5 1 6 (2x3 + 4) 7. 4 ( ctg(4x + 2)) + c = 3 4 ctg(4x + 2) + c ] 12 (2x6 + 9) 20 ln(5x4 + 17) + c ch(8x) 20 ln 5x c = 11

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "5 1 6 (2x3 + 4) 7. 4 ( ctg(4x + 2)) + c = 3 4 ctg(4x + 2) + c ] 12 (2x6 + 9) 20 ln(5x4 + 17) + c ch(8x) 20 ln 5x c = 11"

Átírás

1 Bodó Beáta ISMÉTLÉS. ch(6 d e (8 d ch (9 + 7 d ( d d sin (4 + d cos sin d 7 ( d INTEGRÁLSZÁMÍTÁS 7 6 sh(6 + c 8 e(8 + c 9 th( c 6 ( c = 7 4 ( c 7 ( c = 8 8 ( c 4 ( ctg(4 + + c = 4 ctg(4 + + c 7 ( (cos c = 6 cos6 + c + c = 4 ( c d ln c = ln( c ch(8 + sh(8 d 6 ln + sh(8 + c sh(e 4 + e 4 d 4 ch(e4 + + c ( sin + 7 cos d ln + 7 cos + c = 7 7 ln + 7 cos + c ln (ln 4 d + c = 4 4 ln4 + c 8 ln d 8 (ln c = ln 4 + c 9 + d atctg( + c = atctg( + c

2 Bodó Beáta ( + 4 d 4 arctg + c = ( arctg + c 6 + d 7 + d 7 ( 4 4 arctg + c = ( 4 arctg + c ( arctg ( + + d 4 arctg + ( d arctg + c = 7 ( arctg + c + c = ( arctg + + c + c = ( arctg + c 4 d arcsin ( + c d arcsin( + c 8 d arcsin( + c = 8 arcsin( + c 4 8 d arcsin( + + c = arcsin( + + c 9 d arcsin( + c = arcsin( + c 4 ch(4 ( + 6 sh(4 + c ( + sh(4 d (4 7 cos( + d (8 + ln( d arctg( d sin( + ( cos( + + c ( 8 + ln( c arctg( 6 ln c = arctg( 6 ln( c

3 Bodó Beáta RACIONÁLIS TÖRTFÜGGVÉNYEK INTEGRÁLÁSA 8 8. B 7 d ln 7 + c. B. B. B 4. B. B 6. B 7. B 8. B 9. B 4. B 4. B 4. B 9 d 9 ln 9 + c ( d ( c ( 7 d 66 ( 6 + c ( + 4 d 8 ( ( + + c 7 ( 4 6 d 7 6 ( ( 4 + c 6 ( d ( + 6 ln + c + ( d 6 ( 4 4 ( + c d arctg ( + + c d 7 arctg + 64 d 7 + d ( + + c = 7 arctg ( + + c ln c = ln( c 7 ln + + c = 7 ln( + + c d ln arctg ( + + c = ln( arctg ( + + c 4. B 8 + d ln arctg ( 4 + c = ln( ( arctg 4 + c

4 Bodó Beáta B + 6 d 7 ln ( 4 arctg 4 + c = 7 ln( ( 4 arctg 4 + c 4. B d ln arctg ( 46. B ( + + d 4 + ( B ( d ( + + c = ( ln( arctg + + c ( ln c 4 ( + 6 ln + c 48. Milen típusú racionális törtek összegére bontaná az alábbi törteket? A (a Bf( = B + 4 (b Bf( = + A B + C (c Bf( = 8 + A 4 + B + C + D (d Bf( = 6 A (8 + + B + c 8 + A (e Bf( = ( B + C + 6 A (f Bf( = ( B C ( + 4 A (g Bf( = B + + C ( + 7 A (h Bf( = ( + 8( B + C + + D + E ( + + F + G ( + (i Bf( = + A ( ( + + B + C ( + D + E ( (j Bf( = ( + ( + 9 ( 6 A + + B ( + + C ( + + D + E F + G ( H 6

5 Bodó Beáta 49. B. B + d ln ln + + c + 4 d + 4 = ( ( + = ( ( + ; 4 ln ln + + c +. B ( ( d ln ln 9 + c 48. B + 6 d ln + ln( ( 4 arctg 4 + c. B + d (ln ln + ln + + c B d ln + ( arctg + + c. B d = 4( + ( + = (4 + ( + ; ln + + ln c 6. B ( + ( + d ln( + + ln + + c ( + 9( 8 d ln ln( ( 9 arctg + c d ( + d d + ln + arctg + c ln ( + + c ( 4 ln( + 9 arctg 7 + c d ln + ln + + ( 8 arctg + c ( + ( + d ln( + + ( arctg + ln + ln + + c 6. B d ln + + c +

