa meg, hogy ha az A R n n mátrix minden eleme nemnegatív, és az elemek összege éppen n, akkor A 1. (Fel lehet használni a 47. feladatot.) Inverzmátrix 50. feladat. O Határozza meg az alábbi mátrix inverzét az adjungált aldeterminánsok segítségével feladat. Egy mátrix elemi sorátalakításain a következőket értjük: egy sor megszorzása egy nemnulla skalárral; két sor felcserélése; egy sor skalárszorosának hozzáadása egy másik sorhoz. Mutassa meg, hogy bármely elemi sorátalakítás elérhető úgy, hogy az átalakítandó mátrixot megszorozzuk balról egy alkalmas mátrixszal. Pontosabban: bármely n pozitív egész számhoz, és bármely elemi sorátalakításhoz létezik olyan P R n n mátrix, hogy bármely A R n n mátrixra PA éppen az a mátrix, amit A-ból az adott elemi sorátalakítással kapnánk. 52. feladat. Tegyük fel, hogy az A R n n mátrixból sikerült elemi sorátalakításokkal egységmátrixot csinálni. Bizonyítsa be, hogy ha ugyanezeket az elemi sorátalakításokat (ugyanebben a sorrendben) végrehajtjuk az egységmátrixon, akkor éppen A inverzét kapjuk. Ez az adjungált aldeterminánsos képletnél hatékonyabb módszert ad mátrix inverzének kiszámítására: Írjuk egymás mellé A-t és az ugyanolyan méretű egységmátrixot, így az (A E) R n 2n mátrixot kapjuk. Hajtsunk ezen végre elemi sorátalakításokat úgy, hogy a mátrix bal oldali felén az egységmátrix alakuljon ki. Ekkor a jobb oldali félen A inverzét kapjuk, vagyis a végeredmény az (E A 1 ) mátrix. Ezt az eljárást nevezzük Gauss Jordan-eliminációnak. (Node mi történik, ha A-nak nincs is inverze?) 53. feladat. O Gauss Jordan-elimináció (elemi sorátalakítások) segítségével számítsa ki a következő mátrix inverzét feladat. Számítsa ki az alábbi n n-es mátrix inverzét

5 55. feladat. Számítsa ki az alábbi n n-es mátrix inverzét n n n feladat. Számítsa ki az alábbi n n-es mátrix inverzét ( 1) n feladat. Oldja meg az AX 1 B C = AX 1 mátrixegyenletet, ahol A,B,C az alábbi mátrixok. A = , B = , C = feladat. Bizonyítsa be, hogy tetszőleges A,B R n n esetén AB BA = A = A = feladat. Bizonyítsa be, hogy tetszőleges A,B R n n esetén AB + A + B = 0 = AB = BA. 60. feladat. Bizonyítsa be, hogy tetszőleges A,B R n n esetén ha A és B közül legalább az egyiknek van inverze, akkor AB és BA hasonlóak. Mutasson példát arra, hogy AB és BA nem mindig hasonlóak. 61. feladat. Gondoltam két mátrixot: az A mátrix 4 2-es, a B mátrix 2 4-es. Mi lehet a BA szorzat, ha AB = ? Lineáris egyenletrendszerek 62. feladat. O Oldja meg a következő egyenletrendszert. 2x 1 + x 2 + x 3 = 2 x 1 + 3x 2 + x 3 = 5 x 1 + x 2 + 5x 3 = 7 2x 1 + 3x 2 3x 3 = feladat. O Oldja meg a következő egyenletrendszert a = 23, illetve a = 24 esetén. x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 7 3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 = 2 x 2 + 2x 3 + 2x 4 = a 64. feladat. Oldja meg a következő egyenletrendszert, ahol a,b,c valós paraméterek. x 1 2x 2 + x 3 + x 4 = a x 1 2x 2 + x 3 x 4 = b x 1 2x 2 + x 3 + 5x 4 = c 65. feladat. Oldja meg a következő egyenletrendszert, ahol a valós paraméter. x 1 + x 2 x 3 = 1 2x 1 + 3x 2 + ax 3 = 3 x 1 + ax 2 + 3x 3 = 2

