9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA. 9.1 Metrika és topológia R k -ban

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA. 9.1 Metrika és topológia R k -ban"

Átírás

1 9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA 9.1 Metrika és topológia R k -ban Definíció. A k-dimenziós euklideszi térnek nevezzük és R k val jelöljük a valós számokból alkotott k-tagú x = (x 1, x 2,..., x k ) sorozatok halmazát, azaz 1 R k R 2 R= k := R { x = (x1, x 2,..., x k ) : x i R (i = 1, 2,..., k) }. Az x = (x 1, x 2,..., x k ) sorozatokat a tér pontjainak mondjuk, az x 1, x 2,..., x k számok az x = (x 1, x 2,..., x k ) pont koordinátái. R 1 -et természetes módon azonosíthatjuk R-rel. R 2 = R R-et egy koordinátarendszer bevezetése után egy síkra lehet bijektíven leképezni, ezért R 2 -et euklideszi síknak nevezhetjük. Hasonlóan, koordinátarendszer réven azonosíthatjuk R 3 -at a közönséges térrel. R k pontjait vektoroként is felfoghatjuk, úgy, hogy a koordinátarendszer felvétele után az egyes pontoknak a kezdőpontból hozzájuk vezető helyzetvektorukat feleltetjük meg. Ezek szabad vektorok, ömagukkal párhuzamosan eltolhatók. Műveletek R k -ban: Definíció. Az x = (x 1, x 2,..., x k ), y = (y 1, y 2,..., y k ) R k vektorok összegét és az x R k vektor λ R skalárral való szorzatát x + y : = (x 1 + y 1, x 2 + y 2,..., x k + y k ) λx : = (λx 1, λx 2,..., λx k ) -val definiáljuk. Könnyű ellenőrizni, hogy e műveletek teljesítik az alábbi tulajdonságokat: Bármely x, y, z R k mellett, a 0 = (0, 0,..., 0) zérusvektorral és x = ( 1)x vektorral teljesül, hogy x + (y + z) = (x + y) + z, x + y = y + x, x + 0 = x, x + ( x) = 0. (az összeadás előbbi 4 tulajdonságát Abel-csoport axiómáknak mondjuk). Bármely x, y R k, λ, µ, 1 R esetén, λ(x + y) = λx + λy, (λ + µ)x = λx + µx, (λµ)x = λ(µx) 1x = x. (ezek a tulajdonságok a skalárral való szorzás axiómái). Az összeadás és skalárral való szorzás axiómái együttesen alkotják a lineáris tér, vagy vektortér axiómák at. Definíció. Az x = (x 1, x 2,..., x k ), y = (y 1, y 2,..., y k ) R k vektorok skaláris vagy belső szorzatát -val definiáljuk. x, y := x 1 y 1 + x 2 y x k y k Könnyű ellenőrizni, hogy a skaláris szorzat teljesíti az alábbi tulajdonságokat. Bármely x, y, z R k és bármely λ R esetén x + y, z = x, z + y, z, λx, y = λ x, y, x, y = y, x, x, x 0 és x, x = 0 akkor és csakis akkor, ha x = 0. 1

2 2 Ez a 4 tulajdonság alkotja a skaláris szorzás axiómáit. Állítás [Cauchy-Schwarz egyenlőtlenség] Bármely két x, y R k vektor esetén érvényes a Cauchy-Schwarz egyenlőtlenség: x, y x, x y, y. Bizonyítás. A belső szorzat utolsó tulajdonsága miatt amiből a szorzás elvégzése után x + λy, x + λy 0 x, x + λ y, x + λ x, y + λ 2 y, y 0. Jelölje Q(λ) a baloldalon levő λ-ben másodfokú polinomot, akkor Q(λ) = x, x + λ y, x + λ x, y + λ 2 y, y 0. Ha y, y = 0, akkor az utolsó tulajdonság miatt y = 0, így egyenlőtlenségünk teljesül, mert mindkét oldaán zérus áll. Ha y, y = 0, akkor Q(λ) 0 miatt Q diszkriminánsa kisebb vagy egyenlő mint nulla, amiből 4 x, y 2 4 x, x y, y 0 s ebből átrendezéssel adódik a bizonyítandó egyenlőtlenség. Definíció. Az x = x, x számot az x = (x 1, x 2,..., x k ) R k vektor hosszának (vagy normájának ill. abszolút értékének) nevezzük. A norma segítségével a Cauchy-Schwarz egyenlőtlenséget alakba írhatjuk át. x, y x y (x, y R k ) A Cauchy-Schwarz egyenlőtlenség felhasználásával könnyen igazolhatjuk a norma tulajdonságait: bármely x, y R k és bármely λ R esetén Definíció. Az x, y R k pontok távolságát -nal definiáljuk. x 0 és x = 0 akkor és csakis akkor, ha x = 0 λx = λ x x + y x + y. d(x, y) = x y Definíció. Egy a R k pont ε > 0 sugarú (nyílt) környezetén a K(a, ε) := { x R k : d(x, a) = x a < ε } halmazt értjük. k = 1 esetén K(a, ε) az a pontra nézve szimmetrikus 2ε hosszúságú ]a ε, a + ε[ nyílt intervallum. k = 2 esetén K(a, ε) az a = (a 1, a 2 ) pont körüli ε sugarú nyílt körlap. k = 3 esetén K(a, ε) az a = (a 1, a 2, a 3 ) pont körüli ε sugarú nyílt gömb. Környezetek segítségével értelmezhetjük R k -ban a belső, határ, izolált, torlódási pont fogalmát, továbbá nyílt és zárt halmazokat (a definíció szó szerint ugyanaz, de benne a pont, környezet jelentése általánosabb). Sorozatok R k -ban. Definíció. Egy a : N R k függvényt R k -beli sorozatnak nevezünk.

3 3 Jelölések a(n) = a n = (a n,1, a n,2,..., a n,k ) (n N), a = (a n ). Definíció. Az (a n ) (R k -beli) sorozatot konvergensnek nevezzük, ha van olyan b R k, hogy bármely ε > 0- hoz létezik olyan N(ε) R szám, hogy a n b < ε ha b-t a sorozat határérték ének (limeszének) nevezzük és az n > N(ε). a n b (n ) vagy lim n a n = b jelölést használjuk. N(ε)-t az ε-hoz tartozó küszöbszámnak nevezzük. Egy R k -beli sorozatot divergensnek nevezünk, ha nem konvergens. Állítás [R k -beli sorozat koordinátánként konvergens] akkor és csakis akkor, ha a n = (a n,1, a n,2,..., a n,k ) b = (b 1, b 2,..., b k ) (n ) a n,i b i (n ) minden i = 1, 2,..., k mellett. Ez azt jelenti, hogy egy vektorsorozat akkor és csakis akkor konvergens, ha a sorozat minden koordinátája konvergens és határértéke a határvektor megfelelő koordinátája. Bizonyítás. Mivel minden j = 1, 2,..., k mellett a n,j b j a n b = k (a n,i b i ) 2 k max a n,j b j, 1 j k i=1 Ebből látható, hogy a n b < ε akkor a n,j b j < ε minden j = 1, 2,..., k mellett. Fordítva, ha a n,j b j < ε minden j = 1, 2,..., k mellett akkor max a n,j b j < ε így a n b = k ε 1 j k igazolva állításunkat. Példa. a n = ( 1 n, ) n 2 (0, 1) ha n. 9.2 Többváltozós függvények határértéke és folytonossága Egy D R k halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel jelöljük. Definíció. Legyen f : D R k R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási pontja). Azt mondjuk, hogy f-nek van (véges) határértéke az x 0 pontban, ha van olyan a R szám, hogy minden ɛ > 0-hoz van olyan δ(ɛ) > 0, hogy f(x) a < ɛ ha 0 < x x 0 < δ(ɛ) és x D teljesül. Az a R számot az f függvény x 0 pontbeli határértékének nevezzük, és jelölésére az a = f(x) a ( ha x x 0 )-t használjuk. lim f(x) vagy x x 0 A határérték, ha létezik, akkor egyértelmű. Átviteli elv, műveletek, egyenlőtlenségek és határérték kapcsolata most is érvényes. A határérték fogalma a R b -re hasonlóan kiterjeszthető, mint egy változónál.

