Bevezetés az algebrába az egész számok
|
|
- Renáta Gáspár
- 5 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Bevezetés az algebrába az egész számok Wettl Ferenc V Wettl Ferenc Bevezetés az algebrába az egész számok V / 32
2 Jelölések 1 Egész számok és sorozataik 2 Oszthatóság 3 Közös osztók Wettl Ferenc Bevezetés az algebrába az egész számok V / 32
3 Egész számok és sorozataik Számok Egész számok: Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2, 3,... } (Zahlen, Z) Pozitív egész számok: N + = { 1, 2, 3,... } (Natural, N + ) Nemnegatív egész számok: N 0 = { 0, 1, 2, 3,... } (N 0 ) Természetes számoknak az előző két halmaz valamelyikét szokás nevezni, nincs egységes terminológia. Jelölése: N (N). A természetes számok halmazára igaz, hogy bármely nem üres részhalmazának van legkisebb eleme (az e tulajdonsággal rendelekző halmazokat jólrendezett halmazoknak nevezzük). Az egészek halmaza nem jólrendezett halmaz. Valós számok halmaza: R (R). Definíció Racionális számok: Q = { p q p, q Z, q 0 }, a nem racionális valósokat irracionális számoknak nevezzük. (Quotient, Q) Algebrai számok: gyökei valamely egész együtthatós polinomnak (pl. 2 gyöke a x 2 2 polinomnak). A racionális számok is algebrai számok. A nem algebrai számokat transzcendens számoknak nevezzük (pl. π, e). Wettl Ferenc Bevezetés az algebrába az egész számok V / 32
4 Egész számok és sorozataik Számok Tétel A 2 irracionális. Bizonyítás. Indirekt bizonyítás: tegyük fel, hogy 2 racionális, azaz van olyan p és q természetes szám, hogy 2 = p q. Ekkor p = 2q, tehát az K = { 2k k, 2k N + } halmaz nem üres. Legyen K legkisebb eleme a = 2b (ilyen van!). 2a = 2b egész 2a a = 2a 2b = 2(a b) is egész. Ugyanakkor pozitív, mert a = 2b > b, és kisebb a-nál, azaz 2(a b) < a = 2b, mert a = 2b < 2b. Ellentmondás! (Lásd még: cut-the-knot) Wettl Ferenc Bevezetés az algebrába az egész számok V / 32
5 Egész számok és sorozataik Egészrész függvény Definíció Egy x valós szám (alsó) egész részén azt a legnagyobb egészt értjük (jelölése x vagy [x]), mely kisebb vagy egyenlő x-szel, azaz melyre x x < x + 1. x tört része {x} = x x. 0 = 0, = 1, π = 3, π = 4, { 9 4 } = 1 4, { 9 4 } = 3 4. hasonlóan definiálható a felső egész rész: x 1 < x x. π = 4, π = 3. 0 {x} < 1. Wettl Ferenc Bevezetés az algebrába az egész számok V / 32
6 Egész számok és sorozataik Egészrész függvény Tétel (Dirichlet approximációs tétele) Tetszőleges x R valós számhoz és tetszőleges n N + számhoz létezik olyan a, b Z, ahol 1 a n, hogy ax b < 1 n. Bizonyítás. A skatulyaelv szerint a 0, {x}, {2x},..., {nx} számok között van kettő, amelyik azonos intervallumba esik a következők közül: [0, 1 n ), [ 1 n, 2 n ), [ 2 n, 3 n 1 n ),... [ n, 1). Legyen {ix} {jx} < 1 n, ahol i < j és a = j i, b = jx ix. ax b = (j i)x ( jx ix ) = jx jx (ix ix ) = {jx} {ix} < 1 n. Wettl Ferenc Bevezetés az algebrába az egész számok V / 32
7 Egész számok és sorozataik Indukció Indukció: következtetés az egyes esetekből az általánosra (általában bizonyos valószínűséggel). Teljes indukció (mathematical induction): ha egy n paramétertől függő állítás igaz valamely n 0 N 0 kezdőértékre, és az állítás öröklődik egy egészről az 1-gyel nagyobb egészre, akkor igaz minden n-re, melyre n n 0. Tétel (Teljes indukció) Ha H N +, 1 H, és n H esetén n + 1 H, akkor H = N +. Gondoljuk meg: a teljes indukció következik a természetes számok jólrendezettségéből! n n(n + 1) P Igazoljuk, hogy k = n =. 2 k=1 M n-re vonatkozó teljes indukcióval: n = 1 esetén: 1 = 1. ( n) + (n + 1) = n(n+1) 2 + (n + 1) = (n+1)(n+2) 2. Wettl Ferenc Bevezetés az algebrába az egész számok V / 32
8 Egész számok és sorozataik Rekurzió Wettl Ferenc Bevezetés az algebrába az egész számok V / 32
9 Egész számok és sorozataik Rekurzió Escher: Print Gallery Wettl Ferenc Bevezetés az algebrába az egész számok V / 32
10 Egész számok és sorozataik Rekurzió Rekurzió: valamely objektum önhasonló módon való konstrukciója, definíciója, értelmezése. Rekurzív sorozat: a sorozat n-edik tagjának definíciójában a kisebb indexű tagok is szerepelnek. Definíció (Fibonacci-sorozat) f 0 = 0, f 1 = 1, f n = f n 1 + f n 2 (első néhány tagja: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765,..., (OEIS A000045) Hányféleképp fedhető le egy 2 (n 1)-es sakktábla n 1 dominóval? Wettl Ferenc Bevezetés az algebrába az egész számok V / 32
11 Oszthatóság Osztó Definíció A b egész számot az a egész szám osztójának nevezzük (a osztható b-vel, a többszöröse b-nek, jelölése b a), ha van olyan q egész, hogy a = bq. b valódi osztó, ha nem azonos ±a-val vagy ±1-gyel. 0 minden egésszel osztható, a 0-val is: 0 = b 0. a 0 csak a 0-nak osztója. 5 15, 5 15, 5 15, 2 0, 0 0, 7 8, Az oszthatóság hasonlóképp definiálható pl. az egész vagy a valós együtthatós polinomok körében: x 1 x 3 1, mert x 3 1 = (x 1)(x 2 + x + 1). K A páros számok körében mit mondhatunk? Pl. van minden (páros) számnak (páros) osztója? Wettl Ferenc Bevezetés az algebrába az egész számok V / 32
12 Oszthatóság Osztó ábra : A prímek közül csak 2-vel, 3-mal és 5-tel osztható 400 alatti számok oszthatósági diagramja (Hasse-diagram) ("Regular divisibility lattice" by David Eppstein az angol Wikipédiáról) Wettl Ferenc Bevezetés az algebrába az egész számok V / 32
