5 1 6 (2x3 + 4) 7. 4 ( ctg(4x + 2)) + c = 3 4 ctg(4x + 2) + c ] 12 (2x6 + 9) 20 ln(5x4 + 17) + c ch(8x) 20 ln 5x c = 11

Átírás

1 Bodó Beáta ISMÉTLÉS. ch(6 d e (8 d ch (9 + 7 d ( d d sin (4 + d cos sin d 7 ( d INTEGRÁLSZÁMÍTÁS 7 6 sh(6 + c 8 e(8 + c 9 th( c 6 ( c = 7 4 ( c 7 ( c = 8 8 ( c 4 ( ctg(4 + + c = 4 ctg(4 + + c 7 ( (cos c = 6 cos6 + c + c = 4 ( c d ln c = ln( c ch(8 + sh(8 d 6 ln + sh(8 + c sh(e 4 + e 4 d 4 ch(e4 + + c ( sin + 7 cos d ln + 7 cos + c = 7 7 ln + 7 cos + c ln (ln 4 d + c = 4 4 ln4 + c 8 ln d 8 (ln c = ln 4 + c 9 + d atctg( + c = atctg( + c

2 Bodó Beáta ( + 4 d 4 arctg + c = ( arctg + c 6 + d 7 + d 7 ( 4 4 arctg + c = ( 4 arctg + c ( arctg ( + + d 4 arctg + ( d arctg + c = 7 ( arctg + c + c = ( arctg + + c + c = ( arctg + c 4 d arcsin ( + c d arcsin( + c 8 d arcsin( + c = 8 arcsin( + c 4 8 d arcsin( + + c = arcsin( + + c 9 d arcsin( + c = arcsin( + c 4 ch(4 ( + 6 sh(4 + c ( + sh(4 d (4 7 cos( + d (8 + ln( d arctg( d sin( + ( cos( + + c ( 8 + ln( c arctg( 6 ln c = arctg( 6 ln( c

3 Bodó Beáta RACIONÁLIS TÖRTFÜGGVÉNYEK INTEGRÁLÁSA 8 8. B 7 d ln 7 + c. B. B. B 4. B. B 6. B 7. B 8. B 9. B 4. B 4. B 4. B 9 d 9 ln 9 + c ( d ( c ( 7 d 66 ( 6 + c ( + 4 d 8 ( ( + + c 7 ( 4 6 d 7 6 ( ( 4 + c 6 ( d ( + 6 ln + c + ( d 6 ( 4 4 ( + c d arctg ( + + c d 7 arctg + 64 d 7 + d ( + + c = 7 arctg ( + + c ln c = ln( c 7 ln + + c = 7 ln( + + c d ln arctg ( + + c = ln( arctg ( + + c 4. B 8 + d ln arctg ( 4 + c = ln( ( arctg 4 + c

4 Bodó Beáta B + 6 d 7 ln ( 4 arctg 4 + c = 7 ln( ( 4 arctg 4 + c 4. B d ln arctg ( 46. B ( + + d 4 + ( B ( d ( + + c = ( ln( arctg + + c ( ln c 4 ( + 6 ln + c 48. Milen típusú racionális törtek összegére bontaná az alábbi törteket? A (a Bf( = B + 4 (b Bf( = + A B + C (c Bf( = 8 + A 4 + B + C + D (d Bf( = 6 A (8 + + B + c 8 + A (e Bf( = ( B + C + 6 A (f Bf( = ( B C ( + 4 A (g Bf( = B + + C ( + 7 A (h Bf( = ( + 8( B + C + + D + E ( + + F + G ( + (i Bf( = + A ( ( + + B + C ( + D + E ( (j Bf( = ( + ( + 9 ( 6 A + + B ( + + C ( + + D + E F + G ( H 6

5 Bodó Beáta 49. B. B + d ln ln + + c + 4 d + 4 = ( ( + = ( ( + ; 4 ln ln + + c +. B ( ( d ln ln 9 + c 48. B + 6 d ln + ln( ( 4 arctg 4 + c. B + d (ln ln + ln + + c B d ln + ( arctg + + c. B d = 4( + ( + = (4 + ( + ; ln + + ln c 6. B ( + ( + d ln( + + ln + + c ( + 9( 8 d ln ln( ( 9 arctg + c d ( + d d + ln + arctg + c ln ( + + c ( 4 ln( + 9 arctg 7 + c d ln + ln + + ( 8 arctg + c ( + ( + d ln( + + ( arctg + ln + ln + + c 6. B d ln + + c +

6 Bodó Beáta B 6. B 66. B 4 d + 9 ln 4 + c + d + 4 ln + + c 8 4 d ln 4 + c d + + = ( + ( = ( + ( ; ln ln + + c d + ln ln( + arctg + c d ln ln c INTEGRÁLÁS HELYETTESÍTÉSSEL 7. B e sin(e d cos(e + c; t = e 7. B 7. B 7. B 74. B cos( d sin( + c; t = + d arctg( + c; t = e cos (e d tg(e + c; t = e e d e e + c; t = d 4 6 ln c; t = 76. B sin ( d ctg( + c; t = cos( 77. B d sin( + c; t =

7 Bodó Beáta B 79. B 8. B 8. + d 6 ln + + c; t = e e d arcsin(e + c; t = e e (e + d (e + c; t = e + sin( d cos( + 4 cos( + 4 sin( + c; t = e + e d e ln( + e + c; t = e sin(ln d cos(ln( + sin(ln( + c; t = ln 84. e e + d e e + 4 ln(e + + c; t = e 8. e + d ln (e ln(e + + c; t = e 86. B arctg( d arctg( + arctg( + c; t = d ln + + c; t = d 4 8 ln + c; t = 89. B cos( d cos( + sin( + c; t = 9. e + e e + d ln(e + + arctg(e + c; t = e 9. e 8e e + 9e d ln(e + ln e + c; t = e 4 9. B d ( c; t = B + d 94. B ( 7 + d 9. B (4 + 9 d ( c; t = ( ( (7 + + c; t = 7 + ( c; t = + 9