4 4 Definíció. Az f : D R k R függvényt értelmezési tartományának x 0 D pontjában folytonosnak nevezzük, ha bármely ɛ > 0-hoz van olyan δ(ɛ) > 0, hogy teljesül. f(x) f(x 0 ) < ɛ ha x x 0 < δ(ɛ) és x D Itt is érvényes az átviteli elv: az f : D R k R függvény az x 0 D pontban akkor és csakis akkor folytonos, ha bármely (x n ) : N D az x 0 -hoz konvergáló sorozat esetén f(x n ) f(x 0 ) ha n. Folytonos függvények tulajdonságai ugyanazok mint az egyváltozós esetben. 9.3 Többváltozós függvények differenciálhatósága Definíció. Az f : D R k R függvényt az x 0 D belső pontban (totálisan) differenciálhatónak nevezzük, ha van olyan A R k vektor melyre f(x) f(x 0 ) A, x x 0 lim = 0. x x 0 x x 0 Az f (x 0 ):=A vektort az f függvény x 0 pontbeli deriváltjának nevezzük. Geometriai jelentés: a függvény f(x) f(x 0 ) növekményét az A, x x 0 lineáris függvény jól közelíti (mivel a definíció szerint az f(x) f(x 0 ) A, x x 0 különbség olyan kicsi hogy még x x 0 -val elosztva is nullához tart, ha x x 0 ), a függvény által meghatározott felületnek az x 0 pontban van érintősíkja, ez éppen az x k+1 = f(x 0 ) + A, x x 0 hipersík az R k+1 térben. Definíció. Az f : D R k R függvényt az x 0 D belső pontban az e (ahol e egy R k -beli egységvektor) irány mentén differenciálhatónak nevezzük, ha létezik a f(x 0 + te) f(x 0 ) lim t 0 t (véges) határérték. E határértéket D e f(x 0 )-lal jelöljük, és az f függvény e iránymenti deriváltjának nevezzük az x 0 pontban. D e f(x 0 ) jelentése: az f függvény változási sebessége az e irányában. Ha speciálisan e = u i = (0,..., 0, 1, 0,..., 0) az i-edik tengely irányába mutató egységvektor (az u i vektor i-edik koordinátája 1, a többi 0) akkor a D ui f(x 0 ) iránymenti deriváltat az f függvény i-edik változója szerinti parciális deriváltjának nevezzük az x 0 pontban. Jelölésére az i f(x 0 ) szimbólumot használjuk. Egyéb jelölések: xi f(x 0 ), f x i (x 0 ), f xi (x 0 ) Definíció. Az f : D R k R függvényt az x 0 D belső pontban parciálisan differenciálhatónak nevezzük, ha i f(x 0 ) minden i = 1,..., n-re létezik.

5 5 Mivel (x i = x 0,i + t jelöléssel) D ui f(x 0 ) f(x 0,1,..., x 0,i + t,..., x 0,k ) f(x 0,1,..., x 0,i,..., x 0,k ) = lim t 0 t f(x 0,1,..., x i,..., x 0,k ) f(x 0,1,..., x 0,i,..., x 0,k ) = lim x i x 0,i x i x 0,i így i f(x 0 )-t úgy számítjuk ki, hogy az i-edik változó szerint differenciálunk, miközben a többi változót konstansnak tekintjük. Példa parciális deriváltak kiszámítására, és a fogalmak felírására két változó esetén(ld. előadás) TÉTEL [iránymenti derivált kiszámítása] Ha f : D R n R az x 0 D belső pontban (totálisan) differenciálható, akkor bármely e = (e 1,..., e k ) R k, e = e e2 k = 1 irány mentén is differenciálható x 0 -ban, és az iránymenti deriváltjára áll fenn, ahol A = f (x 0 ). D e f(x 0 ) = A, e = A 1 e A k e k így Speciálisan, ha e = u i = (0,..., 1,..., 0) (ahol az 1 az i-edik helyen áll), akkor D ui f(x 0 ) = i f(x 0 ) = A i D e f(x 0 ) = 1 f(x 0 )e k f(x 0 )e k. Ez azt jelenti, hogy (totális) differenciálhatóság parciális differenciálhatóság. Az is következik, hogy f (x 0 ) = A = ( 1 f(x 0 ),..., k f(x 0 )) azaz az f (x 0 (totális) derivált (vektor) koordinátái a parciális deriváltak. Bizonyítás. A differenciálhatóság ε(x) := f(x) f(x 0 ) A, x x 0 jelöléssel f(x) f(x 0 ) = A, x x 0 + ε(x) ε(x) és a differenciálhatóság definíciója miatt lim x tox 0 = 0. Innen x x 0 f(x 0 + te) f(x 0 ) t ha t 0 bizonyítva állításunkat. = A, te + ε(x 0 + te) t = A, e + t t ε(x 0 + te) A, e x 0 + te x 0 TÉTEL [(totális) differenciálhatóság folytonosság] Ha f : D R k R az x 0 D belső pontban (totálisan) differenciálható, akkor f folytonos x 0 -ban. Bizonyítás. Az előző bizonyításban használt ε(x) segítségével kapjuk, hogy f(x) f(x 0 ) = A, x x 0 + ε(x) x x 0 x x 0 0 ha x x 0, mivel ekkor a jobboldali összeg mindkét tagja nullához tart. Megjegyzés. f parciális differenciálhatóságából f folytonossága. Ellenpélda a { 0 ha x1 x f(x 1, x 2 ) = ha x 1 x 2 = 0 ahol 1 f(0, 0) = 2 f(0, 0) = 0, de f nem folytonos (0, 0)-ban. A parciális deriváltak folytonossága viszont garantálja a (totális) differenciálhatóságot, így a folytonosságot is. TÉTEL [parc. deriv. folytonossága (totális) differenciálhatóság ] Ha az f : D R k R függvénynek az x 0 D belső pont egy környezetében folytonos parciális deriváltjai vannak (ekkor azt úgy mondjuk, hogy a függvény folytonosan parciálisan differenciálhato e környezetben) akkor f az x 0 pontbanban (totális) differenciálható, (így folytonos is).

