MTN714: BEVEZETÉS AZ ABSZTRAKT ALGEBRÁBA. 1. Csoportelméleti alapfogalmak

Átírás

1 MTN714: BEVEZETÉS AZ ABSZTRAKT ALGEBRÁBA 1. Csoportelméleti alapfogalmak 1.1. Feladat. Csoportot alkotnak-e az alábbi halmazok a megadott műveletre nézve? (1) (Z 2 ; ), (2) (Z 2 ; +), (3) (R \ { 1}; ), ahol a b = a + b + ab tetszőleges a, b R-re, (4) (R; ), ahol x y = x + 2y tetszőleges x, y R-re, (5) (P (H); ), ahol H nemüres halmaz, (6) (P (H); ), ahol H nemüres halmaz, (7) G = ({a, b, c, 1, 2, 3}; ), ahol a (jelen esetben asszociatív) szorzást az alábbi művelettáblázat adja meg: a b c a a b c b b c a c c a b 1 a b c b c a c a b Feladat. Csoportot alkotnak-e az alábbi halmazok a megadott műveletre nézve? (1) ({k Z : 2 k}; +), (2) (N; +), (3) (Z 6 ; +), (4) (Z 6 ; ), (5) (Z 12 ; ), (6) (Z 15 ; +), (7) ({q Q : q = a b, ahol a, b Z relatív prímek és 2 b};+), (8) (R \ Q; +), (9) ({ε C : létezik olyan n N, amelyre ε n = 1}; ) Feladat. Adja meg a G csoport azon elemeit, amelyek előállnak az a elem pozitív egész kitevős hatványaiként, illetve egész kitevős hatványaiként. (1) G = (Z; +), a = 4, (2) G = D 6, a pedig a középpont körüli π 3 szöggel való forgatás, (3) G = (P ({1, 2, 3}; ), a = {1, 2}, (4) G = (GL(R, 3), ), a = , (5) G = (Z 18, ), a = 5, (6) G = (Z 24, ), a = 19. 1

2 2 MTN714: BEVEZETÉS AZ ABSZTRAKT ALGEBRÁBA 1.4. Feladat. Legyen a D 4 csoportban a a középpont körüli π 2 szöggel való forgatás, t pedig valamely szimmetriatengelyre vonatkozó tükrözés. Mutassa meg, hogy ekkor at = ta Feladat. Az alábbi következtetések közül melyek érvényesek minden csoportban tetszőleges a, b, c, x, y elemekre? (1) axb = ayb x = y, (2) xc = cy x = y. A helyes következtetést igazolja, a hamisra adjon ellenpéldát Feladat. Csoportot alkotnak-e az alábbi halmazok a megadott műveletre nézve? (1) ({π ab Z Zp p : a, b Z p és xπ ab = xa + b (x Z p )}, ), (2) ({π ab Z Zp p : a Z p, b Z p és xπ ab = xa + b (x Z p )}, ) ahol p prím, pedig a szokásos leképezésszorzás Feladat. Csoportot alkot-e az alábbi halmaz a megadott műveletre nézve? ({r R : r < c}, ), ahol r s = r + s 1 + rs, c R + rögzített. c Feladat. (1) Mutassa meg, hogy a Q = {1, 1, i, i, j, j, k, k} halmazon egyetlen olyan asszociatív szorzás létezik, amelyre teljesülnek a következők: az {1, 1, i, i} részhalmazban ugyanúgy szorzunk, mintha a felsorolt elemek komplex számok lennének, az {1, 1, j, j} és {1, 1, k, k} részhalmazban ugyanígy számolunk, csak i helyett j-vel és k-val, ij = k, jk = i, ki = j. (2) Továbbá igazolja, hogy Q csoportot alkot erre a szorzásra nézve. Ezt a csoportot kvaterniócsoportnak nevezik Feladat. Egészítse ki az alábbi művelettáblázatot úgy, hogy csoport művelettáblázatát kapja: e a b x y z e e a b y b e x z y z Választásait minden esetben indokolja Feladat. A D n (n N, n 3) n-edfokú diédercsoportban jelölje a a középpont körüli 2π n szögű forgatást, t pedig az egyik tengelyes tükrözést. (1) Igazolja, hogy at = ta 1. (2) Bizonyítsa be, hogy D n = {id, a, a 2,..., a n 1, t, at, a 2 t,..., a n 1 t}. (3) Határozza meg, hogy a fent felsorolt elemek közül melyikkel egyenlők a következő elemek: ta, ta 2,..., ta n 1, ta 2, (ata) 2008, (ta 1 t) n 1, (ata 3 t 5 a 1 ) 10n 50.

