Többváltozós, valós értékű függvények
|
|
- Sándor Mészáros
- 7 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Többváltozós függvények Többváltozós, valós értékű függvények
2 Többváltozós függvények Definíció: többváltozós függvények Azokat a függvényeket, melyeknek az értelmezési tartománya R n egy részhalmaza, n változós függvényeknek nevezzük. Példák. A gazdasági eredetű problémák matematikai modelljében gyakoriak a sokváltozós függvények (például: termelési függvény. Az R R típusú függvényeket szokás skalármezőnek nevezni. Ilyenek például a skalár jellegű fizikai mennyiségeknek (tömegsűrűség, töltéssűrűség, hőmérséklet, potenciál, stb. a helytől való függését kifejező függvények.. A geográfiában használt domborzati térképek tekinthetők R R típusú (kétváltozós függvényeknek.
3 Többváltozós függvények Kétváltozós függvények ábrázolása A többváltozós függvények közül csak a kétváltozósakat tudjuk ábrázolni. Ekkor is egy háromdimenziós kép térhatású síkbeli ábrázolásáról van szó. Az ábrázolásnak két esetben van szerepe: a többváltozós függvényekkel kapcsolatos fogalmak tartalmának speciálisan kétváltozós függvényeken való bemutatásakor olyan esetekben, amikor egy kétváltozós függvény egy felület megadására szolgál
4 Többváltozós függvények 4 Kétváltozós függvények ábrázolása (,y f (,y Példa f (,y + y
5 Többváltozós függvények 5 Definíció: szintvonalak Ha c eleme az (,y f(,y függvény értékkészletének, akkor az { (,y R f(,y c } síkgörbét c értékhez tartozó szintvonalnak nevezzük. A definíció szerint egy szintvonal pontjaihoz a függvény ugyanazt az értéket rendeli. Megjegyzés A domborzati térképek szintvonalainak jelentése ugyanez.
6 Többváltozós függvények 6 Definíció: paramétervonalak A kétváltozós függvények paramétervonalai síkgörbék, a függvényfelületnek a függőleges koordinátasíkokkal párhuzamos síkokkal való síkmetszetei. A paramétervonalak olyan egyváltozós függvények grafikonjaként állnak elő, melyek az eredeti kétváltozós függvény egyik változójának rögzítésével keletkeznek.
7 Többváltozós függvények 7 A második változó rögzítésével keletkező paramétervonalak Az első változó rögzítésével keletkező paramétervonalak f(,y y f(,y Példa (,y + y y + 4 y 9+ y
8 Többváltozós függvények 8 Többváltozós függvények határértéke és folytonossága Emlékeztető: egyváltozós függvény határértéke Az f:d R függvény határértéke a D egy torlódási pontjában A R, ha bármely D-beli ( n, n sorozat esetén, melyre n fennáll, hogy f( n A Jelölés lim f ( A Példa lim 9
9 Többváltozós függvények 9 Definíció: többváltozós függvény határértéke Tekintsük az f:d( R n R függvényt, és r legyen torlódási pontja az f értelmezési tartományának. Ha van olyan A R, melyre fennáll, hogy bármely D-beli sorozat esetén r n r, (r n r, n N f (r n A, akkor azt mondjuk, hogy az f függvény határértéke a r helyen A. Jelölés: lim f (r r r A
10 Többváltozós függvények Példa y, ha (, y (, (, y + y, ha (, y (, f Az f függvénynek a (, helyen nem létezik határértéke (és így nem is folytonos. Indoklás: n n,, n n (, (, sorozat esetén: sorozat esetén: lim f n lim f n n n,, n n lim n lim n n n n n 5 lim n lim n 5 5
11 Többváltozós függvények Emlékeztető: egyváltozós függvény folytonossága Az f:d R függvény folytonos az D helyen, ha bármely ( n :N D, sorozat esetén fennáll, hogy n f ( n f (. Példa Az f( függvény folytonos az helyen, mert ha n, akkor f( n ( n 9 f(
12 Többváltozós függvények Definíció: többváltozós függvény folytonossága Az f : D ( R n R függvény folytonos az r D helyen, ha bármely D-beli sorozat esetén r n r f (r n f (r. Megjegyzés: folytonosság és határérték létezésének kapcsolata Legyen D R n nyílt halmaz. A definíciókból látható, hogy az f:d R függvény pontosan akkor folytonos az r D helyen, ha f-nek létezik határértéke r -ban, és az éppen f(r.
13 Többváltozós függvények Definíció Lineáris függvények Az (,,, n k + k + + k n n k függvényeket, ahol k, k,, k n valós számok, n változós lineáris függvényeknek nevezzük. Az egyváltozós lineáris függvények: k A kétváltozós lineáris függvények: (, k + k k
14 Többváltozós függvények 4 Megjegyzés A lineáris függvények alapvető szerepet játszanak a differenciálszámításban, hiszen a differenciálás valójában lineáris függvénnyel való közelítést jelent: Egyváltozós (differenciálható függvény lineáris közelítése az ún. érintő egyenessel való közelítést jelenti, ennek meredeksége az adott pontbeli differenciálhányados. Kétváltozós (differenciálható függvény lineáris közelítése az ún. érintő síkkal való közelítést jelenti, melynek normálvektorát az adott pontbeli ún. parciális differenciálhányadosok határozzák meg.
15 Többváltozós függvények 5 Többváltozós függvények differenciálása Emlékeztető: egyváltozós függvények differenciálhányadosa Az f:d( R R függvény differenciálható az értelmezési tartományának egy belső pontjában, ha van olyan k R szám, melyre ahol f ( f ( k ( + ε( ( lim ε( Ekkor a k számot az f függvény helyen vett differenciálhányadosának nevezzük. Jelölés: k f (
16 Többváltozós függvények 6 Megjegyzés A Δ Δf f ( f ( jelölésekkel a differenciálhatóság feltétele szemléletesebb alakot ölt: Δf k Δ + ε( Δ Δ ahol lim ε( Δ Δ
17 Többváltozós függvények 7 Definíció: többváltozós függvények differenciálhányadosa Az f:d( R n R függvény differenciálható a D értelmezési tartomány r belső pontjában, ha van olyan k R n vektor, melyre ahol f (r f (r k (r r + ε(r r (r r lim ε(r r r r Ekkor a k vektort az f függvény r helyen vett differenciálhányadosának, vagy gradiensének nevezzük. Jelölés: f (r grad f (r k k
18 Többváltozós függvények 8 Megjegyzések. A Δr r r Δf f (r f (r jelölésekkel a differenciálhatóság feltétele szemléletesebb alakot ölt: ahol Δf k Δr + ε( Δr Δr lim Δr ε( Δr. Ha differenciálhányados létezik, akkor egyértelmű.. Ha D R n nyílt halmaz (minden pontja belső pont és az f:d R függvény differenciálható a D minden pontjában, akkor azt mondjuk, hogy f differenciálható a D halmazon.