6 Bodó Beáta B 6. B 66. B 4 d + 9 ln 4 + c + d + 4 ln + + c 8 4 d ln 4 + c d + + = ( + ( = ( + ( ; ln ln + + c d + ln ln( + arctg + c d ln ln c INTEGRÁLÁS HELYETTESÍTÉSSEL 7. B e sin(e d cos(e + c; t = e 7. B 7. B 7. B 74. B cos( d sin( + c; t = + d arctg( + c; t = e cos (e d tg(e + c; t = e e d e e + c; t = d 4 6 ln c; t = 76. B sin ( d ctg( + c; t = cos( 77. B d sin( + c; t =

7 Bodó Beáta B 79. B 8. B 8. + d 6 ln + + c; t = e e d arcsin(e + c; t = e e (e + d (e + c; t = e + sin( d cos( + 4 cos( + 4 sin( + c; t = e + e d e ln( + e + c; t = e sin(ln d cos(ln( + sin(ln( + c; t = ln 84. e e + d e e + 4 ln(e + + c; t = e 8. e + d ln (e ln(e + + c; t = e 86. B arctg( d arctg( + arctg( + c; t = d ln + + c; t = d 4 8 ln + c; t = 89. B cos( d cos( + sin( + c; t = 9. e + e e + d ln(e + + arctg(e + c; t = e 9. e 8e e + 9e d ln(e + ln e + c; t = e 4 9. B d ( c; t = B + d 94. B ( 7 + d 9. B (4 + 9 d ( c; t = ( ( (7 + + c; t = 7 + ( c; t = + 9

8 Bodó Beáta B ( d 97. B sin( + d ( ( + + c; t = 4 + sin( + + cos( + + c; t = d ln ln + + c; t = e 4 d 4 e 4 + e 4 + c; t = d 9 ln ln + c; t = ( (9 + d ln + arctg( + c; t = e 8 e + 4 d ln(e + 4 ln(e + c; t = e e e e + 4e d 8 ln(e + ln e + c; t = e 7 ( ( + 6 d ln ln + c; t = d 7 6 arctg( 6 + c; t = (6e + + 7e e (e + 4(e + d ln(e arctg( e + c; t = e 7. + ( + 7( + 6 d ln ln c = ln ln( c; t = π ( 7 + d 886, 7; D = R; t = d, 7; D = ; ; t = + sin( d e d, 69; D = R; t = e + e = e ; D = ( ; ; t =

9 Bodó Beáta e e d e = 4, ; D = R {}; t = + d 4; D = ( ; ; t = + e + d, 86; D = R; t = e 4 e + d, 9; D = R; t = e IMPROPRIUS INTEGRÁL 6. B 7. B 8. B 9. B. B. B 4. B. B e 4. B e. B 6 d ; D = R {} d 8 ; D = R {} 4 d ; D = R {} ( + d ; D = R { } 7 d ; D = R {} d ; D = R {} d ; D = R {} ln d ln d 6. B e d ; D = (; (; ; D = (; (; ( 4 d 8 ; D = R {} ; D = R 7. B e 4+ d ; D = R

10 Bodó Beáta B. B. B ( d ; D = R + 4 d { 4 ; D = R } d, ; D = R d ; D = R {} 4 d ln(; D = R { ; } 4 + d d 4 + d e d 4. B d B ( + d π; D = R ; D = ( ; π; D = R 4π; D = R ; D = R d π; D = R + d π; D = R + + d ; D = (; + 8 ; D = ( ; d ; D = R { } ( + 4. B d ( + ; D = R { } B d ( + ; D = R { }

11 Bodó Beáta d ; D = R {} (4 4 d ( 6; D = R {} 4 d ( 4 ; D = ; π d ; D = ( ; π d 4 ; D = ( ; d π; D = ( ;. B ( + arctg d ; D = R {} 7. B ( + arctg d ; D = R {}. B e d ; D = R {} e e 6 ln d ln d ; D = (; ; D = (; (; ( π d 4 9 ; D = ; d ; D = ( ; d π; D = (; d π; D = (; π π cos sin d ; D = R {k π}; k Z cos sin d ; D = ( + k π; π + k π; k Z