8 Bodó Beáta B ( d 97. B sin( + d ( ( + + c; t = 4 + sin( + + cos( + + c; t = d ln ln + + c; t = e 4 d 4 e 4 + e 4 + c; t = d 9 ln ln + c; t = ( (9 + d ln + arctg( + c; t = e 8 e + 4 d ln(e + 4 ln(e + c; t = e e e e + 4e d 8 ln(e + ln e + c; t = e 7 ( ( + 6 d ln ln + c; t = d 7 6 arctg( 6 + c; t = (6e + + 7e e (e + 4(e + d ln(e arctg( e + c; t = e 7. + ( + 7( + 6 d ln ln c = ln ln( c; t = π ( 7 + d 886, 7; D = R; t = d, 7; D = ; ; t = + sin( d e d, 69; D = R; t = e + e = e ; D = ( ; ; t =

9 Bodó Beáta e e d e = 4, ; D = R {}; t = + d 4; D = ( ; ; t = + e + d, 86; D = R; t = e 4 e + d, 9; D = R; t = e IMPROPRIUS INTEGRÁL 6. B 7. B 8. B 9. B. B. B 4. B. B e 4. B e. B 6 d ; D = R {} d 8 ; D = R {} 4 d ; D = R {} ( + d ; D = R { } 7 d ; D = R {} d ; D = R {} d ; D = R {} ln d ln d 6. B e d ; D = (; (; ; D = (; (; ( 4 d 8 ; D = R {} ; D = R 7. B e 4+ d ; D = R

10 Bodó Beáta B. B. B ( d ; D = R + 4 d { 4 ; D = R } d, ; D = R d ; D = R {} 4 d ln(; D = R { ; } 4 + d d 4 + d e d 4. B d B ( + d π; D = R ; D = ( ; π; D = R 4π; D = R ; D = R d π; D = R + d π; D = R + + d ; D = (; + 8 ; D = ( ; d ; D = R { } ( + 4. B d ( + ; D = R { } B d ( + ; D = R { }

11 Bodó Beáta d ; D = R {} (4 4 d ( 6; D = R {} 4 d ( 4 ; D = ; π d ; D = ( ; π d 4 ; D = ( ; d π; D = ( ;. B ( + arctg d ; D = R {} 7. B ( + arctg d ; D = R {}. B e d ; D = R {} e e 6 ln d ln d ; D = (; ; D = (; (; ( π d 4 9 ; D = ; d ; D = ( ; d π; D = (; d π; D = (; π π cos sin d ; D = R {k π}; k Z cos sin d ; D = ( + k π; π + k π; k Z

12 Bodó Beáta ( ( d ( + ( 6 d ; D = R {6} ( 9 d, 7; D = R { } 6. d 9; D = R {} ( 66. d, 6; D = R {4} ( 4 4

13 Bodó Beáta VEKTOROK. B Legyen a( ; ; 4, b( ; ;, c(; 4;, d(8; ; 7. (a a 4c + 6d (; ; (b c + b 7a (8; ; 9 (c d c + b (; ; = 6, 6 (d 4a + 8b 7c ( 49; 44; = 74, 8. B Legyen a(, 7;, ; 4, 4, b(, ;, 7;, c(, ; 4;,, d(8, ;, 8;, 7. (a b + c a ( ;, 8; 8, (b 6c + d b (4, 9; 9; 6, (c d + a b ( 4;, ;, = 7, 8 (d b c a (, ; 4, ; 6, 7 =, 47. B Legyen a(; ; 8, b( ; 4;, c(; 4;, d(4; ;. (a Határozza meg a b vektor irányába mutató egységvektort! (b Határozza meg a a d vektor irányába mutató egységvektort! (c Határozza meg a c vektorral ellentétes irányú egységvektort! ( (d Határozza meg a d+b vektorral ellentétes irányú egységvektort! 4. B Legyen a(; 6; 8, b( ; ;, c( ; 4;, d(; ;. (a a, d (b b, 4c (c a, d + b ( 6 ; 6 ; 6 ( ; 8 7 ; 7 ( ; 4 ; 8 9 ; 4 9 ; (d d c + a, a + 4b 64. B Legyen a(; ;, b( ; ;, c(4; ;, d(; 4; 7. (a Mekkora szöget zárnak be az a és d vektorok?, (b Mekkora szöget zárnak be a b + a és c vektorok? 6, 79 (c Mekkora szöget zárnak be az a c és b vektorok? 6, 8 (d Mekkora szöget zárnak be a a d és c + b vektorok? 84, 64

