Losonczi László. Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar

Átírás

1 Szélsőértékszámítás Losonczi László Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar Losonczi László (DE) Szélsőértékszámítás 1 / 21

2 2. SZÉLSOÉRTÉKSZÁMÍTÁS 2.1 A szélsőérték fogalma, létezése Azt mondjuk, hogy az f : D R k R függvénynek az x 0 D pontban lokális/helyi maximuma (minimuma) van, ha ε > 0, hogy f (x 0 ) f (x) (f (x 0 ) f (x)) x K (x 0, ε) D esetén. szigorú lokális/helyi maximuma (minimuma) van, ha ε > 0, hogy f (x 0 ) > f (x) (f (x 0 ) < f (x)) x K (x 0, ε) D, x x 0 esetén. globális/abszolút maximuma (minimuma) van, ha f (x 0 ) f (x) (f (x 0 ) f (x)) x D esetén. szigorú globális/abszolút maximuma (minimuma) van, ha f (x 0 ) > f (x) (f (x 0 ) < f (x)) x D, x x 0 esetén. Losonczi László (DE) Szélsőértékszámítás 2 / 21

3 2.1 A szélsőérték fogalma, létezése Lokális/globális (szigorú) szélsőérték alatt lokális/globális (szigorú) maximumot, vagy lokális/globális (szigorú) minimumot értünk. Globális szélsőérték létezése: Ha f : D R k R folytonos a korlátos és zárt D halmazon, akkor f -nek van globális maximuma és minimuma D-n. Ha D nem korlátos, vagy korlátos de nem zárt, vagy f nem folytonos, akkor előfordulhat, hogy f -nek van szélsőértéke D-n. Losonczi László (DE) Szélsőértékszámítás 3 / 21

4 2.2 Egyváltozós függvények szélsőértékszámítása Lokális szélsőérték szükséges feltétele Ha f : I R differenciálható az I intervallum x 0 ott lokális szélsőértéke van, akkor f (x 0 ) = 0. Stacionárius pont belső pontjában, és Azokat az x 0 pontokat, amelyekre f (x 0 ) = 0 teljesül, az f függvény stacionárius pontjainak nevezzük. Stacionárius pontban az érintő párhuzamos az x tengellyel, és ott lehet lokális szélsőérték, de nem biztos, hogy van! Milyen x 0 I pontokban lehet egy f : I R függvénynek lokális szélsőértéke? x 0 I belső pont, ahol f (x 0 ) = 0, x 0 x 0 az I intervallum valamely végpontja (ha az I-hez tartozik), az I-nek olyan pontja, ahol f nem differenciálható. Losonczi László (DE) Szélsőértékszámítás 4 / 21

5 2.2 Egyváltozós függvények szélsőértékszámítása Elsőrendű elegendő feltétel lokális szélsőértékre Tegyük fel, hogy f : I R differenciálható az I intervallum x 0 belső pontjának egy környezetében, és x 0 stacionárius pontja f -nek (azaz f (x 0 ) = 0). Ha van olyan r > 0, hogy f (x) 0 ha x ]x 0 r, x 0 [ I, és f (x) 0 ha x ]x 0, x 0 + r[ I, akkor f -nek lokális maximuma van x 0 -ban. Ha van olyan r > 0, hogy f (x) 0, ha x ]x 0 r, x 0 [ I, és f (x) 0 ha x ]x 0, x 0 + r[ I, akkor f -nek lokális minimuma van x 0 -ban. Ha van olyan r > 0, hogy f (x) > 0 ha x ]x 0 r, x 0 + r[ I, x x 0, vagy f (x) < 0 ha x ]x 0 r, x 0 + r[ I, x x 0, akkor f -nek nincs lokális szélsőértéke x 0 -ban, x 0 inflexiós helye f -nek. Losonczi László (DE) Szélsőértékszámítás 5 / 21

6 2.2 Egyváltozós függvények szélsőértékszámítása n-edrendű elegendő feltétel lokális szélsőértékre Tegyük fel, hogy f : I R n-szer folytonosan differenciálható az x 0 I belső pont egy környezetében (azaz f (n) folytonos e környezetben), és f (x 0 ) = f (x 0 ) = = f (n 1) (x 0 ) = 0, de f (n) (x 0 ) 0. Ha n páros, akkor f -nek szigorú lokális szélsőértéke van x 0 -ban, maximum, ha f (n) (x 0 ) < 0, minimum, ha f (n) (x 0 ) > 0. Ha n páratlan, akkor f -nek nincs szélsőértéke x 0 -ban. Losonczi László (DE) Szélsőértékszámítás 6 / 21

