9. AZ R k VEKTORTÉR. 9.1 Az R k vektortér fogalma

Átírás

1 9 AZ R k VEKTORTÉR 91 Az R k vektortér fogalma Definíció A k-dimenziós vektortér nek nevezzük és R k val jelöljük a valós számokból alkotott k-tagú x = (x 1, x 2,, x k ) sorozatok halmazát, azaz 1 R k R 2 R= k := R { x = (x1, x 2,, x k ) : x i R (i = 1, 2,, k) } Az x = (x 1, x 2,, x k ) sorozatokat a tér pontjai nak mondjuk, az x 1, x 2,, x k számok az x = (x 1, x 2,, x k ) pont koordinátái R 1 -et természetes módon azonosíthatjuk R-rel R 2 = R R-et egy koordinátarendszer bevezetése után egy síkra lehet bijektíven leképezni, ezért R 2 -et euklideszi síknak nevezhetjük Hasonlóan, koordinátarendszer réven azonosíthatjuk R 3 -at a közönséges térrel R k pontjait vektoroként is felfoghatjuk, úgy, hogy a koordinátarendszer felvétele után az egyes pontoknak a kezd pontból hozzájuk vezet helyzetvektorukat feleltetjük meg Ezek szabad vektorok, ömagukkal párhuzamosan eltolhatók M veletek R k -ban: Definíció Az x = (x 1, x 2,, x k ), y = (y 1, y 2,, y k ) R k vektorok összegét és az x R k vektor λ R skalárral való szorzatát x + y : = (x 1 + y 1, x 2 + y 2,, x k + y k ) λx : = (λx 1, λx 2,, λx k ) -val deniáljuk Könny ellen rizni, hogy e m veletek teljesítik az alábbi tulajdonságokat: Bármely x, y, z R k mellett, a 0 = (0, 0,, 0) zérusvektorral és x = ( 1)x vektorral teljesül, hogy x + (y + z) = (x + y) + z, x + y = y + x, x + 0 = x, x + ( x) = 0 (az összeadás el bbi 4 tulajdonságát Abel-csoport axiómáknak mondjuk ) Bármely x, y R k, λ, µ, 1 R esetén, λ(x + y) = λx + λy, (λ + µ)x = λx + µx, (λµ)x = λ(µx) 1x = x (ezek a tulajdonságok a skalárral való szorzás axiómái ) Az összeadás és skalárral való szorzás axiómái együttesen alkotják a lineáris tér, vagy vektortér axiómák at 92 Vektorok lineáris függetlensége, bázis Definíció Az a 1, a 2,, a n R k vektorok λ 1, λ 2,, λ n R együtthatókkal képezett lineáris kombinációján a λ 1 a 1 + λ 2 a λ n a n vektort értjük Definíció Az a 1,, a n R k vektorrendszert lineárisan függetlennek nevezzük, ha λ 1 a 1 + λ 2 a λ n a n = 0 1

2 2 csak λ 1 = λ 2 = = λ n = 0 esetén áll fenn Egy vektorrendszert lineárisan függ nek nevezünk, ha nem lineárisan független Tegyük fel, hogy a 1,, a n lineárisan függ, akkor van olyan λ 1, λ 2,, λ n R együtthatórendszer, hogy λ 1 a 1 + λ 2 a λ n a n = 0, és itt nem minden λ i együttható zérus Így van olyan l {1, 2,, n} index, hogy λ l 0, osztva λ l -lel kapjuk, hogy a l = λ 1 λ l a 1 λ l 1 λ l a l 1 λ l+1 λ l a l+1 λ n λ l a n, azaz az a l vektor kifejezhet a többi vektor lineáris kombinációjaként Egyetlen vektorból álló rendszer akkor és csakis akkor lineárisan függ, ha ez a vektor éppen a zérusvektor Két vektorból álló rendszer lineárisan függ, ha vagy az egyik vektor zérusvektor, vagy egyik vektor sem zérusvektor, és az egyik vektor a másik skalárszorosa Amint láttuk a 0 vektor (mint egyetlen vektorból álló rendszer) lineárisan függ Ha egy vektorrendszer tartalmazza a zérusvektort akkor nyilvánvalóan lineárisan függ A deníció alapján könnyen belátható, hogy lineárisan független vektorrendszer bármely részrendszere is lineárisan független, és lineárisan függ vektorrendszert további vektorokkal b vítve, a b vített rendszer is lineárisan függ Állítás Az a 1,, a n R k vektorrendszer akkor és csakis akkor lineárisan független, ha (1) b = λ 1 a λ n a n, b = λ 1a λ na n csak λ 1 = λ 1,, λ n = λ n esetén teljesül Bizonyítás Ha (1) teljesül akkor (λ 1 λ 1)a (λ n λ n)a n = 0 amib l az a 1,, a n lineáris függetlensége miatt λ 1 λ 1 = = λ n λ n = 0, így λ 1 = λ 1,, λ n = λ n Fordítva, b = 0-t véve (1)-b l 0 = λ 1 a λ n a n = 0a a n miatt λ 1 = 0,, λ n = 0, így a 1,, a n lineárisan független Megjegyzés Az R k vektortér k dimenziós a következ értelemben: van R k -ban k darab lineárisan független vektor, de bárhogyan is választunk k +1 darab vektort R k -ból, azok lineárisan függ k (Utóbbi állítás igazolását kés bb végezzük el) Definíció Az R k (k dimenziós) vektortér bármely k számú lineárisan független b 1,, b k vektorát a tér bázisának nevezzük Állítás Ha b 1,, b k a (k dimenziós) R k vektortér egy bázisa, akkor a tér minden b vektora egyértelm en b = β 1 b 1 + β 2 b β k b k alakba írható Az itt szerepl β 1, β 2,, β k skalárokat a b vektor b 1,, b k bázisára vonatkozó koordinátáinak nevezzük Bizonyítás A b, b 1,, b k vektorrendszer k + 1 elem, így lineárisan függ, azaz λb + λ 1 b λ k b k = 0 és itt nem minden λ, λ 1,, λ k együttható zérus λ 0 mert ellenkez esetben ha λ = 0 volna, akkor a b 1,, b k rendszer lineáris függetlensége miatt λ 1 = = λ k = 0 volna, ami ellentmondás λ-lel való osztás és átrendezés után b = λ 1 λ b 1 λ k λ b k, amib l β i = λ i λ (i = 1,, k) jelöléssel b kívánt el állítását kapjuk Az el állítás egyértelm sége a b 1,, b k rendszer lineáris függetlenségéb l következik

3 3 Példa Az e 1 = (1, 0,, 0), e 2 = (0, 1,, 0), e k = (0, 0,, 1) R k vektorok az R k tér egy bázisát alkotják, melyet természetes bázisnak nevezünk Valóban e vektorok lineárisan függetlenek, mert ha λ 1 e 1 + λ 2 e λ k e k = 0 akkor (λ 1, λ 2,, λ k ) = 0 = (0, 0,, 0) így λ 1 = λ 2 = = λ k = 0 Ha b = (b 1, b 2,, b k ) R k, akkor b = (b 1, b 2,, b k ) = b 1 e 1 + b 2 e b k e k, így b koordinátái azonosak b-nek a természetes bázisra vonatkozó koordinátáival 93 Altér és rang Definíció Az R k vektortér alterén R k olyan (nemüres) L részhalmazát értjük, mely zárt az összeadásra és a skalárral való szorzásra nézve, azaz a, b L, λ R esetén a + b L, λa L teljesül Az egész R k és a {0} alterek, melyeket triviális altereknek nevezünk Példa nemtriviális altérre R k -ban az összes b = (λ, 2λ, 0,, 0) (ahol λ R tetsz leges) alakú vektorok alteret alkotnak Tetsz leges a 1, a 2,, a n vektorrendszer általában nem alkot alteret Van viszont olyan altér mely tartalmazza ezt a vektorrendszert, pl az egész vektortér Definíció Egy a 1, a 2,, a n vektorrendszert tartalmazó legsz kebb alteret a vektorrendszer által generált (vagy kifeszített) altér nek nevezzük, és L(a 1, a 2,, a n )-nel jelöljük Mivel alterek metszete is altér, így L(a 1, a 2,, a n ) éppen az a 1, a 2,, a n vektorrendszert tartalmazó összes alterek metszete Könny bebizonyítani, hogy ez a metszet (vagy a generált altér) azonos a vektorrendszer vektoraiból képezhet összes lineáris kombinációk halmazával, azaz L(a 1, a 2,, a n ) = { α 1 a α n a n : α 1,, α n R } Definíció Az L(a 1, a 2,, a n ) generált altér dimenzióját az a 1, a 2,, a n vektorrendszer rangjának nevezzük, és rang(a 1, a 2,, a n )-nel jelöljük (Emlékeztetünk arra, hogy L := L(a 1, a 2,, a n ) dimenziója r ha van L-ben r darab lineárisan független vektor, de akárhogyan választunk r + 1 darab vektort L-b l, azok lineárisan függ ek) Állítás Az a 1, a 2,, a n vektorrendszer rangja megegyezik e rendszerb l kiválasztható maximális számú, lineárisan független vektorok számával Bizonyítás Ha pl a 1, a 2,, a r maximális lineárisan független részrendszer, akkor bázis a generált altérben Ugyanis egy tetsz leges a j (n j > r) vektort az a 1, a 2,, a r rendszerhez hozzávéve, lineárisan függ rendszert kapunk, így minden ilyen a j (n j > r) vektor az a 1, a 2,, a r vektorok lineáris kombinációja, ezért L(a 1, a 2,, a n ) is ezen vektorok lineáris kombinációja Ebb l következik, hogy rang(a 1, a 2,, a n ) = r Állítás Az a 1, a 2,, a n vektorrendszer által generált altér nem változik meg, (és így a vektorrendszer rangja sem változik)ha (1) megváltoztatjuk az vektorok sorrendjét, (2) valamelyik vektort egy λ 0 skalárral megszorozzuk, (3) valamely vektorához egy másik vektorát hozzáadjuk