6 66. feladat. Vizsgálja meg, hogy az a 1,a 2,a 3,b 1,b 2,b 3,c valós pareméterektől függően hogyan alakul az alábbi (kibővített mátrixával megadott) lineáris egyenletrendszer megoldásainak száma. 0 a 3 a 2 b 1 a 3 0 a 1 b 2 a 2 a 1 0 b 3 a 1 a 2 a 3 c 67. feladat. Tekintsünk egy tetszőleges Ax = b lineáris egyenletrendszert, ahol az A R m n együtthatómátrixot rögzítettnek tekintjük, a b R m oszlopvektort viszont változtat(hat)juk. Tetszőleges b-re M (b)-vel jelölve a megoldások számát egy M : R m N {0, } leképezést kapunk. Mi lehet ennek a leképezésnek az értékkészlete? 68. feladat. A lineáris egyenletrendszereket három csoportba sorolhatjuk aszerint, hogy az egyenletek száma és az ismeretlenek száma milyen nagyságrendi viszonyban van (<,=,>). Vizsgálja meg mind a három esetben, hogy mekkora lehet a megoldáshalmaz számossága. 69. feladat. Bizonyítsa be, hogy az (a 1,b 1 ), (a 2,b 2 ), (a 3,b 3 ) R 2 pontok akkor és csak akkor esnek egy egyenesre, ha 1 a 1 b 1 1 a 2 b 2 1 a 3 b 3 = feladat. Bizonyítsa be, hogy az (a 1,b 1,c 1 ), (a 2,b 2,c 2 ), (a 3,b 3,c 3 ), (a 4,b 4,c 4 ) R 3 pontok akkor és csak akkor esnek egy körre (amely elfajuló esetben lehet egyenes is), ha 1 a 1 b 1 a b a 2 b 2 a b a 3 b 3 a b 2 = a 4 b 4 a b feladat. Adott 13 súly. Bárhogyan is veszünk el egyet, a maradék 12 súlyt fel lehet úgy pakolni a (kétkarú) mérlegre, hogy az ki legyen egyensúlyozva. Mutassa meg, hogy ez csak úgy lehetséges, ha a súlyok mind egyformák. (Fel lehet használni a 38. feladatot.) 72. feladat. Egyszer volt, hol nem volt, volt egyszer hét kicsi kecske. A mamájuk hozott nekik 2, 1 liter tejecskét, és szétosztotta a hét kicsi bögrécskébe, de nem sikerült igazságosan elosztania. Az első kicsi kecske így szólt: Én annyira szeretem a testvérkéimet, hogy inkább lemondok a tejecskémről a javukra. Azzal egyenlően szét is osztotta a tejecskéjét a hat testvérkéje között. A második kicsi kecske is nagyon jószívű volt, ő is szétosztotta a bögrécskéjében lévő tejcskét hat testvérkéje között. Így tett sorban a többi kicsi kecske is. És lássatok csudát! a végén minden kicsi bögrécskében ugyanannyi tejecske volt, mint a legelején. Azaz mennyi? 73. feladat. Adott 11 pozitív egész, amelyek egyike sem osztható 30-nál nagyobb prímszámmal. Bizonyítsa be, hogy kiválasztható közülük néhány (akár csak egy, akár az összes), amelyek szorzata négyzetszám. Vektortér, altér, generálás 74. feladat. Igazolja, hogy a pozitív valós számok halmaza vektorteret alkot a valós számok teste felett, ha az összeadást és a skalárral való szorzást a következőképpen definiáljuk: u v = uv, λ v = v λ. 75. feladat. Igazolja, hogy bármely halmaz hatványhalmaza vektorteret alkot Z 2 felett, ha összeadásnak a szimmetrikus differencia képzését tekintjük. (A skalárral való szorzást miért nem kell külön definiálni?) 76. feladat. O Állapítsa meg, hogy az U 1,U 2,U 3,U 4.U 5,U 6 halmazok alteret alkotnak-e az R 2 vektortérben. U 1 = {(x,y): x = 0 és y = 0} U 4 = {(x,y): x + y = 0} U 2 = {(x,y): x = 0 vagy y = 0} U 5 = {(x,y): x + y = 1} U 3 = {(x,y): x,y 0} U 6 = {(x,y): x 2 + y 2 = 1}