14 Bodó Beáta 6. B Legyen a(; 4;, b(; ;, c(; ;, d( ; 4;, e(; ;. (a Milyen érték esetén lesz a d vektor merőleges az a vektorra? = 4 (b Milyen érték esetén lesz az e vektor merőleges az b + c vektorra? = 4 (c Milyen értékek esetén fognak a d és b vektorok hegyesszöget bezárni? < (d Milyen értékek esetén fognak az e és a b vektorok hegyesszöget bezárni? < (e Milyen értékek esetén fognak az e és c vektorok tompaszöget bezárni? > (f Milyen értékek esetén fognak a d és b + c vektorok tompaszöget bezárni? < 7. B Legyen a( ; ; 4, b(; 4; 7, c( ; 4; 4, d(6; ;. (a Bontsa ( fel az a vektort a c vektorral párhuzamos és merőleges összetevőkre! a p 9 ; 9 ; 9, a m ( 6 9 ; 9 ; 4 9 (b Bontsa ( fel a b vektort a d( vektorral párhuzamos és merőleges összetevőkre! b 86 p 4 ; 6 4 ; 4, b 9 m 4 ; 4 ; 8 4 (c Bontsa fel a c vektort az a vektorral párhuzamos és merőleges összetevőkre! c p ( 66 ; ; 88 (, c 6 m ; 4; (d Bontsa ( fel a d vektort ( a c vektorral párhuzamos és merőleges összetevőkre! d 4 p 9 ; 8 9 ; 8 9, d m 9 ; 6 9 ; 9 8. B Az ABCD paralelogramma két csúcsa A(; ; 4 és B( ; ;. Az átlók metszéspontja K(; ;. Határozza meg a másik két csúcs koordinátáit! C(; ;, D(6; ; 9. B Az ABCD paralelogramma két csúcsa B(; ; és C(8; ; 4. Az átlók metszéspontja K(; ;. Határozza meg a másik két csúcs koordinátáit! A(; ; 8, D(8; ;. B Az ABCD paralelogramma három csúcsa A(4; ; 4,B(6; 4; és C(7; ; 7. Határozza meg az átlók metszéspontját és a negyedik csúcs koordinátáit! K(, ;, ;,, D(; ; 6. B Az ABCD paralelogramma három csúcsa B( ; ; 4,C( 6; ; és D(; ; 8. Határozza meg az átlók metszéspontját és a negyedik csúcs koordinátáit! K(; ; 6, A(8; ;. B Az ABC háromszög egyik csúcsa A(; ;. Az AB oldal felezőpontja F (; 4;. Az AC oldal felezőpontja G(7; ; 4. Határozza meg a másik két csúcs koordinátáit! B( ; ;, C(9; 4;. B A KLM háromszög egyik csúcsa M(; ;. A KL oldal felezőpontja X(; ;. Az LM oldal felezőpontja Y (6; 4;. Határozza meg a másik két csúcs koordinátáit! L(7; ; 7, K( ; 4; 4. B Határozza meg az A( 7; ; 8 pont B(6; 4; pontra vonatkozó tükörképének koordinátáit és az AB szakasz felezőpontjának koordinátáit! A (9; 6;, F (, ; ; 6,

15 Bodó Beáta. B Határozza meg az X(; ; 6 pont Y ( ; 6; pontra vonatkozó tükörképének koordinátáit és az XY szakasz felezőpontjának koordinátáit! X ( 9; 4;, F (, ; ; 4, 6. Egy szabályos hatszög középpontja K(; ;, két szomszédos csúcsa A(; ; 6,B(; ;. Határozza meg másik négy csúcs koordinátáit! D(; ; 4, E(; 4;, C(; ; 4, F (; 4; 6 7. B Az ABC szabályos háromszög oldala egység hosszú. Mennyi AB, AC? 8. B Az EF G szabályos háromszög oldala egység hosszú. Mennyi EF, EG?, 9. Adott az ABC háromszög három csúcsa A(; ;,B(; ; és C( 7; ;. Határozza meg a háromszög kerületét és a B csúcsnál lévő szöget! k =, 8; 7,. Adott az EF G háromszög három csúcsa E(; ; 4,F ( ; ; és G(; 4;. Határozza meg a háromszög kerületét és a E csúcsnál lévő szöget! k =, ; 86, 88. Döntse el, hogy az a( ; ; 6, b(6; ; és c(; 6; vektorok kockát feszítenek-e ki! Válaszát indokolja! igen. Döntse el, hogy az a( 8; ; 4, b(; 4; 8 és c( 4; 8; vektorok kockát feszítenek-e ki! Válaszát indokolja! nem. B Határozza meg az AB szakasz A ponthoz közelebbi harmadolópontját! A(; ; 4,B(; ; (; ; 6 4. B Határozza meg az BC szakasz C ponthoz közelebbi harmadolópontját! B(7; ;,C( 4; ; ( ; 8 ;. B Határozza meg annak a X pontnak a koordinátáit, amely az AB szakaszt AX : XB ( = : arányban osztja! A( ; ; 6,B(4; ; 6 6 ; 8 ; 6 6. B Legyen a( ; 7; 8, b(; ;, c( ; ; 4, d(; 7; 9. (a a d ( 7; 6; (b (b c a (; 4; 4 (c (d + a (c b ( ; 4; 89 (d abc (e bda (f dcc 7. B Igazolja, hogy az a( ; 4;, b( ; ; 6 vektorok paralelogrammát feszítenek ki és számítsa ki a paralelogramma területét! T = 4, B Igazolja, hogy az c( ; 6;, d(4; ; vektorok paralelogrammát feszítenek ki és számítsa ki a paralelogramma területét! T =, 8 4

16 Bodó Beáta 4 9. B Igazolja, hogy az A(; ; 4, B(; 7; 9, C(; 7; pontok háromszöget alkotnak és számítsa ki a háromszög területét! T =, 9. B Igazolja, hogy az E( ; ;, F ( 7; 6; 4, G(6; ; 4 pontok háromszöget alkotnak és számítsa ki a háromszög területét! T = 6, 4. Vegyük az A( ; ; 4, B( ; ; 4, C(; 7; 8 pontokat. Legyen G az AC oldal felezőpontja. Számítsa ki az ABG háromszög területét és kerületét! T =, 9; k = 6, 9. Vegyük az A( ; ;, B( ; ; 4, C(; 4; pontokat. Legyen X pont az AB szakasz A ponthoz közelebbi harmadolópontja. Számítsa ki az AXC háromszög területét és kerületét! T =, ; k =, 9. Igazolja, hogy az A(; ; 4, B(; ; 4, C(6; 7; pontok háromszöget alkotnak. Számítsa ki a háromszög területét, a B csúcshoz tartozó magasságot és a C csúcsnál lévő szöget! T =, 6; m b =, 4; 6, Igazolja, hogy az K(; ; 4, L(; ; 4, M(6; ; pontok háromszöget alkotnak. Számítsa ki a háromszög területét, a K csúcshoz tartozó magasságot és a L csúcsnál lévő szöget! T =, 7; m k =, 6;, 8. B Egysíkuak-e az a( ; ;, b(; 4;, c( ; ; vektorok? nem 6. B Egysíkuak-e az a(; ;, b( ; ; 4, c( ; ; vektorok? igen 7. B Igazolja, hogy az a( ; ; 4, b( ; ;, c(4; 6; vektorok paralelepipedont feszítenek ki és számítsa ki a paralelepipedon térfogatát! V = 8 8. B Igazolja, hogy az a(; 6; 8, b( ; ; 4, c(; ; vektorok paralelepipedont feszítenek ki és számítsa ki a paralelepipedon térfogatát! V = 6 9. B Vegyük az A( ; ; 4, B(; ; 4, C(; 7;, D(6; 4; pontokat. Igazolja, hogy ezek a pontok tetraédert határoznak meg és számítsa ki a tetraéder térfogatát! V = 9, 8 4. B Vegyük az A(6; ; 4, B( ; 4;, C(; 4;, D(6; 4; pontokat. Igazolja, hogy ezek a pontok tetraédert határoznak meg és számítsa ki a tetraéder térfogatát! V = 89, 4. Vegyük az A( ; 4; 4, B(; 6;, C(; 7;, D(7; 8; pontokat. Igazolja, hogy ezek a pontok tetraédert határoznak meg, számítsa ki a tetraéder térfogatát és a D csúcshoz tartozó magasság hosszát! V = 6, ; m = 4, Egy tetraéder csúcsai A( ; 6;, B(; ;, C(; 6;, D( ; ;. Számítsa ki a tetraéder térfogatát és a D csúcshoz tartozó magasság hosszát! V = 8, ; m = 6, 4. Az ABCD tetraéder térfogata egység. Adottak az A(; ;, B(; ;, C(; ; csúcsok. Határozza meg a D csúcs koordinátáit, ha tudjuk, hogy az y tengelyen található! (; ;, (; 9 ; 44. Egy kockát kifeszítő három vektor közül kettő a(6; ;, b( ; 6;. Határozza meg a harmadik vektort! c(; ; 6, c( ; ; 6