4 4 Bizonyítás Azonnal látható, hogy a felsorolt operációk a vektorrendszer vektoraiból képezett összes lineáris kombinációinak halmazát változatlanul hagyják Ez az els két esetben nyilvánvaló, a harmadik esetben, ha pl a 1 helyett a 1 + a 2 -t vesszük, akkor λ 1 (a 1 + a 2 ) + λ 2 a λ n a n = λ 1 a 1 + (λ 1 + λ 2 )a λ n a n miatt igaz állításunk 10 DETERMINÁNSOK 101 Mátrix fogalma, m veletek mátrixokkal Bevezetés A közgazdaságtanban gyakoriak az olyan rendszerek melyek jellemzéséhez több adat szükséges Például egy k vállalatból álló csoport minden vállalatának eredményességét n adattal jellemezzük (ilyen adatok lehetnek: az i-edik vállalat dolgozóinak létszáma, összbértömege, éves forgalma, éves nyeresége, épületeinek, termelési eszközeinek érték, ezek éves amortizációja, stb) Itt k n szám jellemzi a vállalatcsoport eredményességét, és az adatok jelentésére való tekintettel ezeket egy téglalap alakú elrendezésben írjuk fel, és szokásos módon zárójelbe tesszük, azaz a 11 a 12 a 1j a 1n a 21 a 22 a 2j a 2n a i1 a i2 a ij a in a k1 a k2 a kj a kn Az i -edik vállalatok jellemz adatok: a táblázat i sorában szerepelnek, míg a j oszlop a i1, a i2,, a ij,, a in a 1j, a 2j,, a ij,, a kj számai az egyes vállalatok j-edik jellemz adatát adják Definíció Ha k n darab (valós) számot, az a ij (i = 1, 2,, k; j = 1, 2,, n) számokat, k sorban és n oszlopban helyezünk el (és zárójelbe teszünk) az alábbi módon: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a k1 a k2 a kn akkor egy k n típusú (valós) mátrixot deniáltunk jelöljük Az összes k n típusú mátrixok halmazát R k n -nel A típus megadásánál mindig a sorok száma az els adat! Az el bbi mátrixot A-val jelölve, mondhatjuk, hogy a ij az A mátrix i-edik sorának j-edik eleme, vagy az A mátrix (i, j)-edik eleme Gyakran használjuk az A = (a ij ) tömör jelölést, ha ez nem okoz félreértést Az s i = (a i1, a i2, a in ) (i = 1, 2,, k)

5 5 vektort az A mátrix i-edik sorvektorának nevezzük, (e vektor koordinátái állnak a mátrix i-edik sorában), az a 1j a 2j o j = a kj (j = 1, 2,, n) vektort az A mátrix j-edik oszlopvektorának nevezzük (e vektor koordinátái állnak a mátrix j-edik oszlopában) Speciális mátrixok: (1) Négyzetes vagy kvadratikus n-edrend mátrix, ha n sora és n oszlopa van (azaz a sorok és oszlopok száma egyenl : k = n Egy n-edrend kvadratikus mátrix diagonálisa (f átlója) az a 11, a 22,, a nn elemekb l áll, mellékátlója pedig az a n1, a n 1 2,, a 1n elemekb l áll (2) n-edrend egységmátrix olyan n-edrend kvadratikus mátrix, melynek f átlójában csupa 1 áll, azon kívül pedig csupa 0 áll Jelölése E (3) k n típusú zérusmátrix olyan k n típusú mátrix, melynek minden eleme 0 Jelölése O (4) Oszlopmátrix (ill sormátrix) olyan mátrix melynek csak egyetlen oszlopa (ill sora) van Definíció Az A = (a ij ) R k n mátrix transzponáltján az A = (a ji ) R n k mátrixot, értjük (a mátrix sorait és oszlopait megcserélve kapjuk a mátrix transzponáltját) Definíció Legyenek A = (a ij ), B = (b ij ) R k n azonos típusú mátrixok, és legyen λ R, akkor az A + B és λa mátrixokat A + B := (a ij + b ij ), λa := (λa ij ) -vel deniáljuk Tétel [az összeadás, számmal való szorzás és transzponálás tulajdonságai] Az összes k n típusú valós mátrixok R k n halmaza k n dimenziós valós vektortér a fenti m veletekre nézve Továbbá bármely A, B R k n, λ R mellett (A + B) = A + B, (λa) = λa Bizonyítás A megfelel tulajdonságok ellen rzése Két mátrix szorzata csak akkor értelmezett, ha az els tényez (mátrixnak) annyi oszlopa van, mint ahány sora van a második tényez (mátrixnak) Definíció Az A = (a ij ) R k n és B = (b ij ) R n m mátrixok C = AB szorzatán azt a C = (c ij ) R k m mátrixot értjük melyre c ij := a is b sj = a i1 b 1j + a i2 b 2j + + a in b nj (i = 1, 2,, k; j = 1, 2,, m) s=1 Ezt a szorzást röviden "sor-oszlop kombinációnak " mondjuk, mert a szorzatmátrix c ij eleme, éppen az A mátrix (els tényez ) i-edik sorvektorának és a B mátrix (második tényez ) j-edik oszlopvektorának a bels szorzata (mindkét vektor n dimenziós) Tétel [mátrixok szorzásának tulajdonságai] Mátrixok szorzására teljesülnek az A(BC) = (AB)C (A + B)C = AC + BC A(B + C) = AB + AC (AB) = B A azonosságok, ahol A, B, C tetsz leges mátrixok, melyekre a felírt m veleteknek van értelme Bizonyítás A megfelel szorzatmátrixok megfelel elemeinek kiszámolása