7 2.3 Többváltozós függvények szélsőértékszámítása A szélsőérték létezésének szükséges feltétele Ha az f : D R k R függvénynek az x 0 D belső pontban lokális szélsőértéke van, és léteznek f első parciális deriváltjai x 0 -ban, akkor 1 f (x 0 ) = 2 f (x 0 ) = = k f (x 0 ) = 0. (E feltételnek eleget tevő x 0 pontokat az f függvény stacionárius pontjainak nevezzük.) Losonczi László (DE) Szélsőértékszámítás 7 / 21

8 2.3 Többváltozós függvények szélsőértékszámítása A szélsőérték létezésének másodrendű elegendő feltétele Tegyük fel, hogy az f : D R k R összes második parciális deriváltja folytonos az x 0 D belső pont egy környezetében, továbbá 1 f (x 0 ) = 2 f (x 0 ) = = k f (x 0 ) = 0. 1 Ha a k k Q : R k R, Q(h) = Q(h 1,..., h k ) := j i f (x 0 )h i h j j=1 i=1 kvadratikus függvény pozitív definit, azaz Q(h) > 0 ha h R k és h 0, akkor f -nek szigorú lokális minimuma van x 0 -ban. 2 Ha Q negatív definit, azaz Q(h) < 0 minden h R k, h 0 esetén, akkor f -nek szigorú lokális maximuma van x 0 -ban. 3 Ha Q indefinit, azaz Q(h) felvesz pozitív és negatív értéket is, akkor f -nek nincs szélsőértéke x 0 -ban. Losonczi László (DE) Szélsőértékszámítás 8 / 21

9 2.3 Többváltozós függvények szélsőértékszámítása Másodrendű elegendő feltétel, determinánsokkal Tegyük fel, hogy az f : D R k R összes második parciális deriváltja folytonos az x 0 D belső pont egy környezetében, továbbá 1 f (x 0 ) = 2 f (x 0 ) = = k f (x 0 ) = 0. Legyen A = ( i j f (x 0 ) ) R k k az f függvény x 0 pontbeli második parciális deriváltjaiból álló mátrix, és legyen j (j = 1,..., k) az A bal felső j-edrenű sarokdeterminánsa, azaz 1 := 1 1 f (x 0 ), 2 := 1 1 f (x 0 ) 1 2 f (x 0 ) 2 1 f (x 0 ) 2 2 f (x 0 ),..., k := A. 1 Ha 1 > 0, 2 > 0, 3 > 0,..., k > 0, akkor f -nek szigorú lokális minimuma van x 0 -ban, 2 ha 1 < 0, 2 > 0, 3 < 0,..., ( 1) k k > 0, akkor f -nek szigorú lokális maximuma van x 0 -ban, 3 ha k 0 és az előző két feltétel egyike sem teljesül, akkor akkor f -nek nincs szélsőértéke x 0 -ban. Losonczi László (DE) Szélsőértékszámítás 9 / 21

10 2.4 Kétváltozós függvények szélsőértékszámítása Kétváltozós szélsőérték, elegendő feltétel, determinánsokkal Tegyük fel, hogy az f : D R 2 R összes második parciális deriváltja folytonos az x 0 D belső pont egy környezetében, továbbá 1 f (x 0 ) = 2 f (x 0 ) = 0. 1 Ha 1 = 1 1 f (x 0 ) > 0, 2 = 1 1 f (x 0 ) 1 2 f (x 0 ) 1 2 f (x 0 ) 2 2 f (x 0 ) > 0, akkor f -nek szigorú lokális minimuma van x 0 -ban, 2 ha 1 = 1 1 f (x 0 ) < 0, 2 = 1 1 f (x 0 ) 1 2 f (x 0 ) 1 2 f (x 0 ) 2 2 f (x 0 ) > 0, akkor f -nek szigorú lokális maximuma van x 0 -ban, 3 ha 2 = 1 1 f (x 0 ) 1 2 f (x 0 ) 1 2 f (x 0 ) 2 2 f (x 0 ) < 0, akkor f -nek nincs szélsőértéke x 0 -ban. Losonczi László (DE) Szélsőértékszámítás 10 / 21

