{ } x x x y 1. MATEMATIKAI ÖSSZEFOGLALÓ. ( ) ( ) ( ) (a szorzás eredménye:vektor) 1.1. Vektorok közötti műveletek

Átírás

1 1. MAEMAIKAI ÖSSZEFOGLALÓ 1.1. Vektorok közötti műveletek Azok a fizikai mennyiségek, melyeknek nagyságukon kívül irányuk is van, vektoroknak nevezzük. A vektort egyértelműen megadhatjuk a hosszával és az irányával; nem tekintünk különbözőnek két vektort, ha azok párhuzamos eltolással átvihetők egymásba. A vektor kezdőés végpontjának távolságát a vektor szolút értékének (hosszának, nagyságának) nevezzük. Jelölése: a. Ha a vektor hossza egységnyi, akkor a vektort egységvektornak, ha nulla, akkor nullvektornak nevezzük. etszőleges a, b, c vektorok esetén különböző jelölésmódokat alkalmazva az a= a, a, a ; b=b i+ b j+ bk; c=c e +c e + ce összefüggések állhatnak fenn. { } x x x y y z y z z Skaláris szorzás a b= x x + y y + z z = b a a b = b a (a szorzás eredménye: skalár) (kommutatív) Vektoriális szorzás i j k a b= a a a = i j+ k ( ) ( ) ( ) (a szorzás eredménye:vektor) y z z y x z z x x y y x b b b a b = b a (nem kommutatív) Általános (diadikus) szorzás ax x x x y x z = a b = = a y bx by bz = y x y y y z a z z x z y z z a b b a (nem kommutatív) b a = (transzponált tenzor) (a szorzás eredménye: mátrix) 1

2 Kétszeres vektorszorzat kifejtési tétele a ( b c) = b( a c) c( a b) ( a b) c = b( a c) a( b c) ahol a, b, c vektor tetszőleges vektorok. A szorzás nem asszociatív művelet! Diád skaláris szorzása vektorral ( a b) c = a( b c) a ( b c) = ( a b) c ahol a, b, c vektor tetszőleges vektorok. Mivel így a ( bc) = ( a b) c = c( a b) = c( b a) = ( cb) a, a b c = a = c b a= a ( ) ( ) 1.2. Műveletek a differenciáloperátorokkal DDKR-ben Legyen adott DDKR-ben: 0. méretű objektum (skalár) 1. méretű objektum (vektor) 2. méretű objektum (tenzor) S( rt, ) = S( xyzt,,, ) - tetszőleges skalár-vektor függvény. V rt V xyzt i V xyzt j V xyzt k - (, ) = (,,, ) + (,,, ) + (,,, ) tetszőleges, vektor-vektor függvény. rt (, ) = = ahol = ( xyzt,,, ), ( i 1, 2,3; j 1, 2,3) ij ij - tetszőleges tenzor-vektor függvény, = =. 2

3 Műveletek operátorral = i + j + k (vektor differenciáloperátor) a) Skaláris szorzás Legalább 1 méretű objektumra (legalább vektorra) értelmezett. Új méret = Régi méret 1 Speciális esetek: x y V = divv = + + z (eredmény: skalár) x 13 = Div = (eredmény: vektor) y Kifejtve a sor oszlop kombinációval: = + + i j k b) Vektoriális szorzás Legalább 1 méretű objektumra értelmezett. Új méret = Régi méret i j k z y V x z y x V = rot V = = i j + k y x x y V V V c) Általános (diadikus) szorzás Nincs méretbeli korlátozás Új méret = Régi méret + 1 Speciális esetek: S S S S = grad S = i + j + k (eredmény: vektor) 3

4 V x x x z z z y y y = = DV ( ) (eredmény: mátrix) DV ( ) : a V derivált tenzora. A tenzorok transzponáltját a tenzor főátlóra való tükrözésével határozhatjuk meg: V = D V ( ) Műveletek Laplace ( ) operátorral 2 = = = + + (másodrendű skalár differenciáloperátor) Speciális esetek: S S S S = + + (eredmény: skalár) V= Vi+ V j+ Vk= Vx Vx V Vy V x y V y Vz Vz Vz = i j k (eredmény: vektor) 1.3. Műveletek a differenciál operátorokkal HKR-ben 1 = er + eϕ + ez r r ϕ Alkalmazások: S 1 S S - S=grad S = er + eϕ + ez (eredménye: vektor) r r ϕ 1 1 ϕ z divv = V = r + + = V (eredménye: skalár) r r r ϕ - ( rv ) S r = + + r r r r ϕ 2 2 S S S (eredménye: skalár) 4

5 1.4. Függvények teljes differenciálhányadosa Skalár tér- és időfüggvény teljes differenciálhányadosa S S S S S ds = + dx+ dy+ dz = + ( dr ) S S ds = + ( dr ) S teljes differenciál Figyelembe véve, hogy d r = v (sebességvektor), így ds S = + ( v ) S Lokális Konvektív megváltozás Vektor tér- és időfüggvény teljes differenciálhányadosa dv = + ( dr ) V dv = + ( v ) V Speciális eset: V = v sebességvektor gyorsulás vektor ( a ) dv v a = = + ( v ) v ahol v : lokális megváltozásból származó tag. v v : konvektív megváltozásból származó tag. ( ) dr v = 1.5. Integrál-átalakítási tételek Gauss Osztogradszkij tétel enzor esetén: da= Div dv ( A) ( V), 5

6 ahol Div =, rt, - V -ben folytonosan differenciálható, ( ) (V) egyszeresen összefüggő tartomány, az ( A ) zárt felülettel határolt véges térfogat, da= dan felületelem-vektor és a vizsgált térrészből kifelé mutat. Megjegyzés: ha helyett alacsonyb méretű objektum is állhat, amely (V)-ben folytonosan differenciálható. Vektor esetén: Skalár esetén: V da= div V dv ( A) ( V) Mivel SdA= ( A) ( V) grad SdV = SI, Div( SI) = ( SI) = ( I ) S = grad S = S Stokes tétel V dr = rot v da ( L) ( A) Feltételek: v( rt, ) az (A) mentén folytonosan differenciálható, (A) folytonos görbületű felület, ( L ) az (A) felületet határoló rektifikálható 1 zárt görbe, da - felületvektor (A)-ra merőleges. ( L irányítása da -val szembenézve pozitív körüljárású, vagyis az óramutató járásával ellentétes.) 1 Rektifikálható- kifejthető: létezik az ív hossza. 6

7 1.6. érfogati integrál idő szerinti totális deriváltja vagy ahol: F( rt, ) d F F ( r, t) dv dv F v da = + ( Vsyst ) ( CV ) ( A) ( ) d df F ( r, t) dv Fdivv dv = + ( V syst ) ( CV ) t= Vsyst = CV 0 ban, ( ) ( ) - vektor vektor vagy skalár vektor függvény, ( V ) -ben folytonos és legalább egyszer differenciálható, v rt, sebességtérben mozgó ugyanazon a folyadékrészecskék a ( syst ) V -t a ( ) alkotják, ( ) CV a ( syst ) V -el t = 0 -ban egybeeső, de időben és térben rögzített térfogat, az úgynevezett ellenőrző térfogat, ( A ) a ( ) d CV -t határoló zárt felület, totális vagy teljes derivált (szubsztanciális derivált). 7