Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy

Méret: px

Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy"

Enikő Pap
5 évvel ezelőtt
Látták:

1 Diszkrét matematika 3. estis képzés ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 1. előadás Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék ősz

2 Diszkrét matematika 3. estis képzés ősz 2. (Emlékeztető) Az (R;, ) két binér műveletes algebrai struktúra gyűrű, ha (R; ) Abel-csoport; (R; ) félcsoport; teljesül a -nek a -ra vonatkozó mindkét oldali disztributivitása. Az (R;, ) gyűrű egységelemes gyűrű, ha R-en a műveletre nézve van egységelem. Az (R;, ) gyűrű kommutatív gyűrű, ha a művelet (is) kommutatív. (Z; +, ) egységelemes kommutatív gyűrű. (2Z; +, ) gyűrű, de nem egységelemes. C k k a szokásos műveletekkel egységelemes gyűrű, de nem kommutatív, ha k > 1. Q, R, C, Z m a szokásos műveletekkel egységelemes kommutatív gyűrűk.

3 Diszkrét matematika 3. estis képzés ősz 3. Nullosztómentes gyűrűk Ha egy (R,, ) gyűrűben r, s R, r, s 0 esetén r s 0, akkor R nullosztómentes gyűrű. Nem nullosztómentes ( gyűrű 0 0 (R 2 2 ; +, ): 0 1 Z 4 : (mod 4). Álĺıtás ) ( ) = ( Nullosztómentes gyűrűben a nem-nulla elemek additív rendje megegyezik, és vagy egy p prímszám vagy végtelen. Ha az előző álĺıtásban szereplő közös rend végtelen, akkor a gyűrű karakterisztikája 0, ha a közös rend p, akkor pedig p. Jelölése: char(r). )

4 Diszkrét matematika 3. estis képzés ősz 4. Nullosztómentes gyűrűk A kommutatív, nullosztómentes gyűrűt integritási tartománynak nevezzük. (Z; +, ) Az (R;, ) gyűrű ferdetest, ha (R \ {0}; ) csoport. A kommutatív ferdetestet testnek nevezzük. Q, R, C a szokásos műveletekkel, Z p a szokásos műveletekkel, ha p prím. Álĺıtás Test nullosztómentes.

5 Diszkrét matematika 3. estis képzés ősz 5. Legyen (R; +, ) egységelemes integritási tartomány az e egységelemmel, és a, b R. Azt mondjuk, hogy a osztója b-nek (b többszöröse a-nak), ha létezik c R, amelyre b = ac, jelben a b. Az ε R elemet egységnek nevezzük, ha ε e. Az a és b egymás asszociáltjai, ha a b és b a. Legyen (R; +, ) egységelemes integritási tartomány a 0 nullelemmel és az e egységelemmel. Ekkor 0 f e felbonthatatlan, ha f = ab a egység vagy b egység.

6 Diszkrét matematika 3. estis képzés ősz 6. Legyen R egységelemes integritási tartomány a 0 nullelemmel és az e egységelemmel. Ekkor 0 p e prím, ha p ab (p a p b). Legyen R egységelemes integritási tartomány a 0 nullelemmel és az e egységelemmel. Azt mondjuk, hogy R Gauss-gyűrű, ha minden 0 r e feĺırható r = f 1 f 2 f k alakban, ahol 0 < k Z, f i felbonthatatlan (1 i k), és ha r = f 1 f 2 f j egy ugyanilyen típusú felbontás, akkor k = j, és az f m -ek és f n-k egymás asszociáltjai.

7 Diszkrét matematika 3. estis képzés ősz 7. Megjegyzés A felbonthatatlan elemek szorzatára való felbontás lényegében (sorrendtől és asszociáltságtól eltekintve) egyértelmű Gauss-gyűrűben. Legyen R = {a + b 5i a, b Z} C. Ez egységelemes integritási tartomány, de nem Gauss-gyűrű. Mik az egységek? r 1 r 2 r 1 2 r 2 2, így a + b 5i 1 esetén a 2 + 5b 2 1, vagyis a = ±1 és b = 0, tehát az egységek R-ben 1 és 1. 9 = 3 3 = (2 + 5i)(2 5i) Ha (a + b 5i)(c + d 5i) = 3, (a + b 5i)(c + d 5i) = 2 + 5i, vagy (a + b 5i)(c + d 5i) = 2 5i, akkor (a 2 + 5b 2 )(c 2 + 5d 2 ) = 9, amiből a + b 5i egység vagy c + d 5i egység (Miért?), így 3, 2 + 5i és 2 5i is felbonthatatlanok (Miért?), vagyis R nem Gauss-gyűrű.

8 Diszkrét matematika 3. estis képzés ősz 8. Tétel (felbonthatatlan és prím integritási tartományban) Legyen R egységelemes integritási tartomány az e egységelemmel. Ha p R prím, akkor felbonthatatlan is. Bizonyítás Legyen p = ab. Mivel ep = p = ab, ezért p ab. Mivel p prím, ezért p a vagy p b. Ha p a, akkor a = pa 1 = aba 1, és így ba 1 = e, vagyis b egység. Hasonlóan p b esetén a egység. 2 {a + b 5i a, b Z} felbonthatatlan (az előző példa alapján könnyen belátható), de nem prím, mert 2 6 = (1 + 5i)(1 5i), de 2 1 ± 5i.

9 Diszkrét matematika 3. estis képzés ősz 9. Tétel (felbonthatatlan és prím Gauss-gyűrűben) Gauss-gyűrű eleme pontosan akkor felbonthatatlan, ha prím. Bizonyítás Legyen f egy felbonthatatlan elem, amire f ab. Ekkor fc = ab, és ha a = p 1 p 2 p k, b = q 1 q 2 q l és c = r 1 r 2 r m felbonthatatlan elemekre való felbontások, akkor fr 1 r 2 r m = p 1 p 2 p k q 1 q 2 q l alapján az egyértelmű felbontás miatt f asszociáltja valamely p s vagy q t, így teljesül f a vagy f b.

Hasonló dokumentumok

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy Diszkrét matematika 3. estis képzés 2018. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 2. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék