Vektorterek. =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Vektorterek. =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott"

Átírás

1 Vektorterek =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott 40. Alteret alkotnak-e a valós R 5 vektortérben a megadott részhalmazok? Ha igen, akkor hány dimenziósak? (a) L = { (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) x 1 = x 5, x 2 = x 3 } (b) L = { (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) x 1 x 2 + x 3 x 4 + x 5 = 0 } (c) L = { (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) x i = 2k páros szám k Z, i = 1, 2,.., 5 } (d) L = { (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) x 1, x 5 Q } (e) L = { (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) x x x 2 3 = 0 } 41. Tekintsük a legfeljebb n-edfokú valós együtthatós polinomok P n valós vektorterét! Alteret alkotnak-e, s ha igen hány dimenziósat a megadott polinomhalmazok? (a) L = { p P n p(2006) = 0 } (b) L = { p P n p(t) = p( t) (t R) } (c) L = { p P n p(t) = a n t n + + a 1 t + a 0, (a i Q, i = 1,..., n) } (d) L = { p P n p(1) + p( 1) = 0 } 42. Igazoljuk, hogy az a, b, c vektorrendszer pontosan akkor lineárisan független, ha az a + b + c, a + b, a vektorrendszer lineárisan független. 43. Mutassuk meg, hogy az a 1, a 2,..., a k vektorrendszer pontosan akkor lineárisan független, ha a 1, a 2 a 1,..., a k a k 1 is az. 44. Lineárisan függetlenek-e a megadott vektorrendszerek? a) a P 3 vektortérben: p 1 (t) = (t 1) 2, p 2 (t) = t 2 1, p 3 (t) = 2t 2 + 2t 3. b) a C 3 komplex vektortérben: a = (1, 0, 1), b = (i, 1, 0) c = (i, 2, 1 + i). 45. Igazoljuk, hogy e 1, e 2,..., e n bázis R n -ben, s adjuk meg az x vektor koordinátáit az adott bázisra vonatkozóan: n = 3 e 1 = (1, 1, 1) e 2 = (1, 1, 2) e 3 = (1, 2, 3) x = (6, 9, 14) n = 4 e 1 = (1, 1, 0, 1) e 2 = (2, 1, 3, 2) e 3 = (1, 1, 0, 0) e 4 = (0, 1, 1, 1) x = (0, 0, 0, 1) 46. Határozzuk meg a következő vektorok által generált altér bázisát és dimenzióját! 1

2 a 1 = (2, 1, 3, 1) a 2 = ( 1, 1, 3, 1) a 3 = (4, 5, 3, 1) a 4 = (1, 5, 3, 1) b 1 = (1, 1, 1, 1, 0) b 2 = (1, 1, 1, 1, 1) b 3 = (2, 2, 0, 0, 1) b 4 = (1, 1, 5, 5, 2) b 5 = (1, 1, 1, 0, 0) 47. Az n-edrendű kvadratikus mátrixok vektorterében tekintsük a szimmetrikus, illetve a ferdén szimmetrikus mátrixok halmazát! S n = { A M n A T = A } A n = { A M n A T = A } Igazoljuk, hogy S n és A n altér M n -ben! Adjuk meg ezen alterek egy-egy bázisát és dimenzióját! 48. Tekintsük a komplex számhármasok C 3 halmazát a szokásos műveletekkel. Hány dimenziós vektorteret kapunk, ha a skalártest C, R illetve Q? 49. Mennyi az A mátrix rangja? Adja meg a sorvektorai által generált altér egy bázisát! a) A = b) A = Determinánsok 50. Igazoljuk, hogy a) b) x 11 x 12 x 21 x 22 = x 11x 22 x 12 x 21, x 11 x 12 x 13 x 21 x 22 x 23 x 31 x 32 x 33 = x 11x 22x 33 + x 12x 23x 31 + x 13x 21x 32 x 13 x 22 x 31 x 12 x 21 x 33 x 11 x 23 x Számítsa ki a következő determinánsok értékét: a) , b) c) i 1 i i 1 i, d) , ! 2

3 52. A kifejtési tétel alkalmazásával számítsa ki a következő determinánsok értékét: a) ; b) ! Határozzuk meg az A mátrix determinánsát, ha az A mátrix a ij elemét a következő eljárás szerint képezzük: a) a ij = min(i, j), b) a ij = max(i, j). 54. Írjuk fel x polinomjaként az alábbi determinánsokat: n a) 1 2 x x n ; b) 1 2 x n x x + 1 ; 55. Az x mely értékeinél lesz x x n x = Igazolja, hogy bármely páratlan rendű antiszimmetrikus mátrix determinánsa nulla! 57. Bizonyítsuk be a sorok (vagy az oszlopok) megfelelő összegzésével, hogy = Mutassuk meg kizárólag sorok (vagy oszlopok) egymásból való kivonásával, hogy =

4 Mátrixok 59. Számítsuk ki az AB, BA, AC, ADF, DF mátrixokat, ha A = ( ) ( 1 0, B = 2 0 ) ( 2 0, C = 0 3 ) ( 1 2 1, D = ), F = ( a b 60. Mikor invertálható az c d ) mátrix? Hogyan számíthatjuk ki az inverzét? 61. Egy mátrixot felső triangulárisnak mondunk, ha főátlója alatt mindenütt nulla áll. Mutassuk meg, hogy felső trianguláris mátrixok szorzata is felső trianguláris. 62. Határozzuk meg a következő mátrixok inverzét, ha az létezik! a) 0 1 1, b) c) e) g) , , f), h) d), ,., 63. Milyen λ értékek mellett invertálhatók az alábbi mátrixok: λ 12 a) 3 1 λ ; b) 2 3 λ ; c) λ 0 λ λ. 4

5 64. Legyen A = Mutassuk meg, hogy van olyan 3 3-as nemzéró X mátrix, melyre A X = O. 65. Mutassuk meg, hogy az A = B = mátrixok invertálhatók, és határozzuk mg az A X = B egyenlet összes megoldását! 66. Egy k n típusú A mátrix transzponáltján azt az n k típusú A T mátrixot értjük, melynek (i, j)-dik eleme az A mátrix (j, i)-dik elemével egyezik meg ha i = 1, 2,..., n, j = 1,..., k. Igazoljuk, hogy (A + B) T = A T + B T (AB) T = B T A T s ha A invertálható, akkor A T is, és (A T ) 1 = (A 1 ) T. 67. Az A kvadratikus mátrixot szimmetrikusnak mondjuk, ha A T = A, s antiszimmetrikusnak, ha A T = A. Mutassuk meg, hogy a) szimmetrikus mátrixok összege is szimmetrikus b) antiszimmetrikus mátrixok összege is antiszimmetrikus c) bármely kvadratikus mátrix előáll egy szimmetrikus és egy antiszimmetrikus mátrix összegeként. d) antiszimmetrikus mátrix főátlójában mindenütt nulla áll. e) ha A és B szimmetrikus, és AB = BA, akkor AB is szimmetrikus. Lineáris egyenletrendszerek 68. Oldjuk meg Cramer szabállyal a következő lineáris egyenletrendszereket: x 1 1 a) x 2 = x 3 2 b) x 1 x 2 x 3 x 4 =