12 Bodó Beáta ( ( d ( + ( 6 d ; D = R {6} ( 9 d, 7; D = R { } 6. d 9; D = R {} ( 66. d, 6; D = R {4} ( 4 4

13 Bodó Beáta VEKTOROK. B Legyen a( ; ; 4, b( ; ;, c(; 4;, d(8; ; 7. (a a 4c + 6d (; ; (b c + b 7a (8; ; 9 (c d c + b (; ; = 6, 6 (d 4a + 8b 7c ( 49; 44; = 74, 8. B Legyen a(, 7;, ; 4, 4, b(, ;, 7;, c(, ; 4;,, d(8, ;, 8;, 7. (a b + c a ( ;, 8; 8, (b 6c + d b (4, 9; 9; 6, (c d + a b ( 4;, ;, = 7, 8 (d b c a (, ; 4, ; 6, 7 =, 47. B Legyen a(; ; 8, b( ; 4;, c(; 4;, d(4; ;. (a Határozza meg a b vektor irányába mutató egységvektort! (b Határozza meg a a d vektor irányába mutató egységvektort! (c Határozza meg a c vektorral ellentétes irányú egységvektort! ( (d Határozza meg a d+b vektorral ellentétes irányú egységvektort! 4. B Legyen a(; 6; 8, b( ; ;, c( ; 4;, d(; ;. (a a, d (b b, 4c (c a, d + b ( 6 ; 6 ; 6 ( ; 8 7 ; 7 ( ; 4 ; 8 9 ; 4 9 ; (d d c + a, a + 4b 64. B Legyen a(; ;, b( ; ;, c(4; ;, d(; 4; 7. (a Mekkora szöget zárnak be az a és d vektorok?, (b Mekkora szöget zárnak be a b + a és c vektorok? 6, 79 (c Mekkora szöget zárnak be az a c és b vektorok? 6, 8 (d Mekkora szöget zárnak be a a d és c + b vektorok? 84, 64

14 Bodó Beáta 6. B Legyen a(; 4;, b(; ;, c(; ;, d( ; 4;, e(; ;. (a Milyen érték esetén lesz a d vektor merőleges az a vektorra? = 4 (b Milyen érték esetén lesz az e vektor merőleges az b + c vektorra? = 4 (c Milyen értékek esetén fognak a d és b vektorok hegyesszöget bezárni? < (d Milyen értékek esetén fognak az e és a b vektorok hegyesszöget bezárni? < (e Milyen értékek esetén fognak az e és c vektorok tompaszöget bezárni? > (f Milyen értékek esetén fognak a d és b + c vektorok tompaszöget bezárni? < 7. B Legyen a( ; ; 4, b(; 4; 7, c( ; 4; 4, d(6; ;. (a Bontsa ( fel az a vektort a c vektorral párhuzamos és merőleges összetevőkre! a p 9 ; 9 ; 9, a m ( 6 9 ; 9 ; 4 9 (b Bontsa ( fel a b vektort a d( vektorral párhuzamos és merőleges összetevőkre! b 86 p 4 ; 6 4 ; 4, b 9 m 4 ; 4 ; 8 4 (c Bontsa fel a c vektort az a vektorral párhuzamos és merőleges összetevőkre! c p ( 66 ; ; 88 (, c 6 m ; 4; (d Bontsa ( fel a d vektort ( a c vektorral párhuzamos és merőleges összetevőkre! d 4 p 9 ; 8 9 ; 8 9, d m 9 ; 6 9 ; 9 8. B Az ABCD paralelogramma két csúcsa A(; ; 4 és B( ; ;. Az átlók metszéspontja K(; ;. Határozza meg a másik két csúcs koordinátáit! C(; ;, D(6; ; 9. B Az ABCD paralelogramma két csúcsa B(; ; és C(8; ; 4. Az átlók metszéspontja K(; ;. Határozza meg a másik két csúcs koordinátáit! A(; ; 8, D(8; ;. B Az ABCD paralelogramma három csúcsa A(4; ; 4,B(6; 4; és C(7; ; 7. Határozza meg az átlók metszéspontját és a negyedik csúcs koordinátáit! K(, ;, ;,, D(; ; 6. B Az ABCD paralelogramma három csúcsa B( ; ; 4,C( 6; ; és D(; ; 8. Határozza meg az átlók metszéspontját és a negyedik csúcs koordinátáit! K(; ; 6, A(8; ;. B Az ABC háromszög egyik csúcsa A(; ;. Az AB oldal felezőpontja F (; 4;. Az AC oldal felezőpontja G(7; ; 4. Határozza meg a másik két csúcs koordinátáit! B( ; ;, C(9; 4;. B A KLM háromszög egyik csúcsa M(; ;. A KL oldal felezőpontja X(; ;. Az LM oldal felezőpontja Y (6; 4;. Határozza meg a másik két csúcs koordinátáit! L(7; ; 7, K( ; 4; 4. B Határozza meg az A( 7; ; 8 pont B(6; 4; pontra vonatkozó tükörképének koordinátáit és az AB szakasz felezőpontjának koordinátáit! A (9; 6;, F (, ; ; 6,

