5 1 6 (2x3 + 4) 7. 4 ( ctg(4x + 2)) + c = 3 4 ctg(4x + 2) + c ] 12 (2x6 + 9) 20 ln(5x4 + 17) + c ch(8x) 20 ln 5x c = 11
|
|
- Adél Némethné
- 6 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Bodó Beáta ISMÉTLÉS. ch(6 d e (8 d ch (9 + 7 d ( d d sin (4 + d cos sin d 7 ( d INTEGRÁLSZÁMÍTÁS 7 6 sh(6 + c 8 e(8 + c 9 th( c 6 ( c = 7 4 ( c 7 ( c = 8 8 ( c 4 ( ctg(4 + + c = 4 ctg(4 + + c 7 ( (cos c = 6 cos6 + c + c = 4 ( c d ln c = ln( c ch(8 + sh(8 d 6 ln + sh(8 + c sh(e 4 + e 4 d 4 ch(e4 + + c ( sin + 7 cos d ln + 7 cos + c = 7 7 ln + 7 cos + c ln (ln 4 d + c = 4 4 ln4 + c 8 ln d 8 (ln c = ln 4 + c 9 + d atctg( + c = atctg( + c
2 Bodó Beáta ( + 4 d 4 arctg + c = ( arctg + c 6 + d 7 + d 7 ( 4 4 arctg + c = ( 4 arctg + c ( arctg ( + + d 4 arctg + ( d arctg + c = 7 ( arctg + c + c = ( arctg + + c + c = ( arctg + c 4 d arcsin ( + c d arcsin( + c 8 d arcsin( + c = 8 arcsin( + c 4 8 d arcsin( + + c = arcsin( + + c 9 d arcsin( + c = arcsin( + c 4 ch(4 ( + 6 sh(4 + c ( + sh(4 d (4 7 cos( + d (8 + ln( d arctg( d sin( + ( cos( + + c ( 8 + ln( c arctg( 6 ln c = arctg( 6 ln( c
3 Bodó Beáta RACIONÁLIS TÖRTFÜGGVÉNYEK INTEGRÁLÁSA 8 8. B 7 d ln 7 + c. B. B. B 4. B. B 6. B 7. B 8. B 9. B 4. B 4. B 4. B 9 d 9 ln 9 + c ( d ( c ( 7 d 66 ( 6 + c ( + 4 d 8 ( ( + + c 7 ( 4 6 d 7 6 ( ( 4 + c 6 ( d ( + 6 ln + c + ( d 6 ( 4 4 ( + c d arctg ( + + c d 7 arctg + 64 d 7 + d ( + + c = 7 arctg ( + + c ln c = ln( c 7 ln + + c = 7 ln( + + c d ln arctg ( + + c = ln( arctg ( + + c 4. B 8 + d ln arctg ( 4 + c = ln( ( arctg 4 + c
4 Bodó Beáta B + 6 d 7 ln ( 4 arctg 4 + c = 7 ln( ( 4 arctg 4 + c 4. B d ln arctg ( 46. B ( + + d 4 + ( B ( d ( + + c = ( ln( arctg + + c ( ln c 4 ( + 6 ln + c 48. Milen típusú racionális törtek összegére bontaná az alábbi törteket? A (a Bf( = B + 4 (b Bf( = + A B + C (c Bf( = 8 + A 4 + B + C + D (d Bf( = 6 A (8 + + B + c 8 + A (e Bf( = ( B + C + 6 A (f Bf( = ( B C ( + 4 A (g Bf( = B + + C ( + 7 A (h Bf( = ( + 8( B + C + + D + E ( + + F + G ( + (i Bf( = + A ( ( + + B + C ( + D + E ( (j Bf( = ( + ( + 9 ( 6 A + + B ( + + C ( + + D + E F + G ( H 6
5 Bodó Beáta 49. B. B + d ln ln + + c + 4 d + 4 = ( ( + = ( ( + ; 4 ln ln + + c +. B ( ( d ln ln 9 + c 48. B + 6 d ln + ln( ( 4 arctg 4 + c. B + d (ln ln + ln + + c B d ln + ( arctg + + c. B d = 4( + ( + = (4 + ( + ; ln + + ln c 6. B ( + ( + d ln( + + ln + + c ( + 9( 8 d ln ln( ( 9 arctg + c d ( + d d + ln + arctg + c ln ( + + c ( 4 ln( + 9 arctg 7 + c d ln + ln + + ( 8 arctg + c ( + ( + d ln( + + ( arctg + ln + ln + + c 6. B d ln + + c +
6 Bodó Beáta B 6. B 66. B 4 d + 9 ln 4 + c + d + 4 ln + + c 8 4 d ln 4 + c d + + = ( + ( = ( + ( ; ln ln + + c d + ln ln( + arctg + c d ln ln c INTEGRÁLÁS HELYETTESÍTÉSSEL 7. B e sin(e d cos(e + c; t = e 7. B 7. B 7. B 74. B cos( d sin( + c; t = + d arctg( + c; t = e cos (e d tg(e + c; t = e e d e e + c; t = d 4 6 ln c; t = 76. B sin ( d ctg( + c; t = cos( 77. B d sin( + c; t =
7 Bodó Beáta B 79. B 8. B 8. + d 6 ln + + c; t = e e d arcsin(e + c; t = e e (e + d (e + c; t = e + sin( d cos( + 4 cos( + 4 sin( + c; t = e + e d e ln( + e + c; t = e sin(ln d cos(ln( + sin(ln( + c; t = ln 84. e e + d e e + 4 ln(e + + c; t = e 8. e + d ln (e ln(e + + c; t = e 86. B arctg( d arctg( + arctg( + c; t = d ln + + c; t = d 4 8 ln + c; t = 89. B cos( d cos( + sin( + c; t = 9. e + e e + d ln(e + + arctg(e + c; t = e 9. e 8e e + 9e d ln(e + ln e + c; t = e 4 9. B d ( c; t = B + d 94. B ( 7 + d 9. B (4 + 9 d ( c; t = ( ( (7 + + c; t = 7 + ( c; t = + 9
8 Bodó Beáta B ( d 97. B sin( + d ( ( + + c; t = 4 + sin( + + cos( + + c; t = d ln ln + + c; t = e 4 d 4 e 4 + e 4 + c; t = d 9 ln ln + c; t = ( (9 + d ln + arctg( + c; t = e 8 e + 4 d ln(e + 4 ln(e + c; t = e e e e + 4e d 8 ln(e + ln e + c; t = e 7 ( ( + 6 d ln ln + c; t = d 7 6 arctg( 6 + c; t = (6e + + 7e e (e + 4(e + d ln(e arctg( e + c; t = e 7. + ( + 7( + 6 d ln ln c = ln ln( c; t = π ( 7 + d 886, 7; D = R; t = d, 7; D = ; ; t = + sin( d e d, 69; D = R; t = e + e = e ; D = ( ; ; t =
9 Bodó Beáta e e d e = 4, ; D = R {}; t = + d 4; D = ( ; ; t = + e + d, 86; D = R; t = e 4 e + d, 9; D = R; t = e IMPROPRIUS INTEGRÁL 6. B 7. B 8. B 9. B. B. B 4. B. B e 4. B e. B 6 d ; D = R {} d 8 ; D = R {} 4 d ; D = R {} ( + d ; D = R { } 7 d ; D = R {} d ; D = R {} d ; D = R {} ln d ln d 6. B e d ; D = (; (; ; D = (; (; ( 4 d 8 ; D = R {} ; D = R 7. B e 4+ d ; D = R
10 Bodó Beáta B. B. B ( d ; D = R + 4 d { 4 ; D = R } d, ; D = R d ; D = R {} 4 d ln(; D = R { ; } 4 + d d 4 + d e d 4. B d B ( + d π; D = R ; D = ( ; π; D = R 4π; D = R ; D = R d π; D = R + d π; D = R + + d ; D = (; + 8 ; D = ( ; d ; D = R { } ( + 4. B d ( + ; D = R { } B d ( + ; D = R { }
11 Bodó Beáta d ; D = R {} (4 4 d ( 6; D = R {} 4 d ( 4 ; D = ; π d ; D = ( ; π d 4 ; D = ( ; d π; D = ( ;. B ( + arctg d ; D = R {} 7. B ( + arctg d ; D = R {}. B e d ; D = R {} e e 6 ln d ln d ; D = (; ; D = (; (; ( π d 4 9 ; D = ; d ; D = ( ; d π; D = (; d π; D = (; π π cos sin d ; D = R {k π}; k Z cos sin d ; D = ( + k π; π + k π; k Z
12 Bodó Beáta ( ( d ( + ( 6 d ; D = R {6} ( 9 d, 7; D = R { } 6. d 9; D = R {} ( 66. d, 6; D = R {4} ( 4 4
13 Bodó Beáta VEKTOROK. B Legyen a( ; ; 4, b( ; ;, c(; 4;, d(8; ; 7. (a a 4c + 6d (; ; (b c + b 7a (8; ; 9 (c d c + b (; ; = 6, 6 (d 4a + 8b 7c ( 49; 44; = 74, 8. B Legyen a(, 7;, ; 4, 4, b(, ;, 7;, c(, ; 4;,, d(8, ;, 8;, 7. (a b + c a ( ;, 8; 8, (b 6c + d b (4, 9; 9; 6, (c d + a b ( 4;, ;, = 7, 8 (d b c a (, ; 4, ; 6, 7 =, 47. B Legyen a(; ; 8, b( ; 4;, c(; 4;, d(4; ;. (a Határozza meg a b vektor irányába mutató egységvektort! (b Határozza meg a a d vektor irányába mutató egységvektort! (c Határozza meg a c vektorral ellentétes irányú egységvektort! ( (d Határozza meg a d+b vektorral ellentétes irányú egységvektort! 4. B Legyen a(; 6; 8, b( ; ;, c( ; 4;, d(; ;. (a a, d (b b, 4c (c a, d + b ( 6 ; 6 ; 6 ( ; 8 7 ; 7 ( ; 4 ; 8 9 ; 4 9 ; (d d c + a, a + 4b 64. B Legyen a(; ;, b( ; ;, c(4; ;, d(; 4; 7. (a Mekkora szöget zárnak be az a és d vektorok?, (b Mekkora szöget zárnak be a b + a és c vektorok? 6, 79 (c Mekkora szöget zárnak be az a c és b vektorok? 6, 8 (d Mekkora szöget zárnak be a a d és c + b vektorok? 84, 64