7 77. feladat. O Állapítsa meg, hogy az U 1,U 2,U 3,U 4 halmazok alteret alkotnak-e az R 100 vektortérben. U 1 = {(x 1,...,x 100 ): x 1 = x 3 = = x 99 = 0} U 2 = {(x 1,...,x 100 ): x 1 = x 3 = = x 99 } U 3 = {(x 1,...,x 100 ): x 1 + x x 50 = x 51 + x x 100 } U 4 = {(x 1,...,x 100 ): x 1 x 2... x 50 = x 51 x x 100 } 78. feladat. Írja le a sík, illetve a tér (azaz R2, illetve R 3 ) altereit. 79. feladat. Írja le (azaz elemeik felsorolásával adja meg) a Z2 2, illetve a Z 3 2 vektortér altereit. 80. feladat. Alteret alkotnak-e a valós számsorozatok (R N ) vektorterében az alábbi halmazok? U 1 : korlátos sorozatok halmaza U 2 : monoton sorozatok halmaza U 3 : számtani sorozatok halmaza U 4 : mértani sorozatok halmaza U 5 : azon sorozatok halmaza, amelyek csak véges sok nemnulla elemet tartalmaznak U 6 : azon sorozatok halmaza, amelyek végtelen sok nullát tartalmaznak 81. feladat. Alteret alkotnak-e az R n n vektortérben az alábbi halmazok? U 1 = {A : A = 0} U 2 = {A : A 0} U 3 = { A : A T = A } U 4 = {A : AB = BA}, ahol B egy adott mátrix U 5 = {A : AB = A}, ahol B egy adott mátrix U 6 = {A : AB = B}, ahol B egy adott mátrix 82. feladat. Mutassa meg, hogy az {α cos (x β) : α,β R} halmaz alteret alkot a valós függvények R R vektorterében. 83. feladat. Igazolja, hogy egy vektortér soha nem állhat elő két valódi alterének egyesítéseként. 84. feladat. Igazolja, hogy n 2 esetén a Z n 2 vektortér előáll három valódi alterének egyesítéseként. 85. feladat. Igazolja, hogy n 2 esetén az R n vektortér nem áll elő véges sok valódi alterének egyesítéseként. 86. feladat. O Határozza meg az R 3 vektortér (1, 1, 1) és (1, 1, 5) vektorok által kifeszített alterét, vagyis adja meg, hogy milyen összefüggésnek kell teljesülnie az a,b,c számokra, hogy az (a,b,c) vektor benne legyen ebben az altérben. 87. feladat. Tekintsük azokat a valós függvényeket, amelyeknek van zérushelyük. Mi az ezen függvények által generált altér R R -ben? Mi a helyzet, ha a folytonos függvények vektorterére szorítkozunk? 88. feladat. Tekintsük a valós számok halmazát vektortérnek Q felett, a szokásos műveletekkel (mit is jelent ez?). Mi lesz a {log p : p prímszám} halmaz által generált altér ebben a vektortérben? 89. feladat. Legyen u, v, w három vektor egy tetszőleges vektortérben. Mit lehet mondani az u vektorról, ha tudjuk, hogy w / [u,v], v / [u,w], de u [v,w]? 90. feladat. A V vektortér S részhalmazát lineáris sokaságnak nevezzük, ha van olyan U altér és v 0 vektor V -ben, hogy S = U + v 0 = {u + v 0 : u U}. Ez szemléletesen azt jelenti, hogy az U alteret a v 0 vektorral eltoljuk. Mutassa meg, hogy bármely S V részhalmazra ekvivalensek az alábbiak: (1) S lineáris sokaság; (2) k N s 1,...,s k S λ 1,...,λ k R : λ λ k = 1 = λ 1 s λ k s k S; (3) s 1,s 2 S λ R : λs 1 + (1 λ)s 2 S. 91. feladat. Igazolja, hogy lineáris sokaságok metszete is lineáris sokaság (amennyiben a metszet nem üres). Így minden S V nemüres részhalmazhoz létezik egy legszűkebb lineáris sokaság, ami S-et tartalmazza. Ezt nevezzük az S által generált lineáris sokaságnak. Bizonyítsa be, hogy az S által generált lineáris sokaság elemei pontosan a λ 1 s λ k s k alakú vektorok, ahol s 1,...,s k S, λ 1,...,λ k R, λ λ k = 1.