13 Oszthatóság Osztó Tétel (Az oszthatóság alaptulajdonságai) Minden a, b, c, m, n egészekre igazak a következők a a ha a b és b c, akkor a c ha a b és a c, akkor a (mb + nc) ha a b és m n, akkor am bn P Bizonyítsuk be, hogy egy egész szám négyzete vagy osztható 4-gyel, vagy 8-cal osztva 1-et ad maradékul! M (2k) 2 = 4k 2, (2k + 1) 2 1 = 4k 2 + 4k = 4k(k + 1), de k és k + 1 egyike osztható 2-vel. P 7 3 2n n+2 (n N) M 3 2n n+2 = 3 9 n n = 3 (9 n 2 n ) n n és 7 9 n 2 n, n n. Wettl Ferenc Bevezetés az algebrába az egész számok V / 32
14 Oszthatóság Egység Definíció Egységnek nevezzük azokat a számokat, melyek minden számnak osztói. Az egészek közt két egység van: 1, 1. (Miért?) Az egység nem tévesztendő össze az egységelemmel, mely egy algebrai struktúra azon e eleme, melyre ea = a minden a-ra. K A páros számok körében van-e egység? P Az R = {a + b 2 a, b Z} számhalmazban a szokásos műveletek mellett a ±(1 + 2) n alakú számok egységek, ahol n tetszőleges egész (például (1 + 2) ). (Igazolható, hogy más egység nincs). M (1 + 2)( 1 + 2) = 1, így (1 + 2) és annak minden nemnegatív egész hatványa is oszt minden a + b 2 alakú számot. Hasonlóképp a negatív egész kitevős hatványai is, mivel 1/(1 + 2) = Wettl Ferenc Bevezetés az algebrába az egész számok V / 32
15 Oszthatóság Maradékos osztás Tétel (Maradékos osztás nemnegatív maradékkal) Tetszőleges a, b Z, b 0 egészekhez egyértelműen léteznek olyan q, r Z egészek, hogy a = bq + r, és 0 r < b P Osszuk el maradékosan a-t b-vel, ha a = 20 és b = 7. M Négy eset lehetséges: 20 = , 20 = 7 ( 3) + 1, 20 = ( 7) ( 2) + 6, 20 = ( 7) A tételbeli 0 r < b feltételt kicserélhető erre: b 2 b 2. < r Ekkor a nemnegatív maradék helyett a legkisebb abszolút értékű maradékot kapjuk. M Az előző példabeli számokkal: 20 = 7 3 1, 20 = 7 ( 3) + 1, 20 = ( 7) ( 3) 1, 20 = ( 7) Wettl Ferenc Bevezetés az algebrába az egész számok V / 32
16 Oszthatóság Maradékos osztás Bizonyítás. Olyan q egészt keresünk, melyre bq a legnagyobb egész, mely nem nagyobb a-nál. ha b > 0 : bq a < bq + b q a a b < q + 1 q = ha b < 0 : bq a < bq b q a b b > q 1 a q = b és így az r = a bq számra 0 r < b. Mivel q a fentiek alapján egyértelmű, ezért r is. Wettl Ferenc Bevezetés az algebrába az egész számok V / 32
17 Oszthatóság Számrendszerek Tétel (b-alapú számrendszer) Legyen b > 1 egész szám. Ekkor bármely m N + szám egyértelműen előáll alakban. m = a n b n + a n 1 b n a 1 b + a 0, 0 a i < b, a n 0 Az m szám b-alapú számrendszerbeli alakját (a n a n 1... a 1 a 0 ) b jelöli (a zárójel vagy a b index a elhagyható, ha nem okoz félreértést). Ha b > 10, a számjegyeket az ábécé betűivel pótoljuk, pl. a 16-os számrendszer számjegyei: 0, 1,...,9, A, B, C, D, E, F. 26 = = 1A 16 = 32 8 = = = = Wettl Ferenc Bevezetés az algebrába az egész számok V / 32
18 Oszthatóság Számrendszerek Bizonyítás. Ha van ilyen alakú előállítása m-nek, akkor a 0 csak a b-vel való maradékos osztás maradéka lehet. Ezt ismételve a számjegyek egyértelműen adódnak: m = bq 0 + a 0, 0 a 0 < b, q 0 = a n b n a 2 b + a 1 q 0 = bq 1 + a 1, 0 a 1 < b, q 1 = a n b n a 3 b + a 2 q 1 = bq 2 + a 2, 0 a 2 < b, q 2 = a n b n a 4 b + a 3. q n 2 = bq n 1 + a n 1, 0 a n 1 < b, q n 1 = a n q n 1 = b 0 + a n, 0 < a n < b A maradékos osztások láncolata addig tart, míg valamely osztás hányadosa 0 nem lesz. Ez véges sok lépésben megtörténik, mert m > q 0 > q 1 > > q n 1 > 0. Az a i számok pedig valóban m kívánt előállítását adják, mert ((... (a n b + a n 1 )b +... )b + a 1 )b + a 0 = a n b n + a n 1 b n a 1 b + a 0 = m. Wettl Ferenc Bevezetés az algebrába az egész számok V / 32
19 Oszthatóság Számrendszerek Állítás (Horner-módszer polinom kiértékelésére) Bármely n-edfokú polinom kiértékelhető legföljebb n szorzás és n összeadás használatával, ugyanis a n x n +a n 1 x n a 1 x+a 0 = (... ((a n x+a n 1 )x+a n 2 )x+...+a 1 )x+a 0. A polinom kiértékelése egy egyszerű táblázatban követhető: a n a n 1... a 0 x a n a n x + a n 1... (... (a n x + a n 1 )x a 1 )x + a 0 P Legyen p(x) = x 5 3x 4 6x 3 90x + 3. Határozzuk meg p(5) értékét! M 5 5 = 3125, így a természetes mód hosszadalmas. Horner módszerrel: Tehát p(5) = 53. A Horner módszer további alkalmazásaira később visszatérünk. Wettl Ferenc Bevezetés az algebrába az egész számok V / 32
20 Oszthatóság Számrendszerek P Írjuk át az alábbi számokat 10-es számrendszerbe: , , AAF 16. Használjuk a Horner-módszert! M A A F Wettl Ferenc Bevezetés az algebrába az egész számok V / 32
21 Oszthatóság Számrendszerek P Használjuk az ismételt maradékos osztás technikáját az alábbi számok megadott számrendszerbe való átírására! 1001 = X 2, = Y 3, 6252 = Z 5 M X = Y = Z = = = = = = = = = = = Wettl Ferenc Bevezetés az algebrába az egész számok V / 32