3 MTN714: BEVEZETÉS AZ ABSZTRAKT ALGEBRÁBA Feladat. Adjon meg olyan alakzatot a síkban, melynek szimmetriacsoportja 1, 2, 3, illetve 4 elemű. Adjon meg olyan alakzatot a síkban, melynek szimmetria- és mozgáscsoportja is 4 elemű Feladat. Írja le a kör mozgás- és szimmetriacsoportját Feladat. Hány eleme van a szabályos tetraéder mozgás-, illetve szimmetriacsoportjának? Feladat. Hány eleme van a kocka mozgás-, illetve szimmetriacsoportjának? Feladat. Az alábbi következtetések közül melyek érvényesek minden csoportban tetszőleges a, b, c, x elemekre? (1) xab = c x = cb 1 a 1, (2) xab = a x = b Feladat. Igazolja, hogy ha egy csoportnak csak véges sok eleme van, akkor bármely elemére a pozitív egész kitevős hatványok halmaza ugyanaz, mint a negatív egész kitevős hatványok halmaza Feladat. Adjon meg olyan elemet a GL(R, 2) csoportban, amelyben nem szerepel 0, azonban csak véges sok különböző hatványa van Feladat. Adja meg az n-edik komplex egységgyökök E n csoportjának elemeit, és mindegyik esetén azt is, hogy hány különböző hatványa van.

4 4 MTN714: BEVEZETÉS AZ ABSZTRAKT ALGEBRÁBA 2. Csoportelem rendje 2.1. Feladat. Határozza meg a megadott elemek rendjét a megadott G csoportban: (1) G = S 6 ; ( )(2 3 6)(1 4 6) 1, (2) G = Z 12 ; 5, 9, 11, (3) G = {ε C : ε 12 = 1}; cos 5π 6 + i sin 5π 6, cos 3π 2 + i sin 3π π 2, cos 6 + i sin π 6, (4) G = Z 18 ; 5, 7, 5 (5) G = Q; Feladat. Adjon meg a G csoportban k rendű elemet: (1) G = S 9, k = 8, 15, 21, (2) G = D 18, k = 4, 6, (3) G = C, k = Feladat. Határozza meg az alábbi csoportok véges rendű elemeit: (1) Q, (2) Q, (3) C, (4) a kör szimmetriacsoportja Feladat. Bizonyítsa be az alábbi, véges fokú permutációkra vonatkozó állításokat, vagy adjon rájuk ellenpéldát: (1) Minden páros rendű permutáció páros. (2) Minden páros permutáció rendje páros. (3) Minden páratlan rendű permutáció páros. (4) Minden páratlan permutáció páros rendű Feladat. Igazolja, hogy ha a, b egy csoport tetszőleges véges rendű elemei, akkor (1) o(a) = o(b 1 ab), (2) o(ab) = o(ba) Feladat. Határozza meg a G = {f S R, xf = ax + b : a, b R, a 0} csoport véges rendű elemeit Feladat. Adjon meg olyan végtelen csoportot, amelynek minden eleme véges rendű, valamint olyan végtelen csoportot, melyben csak véges sok véges rendű elem van. Van-e olyan csoport, amelynek véges sok végtelen rendű eleme van? 2.8. Feladat. Igazolja, hogy ha egy csoportban az egységelemtől különböző összes elem rendje ugyanaz, akkor az végtelen vagy prímszám Feladat. Igazolja, hogy ha egy csoport minden elemének rendje legfeljebb 2, akkor a csoport kommutatív Feladat. Mutassa meg, hogy ha egy véges csoport elemszáma páros, akkor a csoportban van másodrendű elem.

5 MTN714: BEVEZETÉS AZ ABSZTRAKT ALGEBRÁBA Feladat. Mutassa meg, hogy ha egy csoport valamely a, b elemeire és valamely m, n Z kitevőkre ba = a m b n, akkor az a m b n 2, a m 2 b n és ab 1 elemek rendje azonos Feladat. Bizonyítsa be, hogy minden S n -beli permutáció rendje egyenlő a páronként idegen ciklusok szorzataként történő előállításában fellépő ciklusok hosszainak legkisebb közös többszörösével Feladat. Mutassa meg, hogy tetszőleges k N { } esetén van olyan csoport és abban két olyan másodrendű elem, amelyek szorzatának rendje k Feladat. Tetszőleges k N { } esetén adjon meg az SL(R, 2) csoportban k rendű elemet.

6 6 MTN714: BEVEZETÉS AZ ABSZTRAKT ALGEBRÁBA 3. Részcsoportok, ciklikus csoportok 3.1. Feladat. Döntse el, hogy részcsoportot alkotnak-e az alábbi H halmazok a megadott G csoportban: (1) G = Z, H = {k Z : 6 k}; (2) G = Z, H = {k Z : 2 k vagy 3 k}; (3) G = C, H = {c C : c n = 1 valamely n N-re}; (4) G = S 4, H az összes transzpozíciók halmaza S 4 -ben; (5) G = Z 9, H = Z Feladat. Határozza meg a G csoport A részhalmaza által generált részcsoportját: (1) G = Z 18, A = {4}, (2) G = {ε : ε 18 = 1}, A = {cos π 9 + i sin π 9 }, (3) G = Z, A = {6, 10, 15}, (4) G = Z 30, A = {6, 10}, (5) G = D 12, A = {a 2, at}, (6) G = S 4, A = {(1 2), (1 2 3)}, (7) G = S 4, A = {(1 2 3), (1 2)(3 4)} Feladat. Döntse el, hogy ciklikusak-e az alábbi csoportok vagy sem: (1) S 3, (2) Z 13, (3) Z Feladat. Adjon meg 1, 2, illetve 3 elemű minimális generátorrendszert az alábbi csoportokban (ha létezik). (1) Z 18, (2) S Feladat. Határozza meg az alábbi csoportok összes részcsoportját, valamint rajzolja fel annak a részbenrendezett halmaznak a Hasse-diagramját, amelyet a részcsoportok halmaza alkot a szokásos tartalmazásra nézve. (1) Z 18, (2) V, (3) Z 15, (4) D Feladat. Mutassa meg, hogy a C csoportban részcsoportot alkot a következő halmaz: E p = { u C : van olyan k N 0, amelyre u pk = 1 } (p prímszám) Feladat. Határozza meg a G csoport A részhalmaza által generált részcsoportját: (1) G = S 5, A = {(1 2 3), (3 4 5)}, (2) G = Q, A = { 1 2, 1 3, 1 5 } Feladat. Döntse el, hogy ciklikusak-e az alábbi csoportok vagy sem: (1) A 3, (2) Z 18,

7 (3) D 3. MTN714: BEVEZETÉS AZ ABSZTRAKT ALGEBRÁBA Feladat. Adjon meg 1, 2, illetve 3 elemű minimális generátorrendszert az alábbi csoportokban (ha létezik). (1) D 6, (2) Q Feladat. Határozza meg az alábbi csoportok összes részcsoportját, valamint rajzolja fel annak a részbenrendezett halmaznak a Hasse-diagramját, amelyet a részcsoportok halmaza alkot a szokásos tartalmazásra nézve. (1) A 4, (2) Q Feladat. Igazolja, hogy S n minden részcsoportjában vagy minden permutáció páros, vagy a permutációknak pontosan a fele páros Feladat. Mutassa meg, hogy minden Abel-csoport (1) véges rendű elemeinek halmaza, (2) legfeljebb másodrendű elemeinek halmaza részcsoportot alkot. Adjon példát olyan Abel-csoportra, melyben a legfeljebb harmadrendű elemek nem alkotnak részcsoportot Feladat. Igazolja, hogy bármely G csoportra és bármely H, K G-re H K pontosan akkor részcsoport, ha H K vagy K H Feladat. Adjon példát olyan G csoportra és annak olyan H, K részcsoportjára, amelyekre HK nem részcsoportja G-nek Feladat. Mutassa meg, hogy ha egy G csoport generátorelemei felcserélhetők egymással, akkor G Abel-féle Feladat. Igazolja, hogy egy csoport akkor és csak akkor véges, ha véges sok részcsoportja van Feladat. Bizonyítsa be, hogy a Q csoport minden végesen generált részcsoportja ciklikus, és adjon meg olyan valódi részcsoportját, amely nem ciklikus.