14 Bodó Beáta 6. B Legyen a(; 4;, b(; ;, c(; ;, d( ; 4;, e(; ;. (a Milyen érték esetén lesz a d vektor merőleges az a vektorra? = 4 (b Milyen érték esetén lesz az e vektor merőleges az b + c vektorra? = 4 (c Milyen értékek esetén fognak a d és b vektorok hegyesszöget bezárni? < (d Milyen értékek esetén fognak az e és a b vektorok hegyesszöget bezárni? < (e Milyen értékek esetén fognak az e és c vektorok tompaszöget bezárni? > (f Milyen értékek esetén fognak a d és b + c vektorok tompaszöget bezárni? < 7. B Legyen a( ; ; 4, b(; 4; 7, c( ; 4; 4, d(6; ;. (a Bontsa ( fel az a vektort a c vektorral párhuzamos és merőleges összetevőkre! a p 9 ; 9 ; 9, a m ( 6 9 ; 9 ; 4 9 (b Bontsa ( fel a b vektort a d( vektorral párhuzamos és merőleges összetevőkre! b 86 p 4 ; 6 4 ; 4, b 9 m 4 ; 4 ; 8 4 (c Bontsa fel a c vektort az a vektorral párhuzamos és merőleges összetevőkre! c p ( 66 ; ; 88 (, c 6 m ; 4; (d Bontsa ( fel a d vektort ( a c vektorral párhuzamos és merőleges összetevőkre! d 4 p 9 ; 8 9 ; 8 9, d m 9 ; 6 9 ; 9 8. B Az ABCD paralelogramma két csúcsa A(; ; 4 és B( ; ;. Az átlók metszéspontja K(; ;. Határozza meg a másik két csúcs koordinátáit! C(; ;, D(6; ; 9. B Az ABCD paralelogramma két csúcsa B(; ; és C(8; ; 4. Az átlók metszéspontja K(; ;. Határozza meg a másik két csúcs koordinátáit! A(; ; 8, D(8; ;. B Az ABCD paralelogramma három csúcsa A(4; ; 4,B(6; 4; és C(7; ; 7. Határozza meg az átlók metszéspontját és a negyedik csúcs koordinátáit! K(, ;, ;,, D(; ; 6. B Az ABCD paralelogramma három csúcsa B( ; ; 4,C( 6; ; és D(; ; 8. Határozza meg az átlók metszéspontját és a negyedik csúcs koordinátáit! K(; ; 6, A(8; ;. B Az ABC háromszög egyik csúcsa A(; ;. Az AB oldal felezőpontja F (; 4;. Az AC oldal felezőpontja G(7; ; 4. Határozza meg a másik két csúcs koordinátáit! B( ; ;, C(9; 4;. B A KLM háromszög egyik csúcsa M(; ;. A KL oldal felezőpontja X(; ;. Az LM oldal felezőpontja Y (6; 4;. Határozza meg a másik két csúcs koordinátáit! L(7; ; 7, K( ; 4; 4. B Határozza meg az A( 7; ; 8 pont B(6; 4; pontra vonatkozó tükörképének koordinátáit és az AB szakasz felezőpontjának koordinátáit! A (9; 6;, F (, ; ; 6,
15 Bodó Beáta. B Határozza meg az X(; ; 6 pont Y ( ; 6; pontra vonatkozó tükörképének koordinátáit és az XY szakasz felezőpontjának koordinátáit! X ( 9; 4;, F (, ; ; 4, 6. Egy szabályos hatszög középpontja K(; ;, két szomszédos csúcsa A(; ; 6,B(; ;. Határozza meg másik négy csúcs koordinátáit! D(; ; 4, E(; 4;, C(; ; 4, F (; 4; 6 7. B Az ABC szabályos háromszög oldala egység hosszú. Mennyi AB, AC? 8. B Az EF G szabályos háromszög oldala egység hosszú. Mennyi EF, EG?, 9. Adott az ABC háromszög három csúcsa A(; ;,B(; ; és C( 7; ;. Határozza meg a háromszög kerületét és a B csúcsnál lévő szöget! k =, 8; 7,. Adott az EF G háromszög három csúcsa E(; ; 4,F ( ; ; és G(; 4;. Határozza meg a háromszög kerületét és a E csúcsnál lévő szöget! k =, ; 86, 88. Döntse el, hogy az a( ; ; 6, b(6; ; és c(; 6; vektorok kockát feszítenek-e ki! Válaszát indokolja! igen. Döntse el, hogy az a( 8; ; 4, b(; 4; 8 és c( 4; 8; vektorok kockát feszítenek-e ki! Válaszát indokolja! nem. B Határozza meg az AB szakasz A ponthoz közelebbi harmadolópontját! A(; ; 4,B(; ; (; ; 6 4. B Határozza meg az BC szakasz C ponthoz közelebbi harmadolópontját! B(7; ;,C( 4; ; ( ; 8 ;. B Határozza meg annak a X pontnak a koordinátáit, amely az AB szakaszt AX : XB ( = : arányban osztja! A( ; ; 6,B(4; ; 6 6 ; 8 ; 6 6. B Legyen a( ; 7; 8, b(; ;, c( ; ; 4, d(; 7; 9. (a a d ( 7; 6; (b (b c a (; 4; 4 (c (d + a (c b ( ; 4; 89 (d abc (e bda (f dcc 7. B Igazolja, hogy az a( ; 4;, b( ; ; 6 vektorok paralelogrammát feszítenek ki és számítsa ki a paralelogramma területét! T = 4, B Igazolja, hogy az c( ; 6;, d(4; ; vektorok paralelogrammát feszítenek ki és számítsa ki a paralelogramma területét! T =, 8 4
16 Bodó Beáta 4 9. B Igazolja, hogy az A(; ; 4, B(; 7; 9, C(; 7; pontok háromszöget alkotnak és számítsa ki a háromszög területét! T =, 9. B Igazolja, hogy az E( ; ;, F ( 7; 6; 4, G(6; ; 4 pontok háromszöget alkotnak és számítsa ki a háromszög területét! T = 6, 4. Vegyük az A( ; ; 4, B( ; ; 4, C(; 7; 8 pontokat. Legyen G az AC oldal felezőpontja. Számítsa ki az ABG háromszög területét és kerületét! T =, 9; k = 6, 9. Vegyük az A( ; ;, B( ; ; 4, C(; 4; pontokat. Legyen X pont az AB szakasz A ponthoz közelebbi harmadolópontja. Számítsa ki az AXC háromszög területét és kerületét! T =, ; k =, 9. Igazolja, hogy az A(; ; 4, B(; ; 4, C(6; 7; pontok háromszöget alkotnak. Számítsa ki a háromszög területét, a B csúcshoz tartozó magasságot és a C csúcsnál lévő szöget! T =, 6; m b =, 4; 6, Igazolja, hogy az K(; ; 4, L(; ; 4, M(6; ; pontok háromszöget alkotnak. Számítsa ki a háromszög területét, a K csúcshoz tartozó magasságot és a L csúcsnál lévő szöget! T =, 7; m k =, 6;, 8. B Egysíkuak-e az a( ; ;, b(; 4;, c( ; ; vektorok? nem 6. B Egysíkuak-e az a(; ;, b( ; ; 4, c( ; ; vektorok? igen 7. B Igazolja, hogy az a( ; ; 4, b( ; ;, c(4; 6; vektorok paralelepipedont feszítenek ki és számítsa ki a paralelepipedon térfogatát! V = 8 8. B Igazolja, hogy az a(; 6; 8, b( ; ; 4, c(; ; vektorok paralelepipedont feszítenek ki és számítsa ki a paralelepipedon térfogatát! V = 6 9. B Vegyük az A( ; ; 4, B(; ; 4, C(; 7;, D(6; 4; pontokat. Igazolja, hogy ezek a pontok tetraédert határoznak meg és számítsa ki a tetraéder térfogatát! V = 9, 8 4. B Vegyük az A(6; ; 4, B( ; 4;, C(; 4;, D(6; 4; pontokat. Igazolja, hogy ezek a pontok tetraédert határoznak meg és számítsa ki a tetraéder térfogatát! V = 89, 4. Vegyük az A( ; 4; 4, B(; 6;, C(; 7;, D(7; 8; pontokat. Igazolja, hogy ezek a pontok tetraédert határoznak meg, számítsa ki a tetraéder térfogatát és a D csúcshoz tartozó magasság hosszát! V = 6, ; m = 4, Egy tetraéder csúcsai A( ; 6;, B(; ;, C(; 6;, D( ; ;. Számítsa ki a tetraéder térfogatát és a D csúcshoz tartozó magasság hosszát! V = 8, ; m = 6, 4. Az ABCD tetraéder térfogata egység. Adottak az A(; ;, B(; ;, C(; ; csúcsok. Határozza meg a D csúcs koordinátáit, ha tudjuk, hogy az y tengelyen található! (; ;, (; 9 ; 44. Egy kockát kifeszítő három vektor közül kettő a(6; ;, b( ; 6;. Határozza meg a harmadik vektort! c(; ; 6, c( ; ; 6
17 Bodó Beáta 4. Adott: A(; ;, B(9; 4; 8, C(4; ; e : = + 4t, y = t, z = 6 + t, t R, f : + 6 = y + = z +. 9 (a B Írja fel az A és B pontok által meghatározott egyenes paraméteres és paraméter nélküli egyenletrendszerét! A pontra felírva: = + 7t, y = + t, z = + t, t R; 7 = y+ = z (b B Döntse el, hogy az A és B pontok illeszkednek-e az e egyenesre! A nem, B igen (c B Írja fel az A pontra illeszkedő f egyenessel párhuzamos egyenes paraméteres és paraméter nélküli egyenletrendszerét! = + t, y = t, z = + t, t R; = y+ = z (d Írja fel a C pontra illeszkedő e és f egyenesre merőleges egyenes paraméteres egyenletrendszerét! = 4 t, y = t, z = + t, t R (e Írja fel az ABC háromszög síkjára merőlegess B ponton áthaladó egyenes paraméteres egyenletrendszerét! = 9 4t, y = 4 + 8t, z = 8 + 6t, t R (f B Írja fel az A pontra illeszkedő e egyenesre merőleges sík egyenletét! 4 y + z 6 = (g B Írja fel az A, B és C pontok által meghatározott sík egyenletét! 4 + 8y + 6z + 6 = (h B Határozza meg az e és f egyenesek helyzetét a térben! Ha van metszéspont, adja meg a koordinátáit! kitérőek 46. Írja fel az A(; ;, B(4; ; 7, C(8; ; csúcspontú háromszög A csúcsából induló súlyvonalának paraméter nélküli egyenletrendszerét! A pontra felírva : = y+ = z 47. B Írja fel az A(4; ; 4 pontra illeszkedő tengellyel párhuzamos egyenes paraméteres egyenletrendszerét! = 4 + t, y =, z = 4, t R ( tengely irányvektora (;; 48. B Írja fel az A(; ; 4 pontra illeszkedő y síkra merőleges egyenes paraméteres egyenletrendszerét! =, y =, z = 4 + t, t R (y sík egyenlete z=, normálvektora (;; 49. B Írja fel az CD szakasz felezőpontján átmenő z tengellyel párhuzamos egyenes paraméteres egyenletrendszerét, ha C(; 8; 4, D( 6; 4;! =, y = 6, z = + t, t R (z tengely irányvektora (;;. Adott: A(; 4;, B(4; ; 7, C( ; ;, e : = + t, y = t, z = + t, t R, S : z = 4y + 4. (a Határozza meg annak a síknak az egyenletét, amely átmegy az origón, párhuzamos az e egyenessel és merőleges az S síkra! + y + 4z =