11 2.5 Globális szélsőérték Tanultuk, hogy korlátos, zárt halmazon folytonos függvény felveszi a függvényértékek infimumát és szuprémumát függvényértékként, ami azt jelenti, hogy a függvénynek van minimuma és maximuma (az illető korlátos, zárt halmazon). Globális szélsőérték megkeresése. Tegyük fel, hogy f : D R k R összes másodrendű parciális deriváltjai folytonosak a korlátos ás zárt D halmazon (ekkor f is folytonos D-n), akkor megkeressük f lokális szélsőértékeit D belső pontjaiban; megkeressük f lokális szélsőértékeit D határán; a lokális szélsőértékek és a határon vett lokális szélsőértékek közül a legnagyobb adja a globális maximum értékét, a legkisebb pedig a globális minimum értékét. Losonczi László (DE) Szélsőértékszámítás 11 / 21

12 2.6 Feltételes szélsőérték fogalma Többváltozós függvények feltételes szélsőértéke Legyenek f : D R k R, g i : D R k R i = 1,..., l, l < k adott függvények. Azt mondjuk, hogy az f függvénynek az x 0 D pontban a g 1 (x) = 0, g 2 (x) = 0,..., g l (x) = 0 feltételek mellett lokális/helyi feltételes maximuma (minimuma) van, ha g 1 (x 0 ) = = g l (x 0 ) = 0, és van olyan ε > 0 hogy f (x 0 ) f (x) (f (x 0 ) f (x)) teljesül minden x D K (x 0, ε) mellett, melyre g 1 (x) = = g l (x) = 0. Ha g 1 (x 0 ) = = g l (x 0 ) = 0, és f (x 0 ) > f (x) (f (x 0 ) < f (x)) teljesül minden x 0 x D K (x 0, ε) mellett, melyre g 1 (x) = = g l (x) = 0, akkor szigorú lokális feltételes maximum (minimum)-ról beszélünk. Losonczi László (DE) Szélsőértékszámítás 12 / 21

13 2.7 Feltételes szélsőértékszámítás A feltételes szélsőérték szükséges feltétele Tegyük fel, hogy az f, g i : D R k R (i = 1,..., l, l < k), az f függvénynek az első parciális deriváltjai folytonosak az x 0 D belső egy környezetében f -nek az x 0 D pontban a g 1 (x) = 0, g 2 (x) = 0,..., g l (x) = 0 feltételek mellett lokális feltételes szélsőértéke van, 1 g 1 (x 0 ) k g 1 (x 0 ) a..... R l k mátrix rangja l. 1 g l (x 0 ) k g l (x 0 ) Akkor van olyan λ 0 = (λ 01,..., λ 0l ) R l pont, hogy az L(λ, x) := f (x) + λ 1 g 1 (x) + + λ l g l (x) (λ R l, x D) függvényre 1 L(λ 0, x 0 ) = = l+k L(λ 0, x 0 ) = 0. Losonczi László (DE) Szélsőértékszámítás 13 / 21

14 2.7 Feltételes szélsőértékszámítás, Lagrange módszer A λ 1,..., λ l számokat Lagrange-féle multiplikátoroknak nevezzük, az L függvényt pedig a feltételes szélsőérték probléma Lagrange-féle függvényének nevezzük. A feltételes szélsőérték probléma megoldása úgy történik, hogy a 1 L(λ, x) = = l+k L(λ, x) = 0 l + k egyenletből álló rendszert (melynek első l db. egyenlete éppen g 1 (x) = = g l (x) = 0) megoldjuk a λ 1,..., λ l, x 1,..., x k, ismeretlenekre, a (λ 0, x 0 ) = (λ 01,..., λ 0l, x 01,..., x 0k ) R l D megoldások a Lagrange függvény stacionárius pontjai. Ennek az x 0 = (x 01,..., x 0k ) koordinátái adják a feltételes szélsőérték lehetséges helyeit. Losonczi László (DE) Szélsőértékszámítás 14 / 21

15 2.7 Feltételes szélsőértékszámítás, Lagrange módszer A feltételes szélsőérték elegendő feltétele Tegyük fel, hogy az f, g i : D R k R (i = 1,..., l, l < k), második parciális deriváltjai folytonosak az x 0 D belső pont egy környezetében, (λ 0, x 0 ) R l D a Lagrange függvény stacionárius pontja, azaz a 1 L(λ 0, x 0 ) = = l+k L(λ 0, x 0 ) = 0 rendszer megoldása, k l+1 g 1 (x 0 ) k g 1 (x 0 ) és k l+1 g l (x 0 ) k g l (x 0 ) Ha k k i=1 j=1 h ih j i j f (x 0 ) > 0 (< 0) minden olyan h = (h 1,..., h k ) R k, h 0 esetén, melyre k j=1 h j j g i (x 0 ) = 0 minden i = 1,..., l mellett, akkor f -nek szigorú lokális feltételes minimuma (maximuma) van x 0 -ban. Losonczi László (DE) Szélsőértékszámítás 15 / 21