17 Bodó Beáta 4. Adott: A(; ;, B(9; 4; 8, C(4; ; e : = + 4t, y = t, z = 6 + t, t R, f : + 6 = y + = z +. 9 (a B Írja fel az A és B pontok által meghatározott egyenes paraméteres és paraméter nélküli egyenletrendszerét! A pontra felírva: = + 7t, y = + t, z = + t, t R; 7 = y+ = z (b B Döntse el, hogy az A és B pontok illeszkednek-e az e egyenesre! A nem, B igen (c B Írja fel az A pontra illeszkedő f egyenessel párhuzamos egyenes paraméteres és paraméter nélküli egyenletrendszerét! = + t, y = t, z = + t, t R; = y+ = z (d Írja fel a C pontra illeszkedő e és f egyenesre merőleges egyenes paraméteres egyenletrendszerét! = 4 t, y = t, z = + t, t R (e Írja fel az ABC háromszög síkjára merőlegess B ponton áthaladó egyenes paraméteres egyenletrendszerét! = 9 4t, y = 4 + 8t, z = 8 + 6t, t R (f B Írja fel az A pontra illeszkedő e egyenesre merőleges sík egyenletét! 4 y + z 6 = (g B Írja fel az A, B és C pontok által meghatározott sík egyenletét! 4 + 8y + 6z + 6 = (h B Határozza meg az e és f egyenesek helyzetét a térben! Ha van metszéspont, adja meg a koordinátáit! kitérőek 46. Írja fel az A(; ;, B(4; ; 7, C(8; ; csúcspontú háromszög A csúcsából induló súlyvonalának paraméter nélküli egyenletrendszerét! A pontra felírva : = y+ = z 47. B Írja fel az A(4; ; 4 pontra illeszkedő tengellyel párhuzamos egyenes paraméteres egyenletrendszerét! = 4 + t, y =, z = 4, t R ( tengely irányvektora (;; 48. B Írja fel az A(; ; 4 pontra illeszkedő y síkra merőleges egyenes paraméteres egyenletrendszerét! =, y =, z = 4 + t, t R (y sík egyenlete z=, normálvektora (;; 49. B Írja fel az CD szakasz felezőpontján átmenő z tengellyel párhuzamos egyenes paraméteres egyenletrendszerét, ha C(; 8; 4, D( 6; 4;! =, y = 6, z = + t, t R (z tengely irányvektora (;;. Adott: A(; 4;, B(4; ; 7, C( ; ;, e : = + t, y = t, z = + t, t R, S : z = 4y + 4. (a Határozza meg annak a síknak az egyenletét, amely átmegy az origón, párhuzamos az e egyenessel és merőleges az S síkra! + y + 4z =

18 Bodó Beáta 6 (b Határozza meg az A pont és az e egyenes síkjának egyenletét! + 7y z + 9 = (c B Határozza meg az e egyenes és az z sík metszéspontját! (, ; ;, (z sík egyenlete: y= (d B Határozza meg annak a síknak az egyenletét, amely illeszkedik a B pontra és merőleges az e egyenesre! y + z + = (e B Határozza meg annak a síknak az egyenletét, amely átmegy az C ponton és párhuzamos az és y tengellyel! z = (f B Határozza meg annak az egyenesnek a paraméteres egyenletét, amely átmegy a B ponton és merőleges az y és z tengelyekre! = 4 + t, y =, z = 7, t R (g B Határozza meg annak a A pontra illeszkedő síknak az egyenletét, amely merőleges az y tengelyre! y + 4 = (y tengely irányvektora (;;. Adja meg annak az S síknak az egyenletét, amely átmegy a P (; ; ponton és illeszkedik az y tengelyre! S: -+z= (y tengely irányvektora (;;. B Írja fel az B(; ; pontra illeszkedő zy síkra merőleges egyenes paraméteres egyenletrendszerét! = + t, y =, z =, t R (yz sík egyenlete =, normálvektora (;;. Adja meg annak az S síknak az egyenletét, amely átmegy a C(; 4; 7 ponton és merőleges az S : y z = és S : 4 y + z = síkokra! S : + y z = 9 4. Az ABC háromszög csúcsai A(4; ; 6, B(; 4;, C(; ;. (a B Határozza meg az ABC háromszög síkjának egyenletét! 7 y 6z 84 = (b B Határozza meg annak a síknak az egyenletét, amely illeszkedik a C pontra és merőleges az AB oldalra! y z 8 = (c B Írja fel a A pontra illeszkedő BC oldallal párhuzamos egyenes paraméter nélküli egyenletét! y+ = z 6 6, = 4. Adott: D( 4; ;, E(; ;, F (; ;, m : = t, y = 4, z = + t, t R, n : + = y 4 = z+, S : + y = z +, S : 4 y + z + =. (a B Döntse el, hogy az E pont illeszkedik-e az S síkra! nem (b B Írja fel a E pontra illeszkedő m egyenessel párhuzamos egyenes paraméteres és paraméter nélküli egyenletrendszerét! = t, y =, z = + t, t R; = z, y = (c B Írja fel az D pontra illeszkedő S síkkal párhuzamos sík egyenletét! + y z + 7 = (d B Írja fel az F pontra illeszkedő yz síkkal párhuzamos sík egyenletét! =,(az yz sík egyenlete: =, normálvektora (;;