18 Bodó Beáta 6 (b Határozza meg az A pont és az e egyenes síkjának egyenletét! + 7y z + 9 = (c B Határozza meg az e egyenes és az z sík metszéspontját! (, ; ;, (z sík egyenlete: y= (d B Határozza meg annak a síknak az egyenletét, amely illeszkedik a B pontra és merőleges az e egyenesre! y + z + = (e B Határozza meg annak a síknak az egyenletét, amely átmegy az C ponton és párhuzamos az és y tengellyel! z = (f B Határozza meg annak az egyenesnek a paraméteres egyenletét, amely átmegy a B ponton és merőleges az y és z tengelyekre! = 4 + t, y =, z = 7, t R (g B Határozza meg annak a A pontra illeszkedő síknak az egyenletét, amely merőleges az y tengelyre! y + 4 = (y tengely irányvektora (;;. Adja meg annak az S síknak az egyenletét, amely átmegy a P (; ; ponton és illeszkedik az y tengelyre! S: -+z= (y tengely irányvektora (;;. B Írja fel az B(; ; pontra illeszkedő zy síkra merőleges egyenes paraméteres egyenletrendszerét! = + t, y =, z =, t R (yz sík egyenlete =, normálvektora (;;. Adja meg annak az S síknak az egyenletét, amely átmegy a C(; 4; 7 ponton és merőleges az S : y z = és S : 4 y + z = síkokra! S : + y z = 9 4. Az ABC háromszög csúcsai A(4; ; 6, B(; 4;, C(; ;. (a B Határozza meg az ABC háromszög síkjának egyenletét! 7 y 6z 84 = (b B Határozza meg annak a síknak az egyenletét, amely illeszkedik a C pontra és merőleges az AB oldalra! y z 8 = (c B Írja fel a A pontra illeszkedő BC oldallal párhuzamos egyenes paraméter nélküli egyenletét! y+ = z 6 6, = 4. Adott: D( 4; ;, E(; ;, F (; ;, m : = t, y = 4, z = + t, t R, n : + = y 4 = z+, S : + y = z +, S : 4 y + z + =. (a B Döntse el, hogy az E pont illeszkedik-e az S síkra! nem (b B Írja fel a E pontra illeszkedő m egyenessel párhuzamos egyenes paraméteres és paraméter nélküli egyenletrendszerét! = t, y =, z = + t, t R; = z, y = (c B Írja fel az D pontra illeszkedő S síkkal párhuzamos sík egyenletét! + y z + 7 = (d B Írja fel az F pontra illeszkedő yz síkkal párhuzamos sík egyenletét! =,(az yz sík egyenlete: =, normálvektora (;;
19 Bodó Beáta 7 (e B Írja fel az DEF háromszög síkjának az egyenletét! + 4y + 4z + 6 = (f Írja fel az F pont és az n egyenes síkjának az egyenletét! 6y + z + = (g B Határozza meg az n egyenes és az S sík helyzetét a térben! Ha van döféspont, adja meg a koordinátáit! az egyenes döfi a síkot, döféspont ( 79 8 ; 4 ; 7 8 (h B Határozza meg az m egyenes és az S sík helyzetét a térben! Ha van döféspont, adja meg a koordinátáit! az egyenes döfi a síkot, döféspont ( 7 ; 4; 7 (i Határozza meg az S és S síkok metszésvonalát! = + t, y = t, z = 7 t, t R, ahol ( ; ; 7 a metszésvonal tetszőleges pontja 6. B Határozza meg az alábbi egyenesek e : = + t, y = + t, z = t, t R és f : = + t, y = + t, z = t, t R helyzetét a térben! Ha van metszéspont, adja meg a koordinátáit! az egyenesek metszik egymást, metszéspont (-;-; 7. B Határozza meg az alábbi egyenesek a : = 6 + t, y = + t, z = 9 + t, t R és f : = y + 8 = y + helyzetét a térben! Ha van metszéspont, adja meg a koordinátáit! 4 6 az egyenesek kitérőek 8. B Határozza meg az m : = 8 + t, y = t, z = + t, t R egyenes és az S : 4 y + z = sík helyzetét a térben! Ha van döféspont, adja meg a koordinátáit! az egyenes döfi a síkot, döféspont (;; 9. B Határozza meg az f : = + t, y = + t, z = t, t R egyenes és az y sík helyzetét a térben! Ha van döféspont, adja meg a koordinátáit! az egyenes döfi a síkot, döféspont (-;-; 6. B Határozza meg az n : = t, y = +t, z = +t, t R egyenes és S : y+z = sík helyzetét a térben! Ha van döféspont, adja meg a koordinátáit! az egyenes párhuzamos a síkkal 6. Határozza meg az S : + y = z + 7 és S : + y z = 4 síkok kölcsönös helyzetét! Ha a síkok nem párhuzamosak, határozza meg a két sík metszésvonalát! = t, y = + t, z = t, t R 6. Határozza meg az S : + z = y + 6 és z síkok kölcsönös helyzetét! Ha a síkok nem párhuzamosak, határozza meg a két sík metszésvonalát! z sík egyenlete:y = ; t R 6. B Határozza meg az A(4;, pont és az f : = t, y = 4 + t, y = 6, t R egyenes távolságát! 7, 64. B Milyen messze van a D( ;, pont az S : y = z 6 síktól?, 6. Az ABCD csúcspontú tetraéderben határozza meg az AB és CD oldalegyenesek távolságát! A(; ;, B(; ;, C(; ;, D(; ;, 79
20 Bodó Beáta B Határozza meg az e : = + t, y = 4t, z = t, t R és az f : 8 4 = z egyenesek hajlásszögét! 6, 6 = y+ 67. Határozza meg mekkora szöget zár be az ABCD tetraéderben az AD oldal egyenese az ABC oldallap síkjával!a(; ;, B(; ;, C(; ;, D(; ; B Határozza meg az S : 7y = és S : y = 4 + z + 6 síkok hajlásszögét! Határozza meg az ABCD paralelegramma az AB oldalához tartozó magasságát! A(; ; 7, B(; 6;, C(4; ; 9, D(; ;, Adott: A(4; ;, B(; ;, e : = t, y = 4 + t, z = 4 t, t R, f : 4 = y = +z, S : + z = y, S : + y = 6z + 8. (a B Határozza meg az A és B pontok távolságát! (b B Határozza meg az A pont és az e egyenes távolságát! 6, 46 (c B Határozza meg a B pont és az f egyenes távolságát! 4, 6 (d B Határozza meg az e pont és f egyenesek távolságát! 4, 8 (e B Határozza meg a B pont távolságát az S síktól!, (f B Határozza meg az A pont távolságát az S síktól!, 4 (g B Határozza meg az S és S síkok kölcsönös helyzetét! Ha a síkok párhuzamosak, határozza meg a távolságát!, 7. B Határozza meg az S : + z = y sík és az m : = + t, y = t, z = t, t R egyenes távolságát!, 6 7. Határozza meg az a : = +t, y = t, z =, t R és b : = 4 u, y = +u, z = u,u R egyenesek távolságát! 7. Határozza meg az e : = + t, y = t, z = + t, t R és f : = 7 u, y = + u, z = + u, u R egyenesek távolságát! az egyenesek metszik egymást 74. B Határozza meg az e : = 4, y = 4t, z = + t, t R és az y tengely hajlásszögét! 6, 6 7. Határozza meg a paralelogramma átlóinak hajlásszögét! A(; ;, B(; 4;, C(; ; 6, D( ; ; 7, B Határozza meg az S : z = + 4y és az z sík hajlásszögét!, B Határozza meg az S : + y + z = sík és az p : = y = z egyenes hajlásszögét!8, 78. Az ABCD tetraéderben határozza meg az ABC és a BCD oldallapok által bezárt szöget! A(4; 7; 6, B(; ;, C( ; ;, D(4; ; 8,
21 Bodó Beáta Adott az ABCD tetraéder:a(4; 6;, B(; ;, C( ; 6;, D(; 4;. (a Írja fel az B pontra illeszkedő ACD síkkal párhuzamos sík egyenletét! + y + z + = (b Írja fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely párhuzamos a CD egyenessel és áthalad az AB oldal felezőpontján! = + 6t, y =, t, z =, t R (c Határozza meg az BC és AD oldalegyenesek távolságát! 4, 9 (d Határozza meg a C pont távolságát az ABD síktól! 4, 4 (e Határozza meg AC oldal egyenese az ABD oldallap síkjának hajlásszögét! 6, (f Határozza meg az ACD és a BCD oldallapok által bezárt szöget! 74, 7
22 Bodó Beáta. Legyen A = (a B B C T MÁTRIXOK, B = , C = ( 7 9, D = ( 4 (b B 4A 6B nem lehet (c B AB (d B BC (e B A (f B AC nem lehet ( 6 4 (g B D D (h B B T C ( 7 (i B (D + D T ( (i B det(d 4 (j B det(a (. Legyen A = 4, B =, C =, D = ( ( 4 4 E =, F =. 6 (a B (b B CD DC ( 69,.
