Matematika III előadás

Átírás

1 Matematika III előadás Vinczéné Varga Adrienn Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Előadáskövető fóliák Vinczéné Varga Adrienn (DE-MK) Matematika III. 2016/2017/I 1 / 30

2 Egy P anyagi pont mozgása a síkban és a térben is leírható - az origó rögzítése után - úgy, hogy megadjuk P hely(zet)vektorát az idő függvényében. Ebből a hely(zet)vektor-idő függvényből a mozgás kinematikai jellemzői (sebesség, gyorsulás) megadhatók. Az R R 2 típusú r(t) = x(t) i + y(t) j függvény ún. koordinátafüggvényei az x, y : R R egyváltozós, valós értékű függvények. Az R R 3 típusú r(t) = x(t) i + y(t) j + z(t) k függvény ún. koordinátafüggvényei az x, y, z : R R egyváltozós, valós értékű függvények. Vinczéné Varga Adrienn (DE-MK) Matematika III. 2016/2017/I 2 / 30

3 Definíció: határérték, folytonosság (R R 2 ) Azt mondjuk, hogy az r(t) = x(t) i + y(t) j függvény határértéke a t 0 paraméterértékű pontban a, ha léteznek a lim x(t) =: a 1, t t 0 lim t t0 y(t) =: a 2 határértékek és a = (a 1, a 2 ). Jele: lim t t0 r(t) = a. Ha még r(t 0 ) = a is teljesül, akkor azt mondjuk, hogy r folytonos t 0 -ban. Hasonlóan definiálható R R 3 függvény határértéke, folytonossága. Példa r(t) = cos(t) i + sin(t) j bármely t 0 R esetén folytonos: lim r(t) = ( lim cos(t), lim sin(t)) = (cos(t 0 ), sin(t 0 )) t t 0 t t0 t t0 Vinczéné Varga Adrienn (DE-MK) Matematika III. 2016/2017/I 3 / 30

4 Definíció: differenciálhányados Legyen n = 2 vagy 3. Az r : I ( R) R n függvény differenciálható az I értelmezési tartomány t 0 belső pontjában, ha létezik a r(t) r(t 0 ) lim = m t t 0 t t 0 Ekkor az m vektort az r függvény t 0 helyen vett differenciálhányadosának nevezzük. Jele: r (t 0 ). Megjegyzés r r(t) r(t 0 ) (t 0 ) = lim = lim t t0 t t 0 t t0 x(t) x(t 0 ) t t 0 y(t) y(t 0 ) t t 0 z(t) z(t 0 ) t t 0 = x (t 0 ) y (t 0 ) z (t 0 ) Hasonlóan igaz R R 2 típusú függvényre. Vinczéné Varga Adrienn (DE-MK) Matematika III. 2016/2017/I 4 / 30

5 Példa Ha a t r(t) függvény egy mozgó pont hely-idő függvénye, egyre rövidebb t(= t t 0 ) időtartam esetén a r 0 t (= r(t) r(t 0) t t 0 ) vektor iránya és nagysága egyre jobban közelíti a P 0 pontbeli (azaz t 0 időpillanatbeli) sebességvektor irányát és nagyságát. r A t 0 időpontban a pillanatnyi sebesség: v(t 0 ) = lim 0 t 0 t = r (t 0 ) Vinczéné Varga Adrienn (DE-MK) Matematika III. 2016/2017/I 5 / 30

6 Megjegyzés A differenciálhányados geometriai jelentése a t 0 paraméterhez tartozó pontban: r(t 0 ) pontbeli érintő vektor. A t r (t) differenciálhányados függvény R R 3 típusú függvény. Ha t r(t) egy mozgó pont hely-idő függvénye, akkor t r (t) a sebesség-idő függvény. Ha t r(t) egy mozgó pont hely-idő függvénye, akkor t r (t) a gyorsulás-idő függvény. A t paraméter (fizikában az idő) szerinti deriváltat vessző helyett általában ponttal jelölik. Vinczéné Varga Adrienn (DE-MK) Matematika III. 2016/2017/I 6 / 30