6 6 Bizonyítás. Az egyszerűség kedvéért csak két változó esetén bizonyítunk. f(x 1, x 2 ) f(x 0,1, x 0,2 ) = [f(x 1, x 2 ) f(x 1, x 0,2 )] + [f(x 1, x 0,2 ) f(x 0,1, x 0,2 )]. A szögletes zárójelben levő különbségekre az egyváltozós Lagrange-féle középértéktételt használva kapjuk, hogy f(x 1, x 2 ) f(x 0,1, x 0,2 ) = 2 f(x 1, ξ 2 )(x 2 x 0,2 ) + 1 f(ξ 1, x 0,2 )(x 1 x 0,1 ) ahol ξ 1 az x 1 és x 01 közötti érték, ξ 2 pedig x 2 és x 0,2 között van. A parciális deriváltak x 0 = (x 0,1, x 0,2 ) pontbeli folytonossága miatt 1 f(ξ 1, x 0,2 ) = 1 f(x 0,1, x 0,2 ) + ε 1, 2 f(x 1, ξ 2 ) = 2 f(x 0,1, x 0,2 ) + ε 2 ahol ε i 0 (i = 1, 2) ha (x 1, x 2 ) (x 0,1, x 0,2 ). Így f(x 1, x 2 ) f(x 0,1, x 0,2 ) = 1 f(x 0,1, x 0,2 )(x 1 x 0,1 ) + 2 f(x 0,1, x 0,2 )(x 2 x 0,2 ) + ε ahol ε = ε 1 (x 1 x 0,1 ) + ε 2 (x 2 x 0,2 ). Állítśunk bizonyítva lesz, ha megmutatjuk, hogy ε (1) (x1 x 0,1 ) 2 + (x 2 x 0,2 ) 0 ha (x 1, x 2 ) (x 0,1, x 0,2 ). 2 Mivel ε (x1 x 0,1 ) 2 + (x 2 x 0,2 ) = ε x 1 x 0,1 2 1 (x1 x 0,1 ) 2 + (x 2 x 0,2 ) + ε x 2 x 0,2 2 2 (x1 x 0,1 ) 2 + (x 2 x 0,2 ) 2 ε i 0 és a ε i -k utáni törtek abszolút értéke 1, így valóban fennáll (1). TÉTEL [láncszabály: összetett függvény differenciálhatósága] Ha a g i : D R k R (i = 1, 2,..., l) függvények differenciálhatók az x 0 D belső pontban, és f : E R l R differenciálható az y 0 = g(x 0 ) E belső pontban, ahol g(x) := (g 1 (x), g 2 (x),..., g l (x)) (x D), akkor a h(x) := f(g(x)) összetett függvény (mely x 0 D egy környezetében biztosan értelmezve van) differenciálható x 0 D-ben és i h(x 0 ) = Utóbbi képletet nevezzük láncszabálynak. Bizonyítás.- l j f(g(x 0 )) i g j (x 0 ) j=1 (i = 1, 2,..., k). 9.4 Magasabbrendű parciális deriváltak Tegyük fel, hogy az f : D R k R függvénynek az x 0 D belső pont egy környezetében létezik pl. az i-edik változó szerinti i f parciális derivált. Ha ez parciálisan differenciálható pl. az j-edik változó szerint, úgy a e deriválást elvégezve kapjuk a j i f(x 0 ) := j ( i f(x 0 )) második parciális deriváltját f-nek az x 0 pontban az i-edik és j-edik váltzozók szerint (ebben a sorrendben). Hasonlóan ha a j i f(x) drivált létezik x 0 egy környezetében és ez parciálisan differenciálható pl. a l-edik változó szerint, úgy a e deriválást elvégezve kapjuk a l i j f(x 0 ) := l ( i j f(x 0 )) harmadik parciális deriváltat. Hasonlóan értelmezhetjük a negyed- és magasabbrendű parciális deriváltakat is. Egyéb jelölések a magasabbrendű deriváltakra: xj xi f(x 0 ) 2 f x j x i (x 0 ), f xix j (x 0 )

7 7 Példa. Számítsuk ki az f(x, y) = x 2 + y 2 e xy ((x, y) R 2 ) függvény összes első és másodrendű parciális deriváltját, és hasonlítsuk össze a 1 2 f(x, y) és 2 1 f(x, y) vegyes deriváltakat. TÉTEL [Young tétel: a vegyes parciális deriváltak függetlensége a deriválás sorrendjétől] Ha az f : D R k R függvénynek az x 0 D belső pont egy környezetében az összes m 2-edik parciális deriváltjai léteznek és folytonosak az x 0 pontban, akkor a függvény m-edik parciális deriváltjai az x 0 pontban a differenciálás sorrendjétől függetlenek. 9.5 Többváltozós függvények szélsőértéke Definíció. Azt mondjuk, hogy az f : D R k R függvénynek lokális (helyi) maximuma (minimuma) van az x 0 D pontban, ha van olyan ε > 0 hogy f(x 0 ) f(x) (f(x 0 ) f(x)) teljesül minden x K(x 0, ε) D esetén. Azt mondjuk, hogy az f : D R k R függvénynek szigorú lokális (helyi) maximuma (minimuma) van az x 0 D pontban, ha van olyan ε > 0 hogy f(x 0 ) > f(x) (f(x 0 ) < f(x)) teljesül minden x K(x 0, ε) D, x x 0 esetén. Azt mondjuk, hogy az f : D R k R függvénynek globális (vagy abszolút) maximuma (minimuma) van az x 0 D pontban, ha f(x 0 ) f(x) (f(x 0 ) f(x)) teljesül minden x D esetén. Azt mondjuk, hogy az f : D R k R függvénynek szigorú globális (vagy abszolút) maximuma (minimuma) van az x 0 D pontban, ha esetén. f(x 0 ) > f(x) (f(x 0 ) < f(x)) teljesül minden x D, x x 0 TÉTEL [a szélsőérték létezésének elegendő feltétele] Korlátos zárt halmazon folytonos függvény felveszi a függvényértékek infimumát és supremumát függvényértékként, ami azt jelenti, hogy a függvénynek van minimuma és maximuma (az illető korlátos zárt halmazon). TÉTEL [a szélsőérték elsőrendű szükséges feltétele] Ha f : D R k R f ggvénynek az x 0 D belső pontban lokális szélsőértéke van, és léteznek f első parciális deriváltjai x 0 -ban, akkor (2) 1 f(x 0 ) = 2 f(x 0 ) = = k f(x 0 ) = 0. Az (2) feltételnek elegettevő x 0 pontokat az f függvény stacionárius pontjainak nevezzük. Bizonyítás. Legyen ϕ i (t) := f(x 0,1,..., x 0,i + t,..., x 0,k ) (i = 1,..., k) ahol x 0 = (x 0,1,..., x 0,k ) és t elég kicsi. Feltevésünk szerint a ϕ i (t = 0-ban differenciálható) függvényeknek lokális szélsőértéke van t = 0 ban, így igazolva áll ításunkat. 0 = ϕ i(0) = i f(x 0 ) (i = 1,..., k) TÉTEL [a szélsőérték másodrendű elegendő feltétele] Tegyük fel, hogy az f : D R k R összes második parciális deriváltjai folytonosak az x 0 D belső pont egy környezetében, továbbá (3) 1 f(x 0 ) = 2 f(x 0 ) = = k f(x 0 ) = 0, azaz x 0 stacionárius pontja f-nek.

8 8 I. Ha a (4) Q(h) = Q(h 1,..., h k ) := k j=1 i=1 k j i f(x 0 )h i h j kvadratikus függvény pozitív definit, azaz Q(h) > 0 minden h R k, h 0 esetén, akkor f-nek szigorú lokális minimuma van x 0 -ban, II. ha a Q kvadratikus függvény negatív definit, azaz Q(h) < 0 minden h R k, h 0 esetén, akkor f-nek szigorú lokális maximuma van x 0 -ban, III. ha a Q kvadratikus függvény indefinit, azaz Q(h) felvesz pozitív és negatív értéket is, akkor f-nek nincs szélsőértéke x 0 -ban. ahol Bizonyítás.- Két változó esetén egyszerű ellenőrizni egy kvadratikus függvény pozitív vagy negatív definitségét. Ekkor Q(h 1, h 2 ) = Ah Bh 1 h 2 + Ch 2 2 A = 1 1 f(x 0 ), B = 1 2 f(x 0 ), C = 2 2 f(x 0 ). Itt már felhasználtuk azt, hogy feltételeink mellett a vegyes második parciális deriváltak az x 0 pontban egyenlők. Tegyük fel, hogy Q pozitív definit, akkor A < 0 nem lehet, mert pl. h 2 = 0-t véve Q(h 1, 0) = Ah 2 1 < 0 volna minden h 1 0 mellett. A = 0 sem lehet, mert akkor C = 0 esetén Q(h 1, h 2 ) = 2Bh 1 h 2 nyilvánvalóan felvesz pozitív és negatív értékeket is ha B 0, míg B = 0 esetén Q azonosan zérus. Ha ha C < 0, akkor Q(h 1, h 2 ) = 2Bh 1 h 2 + Ch 2 2 negatív értékeket is felvesz h 1 = 0, h 2 0 mellett. Végül, ha C > 0 volna akkor a Q(h 1, h 2 ) = 2Bh 1 h 2 + Ch 2 2 = C [ ( h 2 + B ) 2 C h 1 ( B C ) 2 h 2 1 átalakítást használva látjuk, hogy Q(h 1, h 2 ) 0 csak B = 0 esetén teljesül, ekkor viszont Q(h 1, h 2 ) = Ch 2 2 nulla lenne tetszőleges h 1 és h 2 = 0 mellett ami ellentmond a pozitív definitségnek. Így A > 0 és Q(h 1, h 2 ) = A [ ( h 1 + B ) 2 ( ) ] C A h 2 + A B2 A 2 h 2 2 mutatja, hogy a C A B2 A 2 > 0, vagy AC B2 > 0 a pozitív definitség szükséges és elegendő feltétele. Ezzel igazoltuk azt, hogy ] a Q(h 1, h 2 ) kvadratikus függvény akkor és csakis akkor pozitív definit, ha (5) 1 := 1 1 f(x 0 ) > 0, 2 := 1 1 f(x 0 ) 1 2 f(x 0 ) 1 2 f(x 0 ) 2 2 f(x 0 ) > 0. Hasonlóan bizonyíthatjuk azt, hogy Q(h 1, h 2 ) akkor és csakis akkor negatív definit, ha (6) 1 < 0, 2 > 0. Az előzőek alapján könnyű belátni, hogy a (7) 2 < 0 egyenlőtlenség elegendő Q indefinítségéhez. Példa. f(x, y) = x 3 + y 3 3xy (x, y) R 2 lokális szélsőértékeinek meghatározása.