23 Bodó Beáta (c (A B T T (d B A T C 8 8 (e B (A + BD nem lehet 9 (f B (A BD T 7 (g B E 4F T 6 4 ( (h B (E T F ( 87 (i B D T + C (j B det(e T + F 4 (k det(e F 49 (l det(a T + B 7 4. B Legyen G = 4, H = 7. Határozza meg azt az X mátriot, amelyre G + X = H! B Legyen M = ( mátriot, amelyre N + X = M!. B Oldja meg a 6. B Oldja meg a, N = ( Határozza meg azt az X ( = egyenletet! ; = egyenletet! 4;
24 Bodó Beáta 7. B Hogy kell megválasztani az számot, hogy a ; 8. B Hogy kell megválasztani az számot, hogy a 9. B Oldja meg a. B Oldja meg a determináns értéke legyen? determináns értéke legyen? ; 6 = egyenletet! 6 = egyenletet! ;. Számítsa ki az alábbi mátriok determinánsát! 7 4 (a A = (b B = B Bizonyítsa be, hogy a c (; és c (4; vektorok lineárisan függetlenek! csak az α =, α = triviális megoldás létezik, tehát lineárisan függetlenek. B Vizsgálja meg, hogy az + ; + 6; függvények lineárisan függetlenek-e? csak az α =, α =, α = triviális megoldás létezik, tehát lineárisan függetlenek 4. B Döntse el, hogy a v (; ;, v ( ; ; és v (8; ; vektorok lineárisan függetlenek-e! α = t, α = t, α = t, tehát a vektorok lineárisan összefüggőek. B Döntse el, hogy a u = 4, u = 4 és u = vektorok lineárisan függetlenek-e! csak az α =, α =, α = triviális megoldás létezik, tehát lineárisan függetlenek 6. B Előállítható-e ( a ( c vektor az, y( vektorok lineáris kombinációjaként? 9 =, y =, c = 4 + y = c
25 Bodó Beáta 4 7. B Előállítható-e az ( 7; vektor az c(;, d(6; 4 vektorok lineáris kombinációjaként? nem 8. Előállítható-e a d vektor az a, b, c vektorok lineáriskombinációjaként? 4 a =, b =, c =, d = 4 a b c = d Előállítható-e a d vektor az a, b, c vektorok lineáris kombinációjaként? a = (; ;, b = ( 4; ;, c = (; ; 7, d = ( 7; ;. 4a + b c = d. Oldja meg az alábbi egyenletrendszert! + y + z = y + z = y + z =. Oldja meg az alábbi egyenletrendszert! y z = + y z = + y + z =. Oldja meg az alábbi egyenletrendszert! + y + z = 7 + y + z = + y + z = 6. Oldja meg az alábbi egyenletrendszert! 7 y + z = 8 y + z = 4 + 6y 4z = 4. Oldja meg az alábbi egyenletrendszert! y + z = 4 + y z = y + z = 6. Oldja meg az alábbi egyenletrendszert! + y z = + y = + y + z = 4 6. Oldja meg az alábbi egyenletrendszert! + y z + 4v = 4 4y + z + v = y + z v = 4 y + z + v = =, y =, z = = + t, y = t, z = t, t R =, y =, z = az egyenletrendszernek nincs megoldása = 4 t, y = 4 7t, z = t, t R = 7 9, y = 9, z = =, y =, z =, v =
26 Bodó Beáta 7. Oldja meg az alábbi egyenletrendszert! y z + 4v = + y + z v = 7 + y + z + v = 6 4y z + v = 7 8. Oldja meg az alábbi egyenletrendszert! = + 4 = + + = 4 = 9. Oldja meg az alábbi egyenletrendszert! = + 4 = = = =, y =, z =, v = az egyenletrendszernek nincs megoldása =, ; = ; =, ; 4 =. Oldja meg az alábbi egyenletrendszert! + 4 = = = 4 = + t, ; = 7t; = + t; 4 = t; t R =. Oldja meg az alábbi egyenletrendszert! = = 9, + 4 = = =, ; = ; =, ; 4 =. Döntse el, hogy létezik-e inverze az alábbi mátrioknak! 4 (a B A = det(a =, létezik a mátri inverze 4 (b B B = 8. B Miyen értékek esetén nincs inverze az A = 4. B Miyen értékek esetén van inverze az A = det(b =, nem létezik a mátri inverze mátrinak? = 7 8 mátrinak?
27 Bodó Beáta 6. Igazolja, hogy a mátrinak létezik inverze és határozza meg az inverz mátriot! ( 4 (a B A = det(a =, létezik a mátri inverze; A = (b B B = (c C = (d D = (e E = (f F = (g G = ( ( 4 ( det(a =, létezik a mátri inverze; A = det(c =, létezik a mátri inverze; C = det(d = 6,létezik a mátri inverze; D = det(e =,létezik az inverz; E = det(f =, létezik a mátri inverze; F = det(g = 6, létezik a mátri inverze; G = 6. Határozza meg a mátri sajátértékeit! ( 9 4 (a B A = (b B B = (c C = ( λ = ; λ = λ = λ = λ = ; λ = ; λ =
28 Bodó Beáta 7 7. Határozza meg a mátri sajátértékeit és sajátvektorait! ( (a A = ( ( t λ =, s = = t, t R, t ; λ t = 4, s = ( (b B = 4 ( ( t λ =, s = = t t (c C = ( λ = 4, s = ( t t = t ( ( (d D = 4 ( ( t λ =, s = = t t (e E = 4 6 λ = λ =, s = t + u u t, t R, t ; λ =, s =, t R, t ; λ =, s =, t R, t ; λ =, s = ( t t ( 4 t t ( t t ( 4 t t, t, u R, t, u ; λ = 8, s = = t = t ( 4 = t = t ( 4 t t t ( (, t R, t, t R, t = t, t R, t, t R, t 8. Határozza meg az B B T mátri sajátértékeit és determinánsát! ( B = λ 4 = ; λ = 9; det(b B T = Határozza meg az (A T B mátri sajátértékeit és determinánsát! ( ( A =, B = λ = 6, 77; λ = 4, ; det((a T B =, t R, t
29 Bodó Beáta Többváltozós függvények. Ábrázolja az f(, y = y, D(f = R függvény c = ; ; ; ; magasságokhoz tartozó szintvonalait! c=-, c=-,c=,c=,c=. Határozza meg az f(, y = ln( y függvény értelmezési tartományát! y <. Határozza meg az f(, y = 4 y + e y függvény értelmezési tartományát! + y 4
30 Bodó Beáta 4. Határozza meg az f(, y = y + y függvény értelmezési tartományát! y. Határozza meg az f(, y = 4 + y 9 ln(y függvény értelmezési tartományát! + y 9; y > + ; értelmezési tartomány 6. Határozza meg az f(, y = ln( + y + + y + függvény értelmezési tartományát! y > ; y ; értelmezési tartomány
31 Bodó Beáta 7. Határozza meg az f(, y = ln(y+ + függvény értelmezési tartományát! y +6 y > ; + y < 6; értelmezési tartomány 8. Határozza meg az f(, y = ln( 4 + y + y 4 függvény értelmezési tartományát! ( + (y + > 9;kör:középpont(;, sugár r = 9. Határozza meg az f(, y = arccos( + y 4y függvény értelmezési tartományát! + (y 4; + (y 6; értelmezési tartomány. Határozza meg az f(, y = sin(y függvény parciális derivált függvényeit! f (, y = sin(y ; f y (, y = cos(y. Határozza meg az f(, y = y y függvény parciális derivált függvényeit! f (, y = y y = y y ; f y (, y = y = y
32 Bodó Beáta 4. Határozza meg az f(, y = e y függvény parciális derivált függvényeit! f (, y = e y = e y ; f y (, y = e y = e y. Határozza meg az f(, y = (y y 4 függvény parciális derivált függvényeit! f (, y = (y y 4 (y = 6y(y y 4 ; f y (, y = (y y 4 ( 4y = (y y 4 ( 4y 4. Határozza meg az f(, y = y + 7 függvény parciális derivált függvényeit! f (, y = y + 7 (y = y y + ; 7 f y (, y = y + y 7 ( y + = y + 7. Határozza meg az f(, y, z = y z + y + 6z függvény parciális derivált függvényeit! f (, y, z = y z = y z + 4 ; f y (, y, z = z y + + = yz ; f z (, y, z = y = y Határozza meg az f(, y = y függvény parciális derivált függvényeit! f (, y = y y, ( ; f y (, y = y ln(y, ( y 7. Határozza meg az f(, y = ln( + y függvény parciális derivált függvényeit! f (, y = + y ( y y = + y ; f y (, y = + y ( + y4 = y4 + y y 8. Határozza meg az f(, y = y 4 függvény parciális derivált függvényeit! + ( y ( y 4 + y (y 4 + f (, y = ( y 4 + = y 4 + y y4 y ; ( y 4 + f y (, y = ( y y ( y 4 + y ( 4y + ( y 4 + = y( y 4 + y 4 y y ( y Írja fel az f : R R : f(, y = y + y függvény érintőjének egyenletét az (; pontban! f (, y = y; f y (, y = + 4y;érintősík egyenlete: y z 4 =. Írja fel az f : R R : f(, y = 6 y függvény érintőjének egyenletét az (; 4 pontban!