19 Többváltozós függvények 9 Definíció: iránymenti derivált Legyen f:d( R n R, r a D értelmezési tartomány belső pontja, v R n legyen rögzített vektor, és v jelölje a v irányú, egységnyi nagyságú vektort. Az f függvény r pontbeli, v irányban vett iránymenti deriváltján a f f (r + λ v f (r (r lim v λ λ határértéket értjük, amennyiben létezik és valós. Megjegyzés Vegyük észre, hogy a definícióban egy egyváltozós függvény határértékéről van szó! Az egyetlen változó: λ.
20 Többváltozós függvények Az iránymenti derivált jelentése A v irányban vett iránymenti derivált szemléletesen azt fejezi ki, hogy az értelmezési tartományban az r pontból a v irányban haladva mennyi a függvényértékek változásának gyorsasága. Megjegyzés Ahol az f függvény differenciálható, ott létezik az összes iránymenti deriváltja is, az iránymenti deriváltak létezéséből viszont nem következik a differenciálhatóság.
21 Többváltozós függvények Parciális derivált Definíció Legyen f:d( R n R, r a D értelmezési tartomány belső pontja, továbbá az e,e,,e n vektorok legyenek az R n természetes bázisának bázisvektorai. Az f függvény r pontbeli, e i irányban vett iránymenti deriváltját az f függvény r pontbeli i-edik (vagy i-edik változó szerinti parciális differenciálhányadosának, vagy röviden parciális deriváltjának nevezzük (i,,n. Megjegyzés A parciális deriváltak tehát speciális iránymenti deriváltak.
22 Többváltozós függvények Jelölések Az f függvény r pontbeli i-edik változó szerinti parciális deriváltjának jelölései: i f (r vagy f (r i Szokás a változó sorszáma helyett magát a változót szerepeltetni a parciális derivált jelölésénél: például az változó szerinti parciális derivált lehetséges jelölései: f (r f (r f (r
23 Többváltozós függvények Megjegyzés: a differenciálhányados és a parciális deriváltak A parciális deriváltak létezéséből általában nem következik a differenciálhatóság, de igaz a következő tétel: Ha az r hely valamely környezetében az f függvénynek minden változó szerint létezik parciális deriváltja, továbbá ezek folytonosak r -ban, akkor f differenciálható r -ban. Az előbbiekben a parciális deriváltat, mint speciális irányban vett iránymenti deriváltat értelmeztük. Most megadjuk a parciális derivált közvetlen definícióját. (Az egyszerűség kedvéért a definíciókat csak a kétváltozós esetre írjuk fel, de ezzel analóg módon lehet eljárni kettőnél több változós esetben is.
24 Többváltozós függvények 4 A parciális deriváltak közvetlen értelmezése (kétváltozós függvény esetére Definíció: első változó szerinti parciális derivált Legyen f:d( R R, (,y a D belső pontja. Az f függvény (,y helyen vett, első változó szerinti parciális differenciálhányadosán (vagy röviden parciális deriváltján a f (, y lim f (, y f ( határértéket értjük, amennyiben ez létezik és véges., y
25 Többváltozós függvények 5 Az első változó szerinti parciális derivált geometriai jelentése kétváltozós függvény esetén Az első változó szerinti parciális derivált az y változó rögzítésével előálló felületi görbe érintőjének meredekségét adja.
26 Többváltozós függvények 6 Definíció: második változó szerinti parciális derivált y f (, A parciális deriváltak közvetlen értelmezése (kétváltozós függvény esetére Legyen f:d( R R, (,y a D belső pontja. Az f függvény (,y helyen vett, második változó szerinti parciális differenciálhányadosán (vagy röviden parciális deriváltján a y lim y y f ( határértéket értjük, amennyiben ez létezik és véges., y y f ( y, y
27 Többváltozós függvények 7 A második változó szerinti parciális derivált geometriai jelentése kétváltozós függvény esetén A második változó szerinti parciális derivált az változó rögzítésével előálló felületi görbe érintőjének meredekségét adja.
28 Többváltozós függvények 8 Megjegyzés: gradiens vektor komponensei Ha az f:d( R n R függvény differenciálható a D értelmezési tartomány r belső pontjában, akkor r -ban léteznek a parciális deriváltak. Az r helyen vett gradiens vektor komponensei az ottani parciális deriváltak: ( f (r, f (r,..., f (r gradf (r n
29 Többváltozós függvények 9 Tétel: az iránymenti deriváltak és a gradiens vektor Legyen az f:d( R n R függvény differenciálható a D értelmezési tartomány r belső pontjában, v R n legyen rögzített vektor, és v jelölje a v irányú, egységnyi nagyságú vektort. A v irányban vett iránymenti derivált kiszámítható a gradiens vektor és a v vektor skaláris szorzataként: f v (r gradf (r v
30 Többváltozós függvények Példa f (,, r (,4, v (,, Határozzuk meg az f függvény elsőrendű parciális derivált függvényeit gradiens vektorát az r helyen iránymenti deriváltját a r helyen, a v irányban!
31 Többváltozós függvények ,, ( f ,, ( f + + +,, ( f Az elsőrendű parciális derivált függvények: 4,, ( f + + +!!!a számolás közben és konstans!!!!!!a számolás közben és konstans!!!!!!a számolás közben és konstans!!!
32 Többváltozós függvények Az elsőrendű parciális derivált függvények értéke az r helyen: f (,, 4 f (r f (,4, f (,, f (r f (,4, 7 4 f (,, f (r f (,4, A gradiens vektor: grad f (r 7 grad f (,4,,, 4
33 Többváltozós függvények grad f (r 7 grad f (,4,,, 4 v (,, v v v (,,,, Az iránymenti derivált: f (r grad f (r v 7 v,,,, 4
34 Többváltozós függvények 4 Definíció: differenciál Tekintsük az f:d( R n R függvényt. Legyen r (,,, n a D egy belső pontja, legyen továbbá a D egy pontja és r (,,, n Δ -, Δ -,, Δ n n - n. Δr r r ( Δ, Δ,, Δ n Ha f differenciálható az r helyen, akkor az f függvény r pontbeli, a Δr eltéréshez tartozó (első differenciálja: f (r Δ + f (r Δ nf (r Δ n
35 Többváltozós függvények 5 f (r Δ + f (r Δ nf (r Δ n Megjegyzés A differenciál röviden felírható a gradiens vektor segítségével: gradf (r Δr
36 Többváltozós függvények 6 Definíció: lineáris közelítés Ha az f:d( R n R függvény differenciálható a D értelmezési tartomány r belső pontjában, akkor az f függvény r pontbeli lineáris közelítésén azt értjük, hogy a függvény Δ f f (r f (r megváltozását a differenciállal közelítjük: Δf f (r f (r gradf (r Δr f (r Δ + f (r Δ nf (r Δ n avagy: f (r f (r + gradf (r r Δ
37 Többváltozós függvények 7 Lineáris közelítés kétváltozós függvény esetén Kétváltozós differenciálható függvény esetén a lineáris közelítés az ún. érintősíkkal való közelítést jelenti.