8 92. feladat. Jelölje S a páros, T a páratlan függvények halmazát. Igazolja, hogy S és T is altér a valós függvények vektorterében, és határozza meg az S + T és az S T altereket. 93. feladat. Bizonyítsa be, hogy tetszőleges vektortér tetszőleges U,V,W altereire U W = (U + V ) W = (U W) + (V W). 94. feladat. Melyek azok a vektorterek, amelyekben bármely U,V,W altérre (U + V ) W = (U W) + (V W)? Lineárisan független és függő vektorrendszerek 95. feladat. O Lineárisan független-e a v 1,v 2,v 3 vektorrendszer? És a v 1,v 2,v 4 vektorrendszer? v 1 = (1, 3, 2), v 2 = (2, 2, 4), v 3 = (5, 3, 10), v 4 = ( 4, 0, 6) 96. feladat. Lineárisan független-e az 1, sin x, cos x vektorrendszer a valós függvények vektorterében? 97. feladat. Lineárisan független-e a 2 x, 4 x, 8 x,... vektorrendszer a valós függvények vektorterében? 98. feladat. Lineárisan független-e a {log p : p prímszám} halmaz a valós számok Q feletti vektorterében? (Lásd a 88. feladatot.) 99. feladat. Az R n vektorteret tekinthetjük Q feletti vektortérnek is (ugye?). Milyen logikai kapcsolat van egy tetszőleges vektorrendszer R feletti, illetve Q feletti függetlensége között? Mi a helyzet, ha feltesszük, hogy a vektorrendszer elemei mind Q n -ből kerülnek ki? 100. feladat. Létezik-e olyan végtelen vektorrendszer az R n vektortérben, amelynek minden n elemű részrendszere lineárisan független? 101. feladat. Legyen v 1,v 2,...,v k egy lineárisan független vektorrendszer a V valós vektortérben, és legyenek µ ij (1 i,j k) tetszőleges valós számok. Definiáljuk a w i vektorokat a következőképpen: w i = µ 1i v 1 + µ 2i v µ ki v k (1 i k). Bizonyítsa be, hogy a w 1,w 2,...,w k vektorrendszer akkor és csak akkor lineárisan független, ha a (µ ij ) R k k mátrix determinánsa nem nulla. Mit lehet mondani a w 1,w 2,...,w k vektorrendszer függetlenségéről, ha azt tesszük fel, hogy v 1,v 2,...,v k lineárisan függő? 102. feladat. Tekintsük a v 1,...,v k vektorokat a V valós vektortérben. Minden w V vektorra számoljuk meg, hogy w hányféleképpen áll elő a v i vektorok lineáris kombinációjaként. Jelöljük f (w)- vel az így kapott számosságot (amely lehet nulla vagy végtelen is): f (w) = { (λ 1,...,λ k ) R k : λ 1 v λ k v k = w }. Ily módon egy f : R k N {0, } leképezést kapunk. Mi lehet ennek a leképezésnek az értékkészlete? Mi köze van ennek ahhoz, hogy v 1,...,v k független-e vagy sem, illetve, hogy generátorrendszer-e vagy sem? És mi köze ennek az egésznek a lineáris egyenletrendszerekhez? Véges dimenziós vektorterek 103. feladat. O Bázisa-e az R 3 vektortérnek az v 1,v 2,v 3 vektorrendszer? Ha igen, akkor adja meg a (0, 5, 4) vektor koordinátáit ebben a bázisban. Oldja meg a feladatot a v 1,v 2,v 4 vektorrendszerre is. v 1 = (1, 2, 0), v 2 = (0, 1, 1), v 3 = (2, 0, 1), v 4 = (2, 7, 3) 104. feladat. O Adjon meg egy bázist az U = {(x 1,x 2,x 3,x 4 ) R 4 : x 1 = x 2 + 2x 3, x 2 = x 1 x 4 } vektortérben. Hány dimenziós ez a tér? 105. feladat. Adjon meg bázist a 77. feladatban szereplő alterekben és állapítsa meg a dimenziójukat.