33 Bodó Beáta f (, y = 6 y ; f y y(, y = ;érintősík egyenlete: 6 y y z + 9 =. Írja fel az f : R R : f(, y = ln( y + függvény érintőjének egyenletét az (; pontban! + y z + ln( = ; + y z + ln( e =. Írja fel az f : R R : f(, y = e y függvény érintőjének egyenletét az ( ; pontban! f (, y = e y ; f ( ; = e = e ; f y(, y = ye y ; f y ( ; = e = e ;érintősík egyenlete: e e y z + e szorozva: + y + ez = = ; e vel. Határozza meg az f : R R : f(, y = y y függvény u(; irányú iránymenti deriváltját a (; pontban! f u (; = 8 4. Határozza meg az f : R R : f(, y = e y ye függvény u( ; irányú iránymenti deriváltját a (; pontban! f (, y = e y ye ; f y (, y = e y e ; f u ( ; = 7 9. Határozza meg az f : R R : f(, y = ( + y függvény u(; irányú iránymenti deriváltját a P (; pontban! f u (; = 8 6. Határozza meg az f : R R : f(, y = ln( + y függvény gradiensét a (; pontban! grad f (; = f(; = (, 7. Határozza meg az f : R R : f(, y = ln + y függvény gradiensét a (; 4 pontban! f(, y = ln + y = ln( + y = ln( + y ; f (, y = ; f +y y (, y = y ; grad +y f (; 4 = f(; 4 = (, 4 8. Határozza meg az f : R R : f(, y = e sin(y függvény másodrendű parciális deriváltjait! f (, y = e sin(y; f y (, y = e cos(y; f, (, y = 9 4 e sin(y; f,y (, y = 9 e cos(y; f y, (, y = 9 e cos(y; f y,y (, y = 9e sin(y 9. Határozza meg az f : R R : f(, y = e y függvény másodrendű parciális deriváltjait! f (, y = e y + y e y = ( + y e y ; f y (, y = y e y ; f (, y = ( + y e y + ( + y e y y ; f y (, y = ( ye y + ( + y e y y; f y (, y = 6 ye y + y e y ; f yy (, y = e y y e y. Legyen f : R R : f(, y = y +y 8+y. Számítsa ki f y (, y parciális deriváltat! f (, y = y + y 8; f (, y = 6y ; f y (, y = y. Legyen f : R R : f(, y, z = e y +yz +yz. Számítsa ki f zy (, y, z parciális deriváltat! f z (, y, z = yz + y; f z (, y, z = y; f zy (, y, z =
34 Bodó Beáta 6. Legyen f : R R : f(, y, z = sin( +y z. Számítsa ki f z (, y, z parciális deriváltat! f (, y, z = cos( + y z ; f (, y, z = cos( + y z 4 sin( + y z ; f z (, y, z = 4z sin( + y z + 8 z cos( + y z. Legyen f : R R : f(, y, z = arctg( 6 y + sin(z 4 y z + cos 8 (z. Számítsa ki f zy (, y, z parciális deriváltat! f z (, y, z = z cos(z 4 y z 4 8(cos(z 7 sin(z; f zy (, y, z = 4 yz 4 ; f zy (, y, z = 4 yz 4 4. Határozza meg hol és milyen szélsőértéke van az f(, y = + 4y + y + 6 kétváltozós függvénynek! D(f = R f (, y = 4 + y; f y (, y = + 8y stacionárius pontok:(; f (, y = 4; f y (, y = ; f y (, y = ; f yy (, y = 8 (; -lokális minimumhely; f(; = 6. Határozza meg hol és milyen szélsőértéke van az f(, y = y y kétváltozós függvénynek! D(f = R f (, y = y ; f y (, y ( = y stacionárius pontok:(;, 6 ; f (, y = 6; f y (, y = ; f y (, y = ; f yy (, y = (; ( - nem szélsőérték hely 6 ; -lokális maimumhely;f ( 6 ; = 4 6. Határozza meg hol és milyen szélsőértéke van az f(, y = y y kétváltozós függvénynek! D(f = R f (, y = y; f y (, y = y stacionárius pontok:(;, ( ; f (, y = 6; f y (, y = ; f y (, y = ; f yy (, y = 6y (; - nem szélsőérték hely ( ; -lokális maimumhely;f ( ; = 7. Határozza meg hol és milyen szélsőértéke van az f(, y = +y + kétváltozós függvénynek! y A függvény értelmezési tartománya az egész sík, kivéve a koordinátatengelyek pontjait, hiszen a nevező miatt sem, sem y nem lehet nulla. f(, y = + y + y = + y + y f (, y = y ; f y(, y = y y stacionárius pontok:( ;, (; f (, y = + 4 y ; f y(, y = y ; f y (, y = y ; f yy (, y = + 4 y ( ; -lokális minimumhely;f ( ; = 4 (; -lokális minimumhely;f (; = 4
35 Bodó Beáta 7 8. Határozza meg az f(, y = y( y függvény kétszeres integrálját a { (, y R : ; y } tartományon! Megoldás: ( ( ( y y d dy = ( y y dy d ( y y dy = y4 4 y = 4 y 4 y = 4 ( ( y y dy d = (4 d = 4 = 7 9. Határozza meg az f(, y = y függvény kettősintegrálját a { (, y R : ; y } tartományon! Megoldás: ( (y dy d (y dy = ( (y dy y d = 4. Határozza meg az f(, y = tartományon! Megoldás: 7 ( 7 ( 7 = ( + y 4 dy d = y = ( d = 4 4 = ( + y 4 függvény kettősintegrálját a { (, y R : 7; y } ( 7 ( + y 4 d 7 ( + y 4 d = ( + y 4 d = 7 ( + y = (7 + y + ( ( + y 4 d dy = (7 + y + ( + y dy = ( (7 + y + ( + y dy = 6 dy (7 + y 6 ( + y ( + y = Határozza meg az f(, y = +8y függvény kettősintegrálját a { (, y R : ; y } tartományon! Megoldás: ( ( + 8y dy d ( + 8y dy = y + 8 y = y + 4y = ( + 8y dy d = ( d = = (
36 Bodó Beáta Határozza meg az f(, y = y +4 függvény kettősintegrálját a { (, y R : ; y + } tartományon! Megoldás: ( + (y + 4 dy d + ( + (y + 4 dy = y y = y + 4y + = ( (y + 4 dy d = d = = 9 4. Határozza meg az f(, y = y függvény kétszeres integrálját az y = és y = függvények által közrezárt tartományon! Megoldás: Tartomány= { ( (, y R : ; y } ( 4 ( y dy (y dy = ( y dy d y y d = = y y = ( d = Határozza meg az f(, y = y + 4 függvény kétszeres integrálját az y = és y = 4 függvények által közrezárt tartományon! Megoldás: Tartomány= { (, y R : ; y 4 } ( 4 (y + 4 dy d 4 (y+4 dy = y + 4 y 4 4 = y + 4 y = = ( 4 ( (y + 4 dy d = d = = 96
37 Bodó Beáta 9 4. Határozza meg az f(, y = + y függvény kétszeres integrálját az y = 4 és y = függvények által közrezárt tartományon! Megoldás: Tartomány= { (, y R : ; 4 y } ( ( + 4 y dy d ( + 4 y dy = y + y y = ( ( + ( 4 y dy d = d = = 7, Határozza meg az f(, y = 4 y függvény kétszeres integrálját az y = és y = függvények által közrezárt tartományon! Megoldás: Tartomány= {(, y R : ; y } ( ( (4 y dy d (4 y dy = 4y y = (4 y ( dy d = d = =, 79
VEKTOROK. 1. B Legyen a( 3; 2; 4), b( 2; 1; 2), c(3; 4; 5), d(8; 5; 7). (a) 2a 4c + 6d [(30; 10; 30)]
Bodó Beáta 1 VEKTOROK 1. B Legyen a( ; 2; 4), b( 2; 1; 2), c(; 4; 5), d(8; 5; 7). (a) 2a 4c + 6d [(0; 10; 0)] (b) c + b 7a [(18; 15; 29)] (c) 2d c + b [ (5; ; ) = 6, 56] (d) 4a + 8b 7c [ ( 49; 44; 5) =
RészletesebbenI. feladatsor. 9x x x 2 6x x 9x. 12x 9x2 3. 9x 2 + x. x(x + 3) 50 (d) f(x) = 8x + 4 x(x 2 25)
I. feladatsor () Határozza meg az alábbi függvények határozatlan integrálját: (a) f(x) = (b) f(x) = x + 4 9x + (c) f(x) = (d) f(x) = 6x + 5 5x + f(x) = (f) f(x) = x + x + 5 x 6x + (g) f(x) = (h) f(x) =
RészletesebbenVektorok összeadása, kivonása, szorzás számmal, koordináták
Vektorok összeadása, kivonása, szorzás számmal, koordináták 1. Mik lesznek a P (3, 4, 8) pont C (3, 7, 2) pontra vonatkozó tükörképének a koordinátái? 2. Egy szabályos hatszög középpontja K (4, 1, 4),
RészletesebbenKoordinátageometriai gyakorló feladatok I ( vektorok )
Koordinátageometriai gyakorló feladatok I ( vektorok./ Határozd meg az AB szakasznak azt a pontját, amely a szakaszt : ha A ( ; és a B ( ; 8!./ Adott az A ( 3 ; 5 és a ( ; 6 B pont. Számítsd ki az AB vektor
RészletesebbenHelyvektorok, műveletek, vektorok a koordináta-rendszerben
Helyvektorok, műveletek, vektorok a koordináta-rendszerben. Rajzold meg az alábbi helyvektorokat a derékszögű koordináta-rendszerben, majd számítsd ki a hosszúságukat! a) (4 ) b) ( 5 ) c) ( 6 ) d) (4 )
RészletesebbenAnalitikus térgeometria
5. fejezet Analitikus térgeometria Kezd és végpontjuk koordinátáival adott vektorok D 5.1 A koordináta-rendszer O kezd pontjából a P pontba mutató OP kötött vektort a P pont helyvektorának nevezzük. T
RészletesebbenKoordináta-geometria feladatok (középszint)
Koordináta-geometria feladatok (középszint) 1. (KSZÉV Minta (1) 2004.05/I/4) Adott az A(2; 5) és B(1; 3) pont. Adja meg az AB szakasz felezőpontjának koordinátáit! 2. (KSZÉV Minta (2) 2004.05/I/7) Egy
RészletesebbenAz egyenes és a sík analitikus geometriája
Az egyenes és a sík analitikus geometriája Az egyenes a kétdimenziós koordinátarendszerben A kétdimenziós koordinátarendszerben az egyenest egy n(a, B) normálvektorával és egy r 0 helyvektorú P(x 0,y 0
RészletesebbenSkaláris szorzat: a b cos, ahol α a két vektor által bezárt szög.