6 6 Megjegyezzük, hogy a mátrixszorzás nem kommutatív, azaz általában AB BA, továbbá kvadratikus mátrixokra AE = EA = A, AO = OA = O Definíció Egy A kvadratikus mátrixot invertálhatónak nevezünk, ha van olyan B (kvadratikus) mátrix melyre AB = BA = E teljesül Ezt a B mátrixot A inverzének nevezzük és A 1 -gyel jelöljük Ha A invertálható, akkor csak egy inverze van Ugyanis, ha B is A inverze volna, akkor AB = B A = E B = BE = B(AB ) = (BA)B = EB = B azaz B = B 102 Determináns fogalma, tulajdonágai Definíció Az N n = {1, 2,, n} számok egy elrendezését (valamely sorrendben való felírását) ezen elemek egy permutációjának nevezzük Két permutációt akkor tekintünk különböz nek, ha azok legalább egy elem elhelyezésében különböznek N n összes permutációinak halmazát S n -nel jelöljük Példa N 3 összes permutációinak S 3 halmaza az permutációkból áll (1, 2, 3); (1, 3, 2); (2, 1, 3); (2, 3, 1); (3, 1, 2); (3, 2, 1) Indukcióval könnyen igazolható, hogy S n -nek n! eleme van Definíció Legyen (a 1, a 2,, a i,, a j,, a n ) az 1, 2, 3,, n elemek egy permutációja Azt mondjuk, hogy e permutációban az a i és a j pár inverzióban áll, ha i < j és a i > a j Az inverzióban álló párok száma az (n, n 1,, 2, 1) permutációban lesz maximális, és akkor a számuk n(n 1) (n 1) + (n 2) = 2 Aszerint, hogy az inverzióban álló párok száma páros vagy páratlan, szokás páros vagy páratlan permutáció ról beszélni Igazolható, hogy S n -ben ugyanannyi a páros és páratlan permutációk száma elemet felcserélünk, akkor permutáció párossága megváltozik Ha egy permutációban két Definíció Legyen A = (a ij ) egy n-edrend kvadratikus mátrix Az A mátrix determinánsán az A := α S n ( 1) I(α) a 1α1 a 2α2 a nαn számot értjük, ahol az összegezés kiterjed az 1, 2,, n számok összes α = (α 1, α 2,, α n ) permutációjára, és I(α) az α permutáció inverzióinak számát (az inverzióban álló párok számát) jelöli Ha a mátrix elemeivel van megadva, akkor determinánsánál nem tesszük ki a mátrixot jelöl zárójelet, hanem az elemeket csupán két függ leges vonal közé tesszük Ha egy n-edrend A mátrix az o 1, o 2,, o n oszlopvektoraival van adva, akkor determinánsát szokásos -nel is jelölni A = o 1, o 2,, o n Megjegyzés Egy négyzetes mátrix determinánsát a következ képpen számoljuk ki Kiválasztunk a mátrix minden sorából egy-egy elemet úgy, hogy ezek az elemek mind különböz oszlopban legyenek Ezeket az elemeket összeszorozzuk Ha a kapott elemeket úgy rakjuk sorba, hogy hogy a sorokat jelöl indexek természetes sorrendben álljanak, akkor az oszlopindexek az 1, 2,, n számok egy α = (α 1, α 2,, α n ) permutációjával adhatók meg Ha ez a permutáció páros akkor az el bbi szorzatot változatlanul hagyjuk, ha páratlan, akkor még

7 7 1-gyel megszorozzuk Az ilyen módon kapott szorzatokat az oszlopindexek összes permutációjára elkészítjük, majd a kapott n! darab szorzatot összeadjuk A determináns fenti deníciója teljesen elemi, de igen bonyolult, ami gátolja az egyszer kiszámíthatóságot Másod és harmadrend determinánsok kiszámítására vannak egyszer (és könnyen megjegyezhet képletek: a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11a 22 a 12 a 21 a f átlóban lév elemek szorzatából kivonjuk a mellékátlóban lév elemek szorzatát a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 = a 11a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 a 13 a 22 a 31 a 11 a 23 a 32 a 12 a 21 a 33 Ez a Sarrus szabály, melyet úgy lehet megjegyezni, hogy a determináns els két oszlopát a determináns jobboldal hoz hozzáírva képzeljük, majd a mellékátlóban és vele párhuzamosan t le jobbra lév két másik átlóban lév elemeket összeszorozzuk, e szorzatokat összeadjuk, majd a mellékátlóban és vele párhuzamosan t le jobbra lév két másik átló elemeit összeszorozzuk, e szorzatokat kivonjuk az el z összegb l Tétel [a determináns alaptulajdonságai] (1) Ha egy determináns sorait és oszlopait felcseréljük, akkor a determináns értéke nem változik (vagy egy négyzetes mátrixnak és transzponáltjának determinánsa megegyezik) (2) Ha egy determináns valamely sorának minden eleme tartalmaz egy c faktort, akkor ez kiemelhet a determináns jele elé (3) Ha egy determináns két sorát felcseréljük akkor a determináns el jelet vált (4) Ha egy determináns két sora megegyezik, akkor a determináns értéke nulla (5) A determináns értéke nem változik, ha egy sorának elemeihez egy másik sor megfelel elemeinek c- szeresét hozzáadjuk (6) Ha egy determináns valamely sorának minden eleme két tag összegére bomlik, akkor a determináns felirható két olyan determináns összegeként melyeknek megfelel sorukban éppen az egyes összeadandók állnak (7) Ha egy determináns egy sorában csupa 0 áll, akkor a determináns értéke nulla (8) Ha egy determináns f átlójában minden elem 1 és a determináns többi eleme 0, akkor a determináns értéke 1 Bizonyítás (1) Azt kell megmutatni, hogy α S n ( 1) I(α) a 1α1 a 2α2 a nαn = β S n ( 1) I(β) a β1 1a β2 2 a βn n Ez azért igaz, mert az els összeg minden tagjához hozzárendelhet a második összegnek pontosan egy tagja, és az el jelek is egyeznek (2) Ha az i-edik sort szorozzuk c-vel akkor ( 1) I(α) a 1α1 (ca iαi ) a nαn = c ( 1) I(α) a 1α1 a iαi a nαn α S n α S n így állításunk igaz (3) Ha pl az i-edik és j > i-edik sort cseréljük fel, akkor azt kell belátni, hogy ( 1) I(α) a 1α1 a iαi a jαj a nαn = ( 1) I(α a 1α1 a jαj a iαi a nαn α S n ahol α = (α 1,, α j,, α i,, α n ) Mindkét összegben a szorzatok tényez i megegyeznek csupán az elöjelek különböznek, mivel az α permutációt úgy kapjuk α-ból, hogy az i-edik és j-edik elemeket megcseréljük Ezért I(α ) = I(α)+páratlan szám, igazolva állításunkat (4) A két egyez sor cseréje nem változtatja meg a determinánst, így az el z állítás miatt A = A amib l A = 0 α S n

8 8 (5) Ha az i-edik sorhoz a j-edik sor c-szeresét adjuk (i < j), akkor az igy kapott determináns értéke ( 1) I(α) a 1α1 (a iαi + ca jαj ) a jαj a nαn = ( 1) I(α) a 1α1 a iαi a jαj a nαn α S n +c α S n ( 1) I(α) a 1α1 a jαj a jαj a nαn = α S n α S n ( 1) I(α) a 1α1 a iαi a jαj a nαn mert c utáni összeg nulla (lévén egy olyan determináns értéke melynek két sora megegyezik) (6) Ha az i-edik sor elemei a ij + a ij (j = 1,, n) akkor ( 1) I(α) a 1α1 (a iαi + a iα i ) a nαn = ( 1) I(α) a 1α1 a iαi a nαn α S n + α S n α S n ( 1) I(α) a 1α1 a iα i a nαn amint állítottuk (7), (8) nyilvánvalók a deníció alapján 103 Determinánsok szorzástétele, kifejtési tétel, inverz mátrix el állítása Tétel [a determinánsok szorzástétele] (Kvadratikus) mátrixok szorzatának determinánsa a tényez mátrixok determinánsainak szorzata, azaz ha A, B (azonos rend ) kvadratikus mátrixok, akkor AB = A B Bizonyítás Ld pl Kozma jegyzet Következmény Egy (kvadratikus) mátrix akkor és csakis akkor invertálható, ha determinánsa nem nulla Ugyanis, ha A invertálható akkor A A 1 = E, vagy a szorzástétel miatt A A 1 = 1 így A = 0 A fordított állít±t kés bb igazoljuk, az inverz mátrix el állításával Az is könnyen igazolható, hogy egy (kvadratikus) mátrix determinánsa pontosan akkor nulla, ha oszlopvektorai (vagy sorvektorai) lineárisan függ ek Így egy (kvadratikus) mátrix invertálhatóságának egy újabb szükséges és elegend feltétele az, hogy a mátrix oszlopvektorai (vagy sorvektorai) lineárisan függetlenek legyenek Definíció Egy n-edrend kvadratikus A = (a ij ) mátrixból, hagyjuk el az a ij elem sorát és oszlopát (azaz az i-edik sort és a j-edik oszlopot), a visszamaradó n 1-edrend kvadratikus mátrix determinánsát ( 1) i+j -vel megszorozva, a kapott számot az A mátrix a ij eleméhez tartozó adjungált aldeterminánsnak nevezzük, és A ij -vel jelöljük Az adjungált aldetermináns tehát egy részmátrix determinánsa, vagy annak negatívja, attól függ en, hogy mi az elhagyott sor és oszlop indexe Az el jel megállapítására a sakktábla szabály szolgál: helyezzük el mátrixunkat egy képzeletbeli n n-es sakktáblán, de a mez ket színezés helyett + és jelekkel látjuk el, úgy, hogy a bal fels sarokban + jel van Ha egy mez ben + jel van akkor ( 1) i+j = 1, ha jel van, akkor ( 1) i+j = 1 Tétel[kifejtési tétel] Legyen A egy n-edrend kvadratikus mátrix, akkor { A ha i = i a ij A i j = 0 ha i i ez a sor szerinti kifejtés, továbbá ez az oszlop szerinti kifejtés { A ha j = j a ij A ij = 0 ha j j Bizonyítás Ld pl Kozma jegyzet