19 Bodó Beáta 7 (e B Írja fel az DEF háromszög síkjának az egyenletét! + 4y + 4z + 6 = (f Írja fel az F pont és az n egyenes síkjának az egyenletét! 6y + z + = (g B Határozza meg az n egyenes és az S sík helyzetét a térben! Ha van döféspont, adja meg a koordinátáit! az egyenes döfi a síkot, döféspont ( 79 8 ; 4 ; 7 8 (h B Határozza meg az m egyenes és az S sík helyzetét a térben! Ha van döféspont, adja meg a koordinátáit! az egyenes döfi a síkot, döféspont ( 7 ; 4; 7 (i Határozza meg az S és S síkok metszésvonalát! = + t, y = t, z = 7 t, t R, ahol ( ; ; 7 a metszésvonal tetszőleges pontja 6. B Határozza meg az alábbi egyenesek e : = + t, y = + t, z = t, t R és f : = + t, y = + t, z = t, t R helyzetét a térben! Ha van metszéspont, adja meg a koordinátáit! az egyenesek metszik egymást, metszéspont (-;-; 7. B Határozza meg az alábbi egyenesek a : = 6 + t, y = + t, z = 9 + t, t R és f : = y + 8 = y + helyzetét a térben! Ha van metszéspont, adja meg a koordinátáit! 4 6 az egyenesek kitérőek 8. B Határozza meg az m : = 8 + t, y = t, z = + t, t R egyenes és az S : 4 y + z = sík helyzetét a térben! Ha van döféspont, adja meg a koordinátáit! az egyenes döfi a síkot, döféspont (;; 9. B Határozza meg az f : = + t, y = + t, z = t, t R egyenes és az y sík helyzetét a térben! Ha van döféspont, adja meg a koordinátáit! az egyenes döfi a síkot, döféspont (-;-; 6. B Határozza meg az n : = t, y = +t, z = +t, t R egyenes és S : y+z = sík helyzetét a térben! Ha van döféspont, adja meg a koordinátáit! az egyenes párhuzamos a síkkal 6. Határozza meg az S : + y = z + 7 és S : + y z = 4 síkok kölcsönös helyzetét! Ha a síkok nem párhuzamosak, határozza meg a két sík metszésvonalát! = t, y = + t, z = t, t R 6. Határozza meg az S : + z = y + 6 és z síkok kölcsönös helyzetét! Ha a síkok nem párhuzamosak, határozza meg a két sík metszésvonalát! z sík egyenlete:y = ; t R 6. B Határozza meg az A(4;, pont és az f : = t, y = 4 + t, y = 6, t R egyenes távolságát! 7, 64. B Milyen messze van a D( ;, pont az S : y = z 6 síktól?, 6. Az ABCD csúcspontú tetraéderben határozza meg az AB és CD oldalegyenesek távolságát! A(; ;, B(; ;, C(; ;, D(; ;, 79

20 Bodó Beáta B Határozza meg az e : = + t, y = 4t, z = t, t R és az f : 8 4 = z egyenesek hajlásszögét! 6, 6 = y+ 67. Határozza meg mekkora szöget zár be az ABCD tetraéderben az AD oldal egyenese az ABC oldallap síkjával!a(; ;, B(; ;, C(; ;, D(; ; B Határozza meg az S : 7y = és S : y = 4 + z + 6 síkok hajlásszögét! Határozza meg az ABCD paralelegramma az AB oldalához tartozó magasságát! A(; ; 7, B(; 6;, C(4; ; 9, D(; ;, Adott: A(4; ;, B(; ;, e : = t, y = 4 + t, z = 4 t, t R, f : 4 = y = +z, S : + z = y, S : + y = 6z + 8. (a B Határozza meg az A és B pontok távolságát! (b B Határozza meg az A pont és az e egyenes távolságát! 6, 46 (c B Határozza meg a B pont és az f egyenes távolságát! 4, 6 (d B Határozza meg az e pont és f egyenesek távolságát! 4, 8 (e B Határozza meg a B pont távolságát az S síktól!, (f B Határozza meg az A pont távolságát az S síktól!, 4 (g B Határozza meg az S és S síkok kölcsönös helyzetét! Ha a síkok párhuzamosak, határozza meg a távolságát!, 7. B Határozza meg az S : + z = y sík és az m : = + t, y = t, z = t, t R egyenes távolságát!, 6 7. Határozza meg az a : = +t, y = t, z =, t R és b : = 4 u, y = +u, z = u,u R egyenesek távolságát! 7. Határozza meg az e : = + t, y = t, z = + t, t R és f : = 7 u, y = + u, z = + u, u R egyenesek távolságát! az egyenesek metszik egymást 74. B Határozza meg az e : = 4, y = 4t, z = + t, t R és az y tengely hajlásszögét! 6, 6 7. Határozza meg a paralelogramma átlóinak hajlásszögét! A(; ;, B(; 4;, C(; ; 6, D( ; ; 7, B Határozza meg az S : z = + 4y és az z sík hajlásszögét!, B Határozza meg az S : + y + z = sík és az p : = y = z egyenes hajlásszögét!8, 78. Az ABCD tetraéderben határozza meg az ABC és a BCD oldallapok által bezárt szöget! A(4; 7; 6, B(; ;, C( ; ;, D(4; ; 8,