9 106. feladat. Adjon meg bázist a 81. feladatban szereplő alterekben és állapítsa meg a dimenziójukat, ha B az alábbi mátrix B = feladat. Hány dimenziós a számtani sorozatok vektortere? Adjon meg benne egy bázist feladat. Ellenőrizze, hogy az a n = a n 1 + a n 2 (n = 3, 4,...) rekurziót kielégítő valós számsorozatok vektorteret alkotnak. Határozza meg ezen tér dimenzióját, és adjon meg benne mértani sorozatokból álló bázist. Fejezze ki a Fibonacci-sorozatot (amelyre a 1 = a 2 = 1) a bázisvektorok lineáris kombinációjaként. Írjon fel ennek alapján explicit képletet az n-edik Fibonacci-számra feladat. Legyen V azon valós számsorozatok vektortere, amelyek egy legfeljebb másodfokú polinommal megadhatók (vagyis az a n = pn 2 + qn + r (p,q,r R) alakú sorozatok halmaza). Ellenőrizze, hogy V valóban vektortér, határozza meg a dimenzióját, majd bizonyítsa be, hogy V pontosan az a n = 3a n 1 3a n 2 + a n 3 (n = 4, 5,...) rekurziót kielégítő sorozatokat tartalmazza feladat. Mutassa meg, hogy az alábbi polinomok bázist alkotnak a legfeljebb ötödfokú polinomok vektorterében. f 1 = (x 2) (x 3) (x 4) (x 5) (x 6) f 2 = (x 1) (x 3) (x 4) (x 5) (x 6) f 3 = (x 1) (x 2) (x 4) (x 5) (x 6) f 4 = (x 1) (x 2) (x 3) (x 5) (x 6) f 5 = (x 1) (x 2) (x 3) (x 4) (x 6) f 6 = (x 1) (x 2) (x 3) (x 4) (x 5) 111. feladat. Legyen u 1,...,u n bázis a V vektortérben, és legyen v = λ 1 u λ n u n. Bizonyítsa be, hogy az u 1 + v,...,u n + v vektorrendszer akkor és csak akkor bázisa V -nek, ha λ λ n feladat. Mekkora lehet egy tízdimenziós vektortérben egy nyolcdimenziós és egy kilencdimenziós altér metszetének dimenziója? Adjon példát az összes lehetséges értékre (a többiről meg bizonyítsa be, hogy nem lehetséges) feladat. Tekintsünk egy v 1,...,v k vektorrendszert egy n-dimenziós V vektortérben. A vektorrendszert három aspektusból vizsgáljuk: k és n viszonya szerint (k < n, k = n, vagy k > n); lineáris függetlenség szempontjából (független-e vagy nem); és generálás szempontjából (generátorrendszer-e vagy sem). Ez elméletileg 12 lehetőség, de ezek nem mind fordulhatnak elő. Vizsgálja meg, hogy mely esetek lehetségesek: a lehetségesekre mutasson példát, a lehetetlenekről pedig igazolja, hogy valóban nem fordulhatnak elő feladat. Hány nemnulla determinánsú n n-es mátrix van Z 2 felett? 115. feladat. Legyen B R n n egy diagonális mátrix, amelynek főátlóján a c 1,...,c k számok lépnek fel, rendre m 1,...,m k multiplicitással. (Tehát m 1 + +m k = n.) Hány dimenziós a B-vel felcserélhető mátrixok vektortere? 116. feladat. Mekkora lehet maximum az U R n n altér dimenziója, ha minden A,B U esetén Tr (AB) = 0? (Fel lehet használni a 16. feladatot.) 117. feladat. Létezik-e az R n n vektortérben csupa invertálható mátrixból álló bázis? 118. feladat. Lineáris sokaság (lásd a 90.feladatot) dimenzióján annak az altérnek a dimenzióját értjük, aminek az eltoltjaként a sokaság előáll. A nulladimenziós lineáris sokaságot pontnak, az egydimenziósat egyenesnek, a kétdimenziósat síknak nevezzük. Bizonyítsa be, hogy bármely vektortérben bármely két egyeneshez lehet találni olyan legfeljebb háromdimenziós sokaságot, amely mindkét egyenest tartalmazza. Hasonlóképpen igazolja, hogy két sík mindig belefér egy legfeljebb ötdimenziós sokaságba feladat. Két egyenes kölcsönös helyzete négyféle lehet: vagy egybeesnek, vagy párhuzamosak (de nem esnek egybe), vagy metszik egymást, vagy kitérőek. Ezeket az elhelyezkedéseket két számmal tudjuk jellemezni: a két egyenes metszetének dimenziójával (jelöljük ezt m-mel), és a két egyenest tartalmazó legkisebb sokaság dimenziójával (jelöljük ezt t-vel; az előző feladat szerint t 3). Az egységesség