9 9 Magyarázat Pl az els sor szerinti kifejtés azt jelenti, hogy a determináns értékét úgy számoljuk ki, hogy els sorvektor (a 11, a 12,, a 1n ) és ennek koordinátáihoz tartozó adjungált aldeterminánsokból álló (A 11, A 12,, A 1n ) vektorok bels szorzatát vesszük Ha pl az els sorvektor és egy másik sorvektorhoz tartozó adjungált aldeterminánsok vektorának bels szorzatát vesszük, akkor nullát kapunk Ugyanez a helyzet oszlopvektorok esetén is Tétel [az inverz mátrix el állítása] Legyen A egy n-edrend invertálható mátrix (azaz legyen A = 0, akkor az A 1 = (b ij ) inverz mátrix elemei b ij = A ji A (i, j = 1, 2,, n) alakúak (azaz A inverze az A adjungált aldeterminánsaiból alkotott mátrix transzponáltjának k=1 1 A -szorosa) Bizonyítás Ugyanis ekkor az C := A A 1 szorzat c ij elemét kiszámolva, az oszlop szerinti kifejtési tétel alapján c ij = a ik b kj = 1 { 1 ha i = j a ik A jk = A 0 ha i j azaz C = A A 1 = E Az A 1 A = E egyenl ség hasonlóan igazolható k=1 104 Mátrix rangja, rangszámtétel Definíció Egy tetsz leges k n típusú mátrix rangján oszlopvektorainak rangját értjük (ami azonos a maximális lineárisan független oszlopvektorok számával) A rangját rang A-val jelöljük Legyen 1 l min{k, n}, akkor A egy l-edrend aldeterminánsát úgy kapjuk, hogy kiválasztjunk a mátrix l darab sorát és l darab oszlopát, és ezek metszetében lév elemekból alkotott l-edrend determinánst képezünk Ilyen l-edrend aldeterminás ( k l) ( n l) darab van, mivel ennyiféleképpen választhatunk ki l sort és oszlopot Tétel[rangszámtétel] Bármely (nemzérus) mátrix rangja megegyezik a maximális rend nullától különböz aldeterminánsainak rendjével A zérusmátrix rangja nulla Bizonyítás Ld pl Kozma jegyzet E tételb l az is következik, hogy egy mátrix sorvektorainak rangja egyenl az oszlopvektorainak rangjával, hiszen transzponáláskor a kiválasztott l-edrend determinánsok értéke nem változik 11 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 111 Lineáris egyenletrendszer fogalma, Gauss elimináció (2) Definíció Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2 a k1 x 1 + a k2 x a kn x n = egyenletrendszert, ahol a ij, b i (i = 1,, k; j = 1,, n) adott valós számok, x i (i = 1,, n) ismeretlen valós számok b k

10 10 Az a ij számokat az (2) rendszer együtthatóinak nevezzük (pontosabban a ij a rendszer i-edik egyenletében az x j ismeretlen együtthatója, a b i az i-edik egyenlet szabad tagja Az (2) egyenletrendszert homogénnek nevezzük, ha b 1 = = b k = 0, ellenkez esetben inhomogénnek mondjuk Azt mondjuk, hogy a c 1,, c n számok (2) egy megoldását adják, ha az ismeretlenek helyére helyettesítve ket a rendszer minden egyes egyenletében egyenl ség áll Az (2) egyenletrendszert szabályosnak nevezzük, ha k = n, azaz ha az egyenletek és ismeretlenek száma egyenl Bevezetve az együtthatómátrixot, és az a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = a k1 a k2 a kn x = x 1 x 2 x n, b = oszlopmátrixokat (oszlopvektorokat) az (2) rendszer tömören az (3) A x = b alakba írható Egyenletek ill egyenletrendszerek esetén két alapvet kérdés t vizsgálunk: Van-e az egyenletrendszernek megoldása, és ha igen akkor egyértelm -e? Hogyan határozhatjuk meg a megoldást ill az összes megoldást? Egy (lineáris) egyenletrendszert megoldhatónak nevezünk, ha van megoldása, ellenkez esetben ellentmondásosnak mondjuk Ha pontosan egy megoldás létezik, akkor a rendszert határozott nak nevezzük, ha több megoldás van akkor határozatlannak mondjuk Két egyenletrendszert ekvivalensnek nevezünk, ha megoldásaik halmaza egyenl Lineáris egyenletrendszerek esetén (nyilvánvaló módon) az alábbi átalakítások eredményeznek ekvivalens rendszereket (ezeket ekvivalens átalakítások nak mondjuk): az egyenletek sorrendjének megváltoztatása, az egyenletekben szerepl tagok sorrendjének megváltoztatása, a rendszer bármelyik egyenletének szorzása (minden tag szorzása) egy nemzérus számmal, a rendszer bármelyik egyenletének hozzáadása egy másik egyenletéhez A Gauss elimináció az ismeretlenek szukcesszív kiküszöbölése Ennek során az egyenletrendszert un trapéz alakra hozzuk Az (2) rendszert akkor nevezzük trapéz alakúnak, ha van olyan 1 r n szám, hogy a 11 0, a 22 0,, a rr 0 de a ij = 0, ha i = 1, 2,, r, j < i, továbbá a ij = 0, ha i > r, j = 1, 2,, n Ha r = n, akkor a rendszert háromszögalakúnak nevezzük A Gauss elimináció lépései: Tegyük fel, hogy a 11 0 Az els egyenlet a i1 a 11 -szeresét az i-edik egyenlethez hozzáadva i = 2, 3,, k esetén, az x 1 ismeretlen elt nik a második, harmadik, k-adik egyenletb l Ha a 11 = 0, akkor az els egyenletben keresünk egy ismeretlent melynek együtthatója 0 és ez veszi át x 1 szerepét Ezután a második egyenlet alkalmas konstanszorosainak a harmadik k-adik egyenlethez való hozzádásával kiküszöböljük a harmadik ismeretlent a negyedik, k-adik egyenletb l Az eljárást hasonlóan folytatjuk, míg van mit kiküszöbölni Íly módon egy trapéz alakú egyenletrendszerhez jutunk A trapéz alakú egyenletrendszer akkor és csakis akkor megoldható, ha a trapéz alakban az r + 1-edik egyenlett l kezdve a szabad tagok mind nullák b 1 b 2 b k