21 Bodó Beáta Adott az ABCD tetraéder:a(4; 6;, B(; ;, C( ; 6;, D(; 4;. (a Írja fel az B pontra illeszkedő ACD síkkal párhuzamos sík egyenletét! + y + z + = (b Írja fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely párhuzamos a CD egyenessel és áthalad az AB oldal felezőpontján! = + 6t, y =, t, z =, t R (c Határozza meg az BC és AD oldalegyenesek távolságát! 4, 9 (d Határozza meg a C pont távolságát az ABD síktól! 4, 4 (e Határozza meg AC oldal egyenese az ABD oldallap síkjának hajlásszögét! 6, (f Határozza meg az ACD és a BCD oldallapok által bezárt szöget! 74, 7

22 Bodó Beáta. Legyen A = (a B B C T MÁTRIXOK, B = , C = ( 7 9, D = ( 4 (b B 4A 6B nem lehet (c B AB (d B BC (e B A (f B AC nem lehet ( 6 4 (g B D D (h B B T C ( 7 (i B (D + D T ( (i B det(d 4 (j B det(a (. Legyen A = 4, B =, C =, D = ( ( 4 4 E =, F =. 6 (a B (b B CD DC ( 69,.

23 Bodó Beáta (c (A B T T (d B A T C 8 8 (e B (A + BD nem lehet 9 (f B (A BD T 7 (g B E 4F T 6 4 ( (h B (E T F ( 87 (i B D T + C (j B det(e T + F 4 (k det(e F 49 (l det(a T + B 7 4. B Legyen G = 4, H = 7. Határozza meg azt az X mátriot, amelyre G + X = H! B Legyen M = ( mátriot, amelyre N + X = M!. B Oldja meg a 6. B Oldja meg a, N = ( Határozza meg azt az X ( = egyenletet! ; = egyenletet! 4;

24 Bodó Beáta 7. B Hogy kell megválasztani az számot, hogy a ; 8. B Hogy kell megválasztani az számot, hogy a 9. B Oldja meg a. B Oldja meg a determináns értéke legyen? determináns értéke legyen? ; 6 = egyenletet! 6 = egyenletet! ;. Számítsa ki az alábbi mátriok determinánsát! 7 4 (a A = (b B = B Bizonyítsa be, hogy a c (; és c (4; vektorok lineárisan függetlenek! csak az α =, α = triviális megoldás létezik, tehát lineárisan függetlenek. B Vizsgálja meg, hogy az + ; + 6; függvények lineárisan függetlenek-e? csak az α =, α =, α = triviális megoldás létezik, tehát lineárisan függetlenek 4. B Döntse el, hogy a v (; ;, v ( ; ; és v (8; ; vektorok lineárisan függetlenek-e! α = t, α = t, α = t, tehát a vektorok lineárisan összefüggőek. B Döntse el, hogy a u = 4, u = 4 és u = vektorok lineárisan függetlenek-e! csak az α =, α =, α = triviális megoldás létezik, tehát lineárisan függetlenek 6. B Előállítható-e ( a ( c vektor az, y( vektorok lineáris kombinációjaként? 9 =, y =, c = 4 + y = c

25 Bodó Beáta 4 7. B Előállítható-e az ( 7; vektor az c(;, d(6; 4 vektorok lineáris kombinációjaként? nem 8. Előállítható-e a d vektor az a, b, c vektorok lineáriskombinációjaként? 4 a =, b =, c =, d = 4 a b c = d Előállítható-e a d vektor az a, b, c vektorok lineáris kombinációjaként? a = (; ;, b = ( 4; ;, c = (; ; 7, d = ( 7; ;. 4a + b c = d. Oldja meg az alábbi egyenletrendszert! + y + z = y + z = y + z =. Oldja meg az alábbi egyenletrendszert! y z = + y z = + y + z =. Oldja meg az alábbi egyenletrendszert! + y + z = 7 + y + z = + y + z = 6. Oldja meg az alábbi egyenletrendszert! 7 y + z = 8 y + z = 4 + 6y 4z = 4. Oldja meg az alábbi egyenletrendszert! y + z = 4 + y z = y + z = 6. Oldja meg az alábbi egyenletrendszert! + y z = + y = + y + z = 4 6. Oldja meg az alábbi egyenletrendszert! + y z + 4v = 4 4y + z + v = y + z v = 4 y + z + v = =, y =, z = = + t, y = t, z = t, t R =, y =, z = az egyenletrendszernek nincs megoldása = 4 t, y = 4 7t, z = t, t R = 7 9, y = 9, z = =, y =, z =, v =

26 Bodó Beáta 7. Oldja meg az alábbi egyenletrendszert! y z + 4v = + y + z v = 7 + y + z + v = 6 4y z + v = 7 8. Oldja meg az alábbi egyenletrendszert! = + 4 = + + = 4 = 9. Oldja meg az alábbi egyenletrendszert! = + 4 = = = =, y =, z =, v = az egyenletrendszernek nincs megoldása =, ; = ; =, ; 4 =. Oldja meg az alábbi egyenletrendszert! + 4 = = = 4 = + t, ; = 7t; = + t; 4 = t; t R =. Oldja meg az alábbi egyenletrendszert! = = 9, + 4 = = =, ; = ; =, ; 4 =. Döntse el, hogy létezik-e inverze az alábbi mátrioknak! 4 (a B A = det(a =, létezik a mátri inverze 4 (b B B = 8. B Miyen értékek esetén nincs inverze az A = 4. B Miyen értékek esetén van inverze az A = det(b =, nem létezik a mátri inverze mátrinak? = 7 8 mátrinak?