38 Többváltozós függvények 8 Definíció: érintősík Ha az (,y f(,y kétváltozós függvény differenciálható a r (,y helyen, akkor az f függvény r pontbeli érintősíkján a következő függvényt (annak grafikonját értjük: S(, y f (r + f (r ( + yf (r (y y Az f függvény r pontbeli lineáris közelítése: f(,y S(,y
39 Többváltozós függvények 9 Példa f (,, r (,4, Határozzuk meg az f függvény lineáris közelítését az r helyen közelítő értékét az helyen! r (.,.98,.95
40 Többváltozós függvények 4 f (,, 4 f (r f (,4, f (,, f (r f (,4, 7 4 f (,, f (r f (,4, grad f (r 7 grad f (,4,,, 4
41 Többváltozós függvények 4 f (,, r (,4, r (,, f(r 7 A lineáris közelítés: grad f (r 7 grad f (,4,,, 4 f (r f (r f (r + + f (r grad f (r Δ 7 ( Δr + f (r Δ +.75 ( + f (r 4 + Δ.5 (
42 Többváltozós függvények 4 f (r 7 ( +.75 ( ( A függvény közelítő értéke az r (.,.98,.95 helyen: f (r f (.,.98,.95 7 ( ( ( (. +.5 (
43 Többváltozós függvények 4 Definíció: másodrendű parciális deriváltak Legyen f:b(r,r( R n R, i {,,n}, j {,,n}. Ha f-nek minden r B(r,r pontban létezik az i-edik változó szerinti i f(r parciális deriváltja a r i f(r parciális derivált függvénynek az r pontban létezik a j-edik változó szerinti parciális deriváltja akkor ezt az f függvény j és i változók szerinti másodrendű parciális deriváltjának nevezzük. Jelölés j i f (r
44 Többváltozós függvények 44 Megjegyzés A másodrendű parciális deriváltak jelölésére szokásosak még az alábbi jelölések is: ji f (r " ji f (r A jelölésben utalhatunk közvetlenül azokra a változókra, melyek szerint a deriválást végeztük. Például az, majd az változó szerinti deriválás jelölése: (r (r f f f (r " f (r
45 Többváltozós függvények 45 Definíció Ha f:b(r,r( R n R függvénynek B(r,r-ban léteznek az elsőrendű parciális derivált függvényei, és ezek újra minden változó szerint parciálisan differenciálhatók az r pontban, akkor azt mondjuk, hogy f kétszer differenciálható r -ban. Definíció Ha f:b(r,r( R n R függvénynek B(r,r-ban léteznek az másodrendű parciális derivált függvényei és ezek folytonosak r -ban, akkor azt mondjuk, hogy f kétszer folytonosan differenciálható r -ban.
46 Többváltozós függvények 46 Megjegyzés: Young tétel (a deriválások sorrendjének felcserélhetősége Ha az f:b(r,r( R n R függvény kétszer differenciálható r -ban, akkor az r pontbeli másodrendű parciális deriváltak kiszámításakor a deriválások sorrendje felcserélhető, azaz j i f (r f (r i j i {,,n}, j {,,n}.
47 Többváltozós függvények 47 Kvadratikus függvények Definíció Legyen n pozitív egész szám. A Q(h n n,...,h n aijhih j i j alakú függvényeket, ahol A(a ij egy n-edrendű szimmetrikus mátri, kvadratikus függvényeknek (vagy kvadratikus formának nevezzük. Az A mátri a Q kvadratikus függvény mátria.
48 Többváltozós függvények 48 Példa A 4 Az A mátrihoz tartozó ( változós kvadratikus függvény: Q(h, h, h h + h h + h h + + h h + h h h + + h h h h + 4h h + h + 4h +h h 4h h + 6h h
49 Többváltozós függvények 49 Megjegyzés Nyilvánvaló, hogy bármely Q kvadratikus függvényre Q(. Definíció A Q:R n R kvadratikus függvény pozitív definit, ha Q(h >, amikor h negatív definit, ha Q(h <, amikor h indefinit, ha Q fölvehet pozitív és negatív értéket egyaránt.
50 Többváltozós függvények 5 Példa A Q(h, h, h h + h + 4h + h h 4h h + 6h h függvény pozitív definit. Ez az alábbi egyszerű átalakításból könnyen levezethető: h + h + 4h + h h 4h h + 6h h (h +h + (h h + (h +h
51 Többváltozós függvények 5 Definíció: sarokdeterminánsok Egy n-edrendű kvadratikus mátri sarokdeterminánsai az első k sorban és az első k oszlopban lévő elemekből álló k-adrendű mátriok determinánsai (k,,n. Példa A 4 mátri sarokdeterminánsai: ( D det D det D det 4
52 Többváltozós függvények 5 Tétel: a definitség megállapítása sarokdeterminánsokkal Egy kvadratikus függvény pontosan akkor pozitív definit, ha mátriának bal felső sarokdeterminánsai pozitívak: D >, D >,, D n > Egy kvadratikus függvény pontosan akkor negatív definit, ha mátriának bal felső sarokdeterminánsai váltakozó előjelűek úgy, hogy D negatív: D <, D >, D <, D 4 >, Egy kvadratikus függvény mátriának bal felső sarokdeterminánsai nullától különbözőek, és a fenti két eset nem áll fenn, akkor a kvadratikus függvény indefinit.
53 Többváltozós függvények 5 Példa 4 ( det D > det D > 4 det D > Q(h, h, h h + h + 4h +h h 4h h + 6h h Így Q pozitív definit.
54 Többváltozós függvények 54 Többváltozós differenciálható függvények szélsőérték-számítása Tétel: a helyi szélsőérték létezésének szükséges feltétele Ha az f:d( R n R differenciálható függvénynek helyi szélsőértéke van a D értelmezési tartomány r belső pontjában, akkor az r pontbeli elsőrendű parciális deriváltak értéke : f (r f (r n f(r Megjegyzés Kétváltozós differenciálható függvény esetén ott lehet helyi szélsőérték, ahol az érintő sík vízszintes.
55 Többváltozós függvények 55 Következmény Differenciálható függvény esetén a helyi szélsőértékek keresésekor elsőként azokat r helyeket kell meghatározni, ahol a parciális deriváltak értéke, az előző tétel szerint ui. helyi szélsőérték csak ezeken a helyeken lehet. Megjegyzés Helyi szélsőérték létezéséhez nem elegendő, hogy az elsőrendű parciális deriváltak értéke. Az elegendőséghez további feltételt kell megfogalmazni a másodrendű parciális deriváltakra vonatkozóan.
56 Többváltozós függvények 56 Definíció Legyen az f:b(r,r( R n R függvény kétszer folytonosan differenciálható r -ban, és definiáljuk a Q:R n R függvényt a következőképpen: Q(h n n,...,h n i jf (rhih i j j Megjegyzés Az így definiált Q függvény kvadratikus.
57 Többváltozós függvények 57 Tétel: a helyi szélsőérték létezésének elegendő feltétele. ESET Legyen az f:b(r,r( R n R függvény kétszer folytonosan differenciálható r -ban. Ha és a f (r f (r n f(r Q(h n n,...,h n i jf (rhih j i j kvadratikus függvény pozitív definit, akkor f-nek r -ban helyi minimuma van.