11 11 A megoldható esetben rendszerünk akkor és csakis akkor lesz határozott, ha r = n, azaz ha rendszerünk hároszögalakú Ugyanis, ekkor az utolsó egyenletb l azonnal kiszámítható x n egyetlen lehetséges értéke, ezt az el z egyenletbe helyettesítve számolhatjuk ki x n 1 egyetlen értékét, és hasonlóan folytatva kapjuk a rendszer egyetlen megoldását adó, x 3, x 2, x 1 értékeket Ha r < n akkor a rendszer határozatlan, ugyanis az x r+1, x r+2,, x n "szabad ismeretleneknek" tetsz leges értéket adva, ezek segítségével a fennt leírt módon az x r, x r 1,, x 2, x 1 ismeretlenek (egyértelm en) kiszámíthatók Így ebben az esetben a rendszer határozatlan, és végtelen sok megoldása van (a megoldások egy n r paraméteres sereget alkotnak 112 Lineáris egyenletrendszerek megoldhatósága Tétel [lin egyenletrendszer megoldhatósága] Az a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2 a k1 x 1 + a k2 x a kn x n = lineáris egyenletrendszer akkor is csakis akkor oldható meg, ha a ranga = rang(a b) rangfeltétel teljesül, ahol A a rendszer mátrixa, (A b) a b vített mátrix, melyet az A mátrixból úgy kapunk, hogy az A mátrixhoz n + 1-edik oszlopként hozzáírjuk a szabad tagok b oszlopvektorát Bizonyítás Legyenek o j = az A mátrix oszlopvektorai, akkor rendszerünk a 1j a 2j a kj (j = 1, 2,, n) (4) x 1 o 1 + x 2 o x n o n = b alakba is írható (a baloldali összeg els tagja az o 1 vektor x 1 skalárral való szorzata sit) Innen látható, hogy ha rendszerünk megoldható, akkor (4) alapján ezért az utóbbi két altér rangja egyenl, a azaz a rangfeltétel teljesül Fordítva, ha a rangfeltétel teljesül, akkor Ugyanis, nyilvánvaló, hogy b L(o 1,, o n ) így L(o 1,, o n ) = L(o 1,, o n, b), ranga = dim L(o 1,, o n ) = dim L(o 1,, o n, b) = rang(a b), L(o 1,, o n, b) = L(o 1,, o n ) L(o 1,, o n, b) L(o 1,, o n ) Ha a jobboldali alteret a c 1, c 2,, c r lineárisan független vektorok generálják, akkor a baloldali alteret a c 1, c 2,, c r, b vektorok generálják Utóbbi rendszer nem lehet lineárisan független az el bbi alterek dimenzióinak egyenl sége miatt Ezért b lineárisan kombinálható a c 1, c 2,, c r vektorokból, így az o 1,, o n vektorokból is Vannak tehát olyan x 1, x 2,, x n számok, melyekre b k teljesül, de akkor x 1, x 2,, x n a rendszer megoldása b = x 1 o 1 + x 2 o x n o n

12 12 Foglalkozzunk most a homogén rendszer rel, (amikor b 1 = = b k = 0) Ekkor az el z tételben szerepl rangfeltétel biztosan teljesül, így mindig van megoldás Ez a rangfeltételre való hívatkozás nélkül is azonnal látható, hiszen x 1 = x 2 = = x n = 0 megoldása a homogén rendszernek Ezt a megoldást triviális megoldásnak nevezzük Mikor van a homogén rendszernek triviálistól különböz megoldása? Erre ad választ a következ Tétel [homogén rendszer nemtriviális megoldásának létezése] Az Ax = 0 (A R k n, x = (x 1,, x n ) R n 1 ) homogén lineáris egyenletrendszernek akkor is csakis akkor van triviálistól különböz megoldása, ha rang A < n (azaz a rendszer A mátrixának rangja kisebb mint az ismeretlenek száma) Ha ez teljesül, akkor a homogén rendszer összes megoldásai R n -nek egy n rang A dimenziós alterét alkotják Bizonyítás Az, hogy a homogén rendszer megoldásai alteret alkotnak szinte nyilvánvaló, ha ugyanis, az x, y (oszlop)vektorok megoldások akkor Ax = 0, Ay = 0 így azaz x + y és cx is megoldás (c R) Legyen rang A = r és írjuk a rendszert A(x + y) = Ax + Ay = 0 és A(cx) = cax = 0 (5) x 1 o 1 + x 2 o x n o n = 0 alakba Ha van nemtriviális x = (x 1,, x n ) megoldás, akkor (5) teljesül, amib l látható, hogy o 1, o 2,, o n lineárisan függ, így az L(o 1, o 2,, o n ) altér dimenziója (ami éppen rang A) kisebb mint n Fordítva, ha r < n akkor vegyük az L(o 1, o 2,, o n ) altér egy bázisát, az egyszer ség kedvéért legyen ez a rendszer sorrendben els r db vektora, azaz o 1, o 2,, o r Ekkor az o r+1,, o n vektorok a bázisvektorok lineáris kombinációi, azaz o i = α i1 o 1 + α i2 o α ir o r (i = r + 1,, n) alkalmas, nem csupa zérusból álló α i1, α i2,, α ir számok esetén Ezt átírhatjuk alakba is, ami viszont azt jelenti, hogy az α i1 o 1 α i2 o 2 α ir + 1 o i = 0 u i = ( α i1, α i2,, α ir, 0,, 1,, 0) (i = r + 1,, n) (oszlop)vektorok a homogén rendszer nemtriviális megoldásai (az 1 a i edik helyen áll) Ezek a vektorok lineárisan függetlenek, mert (az u r+1,, u n oszlopvektorokat egymás után egy) mátrixként írva, a kapott mátrix tartalmazza az n r dimenziós egységmátrixot Így a megoldások altere legalább n r dimenziós Kés bb megmutatjuk, hogy a megoldások alterének dimenziója pontosan n r Tétel [lin egyrendszer megoldásának szerkezete] Az (6) Ax = b (A R k n, x R n 1, b R k 1 ) inhomogén lineáris egyenletrendszer bármely x megoldása x = x + x h alakba írható, ahol x az inhomogén egyenlet egy rögzített (partikuláris) megoldása, x h pedig a (6)-nak megfelel (7) Ax = 0 homogén egyenlet egy tetsz leges megoldása Így a megoldások halmaza a (7) megoldásalterének az x vektorral való eltoltja

13 13 Bizonyítás Ugyanis, ha x (6) egy tetsz leges megoldása, x (6) egy megoldása, akkor amib l x h = x x -vel következik állításunk Ax = b, Ax = b amib l A(x x ) = A Cramer szabály: lineáris egyenletrendszerek megoldása A szabályos egyenletrendszerekre vonatkozik a alábbi Tétel [Cramer szabály] Legyen A egy n-edrend kvadratikus mátrix A (8) Ax = b (A R n n, x, b R n 1 ) (szabályos) lineáris egyenletrendszer akkor és csakis akkor határozott (egyértelm en megoldható), ha Ha ez teljesül akkor a rendszer egyetlen megoldása x i = A i A A = 0 (i = 1, 2,, n) ahol A i az a mátrix melyet az A mátrixból úgy kapunk, hogy annak i-edik oszlopát a szabad tagok b (oszlop)vektorára cseréljük ki Bizonyítás Ha rendszerünk határozott akkor az A mátrix o 1,, o n oszlopvektorai lineárisan függetlenek (ti csak ekkor lehet b-t az oszlopvektorok lineáris kombinációjaként egyértelm en felírni) Ekkor viszont A = 0 Fordítva, ha A = 0 akkor A invertálható, megszorozva az Ax = b egyenletet balról az A 1 inverz mátrixszal A 1 Ax = Ex = x ( ) amib l az inverz mátrix A 1 Aji = alakját, felhasználva A A ji x i = A b i = 1 A ji b i = A i A A mivel jobboldalon az utolsó összeg éppen az A i determinánsnak az i-edik oszlop szerinti kifejtése A szabályos homogén egyenletrendszerekre vonatkozik az következ Tétel [szabályos homogén egyrendszer nemtriviális megoldásának létezése] Legyen A egy n-edrend kvadratikus mátrix A Ax = 0 (A R n n, x R n 1 ) (szabályos) homogén lineáris egyenletrendszernek akkor és csakis akkor van nemtriviális megoldása, ha A = 0 Bizonyítás Ugyanis, ha A = 0 akkor az el z tétel miatt az egyetlen megoldás (b i = 0 (i = 1,, n) miatt) az x i = 0 (i = 1,, n) triviális megoldás Ha viszont A = 0, akkor rang A < n, a homogén rendszer megoldásainak altere (egy korábbi tétel miatt) legalább egy dimenziós, így van benne nemzérus vektor 114 A Cramer szabály alkalmazása tetsz leges lineáris egyenletrendszer megoldására Cramer szabály segítségével tetsz leges lineáris egyenletrendszert is megoldhatunk az alábbi módon Tekintsük a Ax = b (A R k n, x R n 1, b R k 1 ) k egyenletb l álló n ismeretlent tartalmazó rendszert, mely megoldható, azaz a ranga = rang(a b),