27 Bodó Beáta 6. Igazolja, hogy a mátrinak létezik inverze és határozza meg az inverz mátriot! ( 4 (a B A = det(a =, létezik a mátri inverze; A = (b B B = (c C = (d D = (e E = (f F = (g G = ( ( 4 ( det(a =, létezik a mátri inverze; A = det(c =, létezik a mátri inverze; C = det(d = 6,létezik a mátri inverze; D = det(e =,létezik az inverz; E = det(f =, létezik a mátri inverze; F = det(g = 6, létezik a mátri inverze; G = 6. Határozza meg a mátri sajátértékeit! ( 9 4 (a B A = (b B B = (c C = ( λ = ; λ = λ = λ = λ = ; λ = ; λ =

28 Bodó Beáta 7 7. Határozza meg a mátri sajátértékeit és sajátvektorait! ( (a A = ( ( t λ =, s = = t, t R, t ; λ t = 4, s = ( (b B = 4 ( ( t λ =, s = = t t (c C = ( λ = 4, s = ( t t = t ( ( (d D = 4 ( ( t λ =, s = = t t (e E = 4 6 λ = λ =, s = t + u u t, t R, t ; λ =, s =, t R, t ; λ =, s =, t R, t ; λ =, s = ( t t ( 4 t t ( t t ( 4 t t, t, u R, t, u ; λ = 8, s = = t = t ( 4 = t = t ( 4 t t t ( (, t R, t, t R, t = t, t R, t, t R, t 8. Határozza meg az B B T mátri sajátértékeit és determinánsát! ( B = λ 4 = ; λ = 9; det(b B T = Határozza meg az (A T B mátri sajátértékeit és determinánsát! ( ( A =, B = λ = 6, 77; λ = 4, ; det((a T B =, t R, t

29 Bodó Beáta Többváltozós függvények. Ábrázolja az f(, y = y, D(f = R függvény c = ; ; ; ; magasságokhoz tartozó szintvonalait! c=-, c=-,c=,c=,c=. Határozza meg az f(, y = ln( y függvény értelmezési tartományát! y <. Határozza meg az f(, y = 4 y + e y függvény értelmezési tartományát! + y 4

30 Bodó Beáta 4. Határozza meg az f(, y = y + y függvény értelmezési tartományát! y. Határozza meg az f(, y = 4 + y 9 ln(y függvény értelmezési tartományát! + y 9; y > + ; értelmezési tartomány 6. Határozza meg az f(, y = ln( + y + + y + függvény értelmezési tartományát! y > ; y ; értelmezési tartomány

31 Bodó Beáta 7. Határozza meg az f(, y = ln(y+ + függvény értelmezési tartományát! y +6 y > ; + y < 6; értelmezési tartomány 8. Határozza meg az f(, y = ln( 4 + y + y 4 függvény értelmezési tartományát! ( + (y + > 9;kör:középpont(;, sugár r = 9. Határozza meg az f(, y = arccos( + y 4y függvény értelmezési tartományát! + (y 4; + (y 6; értelmezési tartomány. Határozza meg az f(, y = sin(y függvény parciális derivált függvényeit! f (, y = sin(y ; f y (, y = cos(y. Határozza meg az f(, y = y y függvény parciális derivált függvényeit! f (, y = y y = y y ; f y (, y = y = y

32 Bodó Beáta 4. Határozza meg az f(, y = e y függvény parciális derivált függvényeit! f (, y = e y = e y ; f y (, y = e y = e y. Határozza meg az f(, y = (y y 4 függvény parciális derivált függvényeit! f (, y = (y y 4 (y = 6y(y y 4 ; f y (, y = (y y 4 ( 4y = (y y 4 ( 4y 4. Határozza meg az f(, y = y + 7 függvény parciális derivált függvényeit! f (, y = y + 7 (y = y y + ; 7 f y (, y = y + y 7 ( y + = y + 7. Határozza meg az f(, y, z = y z + y + 6z függvény parciális derivált függvényeit! f (, y, z = y z = y z + 4 ; f y (, y, z = z y + + = yz ; f z (, y, z = y = y Határozza meg az f(, y = y függvény parciális derivált függvényeit! f (, y = y y, ( ; f y (, y = y ln(y, ( y 7. Határozza meg az f(, y = ln( + y függvény parciális derivált függvényeit! f (, y = + y ( y y = + y ; f y (, y = + y ( + y4 = y4 + y y 8. Határozza meg az f(, y = y 4 függvény parciális derivált függvényeit! + ( y ( y 4 + y (y 4 + f (, y = ( y 4 + = y 4 + y y4 y ; ( y 4 + f y (, y = ( y y ( y 4 + y ( 4y + ( y 4 + = y( y 4 + y 4 y y ( y Írja fel az f : R R : f(, y = y + y függvény érintőjének egyenletét az (; pontban! f (, y = y; f y (, y = + 4y;érintősík egyenlete: y z 4 =. Írja fel az f : R R : f(, y = 6 y függvény érintőjének egyenletét az (; 4 pontban!

33 Bodó Beáta f (, y = 6 y ; f y y(, y = ;érintősík egyenlete: 6 y y z + 9 =. Írja fel az f : R R : f(, y = ln( y + függvény érintőjének egyenletét az (; pontban! + y z + ln( = ; + y z + ln( e =. Írja fel az f : R R : f(, y = e y függvény érintőjének egyenletét az ( ; pontban! f (, y = e y ; f ( ; = e = e ; f y(, y = ye y ; f y ( ; = e = e ;érintősík egyenlete: e e y z + e szorozva: + y + ez = = ; e vel. Határozza meg az f : R R : f(, y = y y függvény u(; irányú iránymenti deriváltját a (; pontban! f u (; = 8 4. Határozza meg az f : R R : f(, y = e y ye függvény u( ; irányú iránymenti deriváltját a (; pontban! f (, y = e y ye ; f y (, y = e y e ; f u ( ; = 7 9. Határozza meg az f : R R : f(, y = ( + y függvény u(; irányú iránymenti deriváltját a P (; pontban! f u (; = 8 6. Határozza meg az f : R R : f(, y = ln( + y függvény gradiensét a (; pontban! grad f (; = f(; = (, 7. Határozza meg az f : R R : f(, y = ln + y függvény gradiensét a (; 4 pontban! f(, y = ln + y = ln( + y = ln( + y ; f (, y = ; f +y y (, y = y ; grad +y f (; 4 = f(; 4 = (, 4 8. Határozza meg az f : R R : f(, y = e sin(y függvény másodrendű parciális deriváltjait! f (, y = e sin(y; f y (, y = e cos(y; f, (, y = 9 4 e sin(y; f,y (, y = 9 e cos(y; f y, (, y = 9 e cos(y; f y,y (, y = 9e sin(y 9. Határozza meg az f : R R : f(, y = e y függvény másodrendű parciális deriváltjait! f (, y = e y + y e y = ( + y e y ; f y (, y = y e y ; f (, y = ( + y e y + ( + y e y y ; f y (, y = ( ye y + ( + y e y y; f y (, y = 6 ye y + y e y ; f yy (, y = e y y e y. Legyen f : R R : f(, y = y +y 8+y. Számítsa ki f y (, y parciális deriváltat! f (, y = y + y 8; f (, y = 6y ; f y (, y = y. Legyen f : R R : f(, y, z = e y +yz +yz. Számítsa ki f zy (, y, z parciális deriváltat! f z (, y, z = yz + y; f z (, y, z = y; f zy (, y, z =