58 Többváltozós függvények 58 Tétel: a helyi szélsőérték létezésének elegendő feltétele. ESET Legyen az f:b(r,r( R n R függvény kétszer folytonosan differenciálható r -ban. Ha és a f (r f (r n f(r Q(h n n,...,h n i jf (rhih j i j kvadratikus függvény negatív definit, akkor f-nek r -ban helyi maimuma van.
59 Többváltozós függvények 59 Tétel: a helyi szélsőérték létezésének elegendő feltétele. ESET Legyen az f:b(r,r( R n R függvény kétszer folytonosan differenciálható r -ban. Ha és a f (r f (r n f(r Q(h n n,...,h n i jf (rhih j i j kvadratikus függvény indefinit, akkor f-nek r -ban nincs helyi szélsőértéke.
60 Többváltozós függvények 6 Példa Határozzuk meg a következő függvény helyi szélsőérték-helyeit és a szélsőértékeket!. lépés,,, 4,, ( f > > > ,, ( f,, ( f,, ( f Az elsőrendű parciális derivált függvények meghatározása:
61 Többváltozós függvények 6. lépés A f f n f egyenletrendszer megoldása: f (,, 4 f (,, f (,, r,,
62 Többváltozós függvények 6 A másodrendű parciális derivált függvények meghatározása (A könnyebb áttekinthetőség kedvéért a függvényeket táblázatba írjuk. Az első sorban a f, a második sorban f, a harmadik sorban a f függvény deriváltjai vannak.. lépés 4,, ( f,, ( f,, ( f
63 Többváltozós függvények A A másodrendű parciális derivált függvények értékének meghatározása ott, ahol az elsőrendű deriváltak értéke egyszerre volt nulla. Most egy ilyen pont van az r :,, r 4. lépés + + 4
64 Többváltozós függvények lépés Meg kell állapítani, hogy az A mátri milyen definitségű Q kvadratikus függvényhez tartozik, ebből megállapítható, hogy a vizsgált pontban van-e helyi szélsőérték, és milyen jellegű. A 4 6 D det(4 4 4 D det 8 4 D det 6 D 6 >, D 8 >, D 4 > vagyis az A mátri pozitív definit kvadratikus függvényhez tartozik. Ebből következik, hogy az f-nek P-ben helyi minimuma van.
65 Többváltozós függvények 65 Megjegyzés A fentiekből látható, hogy a Q(h n n,...,h n i jf (rhih j i j kvadratikus függvényt nem szükséges felírni, elegendő csak a mátriával számolni. A fent megoldott feladatban a kvadratikus függvény a következő alakú lett volna: A 4 6 Q(h, h, h 4 h 4 h h + h 4 h h + 6 h
66 Többváltozós függvények 66 Többváltozós Taylor polinomok A
Többváltozós, valós értékű függvények
TÖ Többváltozós, valós értékű függvények TÖ Definíció: többváltozós függvények Azokat a függvényeket, melyeknek az értelmezési tartománya R n egy részhalmaza, n változós függvényeknek nevezzük. TÖ Példák:.
RészletesebbenMatematika III előadás
Matematika III. - 2. előadás Vinczéné Varga Adrienn Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Előadáskövető fóliák Vinczéné Varga Adrienn (DE-MK) Matematika III. 2016/2017/I 1 / 23 paramétervonalak,
RészletesebbenKétváltozós függvények differenciálszámítása
Kétváltozós függvények differenciálszámítása 13. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Kétváltozós függvények p. 1/1 Definíció, szemléltetés Definíció. Az f : R R R függvényt
RészletesebbenMatematika III előadás
Matematika III. - 3. előadás Vinczéné Varga Adrienn Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Előadáskövető fóliák Vinczéné Varga Adrienn (DE-MK) Matematika III. 2016/2017/I 1 / 19 Skalármezők
RészletesebbenA legjobb közeĺıtés itt most azt jelentette, hogy a lineáris
Többváltozós függvények differenciálhatósága f(x) f(x Az egyváltozós függvények differenciálhatóságát a lim 0 ) x x0 x x 0 függvényhatárértékkel definiáltuk, s szemléletes jelentése abban mutatkozott meg,
RészletesebbenLosonczi László. Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar
Szélsőértékszámítás Losonczi László Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar Losonczi László (DE) Szélsőértékszámítás 1 / 21 2. SZÉLSOÉRTÉKSZÁMÍTÁS 2.1 A szélsőérték fogalma, létezése Azt
Részletesebben9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA. 9.1 Metrika és topológia R k -ban
9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA 9.1 Metrika és topológia R k -ban Definíció. A k-dimenziós euklideszi térnek nevezzük és R k val jelöljük a valós számokból alkotott k-tagú x = (x 1, x
RészletesebbenFirst Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Többváltozós függvények (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Egyváltozós függvények esetén a differenciálhatóságból következett a folytonosság. Fontos tudni, hogy abból, hogy egy
RészletesebbenA fontosabb definíciók
A legfontosabb definíciókat jelöli. A fontosabb definíciók [Descartes szorzat] Az A és B halmazok Descartes szorzatán az A és B elemeiből képezett összes (a, b) a A, b B rendezett párok halmazát értjük,
RészletesebbenMATEMATIKA 2. dolgozat megoldása (A csoport)
MATEMATIKA. dolgozat megoldása (A csoport). Definiálja az alábbi fogalmakat: (egyváltozós) függvény folytonossága, differenciálhatósága, (többváltozós függvény) iránymenti deriváltja. (3x8 pont). Az f
RészletesebbenBoros Zoltán február
Többváltozós függvények differenciál- és integrálszámítása (2 3. előadás) Boros Zoltán 209. február 9 26.. Vektorváltozós függvények differenciálhatósága és iránymenti deriváltjai A továbbiakban D R n
RészletesebbenLengyelné Dr. Szilágyi Szilvia április 7.