9 9 9.6 Feltételes szélsőérték Definíció. Legyenek f : D R k+m R, h i : D R k+m R i = 1,..., m adott függvények. Azt mondjuk, hogy az f függvénynek az x 0 D pontban a h 1 (x) = 0, h 2 (x) = 0,..., h m (x) = 0 feltételek mellett lokális feltételes maximuma (minimuma) van, ha van olyan ε > 0 hogy mellett, melyre f(x 0 ) f(x) (f(x 0 ) f(x)) teljesül minden x D K(x 0, ε) h 1 (x) = = h m (x) = 0. TÉTEL [a feltételes szélsőérték szükséges feltétele] Tegyük fel, hogy az f, h i : D R k+m R (i = 1,..., m), az f függvénynek az x 0 D belső pontban a h 1 (x) = 0, h 2 (x) = 0,..., h m (x) = 0 feltételek mellett lokális feltételes szélsőértéke van, továbbá az f és h i (i = 1,..., m) parciális deriváltjai folytonosak x 0 egy környezetében és a ( j h i (x 0 )) (j = 1,..., k + m, i = 1,..., m) mátrixnak van nemzérus m-edrendű aldeterminánsa. Akkor vannak olyan λ 1,... λ m R valós számok, hogy az függvényre F (x) := f(x) + λ 1 h 1 (x) + + λ m h m (x) (x D) 1 F (x 0 ) = = k+m F (x 0 ) = 0. A λ 1,... λ m számokat Lagrange-féle multiplikátoroknak nevezzük, az F függvényt a feltételes szélsőérték probléma Lagrange-féle függvényének nevezzük. A feltételes szélsőérték probléma megoldása úgy történik, hogy a 1 F (x 0 ) = 0, 2 F (x 0 ) = 0,..., k+m F (x 0 ) = 0, h 1 (x) = 0, h 2 (x) = 0,..., h m (x) = 0 k + 2m db. egyenletből álló rendszert megoldjuk az x 1,..., x k+m, λ 1,... λ m ismeretlenekre, a kapott x 1,..., x k+m megoldások adják a feltételes szélsőérték lehetséges helyeit. Megjegyzés. Van másodrendű elegendő feltétel is a feltételes szélsőértékre, de azt nem tanuljuk. Példa. Határozza meg az feltételes szélsőértékeit a feltétel mellett. f(x, y) = x + 2y ((x, y) R 2 ) h(x, y) = x 2 + y 2 1 = 0 körvonal Megjegyzés. Érdemes a feladatot geometriailag is szemléltetni, abból leolvasható az hogy minimum vagy maximum van-e a kiszámolt pontokban.

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok aximómarendszere Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 1.Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve, az

Részletesebben

PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak

PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak MATEMATIKA (A tantárgy tartalma és a tananyag elsajátításának időterve.) Összeállította: Kis Miklós adjunktus Tankönyvek (mindhárom félévre): 1. Scharnitzky

Részletesebben

Matematika. 4. konzultáció: Kétváltozós függvények szélsőértéke. Parciális függvény, parciális derivált

Matematika. 4. konzultáció: Kétváltozós függvények szélsőértéke. Parciális függvény, parciális derivált Matematika 1 NYME KTK, Egyetemi kiegészítő alapképzés 2004/2005. tanév, I. évf. I.félév Budapest Előadó: Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet 9400 Sopron, Bajcsy Zs. u. 9. GT fszt. 3. (99) 518

Részletesebben

Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat, megoldással,

Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat, megoldással, Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat, megoldással, levelező képzés Definiálja az alábbi fogalmakat! 1. Kvadratikus mátrix invertálhatósága és inverze. (4 pont) Egy A kvadratikus mátrixot invertálhatónak

Részletesebben

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 15 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 151 Lineáris egyenletrendszer, Gauss elimináció 1 Definíció Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az (1) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a

Részletesebben

A valós számok halmaza

A valós számok halmaza VA 1 A valós számok halmaza VA 2 A valós számok halmazának axiómarendszere és alapvető tulajdonságai Definíció Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti a következő axiómarendszerben

Részletesebben

A lineáris algebrában központi szerepet betöltı vektortér fogalmát értelmezzük most, s megvizsgáljuk e struktúra legfontosabb egyszerő tulajdonságait.

A lineáris algebrában központi szerepet betöltı vektortér fogalmát értelmezzük most, s megvizsgáljuk e struktúra legfontosabb egyszerő tulajdonságait. 2. VEKTORTÉR A lineáris algebrában központi szerepet betöltı vektortér fogalmát értelmezzük most, s megvizsgáljuk e struktúra legfontosabb egyszerő tulajdonságait. Legyen K egy test és V egy nem üres halmaz,

Részletesebben

MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS

MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS Szerkesztette: Balogh Tamás 214. december 7. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Matematika I

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Matematika I Matematika I (Analízis) Készítette: Horváth Gábor Kötelező irodalom: Ács László, Gáspár Csaba: Analízis 1 Oktatási segédanyagok és a tantárgyi követelményrendszer megtalálható a http://rs1.szif.hu/ horvathg/horvathg.html

Részletesebben

TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok I. útmutató

TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok I. útmutató BGF PÉNZÜGYI ÉS SZÁMVITELI KAR Módszertani Intézeti Tanszéki Osztály TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok I. útmutató 2014/2015. tanév I. félév Tantárgyi program Tantárgy megnevezése Matematikai alapok

Részletesebben

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének 6. Függvények I. Elméleti összefoglaló A függvény fogalma, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet Legyen az A és B halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük

Részletesebben

TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok I. útmutató

TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok I. útmutató BGF PÉNZÜGYI ÉS SZÁMVITELI KAR Módszertani Intézeti Tanszéki Osztály TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok I. útmutató 2013/2014. tanév II. félév Tantárgyi program Tantárgy megnevezése Matematikai alapok

Részletesebben

Számítógépes programok alkalmazása az analízisben

Számítógépes programok alkalmazása az analízisben Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Számítógépes programok alkalmazása az analízisben Szakdolgozat Csillagvári Dániel Matematika BSc, elemző szakirány Témavezető: Gémes Margit Analízis

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Valós számsorozaton valós számok meghatározott sorrendű végtelen listáját értjük. A hangsúly az egymásután következés rendjén van.

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. (Derivált)

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. (Derivált) Valós függvények (3) (Derivált) . Legyen a belső pontja D f -nek. Ha létezik és véges a f(x) f(a) x a x a = f (a) () határérték, akkor f differenciálható a-ban. Az f (a) szám az f a-beli differenciálhányadosa.