34 Bodó Beáta 6. Legyen f : R R : f(, y, z = sin( +y z. Számítsa ki f z (, y, z parciális deriváltat! f (, y, z = cos( + y z ; f (, y, z = cos( + y z 4 sin( + y z ; f z (, y, z = 4z sin( + y z + 8 z cos( + y z. Legyen f : R R : f(, y, z = arctg( 6 y + sin(z 4 y z + cos 8 (z. Számítsa ki f zy (, y, z parciális deriváltat! f z (, y, z = z cos(z 4 y z 4 8(cos(z 7 sin(z; f zy (, y, z = 4 yz 4 ; f zy (, y, z = 4 yz 4 4. Határozza meg hol és milyen szélsőértéke van az f(, y = + 4y + y + 6 kétváltozós függvénynek! D(f = R f (, y = 4 + y; f y (, y = + 8y stacionárius pontok:(; f (, y = 4; f y (, y = ; f y (, y = ; f yy (, y = 8 (; -lokális minimumhely; f(; = 6. Határozza meg hol és milyen szélsőértéke van az f(, y = y y kétváltozós függvénynek! D(f = R f (, y = y ; f y (, y ( = y stacionárius pontok:(;, 6 ; f (, y = 6; f y (, y = ; f y (, y = ; f yy (, y = (; ( - nem szélsőérték hely 6 ; -lokális maimumhely;f ( 6 ; = 4 6. Határozza meg hol és milyen szélsőértéke van az f(, y = y y kétváltozós függvénynek! D(f = R f (, y = y; f y (, y = y stacionárius pontok:(;, ( ; f (, y = 6; f y (, y = ; f y (, y = ; f yy (, y = 6y (; - nem szélsőérték hely ( ; -lokális maimumhely;f ( ; = 7. Határozza meg hol és milyen szélsőértéke van az f(, y = +y + kétváltozós függvénynek! y A függvény értelmezési tartománya az egész sík, kivéve a koordinátatengelyek pontjait, hiszen a nevező miatt sem, sem y nem lehet nulla. f(, y = + y + y = + y + y f (, y = y ; f y(, y = y y stacionárius pontok:( ;, (; f (, y = + 4 y ; f y(, y = y ; f y (, y = y ; f yy (, y = + 4 y ( ; -lokális minimumhely;f ( ; = 4 (; -lokális minimumhely;f (; = 4

35 Bodó Beáta 7 8. Határozza meg az f(, y = y( y függvény kétszeres integrálját a { (, y R : ; y } tartományon! Megoldás: ( ( ( y y d dy = ( y y dy d ( y y dy = y4 4 y = 4 y 4 y = 4 ( ( y y dy d = (4 d = 4 = 7 9. Határozza meg az f(, y = y függvény kettősintegrálját a { (, y R : ; y } tartományon! Megoldás: ( (y dy d (y dy = ( (y dy y d = 4. Határozza meg az f(, y = tartományon! Megoldás: 7 ( 7 ( 7 = ( + y 4 dy d = y = ( d = 4 4 = ( + y 4 függvény kettősintegrálját a { (, y R : 7; y } ( 7 ( + y 4 d 7 ( + y 4 d = ( + y 4 d = 7 ( + y = (7 + y + ( ( + y 4 d dy = (7 + y + ( + y dy = ( (7 + y + ( + y dy = 6 dy (7 + y 6 ( + y ( + y = Határozza meg az f(, y = +8y függvény kettősintegrálját a { (, y R : ; y } tartományon! Megoldás: ( ( + 8y dy d ( + 8y dy = y + 8 y = y + 4y = ( + 8y dy d = ( d = = (

36 Bodó Beáta Határozza meg az f(, y = y +4 függvény kettősintegrálját a { (, y R : ; y + } tartományon! Megoldás: ( + (y + 4 dy d + ( + (y + 4 dy = y y = y + 4y + = ( (y + 4 dy d = d = = 9 4. Határozza meg az f(, y = y függvény kétszeres integrálját az y = és y = függvények által közrezárt tartományon! Megoldás: Tartomány= { ( (, y R : ; y } ( 4 ( y dy (y dy = ( y dy d y y d = = y y = ( d = Határozza meg az f(, y = y + 4 függvény kétszeres integrálját az y = és y = 4 függvények által közrezárt tartományon! Megoldás: Tartomány= { (, y R : ; y 4 } ( 4 (y + 4 dy d 4 (y+4 dy = y + 4 y 4 4 = y + 4 y = = ( 4 ( (y + 4 dy d = d = = 96

37 Bodó Beáta 9 4. Határozza meg az f(, y = + y függvény kétszeres integrálját az y = 4 és y = függvények által közrezárt tartományon! Megoldás: Tartomány= { (, y R : ; 4 y } ( ( + 4 y dy d ( + 4 y dy = y + y y = ( ( + ( 4 y dy d = d = = 7, Határozza meg az f(, y = 4 y függvény kétszeres integrálját az y = és y = függvények által közrezárt tartományon! Megoldás: Tartomány= {(, y R : ; y } ( ( (4 y dy d (4 y dy = 4y y = (4 y ( dy d = d = =, 79