1 Összeadás: Legyen a (7; 3) és b (- 2; 4), akkor az összegük a + b (7 + (-2); 3 + 4) = (5; 7) Kivonás: Legyen a (7; 3) és b (- 2; 4), akkor a különbségük a b (7 - (-2); 3-4)=(9; - 1) Valós számmal való
RészletesebbenÉrettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5
Érettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5 2003. Próba/ 13. Adott egy háromszög három csúcspontja a koordinátáival: A( 4; 4), B(4; 4) és C( 4; 8). Számítsa ki a C csúcsból induló súlyvonal és az A csúcsból
RészletesebbenÉrettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve / 5
Érettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve 2005-2013 1/ 5 Vektorok 2005. május 28./12. Adottak az a (4; 3) és b ( 2; 1) vektorok. a) Adja meg az a hosszát! b) Számítsa ki az a + b koordinátáit!
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások
Megoldások 1. Tekintsük az alábbi szabályos hatszögben a következő vektorokat: a = AB és b = AF. Add meg az FO, DC, AO, AC, BE, FB, CE, DF vektorok koordinátáit az (a ; b ) koordinátarendszerben! Alkalmazzuk
RészletesebbenLineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport
Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport 1. Egy egyenesre esnek-e az A (2, 5, 1), B (5, 17, 7) és C (3, 9, 3) pontok? 5 pont Megoldás: Nem, mert AB (3, 12,
RészletesebbenHÁZI FELADATOK. 1. félév. 1. konferencia A lineáris algebra alapjai
HÁZI FELADATOK. félév. konferencia A lineáris algebra alapjai Értékelés:. egység: önálló feladatmegoldás.8. Döntse el, párhuzamosak-e a következő vektorpárok: a) a( ; ; 7) b(; 5; ) b) c(; 9; 5) d(8; 6;
RészletesebbenAz egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:
Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x
RészletesebbenSíkbeli egyenesek. 2. Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg
Analitikus mértan 3. FELADATLAP Síkbeli egyenesek 1. Írjuk fel annak az egyenesnek a paraméteres egyenleteit, amely (i) áthalad az M 0 (1, 2) ponton és párhuzamos a a(3, 1) vektorral; (ii) áthalad az origón
Részletesebben1. Milyen parciális törtekre bontaná az alábbi racionális törtfüggvényt:
Matematika (Lineáris algebra és többváltozós függvények), NGB_MA002_2, 1. zárthelyi 2016. 10. 19., 2A-csoport 1. Milyen parciális törtekre bontaná az alábbi racionális törtfüggvényt: x 2x 2 4x + 1 (x 2
Részletesebben9. Írjuk fel annak a síknak az egyenletét, amely átmegy az M 0(1, 2, 3) ponton és. egyenessel;
Síkok és egyenesek FELADATLAP Írjuk fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely átmegy az M 0(,, ) ponton és a) az M(,, 0) ponton; b) párhuzamos a d(,, 5) vektorral; c) merőleges a x y + z 0 = 0 síkra;
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások
Megoldások 1. Határozd meg a szakasz hosszát, ha a végpontok koordinátái: A ( 1; ) és B (5; )! A szakasz hosszához számítsuk ki a két pont távolságát: d AB = AB = (5 ( 1)) + ( ) = 6 + 1 = 7 6,08.. Határozd
Részletesebbenλ 1 u 1 + λ 2 v 1 + λ 3 w 1 = 0 λ 1 u 2 + λ 2 v 2 + λ 3 w 2 = 0 λ 1 u 3 + λ 2 v 3 + λ 3 w 3 = 0
Vektorok a térben Egy (v 1,v 2,v 3 ) valós számokból álló hármast vektornak nevezzünk a térben (R 3 -ban). Használni fogjuk a v = (v 1,v 2,v 3 ) jelölést. A v 1,v 2,v 3 -at a v vektor komponenseinek nevezzük.
RészletesebbenNagy András. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 2010.
Nagy András Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 010. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 1) Döntsd el, hogy a P pont illeszkedik-e az e egyenesre
RészletesebbenKoordináta-geometria feladatok (emelt szint)
Koordináta-geometria feladatok (emelt szint) 1. (ESZÉV Minta (2) 2004.05/7) Egy ABC háromszögben CAB = 30, az ACB = 45. A háromszög két csúcsának koordinátái: A(2; 2) és C(4; 2). Határozza meg a harmadik
RészletesebbenFeladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz
Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Gazdasági matematika II tárgy gyakorlataihoz a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottnak tekintjük a nehezebb
RészletesebbenSíkbeli egyenesek Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg
Analitikus mértan 5. FELADATLAP Síkbeli egyenesek 5.1. Írjuk fel annak az egyenesnek a paraméteres egyenleteit, amely (i) áthalad az M 0 (1, 2) ponton és párhuzamos a a(3, 1) vektorral; (ii) áthalad az
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett
RészletesebbenKoordináta-geometria feladatgyűjtemény
Koordináta-geometria feladatgyűjtemény A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók Vektorok 1. Egy négyzet két szemközti csúcsának koordinátái: A( ; 7) és C(4 ; 1). Határozd meg a másik két csúcs
Részletesebbenx 2 e x dx c) (3x 2 2x)e 2x dx x sin x dx f) x cosxdx (1 x 2 )(sin 2x 2 cos 3x) dx e 2x cos x dx k) e x sin x cosxdx x ln x dx n) (2x + 1) ln 2 x dx
Integrálszámítás II. Parciális integrálás. g) i) l) o) e ( + )(e e ) cos h) e sin j) (sin 3 cos) m) arctg p) arcsin e (3 )e sin f) cos ( )(sin cos 3) e cos k) e sin cos ln n) ( + ) ln. e 3 e cos 3 3 cos
Részletesebben= Y y 0. = Z z 0. u 1. = Z z 1 z 2 z 1. = Y y 1 y 2 y 1
Egyenes és sík a térben Elméleti áttekintés Az egyenes paraméteres egyenlete: X = u 1 λ + x 0 Y = u λ + y 0, Z = u λ + z 0 ahol a λ egy valós paraméter Az u = (u 1, u, u ) az egyenes irányvektora és P
RészletesebbenKoordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók)
Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók) Vektorok 1. Egy négyzet két szemközti csúcsának koordinátái: A( ; 7) és C(4 ; 1). Határozd meg a másik két
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. Koordináta-geometria és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 4
Részletesebben2 (j) f(x) dx = 1 arcsin(3x 2) + C. (d) A x + Bx + C 5x (2x 2 + 7) + Hx + I. 2 2x F x + G. x
I feladatsor Határozza meg az alábbi függvények határozatlan integrálját: a fx dx = x arctg + C b fx dx = arctgx + C c fx dx = 5/x 4 arctg 5 x + C d fx dx = arctg + C 5/ e fx dx = x + arctg + C f fx dx
Részletesebbencos 2 (2x) 1 dx c) sin(2x)dx c) cos(3x)dx π 4 cos(2x) dx c) 5sin 2 (x)cos(x)dx x3 5 x 4 +11dx arctg 11 (2x) 4x 2 +1 π 4
Integrálszámítás I. Végezze el a következő integrálásokat:. α, haα sin() cos() e f) a sin h) () cos ().. 5 4 ( ) e + 4 sin h) (+) sin() sin() cos() + f) 5 i) cos ( +) 7 4. 4 (+) 6 4 cos() 5 +7 5. ( ) sin()cos
RészletesebbenÖsszeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens
Az R 3 tér geometriája Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. 1 Vektorok Vektor: irányított szakasz Jel.: a, a, a, AB, Jellemzői: irány, hosszúság, (abszolút érték) jel.: a Speciális
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások
Megoldások 1. Írd fel a K (0; 2) középpontú 7 sugarú kör egyenletét! A keresett kör egyenletét felírhatjuk a képletbe való behelyettesítéssel: x 2 + (y + 2) 2 = 49. 2. Írd fel annak a körnek az egyenletét,
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 8 VIII VEkTOROk 1 VEkTOR Vektoron irányított szakaszt értünk Jelölése: stb Vektorok hossza A vektor abszolút értéke az irányított szakasz hossza Ha a vektor hossza egységnyi akkor
RészletesebbenI. Vektorok. Adott A (2; 5) és B ( - 3; 4) pontok. (ld. ábra) A két pont által meghatározott vektor:
I. Vektorok 1. Vektorok összege Általánosan: Az ábra alapján Adott: a(4; 1) és b(; 3) a + b (4 + ; 1 + 3) = (6; ) a(a 1 ; a ) és b(b 1 ; b ) a + b(a 1 + b 1 ; a + b ). Vektorok különbsége Általánosan:
RészletesebbenExponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek
Eponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek. Hatványozási azonosságok. Számítsd ki a következő hatványok pontos értékét! a) 8 b) 4 c) d) 7 e) f) 9 0, g) 0, 9 h) 6 0, 7,, i) 8 j) 6 k) 4 l) 49,.
RészletesebbenKoordinátageometria Megoldások
005-0XX Középszint Koordinátageometria Megoldások 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 + 4 + 1 3 F ; = F ;1 ) Egy kör sugarának
RészletesebbenA képzetes számok az isteni szellem e gyönyörű és csodálatos hordozói már majdnem a lét és nemlét megtestesítői. (Carl Friedrich Gauss)
Gyakorló feladatok (Ép. matek). Komple számok: A képzetes számok az isteni szellem e gyönyörű és csodálatos hordozói már majdnem a lét és nemlét megtestesítői. (Carl Friedrich Gauss) ) Számítsa ki a következő
RészletesebbenMatematikai analízis II.