10 kedvéért rendeljünk az üreshalmazhoz is dimenziót, mondjuk 1-et. A fenti négyféle elhelyezkedésnél m és t értéke rendre a következő: m = 1,t = 1; m = 1,t = 2; m = 0,t = 2; m = 1,t = 3. Jellemezze hasonló módon két sík lehetséges kölcsönös helyzeteit. Hány lehetőség van? Mindegyikre mutasson példát a lehető legkisebb dimenziójú térben. (Az előző feladat szerint öt dimenzióban már minden lehetséges, de egyetlen eset kivételével négy dimenzió is elég.) 120. feladat. O Hány dimenziós az R 5 vektortér U = [v 1,v 2,v 3,v 4 ] altere? Szűkítse a v 1,v 2,v 3,v 4 vektorrendszert U bázisává. v 1 = (2, 0, 1, 3, 1), v 2 = (1, 1, 0, 1, 1), v 3 = (0, 2, 1, 5, 3), v 4 = (1, 3, 2, 8, 5) 121. feladat. O Bővítse az u,v vektorrendszert R 4 bázisává. Lehet-e a v,w vektorrendszert bázissá bővíteni? u = (1, 1, 1, 1), v = (1, 1, 1, 1), w = ( 2, 2, 2, 2) 122. feladat. Egy alteret kétféleképpen is le lehet írni: megadhatjuk egy bázisát, vagy megmondhatjuk, hogy milyen tulajdonságú vektorok tartoznak az altérbe. A kétféle megadási mód közötti átváltást mutatja a 86. és a 104. feladat. Hogyan számítaná ki két altér összegét illetve metszetét, ha azok az egyik, vagy a másik módon vannak megadva? Példaként határozza meg R 4 alábbi két alterének összegét és metszetét: S = {(a,b,c,d) : b + c + d = 0}, T = {(a,b,c,d) : a + b = 0,c = 2d}. Mátrixok rangja 123. feladat. O Határozza meg az alábbi A mátrix rangját. A = feladat. Mennyi az (a ij ) R n n mátrix rangja, ahol a ij = i + j? 125. feladat. Az 1, 2,...,n 2 számokat valamilyen sorrendben beírjuk egy n n-es mátrixba. Mi az ilyen módon megkapható mátrixok rangjának legkisebb, illetve legnagyobb értéke? 126. feladat. Bizonyítsa be, hogy tetszőleges A,B R n n mátrixokra r (AB BA) = 1 = (AB BA) 2 = feladat. Egy adott (nem feltétlenül négyzetes) A mátrixot szeretnénk két minél kisebb mátrix szorzatára felbontani. Az A = BC felbontás méretén B és C méretei (soraik, ill. oszlopaik száma) közül a legkisebbet értjük. Bizonyítsa be, hogy a legkisebb méretű felbontás mérete éppen A rangja feladat. Legyenek C 1,C 2,...,C m különböző nemüres részhalmazai egy n-elemű halmaznak, és tegyük fel, hogy bármely kettőnek ugyanakkora a metszete. Bizonyítsa be, hogy m n. (Fel lehet használni a 37. feladatot.) Lineáris leképezések és lineáris transzformációk 129. feladat. O Melyek lineárisak az alábbi leképezések közül? Amelyik lineáris, annak határozza meg a képterét és a magterét, illetve ezek dimenzióját. ϕ: R 2 R 2, (x,y) (x + y,xy) χ: R 3 R 2, (x,y,z) (x y,x + y) ψ: R 2 R 3, (x,y) (x + y,y + 1,x) ω: R 3 R 4, (x,y,z) (x y,y z,x z,z x) 130. feladat. Legyen V és W két vektortér, és legyen X V. Bizonyítsa be, hogy ha X bázis, akkor bármely ϕ 0 : X W leképezés egyértelműen kiterjeszthető egy ϕ: V W lineáris leképezéssé. (Tehát minden X-beli vektorhoz ϕ-nek ugyanazt kell rendelnie, mint ϕ 0 -nak.) Igaz-e az állítás megfordítása? 131. feladat. Módosítsuk a 18. feladatbeli mátrixot: hagyjuk el mindenhol a negatív előjeleket. Mi lesz az így kapott mátrix inverze?