14 14 jelölje az itt szerepl rangok közös értékét r, akkor r min{k, n} Keressük meg A rangmeghatározó aldeterminánsát, azaz válasszuk ki a mátrix r sorát és r oszlopát, úgy, hogy az ezekb l alkotott determináns nem zérus Vegyük azokat az egyenleteket melyek a kiválasztott soroknak felelnek meg, ezek baloldalán csak azokat az ismeretleneket hagyjuk meg, melyeknek megfelel oszlopokat kiválasztottuk (a többi ismeretlent az egyenlet jobboldalára vigyük át) A rangfeltétel miatt az elhagyott egyenletek a kiválasztott r darab egyenletb l (lineárisan) kombinálhatók így azok elhagyhatók A kapott szabályos egyenletrendszerre ( r egyenlet, r ismeretlen) a Cramer szabály alkalmazható, a rendszerünkben szerepl ismeretleneket a jobboldalon szerepl, tetsz legesnek vehet ismeretlenek, és a megfelel szabad tagok lineáris kombinációjaként kapjuk meg a Cramer szabály által Ebb l az eljárásból az is következik, hogy ha a rendszerünk homogén és r < n akkor a megoldások n r dimenziós alteret alkotnak, ugyanis minden x R n 1 megoldás n r darab (lineárisan független) u 1, u n r oszlopvektor lineáris kombinációja, ahol mindegyik u j vektor olyan, hogy a kiválasztott r darab sorban (a Cramer szabály által kiszámolt) meghatározott konstansok állnak, a ki nem választott n r darab sorban pedig a 0 vagy 1 számok, úgy, hogy mindegyik vektorban egyetlen 1 van a többi érték 0 Példák 1 Itt a rendszer determinánsa x 1 +x 2 +2x 3 = b 1 2x 1 x 2 +2x 3 = b 2 4x 1 +x 2 +4x 3 = b = 6 0, így egyértelm en megoldható, és a megoldások x 1 = 1 b b b = 6b 1 2b 2 + 4b 3 6 x 2 = 1 6 x 3 = b b b b b b 3 = 4b 2 + 2b 3 6 = 6b 1 + 3b 2 3b Egyenletrendszerünk most A rendszer mátrixa, és a b vített mátrix A = a rangok x 1 +x 2 +2x 3 +x 4 = 1 2x 1 x 2 +2x 3 +2x 4 = 4 4x 1 +x 2 +4x 3 +2x 4 = 2 7x 1 +x 2 +8x 3 +5x 4 = 7 8x 1 +2x 2 +10x 3 +6x 4 = 8 (A b) = rang A = 3, rang (A b) = 3,

15 15 így rendszerünk megoldható Rangmeghatározó determináns nak a bal fels 3 3 sarokdetermináns t vehetjük Az utolsó két egyenlet elhagyható (könny látni, hogy a negyedik egyenlet az el z három egyenlet összege, az ötödik egyenlet az els egyenlet kétszerese plusz a második és harmadik egyenlet) A rangmeghatározó determinánsban nem szerepl x 4 ismeretlent a jobboldalra rendezve kapjuk, hogy x 1 +x 2 +2x 3 = 1 x 4 2x 1 x 2 +2x 3 = 4 2x 4 4x 1 +x 2 +4x 3 = 2 2x 4 Ezt a Cramer szabállyal megoldva (felhasználva az el z példa eredményét b 1 = 1 x 4, b 2 = 4 2x 4, b 3 = 2 2x 4 -szel) kapjuk, hogy rendszerünk minden megoldása x 1 = ( 1 x 4 ) 1 3 ( 4 2x 4) ( 2 2x 4) = x 4, x 2 = 2 3 ( 4 2x 4) ( 2 2x 4) = x 4, alakú, ahol x 4 tetsz leges x 3 = ( 1 x 4 ) ( 4 2x 4) 1 2 ( 2 2x 4) = 2 x 4 12 LINEÁRIS TRANSZFORMÁCIÓK 121 Lineáris leképezés és mátrixa Definíció λ R esetén A φ : R n R n leképezést lineáris leképezésnek nevezzük, ha bármely x, y R n és bármely φ(x + y) = φ(x) + φ(y) (azaz φ additív), φ(λx) = λφ(x) (azaz φ homogén) Használjuk a lineáris operátor, és a lineáris transzformáció elnevezéseket is Hogyan lehet megadni egy lineáris leképezést? Legyen b 1,, b n az R n egy bázisa, akkor tetsz leges x R n -t véve, az y = φ(x) R n el állíthatók alakban, így φ linearitása miatt (9) y i b i = y = φ(x) = φ x j b j = y x = y 1 b y k b n = n y i b i = x 1 b x n b n = n x j b j x j φ(b j ) = n x j a ij b i = a ij x j b i ahol felhasználtuk azt, hogy minden j = 1,, n-re φ(b j ) a b 1,, b n báziselemek lineáris kombinációja, azaz φ(b j ) = a ij b i Összehasonlítva a b i vektorok együtthatóit (9)-ben kapjuk, hogy (10) y i = a ij x j (i = 1,, n)

16 16 Az x, φ(x) = y R n vektorokat oszlopvektorként kezelve, az x 1 y 1 x =, y = x n y n jelölésekkel a (10) összefüggést alakba írhatjuk, ahol a jobboldalon mátrixszorzás áll, A φ := y = A φ x a 11 a 1n a n1 a nn Definíció A (10)-zel megadott A φ = (a ij ) (n-edrend kvadratikus) mátrixot a φ lineáris leképezés mátrixának nevezzük (10)-b l látható, hogy az A φ mátrix j-edik oszlopában a φ(b j ) képvektornak a b 1,, b n bázisra vonatkozó koordinátái állnak Világos, hogy az összes φ : R n R n lineáris leképezések és a hozzájuk rendelt A φ R n n mátrixok közötti (11) φ A φ (A φ = (a ij ), ahol φ(b j ) = a ij b i ) leképezés bijektív, minden φ lineáris leképezéshez egyetlen n-edrend A φ mátrix tartozik, és minden ilyen mátrix egyetlen lineáris leképezést határoz meg S t, ez a bijektív leképezés meg rzi a mátrixm veleteket is Ha φ, ψ : R n R n lineáris leképezések, úgy összegüket, számszorosukat és kompoziciójukat az alábbi módon értelmezzük: (φ + ψ)(x) := φ(x) + ψ(x) (x R n ), (λφ)(x) := λφ(x) (λ R, x R n ), (φ ψ)(x) := φ(ψ(x)) (x R n ) Tétel [a (11) leképezés tulajdonságai] Rögzített bázis és tetsz leges φ, ψ : R n R n lineáris leképezések esetén A φ+ψ = A φ + A ψ a (11) leképezés megtartja az összeadást, A λφ = λa φ a (11) leképezés megtartja az számmal való szorzást, A φ ψ = A φ A ψ a (11) leképezés a kompoziciót szorzatba viszi át Továbbá φ : R n R n akkor és csakis akkor bijektív, ha A φ invertálható Bizonyítás A megfelel tulajdonságok ellen rzése Hogyan változik egy lineáris leképezés mátrixa egy új bázisra való áttéréskor? Tétel Legyen b 1,, b n és b 1,, b n az Rn tér két bázisa, és A φ = (a ij ), ahol φ(b j ) = n a ij b i A φ = (a ij ), ahol φ(b j ) = n a ij b i a φ : R n R n lineáris leképezés mátrixai Akkor van olyan S = (s ij ) R n n invertálható mátrix, hogy (12) A φ = S 1 A φ S Bizonyítás Mivel b 1,, b n bázis így (13) b j = s ij b i (j = 1,, n) alkalmas s ij (i, j = 1,, n) együtthatókkal A b i vektorok is egyértelm en kombinálhatók a b 1,, b n báziselemekb l, így a (13) lineáris egyenletrendszer egyértelm en megoldható b i -kre, ezért a Cramer szabály miatt