Matematikai analízis II. Feladatgyűjtemény GEMAN6-B Gazdaságinformatikus, Programtervező informatikus és Mérnökinformatikus hallgatók részére Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia 6 . feladatlap Implicit függvények
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Koordináta-geometria
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett
RészletesebbenKoordináta-geometria II.
Koordináta-geometria II. DEFINÍCIÓ: (Alakzat egyenlete) A síkon adott egy derékszögű koordináta rendszer. A síkban levő alakzat egyenlete olyan f (x, y) = 0 egyenlet, amelyet azoknak és csak azoknak a
RészletesebbenFirst Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Többváltozós függvények (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Egyváltozós függvények esetén a differenciálhatóságból következett a folytonosság. Fontos tudni, hogy abból, hogy egy
RészletesebbenGyakorló feladatok I.
Gyakorló feladatok I. a Matematika Aa Vektorüggvények tárgyhoz (D D5 kurzusok) Összeállította: Szili László Ajánlott irodalmak:. G.B. Thomas, M.D. Weir, J. Hass, F.R. Giordano: Thomas-féle KALKULUS I.,
RészletesebbenKoordinátageometria. M veletek vektorokkal grakusan. Szent István Egyetem Gépészmérnöki Kar Matematika Tanszék 1
Szent István Egyetem Gépészmérnöki Kar Matematika Tanszék 1 Koordinátageometria M veletek vektorokkal grakusan 1. Az ABCD négyzet oldalvektorai közül a = AB és b = BC. Adja meg az AC és BD vektorokat a
Részletesebben= 7, a 3. = 7; x - 4y =-8; x + 2y = 10; x + y = 7. C-bôl induló szögfelezô: (-2; 3). PA + PB = PA 1. (8; -7), n(7; 8), 7x + 8y = 10, x = 0 & P 0;
98 Az egyenes egyenletei. a) A( 0) B(0 6) AB_ - 6i& n( ) x + y = b) x - y =- c) 6x - y = 0 d) 6x + y = e) x + y = f) x + y = a g) x - y = a.. A(a 0) B(0 b) AB_ -a bi n (b a) bx + ay = ab osszuk el a $
Részletesebbenegyenletrendszert. Az egyenlő együtthatók módszerét alkalmazhatjuk. sin 2 x = 1 és cosy = 0.
Magyar Ifjúság. X. TRIGONOMETRIKUS FÜGGVÉNYEK A trigonometrikus egyenletrendszerek megoldása során kísérletezhetünk új változók bevezetésével, azonosságok alkalmazásával, helyettesítő módszerrel vagy más,
RészletesebbenTöbbváltozós függvények Feladatok
Többváltozós függvények Feladatok 2. szeptember 3. Határozzuk meg az alábbi sorozatok határértékét illetve torlódási pontjait!. ( n n2 + n n 3 2. ( n + n n5 n2 +2n+ 5 n n+ 3. ( sin(nπ/2 n n! Határozzuk
Részletesebben10. Koordinátageometria
I. Nulladik ZH-ban láttuk: 0. Koordinátageometria. Melyek azok a P x; y pontok, amelyek koordinátái kielégítik az Ábrázolja a megoldáshalmazt a koordináta-síkon! x y x 0 egyenlőtlenséget? ELTE 00. szeptember
Részletesebben, D(-1; 1). A B csúcs koordinátáit az y = + -. A trapéz BD
Kör és egyenes kölcsönös helyzete Kör érintôje 7 9 A húr hossza: egység 9 A ( ) ponton átmenô legrövidebb húr merôleges a K szakaszra, ahol K az adott kör középpontja, feltéve, hogy a kör belsejében van
Részletesebben3 függvény. Számítsd ki az f 4 f 3 f 3 f 4. egyenlet valós megoldásait! 3 1, 3 és 5 3 1
Érettségi, M, I-es feladatsor, természettudomány.. Számítsd ki a C! összeget! log 4. Határozd meg a. Számítsd ki az egyenlet valós megoldásait! összeg értékét, ha és az 4. Adott az f : 0,, f. Adottak az
RészletesebbenMatematika (Lineáris algebra és többváltozós függvények), NGB_MA002_2, 1. zárthelyi , 1A-csoport. Név:... Neptun:... Aláírás:...
Matematika (Lineáris algebra és többváltozós függvények), NGB_MA002_2, 1. zárthelyi 2015. 03. 11., 1A-csoport 1. Milyen parciális törtekre bontanánk az alábbi racionális törtfüggvényt? (Az együtthatókat
RészletesebbenKOORDINÁTA-GEOMETRIA
XIV. Témakör: feladatok 1 Huszk@ Jenő XIV.TÉMAKÖR Téma A pont koordinátageometriája A kör koordinátageometriája KOORDINÁTA-GEOMETRIA A projekt típus ú feladatok tartalmi szintézise A feladat sorszáma Oldal
Részletesebben10. Differenciálszámítás
0. Differenciálszámítás 0. Vázolja a következő függvények, és határozza meg az értelmezési tartomány azon pontjait, ahol nem differenciálhatóak: a, f() = - b, f()= sin c, f() = sin d, f () = + e, f() =
RészletesebbenMegoldások. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
Megoldások 1. Határozd meg az a és b vektor skaláris szorzatát, ha a = 5, b = 4 és a közbezárt szög φ = 55! Alkalmazzuk a megfelelő képletet: a b = a b cos φ = 5 4 cos 55 11,47. 2. Határozd meg a következő
RészletesebbenVektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Tekintsünk a térben egy P (p 1, p 2, p 3 ) pontot és egy v = (v 1, v 2, v 3 ) = 0 vektort. Ekkor pontosan egy egyenes létezik,
RészletesebbenVektorok és koordinátageometria
Vektorok és koordinátageometria Vektorral kapcsolatos alapfogalmak http://zanza.tv/matematika/geometria/vektorok-bevezetese Definíció: Ha egy szakasz két végpontját megkülönböztetjük egymástól oly módon,
RészletesebbenVektorgeometria (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Vektorgeometria (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. A térbeli irányított szakaszokat vektoroknak hívjuk. Két vektort egyenlőnek tekintünk, ha párhuzamos eltolással fedésbe hozhatók.
Részletesebben3 m ; a víz sodráé sec. Bizonyítsuk be, hogy a legnagyobb szöge 120 0 -os! α =. 4cos 2
3... Egyenes szíjhatás esetén milyen hosszú szíj szükséges 50 cmes és 6 cm-es sugarú tárcsák összekapcsolásához, ha a tárcsák tengelyeinek távolsága 335 cm? 3... Csónakkal akarunk a folyó túlsó partjára
Részletesebben15. Koordinátageometria
I. Elméleti összefoglaló Koordinátákkal adott vektorok 15. Koordinátageometria Ha a(a ; a ) és b(b ; b ) a sík két vektora, λ valós szám, akkor az a vektor hossza: a = a + a a két vektor összege : a +
RészletesebbenKoordináta - geometria I.
Koordináta - geometria I A koordináta geometria témaköre geometriai problémákat old meg algebrai módszerekkel úgy, hogy a geometriai fogalmaknak algebrai fogalmakat feleltet meg: a pontokat, vektorokat
RészletesebbenIV. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Feladatok november
IV. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Feladatok 9. november Határozatlan integrálás Elemi függvények integrálja 4.5. 4.6. 3 4.7. ( ) 4.8. ( ) 4.9. + 4 4.. ( + )( + ) 4.4. + ( + ) 4.5. 4.6. 6 5 + 5 ln + 4.8. cos cos sin
RészletesebbenKoordináta geometria III.
Koordináta geometria III. TÉTEL: A P (x; y) pont akkor és csak akkor illeszkedik a K (u; v) középpontú r sugarú körre (körvonalra), ha (x u) 2 + (y v) 2 = r 2. Ez az összefüggés a K (u; v) középpontú r
Részletesebben5. Analitikus térgeometria (megoldások) AC = [2, 3, 6], (z + 5) 2 következik. Innen z = 5 3. A keresett BA BC = [3, 2, 8],
(megoldások) 1. Alkalmazzuk a T 5. tételt: AB = [ 1, +, 0+] = [1, 1, ], AC = [,, 6], AD = [,, 9].. A P pontnak az origótól mért távolsága az OP helyvektor hosszával egyenl. OA = 4 + ( ) + ( 4) = 6, OB
RészletesebbenMinimum követelmények matematika tantárgyból 11. évfolyamon
Minimum követelmények matematika tantárgyból. évfolyamon A hatványozás általánosítása pozitív alap esetén racionális kitevőre. Műveletek hatványokkal. A, a 0 függvény. Az eponenciális függvény. Vizsgálata
RészletesebbenLineáris algebra Gyakorló feladatok
Lineáris algebra Gyakorló feladatok. október.. Feladat: Határozzuk meg a, 4b, c és a b c vektorokat, ha a = (; ; ; ; b = (; ; ; ; c = ( ; ; ; ;.. Feladat: Határozzuk meg a, 4b, a, c és a b; c + b kifejezések
RészletesebbenKoordinátageometria. , azaz ( ) a B halmazt pontosan azok a pontok alkotják, amelynek koordinátáira:
005-0XX Emelt szint Koordinátageometria 1) a) Egy derékszögű háromszög egyik oldalegyenese valamelyik koordinátatengely, egy másik oldalegyenesének egyenlete x + y = 10, egyik csúcsa az origó. Hány ilyen
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Koordinátageometria
1) MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Koordinátageometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
RészletesebbenLin.Alg.Zh.1 feladatok
Lin.Alg.Zh. feladatok 0.. d vektorok Adott három vektor ā (0 b ( c (0 az R Euklideszi vektortérben egy ortonormált bázisban.. Mennyi az ā b skalárszorzat? ā b 0 + + 8. Mennyi az n ā b vektoriális szorzat?
RészletesebbenMatematika A2 vizsga mgeoldása június 4.