ME, Anaĺızis Tanszék 2010. április 7. , alapfogalmak 2.1. Definíció A H 1, H 2,..., H n R (ahol n 2 egész szám) nemüres valós számhalmazok H 1 H 2... H n Descartes-szorzatán a következő halmazt értjük:
RészletesebbenANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK
ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2014. május 15. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így
Részletesebben2014. november Dr. Vincze Szilvia
24. november 2-4. Dr. Vincze Szilvia Tartalomjegyzék. Meredekség, szelő, szelő meredeksége 2. Differencia-hányados fogalma 3. Differenciál-hányados fogalma 5. Folytonosság és differenciálhatóság kapcsolata
Részletesebben2. SZÉLSŽÉRTÉKSZÁMÍTÁS. 2.1 A széls érték fogalma, létezése
2 SZÉLSŽÉRTÉKSZÁMÍTÁS DEFINÍCIÓ 21 A széls érték fogalma, létezése Azt mondjuk, hogy az f : D R k R függvénynek lokális (helyi) maximuma (minimuma) van az x 0 D pontban, ha van olyan ε > 0 hogy f(x 0 )
RészletesebbenHÁZI FELADATOK. 1. félév. 1. konferencia A lineáris algebra alapjai
HÁZI FELADATOK. félév. konferencia A lineáris algebra alapjai Értékelés:. egység: önálló feladatmegoldás.8. Döntse el, párhuzamosak-e a következő vektorpárok: a) a( ; ; 7) b(; 5; ) b) c(; 9; 5) d(8; 6;
RészletesebbenMatematika. 4. konzultáció: Kétváltozós függvények szélsőértéke. Parciális függvény, parciális derivált
Matematika 1 NYME KTK, Egyetemi kiegészítő alapképzés 2004/2005. tanév, I. évf. I.félév Budapest Előadó: Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet 9400 Sopron, Bajcsy Zs. u. 9. GT fszt. 3. (99) 518
RészletesebbenPTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak
PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak MATEMATIKA (A tantárgy tartalma és a tananyag elsajátításának időterve.) Összeállította: Kis Miklós adjunktus Tankönyvek (mindhárom félévre): 1. Scharnitzky
RészletesebbenValós függvények tulajdonságai és határérték-számítása
EL 1 Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása Az ebben a részben szereplő függvények értelmezési tartománya legyen R egy részhalmaza. EL 2 Definíció: zérushely Az f:d R függvénynek zérushelye
RészletesebbenKétváltozós függvény szélsőértéke
Kétváltozós függvény szélsőértéke Sütő Andrea Kétváltozós függvény szélsőértéke Legyen adott f ( xy, ) kétváltozós függvény és ez legyen folytonosan totálisan differenciálható, azaz létezzenek az elsőrendű
Részletesebben1. Bevezetés. 2. Felületek megadása térben. A fenti kúp egy z tengellyel rendelkező. ismerhető fel, hogy. 1. definíció. Legyen D R n.
1. Többváltozós függvények 1. Bevezetés Ennek a fejezetnek a célja a kétváltozós függvények vizsgálata, ami során a 3-dimenziós felületeket szeretnénénk megérteni. 1. definíció. Legyen D R n. Ekkor az
Részletesebben12. Mikor nevezünk egy részhalmazt nyíltnak, illetve zártnak a valós számok körében?
Ellenörző Kérdések 1. Mit jelent az, hogy egy f : A B függvény injektív, szürjektív, illetve bijektív? 2. Mikor nevezünk egy függvényt invertálhatónak? 3. Definiálja a komplex szám és műveleteinek fogalmát!
Részletesebben9. feladatsor: Többváltozós függvények deriválása (megoldás)
Matematika Ac gyakorlat Vegyészmérnöki, Biomérnöki, Környezetmérnöki szakok, 017/18 ősz feladatsor: Többváltozós függvények deriválása (megoldás) 1 Számoljuk ki a következő függvények parciális deriváltjait
Részletesebben0-49 pont: elégtelen, pont: elégséges, pont: közepes, pont: jó, pont: jeles
Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I. 2013. jan. 10. Név: Neptun kód: Idő: 180 perc Elm.: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. Fel. össz.: Össz.: Oszt.: Az elérhető pontszám 40 (elmélet) + 60 (feladatok)
RészletesebbenA L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás
A L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás 9. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék A L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás p. / A L
RészletesebbenA Matematika I. előadás részletes tematikája
A Matematika I. előadás részletes tematikája 2005/6, I. félév 1. Halmazok és relációk 1.1 Műveletek halmazokkal Definíciók, fogalmak: halmaz, elem, üres halmaz, halmazok egyenlősége, részhalmaz, halmazok
RészletesebbenFeladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz
Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Gazdasági matematika II tárgy gyakorlataihoz a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottnak tekintjük a nehezebb
RészletesebbenMatematika A1a Analízis
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 Differenciálhatóság H607, EIC 2019-03-14 Wettl
RészletesebbenMatematika III előadás
Matematika III. - 2. előadás Vinczéné Varga Adrienn Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Előadáskövető fóliák Vinczéné Varga Adrienn (DE-MK) Matematika III. 2016/2017/I 1 / 30 Egy
RészletesebbenÓravázlatok: Matematika 2.
Óravázlatok: Matematika 2. Bartha Ferenc készültség: March 4, 2003 1. VEKTOR-SKALÁR FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLÁSA Legyen a továbbiakban M R n nyílt halmaz és f : M R valós függvény, x (x 1,.., x n ) M Ha
RészletesebbenKalkulus 2., Matematika BSc 1. Házi feladat
. Házi feladat Beadási határidő: 07.0.. Jelölések x = (x,..., x n, y = (y,..., y n, z = (z,..., z n R n esetén. x, y = n i= x iy i, skalárszorzat R n -ben. d(x, y = x y = n i= (x i y i, metrika R n -ben
RészletesebbenMatematika elméleti összefoglaló
1 Matematika elméleti összefoglaló 2 Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék... 2 1. Sorozatok jellemzése, határértéke... 3 2. Függvények határértéke és folytonossága... 5 3. Deriválás... 6 4. Függvényvizsgálat...
RészletesebbenPTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak
PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak MATEMATIKA (A tantárgy tartalma és a tananyag elsajátításának időterve.) Összeállította: Kis Miklós adjunktus Tankönyvek Megegyeznek az 1. és 2. félévben
Részletesebben2. Hogyan számíthatjuk ki két komplex szám szorzatát, ha azok a+bi alakban, illetve trigonometrikus alakban vannak megadva?
= komolyabb bizonyítás (jeleshez) Ellenőrző kérdések 2006 ősz 1. Definiálja a komplex szám és műveleteinek fogalmát! 2. Hogyan számíthatjuk ki két komplex szám szorzatát, ha azok a+bi alakban, illetve
RészletesebbenTartalomjegyzék Feltétel nélküli szélsőérték számítás
Dr. Vincze Szilvia Példa Egy adott talajtípuson az átlagosnak megelelő időjárási viszonyok között a búza hozamát hektáronként a elhasznált nitrogén és oszor hatóanyag erősen beolyásolja. A hektáronként
RészletesebbenEgyváltozós függvények differenciálszámítása
Egyváltozós függvények differenciálszámítása Egyváltozós függvények differenciálszámítása Ebben a részben I egy tetszőleges, pozitív hosszúságú, intervallumot jelöl. Egyváltozós függvények differenciálszámítása
RészletesebbenAnalízis II. Analízis II. Beugrók. Készítette: Szánthó József. kiezafiu kukac gmail.com. 2009/ félév
Analízis II. Analízis II. Beugrók Készítette: Szánthó József kiezafiu kukac gmail.com 2009/20 10 1.félév Analízis II. Beugrók Függvények folytonossága: 1. Mikor nevez egy függvényt egyenletesen folytonosnak?