17 17 az S := (s ij ) mátrix determinánsa nem nulla, S invertálható (Vigyázat, most (13)-ban b i, b j Cramer szabály most is alkalmazható!) vektorok, de a φ linearitása és (13) miatt másrészt a ij ( n ) φ(b j) = s ij φ(b i ) = s ij a ki b k = denícióját és (13)-at használva k=1 k=1 φ(b j) = a ijb i = a ij k=1 ( n ) s ki b k = ( n ) a ki s ij b k, ( n ) s ki a ij b k k=1 Összehasonlítva b k együtthatóit a két kifejezésben kapjuk, hogy a ki s ij = s ki a ij (j, k = 1,, n) amit A φ S = SA φ vagy A φ = S 1 A φ S amint állítottuk 122 Sajátértékek és sajátvektorok Definíció Legyen A egy n n-es mátrix A λ R számot A sajátértékének nevezzük, ha van olyan nullától különböz x R n vektor, melyre (14) Ax = λx teljesül Az x vektort A (λ sajátértékhez tartozó) sajátvektorának nevezzük Megjegyezzük, hogy a denícióban az x 0 megszorítás azért kell, mert 0 = A0 = λ0 minden λ R mellett teljesül A (14) egyenletet az A mátrix sajátérték-egyenletének nevezzük Írjuk át a sajátérték-egyenletet (15) (A λe)x = 0 alakba, ahol E az n n-es egységmátrix Egy lineáris homogén egyenletrendszert kaptunk, melynek az x sajátvektor nemtriviális megoldása Ilyen nemtriviális megoldás pontosan akkor van, ha a rendszer együttható mátrixának determinánsa zérus, azaz, ha (16) A λe = 0 A (16) egyenletet az A mátrix karakterisztikus egyenletének (vagy sajátérték-egyenletének) nevezzük Az A λe determinánst kifejtve egy λ-ben n-edfokú polinomot kapunk Ennek zérushelyei (azaz a (16) egyenlet megoldásai) adják A sajátértékeit A λ sajátértékhez tartozó sajátvektorok a (15) lineáris homogén rendszer nemtriviális megoldásai Példák 1 Határozzuk meg az A = 1/ /3 0 mátrix valós sajátértékeit és a megfelel sajátvektorokat 2 Határozzuk meg egy tetsz leges diagonális mátrix sajátértékeit és sajátvektorait

18 Mátrixok diagonális alakra hozása Definíció Egy n n-es A mátrixot diagonalizálhatónak nevezünk, ha van olyan invertálható n n-es S mátrix és egy D diagonális mátrix, melyekre S 1 AS = D teljesül Diagonális mátrixokra használni fogjuk a λ λ 2 0 D = diag(λ 1, λ n ) := 0 0 λ n jelölést is A diagonalizálás el nye az, hogy ekkor (az el z egyenl séget balról S-vel majd jobbról S 1 -gyel szorozva kapjuk, hogy) A = SDS 1 Innen A 2 = (SDS 1 )(SDS 1 ) = SD(S 1 S)DS 1 = SDDS 1 = SD 2 S 1 és hasonlóan folytatva, indukcióval kapjuk, hogy A k = SD k S 1 (k N) s t, ha p(λ) = m a k λ k egy polinom, akkor k=1 ( m m m ) p(a) = a k A k = a k SD k S 1 = S a k D k S 1 = Sp(D)S 1 k=1 Ha D = diag(λ 1, λ n ), akkor k=1 k=1 p(d) = diag(p(λ 1 ), p(λ n )) azaz csak a diagonálisban változik a mátrix Ennek segítségével a p(a) mátrix is viszonylag egyszer en meghatározható Tétel Ha A, S n n-es mátrixok, S invertálható, akkor az A és S 1 AS mátrixok sajátértékei megegyeznek Bizonyítás A két mátrix karakterisztikus polinomjai megegyeznek, ugyanis S 1 AS λe = S 1 AS S 1 (λe)s = S 1 (A λe)s = S 1 A λe S = A λe Tétel[a diagonalizálhatóság kritériuma] Egy n n-es A mátrix akkor és csakis akkor diagonalizálható, ha van n lineárisan független sajátvektora, x 1,, x n Ekkor λ S 1 0 λ 2 0 AS = diag(λ 1, λ n ) = 0 0 λ n ahol az S mátrix oszlopvektorai rendre x 1,, x n, a λ 1,, λ n számok pedig a hozzájuk tartozó sajátértékek Bizonyítás Ld Sydsæter Hammond: Matematika közgazdászoknak, Nem minden mátrix diagonalizálható! Nincs a diagonalizálhatóságra könnyen ellen rizhet szükséges és elegend feltétel Ha az n n-es A mátrixnak n különböz sajátértéke van, akkor A diagonalizálható Ez elegend, de nem szükséges feltétel

19 Szimmetrikus és ortogonális mátrixok Definíció Egy n n-es A mátrixot szimmetrikusnak nevezünk, ha A = A, ortogonálisnak nevezünk, ha A A = E Egy mátrix akkor és csakis akkor szimmetrikus, ha elemei a f átlóra nézve szimmetrikusak Egy mátrix akkor és csakis akkor ortogonális, ha bármelyik sor(oszlop)vektorának önmagával való bels szorzata 1 minden más sor(oszlop)vektorával való bels szorzata pedig 0 Ortogonális,mátrix invertálható, és inverze a mátrix transzponáltja Ugyanis A A = E-ból transzponálással A A = E = E = (A A) = A (A ) = A A ami mutatja, hogy A 1 = A Definíció Két (R n -beli) vektort akkor mondunk ortogonálisnak, ha bels szorzatuk zérus Azaz x, y R n ortogonálisak pontosan akkor, ha x, y = 0 Így azt is mondhatjuk, hogy egy mátrix akkor és csakis akkor ortogonális, ha sor(oszlop)vektorai egységvektorok és páronként ortogonálisak Definíció Az R n tér egy bázisát ortonormált bázisnak nevezzük, ha vektorai páronként ortogonális egységvektorok Azaz a b 1,, b n bázis akkor és csakis akkor ortonormált ha { 1 ha i = j, b i, b j = (i, j = 1,, n) 0 ha i j, Tétel Ha b 1,, b n és b 1,, b n az R n tér két ortonormált bázisa, φ : R n R n egy lineáris leképezésés A φ = (a ij ), A φ = (a ij ) e leképezés mátrixai a megfelel bázisokra nézve, akkor a A φ = S 1 A φ S transzformációs képletben szerepl S mátrix ortogonális Bizonyítás Mivel b j = n s ij b i k=1 (j = 1,, n), így n b i, b j = s ki b k, s lj b l = l=1 Itt ( b i, b j ) = E egységmátrix, ezért eredményünk k=1 l=1 s ki s lj b k, b l = s ki s kj k=1 alakba is írható, ami mutatja, hogy S ortogonális E = S S Tétel[szimmetrikus mátrixok sajátértékei és sajátvektorai] Legyen A egy n n-es szimmetrikus mátrix, akkor A sajátértékei mind valós számok, A különböz sajátértékeihez tartozó sajátvektorok ortogonálisak Bizonyítás Az els állítás igazolása megtalálható pl Kozma László: Matematikai alapok, ban A második állítás igazolása: el ször igazoljuk, hogy tetsz leges (nem feltétlenül szimmetrikus)a mátrix és x, y R n (oszlop)vektorok esetén Ax, y = x, A y

20 20 Ugyanis, ha A = (a ij ) és így és x = x 1 x n, y = y 1 y n Ax, y = x, A y =, akkor Ax = a ij x j y i = x i n a 1j x j, Ay = a nj x j a ji y j = a ij x j y i, a ji x i y j a 1j y j a nj y j Megcserélve a második összegben az i és j indexeket, láthatjuk, hogy a fenti két összeg egyenl, Speciálisan, szimmetrikus A mátrix esetén Ax, y = x, Ay (x, y R n ) Ha most Ax = λx, Ay = µy és x, y 0, λ µ, akkor Ax, y = λx, y = λ x, y, és x, Ay = x, µy = µ x, y, amib l λ x, y = µ x, y, vagy (λ µ) x, y = 0 ezért x, y = 0 amint állítottuk Tétel[szimmetrikus mátrixok spektráltétele] Legyen A egy n n-es szimmetrikus mátrix, akkor létezik olyan ortogonális U mátrix, amelyre U 1 AU = diag(λ 1, λ n ) ahol λ 1,, λ n az A sajátértékei, az U mátrix i-edik oszlopa pedig a λ i -hez tartozó sajátvektor (i = 1,, n) Bizonyítás Ld Sydsæter Hammond: Matematika közgazdászoknak, Kvadratikus függvények Definíció Legyen A = (a ij ) R n n, akkor a F (x, y) := Ax, y (x, y R n ) függvényt bilineáris függvény nek nevezzük, a Q(x) := Ax, x (x R n ) függvényt kvadratikus függvény nek nevezzük Szokás Ax, y -t bilineáris formának, Ax, x -et kvadratikus formának nevezni Bilineáris függvény mindkét változójaban lineáris Korábbi számításunkat felhasználva kapjuk, hogy Q(x) = Q(x 1,, x n ) = Mivel x i x j = x j x i így feltehet, hogy A szimmetrikus mátrix a ij x i x j,