16 2.7 Feltételes szélsőértékszámítás, elegendő feltételek A feltételes szélsőérték elégséges feltétele determinánsokkal Legyen j, (j = 2l + 1,..., l + k) a g 1 (x 0 ) k g 1 (x 0 ) g l (x 0 ) k g l (x 0 ) 1 g 1 (x 0 ) 1 g l (x 0 ) l+1 l+1 L(λ 0, x 0 ) l+1 l+k L(λ 0, x 0 ) k g 1 (x 0 ) k g l (x 0 ) l+k l+1 L(λ 0, x 0 ) l+k l+k L(λ 0, x 0 ) szimmetrikus blokkmátrix bal felső j j-s sarokmátrixának determinánsa. 1 Ha ( 1) l j > 0 minden j = 2l + 1,..., l + k esetén, akkor f -nek szigorú lokális feltételes minimuma van x 0 -ban. 2 Ha ( 1) l+j j > 0 minden j = 2l + 1,..., l + k esetén, akkor f -nek szigorú lokális feltételes maximuma van x 0 -ban. Losonczi László (DE) Szélsőértékszámítás 16 / 21

17 2.7 Feltételes szélsőértékszámítás, példa A blokkmátrix másik alakja Vegyük észre, hogy blokkmátrixunk éppen az L(λ, x) Lagrange függvény összes második parciális deriváltjaiból álló mátrix a (λ 0, x 0 ) stacionárius pontban véve, azaz a ( i j L(λ 0, x 0 )) R (l+k) (l+k) mátrix. Példa. Határozzuk meg az f : R 2 R, feltételes szélsőértékeit a feltétel mellett. g(x, y) = x 2 + y 2 1 = 0 f (x, y) := x + 2y körvonal Losonczi László (DE) Szélsőértékszámítás 17 / 21

18 2.7 Feltételes szélsőértékszámítás, példa megoldása Megoldás. A probléma Lagrange függvénye L(λ, x, y) = x + 2y + λ(x 2 + y 2 1) ((λ, x, y) R 3 ). A lehetséges szélsőértékhelyeket a λ L(λ, x, y) = x 2 + y 2 1 = 0, x L(λ, x, y) = 1 + 2λx = 0, y L(λ, x, y) = 2 + 2λy = 0 megoldásai adják. Könnyű kiszámolni, hogy a megoldások: λ 1 = 5 2, x 1 = 5 5, y 1 = 2 5 5, λ 2 = 5 2, x 2 = 5 5, y 2 = a feltételes szélsőérték lehetséges helyei. Losonczi László (DE) Szélsőértékszámítás 18 / 21

19 2.7 Feltételes szélsőértékszámítás, példa megoldása Azt, hogy feltételes maximum vagy minimum van-e ezen pontokban a fenti tétel alapján döntjük el. Az L második parciális deriváltjaiból felépített a blokkmátix (a (λ, x, y) pontban) 0 2x 2y 2x 2λ 0 2y 0 2λ. Losonczi László (DE) Szélsőértékszámítás 19 / 21

20 2.7 Feltételes szélsőértékszámítás, példa megoldása Most k = 2, l = 1, mivel 2l + 1 = 3 = k + l így csak az blokkmátrix determinánsának előjelét kell meghatározni. Egyszerű számítás mutatja, hogy ez 3 (λ 1, x 1, y 1 ) = = 100 < és hasonlóan 3 (λ 2, x 2, y 2 ) = 100 vagyis a 5 3 ( 1) l k+l = ( 1) 3 (λ 1, x 1, y 1 ) > 0 feltétel teljesül, (x 1, y 1 )-ben szigorú feltételes lokális minimum van, míg a ( 1) l+(l+k) 3 (λ 2, x 2, y 2 ) = ( 1) 4 3 (λ 2, x 2, y 2 ) > 0 ezért (x 2, y 2 )-ben szigorú feltételes lokális maximum van. Losonczi László (DE) Szélsőértékszámítás 20 / 21

21 2.7 Feltételes szélsőértékszámítás, példa megoldása Megjegyzés. Érdemes a feladatot geometriailag is szemléltetni: az f (x, y) = x + 2y sík és az x 2 + y 2 = 1 által meghatározott hengerfelület metszésvonalának (mely egy az R 3 térbeli ellipszis) melyik pontja van legmagasabban és legalacsonyabban (a magasságot a z tengely irányában mérve) Losonczi László (DE) Szélsőértékszámítás 21 / 21