11 132. feladat. Mekkora lehet egy ϕ: R 9 R 5 lineáris leképezés magjának dimenziója? Adjon egy-egy példát az összes lehetséges értékre feladat. A síkbeli forgatások, tükrözések, eltolások és merőleges vetítések közül melyek lineáris transzformációk? Amelyik lineáris, annak adja meg a magterét és a képterét feladat. Tekintsük R 2 -ben az U = {(x,x) : x R} és a W = {(x, x) : x R} altereket. Adjon meg olyan ϕ lineáris transzformációt, amelyre Kerϕ = U és Im ϕ = W. Adjon meg olyan ψ lineáris transzformációt is, amelyre Kerψ = W és Im ψ = U feladat. Adottak a V vektortérben az U és W alterek. Mi a szükséges és elégséges feltétele annak, hogy létezzék olyan ϕ lineáris transzformáció, amelyre Kerϕ = U és Im ϕ = W? 136. feladat. Igazolja, hogy minden ϕ: R n n R lineáris leképezéshez létezik egy egyértelműen meghatározott F R n n mátrix, hogy minden A R n n mátrixra Aϕ = Tr (AF). (Lásd a 15. feladatot.) 137. feladat. Legyenek α: U W és β : U V lineáris leképezések. Mutassa meg, hogy akkor és csak akkor létezik olyan γ : V W lineáris leképezés, amelyre α = βγ, ha Ker β Ker α feladat. Legyenek α: U W és β : V W lineáris leképezések.az előző feladat szellemében adjon szükséges és elégséges feltételt arra, hogy létezzék olyan γ : U V lineáris leképezés, amelyre α = γβ feladat. Bizonyítsa be, hogy bármely α lineáris transzformációhoz lehet találni olyan β lineáris transzformációt, amelyre αβα = α és βαβ = β teljesül feladat. Legyenek α: U V és β : V W lineáris leképezések. Igazolja, hogy r (αβ) = r (α) dim (Kerβ Im α). (Lineáris leképezés rangján a képtere dimenziószámát értjük.) 141. feladat. Legyenek α: U V,β: V W és γ : W Z lineáris leképezések. Bizonyítsa be, hogy r (αβ) + r (βγ) r (αβγ) + r (β). Műveletek lineáris leképezésekkel 142. feladat. Legyen ϕ egy kétdimenziós vektortér lineáris transzformációja. Bizonyítsa be, hogy minden n természetes számra ϕ n = 0 = ϕ 2 = 0. Mi köze ennek a 44. feladathoz? Hogyan lehetne általánosítani tetszőleges dimenzióra? 143. feladat. Bizonyítsa be, hogy tetszőleges π: V V lineáris transzformációra ekvivalensek az alábbiak (ι az identikus transzformációt jelöli): (1) π 2 = π; (2) (ι π) 2 = ι π; (3) π (ι π) = 0; (4) Im π = Ker (ι π); (5) léteznek olyan K és I alterek, amelyekre K I = {0}, K + I = V, és tetszőleges u K,v I esetén (u + v)π = v. Ha a fentiek teljesülnek, akkor π-t projekciónak (vetítésnek) nevezzük. Vajon miért? 144. feladat. Igazolja, hogy ha két projekció egymással felcserélhető, akkor szorzatuk is projekció. Igaz-e az állítás megfordítása? 145. feladat. Igazolja, hogy két projekció összege akkor és csak akkor projekció, ha szorzatuk mindkét sorrendben feladat. Bizonyítsa be, hogy tetszőleges ϕ,ϕ 1,...,ϕ k : R n R lineáris leképezésekre ϕ [ϕ 1,...,ϕ k ] Ker ϕ 1 Ker ϕ k Ker ϕ feladat. Jelölje R n [x] a legfeljebb n-edfokú valós polinomok vektorterét. Mutassa meg, hogy az alábbi ϕ leképezés lineáris, és határozza meg a képterét és a magterét. Igazolja, hogy ϕ n+1 = 0. ϕ: R n [x] R n [x],f (x) f (x + 1) f (x).