Részletesebben

Konvex optimalizálás feladatok

Konvex optimalizálás feladatok (1. gyakorlat, 2014. szeptember 16.) 1. Feladat. Mutassuk meg, hogy az f : R R, f(x) := x 2 függvény konvex (a másodrend derivált segítségével, illetve deníció szerint is)! 2. Feladat. Mutassuk meg, hogy

Részletesebben

Dierenciálhányados, derivált

Dierenciálhányados, derivált 9. fejezet Dierenciálhányados, derivált A dierenciálhányados deníciója D 9.1 Az egyváltozós valós f függvény x0 pontbeli dierenciálhányadosának nevezzük a lim f(x0 + h) f(x0) h 0 h határértéket, ha ez

Részletesebben

Feladatok a levelező tagozat Gazdasági matematika I. tárgyához. Halmazelmélet

Feladatok a levelező tagozat Gazdasági matematika I. tárgyához. Halmazelmélet Debreceni Egyetem, Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a levelező tagozat Gazdasági matematika I. tárgyához a megoldásra feltétlenül ajánlott feladatokat jelöli Halmazelmélet () Legyen A = {, 3, 4}, B =

Részletesebben

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság.

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság. 2. Közönséges differenciálegyenlet megoldása, megoldhatósága Definíció: Az y függvényt a valós számok H halmazán a közönséges differenciálegyenlet megoldásának nevezzük, ha az y = y(x) helyettesítést elvégezve

Részletesebben

Feladatok megoldásokkal az ötödik gyakorlathoz (Taylor polinom, szöveges szélsőérték problémák)

Feladatok megoldásokkal az ötödik gyakorlathoz (Taylor polinom, szöveges szélsőérték problémák) Feladatok megoldásokkal az ötödik gyakorlathoz Taylor polinom, szöveges szélsőérték problémák) 1. Feladat. Írjuk fel az fx) = e x függvény a = 0 pont körüli negyedfokú Taylor polinomját! Ennek segítségével

Részletesebben

karakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja

karakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja Mátrixok hasonlósága, karakterisztikus mátrix, karakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja 1.Mátrixok hasonlósága, karakterisztikus mátrix, karakterisztikus

Részletesebben

Valasek Gábor valasek@inf.elte.hu

Valasek Gábor valasek@inf.elte.hu Számítógépes Grafika Valasek Gábor valasek@inf.elte.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2013/2014. őszi félév ( Eötvös LorándSzámítógépes TudományegyetemInformatikai Grafika Kar) 2013/2014.

Részletesebben

1. Sorozatok 2014.03.12.

1. Sorozatok 2014.03.12. 1. Sorozatok Azokat a függvényeket, amelyek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza ( jelölése N ), a képhalmaz a valós számok halmaza, sorozatnak nevezzük. Az a függvény n N helyen vett

Részletesebben

Tartalomjegyzék. 3. Elsőfokú egyenletek és egyenlőtlenségek... 8 3.1. Elsőfokú egyenletek... 8 3.2. Valós szám abszolút értéke...

Tartalomjegyzék. 3. Elsőfokú egyenletek és egyenlőtlenségek... 8 3.1. Elsőfokú egyenletek... 8 3.2. Valós szám abszolút értéke... Tartalomjegyzék 1. Műveletek valós számokkal... 1 1.1. Gyökök és hatványozás... 1 1.1.1. Hatványozás... 1 1.1.2. Gyökök... 1 1.2. Azonosságok... 2 1.3. Egyenlőtlenségek... 3 2. Függvények... 5 2.1. A függvény

Részletesebben

1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor

1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor . Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor Vizsgálja meg a következ végtelen sorokat konvergencia szempontjából. Tétel. (Cauchy-féle bels konvergenciakritérium) A a n végtelen sor akkor és csakis

Részletesebben

E-tananyag Matematika 9. évfolyam 2014. Függvények

E-tananyag Matematika 9. évfolyam 2014. Függvények Függvények Függvények értelmezése Legyen adott az A és B két nem üres halmaz. Az A halmaz minden egyes eleméhez rendeljük hozzá a B halmaz egy-egy elemét. Ez a hozzárendelés egyértelmű, és ezt a hozzárendelést

Részletesebben

Fourier-sorok. néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól. Vizsgán. k=1. 1 k = j.

Fourier-sorok. néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól. Vizsgán. k=1. 1 k = j. Fourier-sorok Bevezetés. Az alábbi anyag a vizsgára való felkészülés segítése céljából készült. Az alkalmazott jelölések vagy bizonyítás részletek néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól.

Részletesebben

Analízis előadás és gyakorlat vázlat

Analízis előadás és gyakorlat vázlat Analízis előadás és gyakorlat vázlat Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 00-. I. Félév . fejezet Számhalmazok és tulajdonságaik.. Nevezetes számhalmazok ➀ a) jelölése: N b) elemei:

Részletesebben

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok I. DEFINÍCIÓ: (Számsorozat) A számsorozat olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza, értékkészlete a valós számok egy részhalmaza. Jelölés: (a n ), {a n }.

Részletesebben

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat.

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat. Poisson folyamatok, exponenciális eloszlások Azt mondjuk, hogy a ξ valószínűségi változó Poisson eloszlású λ, 0 < λ

Részletesebben

Exponenciális, logaritmikus függvények

Exponenciális, logaritmikus függvények Exponenciális, logaritmikus függvények DEFINÍCIÓ: (Összetett függvény) Ha az értékkészlet elemeihez, mint értelmezési tartományhoz egy újabb egyértelmű hozzárendelést adunk meg, akkor összetett (közvetett)

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII.

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Magasabbfokú egyenletek: A 3, vagy annál nagyobb fokú egyenleteket magasabb fokú egyenleteknek nevezzük. Megjegyzés: Egy n - ed fokú egyenletnek legfeljebb n darab valós

Részletesebben

Függvények határértéke és folytonossága

Függvények határértéke és folytonossága Függvények határértéke és folytonossága 7. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Függvények határértéke p. / Függvény határértéke az x 0 helyen Definíció. Legyen D R, f

Részletesebben

Készítette: Fegyverneki Sándor

Készítette: Fegyverneki Sándor VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS Összefoglaló segédlet Készítette: Fegyverneki Sándor Miskolci Egyetem, 2001. i JELÖLÉSEK: N a természetes számok halmaza (pozitív egészek) R a valós számok halmaza R 2 {(x, y) x, y

Részletesebben

2. Zárthelyi megoldásokkal 1998 tavasz I. évf. 13.-18.tk.

2. Zárthelyi megoldásokkal 1998 tavasz I. évf. 13.-18.tk. . Zárthelyi megoldásokkal 998 tavasz I. év..-8.tk.. Döntse el, hogy létezik e, és ha igen, számítsa ki az ) e üggvény századik deriváltját az helyen! MO. Egyrészt e ) n origó körüli Taylor-sora alapján

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 3 III. MEGFELELTETÉSEk, RELÁCIÓk 1. BEVEZETÉS Emlékeztetünk arra, hogy az rendezett párok halmazát az és halmazok Descartes-féle szorzatának nevezzük. Más szóval az és halmazok

Részletesebben

Érettségi előkészítő emelt szint 11-12. évf. Matematika. 11. évfolyam. Tematikai egység/fejlesztési cél

Érettségi előkészítő emelt szint 11-12. évf. Matematika. 11. évfolyam. Tematikai egység/fejlesztési cél Emelt szintű matematika érettségi előkészítő 11. évfolyam Tematikai egység/fejlesztési cél Órakeret 72 óra Kötelező Szabad Összesen 1. Gondolkodási módszerek Halmazok, matematikai logika, kombinatorika,

Részletesebben

TANTÁRGYI ÚTMUTATÓ. Gazdasági matematika I. tanulmányokhoz

TANTÁRGYI ÚTMUTATÓ. Gazdasági matematika I. tanulmányokhoz I. évfolyam BA TANTÁRGYI ÚTMUTATÓ Gazdasági matematika I. tanulmányokhoz TÁVOKTATÁS 2015/2016-os tanév I. félév A KURZUS ALAPADATAI Tárgy megnevezése: Gazdasági matematika I. (Analízis) Tanszék: Módszertani