7 Emlékeztető: az egyenes előállítása Az r 0 helyzetvektor által meghatározott ponton átmenő, v irányvektorú egyenest állítja elő a következő függvény: r(t) = r 0 + v t (t R) ( ) x0 + v A síkban: r(t) = 1 t, t R y 0 + v 2 t x 0 + v 1 t A térben: r(t) = y 0 + v 2 t, t R z 0 + v 3 t Vinczéné Varga Adrienn (DE-MK) Matematika III. 2016/2017/I 7 / 30

8 Példák ( ) 3t Az r(t) =, (t R) lineáris függvény képe a síkban 4t origón átmenő v = (3, 4) irányvektorú egyenes. t Az r(t) = 4t t, (t R) lineáris függvény képe a térben origón átmenő v = (1, 4, 1) irányvektorú egyenes. Megjegyzés Ugyanannak az egyenesnek számos előállítása létezik R R 3 típusú függvényként. Vinczéné Varga Adrienn (DE-MK) Matematika III. 2016/2017/I 8 / 30

9 Példa Legyen A = (3, 2, 1), B = (2, 4, 3). Paraméterezzük az AB szakaszt úgy, hogy a 0 paraméterű pont az A pont legyen, a derivált vektor hossza pedig 4 legyen! Az A és B pontokra illeszkedő egyenes egy irányvektora AB = ( 1, 2, 2). Ezzel megegyező irányú, egységnyi hosszúságú vektor: v = 1 AB AB 1 = ( 1, 2, 2) = ( 1 3, 2 3, 2 ) 3 r (t) = 4, amely egyben az A és B pontokra illeszkedő egyenes irányvektorának hossza: r (t) = 4 v = ( 4 3, 8 3, 8 3). Így r(t) = 3 + ( 4 3) t 2 + ( 8 3) t t, t [ 0, 3 ]. 4 Vinczéné Varga Adrienn (DE-MK) Matematika III. 2016/2017/I 9 / 30

10 Példa Egy mozgó részecske a tér A = (3, 2, 1) pontjából a tér B = (2, 4, 3) pontjába halad egyenes vonalú egyenletes mozgást végezve 4 [ ] m s állandó nagyságú sebességgel. Adjuk meg a részecske helyzetét a t = 0.5 [s] időpillanatban! Ha r(t) a részecske helyzete a t időpillanatban, akkor r(t) = r(0) + v t. Mivel r (t) = v, az előző példa eredményeit felhasználva r(0.5) = = Vinczéné Varga Adrienn (DE-MK) Matematika III. 2016/2017/I 10 / 30

11 Az egyszerű ciklois paraméterezése x(t) = r t r sin(t) = r (t sin(t)) y(t) = r + ( r cos(t)) = r (1 cos(t)) Vinczéné Varga Adrienn (DE-MK) Matematika III. 2016/2017/I 11 / 30

12 Az egyszerű ciklois paraméterezése Így r(t) = r (t sin(t)) i + r (1 cos(t)) j ahol t [0, 2π]. Asztroid Vinczéné Varga Adrienn (DE-MK) Matematika III. 2016/2017/I 12 / 30

13 Mit tekintsünk görbének? A differenciálszámítás eszközeinek hatékony használatához görbén az alábbit értjük: Definíció Legyen I R esetleg elfajuló, de nem egypontú intervallum, n = 2 vagy 3. Egy r : I R n folytonosan differenciálható leképezést (parametrizált) görbének nevezünk, ha t I-re r (t) 0 (regularitási feltétel). I-t paramétertartománynak nevezzük. A leképezés képhalmazát mondjuk ilyenkor röviden görbének. n = 2 esetén síkgörbéről, n = 3 esetén térgörbéről beszélünk. Általános értelemben síkgörbéről beszélünk akkor is, ha r képét R 3 egy síkja tartalmazza. Vinczéné Varga Adrienn (DE-MK) Matematika III. 2016/2017/I 13 / 30