6 69. Oldjuk meg a következő lineáris egyenletrendszereket! x 1 +x 2 +2x 3 +3x 4 = 1 3x 1 x 2 x 3 2x 4 = 4 2x 1 +3x 2 x 3 x 4 = 6 x 1 +2x 2 +3x 3 x 4 = 4 2x 1 +x 2 +x 3 = 2 x 1 +3x 2 +x 3 = 5 x 1 +x 2 +5x 3 = 7 2x 1 +3x 2 3x 3 = Adjuk meg a következő lineáris egyenletrendszerek összes megoldását! X = X = 71. Tekintsük a következő lineáris egyenletrendszert: 2x 1 +3x 2 x 3 = 2 3x 1 +λx 2 +4x 3 = 5 7x 1 +4x 2 +2x 3 = k a) Legyen k = 8. λ milyen értékei esetén nincs megoldása az egyenletrendszernek? b) Most legyen λ = 2. Milyen k esetén oldható meg az egyenletrendszer? Euklideszi terek 72. Számítsuk ki az alábbi vektorpárok összegét, belső szorzatát, normáját és szögét: a = (1, 1, 1, 1), b = (1, 1, 1 3) a = (5, 1, 3, 4), b = (10, 2, 6, 8) a = (0, 3, 0, 1), b = (0, 1, 0, 3) 73. Mekkora az a és b vektorok által bezárt szög, ha a = s + t, b = s t, ahol s és t egyenlő normájú. 74. Milyen szöget zárnak be az s és t egységvektorok, ha a = s + 2t és b = 5s 4t egymásra merőleges (ortogonális)? 75. Tudjuk, hogy a = 2, b = 5 és a és b szöge 2π/3. Az α együttható mely értéke esetén lesz ortogonális a c = αa + 17b és a d = 3a b vektorpár? 6

7 76. Mutassuk meg, hogy az olyan diagonális mátrix oszlopvektorai, amelynek a főátlójában álló elemek nullától különböznek, a megfelelő dimenziójú R n euklideszi vektortérnek ortogonális bázisát adják. 77. Mutassuk meg, hogy ha x vektor ortogonális a b 1, b 2,..., b k vektorok mindegyikére, akkor ortogonális az általuk kifeszített altérre is. 78. Számítsa ki az x = (1, 3, 5) vektornak az e = ( 1, 2, 3) vektor irányába eső merőleges vetületét! 79. Számítsa ki az x = (1, 3, 5) vektornak az L = L(( 1, 2, 3), (0, 1, 2)) generált altérre eső merőleges vetületét! 80. Gram-Schmidt eljárással ortogonalizáljuk a megadott bázist! a) a 1 = (1, 0, 1), a 2 = (2, 1, 0), a 3 = (0, 3, 1) b) a 1 = (0, 2, 1), a 2 = (1, 0, 1), a 3 = (1, 1, 1) c) a 1 = (0, 0, 1, 1), a 2 = (1, 1, 0, 0), a 3 = (1, 0, 1, 1), a 4 = (1, 0, 1, 0) 81. Határozzunk meg ortonormált bázist a következő vektorok által generált altérben! a) a 1 = (1, 2 1, 3), a 2 = (3, 0, 3 5), a 3 = (2, 1, 1 1), a 4 = (1, 1, 2, 4) b) a 1 = (2, 0, 0, 1), a 2 = (0, 3, 1, 0), a 3 = (1, 0, 10, 3), a 4 = ( 5, 0, 10, 0) 82. Adja meg a H ortogonális komplementer altér egy bázisát, ha H = L(( 1, 0, 2, 3), (0, 1, 2, 0), ( 1, 1, 4 3))! 83. Legyen H R 4 a 2x 1 + x 2 + 3x 3 x 4 = 0 3x 1 + 2x 2 2x 4 = 0 3x 1 + x 2 + 9x 3 x 4 = 0 lineáris egyenletrendszer megoldásaltere. Írjuk fel H egy bázisát. 84. Adjuk meg az x R 4 vektor H altérre eső merőleges vetületét, ha a) x = (4, 1, 3, 4); H = L{(1, 1, 1, 1), (1, 2, 2, 1), (1, 0, 0, 3)} b) x = (7, 4, 1, 2), H pedig a lineáris egyenletrendszer megoldásaltere. 2x 1 + x 2 + x 3 + 3x 4 = 0 3x 1 + 2x 2 + 2x 3 + x 4 = 0 x 1 + 2x 2 + 2x 3 9x 4 = Határozzunk meg R 4 -ben olyan ortogonális bázist, melynek egyik vektora b 1 = (1, 2, 1, 1). 86. Határozzunk meg ortonormált bázist a következő vektorok által generált altérben! a 1 = (1, 1, 2, 1), a 2 = ( 2, 1, 1, 1), a 3 = (0, 1, 3, 1), a 4 = ( 1, 0, 1, 0). 7