22 Közös osztók Legnagyobb közös osztó Definíció Az a, b Z számok legnagyobb közös osztója az a d szám, mely 1 közös osztó, azaz d a és d b, 2 a közös osztók közül a legnagyobb, azaz ha c a és c b, akkor c d, 3 az a = b = 0 esetben d = 0. Jelölések: d = (a, b), d = lnko(a, b), d = gcd(a, b) (az angol greatest common divisor kifejezésből) A definíció első két feltétele bármely két a, b egész szám legnagyobb közös osztóját egyértelműen definiálja, kivéve ha a = b = 0. Ekkor a közös osztók halmaza felülről nem korlátos (a 0 minden egész számmal osztható), ezért nincs a közös osztók közt legnagyobb. A következőkben minden esetre érvényes eredményekhez fogunk jutni a (0, 0) = 0 kikötéssel. P 12 és 18 közös osztói: ±1, ±2, ±3, ±6, így (12, 18) = 6. P (12, 6) = ( 12, 6) = 6, (12, 8) = ( 12, 8) = 4, (12, 7) = 1 P Ha m, n Z, akkor (m, 0) = (0, m) = m, (m, mn) = (mn, m) = m, Wettl Ferenc Bevezetés az algebrába az egész számok V / 32
23 Közös osztók Kitüntetett közös osztó Definíció Az a, b Z számok kitüntetett közös osztója az a d N 0 szám, mely 1 közös osztó, azaz d a és d b, 2 ha c a és c b, akkor c d. A lényeges változás az előző definícióhoz képest, hogy a c d feltételt a c d feltételre cseréltük, vagyis csak az oszthatóság fogalmát használjuk, a számok rendezését nem. A másik változás, hogy mivel az oszthatóságon egy egységgel való szorzás nem változtat csak a nemnegatív számokra szorítkozunk (d N 0 ). Látni fogjuk, hogy e két fogalom azonos eredményt ad, ezért nem vezetünk be új jelölést. E definíció a (0, 0) = 0 értéket is természetes módon adja. P 12 és 18 közös osztói: ±1, ±2, ±3, ±6. Látjuk, hogy e számok közül a 6 az az egyetlen nemnegatív szám, mely e számok mindegyikével osztható, tehát 6 a kitüntetett közös osztó. Wettl Ferenc Bevezetés az algebrába az egész számok V / 32
24 Közös osztók Euklideszi algoritmus Tétel Bármely két egész számnak létezik kitüntetett közös osztója. Bizonyítás. Ha b = 0, akkor (a, b) = a, ha b a, akkor (a, b) = b. Tegyük fel, hogy b a és az egységes jelölés érdekében legyen r 0 = a, r 1 = b. Osszuk el maradékosan a-t b-vel, a maradék legyen r 2, majd b-t osszuk r 2 -vel... r 0 = r 1 q 1 + r 2 r n r 0 = a c r 2 = r 0 r 1 q 1 r 1 = r 2 q 2 + r 3 r n r 1 = b c r 3 = r 1 r 2 q 2 r 2 = r 3 q 3 + r 4 r n r 2 c r 4 = r 2 r 3 q 3. r n 2 = r n 1 q n 1 + r n r n r n 2 c r n = r n 2 r n 1 q n 1 r n 1 = r n q n r n r n 1 Tehát d = r n kitüntetett közös osztó. Az algoritmus véges lépésben véget ér, mivel r 2 > r 3 > > r n > 0. Wettl Ferenc Bevezetés az algebrába az egész számok V / 32
25 Közös osztók Euklideszi algoritmus A kitüntetett közös osztó egyértelmű, ugyanis ha c és d is kitüntetett közös osztó, akkor c d és d c miatt c és d egymás egységszerese, ami c és d nemnegativitása miatt csak c = d mellett lehetséges. A kitüntetett és a legnagyobb közös osztó megegyezik. Jelölje d a kitüntetett, D a legnagyobb közös osztót. d definíciója miatt D d, így D d, D definíciója miatt d D, tehát d = D. A tételbeli algoritmust euklideszi algoritmusnak nevezzük. Leegyszerűsítve legyen r 0 = a, r 1 = b, ahol a b > 0. Ismételten végezzük el az r k = r k+1 q k+1 + r k+2 maradékos osztásokat, ahol 0 r k+2 < r k+1. Az algoritmus leáll, amint valamely maradék 0 nem lesz, azaz ha r n+1 = 0. Ekkor a kitüntetett közös osztó r n. P (24, 17) =?, (288, 204) =? M Válasz: (24, 17) = 1, (288, 204) = 12, ugyanis 24 = = = = = = = = 12 3 Wettl Ferenc Bevezetés az algebrába az egész számok V / 32
26 Közös osztók Euklideszi algoritmus T Ha c > 0, akkor (ca, cb) = c(a, b). T Ha (a, b) = d 0, akkor ( a d, b d ) = 1. D Az a és b egészeket relatív prímeknek nevezzük, ha (a, b) = 1. K A törtek egyszerűsíthetők. (Fogalmazzuk meg az állítást!) T (a + nb, b) = (a, b) (a, b, n Z) B c a, b c a + nb. c a + nb, b c a + nb nb = a T (a, b) kifejezhető a és b alkalmas m, n Z egészekkel vett lineáris kombinációjaként, azaz kifejezhető (a, b) = ma + nb alakban. B Az euklideszi algoritmus első egyenletéből r 2, a következőből r 3,..., az utolsó előttiből r n kifejezhető a és b lineáris kombinációjaként. (Ezt nevezzük kibővített euklideszi algoritmusnak). K Bármely a, b egészre {ma + nb m, n Z} = {c(a, b) c Z}. T Ha c ab és (c, a) = 1, akkor c b. B (első) c ab, c cb c (ab, cb) = (a, c)b = b. B (második) (c, a) = 1 1 = mc + na b = mcb + nab c b. Wettl Ferenc Bevezetés az algebrába az egész számok V / 32
27 Közös osztók Euklideszi algoritmus Példa Kibővített euklideszi algoritmussal határozzuk meg a következő lineáris kombinációk együtthatóit: (1) (24, 17) = 24m + 17n, (2) (288, 204) = 288m + 204n. Megoldás. 24 = = = = = = = = = 1 3 Tehát (24, 17) = = 1. Az euklideszi algoritmus egyenleteinek 12-vel való szorzása adja a másik feladat megoldását: (288, 204) = = 12. Wettl Ferenc Bevezetés az algebrába az egész számok V / 32
28 Közös osztók Euklideszi algoritmus Megoldás. Egyszerűen mechanikussá tehető az előző számítás, ha egyenlőségek lineáris kombinációit számoljuk: 24 = = = = = Táblázatban a hányadost is jelölve az első oszlopban (mindkét feladatra): Wettl Ferenc Bevezetés az algebrába az egész számok V / 32