8 8 MTN714: BEVEZETÉS AZ ABSZTRAKT ALGEBRÁBA 4. Primitív gyök, hatványmaradék 4.1. Feladat. Számítsa ki 2 rendjét modulo Feladat. Legyen m egynél nagyobb, páratlan öttel nem osztható szám. Ekkor 1 m tiszta szakaszos végtelen tizedes tört. Igazolja, hogy a szakasz hossza éppen 10 rendje modulo m Feladat. Mutassa meg, hogy 2 primitív gyök modulo 19, de modulo 17 nem az Feladat. Mutassa meg, hogy n-rendű ciklikus csoportnak pontosan ϕ(n) generáló eleme van. Így, ha modulo n létezik primitív gyök, akkor pontosan ϕ(ϕ(n)) darab létezik Feladat. Oldja meg indextáblázat segítségével az alábbi kongruenciákat (1) 3x 6 1 (mod 11), (2) 3 5 x 20 (mod 11) Feladat. Döntse el, hogy megoldhatók-e az alábbi kongruenciák. (1) x 30 5 (mod 73), (2) x (mod 563) Feladat. Oldja meg az alábbi kongruenciákat (1) x 2 5 (mod 73), (2) x (mod 67), (3) 44x (mod 73) Feladat. Bizonyítsa, hogy ha p páratlan prím, amelyre az összes négyzetes nem-maradék primitív gyök, akkor p = 2 2n + 1 valamely n egészre Feladat. Legyen p egy 2 n + 1 alakú prím, ahol n 2. Mutassuk meg, hogy (1) 3 négyzetes nem-maradék modulo p, (2) 3 primitív gyök modulo p Feladat. Mutassa meg, hogy bármely primitív gyök modulo p négyzetes nem-maradék Feladat. Lehet-e két modulo p primitív gyök szorzata is modulo p primitív gyök Feladat. Számítsa ki ( ) Legendre-szimbólum értékét a négyzetes reciprocitási tétel felhasználásával és a nélkül Feladat. Számítsa ki ( ) Legendre-szimbólum értékét Feladat. Legyen p 5 prím. Találjon explicit formulát ( 3 p ) Legendreszimbólum értékére Feladat. Mely p prímekre oldható meg a x 2 + x (mod p) kongruencia?

9 MTN714: BEVEZETÉS AZ ABSZTRAKT ALGEBRÁBA 9 5. Izomorfia, Cayley-reprezentáció, részcsoport szerinti osztályozás, Lagrange-tétel 5.1. Feladat. Döntse el, hogy izomorfak-e egymással az alábbi csoportok: (1) Z 6 és Z 4, (2) Z 15 és Z 8, (3) D 4 és Q, (4) a kör szimmetriacsoportja és C, (5) a kör mozgáscsoportja és az 1 abszolút értékű komplex számok multiplikatív csoportja, (6) GL(K, n) és GL(V ), ahol V n-dimenziós vektortér a K test felett Feladat. Adja meg az alábbi G csoportok g elemének képét a csoport Cayley-féle ábrázolásánál: (1) G = Z 8, g = 4, (2) G = S 3, g = (1 2), (3) G = D 6, g = a 3 t, (4) G = Z, g = Feladat. Határozza meg a megadott G csoport H részcsoportja szerinti bal, illetve jobb oldali osztályozást: (1) G = [a], H = [a d ], ahol o(a) = n N, d n, (2) G = D n, H = [at], ahol n N, n 3, (3) G = D 2n, H = [a n ], ahol n N, n 2, (4) G = S 4, H = V, (5) G = S 4, H az {1, 2} halmazt önmagába képező permutációk részcsoportja Feladat. Bizonyítsa be, hogy ha H, K G olyan véges részcsoportok, amelyek rendje egymáshoz relatív prím, akkor H K = {1} Feladat. A Lagrange-tétel alkalmazásával határozza meg a D 6 és Q csoport összes részcsoportját, és adja meg a részcsoportok részbenrendezett halmazának Hasse-diagramját is Feladat. Jelölje D az alábbi alakzat szimmetriacsoportját: TTTTTTTTTTTTT Döntse el, hogy izomorfak-e egymással a következő csoportok: (1) a kör szimmetriacsoportja és D, (2) D és az alábbi részcsoport GL(Q, 2)-ben: {( ) } u k : u { 1, 1}, k Z Feladat. Döntse el, hogy izomorfak-e egymással az alábbi csoportok: (1) Q + és (Z[x]; +), (2) Q és Q Feladat. Adjon meg olyan részcsoportot a GL(R, 2) csoportban, mely izomorf az alábbi csoporttal: (1) D 4,