8 87. Bizonyítsuk be, hogy ha A és B két n-edrendű ortogonális mátrix, akkor az A B és B A szorzatmátrixok is ortogonálisak! 88. Bizonyítsuk be, hogy ha egy kvadratikus n-edrendű A mátrix esetén A T A olyan diagonális mátrix, melynek főátlóján csupa nullától különböző szám áll, akkor A oszlopvektorai (illetve sorvektorai) bázist, sőt ortogonális bázist alkotnak R n -ben! 89. Legyen a = (1, 2, 3, 0) és b = (1, 1, 2, 1). Állapítsuk meg, hogy milyen λ R szám esetén lesz minimális az a λb vektor normája! 90. Vannak-e olyan nullától különböző α, β, γ valós számok, melyekre a b 1 = (α, β, γ, 0), b 2 = (0, α, β, γ), b 3 = (γ, 0, α, β), b 4 = (β, γ, 0, α) vektorok ortogonális vektorrendszert alkotnak? 91. Az a 1, a 2,..., a k E vektorrendszer Gram determinánsának nevezik a (a 1, a 1 ),... (a 1, a k ) G(a 1, a 2,..., a k ) =.. (a k, a 1 ),... (a k, a k ) k-adrendű determinánst. Mutassuk meg, hogy G(a 1, a 2,..., a k ) 0, s G(a 1, a 2,..., a k ) = 0 pontosan akkor teljesül, ha a 1, a 2,..., a k lineárisan függő. Vezessük le ebből a Schwarz egyenlőtlenséget. Lineáris transzformációk 92. Tekintsük R 2 -ben az origóra való tükrözést. Lineáris transzformáció-e? valamely bázisra vonatkozó mátrixát! Írjuk fel 93. Írjuk fel az R2 -beli y tengelyre vonatkozó tükrözésnek és az origó körüli α szögű elforgatásnak a természetes bázisra vonatkozó mátrixát! Regulárisak-e ezek a transzformációk? 94. Legyen a ϕ: R 3 R 3 lineáris transzformáció mátrixa (a természetes bázisra vonatkozóan) A = a) Határozzuk meg az x = (1, 1, 2) vektor képét! b) Határozzuk meg azt az x vektort, melynek képvektora az y = ( 2, 5, 5) vektor! 95. R 3 -ban tekintsük az y = x síkra vonatkozó tükrözést! Írjuk fel a transzformáció mátrixát a természetes bázisban! 8