RészletesebbenDifferenciálszámítás. 8. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Differenciálszámítás p. 1/1
Differenciálszámítás 8. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Differenciálszámítás p. 1/1 Egyenes meredeksége Egyenes meredekségén az egyenes és az X-tengely pozitív iránya
RészletesebbenFüggvény differenciálás összefoglalás
Függvény differenciálás összefoglalás Differenciálszámítás: Def: Differenciahányados: f() f(a + ) f(a) függvényérték változása független változó megváltozása Ha egyre kisebb, vagyis tart -hoz, akkor a
RészletesebbenA gyakorlatok anyaga
A 7-11. gyakorlatok anyaga a Matematika A1a-Analízis nevű tárgyhoz B és D kurzusok Számhalmazok jelölésére a következő szimbólumokat használjuk: N := {1,,...}, Z, Q, Q, R. Az intervallumokat pedig így
RészletesebbenNemlineáris programozás 2.
Optimumszámítás Nemlineáris programozás 2. Többváltozós optimalizálás feltételek mellett. Lagrange-feladatok. Nemlineáris programozás. A Kuhn-Tucker feltételek. Konvex programozás. Sydsaeter-Hammond: 18.1-5,
RészletesebbenGazdasági matematika II.
Gazdasági matematika II. Losonczi László, Pap Gyula Debreceni Egyetem Debrecen, 2007/8 tanév, II. félév Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2007/8 tanév, II. félév 1 / 186 Félévközi
RészletesebbenFelügyelt önálló tanulás - Analízis III.
Felügyelt önálló tanulás - Analízis III Kormos Máté Differenciálható sokaságok Sokaságok Röviden, sokaságoknak nevezzük azokat az objektumokat, amelyek egy n dimenziós térben lokálisan k dimenziósak Definíció:
RészletesebbenSzámítási módszerek a fizikában 1. (BMETE90AF35) tárgy részletes tematikája
Számítási módszerek a fizikában 1. (BMETE90AF35) tárgy részletes tematikája Tasnádi Tamás 2014. szeptember 11. Kivonat A tárgy a BME Fizika BSc szak kötelező, alapozó tárgya a képzés 1. félévében. A tárgy
Részletesebben1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor
. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor Vizsgálja meg a következő végtelen sorokat konvergencia szempontjából. Tétel. (Cauchy-féle belső konvergenciakritérium) A a n végtelen sor akkor és csakis
RészletesebbenGazdasági matematika II.
Gazdasági matematika II. Losonczi László, Pap Gyula Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar 2014. február 16. Losonczi László, Pap Gyula (DE, KTK) Gazdasági matematika II. 2014. február
RészletesebbenVIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag
VIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag 2018/19 1. félév Függvények határértéke 1. Bizonyítsuk be definíció alapján a következőket! (a) lim x 2 3x+1 5x+4 = 1 2 (b) lim x 4 x 16 x 2 4x = 2
RészletesebbenTöbbváltozós analízis gyakorlat, megoldások
Többváltozós analízis gakorlat, megoldások Általános iskolai matematikatanár szak 7/8. őszi félév. Differenciál- és integrálszámítás alkalmazásai. Határozzuk meg az alábbi differenciálegenletek összes,
Részletesebben1. Parciális függvény, parciális derivált (ismétlés)
Operációkutatás NYME Gazdaságinformatikus mesterképzés El adó: Kalmár János (kalmar[kukac]inf.nyme.hu) Többváltozós széls érték számítás Parciális függvény, parciális derivált Széls érték korlátos zárt
RészletesebbenGazdasági matematika II.
Gazdasági matematika II. Losonczi László, Pap Gyula Debreceni Egyetem Debrecen, 2009/10 tanév, II. félév Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/10 tanév, II. félév 1 / 187 Félévközi
RészletesebbenKétváltozós függvények ábrázolása síkmetszetek képzése által
Kétváltozós függvének ábrázolása síkmetszetek képzése által ) Ábrázoljuk a z + felületet! Az [,] síkkal párhuzamos síkokkal z c) képzett metszetek körök: + c, tehát a felület z tengelű forgásfelület; Az
Részletesebben15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK
15 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 151 Lineáris egyenletrendszer, Gauss elimináció 1 Definíció Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az (1) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a
RészletesebbenTANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok I. útmutató
BGF PÉNZÜGYI ÉS SZÁMVITELI KAR Módszertani Intézeti Tanszéki Osztály TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok I. útmutató 2013/2014. tanév II. félév Tantárgyi program Tantárgy megnevezése Matematikai alapok
RészletesebbenTANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok I. útmutató
BGF PÉNZÜGYI ÉS SZÁMVITELI KAR Módszertani Intézeti Tanszéki Osztály TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok I. útmutató 2014/2015. tanév I. félév Tantárgyi program Tantárgy megnevezése Matematikai alapok
RészletesebbenFeladatok megoldásokkal az első gyakorlathoz (differencia- és differenciálhányados fogalma, geometriai és fizikai jelentése) (x 1)(x + 1) x 1
Feladatok megoldásokkal az első gyakorlathoz (differencia- és differenciálhányados fogalma, geometriai és fizikai jelentése). Feladat. Határozzuk meg az f(x) x 2 függvény x 0 pontbeli differenciahányados
RészletesebbenSzámítógépes programok alkalmazása az analízisben
Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Számítógépes programok alkalmazása az analízisben Szakdolgozat Csillagvári Dániel Matematika BSc, elemző szakirány Témavezető: Gémes Margit Analízis
RészletesebbenDifferenciál - és integrálszámítás. (Kreditszám: 7) Tantárgyfelelős: Dr. Losonczi László egyetemi tanár. Meghirdető tanszék: Analízis Tanszék
Differenciál - és integrálszámítás (Óraszám: 3+3) (Kreditszám: 7) Tantárgyfelelős: Dr. Losonczi László egyetemi tanár Meghirdető tanszék: Analízis Tanszék Debrecen, 2005 A tárgy neve: Differenciál- és
RészletesebbenKonjugált gradiens módszer
Közelítő és szimbolikus számítások 12. gyakorlat Konjugált gradiens módszer Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Vinkó Tamás Faragó István Horváth Róbert jegyzetei alapján 1 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK
RészletesebbenMatematikai alapok 1 Tantárgyi útmutató
Módszertani Intézeti Tanszék Gazdaságinformatikus szak nappali tagozat Matematikai alapok 1 Tantárgyi útmutató 2015/16 tanév II. félév 1/5 Tantárgy megnevezése Matematikai alapok 1 Tantárgy jellege/típusa:
RészletesebbenGazdasági matematika 1 Tantárgyi útmutató
Módszertani Intézeti Tanszék Emberi erőforrások, gazdálkodási és menedzsment, pénzügy és számvitel szakok nappali tagozat Gazdasági matematika 1 Tantárgyi útmutató 2016/17 tanév I. félév 1/5 Tantárgy megnevezése
RészletesebbenGazdasági matematika II.
Gazdasági matematika II. Losonczi László, Pap Gyula Debreceni Egyetem Debrecen, 2009/2010 tanév, II. félév Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 1 / 180 Félévközi
RészletesebbenKalkulus I. gyakorlat Fizika BSc I/1.