10 10 MTN714: BEVEZETÉS AZ ABSZTRAKT ALGEBRÁBA (2) S 3, (3) C Feladat. Igazolja, hogy ha a G csoport A részhalmaza valamely részcsoport szerinti bal oldali mellékosztály, akkor G-nek van olyan részcsoportja is, amely szerint A jobb oldali mellékosztály Feladat. Igazolja, hogy ha H, K részcsoportja a G véges csoportnak, akkor HK = H K H K Feladat. Bizonyítsa be, hogy minden 2n rendű Abel-csoport, ahol n páratlan szám, pontosan egy másodrendű elemet tartalmaz Feladat. Izomorfia erejéig határozza meg az összes legfeljebb hatodrendű csoportot Feladat. (1) Bizonyítsa be, hogy ha a H részcsoport indexe a G csoportban 2, akkor G \ H minden eleme páros rendű. (2) Mutassa meg, hogy az A 4 csoportban nincsen hatodrendű részcsoport Feladat. Legyen G tetszőleges csoport, és jelölje ϕ: G S G a G csoport Cayley-ábrázolását. Mutassa meg, hogy a Gϕ permutációcsoport rendelkezik az alábbi tulajdonságokkal: (1) tetszőleges π Gϕ \ {id} permutáció mozgatja G összes elemét, azaz gπ g az összes g G elem esetén, (2) tetszőleges g, h G elemekhez létezik olyan π Gϕ permutáció, a- melyre gπ = h Feladat. Adjon meg két különböző n pozitív egészre olyan n-edfokú permutációcsoportot, amely izomorf D 4 -gyel, és amelyben tetszőleges k, l {1,..., n}-hez van olyan permutáció, amely k-t l-be viszi Feladat. Milyen m, n 3 egészekre tartalmaz S m a Z n, illetve D n csoporttal izomorf részcsoportot?

11 MTN714: BEVEZETÉS AZ ABSZTRAKT ALGEBRÁBA Gyűrűk, integritástartományok, euklideszi gyűrűk, Gauss-egészek 6.1. Feladat. Mutassa meg, hogy tetszőleges A halmaz esetén (P (A);, ) gyűrű Feladat. Döntse el, hogy a megadott R gyűrűben az I halmaz részgyűrűt alkot-e. (1) R = Z, I a páratlan egész számok halmaza, (2) R = Z, I a pozitív egész számok halmaza, (3) R = Z[i], I = Z, (4) R = Z[i], I = {a + bi : a, b 2Z}, (5) R = Z[x], I = {f Z[x] : f(1) = 0}, (6) R = Z[x], I = {f Z[x] : f(0) = 1}, (7) R = Z[x], I = {f Z[x] : 2 f(0)}, (8) R = Z[x], I = {f Z[x] : f(0) 1} Feladat. Legyen R olyan kommutatív, egységelemes gyűrű, melyben az egységelem additív rendje a p prímszám. Igazolja, hogy ekkor bármely a, b R esetén (a + b) p = a p + b p Feladat. Határozza meg a Z[x] gyűrűben (1) az x 1 polinom által generált részgyűrűt (azaz a legszűkebb olyan részgyűrűt, amely tartalmazza x 1-et); (2) az x és x 1 polinom által generált részgyűrűt Feladat. Bontsa irreducibilis tényezők szorzatára Z[i]-ben a 2 és a 3 + i elemeket Feladat. Igazolja, hogy 6 i prím Z[i]-ben Feladat. Határozza meg a D = {a/b: a, b Z, 2 b} integritástartományban az egységeket és az irreducibilis elemeket. Mutassa meg, hogy D euklideszi gyűrű Feladat. Igazoljuk, hogy ha egy euklideszi gyűrű a elemére a = 1, akkor a egység Feladat. Mutassuk meg, hogy Q[x, y] integritástartomány nem euklideszi gyűrű Feladat. (Euler-egészek gyűrűje) Legyen ω = i. Bizonyítsuk, hogy Z[ω] euklideszi gyűrű az a + bω = a 2 ab + b 2, a, b Z, euklideszi normával Feladat. Adjuk meg Z[ω] egységeit Feladat. Lássuk be, hogy 3i asszociáltjai Z[ω]-ban: ±(1 ω), ±(1 ω 2 ), ±(ω ω 2 ) Feladat. Bizonyítsuk, hogy ha d Z[ω] irreducibilis, akkor d prím Z-ben, vagy d egy Z-beli prím asszociáltja Z[ω]-ban. Ha d Z-beli prím, akkor d irreducibilis Z(ω)-ban. Így 3i irreducibilis Z[ω]-ban.