14 Megjegyzés Ha t r(t) egy mozgó pont hely-idő függvénye, akkor a t I-re r (t) 0 feltétel azt jelenti, hogy a mozgó pont sebessége egy pillanatban sem lehet nulla. Ez azt is jelenti, hogy a mozgó pont nem fordul vissza a pályán. Lineáris közelítés A differenciálhányados definicióját felhasználva r(t) r(t 0 ) lim = r (t 0 ). t t 0 t t 0 Ha t elég közel van t 0 -hoz, akkor r(t) r(t 0 ) r (t 0 ) (t t 0 ) azaz r(t) r(t 0 ) + r (t 0 ) (t t 0 ). Vinczéné Varga Adrienn (DE-MK) Matematika III. 2016/2017/I 14 / 30

15 Definíció: érintőegyenes Legyen I R esetleg elfajuló, de nem egypontú intervallum,t 0 I. Egy r : I R 3, r(t) = (x(t), y(t), z(t)) görbének a t 0 paraméterhez tartozó r(t 0 ) pontbeli érintőegyenese: e(t) = r(t 0 ) + r (t 0 ) (t t 0 ), (t R). Koordinátákkal: e(t) = x(t 0 ) + x (t 0 ) (t t 0 ) y(t 0 ) + y (t 0 ) (t t 0 ) z(t 0 ) + z (t 0 ) (t t 0 ), (t R). Megjegyzés A t = t 0 paraméterű pont az érintőegyenes r(t 0 ) pontja. r(t) e(t) Vinczéné Varga Adrienn (DE-MK) Matematika III. 2016/2017/I 15 / 30

16 Példák Legyen r : [0; 2π] R 2 ; r(t) = (5 cos t; 5 sin t). Ekkor r képe az origó középpontú 5 sugarú kör. A regularitási feltétel nyilván teljesül: r (t) = ( 5 sin t; 5 cos t), r (t) = 5 0. Ha r egy síkbeli mozgást leíró hely-idő függvény, akkor ez azt jelenti, hogy a sebesség nagysága állandó, tehát itt egy egyenletes körmozgásról van szó, 5 egység nagyságú sebességgel. Legyen r : [0; 2π] R 2 ; r(t) = (5 cos(2t); 5 sin(2t)). Ekkor r képe ismét origó középpontú 5 sugarú kör. Viszont r (t) = ( 10 sin(2t); 10 cos(2t)), r (t) = Vinczéné Varga Adrienn (DE-MK) Matematika III. 2016/2017/I 16 / 30

17 Megjegyzés Adott görbének tetszőleges számú előállítása létezik. A különböző előállításokban általában különbözik egy adott görbeponthoz tartozó érintővektor hossza. Ez egy mozgó pont hely-idő függvénye esetén ugyanazon pálya különböző sebességgel való befutásának felel meg a fizikában. Differenciálható tér- és síkgörbe esetén azt az előállítást, melynél az érintővektor hossza bármely pontban egységnyi, ívhossz-paraméteres előállításnak nevezzük. Ekkor a paramétert s-sel szokás jelölni. Ez a pálya egységnyi nagyságú sebességgel való befutásának felel meg a fizikában. Vinczéné Varga Adrienn (DE-MK) Matematika III. 2016/2017/I 17 / 30

18 A görbeelmélet olyan mennyiségeket keres, amelyek függetlenek a paraméterezéstől. Az ívhossz ilyen tulajdonságú. Állítás (indoklás nélkül) Ha a G : r : I R 3 görbe olyan, hogy t I -re r (t) és r (t) lineárisan függő (azaz f : R R úgy, hogy r (t) = f (t) r (t)), akkor r képe egyenes. Ezért a továbbiakban feltesszük, hogy t I -re r (t) és r (t) lineárisan független, azaz r (t) r (t) 0. Ekkor bireguláris görbéről beszélünk. Vinczéné Varga Adrienn (DE-MK) Matematika III. 2016/2017/I 18 / 30

19 Simulósík Tekintsük a Q = r(q 1 ), P 0 = r(t 0 ), R = r(q 2 ) pontokra illeszkedő síkot, és jelölje a sík normálvektorát n QR = (A QR ; B QR ; C QR )! Ha Q P 0, R P 0, akkor a síkok határhelyzete egy sík, ezt a síkot fogjuk majd a P 0 = r(t 0 )-ra illeszkedő simulósíknak nevezni. A sík egyértelmű megadásához egy pontja (itt P 0 adott) és a normálvektora szükséges (később: n). Célunk megadni az imént említett sík egy normálvektorát. Vinczéné Varga Adrienn (DE-MK) Matematika III. 2016/2017/I 19 / 30