9 96. Igazoljuk, hogy a nullvektort minden lineáris leképezés a nullvektorba képezi le. 97. Mutassuk meg, hogy bármely lineáris leképezés lineárisan függő vektorrendszert lineárisan függőbe képez le. 98. R 3 -ban tekintsük az [x, y] síkra történő merőleges vetítést. Írjuk fel először a természetes bázisra, majd a b 1 = (1, 1, 1), b 2 = (0, 1, 1), b 3 = (0, 0, 1) bázisra vonatkozó mátrixát! Reguláris-e ez a transzformáció? 99. A ϕ: R 3 R 3 lineáris transzformáció az a 1, a 2, a 3 lineárisan független vektorokat a b 1, b 2, b 3 vektorokba viszi át. Írjuk fel ϕ-nek a természetes bázisra vonatkozó mátrixát, ha a 1 = (5, 3, 1), a 2 = (1, 3, 2), a 3 = (1, 2, 1) b 1 = ( 2, 1, 0), b 2 = ( 1, 3, 0), b 3 = ( 2, 3, 0) Legyen ϕ: R 3 R 3 az a lineáris transzformáció, mely a természetes bázis vektorait a ϕ(e 1 ) = (1, 2, 1), ϕ(e 2 ) = (0, 1, 1), ϕ(e 3 ) = (1, 2, 3) vektorokba képezi le. Tekintsük R 3 -nak a Írjuk fel ϕ-nek a természetes bázisra vonatkozó mátrixát! b 1 = (1, 0, 1), b 2 = (1, 1, 0), b 3 = (1, 1, 1) bázisát. Adjuk a lineáris transzformáció mátrixát a b 1, b 2, b 3 alkotta bázisban, s határozzuk meg az x vektor képvektorát, ha x koordinátái a b 1, b 2, b 3 bázisban (4, 1, 3) Az R 3 -beli lineáris transzformációk természetes bázisra vonatkozó mátrixai a következők: Határozzuk meg a transzformációk nullterét, defektusát és rangját! 102. R 3 minden vektorát forgassuk el a z tengely körül 45 -kal. Határozzuk meg e transzformáció mátrixát, továbbá a (2, 4, 3) vektor képét. Mely vektor transzformálódik a ( 1, 4, 0) vektorba? Határozzuk meg az 1 sajátértékhez tartozó sajátvektorokat! 103. Határozzuk meg a következő lineáris transzformációk karakterisztikus polinomját, sajátértékeit, sajátaltereit. Vizsgáljuk meg a diagonalizálhatóságot, s annak esetén adjunk meg sajátvektorok alkotta bázist. a) ϕ: R 3 R 3, (α, β, γ) (α 2γ, 0, 2α + 4γ) b) ϕ: R 3 R 3, (α, β, γ) (2α + 2β, β γ, 2β + 4γ) 9

10 104. Vizsgáljuk meg, hogy melyek diagonalizálhatók az alábbi mátrixok közül R ill. C felett. A diagonalizálhatók esetében határozzuk meg azt az S mátrixot, amellyel S 1 AS diagonális mátrix. A = A = A = A = 105. Legyen adott az R 3 R 3 transzformáció mátrixával: A = Mutassuk ki, hogy a képvektorok tere kétdimenziós! Eleme-e a képvektorok terének az y = (1, 4, 6) vektor? 106. Egy ϕ: R 3 R 3 lineáris transzformáció esetén a természetes bázis vektorai a következő vektorokba képződnek: ϕ(e 1 ) = (1, 2, 3), ϕ(e 2 ) = (3, 1, 2), ϕ(e 3 ) = (2, 1, 1). Mutassuk meg, hogy ez a transzformáció nem reguláris. Igazoljuk, hogy az x = (1, 1, 1) és y = (2, 0, 2) vektorok képei azonosak. Írjuk fel a a transzformáció mátrixát a b 1 = (0, 2, 1), b 2 = (1, 0, 1), b 3 = (0, 3, 0) vektorok alkotta bázisban! 107. Határozzuk meg az alábbi A mátrixszal adott lineáris transzformáció sajátértékeit és sajátvektorait! a) A = b) A = A 2 2-es mátrixok vektorterében tekintsük a ( ) ( ) ( ,, ) ( 0 0, 0 1 természetes bázist. Adjuk meg e bázisra vonatkozó mátrixát a következő lineáris operátoroknak: a) transzponálás operátora, b) ϕ AB : M 2 2 M 2 2, ϕ AB (X) = AXB, ahol A, B M 2 2 rögzített mátrixok, Hogyan ( ) változnak ( meg) ezen operátorok mátrixai, ha a bázisban a t és -t felcseréljük? )