. Ábrázoljuk a következő halmazokat a síkon! {, y) R 2 : + y < }, b) {, y) R 2 : 2 + y 2 < 4}, c) {, y) R 2 : 2 + y 2 < 4, + y < }, {, y) R 2 : + y < }. Kalkulus I. gyakorlat Fizika BSc I/.. gyakorlat
RészletesebbenLagrange egyenletek. Úgy a virtuális munka mint a D Alembert-elv gyakorlati alkalmazását
Lagrange egyenletek Úgy a virtuális munka mint a D Alembert-elv gyakorlati alkalmazását megnehezíti a δr i virtuális elmozdulások egymástól való függősége. (F i ṗ i )δx i = 0, i = 1, 3N. (1) i 3N infinitezimális
Részletesebben2 (j) f(x) dx = 1 arcsin(3x 2) + C. (d) A x + Bx + C 5x (2x 2 + 7) + Hx + I. 2 2x F x + G. x
I feladatsor Határozza meg az alábbi függvények határozatlan integrálját: a fx dx = x arctg + C b fx dx = arctgx + C c fx dx = 5/x 4 arctg 5 x + C d fx dx = arctg + C 5/ e fx dx = x + arctg + C f fx dx
Részletesebben5 1 6 (2x3 + 4) 7. 4 ( ctg(4x + 2)) + c = 3 4 ctg(4x + 2) + c ] 12 (2x6 + 9) 20 ln(5x4 + 17) + c ch(8x) 20 ln 5x c = 11
Bodó Beáta ISMÉTLÉS. ch(6 d.. 4.. 6. 7. 8. 9..... 4.. e (8 d ch (9 + 7 d ( + 4 6 d 7 8 + d sin (4 + d cos sin d 7 ( 6 + 9 4 d INTEGRÁLSZÁMÍTÁS 7 6 sh(6 + c 8 e(8 + c 9 th(9 + 7 + c 6 ( + 4 7 + c = 7 4
RészletesebbenMATEMATIKA 2. TANTÁRGYLEÍRÁS. 1.2 Azonosító (tantárgykód) GKNB_MSTM Kurzustípusok és óraszámok (heti/féléves)
TANTÁRGYLEÍRÁS 1 ALAPADATOK 1.1 Tantárgy neve MATEMATIKA 2. 1.2 Azonosító (tantárgykód) GKNB_MSTM008 1.3 Kurzustípusok és óraszámok (heti/féléves) kurzustípus óraszám (heti) előadás (elmélet) 2 gyakorlat
RészletesebbenSorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján
Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján Számsorozatok, vektorsorozatok konvergenciája Def.: Számsorozatok értelmezése:
RészletesebbenFüggvények vizsgálata
Függvények vizsgálata ) Végezzük el az f ) = + polinomfüggvény vizsgálatát! Értelmezési tartomány: D f = R. Zérushelyek: Próbálgatással könnyen adódik, hogy f ) = 0. Ezután polinomosztással: + ) / ) =
RészletesebbenIntegr alsz am ıt as. 1. r esz aprilis 12.
Integrálszámítás. 1. rész. 2018. április 12. Területszámítás f : [a, b] IR + korlátos függvény. Mennyi a függvény grafikonja és az x tengely közti terület? Riemann integrál, ismétlés F: Az összes lehetséges
Részletesebben1. Generátorrendszer. Házi feladat (fizikából tudjuk) Ha v és w nem párhuzamos síkvektorok, akkor generátorrendszert alkotnak a sík vektorainak
1. Generátorrendszer Generátorrendszer. Tétel (Freud, 4.3.4. Tétel) Legyen V vektortér a T test fölött és v 1,v 2,...,v m V. Ekkor a λ 1 v 1 + λ 2 v 2 +... + λ m v m alakú vektorok, ahol λ 1,λ 2,...,λ
RészletesebbenA képzetes számok az isteni szellem e gyönyörű és csodálatos hordozói már majdnem a lét és nemlét megtestesítői. (Carl Friedrich Gauss)
Gyakorló feladatok (Ép. matek). Komple számok: A képzetes számok az isteni szellem e gyönyörű és csodálatos hordozói már majdnem a lét és nemlét megtestesítői. (Carl Friedrich Gauss) ) Számítsa ki a következő
RészletesebbenOsztályozóvizsga követelményei
Osztályozóvizsga követelményei Képzés típusa: Tantárgy: Nyolcosztályos gimnázium Matematika Évfolyam: 12 Emelt óraszámú csoport Emelt szintű csoport Vizsga típusa: Írásbeli Követelmények, témakörök: Emelt
RészletesebbenFraktálok. Kontrakciók Affin leképezések. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék. TARTALOMJEGYZÉK Kontrakciók Affin transzformációk
Fraktálok Kontrakciók Affin leképezések Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék TARTALOMJEGYZÉK 1 of 71 A Lipschitz tulajdonság ÁTMÉRŐ, PONT ÉS HALMAZ TÁVOLSÁGA Definíció Az (S, ρ) metrikus tér
RészletesebbenFelületek differenciálgeometriai vizsgálata
Felületek differenciálgeometriai vizsgálata Felületek differenciálgeometriai értelemben Felület: Olyan alakzat, amely előállítható az (u,v) sík egy összefüggő tartományán értelmezett r(u,v) kétparaméteres
RészletesebbenFigyelem, próbálja önállóan megoldani, csak ellenőrzésre használja a következő oldalak megoldásait!
Elméleti kérdések: Második zárthelyi dolgozat biomatematikából * (Minta, megoldásokkal) E. Mit értünk hatványfüggvényen? Adjon példát nem invertálható hatványfüggvényre. Adjon példát mindenütt konkáv hatványfüggvényre.
RészletesebbenMatematika A1a Analízis
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 A derivált alkalmazásai H607, EIC 2019-04-03 Wettl
Részletesebben11. gyakorlat megoldásai
11. gyakorlat megoldásai Lokális szélsőértékek F1. Határozzuk meg az alábbi kétváltozós függvények lokális szélsőértékeit! (a) f(x, y) = 4x 2 + 2xy + 5y 2 + 2, (b) f(x, y) = y 4 y + x 2 y + 2xy, (c) f(x,
RészletesebbenFirst Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. (Derivált)
Valós függvények (3) (Derivált) . Legyen a belső pontja D f -nek. Ha létezik és véges a f(x) f(a) x a x a = f (a) () határérték, akkor f differenciálható a-ban. Az f (a) szám az f a-beli differenciálhányadosa.
RészletesebbenDifferenciálegyenletek. Vajda István március 4.