20 Ehhez tekintsük az f (t) = [r(t) r(t 0 )] n QR függvényt! Ekkor f (q 1 ) = f (t 0 ) = f (q 2 ) = 0, így a Rolle-tételt alkalmazhatjuk: α 1 ]q 1, t 0 [ úgy, hogy f (α 1 ) = 0, α 2 ]t 0, q 2 [ úgy, hogy f (α 2 ) = 0. Az f függvényre alkalmazhatjuk ismét a Rolle-tételt: Mivel β ]α 1, α 2 [ úgy, hogy f (β) = 0. f (t) = [r(t) r(t 0 )] n QR + [r(t) r(t 0 )] n QR = r (t) n QR f (t) = (r (t) n QR ) = r (t) n QR + r (t) n QR = r (t) n QR Vinczéné Varga Adrienn (DE-MK) Matematika III. 2016/2017/I 20 / 30

21 a fentiekből f (α 1 ) = r (α 1 ) n QR = 0 f (α 2 ) = r (α 2 ) n QR = 0 f (β) = r (β) n QR = 0. Ha Q P 0, R P 0 (azaz q 1 t 0, q 2 t 0 ), akkor α 1 t 0, α 2 t 0, β t 0 és n QR n. Így a egyenlőségekből határátmenettel kapjuk, hogy r (t 0 ) n = 0 és r (t 0 ) n = 0. Ez azt jelenti, hogy r (t 0 ) és r (t 0 ) merőleges n-re, azaz r (t 0 ) r (t 0 ) párhuzamos n-nel. Vinczéné Varga Adrienn (DE-MK) Matematika III. 2016/2017/I 21 / 30

22 Definíció: Simulósík A P 0 = r(t 0 ) pontra illeszkedő r (t 0 ) r (t 0 ) normálvektorú sík a görbe r(t 0 )-beli simulósíkja. Megjegyzés Hasonlóan származtatható a simulókör is (a simulósíkban). Vinczéné Varga Adrienn (DE-MK) Matematika III. 2016/2017/I 22 / 30

23 A GÖRBEELMÉLET ALAPÖTLETE: T (t), N(t), B(t) T (t) := 1 r (t) r (t) - érintő egységvektor 1 B(t) := r (t) r (t) r (t) r (t) - binormális egységvektor N(t) := B(t) T (t) - normális egységvektor T (t), N(t), B(t) egymásra páronként merőleges egységvektorok r(t)-ben. Ezeknek tehát csak az iránya változik a görbe alakjával. Vinczéné Varga Adrienn (DE-MK) Matematika III. 2016/2017/I 23 / 30

24 Az érintő, a normális és a binormális egységvektorok a görbe bármely pontjában ortonormált vektorrendszert alkotnak. Ezt a hármast a görbe kísérő triéderének nevezzük. A görbe r(t 0 ) pontjában a simuló síkot az T (t 0 ) és N(t 0 ) vektorok feszítik ki, a sík normálvektora B(t 0 ). A görbe r(t 0 ) pontjában a rektifikáló síkot az T (t 0 ) és B(t 0 ) vektorok feszítik ki, a sík normálvektora N(t 0 ). A görbe r(t 0 ) pontjában a normális síkot az N(t 0 ) és B(t 0 ) vektorok feszítik ki, a sík normálvektora T (t 0 ). Vinczéné Varga Adrienn (DE-MK) Matematika III. 2016/2017/I 24 / 30