Részletesebben

összeadjuk 0-t kapunk. Képletben:

összeadjuk 0-t kapunk. Képletben: 814 A ferde kifejtés tétele Ha egy determináns valamely sorának elemeit egy másik sor elemeihez tartozó adjungáltakkal szorozzuk meg és a szorzatokat összeadjuk 0-t kapunk Képletben: n a ij A kj = 0, ha

Részletesebben

Széchenyi István Egyetem, 2005

Széchenyi István Egyetem, 2005 Gáspár Csaba, Molnárka Győző Lineáris algebra és többváltozós függvények Széchenyi István Egyetem, 25 Vektorterek Ebben a fejezetben a geometriai vektorfogalom ( irányított szakasz ) erős általánosítását

Részletesebben

ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az eredmény. A kérdés a következő: Mikor mondhatjuk azt, hogy bizonyos események közül

ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az eredmény. A kérdés a következő: Mikor mondhatjuk azt, hogy bizonyos események közül A Borel Cantelli lemma és annak általánosítása. A valószínűségszámítás egyik fontos eredménye a Borel Cantelli lemma. Először informálisan ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az

Részletesebben

Érettségi feladatok: Függvények 1/9

Érettségi feladatok: Függvények 1/9 Érettségi feladatok: Függvények 1/9 2003. Próba 1. Állapítsa meg a valós számok halmazán értelmezett x x 2-2x - 8 függvény zérushelyeit! 2004. Próba 3. Határozza meg a valós számok halmazán értelmezett

Részletesebben

Analízis 1. (BSc) vizsgakérdések Programtervez informatikus szak 2008-2009. tanév 2. félév

Analízis 1. (BSc) vizsgakérdések Programtervez informatikus szak 2008-2009. tanév 2. félév Analízis 1. (BSc) vizsgakérdések Programtervez informatikus szak 2008-2009. tanév 2. félév Valós számok 1. Hogyan szól a Bernoulli-egyenl tlenség? Mikor van egyenl ség? Válasz. Minden h 1 valós számra

Részletesebben

Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek

Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek 9 Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek Irracionális egyenletek /I a) Az egyenlet bal oldala a nemnegatív számok halmazán, a jobb oldal minden valós szám esetén

Részletesebben

Matematika B/1. Tartalomjegyzék. 1. Célkit zések. 2. Általános követelmények. 3. Rövid leírás. 4. Oktatási módszer. Biró Zsolt. 1.

Matematika B/1. Tartalomjegyzék. 1. Célkit zések. 2. Általános követelmények. 3. Rövid leírás. 4. Oktatási módszer. Biró Zsolt. 1. Matematika B/1 Biró Zsolt Tartalomjegyzék 1. Célkit zések 1 2. Általános követelmények 1 3. Rövid leírás 1 4. Oktatási módszer 1 5. Követelmények, pótlások 2 6. Program (el adás) 2 7. Program (gyakorlat)

Részletesebben

Nemlineáris optimalizálás Dr. Házy, Attila

Nemlineáris optimalizálás Dr. Házy, Attila Nemlineáris optimalizálás Dr. Házy, Attila Nemlineáris optimalizálás Dr. Házy, Attila Miskolci Egyetem Kelet-Magyarországi Informatika Tananyag Tárház Kivonat Kivonat Nemzeti Fejlesztési Ügynökség http://ujszechenyiterv.gov.hu/

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Matematikai analízis 1. Szász Róbert

Matematikai analízis 1. Szász Róbert Matematikai analízis Szász Róbert . fejezet.. Topológikus terek... Értelmezés. Adott egy X halmaz. A d : X X [0, + ) függvényt metrikának nevezzük, ha teljesülnek a következő feltételek:. d(x, y) > 0,

Részletesebben

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II.

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II. 8 Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II Elméleti összefoglaló Az a + b+ c, a egyenletet másodfokú egyenletnek nevezzük A D b ac kifejezést az egyenlet diszkriminánsának nevezzük Ha D >, az

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA II 3 III NUmERIkUS SOROk 1 Alapvető DEFInÍCIÓ ÉS TÉTELEk Végtelen sor Az (1) kifejezést végtelen sornak nevezzük Az számok a végtelen sor tagjai Az, sorozat az (1) végtelen sor

Részletesebben

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak!

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak! Magyar Ifjúság 6 V SOROZATOK a) Három szám összege 76 E három számot tekinthetjük egy mértani sorozat három egymás után következő elemének vagy pedig egy számtani sorozat első, negyedik és hatodik elemének

Részletesebben

JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM. Schipp Ferenc ANALÍZIS I. Sorozatok és sorok

JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM. Schipp Ferenc ANALÍZIS I. Sorozatok és sorok JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM Schipp Ferenc ANALÍZIS I. Sorozatok és sorok Pécs, 1994 Lektorok: Dr. FEHÉR JÁNOS egyetemi docens, kandidtus. Dr. SIMON PÉTER egyetemi docens, kandidtus 1 Előszó Ez a jegyzet

Részletesebben

Fourier-sorok. Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia. 2010. április 7.

Fourier-sorok. Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia. 2010. április 7. ME, Anaĺızis Tanszék 21. április 7. A Taylor-polinom ill. Taylor-sor hátránya, hogy az adott függvényt csak a sorfejtés helyén ill. annak környezetében közeĺıti jól. A sorfejtés helyétől távolodva a közeĺıtés

Részletesebben

17.2. Az egyenes egyenletei síkbeli koordinátarendszerben

17.2. Az egyenes egyenletei síkbeli koordinátarendszerben Tartalom Előszó 13 1. Halmazok; a matematikai logika elemei 15 1.1. A halmaz fogalma; jelölések 15 1.2. Részhalmazok; komplementer halmaz 16 1.3. Halmazműveletek 17 1.4. A halmazok ekvivalenciája 20 1.5.

Részletesebben

4. Fuzzy relációk. Gépi intelligencia I. Fodor János NIMGI1MIEM BMF NIK IMRI

4. Fuzzy relációk. Gépi intelligencia I. Fodor János NIMGI1MIEM BMF NIK IMRI 4. Fuzzy relációk Gépi intelligencia I. Fodor János BMF NIK IMRI NIMGI1MIEM Tartalomjegyzék I 1 Klasszikus relációk Halmazok Descartes-szorzata Relációk 2 Fuzzy relációk Fuzzy relációk véges alaphalmazok

Részletesebben

Gazdasági Matematika I.

Gazdasági Matematika I. Dr. Lajkó Károly Gazdasági Matematika I. NYÍREGYHÁZI FŐISKOLA GAZDASÁGMÓDSZERTANI TANSZÉK Dr. Lajkó Károly Gazdasági Matematika I. jegyzet az alapképzéshez NYÍREGYHÁZI FŐISKOLA GAZDASÁGMÓDSZERTANI TANSZÉK

Részletesebben

Taylor-polinomok. 1. Alapfeladatok. 2015. április 11. 1. Feladat: Írjuk fel az f(x) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját!

Taylor-polinomok. 1. Alapfeladatok. 2015. április 11. 1. Feladat: Írjuk fel az f(x) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját! Taylor-polinomok 205. április.. Alapfeladatok. Feladat: Írjuk fel az fx) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját! Megoldás: A feladatot kétféle úton is megoldjuk. Az els megoldásban induljunk el

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I. Számelmélet I. DEFINÍCIÓ: (Osztó, többszörös) Ha egy a szám felírható egy b szám és egy másik egész szám szorzataként, akkor a b számot az a osztójának, az a számot a b többszörösének nevezzük. Megjegyzés:

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Eponenciális és Logaritmikus kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szoálhatnak fontos információval

Részletesebben

Skalárszorzat, norma, szög, távolság. Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2005.