12 12 MTN714: BEVEZETÉS AZ ABSZTRAKT ALGEBRÁBA 7. Testbővítések, véges testek 7.1. Feladat. Tekintsük a Q(u) Q testbővítést, ahol u az f = x 3 6x 2 +9x+3 egyik komplex gyöke. Mutassuk meg, hogy f irreducibilis, és fejezzük ki az u 4, u 5, 3u 5 u 4 + 2, (u + 1) 1, (u 2 6u + 8) 1 elemeket a Q(u) test Q feletti {1, u, u 2 } bázisában Feladat. Legyen K(a) egyszerű transzcendens bővítése K-nak, s legyen b K(a)\K tetszőleges elem. Mutassuk meg, hogy a algebrai K(b) test felett Feladat. Legyen L K egy testbővítés, s tegyük fel, hogy a L transzcendens K felett, és f K[x] nemkonstans polinom. Igazoljuk, hogy ekkor f(a) is transzcendens K felett, és minden olyan b L elem, amelyre f(b) = a szintén transzcendens K felett Feladat. Igazoljuk, hogy ha a K(a, b) K testbővítésben a algebrai K fölött, de nem K-beli, b pedig transzcendens K fölött, akkor a K(a, b) K bővítés nem egyszerű Feladat. Állítsa elő a racionális számtest alábbi egyszerű algebrai bővítéseiben megadott elemek multiplikatív inverzét az adjungált elem kis kitevős hatványainak racionális együtthatós lineáris kombinációjaként: (1) Q( 3); 3, ; (2) Q( 3 2); 3 16, ; (3) Q(i); i 2, 1 + i Feladat. Legyen u a p K[x] n-edfokú irreducibilis polinom gyöke. Adja meg az alábbi a K(u) elemeket az 1, u, u 2,..., u n 1 elemek K-beli együtthatókkal képezett lineáris kombinációjaként: (1) K = Z 2, p = x 2 + x + 1; (1 + u) 1, u 3 (1 + u) 1 ; (2) K = Z 3, p = x 2 + 1; (1 + u)(1 u) 1, (1 + u) 2 ; (3) K = Z 5, p = x 3 + x + 1; u 2, (u 2 + u) Feladat. Keresse meg az i 5, 3 4, 4 3 és i 2 2 számok minimálpolinomját C, R, valamint Q fölött Feladat. Adjunk meg egy harmadfokú irreducibilis polinomot Z 2 felett. Ennek segítségével konstruáljunk 8-elemű testet. Írjuk fel a kapott test művelettáblázatait Feladat. Mutassuk meg, hogy ha [L : K] prímszám, akkor az L K testbővítés egyszerű Feladat. Mely n-re szerkeszthető adott körrel azonos területű szabályos n-szög? Feladat. Mutassuk meg, hogy van olyan szög, amelyik euklideszi szerkesztéssel nem ötödölhető Feladat. Egységnyi térfogatú kockából indulva szerkeszthető-e egységnyi térfogatú szabályos tetraéder? Feladat. Határozzuk meg a Q( ) Q testbővítés fokát és adjuk meg a szám Q fölötti minimálpolinomját.