25 Gyorsulás Ha t r(t) egy mozgó pont hely-idő függvénye, már láttuk, hogy a t r (t) a sebesség-idő függvény. A sebesség változási gyorsaságát a gyorsulás adja meg, azaz a t r (t) függvény a gyorsulás-idő függvény. A mechanikában a t 0 időpillanatbeli gyorsulásvektort két komponensre bontják: egy érintő- és egy rá merőleges irányú komponensre. Jelöléseinkel: r (t 0 ) = a T T (t 0 ) + a N N(t 0 ). Az érintő irányú komponens a pillanatnyi sebesség nagyságára hat, a másik pedig a pillanatnyi mozgásirányra. Korábban feltettük, hogy t -re r (t) r (t) 0. Ha lenne olyan t 0, melyre r (t 0 ) r (t 0 ) = 0, akkor a gyorsulásvektornak a t 0 időpillanatban csak érintő irányú komponense lenne, tehát a mozgás a t 0 időpillanatban érintőegyenes irányú lenne. Vinczéné Varga Adrienn (DE-MK) Matematika III. 2016/2017/I 25 / 30

26 Görbületfüggvény Azt, hogy egy görbe egy adott helyen mennyire tér el az egyenestől a görbülettel mérjük. A görbület az érintő vektor irányának megváltozásával függ össze. Ha a görbe kétszer differenciálható, akkor a görbület: κ(t) = r (t) r (t) r (t) 3 Megjegyzés A képlet tekinthető a görbület definíciójának nem bireguláris görbe esetén is. Ha ugyanis r és r lineárisan függő, akkor képletünk nullát ad és visszaadja az egyenes görbületének intuitív értékét. Vinczéné Varga Adrienn (DE-MK) Matematika III. 2016/2017/I 26 / 30

27 A görbület egy adott paraméterű pontban kizárólag a görbe alakjától függ, nem a paraméterezéstől. Példák: a görbületfüggvény konstans függvény. Egyenes görbülete 0. Kör görbülete a sugár reciproka, ugyanis az R sugarú kör ívhosszparaméteres előállítása ( ( ) ( )) 1 1 r(s) = R cos R s ; R sin R s (s [0, 2 R π]) r (s) = ( sin κ(s) = r (s) = ( 1 R s ) ( 1 ; cos R s )) (s [0, 2 R π]) ( 1 ( )) 1 2 ( R cos R s + 1 ( )) 1 2 R sin R s = = ( 1 ) 2 = 1 R R Vinczéné Varga Adrienn (DE-MK) Matematika III. 2016/2017/I 27 / 30

28 Torziófüggvény Azt, hogy egy görbe mennyire csavarodik a torzióval mérjük. A torzió a binormális vektor irányának változásával függ össze: a görbe mennyire tér el a simulósíkjától. Ha a görbe háromszor differenciálható és az első és a második deriváltak vektori szorzata nem tűnik el, akkor a torzió: τ(t) = (r (t) r (t)) r (t) r (t) r (t) 2 A torzió egy adott paraméterű pontban kizárólag a görbe alakjától függ, nem a paraméterezéstől. Vinczéné Varga Adrienn (DE-MK) Matematika III. 2016/2017/I 28 / 30

29 FRENET-EGYENLETEK: T = v κ N N = v κ T + v τ B B = v τ N ahol v(t) = r (t) a pályasebesség-függvény. Síkgörbe a saját simulósíkjában van, így a torziója minden pontban nulla. Vinczéné Varga Adrienn (DE-MK) Matematika III. 2016/2017/I 29 / 30

30 A torzió eltűnése a síkgörbék jellemzője: Tétel Egy háromszor differenciálható görbe pontosan akkor síkgörbe, ha a torziója nulla. Legyen G torziója minden pontban 0. Feltehetjük, hogy a G görbe ívhossz paraméterezésű: r(s) = (x(s), y(s), z(s)), t I (ekkor v(s) = 1). (A torzió és a görbe alakja független a paraméterezéstől.) A Frenet-egyenletekből ekkor B (s) = 1 0 N = 0 s I következik,így s I-re B(s) = n (n = (n 1, n 2, n 3 ) R 3 -beli konstans). Mivel (r(s) n) = r (s) n + r(s) 0 = T (s) B(s) = 0, így r(s) n = D ( R), azaz ( ) n 1 x(s) + n 2 y(s) + n 3 z(s) = D. Ez azt jelenti, hogy r(s) rajta van az n 1 x + n 2 y + n 3 z = D egyenletű síkon, tehát G síkgörbe. Vinczéné Varga Adrienn (DE-MK) Matematika III. 2016/2017/I 30 / 30