Skalárszorzat, norma, szög, távolság. Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2005. 1 Diszkrét matematika II., 4. el adás Skalárszorzat, norma, szög, távolság Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2005. március 1 A téma jelent sége

Részletesebben

Frissítve: 2015.04.29. Feszültség- és alakváltozási állapot. 1. példa: Írjuk fel az adott kockához tartozó feszültségtenzort!

Frissítve: 2015.04.29. Feszültség- és alakváltozási állapot. 1. példa: Írjuk fel az adott kockához tartozó feszültségtenzort! 1. példa: Írjuk fel az adott kockához tartozó feszültségtenzort! 1 / 20 2. példa: Rajzoljuk fel az adott feszültségtenzorhoz tartozó kockát! 2 / 20 3. példa: Feszültségvektor számítása. Egy alkatrész egy

Részletesebben

Valós függvénytan Elektronikus tananyag

Valós függvénytan Elektronikus tananyag Valós függvénytan Elektronikus tananyag Valós függvénytan: Elektronikus tananyag TÁMOP-4.1.2.A/1-11/1 MSc Tananyagfejlesztés Interdiszciplináris és komplex megközelítésű digitális tananyagfejlesztés a

Részletesebben

Differenciál és integrálszámítás diszkréten

Differenciál és integrálszámítás diszkréten Differenciál és integrálszámítás diszkréten Páles Zsolt Debreceni Egyetem, Matematikai Intézet MAFIÓK, Békéscsaba, 010. augusztus 4-6. Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten

Részletesebben

P 2 P 1. 4.1 ábra Az f(x) függvény globális minimuma (P 1 ) és egy lokális minimuma (P 2 ).

P 2 P 1. 4.1 ábra Az f(x) függvény globális minimuma (P 1 ) és egy lokális minimuma (P 2 ). Paláncz Béla - Numerikus Módszerek - 211-4. Optimalizálás 4 Optimalizálás Bevezetés Az optimalizáció, egy függvény szélsőértéke helyének meghatározása, talán a legfontosabb numerikus eljárások közé tartozik.

Részletesebben

Matematika 10 Másodfokú egyenletek. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < 2015. szeptember 27.

Matematika 10 Másodfokú egyenletek. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < 2015. szeptember 27. Matematika 10 Másodfokú egyenletek Juhász László matematika és fizika szakos középiskolai tanár > o < 2015. szeptember 27. copyright: c Juhász László Ennek a könyvnek a használatát szerzői jog védi. A

Részletesebben

A hiperbolikus síkgeometria Poincaré-féle körmodellje

A hiperbolikus síkgeometria Poincaré-féle körmodellje A hiperbolikus síkgeometria Poincaré-féle körmodellje Ha egy aiómarendszerre modellt adunk, az azt jelenti, hogy egy matematikai rendszerben interpretáljuk az aiómarendszer alapfogalmait és az aiómák a

Részletesebben

I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása

I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása 11 modul: EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK MEGOLDÁSA 6 I Egyenlet fogalma, algebrai megoldása Módszertani megjegyzés: Az egyenletek alaphalmazát, értelmezési tartományát később vezetjük be, a törtes egyenletekkel

Részletesebben

1. előadás. Lineáris algebra numerikus módszerei. Hibaszámítás Számábrázolás Kerekítés, levágás Klasszikus hibaanalízis Abszolút hiba Relatív hiba

1. előadás. Lineáris algebra numerikus módszerei. Hibaszámítás Számábrázolás Kerekítés, levágás Klasszikus hibaanalízis Abszolút hiba Relatív hiba Hibaforrások Hiba A feladatok megoldása során különféle hibaforrásokkal találkozunk: Modellhiba, amikor a valóságnak egy közelítését használjuk a feladat matematikai alakjának felírásához. (Pl. egy fizikai

Részletesebben

Analízisfeladat-gyűjtemény IV.

Analízisfeladat-gyűjtemény IV. Oktatási segédanyag a Programtervező matematikus szak Analízis. című tantárgyához (003 004. tanév tavaszi félév) Analízisfeladat-gyűjtemény IV. (Függvények határértéke és folytonossága) Összeállította

Részletesebben

Feladatok megoldásokkal a második gyakorlathoz (függvények deriváltja)

Feladatok megoldásokkal a második gyakorlathoz (függvények deriváltja) Feladatok megoldásokkal a második gyakorlathoz függvények deriváltja Feladat Deriváljuk az f = 2 3 + 3 2 Felhasználva, hogy összeget tagonként deriválhatunk, továbbá, hogy függvény számszorosának deriváltja

Részletesebben

Következik, hogy B-nek minden prímosztója 4k + 1 alakú, de akkor B maga is 4k + 1 alakú, s ez ellentmondás.

Következik, hogy B-nek minden prímosztója 4k + 1 alakú, de akkor B maga is 4k + 1 alakú, s ez ellentmondás. Prímszámok A (pozitív) prímszámok sorozata a következő: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,... 1. Tétel. Végtelen sok prímszám van. Első bizonyítás. (Euklidész) Tegyük fel, hogy állításunk nem igaz, tehát véges

Részletesebben

Nemkonvex kvadratikus egyenlőtlenségrendszerek pontos dualitással

Nemkonvex kvadratikus egyenlőtlenségrendszerek pontos dualitással pontos dualitással Imre McMaster University Advanced Optimization Lab ELTE TTK Operációkutatási Tanszék Folytonos optimalizálás szeminárium 2004. július 6. 1 2 3 Kvadratikus egyenlőtlenségrendszerek Primál

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 2 II. A valószínűségi VÁLTOZÓ És JELLEMZÉsE 1. Valószínűségi VÁLTOZÓ Definíció: Az leképezést valószínűségi változónak nevezzük, ha

Részletesebben

MATEMATIKA 1. GYAKORLATOK

MATEMATIKA 1. GYAKORLATOK Fritz Józsefné, Kónya Ilona, Pataki Gergely és Tasnádi Tamás MATEMATIKA. GYAKORLATOK 0. Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó Szakmai vezető Lektor Technikai szerkesztő Copyright ii A Matematika.

Részletesebben

-ra nézve (szigorú) abszolút maximumhelye (minimumhelye), ha. -ra nézve (szigorú) abszolút minimumhelye, ha minden

-ra nézve (szigorú) abszolút maximumhelye (minimumhelye), ha. -ra nézve (szigorú) abszolút minimumhelye, ha minden Analízis-lexikon abszolút maximumhelye Legyen hogy tetszőleges függvény, és része értelmezési tartományának Azt mondjuk, az -nek -ra nézve (szigorú) abszolút maximumhelye (minimumhelye), ha minden esetén

Részletesebben

Diszkrét matematika I. gyakorlat

Diszkrét matematika I. gyakorlat Vizsgafeladatok megoldása 2012. december 5. Tartalom Teljes feladatsor #1 1 Teljes feladatsor #1 2 Teljes feladatsor #2 3 Teljes feladatsor #3 4 Teljes feladatsor #4 5 Válogatott feladatok 6 Végső bölcsesség

Részletesebben

11. DETERMINÁNSOK. 11.1 Mátrix fogalma, műveletek mátrixokkal

11. DETERMINÁNSOK. 11.1 Mátrix fogalma, műveletek mátrixokkal 11 DETERMINÁNSOK 111 Mátrix fogalma, műveletek mátrixokkal Bevezetés A közgazdaságtanban gyakoriak az olyan rendszerek melyek jellemzéséhez több adat szükséges Például egy k vállalatból álló csoport minden

Részletesebben

2014/2015. tavaszi félév

2014/2015. tavaszi félév Hajder L. és Valasek G. hajder.levente@sztaki.mta.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2014/2015. tavaszi félév Tartalom Geometria modellezés 1 Geometria modellezés 2 Geometria modellezés

Részletesebben

Többváltozós széls érték számítás és alkalmazásai

Többváltozós széls érték számítás és alkalmazásai Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Többváltozós széls érték számítás és alkalmazásai BSc Szakdolgozat Készítette: Prikkel Anett Matematika BSc Matematikai elemz szakirány Témavezet :