Analízis előadások Vajda István 2009. március 4. Függvényegyenletek Definíció: Az olyan egyenleteket, amelyekben a meghatározandó ismeretlen függvény, függvényegyenletnek nevezzük. Függvényegyenletek Definíció:
RészletesebbenMatematika szigorlat június 17. Neptun kód:
Név Matematika szigorlat 014. június 17. Neptun kód: 1.. 3. 4. 5. Elm. Fel. Össz. Oszt. Az eredményes szigorlat feltétele elméletből legalább 0 pont, feladatokból pedig legalább 30 pont elérése. A szigorlat
RészletesebbenMatematika A1a Analízis
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 Folytonosság H607, EIC 2019-03-07 Wettl Ferenc
Részletesebben1. feladatsor: Vektorfüggvények deriválása (megoldás)
Matematika A gyakorlat Energetika és Mechatronika BSc szakok 016/17 ősz 1. feladatsor: Vektorfüggvények deriválása megoldás) 1. Tekintsük azt az L : R R lineáris leképezést ami az 1 0) vektort az 1 0 )
Részletesebbenf(x) a (x x 0 )-t használjuk.
5. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 5.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási
Részletesebben11. gyakorlat megoldásai
11. gyakorlat megoldásai Lokális szélsőértékek F1. Határozza meg az alábbi kétváltozós függvények lokális szélsőértékeit! (a) f(x, y) = 4x 2 + 2xy + 5y 2 + 2, (b) f(x, y) = y 4 3y + x 2 y + 2xy, (c) f(x,
RészletesebbenA sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex
A sorozat fogalma Definíció. A természetes számok N halmazán értelmezett függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet a valós számok halmaza, valós számsorozatról beszélünk, mígha az
RészletesebbenGauss-Jordan módszer Legkisebb négyzetek módszere, egyenes LNM, polinom LNM, függvény. Lineáris algebra numerikus módszerei
A Gauss-Jordan elimináció, mátrixinvertálás Gauss-Jordan módszer Ugyanazzal a technikával, mint ahogy a k-adik oszlopban az a kk alatti elemeket kinulláztuk, a fölötte lévő elemeket is zérussá lehet tenni.
RészletesebbenFeladatgyûjtemény. Analízis III. Sáfár Zoltán
Feladatgyûjtemény Analízis III. Sáfár Zoltán NyME-SEK 20 Tartalomjegyzék. Számsorozatok számsorok 2. Differenciálszámítás 5 2.. L Hospital-szabály............................... 7 3. Függvénysorok Taylor-polinom
RészletesebbenElső zárthelyi dolgozat megoldásai biomatematikából * A verzió
Első zárthelyi dolgozat megoldásai biomatematikából * A verzió Elméleti kérdések: E. Mikor nevezünk egy gráfot gyengén és mikor erősen összefüggőnek? Adjon példát gyengén összefüggő de erősen nem összefüggő
RészletesebbenTöbbváltozós függvények Feladatok
Többváltozós függvények Feladatok 2. szeptember 3. Határozzuk meg az alábbi sorozatok határértékét illetve torlódási pontjait!. ( n n2 + n n 3 2. ( n + n n5 n2 +2n+ 5 n n+ 3. ( sin(nπ/2 n n! Határozzuk
Részletesebbenf(x) vagy f(x) a (x x 0 )-t használjuk. lim melyekre Mivel itt ɛ > 0 tetszőlegesen kicsi, így a a = 0, a = a, ami ellentmondás, bizonyítva
6. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 6.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási
Részletesebbenminden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének mondjuk, f(x 0 )-at pedig az (abszolút) maximumértékének.
Függvények határértéke és folytonossága Egy f: D R R függvényt korlátosnak nevezünk, ha a függvényértékek halmaza korlátos. Ha f(x) f(x 0 ) teljesül minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének
RészletesebbenAnalízis tételek alkalmazása KöMaL és más versenyfeladatokon
EÖTVÖS LORÁND TUDOMÁNYEGYETEM TERMÉSZETTUDOMÁNYI KAR Analízis tételek alkalmazása KöMaL és más versenyfeladatokon Lukács Imola Matematika BSc Szakdolgozat Témavezető: Gémes Margit Műszaki gazdasági tanár
RészletesebbenSZÉLSŐÉRTÉKKEL KAPCSOLATOS TÉTELEK, PÉLDÁK, SZAKDOLGOZAT ELLENPÉLDÁK. TÉMAVEZETŐ: Gémes Margit. Matematika Bsc, tanári szakirány
SZÉLSŐÉRTÉKKEL KAPCSOLATOS TÉTELEK, PÉLDÁK, ELLENPÉLDÁK SZAKDOLGOZAT KÉSZÍTETTE: Kovács Dorottya Matematika Bsc, tanári szakirány TÉMAVEZETŐ: Gémes Margit Műszaki gazdasági tanár Analízis tanszék Eötvös
Részletesebben6. Folytonosság. pontbeli folytonosság, intervallumon való folytonosság, folytonos függvények
6. Folytonosság pontbeli folytonosság, intervallumon való folytonosság, folytonos függvények Egy függvény egy intervallumon folytonos, ha annak miden pontjában folytonos. folytonos függvények tulajdonságai
Részletesebben{ } x x x y 1. MATEMATIKAI ÖSSZEFOGLALÓ. ( ) ( ) ( ) (a szorzás eredménye:vektor) 1.1. Vektorok közötti műveletek
1. MAEMAIKAI ÖSSZEFOGLALÓ 1.1. Vektorok közötti műveletek Azok a fizikai mennyiségek, melyeknek nagyságukon kívül irányuk is van, vektoroknak nevezzük. A vektort egyértelműen megadhatjuk a hosszával és
RészletesebbenFirst Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. (L Hospital szabály, Taylor-polinom,
Valós függvények (L Hospital szabály, Taylor-polinom, függvények közelítése) . Tegyük fel, hogy f és g differenciálható az (a, p) (p, b) halmazon, ahol a < b, g-nek és g -nek nincs gyöke ebben a halmazban.
RészletesebbenGazdasági matematika
ALKALMAZOTT KVANTITATÍV MÓDSZERTAN TANSZÉK Gazdasági matematika Tantárgyi útmutató Pénzügy és számvitel, Gazdálkodási és menedzsment, Emberi erőforrások alapképzési szakok nappali tagozat új tanrendűek
RészletesebbenGazdasági matematika
Gazdasági matematika Tantárgyi útmutató Pénzügy és számvitel, Gazdálkodási és menedzsment, Emberi erőforrások alapképzési szakok nappali tagozat új tanrendűek számára 2017/18 tanév II. félév 1 Tantárgy
RészletesebbenNorma Determináns, inverz Kondíciószám Direkt és inverz hibák Lin. egyenletrendszerek A Gauss-módszer. Lineáris algebra numerikus módszerei
Indukált mátrixnorma Definíció A. M : R n n R mátrixnormát a. V : R n R vektornorma által indukált mátrixnormának nevezzük, ha A M = max { Ax V : x V = 1}. Az indukált mátrixnorma geometriai jelentése:
RészletesebbenDierenciálhatóság. Wettl Ferenc el adása alapján és
205.0.9. és 205.0.26. 205.0.9. és 205.0.26. / Tartalom A dierenciálhatóság fogalma Pontbeli dierenciálhatóság Jobb és bal oldali dierenciálhatóság Folytonosság és dierenciálhatóság Deriváltfüggvény 2 Dierenciálási
Részletesebben