29 Közös osztók Lineáris diofantoszi egyenletek A diofantoszi egyenlet 2- vagy több ismeretlenes egyenlet, melynek csak egész megoldásait keressük. Lineáris diofantoszi egyenlet: ax + by = c, (a, b, c Z) Pitagorászi számhármasok: x 2 + y 2 = z 2 Nagy Fermat-tétel (Wiles, 1995): x n + y n = z n nem oldható meg, ha n > 2. x 3 + y 3 + z 3 = w 3 ( = 6 3 ) x 4 + y 4 + z 4 = w 4 (Elkies, 1986: = , a legkisebb Frye, 1988: = ) Hardy Ramanujan-szám: x 3 + y 3 = z 3 + w 3 legkisebb nemtriviális megoldása: = = Két négyzetszám összege: x 2 + y 2 = n (a 4k 1 alakú prímek páros kitevőn) Pell-egyenlet: x 2 ny 2 = ±1. Wettl Ferenc Bevezetés az algebrába az egész számok V / 32
30 Közös osztók Lineáris diofantoszi egyenletek Tétel Legyen d = (a, b). Az ax + by = c lineáris diofantoszi egyenlet pontosan akkor oldható meg, ha d c. Ekkor az összes megoldás fölírható x = x 0 + b d t, y = y 0 a d t, ahol t tetszőleges egész. Bizonyítás. ( ) Ha ax 0 + by 0 = c megoldás, akkor d a, d b d ax 0 + by 0 = c. ( ) Legyen am + bn = d. Ha d c, azaz c = td, akkor atm + btn = c. Ha x 0, y 0 megoldás, akkor x = x 0 + b d t, y = y 0 a d t is, ugyanis ax + by = ax 0 + a b d t + by 0 b a d t = ax 0 + by 0 = c. Ha ax + by = c egy tetszőleges megoldás, akkor kivonva a két egyenletet: a(x x 0 ) = b(y 0 y) a d (x x 0) = b d (y 0 y) Mivel ( a d, b d ) = 1, ezért a d (y 0 y) y = y 0 a d t x = x 0 + b d t. Wettl Ferenc Bevezetés az algebrába az egész számok V / 32
31 Közös osztók Lineáris diofantoszi egyenletek P 3x + 4y = 5 M (3, 4) = 1 5 megoldható. 1 = = 3 ( 5) x = 5 + 4t, y = 5 3t A megoldások geometriai szemléltetése (a 3x + 4y = 5 egyenes és 4 megoldás): ( 5, 5) ( 1, 2) (3, 1) (7, 4) Wettl Ferenc Bevezetés az algebrába az egész számok V / 32
32 Közös osztók Lineáris diofantoszi egyenletek P Épp t fizetett egy cég néhány 288 és néhány 204 értékű árúért. Melyikből mennyit vásárolt, ha az elsőből többet vett, mint a másodikból? M Diofantoszi egyenlet: 288x + 204y = 12000, ahol x, y > 0 egészek. Megoldható, mert (288, 204) = (hány pozitív közülük?) A megoldások halmaza megegyezik a 24x + 17y = 1000 egyenlet megoldásaival (miért?). Egy megoldást ad a kibővített euklideszi algoritmus: 1 = (24, 17) = = Összes megoldás: ( t)24 + ( t)17 = t > 0, azaz t > , t > 0, azaz t < t = 294, 293, 292. A lehetséges {x, y} párok: {36, 8}, {19, 32}, {2, 56}. Tehát az elsőből 36-ot, a másodikból 8-at vásároltak. Wettl Ferenc Bevezetés az algebrába az egész számok V / 32
Bevezetés az algebrába 1
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Bevezetés az algebrába 1 BMETE92AX23 Egész számok H406 2017-09-04,06,08,11 Wettl Ferenc
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 9. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
RészletesebbenKongruenciák. Waldhauser Tamás
Algebra és számelmélet 3 előadás Kongruenciák Waldhauser Tamás 2014 őszi félév Tartalom 1. Diofantoszi egyenletek 2. Kongruenciareláció, maradékosztályok 3. Lineáris kongruenciák és multiplikatív inverzek
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 10. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
RészletesebbenDiszkrét matematika 1. estis képzés. Komputeralgebra Tanszék ősz
Diszkrét matematika 1. estis képzés 2015. ősz 1. Diszkrét matematika 1. estis képzés 6. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2015. ősz Elemi számelmélet Diszkrét matematika 1. estis
RészletesebbenDiszkrét matematika I.
Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 8. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Elemi számelmélet Diszkrét matematika I. középszint
RészletesebbenHatványozás. A hatványozás azonosságai
Hatványozás Definíció: a 0 = 1, ahol a R, azaz bármely szám nulladik hatványa mindig 1. a 1 = a, ahol a R, azaz bármely szám első hatványa önmaga a n = a a a, ahol a R, n N + n darab 3 4 = 3 3 3 3 = 84
RészletesebbenSzámelmélet (2017. február 8.) Bogya Norbert, Kátai-Urbán Kamilla
Számelmélet (2017 február 8) Bogya Norbert, Kátai-Urbán Kamilla 1 Oszthatóság 1 Definíció Legyen a, b Z Az a osztója b-nek, ha létezik olyan c Z egész szám, melyre ac = b Jelölése: a b 2 Példa 3 12, 2
Részletesebben1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a oszója b-nek, vagy más szóval, b osztható a-val, ha létezik olyan x Z, hogy b = ax. Ennek jelölése a b.
1. Oszthatóság, legnagyobb közös osztó Ebben a jegyzetben minden változó egész számot jelöl. 1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a oszója b-nek, vagy más szóval, b osztható a-val, ha létezik olyan x Z, hogy
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy
Diszkrét matematika 1. középszint 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 10. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2018. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 2. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenTartalom. Algebrai és transzcendens számok
Nevezetes számelméleti problémák Tartalom 6. Nevezetes számelméleti problémák Számok felbontása hatványok összegére Prímszámok Algebrai és transzcendens számok 6.1. Definíció. Az (x, y, z) N 3 számhármast
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. estis képzés 017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. estis képzés 4. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 8. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 3. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I.