12 148. feladat. Tekintsük az R n [x] vektortéren a σ : f (x) f (x + 1) és ι : f (x) f (x) lineáris transzformációkat. Az előző feladatban definiált ϕ lineáris transzformáció felírható ϕ = σ ι alakban. Ennek segítségével írja fel ϕ k képletét. (Például ϕ 2 : f (x) f (x + 2) 2f (x + 1) + f (x).) Ezt a képletet és az előző feladatot felhasználva általánosítsa a 109. feladatot. Lineáris leképezések mátrixa 149. feladat. O Határozza meg az alábbi ϕ lineáris transzformáció mátrixát R 3 standard E : e 1,e 2,e 3 bázisában, illetve az E : e 1,e 2,e 3 bázisban. (Vagyis az A E,E ϕ és az A E,E ϕ mátrixokat kell kiszámítani.) Számítsa ki a (2, 2, 0) vektor ϕ melletti képének koordinátáit mindkét bázisban. ϕ: R 3 R 3, (x,y,z) (2x y,x + z, 3x 2y z) e 1 = (1, 0, 0), e 2 = (0, 1, 0), e 3 = (0, 0, 1) e 1 = (2, 0, 0), e 2 = (0, 1, 1), e 3 = (0, 1, 1) 150. feladat. Tekintsük R 3 -ban az előző feladatban szereplő E, illetve E bázisokat, és legyen F egy ismeretlen bázis R 2 -ben. Egy ϕ: R 3 R 2 lineáris leképezés mátrixa az E és F bázisokban a következő: Aϕ E,F = Határozza meg az A E,F ϕ mátrixot feladat. Adja meg az origó körüli α szögű forgatás mátrixát R 2 standard bázisában feladat. Válasszon R 2 -ben tetszése szerint egy bázist, amelynek egyik eleme sem skalárszorosa a standard bázisvektoroknak. Írja fel az alábbi t 1,t 2,t 3,t 4 egyenesekre való tükrözés mátrixát ebben a bázisban, valamint a standard bázisban (összesen 8 mátrix). t 1 = {(x, 0) : x R}, t 2 = {(x,x) : x R}, t 3 = {(x, x) : x R}, t 4 = {(x, 2x) : x R} 153. feladat. Oldja meg az előző feladatot tükrözések helyett merőleges vetítésekkel feladat. Válasszon R 3 -ben tetszése szerint egy bázist, amelynek egyik eleme sem skalárszorosa a standard bázisvektoroknak. Írja fel az alábbi S 1,S 2 síkokra való tükrözés mátrixát ebben a bázisban, valamint a standard bázisban (összesen 4 mátrix). S 1 = {(x,y, 0) : x,y R}, S 2 = {(x,y,z) : x + y + z = 0} 155. feladat. Oldja meg az előző feladatot tükrözések helyett merőleges vetítésekkel feladat. Legyen V egy tízdimenziós vektortér, és legyen U 1 U 2 V, ahol U 1 háromdimenziós, U 2 pedig hatdimenziós altér. Ellenőrizze, hogy vektorteret alkotnak azon lineáris transzformációk, amelyekre nézve U 1 és U 2 is invariáns. Hány dimenziós ez a vektortér? 157. feladat. Legyenek ϕ és ψ lineáris transzformációi egy végesdimenziós vektortérnek, és tegyük fel, hogy ψϕ ϕψ = λϕ alkalmas λ 0 valós számra. Igazolja, hogy minden k pozitív egészre ψϕ k ϕ k ψ = kλϕ k. Bizonyítsa be, hogy van olyan k kitevő, amelyre ϕ k = feladat. Melyik az a legkisebb n, amelyre megadhatóak olyan A 1,...,A k R n n mátrixok, amelyekre teljesülnek az alábbiak? (1) A 2 i = 0 (i = 1,...,k) (2) A i A j = A j A i (i,j = 1,...,k) (3) A 1... A k 0