Matematika A vizsga mgeoldása 03. június.. (a (3 pont Definiálja az f(x, y függvény határértékét az (x 0, y 0 helyen! Megoldás: Legyen D R, f : D R. Legyen az f(x, y függvény értelmezve az (x 0, y 0 pont
Részletesebben15. Koordinátageometria
I. Elméleti összefoglaló Koordinátákkal adott vektorok 15. Koordinátageometria Ha a(a ; a ) és b(b ; b ) a sík két vektora, λ valós szám, akkor az a vektor hossza: a = a + a a két vektor összege : a +
RészletesebbenEGYBEVÁGÓSÁGI TRANSZFORMÁCIÓK TENGELYES TÜKRÖZÉS
GEOMETRIA 1. Az A, B, C egy egyenes pontjai (ebben a sorrendben), AB szakasz 5 cm, BC szakasz 17 cm. F 1 az AB szakasz, F 2 a BC szakasz felezőpontja. Mekkora az F 1 F 2 szakasz? 2. Az AB és CD szakaszok
RészletesebbenMatematika II. Feladatgyűjtemény GEMAN012B. Anyagmérnök BSc szakos hallgatók részére
Matematika II. Feladatgyűjtemény GEMANB Anyagmérnök BSc szakos hallgatók részére Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia 6 . gyakorlat Matematika II.. Az alábbi f függvényeknél adja meg f -t! f() = + 5; (b) f()
RészletesebbenVIK A2 Matematika - BOSCH, Hatvan, 3. Gyakorlati anyag. Mátrix rangja
VIK A2 Matematika - BOSCH, Hatvan, 3. Gyakorlati anyag 2019. március 21. Mátrix rangja 1. Számítsuk ki az alábbi mátrixok rangját! (d) 1 1 2 2 4 5 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 0 1 1 2 1 0 1 1 1 1 2 3 1 3
Részletesebben(d) a = 5; c b = 16 3 (e) b = 13; c b = 12 (f) c a = 2; c b = 5. Számítsuk ki minden esteben a háromszög kerületét és területét.
Euklidész tételei megoldások c = c a + c b a = c c a b = c c b m c = c a c b 1. Számítsuk ki az derékszögű ABC háromszög hiányzó oldalainak nagyságát, ha adottak: (a) c a = 1,8; c b =, (b) c = 10; c a
RészletesebbenAnalitikus geometria c. gyakorlat (2018/19-es tanév, 1. félév) 1. feladatsor (Síkbeli koordinátageometria vektorok alkalmazása nélkül)
1. feladatsor (Síkbeli koordinátageometria vektorok alkalmazása nélkül) A tér egy σ síkjában vegyünk két egymásra mer leges egyenest, melyeket jelöljön x és y, a metszéspontjukat pedig jelölje O. A két
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Paraméter
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Paraméter A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
Részletesebbensin x = cos x =? sin x = dx =? dx = cos x =? g) Adja meg a helyettesítéses integrálás szabályát határozott integrálokra vonatkozóan!
Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Analízis II Határozatlan integrálszámítás g) t = tg x 2 helyettesítés esetén mivel egyenlő sin x = cos x =? g) t = tg x 2 helyettesítés esetén
RészletesebbenDebreceni Egyetem. Feladatok a Matematika II. tárgy gyakorlataihoz. Határozatlan integrál
Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Matematika II. tárgy gyakorlataihoz Határozatlan integrál. z alapintegrálok, elemi átalakítások és lineáris helyettesítések segítségével számítsuk
Részletesebben1.1. Feladatok. x 0 pontban! b) f(x) = 2x + 5, x 0 = 2. d) f(x) = 1 3x+4 = 1. e) f(x) = x 1. f) x 2 4x + 4 sin(x 2), x 0 = 2. általános pontban!
. Egyváltozós függgvények deriválása.. Feladatok.. Feladat A definíció alapján határozzuk meg a következő függvények deriváltját az x pontban! a) f(x) = x +, x = 5 b) f(x) = x + 5, x = c) f(x) = x+, x
RészletesebbenANALITIKUS MÉRTAN I. VEKTORALGEBRA. 1. Adott egy ABCD tetraéder. Határozzuk meg az alábbi összegeket: a) AD + BC = BD + AC.
ANALITIKUS MÉRTAN INFORMATIKA CSOPORT I. VEKTORALGEBRA 1. Feladatlap Műveletek vektorokkal 1. Adott egy ABCD tetraéder. Határozzuk meg az alábbi összegeket: a) AB + BD + DC; b) AD + CB + DC; c) AB + BC
Részletesebben5. előadás. Skaláris szorzás
5. előadás Skaláris szorzás Bevezetés Két vektor hajlásszöge: a vektorokkal párhuzamos és egyirányú, egy pontból induló félegyenesek konvex szöge. φ Bevezetés Definíció: Két vektor skaláris szorzata abszolút
RészletesebbenMATEMATIKA HETI 5 ÓRA
EURÓPAI ÉRETTSÉGI 2008 MATEMATIKA HETI 5 ÓRA IDŐPONT : 2008. június 5 (reggel) A VIZSGA IDŐTARTAMA: 4 óra (240 perc) MEGENGEDETT ESZKÖZÖK: Európai képletgyűjtemény Nem programozható, nem grafikus számológép
RészletesebbenGeometria II gyakorlatok
Geometria II gyakorlatok Kovács Zoltán Copyright c 2011 Last Revision Date: 2011. november 29. kovacsz@nyf.hu Technikai útmutató a jegyzet használatához A jegyzet képernyőbarát technikával készült, a megjelenés
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Vektorok I.
Vektorok I. DEFINÍCIÓ: (Vektor) Az egyenlő hosszúságú és egyirányú irányított (kezdő és végponttal rendelkező) szakaszoknak a halmazát vektornak nevezzük. Jele: v ; v; AB (ahol A a vektor kezdőpontja,
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Vektorok II.
Vektorok II. DEFINÍCIÓ: (Vektorok hajlásszöge) Két vektor hajlásszögének azt a φ (0 φ 180 ) szöget nevezzük, amelyet a vektorok egy közös pontból felmért reprezentánsai által meghatározott félegyenesek
RészletesebbenMegoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1
Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =
RészletesebbenMatematika (mesterképzés)
Matematika (mesterképzés) Környezet- és Településmérnököknek Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 1 / 29 Lineáris tér,
RészletesebbenLin.Alg.Zh.1 feladatok
LinAlgZh1 feladatok 01 3d vektorok Adott három vektor ā = (0 2 4) b = (1 1 4) c = (0 2 4) az R 3 Euklideszi vektortérben egy ortonormált bázisban 1 Mennyi az ā b skalárszorzat? 2 Mennyi az n = ā b vektoriális
Részletesebben1. Határozzuk meg, hogy mikor egyenlő egymással a következő két mátrix: ; B = 8 7 2, 5 1. Számítsuk ki az A + B, A B, 3A, B mátrixokat!
. Mátrixok. Határozzuk meg, hogy mikor egyenlő egymással a következő két mátrix: [ ] [ ] π a A = ; B = 8 7, 5 x. 7, 5 ln y. Legyen 4 A = 4 ; B = 5 5 Számítsuk ki az A + B, A B, A, B mátrixokat!. Oldjuk
RészletesebbenMatematika III előadás
Matematika III. - 2. előadás Vinczéné Varga Adrienn Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Előadáskövető fóliák Vinczéné Varga Adrienn (DE-MK) Matematika III. 2016/2017/I 1 / 23 paramétervonalak,
Részletesebben1. Folytonosság. 1. (A) Igaz-e, hogy ha D(f) = R, f folytonos és periodikus, akkor f korlátos és van maximuma és minimuma?
. Folytonosság. (A) Igaz-e, hogy ha D(f) = R, f folytonos és periodikus, akkor f korlátos és van maimuma és minimuma?. (A) Tudunk példát adni olyan függvényekre, melyek megegyeznek inverzükkel? Ha igen,
RészletesebbenGeometria II gyakorlatok
Geometria II gyakorlatok Kovács Zoltán Copyright c 2011 Last Revision Date: 2012. május 8. kovacsz@nyf.hu Technikai útmutató a jegyzet használatához A jegyzet képernyőbarát technikával készült, a megjelenés
RészletesebbenSzámítógépes Grafika mintafeladatok
Számítógépes Grafika mintafeladatok Feladat: Forgassunk a 3D-s pontokat 45 fokkal a X tengely körül, majd nyújtsuk az eredményt minden koordinátájában kétszeresére az origóhoz képest, utána forgassunk
Részletesebben0-49 pont: elégtelen, pont: elégséges, pont: közepes, pont: jó, pont: jeles
Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I. 2013. jan. 10. Név: Neptun kód: Idő: 180 perc Elm.: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. Fel. össz.: Össz.: Oszt.: Az elérhető pontszám 40 (elmélet) + 60 (feladatok)
RészletesebbenGyakorlo feladatok a szobeli vizsgahoz
Gyakorlo feladatok a szobeli vizsgahoz Függvények. Viszgaljuk meg, hogy az alabbi fuggvenyek kozuk melyik injektv, szurjektv, illetve bijektv? F : N N, n n b) F : Q Q, c) F : R R, d) F : N N, n n e) F
Részletesebben1. zárthelyi,
1. zárthelyi, 2009.10.20. 1. Írjuk fel a tér P = (0,2,4) és Q = (6, 2,2) pontjait összekötő szakasz felezőmerőleges síkjának egyenletét. 2. Tekintsük az x + 2y + 3z = 14, a 2x + 6y + 10z = 24 és a 4x+2y
RészletesebbenI. feladatsor. (t) z 1 z 3
I. feladatsor () Töltse ki az alábbi táblázatot: Komple szám Valós rész Képzetes rész Konjugált Abszolútérték 4 + i 3 + 4i 5i 6i 3 5 3 i 7i () Adottak az alábbi komple számok: z = + 3i, z = i, z 3 = i.
Részletesebbenb) Ábrázolja ugyanabban a koordinátarendszerben a g függvényt! (2 pont) c) Oldja meg az ( x ) 2
1) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) b) c) ( ) ) Határozza meg az 1. feladatban megadott, ; intervallumon
RészletesebbenMatematika II. 1 sin xdx =, 1 cos xdx =, 1 + x 2 dx =
Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika II Határozatlan Integrálszámítás d) Adja meg az alábbi alapintegrálokat! x n 1 dx =, sin 2 x dx = d) Adja meg az alábbi alapintegrálokat!
Részletesebben