Számelmélet I. DEFINÍCIÓ: (Osztó, többszörös) Ha egy a szám felírható egy b szám és egy másik egész szám szorzataként, akkor a b számot az a osztójának, az a számot a b többszörösének nevezzük. Megjegyzés:
RészletesebbenAnalízis előadás és gyakorlat vázlat
Analízis előadás és gyakorlat vázlat Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 2010-11. I. Félév 2 1. fejezet Számhalmazok és tulajdonságaik 1.1. Nevezetes számhalmazok ➀ a) jelölése: N b)
RészletesebbenAlgebra es sz amelm elet 3 el oad as Nevezetes sz amelm eleti probl em ak Waldhauser Tam as 2014 oszi f el ev
Algebra és számelmélet 3 előadás Nevezetes számelméleti problémák Waldhauser Tamás 2014 őszi félév Tartalom 1. Számok felbontása hatványok összegére 2. Prímszámok 3. Algebrai és transzcendens számok Tartalom
RészletesebbenDiszkrét matematika I.
Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 10. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Felhívás Diszkrét matematika I. középszint 2014.
RészletesebbenSzámelmélet. 4. Igazolja, hogy ha hat egész szám összege páratlan, akkor e számok szorzata páros!
Számelmélet - oszthatóság definíciója - oszthatósági szabályok - maradékos osztás - prímek definíciója - összetett szám definíciója - legnagyobb közös osztó definíciója - legnagyobb közös osztó meghatározása
RészletesebbenKomplex számok. Wettl Ferenc előadása alapján Wettl Ferenc előadása alapján Komplex számok / 18
Komplex számok Wettl Ferenc előadása alapján 2015.09.23. Wettl Ferenc előadása alapján Komplex számok 2015.09.23. 1 / 18 Tartalom 1 Számok A számfogalom bővülése 2 Algebrai alak Trigonometrikus alak Egységgyökök
Részletesebbenilletve a n 3 illetve a 2n 5
BEVEZETÉS A SZÁMELMÉLETBE 1. Határozzuk meg azokat az a természetes számokat ((a, b) számpárokat), amely(ek)re teljesülnek az alábbi feltételek: a. [a, 16] = 48 b. (a, 0) = 1 c. (a, 60) = 15 d. (a, b)
Részletesebben2. Feladatsor. N k = {(a 1,...,a k ) : a 1,...,a k N}
2. Feladatsor Oszthatóság, legnagyobb közös osztó, prímfaktorizáció az egész számok körében 1 Kötelező házi feladat(ok) 2., Határozzuk meg a ϕ:z Z, z [ z 5] leképezés magját. Adjuk meg a ker(ϕ)-hez tartozó
RészletesebbenEgészrészes feladatok
Kitűzött feladatok Egészrészes feladatok Győry Ákos Miskolc, Földes Ferenc Gimnázium 1. feladat. Oldjuk meg a valós számok halmazán a { } 3x 1 x+1 7 egyenletet!. feladat. Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges
RészletesebbenAz R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.
2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok aximómarendszere Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 1.Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve, az
RészletesebbenKlasszikus algebra előadás. Waldhauser Tamás április 28.
Klasszikus algebra előadás Waldhauser Tamás 2014. április 28. 5. Számelmélet integritástartományokban Oszthatóság Mostantól R mindig tetszőleges integritástartományt jelöl. 5.1. Definíció. Azt mondjuk,
RészletesebbenIntergrált Intenzív Matematika Érettségi
. Adott a mátri, determináns determináns, ahol,, d Számítsd ki:. b) Igazold, hogy a b c. Adott a az 6 0 egyenlet megoldásai. a). c) Számítsd ki a d determináns értékét. d c a b determináns, ahol abc,,.
RészletesebbenOszthatóság. Oszthatóság definíciója (az egészek illetve a természetes számok halmazán):
Oszthatóság Oszthatóság definíciója (az egészek illetve a természetes számok halmazán): Azt mondjuk, hogy az a osztója b-nek (jel: a b), ha van olyan c egész, amelyre ac = b. A témakörben a betűk egész
RészletesebbenBevezetés az algebrába az egész számok 2
Bevezetés az algebrába az egész számok 2 Wettl Ferenc Algebra Tanszék B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M 2015. december
RészletesebbenHHF0CX. k darab halmaz sorbarendezésének a lehetősége k! Így adódik az alábbi képlet:
Gábor Miklós HHF0CX 5.7-16. Vegyük úgy, hogy a feleségek akkor vannak a helyükön, ha a saját férjeikkel táncolnak. Ekkor már látszik, hogy azon esetek száma, amikor senki sem táncol a saját férjével, megegyezik
RészletesebbenSzámelméleti alapfogalmak
1 Számelméleti alapfogalmak 1 Definíció Az a IN szám osztója a b IN számnak ha létezik c IN melyre a c = b Jelölése: a b 2 Példa a 0 bármely a számra teljesül, mivel c = 0 univerzálisan megfelel: a 0 =
RészletesebbenOSZTHATÓSÁG. Osztók és többszörösök : a 3 többszörösei : a 4 többszörösei Ahol mindkét jel megtalálható a 12 többszöröseit találjuk.
Osztók és többszörösök 1783. A megadott számok elsõ tíz többszöröse: 3: 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 4: 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 5: 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 6: 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 1784. :
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 8. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
Részletesebben1. A maradékos osztás
1. A maradékos osztás Egész számok osztása Példa 223 = 7 31+6. Visszaszorzunk Kivonunk 223 : 7 = 31 21 13 7 6 Állítás (számelméletből) Minden a,b Z esetén, ahol b 0, létezik olyan q,r Z, hogy a = bq +
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 4. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenSzámelmélet. 1. Oszthatóság Prímszámok
Számelmélet Legnagyobb közös osztó, Euklideszi algoritmus. Lineáris diofantoszi egyenletek. Számelméleti kongruenciák, kongruenciarendszerek. Euler-féle ϕ-függvény. 1. Oszthatóság 1. Definíció. Legyen
RészletesebbenKlasszikus algebra előadás. Waldhauser Tamás április 14.
Klasszikus algebra előadás Waldhauser Tamás 2014. április 14. Többhatározatlanú polinomok 4.3. Definíció. Adott T test feletti n-határozatlanú monomnak nevezzük az ax k 1 1 xk n n alakú formális kifejezéseket,
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 4. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenBizonyítási módszerek - megoldások. 1. Igazoljuk, hogy menden természetes szám esetén ha. Megoldás: 9 n n = 9k = 3 3k 3 n.