21 21 Definíció Azt mondjuk, hogy a Q : R n R kvadratikus függvény pozitív denit, ha Q(x) > 0 minden x R n, x 0 esetén, a Q : R n R kvadratikus függvény negatív denit, ha Q(x) < 0 minden x R n, x 0 esetén, a Q : R n R kvadratikus függvény indenit, ha Q(x) felvesz pozitív és negatív értékeket is Most azzal foglalkozunk, hogy hogyan lehet eldönteni azt hogy Q : R n R pozitív, negatív, vagy indenit? Láttuk, hogy A szimmetrikus lévén diagonizálható, azaz ahol λ 1,, λ n az A sajátértékei, U ortogonális Innen ezért x = U x jelöléssel U 1 AU = D = diag(λ 1, λ n ) A = UDU 1 = UDU Q(x) = Ax, x = UDU x, x = DU x, U x = Dx, x = λ i (x i) 2 Utóbbi alakot, (ahol csak az x i négyzetei szerepelnek), Q kanonikus alakjának nevezzük Ennek segítségével azonnal belátható a következ Tétel[kritérium kvadratikus függvény denitségére] A szimmetrikus A = (a ij ) R n n mátrixszal képezett kvadratikus függvény akkor és csakis akkor Q(x) := Ax, x (x R n ) pozitív denit, ha A összes sajátértéke pozitív, negatív denit, ha A összes sajátértéke negatív, indenit, ha A-nak van pozitív és negatív sajátértéke is A sajátértékek kiszámítása nélkül is eldönthet Q denitsége Tétel[kritérium kvadratikus függvény denitségére] Legyen A = (a ij ) R n n szimmetrikus mátrix, és legyen k (k = 1,, n) az A mátrix bal fels k k-s sarokmátrixának determinánsa, azaz 1 = a 11, 2 = a 11 a 12 a 21 a 22, a 11 a 12 a 13 3 = a 21 a 22 a 23 n = A a 31 a 32 a 33 ( k -k az A mátrix sarokf minorjai), akkor kvadratikus függvény akkor és csakis akkor Q(x) := Ax, x (x R n ) pozitív denit, ha k > 0 ha k = 1,, n, negatív denit, ha ( 1) k k > 0 ha k = 1,, n 13 TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA 131 Metrika és topológia R k -ban Az R k vektortérrel már foglalkoztunk 91-ben, itt a metrikájával és annak tulajdonságaival foglalkozunk Definíció Az x = (x 1, x 2,, x k ), y = (y 1, y 2,, y k ) R k vektorok skaláris vagy bels szorzatát -val deniáljuk x, y := x 1 y 1 + x 2 y x k y k A skaláris szorzattal (így távolsággal) ellátott R k vektorteret k-dimenziós euklideszi tér nek nevezzük

22 22 Könny ellen rizni, hogy a skaláris szorzat teljesíti az alábbi tulajdonságokat Bármely x, y, z R k és bármely λ R esetén x + y, z = x, z + y, z, λx, y = λ x, y, x, y = y, x, x, x 0 és x, x = 0 akkor és csakis akkor, ha x = 0 Ez a 4 tulajdonság alkotja a skaláris szorzás axiómáit Állítás [Cauchy-Schwarz egyenl tlenség] Bármely két x, y R k vektor esetén érvényes a Cauchy-Schwarz egyenl tlenség: x, y x, x y, y Bizonyítás A bels szorzat utolsó tulajdonsága miatt amib l a szorzás elvégzése után x + λy, x + λy 0 x, x + λ y, x + λ x, y + λ 2 y, y 0 Jelölje Q(λ) a baloldalon lev λ-ben másodfokú polinomot, akkor Q(λ) = x, x + λ y, x + λ x, y + λ 2 y, y 0 Ha y, y = 0, akkor az utolsó tulajdonság miatt y = 0, így egyenl tlenségünk teljesül, mert mindkét oldaán zérus áll Ha y, y = 0, akkor Q(λ) 0 miatt Q diszkriminánsa kisebb vagy egyenl mint nulla, amib l 4 x, y 2 4 x, x y, y 0 s ebb l átrendezéssel adódik a bizonyítandó egyenl tlenség Definíció Az x = x, x számot az x = (x 1, x 2,, x k ) R k vektor hosszának (vagy normájának ill abszolút értékének ) nevezzük A norma segítségével a Cauchy-Schwarz egyenl tlenséget alakba írhatjuk át x, y x y (x, y R k ) A Cauchy-Schwarz egyenl tlenség felhasználásával könnyen igazolhatjuk a norma tulajdonságait: bármely x, y R k és bármely λ R esetén x 0 és x = 0 akkor és csakis akkor, ha x = 0 λx = λ x x + y x + y Definíció Az x, y R k pontok távolságát -nal deniáljuk d(x, y) = x y Definíció Egy a R k pont ε > 0 sugarú (nyílt) környezetén a K(a, ε) := { x R k : d(x, a) = x a < ε } halmazt értjük k = 1 esetén K(a, ε) az a pontra nézve szimmetrikus 2ε hosszúságú ]a ε, a + ε[ nyílt intervallum k = 2 esetén K(a, ε) az a = (a 1, a 2 ) pont körüli ε sugarú nyílt körlap k = 3 esetén K(a, ε) az a = (a 1, a 2, a 3 ) pont körüli ε sugarú nyílt gömb

23 23 Környezetek segítségével értelmezhetjük R k -ban a bels, határ, izolált, torlódási pont fogalmát, továbbá nyílt és zárt halmazokat (a deníció szó szerint ugyanaz, de benne a pont, környezet jelentése általánosabb) Sorozatok R k -ban Definíció Egy a : N R k függvényt R k -beli sorozatnak nevezünk Jelölések a(n) = a n = (a n,1, a n,2,, a n,k ) (n N), a = (a n ) Definíció Az (a n ) (R k -beli) sorozatot konvergensnek nevezzük, ha van olyan b R k, hogy bármely ε > 0- hoz létezik olyan N(ε) R szám, hogy a n b < ε ha b-t a sorozat határérték ének (limeszének) nevezzük és az n > N(ε) a n b (n ) vagy lim n a n = b jelölést használjuk N(ε)-t az ε-hoz tartozó küszöbszámnak nevezzük Egy R k -beli sorozatot divergensnek nevezünk, ha nem konvergens Állítás [R k -beli sorozat koordinátánként konvergens] akkor és csakis akkor, ha a n = (a n,1, a n,2,, a n,k ) b = (b 1, b 2,, b k ) (n ) a n,i b i (n ) minden i = 1, 2,, k mellett Ez azt jelenti, hogy egy vektorsorozat akkor és csakis akkor konvergens, ha a sorozat minden koordinátája konvergens és határértéke a határvektor megfelel koordinátája Bizonyítás Mivel minden j = 1, 2,, k mellett a n,j b j a n b = k (a n,i b i ) 2 k max a n,j b j, 1 j k Ebb l látható, hogy a n b < ε akkor a n,j b j < ε minden j = 1, 2,, k mellett Fordítva, ha a n,j b j < ε minden j = 1, 2,, k mellett akkor max a n,j b j < ε így a n b = k ε 1 j k igazolva állításunkat Példa a n = ( 1 n, ) n 2 (0, 1) ha n 132 Többváltozós függvények határértéke és folytonossága Egy D R k halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel jelöljük Definíció Legyen f : D R k R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási pontja) Azt mondjuk, hogy f-nek van (véges) határértéke az x 0 pontban, ha van olyan a R szám, hogy minden ϵ > 0-hoz van olyan δ(ϵ) > 0, hogy f(x) a < ϵ ha 0 < x x 0 < δ(ϵ) és x D teljesül Az a R számot az f függvény x 0 pontbeli határértékének nevezzük, és jelölésére az a = f(x) a ( ha x x 0 )-t használjuk lim f(x) vagy x x 0