11 109. Igazoljuk, hogy reguláris transzformáció a lineárisan független vektorrendszereket lineárisan függetlenbe képezi Mutasssuk meg, hogy ha az A és B mátrixok hasonlók, akkor a) A 2 és B 2 is hasonlók, b) A k és B k is hasonlók minden k N-re, c) f(a) és f(b) hasonlók, ahol f(t) tetszőleges polinom Bizonyítsuk be, hogy különböző sajátértékekhez tartozó sajátvektorok lineárisan függetlenek! 112. a) Bizonyítsuk be, hogy páratlan dimenziós valós vektortéren értelmezett lineáris operátornak mindig van valós sajátértéke. b) Páros dimenziójú valós vektortér esetén, ha egy lineáris operátor mátrixának determinánsa negatív, akkor létezik mind pozitív, mind negatív sajátértéke. c) Mutassuk meg, hogy minden negatív determinánsú 2 2-es mátrix hasonló egy diagonális mátrixhoz. Euklideszi terek transzformációi 113. Tekintsük R 3 -ban az [x, y] síkra vonatkozó tükrözést, továbbá a merőleges vetítést. Szimmetrikus, illetve ortogonális transzformációk-e? 114. Mutassuk meg, hogy ha egy ϕ transzformáció λ sajátértékéhez tartozó sajátvektor egységvektor, akkor (ϕ(x), x) = λ Bizonyítsuk be, hogy szimmetrikus transzformáció különböző sajátértékeihez tartozó sajátvektorok ortogonálisak Tekintsük R 3 -ban az y = x síkra vonatkozó tükrözést. Írjuk fel e transzformáció mátrixát! Szimmetrikus, illetve ortogonális-e ez a transzformáció? 117. Tekintsük R 3 -ban a z tengelyre vonatkozó tükrözést. Írjuk fel e transzformáció mátrixát! Szimmetrikus, illetve ortogonális-e ez a transzformáció? Határozzuk meg az x = (1, 1, 1) vektor képét! 118. Határozzuk meg R 3 -ban azt a síkot, melyre vonatkozó tükrözés mátrixa a) A = b) A =

12 119. Határozzunk meg a következő mátrixszokkal adott szimmetrikus transzformációkhoz sajátvektorokból álló ortonormált bázist! Más szavakkal: Határozzunk meg olyan S ortogonális mátrixot, melyre S T AS diagonális, ha A = A = ( ) A = A = ( Határozzuk meg az alábbi A mátrixszal adott lineáris transzformáció sajátértékeit és azon sajátvektorait, amelyek egységnyi hosszúak! a) A = b) A = Kvadratikus forma-e R 3 -an a) ϕ: R 3 R ϕ(x 1, x 2, x 3 ) = x x x 2 3 b) ϕ: R 3 R ϕ(x 1, x 2, x 3 ) = x 1 + x x 3 3 c) ϕ: R 3 R ϕ(x 1, x 2, x 3 ) = x 2 1 3x x 2 3 d) ϕ: R 3 R ϕ(x 1, x 2, x 3 ) = (x 1 + x 2 + x 3 )(x 1 + 3x 2 + 5x 3 ) Írjuk fel e kvadratikus formák mátrixát! 122. Határozzunk meg a következő kvadratikus formák kanonikus alakját és adjuk meg a hozzájuk tartozó kanonikus bázist is! a) 2x x x 1 x 2 b) 9x x x 1 x 2 ) c) x 2 1 2x x x 1 x 2 2x 2 x 3 d) x x x x 1 x 2 + 8x 1 x 3 e) x x x x 1 x 2 + 6x 2 x 3 f) 5x 1 x 2 + 2x 2 x 3 + 6x 1 x 3 g) x x x x 1 x 2 + 4x 2 x 3 h) x 1 x 2 + x 2 x 3 + x 1 x Igazoljuk, hogy az A és A T által meghatározott R n -beli transzformációk sajátértékei azonosak Mutassuk meg, hogy a Q(x) = ax bx 1 x 2 + cx 2 2 kvadratikus forma pontosan akkor pozitív definit, ha a > 0 és b 2 4ac < Bizonyítsuk be, hogy egy A szimmetrikus mátrixszal meghatározott kvadratikus forma pontosan akkor pozitív definit, ha létezik olyan reguláris P mátrix, hogy A = P T P. 12