Bizonyítási módszerek - megoldások 1. Igazoljuk, hogy menden természetes szám esetén ha (a) 9 n 3 n (b) 4 n 2 n (c) 21 n 3 n (d) 21 n 7 n (e) 5 n 25 n (f) 4 n 16 n (g) 15 n (3 n 5 n) 9 n n = 9k = 3 3k
RészletesebbenDiszkrét matematika 2.
Diszkrét matematika 2. 2018. november 23. 1. Diszkrét matematika 2. 9. előadás Fancsali Szabolcs Levente nudniq@cs.elte.hu www.cs.elte.hu/ nudniq Komputeralgebra Tanszék 2018. november 23. Diszkrét matematika
RészletesebbenBevezetés a matematikába (2009. ősz) 1. röpdolgozat
Bevezetés a matematikába (2009. ősz) 1. röpdolgozat 1. feladat. Fogalmazza meg a következő ítélet kontrapozícióját: Ha a sorozat csökkenő és alulról korlátos, akkor konvergens. 2. feladat. Vezessük be
Részletesebben7. Számelmélet. 1. Lehet-e négyzetszám az a pozitív egész szám, amelynek tízes számrendszerbeli alakjában 510 darab 1-es és valahány 0 szerepel?
7. Számelmélet I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Lehet-e négyzetszám az a pozitív egész szám, amelynek tízes számrendszerbeli alakjában 510 darab 1-es és valahány 0 szerepel? ELTE 2006. október 27. (matematika
RészletesebbenSzámelmélet Megoldások
Számelmélet Megoldások 1) Egy számtani sorozat második tagja 17, harmadik tagja 1. a) Mekkora az első 150 tag összege? (5 pont) Kiszámoltuk ebben a sorozatban az első 111 tag összegét: 5 863. b) Igaz-e,
RészletesebbenMinden egész szám osztója önmagának, azaz a a minden egész a-ra.
1. Számelmélet Definíció: Az a egész szám osztója a egész számnak, ha létezik olyan c egész szám, melyre = ac. Ezt a következőképpen jelöljük: a Tulajdonságok: Minden egész szám osztója önmagának, azaz
Részletesebben1. A Horner-elrendezés
1. A Horner-elrendezés A polinomok műveleti tulajdonságai Polinomokkal a szokásos módon számolhatunk: Tétel (K2.1.6, HF ellenőrizni) Tetszőleges f,g,h polinomokra érvényesek az alábbiak. (1) (f +g)+h =
RészletesebbenVEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER október 15. Irodalom. További ajánlott feladatok
VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER 2004. október 15. Irodalom A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: ezek egyrészt elhangzanak az előadáson, másrészt megtalálják
RészletesebbenArany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2008/2009-es tanév első (iskolai) forduló haladók II. kategória
Bolyai János Matematikai Társulat Oktatási és Kulturális Minisztérium Támogatáskezelő Igazgatósága támogatásával Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 00/009-es tanév első (iskolai) forduló haladók II.
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2018. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 4. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenPolinomok (előadásvázlat, október 21.) Maróti Miklós
Polinomok (előadásvázlat, 2012 október 21) Maróti Miklós Ennek az előadásnak a megértéséhez a következő fogalmakat kell tudni: gyűrű, gyűrű additív csoportja, zéruseleme, és multiplikatív félcsoportja,
RészletesebbenPolinomok (el adásvázlat, április 15.) Maróti Miklós
Polinomok (el adásvázlat, 2008 április 15) Maróti Miklós Ennek az el adásnak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudni: gy r, gy r additív csoportja, zéruseleme, és multiplikatív félcsoportja, egységelemes
Részletesebben1. A polinom fogalma. Számolás formális kifejezésekkel. Feladat Oldjuk meg az x2 + x + 1 x + 1. = x egyenletet.
1. A polinom fogalma Számolás formális kifejezésekkel. Feladat Oldjuk meg az x2 + x + 1 x + 1 = x egyenletet. Megoldás x + 1-gyel átszorozva x 2 + x + 1 = x 2 + x. Innen 1 = 0. Ez ellentmondás, így az
RészletesebbenV. Békés Megyei Középiskolai Matematikaverseny 2012/2013 Megoldások 12. évfolyam
01/01 1. évfolyam 1. Egy röplabda bajnokságban minden csapat pontosan egyszer játszik a többi csapat mindegyikével. A bajnokságból még két forduló van hátra és eddig 104 mérkőzést játszottak le. Hány csapat
Részletesebben1. Mondjon legalább három példát predikátumra. 4. Mikor van egy változó egy kvantor hatáskörében?
Definíciók, tételkimondások 1. Mondjon legalább három példát predikátumra. 2. Sorolja fel a logikai jeleket. 3. Milyen kvantorokat ismer? Mi a jelük? 4. Mikor van egy változó egy kvantor hatáskörében?
RészletesebbenSzA XIII. gyakorlat, december. 3/5.
SzA XIII. gyakorlat, 2013. december. 3/5. Drótos Márton 3 + 2 = 1 drotos@cs.bme.hu 1. Határozzuk meg az Euklidészi algoritmussal lnko(504, 372)-t! Határozzuk meg lkkt(504, 372)-t! Hány osztója van 504-nek?
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata
RészletesebbenBevezetés. 1. fejezet. Algebrai feladatok. Feladatok
. fejezet Bevezetés Algebrai feladatok J. A számok gyakran használt halmazaira a következ jelöléseket vezetjük be: N a nemnegatív egész számok, N + a pozitív egész számok, Z az egész számok, Q a racionális
RészletesebbenFüggvény fogalma, jelölések 15
DOLGO[Z]ZATOK 9.. 1. Függvény fogalma, jelölések 1 1. Az alábbi hozzárendelések közül melyek függvények? a) A magyarországi megyékhez hozzárendeljük a székhelyüket. b) Az egész számokhoz hozzárendeljük
RészletesebbenVektorterek. Wettl Ferenc február 17. Wettl Ferenc Vektorterek február / 27
Vektorterek Wettl Ferenc 2015. február 17. Wettl Ferenc Vektorterek 2015. február 17. 1 / 27 Tartalom 1 Egyenletrendszerek 2 Algebrai struktúrák 3 Vektortér 4 Bázis, dimenzió 5 Valós mátrixok és egyenletrendszerek
RészletesebbenAnalízis I. beugró vizsgakérdések
Analízis I. beugró vizsgakérdések Programtervező Informatikus szak 2008-2009. 2. félév Készítette: Szabó Zoltán SZZNACI.ELTE zotyo@bolyaimk.hu v1.7 Forrás: Dr. Weisz Ferenc: Prog. Mat. 2006-2007 definíciók
RészletesebbenSZÁMELMÉLETI FELADATOK
SZÁMELMÉLETI FELADATOK 1. Az 1 = 1, 3 = 1 + 2, 6 = 1 + 2 + 3, 10 = 1 + 2 + 3 + 4 számokat a pitagoreusok háromszög számoknak nevezték, mert az összeadandóknak megfelelő számú pont szabályos háromszög alakban
RészletesebbenA 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny MATEMATIKA II. KATEGÓRIA (GIMNÁZIUM)
A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA II. KATEGÓRIA (GIMNÁZIUM) Javítási értékelési útmutató 1. Melyek azok a pozitív p és q prímek, amelyekre a számok mindegyike
RészletesebbenA 2015/2016. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny döntő forduló MATEMATIKA III. KATEGÓRIA (a speciális tanterv szerint haladó gimnazisták)
A 205/206. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny döntő forduló MATEMATIKA III. KATEGÓRIA a speciális tanterv szerint haladó gimnazisták Javítási-értékelési útmutató. feladat Az {,2,...,n} halmaz
Részletesebben1. A maradékos osztás
1. A maradékos osztás Egész számok osztása. 223 = 7 31 + 6. Visszaszorzunk 223 : 7 = 31 21 13 7 6 Állítás (számelméletből) Minden a, b Z esetén, ahol b 0, létezik olyan q, r Z, hogy a = bq + r és r < b.