Részletesebben

Tartalomjegyzék 1. Műveletek valós számokkal... 1 8 2. Függvények... 8 12 3. Elsőfokú egyenletek és egyenlőtlenségek... 13 16

Tartalomjegyzék 1. Műveletek valós számokkal... 1 8 2. Függvények... 8 12 3. Elsőfokú egyenletek és egyenlőtlenségek... 13 16 Tartalomjegyzék 1. Műveletek valós számokkal... 1 8 1.1. Gyökök és hatványozás... 1 3 1.1.1. Hatványozás...1 1.1.2. Gyökök... 1 3 1.2. Azonosságok... 3 4 1.3. Egyenlőtlenségek... 5 8 2. Függvények... 8

Részletesebben

Az osztályozóvizsgák követelményrendszere MATEMATIKA

Az osztályozóvizsgák követelményrendszere MATEMATIKA Az osztályozóvizsgák követelményrendszere MATEMATIKA 1. Számok, számhalmazok A 9. évfolyam során feldolgozásra kerülő témakörök: A nyelvi előkészítő és a két tanítási nyelvű osztályok tananyaga: A számfogalom

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok II.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok II. Sorozatok II. DEFINÍCIÓ: (Mértani sorozat) Az (a n ) valós számsorozatot mértani sorozatnak nevezzük, ha van olyan valós szám, amellyel a sorozat bármely tagját megszorozva a következő tagot kapjuk. Jelöléssel:

Részletesebben

1. A komplex számok definíciója

1. A komplex számok definíciója 1. A komplex számok definíciója A számkör bővítése Tétel Nincs olyan n természetes szám, melyre n + 3 = 1. Bizonyítás Ha n természetes szám, akkor n+3 3. Ezért bevezettük a negatív számokat, közöttük van

Részletesebben

Analízis Gyakorlattámogató jegyzet

Analízis Gyakorlattámogató jegyzet Analízis Gyakorlattámogató jegyzet Király Balázs. március. Tartalomjegyzék Előszó 7 I. Analízis I. 9. Számhalmazok tulajdonságai.. Gyakorlat.......................................... Házi Feladatok.....................................

Részletesebben

1. Algebrai alapok: Melyek műveletek az alábbiak közül?

1. Algebrai alapok: Melyek műveletek az alábbiak közül? 1. Algebrai alapok: Művelet: Egy H nemüres halmazon értelmezett (kétváltozós) műveleten egy H H H függvényt értünk, azaz egy olyan leképezést, amely bármely a,b H elempárhoz egyértelműen hozzárendel egy

Részletesebben

Megoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7

Megoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7 A = {1; 3; 5; 7; 9} A B = {3; 5; 7} A/B = {1; 9} Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7 Azonos alapú hatványokat

Részletesebben

Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály, középszint

Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály, középszint TÁMOP-4-08/-009-00 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Feladatok a logaritmus témaköréhez osztály, középszint Vasvár, 00 május összeállította: Nagy

Részletesebben

Numerikus módszerek: Nemlineáris egyenlet megoldása (Newton módszer, húrmódszer). Lagrange interpoláció. Lineáris regresszió.

Numerikus módszerek: Nemlineáris egyenlet megoldása (Newton módszer, húrmódszer). Lagrange interpoláció. Lineáris regresszió. YBL - SGYMMAT202XXX Matematika II. Tantárgyfelelős: Dr. Joós Antal Tárgyelőadó: Dr. Joós Antal Tantárgyi leírás Oktatási cél: Azoknak a matematikai alapoknak a megszerzése, melyek a szaktárgyak elsajátításához

Részletesebben

0. Teszt megoldás, matek, statika / kinematika

0. Teszt megoldás, matek, statika / kinematika 0. Teszt megoldás, matek, statika / kinematika Mechanika (ismétlés) statika, kinematika Dinamika, energia Áramlástan Reológia Optika find x Teszt: 30 perc, 30 kérdés Matek alapfogalmak: Adattípusok: Természetes,

Részletesebben

Szakdolgozat. Miskolci Egyetem. Nemlineáris programozás. Készítette: Horváth Gábor Programtervező informatikus hallgató

Szakdolgozat. Miskolci Egyetem. Nemlineáris programozás. Készítette: Horváth Gábor Programtervező informatikus hallgató Szakdolgozat Miskolci Egyetem Nemlineáris programozás Készítette: Horváth Gábor Programtervező informatikus hallgató Témavezető: Dr. Nagy Tamás egyetemi docens, Alkalmazott Matematikai Tanszék Miskolc,

Részletesebben

Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely. 2015. március 30. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa

Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely. 2015. március 30. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely 2015. március 30. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa Feladatok csak szakközépiskolásoknak Sz 1. A C csúcs értelemszerűen az AB oldal felező

Részletesebben

út hosszát. Ha a két várost nem köti össze út, akkor legyen c ij = W, ahol W már az előzőekben is alkalmazott megfelelően nagy szám.

út hosszát. Ha a két várost nem köti össze út, akkor legyen c ij = W, ahol W már az előzőekben is alkalmazott megfelelően nagy szám. 1 Az utazó ügynök problémája Utazó ügynök feladat Adott n számú város és a városokat összekötő utak, amelyeknek ismert a hossza. Adott továbbá egy ügynök, akinek adott városból kiindulva, minden várost

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 1 I. HALmAZOk 1. JELÖLÉSEk A halmaz fogalmát tulajdonságait gyakran használjuk a matematikában. A halmazt nem definiáljuk, ezt alapfogalomnak tekintjük. Ez nem szokatlan, hiszen

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Komplex számok (2)

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Komplex számok (2) 2. előadás Komplex számok (2) 1. A a + bi (a, b) kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés lehetővé teszi, hogy a komplex számokat a sík pontjaival, illetve helyvektoraival ábrázoljuk. A derékszögű koordináta

Részletesebben

Határozatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Határozatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Határozatlan integrál () First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Az összetett függvények integrálására szolgáló egyik módszer a helyettesítéssel való integrálás. Az idevonatkozó tétel pontos

Részletesebben

Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Tekintsünk a térben egy P (p 1, p 2, p 3 ) pontot és egy v = (v 1, v 2, v 3 ) = 0 vektort. Ekkor pontosan egy egyenes létezik,

Részletesebben

Mer legesség. Wettl Ferenc 2015-03-13. Wettl Ferenc Mer legesség 2015-03-13 1 / 40

Mer legesség. Wettl Ferenc 2015-03-13. Wettl Ferenc Mer legesség 2015-03-13 1 / 40 Mer legesség Wettl Ferenc 2015-03-13 Wettl Ferenc Mer legesség 2015-03-13 1 / 40 Tartalom 1 Pszeudoinverz 2 Ortonormált bázis ortogonális mátrix 3 Komplex és véges test feletti terek 4 Diszkrét Fourier-transzformált

Részletesebben

2) = 0 ahol x 1 és x 2 az ax 2 + bx + c = 0 ( a,b, c R és a 0 )

2) = 0 ahol x 1 és x 2 az ax 2 + bx + c = 0 ( a,b, c R és a 0 ) Fogalom gyűjtemény Abszcissza: az x tengely Abszolút értékes egyenletek: azok az egyenletek, amelyekben abszolút érték jel szerepel. Abszolútérték-függvény: egy elemi egyváltozós valós függvény, mely minden

Részletesebben

Fritz Józsefné, Kónya Ilona, Pataki Gergely és Tasnádi Tamás MATEMATIKA 1. 2011. Tartalomjegyzék

Fritz Józsefné, Kónya Ilona, Pataki Gergely és Tasnádi Tamás MATEMATIKA 1. 2011. Tartalomjegyzék Fritz Józsefné, Kónya Ilona, Pataki Gergely és Tasnádi Tamás MATEMATIKA.. Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó Szakmai vezető Lektor Technikai szerkesztő Copyright ii A Matematika. elektronikus

Részletesebben