RészletesebbenMatematika 7. osztály
ELTE Apáczai Csere János Gyakorló Gimnázium és Kollégium Hat évfolyamos képzés Matematika 7. osztály III. rész: Számelmélet Készítette: Balázs Ádám Budapest, 2018 2. Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék III.
RészletesebbenMás szavakkal formálisan:, ahol olyan egész szám, hogy. Más szavakkal formálisan:, ahol olyan egész szám, hogy.
Bevezetés 1. Definíció. Az alsó egészrész függvény minden valós számhoz egy egész számot rendel hozzá, éppen azt, amely a tőle nem nagyobb egészek közül a legnagyobb. Az alsó egészrész függvény jele:,
Részletesebben3. Lineáris differenciálegyenletek
3. Lineáris differenciálegyenletek A közönséges differenciálegyenletek két nagy csoportba oszthatók lineáris és nemlineáris egyenletek csoportjába. Ez a felbontás kicsit önkényesnek tűnhet, a megoldásra
RészletesebbenA valós számok halmaza 5. I. rész MATEMATIKAI ANALÍZIS
A valós számok halmaza 5 I rész MATEMATIKAI ANALÍZIS 6 A valós számok halmaza A valós számok halmaza 7 I A valós számok halmaza A valós számokra vonatkozó axiómák A matematika lépten-nyomon felhasználja
RészletesebbenFonyó Lajos: A végtelen leszállás módszerének alkalmazása. A végtelen leszállás módszerének alkalmazása a matematika különböző területein
A végtelen leszállás módszerének alkalmazása a matematika különböző területein A végtelen leszállás (infinite descent) egy indirekt bizonyítási módszer, ami azon alapul, hogy a természetes számok minden
RészletesebbenAnalízis I. Vizsgatételsor
Analízis I. Vizsgatételsor Programtervező Informatikus szak 2008-2009. 2. félév Készítette: Szabó Zoltán SZZNACI.ELTE zotyo@bolyaimk.hu v.0.6 RC 004 Forrás: Oláh Gábor: ANALÍZIS I.-II. VIZSGATÉTELSOR 2006-2007-/2
RészletesebbenMatematika A1a Analízis
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 Elemi függvények H607, EIC 2019-03-13 Wettl Ferenc
RészletesebbenA valós számok halmaza
VA 1 A valós számok halmaza VA 2 A valós számok halmazának axiómarendszere és alapvető tulajdonságai Definíció Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti a következő axiómarendszerben
Részletesebben2018, Diszkre t matematika. 10. elo ada s
Diszkre t matematika 10. elo ada s MA RTON Gyo ngyve r mgyongyi@ms.sapientia.ro Sapientia Egyetem, Matematika-Informatika Tansze k Marosva sa rhely, Roma nia 2018, o szi fe le v MA RTON Gyo ngyve r 2018,
RészletesebbenMatematika alapjai; Feladatok
Matematika alapjai; Feladatok 1. Hét 1. Tekintsük a,, \ műveleteket. Melyek lesznek a.) kommutativok b.) asszociativak c.) disztributívak-e a, műveletek? Melyik melyikre? 2. Fejezzük ki a műveletet a \
Részletesebben2016, Diszkrét matematika
Diszkrét matematika 8. előadás Sapientia Egyetem, Műszaki és Humántudományok Tanszék Marosvásárhely, Románia mgyongyi@ms.sapientia.ro 2016, őszi félév Miről volt szó az elmúlt előadáson? a Fibonacci számsorozat
RészletesebbenKomplex számok. Wettl Ferenc szeptember 14. Wettl Ferenc Komplex számok szeptember / 23
Komplex számok Wettl Ferenc 2014. szeptember 14. Wettl Ferenc Komplex számok 2014. szeptember 14. 1 / 23 Tartalom 1 Számok A számfogalom b vülése Egy kis történelem 2 Miért számolunk velük? A megoldóképlet
Részletesebben1. Polinomfüggvények. Állítás Ha f, g C[x] és b C, akkor ( f + g) (b) = f (b) + g (b) és ( f g) (b) = f (b)g (b).
1. Polinomfüggvények Behelyettesés polinomba. Definíció Legyen b komplex szám. Az f (x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 +... + a n x n polinom b helyen felvett helyettesítési értéke f (b) = a 0 + a 1 b + a 2 b
RészletesebbenA 2014/2015. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató
Oktatási Hivatal 04/0 tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MTEMTIK I KTEGÓRI (SZKKÖZÉPISKOL) Javítási-értékelési útmutató Határozza meg a tízes számrendszerbeli x = abba és y =
Részletesebben1.1. Alapfeladatok. hogy F 1 = 1, F 2 = 1 és általában F n+2 = F n+1 + F n (mert a jobboldali ág egy szinttel lennebb van, mint a baloldali).
1.1. Alapfeladatok 1.1.1. Megoldás. Jelöljük F n -el az n-ed rendű nagyapák számát. Az ábra alapján látható, hogy F 1 = 1, F = 1 és általában F n+ = F n+1 + F n mert a jobboldali ág egy szinttel lennebb
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 6. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
Részletesebben1. zárthelyi,
1. zárthelyi, 2009.10.20. 1. Írjuk fel a tér P = (0,2,4) és Q = (6, 2,2) pontjait összekötő szakasz felezőmerőleges síkjának egyenletét. 2. Tekintsük az x + 2y + 3z = 14, a 2x + 6y + 10z = 24 és a 4x+2y
RészletesebbenAlgoritmuselmélet gyakorlat (MMN111G)
Algoritmuselmélet gyakorlat (MMN111G) 2014. január 14. 1. Gyakorlat 1.1. Feladat. Adott K testre rendre K[x] és K(x) jelöli a K feletti polinomok és racionális törtfüggvények halmazát. Mutassuk meg, hogy
RészletesebbenSorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
Sorozatok I. DEFINÍCIÓ: (Számsorozat) A számsorozat olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza, értékkészlete a valós számok egy részhalmaza. Jelölés: (a n ), {a n }.
Részletesebben4. Számelmélet, számrendszerek
I. Elméleti összefoglaló A maradékos osztás tétele: 4. Számelmélet, számrendszerek Legyen a tetszőleges, b pedig nullától különböző egész szám. Ekkor léteznek olyan, egyértelműen meghatározott q és r egész
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
RészletesebbenDiszkrét matematika. Gyakorlati feladatsor. 1. Bevezetés: halmazok és függvények. Adjuk meg (és ábrázoljuk Venn-diagrammon) az alábbi halmazokat!
Diszkrét matematika Gyakorlati feladatsor. Bevezetés: halmazok és függvények.. Legyen A = {x N x páros}, B = {x N x > 4}, valamint C = {x N x < 6}. Adjuk meg (és ábrázoljuk Venn-diagrammon) az alábbi halmazokat!
RészletesebbenOsztályozóvizsga követelményei
Osztályozóvizsga követelményei Képzés típusa: Tantárgy: Nyolcosztályos gimnázium Matematika Évfolyam: 7 Emelt óraszámú csoport Emelt szintű csoport Vizsga típusa: Írásbeli Követelmények, témakörök: Gondolkodási
Részletesebben1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás)
Matematika A2c gyakorlat Vegyészmérnöki, Biomérnöki, Környezetmérnöki szakok, 2017/18 ősz 1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás) 1. Valós vektorterek-e a következő
RészletesebbenA SZÁMFOGALOM KIALAKÍTÁSA
A SZÁMFOGALOM KIALAKÍTÁSA TERMÉSZETES SZÁMOK ÉRTELMEZÉSE 1-5. OSZTÁLY Számok értelmezése 0-tól 10-ig: Véges halmazok számosságaként Mérőszámként Sorszámként Jelzőszámként A számok fogalmának kiterjesztése
RészletesebbenBevezetés az algebrába 1
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Bevezetés az algebrába 1 BMETE92AX23 Egész számok 2 H406 2016-09-13,15,18 Wettl Ferenc
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet
Számelmélet DEFINÍCIÓ: (Ellentett) Egy szám ellentettjén azt a számot értjük, amelyet a számhoz hozzáadva az 0 lesz. Egy szám ellentettje megegyezik a szám ( 1) szeresével. DEFINÍCIÓ: (Reciprok) Egy 0
RészletesebbenSzakács Lili Kata megoldása
1. feladat Igazoljuk, hogy minden pozitív egész számnak van olyan többszöröse, ami 0-tól 9-ig az összes számjegyet tartalmazza legalább egyszer! Andó Angelika megoldása Áll.: minden a Z + -nak van olyan
Részletesebben4. Sorozatok. 2. Igazoljuk minél rövidebben, hogy a következő egyenlőség helyes: 100 =
4. Sorozatok Megjegyzés: A szakirodalomban használt a sorozat tagjáról, máskor eleméről beszélni. Az alábbiakban mindkét kifejezést használtuk megtartva a feladatok eredeti fogalmazását. I. Feladatok.
RészletesebbenArany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2014/2015-ös tanév első (iskolai) forduló Haladók II. kategória
Bolyai János Matematikai Társulat Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 01/01-ös tanév első iskolai) forduló Haladók II. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. Adott az alábbi két egyenletrendszer:
RészletesebbenKövetkezik, hogy B-nek minden prímosztója 4k + 1 alakú, de akkor B maga is 4k + 1 alakú, s ez ellentmondás.
Prímszámok A (pozitív) prímszámok sorozata a következő: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,... 1. Tétel. Végtelen sok prímszám van. Első bizonyítás. (Euklidész) Tegyük fel, hogy állításunk nem igaz, tehát véges
Részletesebben1. Részcsoportok (1) C + R + Q + Z +. (2) C R Q. (3) Q nem részcsoportja C + -nak, mert más a művelet!
1. Részcsoportok A részcsoport fogalma. 2.2.15. Definíció Legyen G csoport. A H G részhalmaz részcsoport, ha maga is csoport G műveleteire nézve. Jele: H G. Az altér fogalmához hasonlít. Példák (1) C +
RészletesebbenHALMAZOK TULAJDONSÁGAI,
Halmazok definíciója, megadása HALMAZOK TULAJDONSÁGAI, 1. A következő definíciók közül melyek határoznak meg egyértelműen egy-egy halmazt? a) A: a csoport tanulói b) B: Magyarország városai ma c) C: Pilinszky
RészletesebbenMatematikai logika és halmazelmélet
Matematikai logika és halmazelmélet Wettl Ferenc előadása alapján 2015-09-07 Wettl Ferenc előadása alapján Matematikai logika és halmazelmélet 2015-09-07 1 / 21 Tartalom 1 Matematikai kijelentések szerkezete
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 3 III. MEGFELELTETÉSEk, RELÁCIÓk 1. BEVEZETÉS Emlékeztetünk arra, hogy az rendezett párok halmazát az és halmazok Descartes-féle szorzatának nevezzük. Más szóval az és halmazok
RészletesebbenOsztályozóvizsga-tematika 8. évfolyam Matematika
Osztályozóvizsga-tematika 8. évfolyam Matematika 1. félév 1. Gondolkozz és számolj! A természetes szám fogalma, műveleti tulajdonságok Helyiértékek rendszere a tízes számrendszerben: alakiérték, tényleges
RészletesebbenHALMAZOK. A racionális számok halmazát olyan számok alkotják, amelyek felírhatók b. jele:. A racionális számok halmazának végtelen sok eleme van.
HALMAZOK Tanulási cél Halmazok megadása, halmazműveletek megismerése és alkalmazása, halmazok ábrázolása Venn diagramon. Motivációs példa Egy fogyasztó 80 000 pénzegység jövedelmet fordít két termék, x
Részletesebben