15 Bodó Beáta. B Határozza meg az X(; ; 6 pont Y ( ; 6; pontra vonatkozó tükörképének koordinátáit és az XY szakasz felezőpontjának koordinátáit! X ( 9; 4;, F (, ; ; 4, 6. Egy szabályos hatszög középpontja K(; ;, két szomszédos csúcsa A(; ; 6,B(; ;. Határozza meg másik négy csúcs koordinátáit! D(; ; 4, E(; 4;, C(; ; 4, F (; 4; 6 7. B Az ABC szabályos háromszög oldala egység hosszú. Mennyi AB, AC? 8. B Az EF G szabályos háromszög oldala egység hosszú. Mennyi EF, EG?, 9. Adott az ABC háromszög három csúcsa A(; ;,B(; ; és C( 7; ;. Határozza meg a háromszög kerületét és a B csúcsnál lévő szöget! k =, 8; 7,. Adott az EF G háromszög három csúcsa E(; ; 4,F ( ; ; és G(; 4;. Határozza meg a háromszög kerületét és a E csúcsnál lévő szöget! k =, ; 86, 88. Döntse el, hogy az a( ; ; 6, b(6; ; és c(; 6; vektorok kockát feszítenek-e ki! Válaszát indokolja! igen. Döntse el, hogy az a( 8; ; 4, b(; 4; 8 és c( 4; 8; vektorok kockát feszítenek-e ki! Válaszát indokolja! nem. B Határozza meg az AB szakasz A ponthoz közelebbi harmadolópontját! A(; ; 4,B(; ; (; ; 6 4. B Határozza meg az BC szakasz C ponthoz közelebbi harmadolópontját! B(7; ;,C( 4; ; ( ; 8 ;. B Határozza meg annak a X pontnak a koordinátáit, amely az AB szakaszt AX : XB ( = : arányban osztja! A( ; ; 6,B(4; ; 6 6 ; 8 ; 6 6. B Legyen a( ; 7; 8, b(; ;, c( ; ; 4, d(; 7; 9. (a a d ( 7; 6; (b (b c a (; 4; 4 (c (d + a (c b ( ; 4; 89 (d abc (e bda (f dcc 7. B Igazolja, hogy az a( ; 4;, b( ; ; 6 vektorok paralelogrammát feszítenek ki és számítsa ki a paralelogramma területét! T = 4, B Igazolja, hogy az c( ; 6;, d(4; ; vektorok paralelogrammát feszítenek ki és számítsa ki a paralelogramma területét! T =, 8 4

16 Bodó Beáta 4 9. B Igazolja, hogy az A(; ; 4, B(; 7; 9, C(; 7; pontok háromszöget alkotnak és számítsa ki a háromszög területét! T =, 9. B Igazolja, hogy az E( ; ;, F ( 7; 6; 4, G(6; ; 4 pontok háromszöget alkotnak és számítsa ki a háromszög területét! T = 6, 4. Vegyük az A( ; ; 4, B( ; ; 4, C(; 7; 8 pontokat. Legyen G az AC oldal felezőpontja. Számítsa ki az ABG háromszög területét és kerületét! T =, 9; k = 6, 9. Vegyük az A( ; ;, B( ; ; 4, C(; 4; pontokat. Legyen X pont az AB szakasz A ponthoz közelebbi harmadolópontja. Számítsa ki az AXC háromszög területét és kerületét! T =, ; k =, 9. Igazolja, hogy az A(; ; 4, B(; ; 4, C(6; 7; pontok háromszöget alkotnak. Számítsa ki a háromszög területét, a B csúcshoz tartozó magasságot és a C csúcsnál lévő szöget! T =, 6; m b =, 4; 6, Igazolja, hogy az K(; ; 4, L(; ; 4, M(6; ; pontok háromszöget alkotnak. Számítsa ki a háromszög területét, a K csúcshoz tartozó magasságot és a L csúcsnál lévő szöget! T =, 7; m k =, 6;, 8. B Egysíkuak-e az a( ; ;, b(; 4;, c( ; ; vektorok? nem 6. B Egysíkuak-e az a(; ;, b( ; ; 4, c( ; ; vektorok? igen 7. B Igazolja, hogy az a( ; ; 4, b( ; ;, c(4; 6; vektorok paralelepipedont feszítenek ki és számítsa ki a paralelepipedon térfogatát! V = 8 8. B Igazolja, hogy az a(; 6; 8, b( ; ; 4, c(; ; vektorok paralelepipedont feszítenek ki és számítsa ki a paralelepipedon térfogatát! V = 6 9. B Vegyük az A( ; ; 4, B(; ; 4, C(; 7;, D(6; 4; pontokat. Igazolja, hogy ezek a pontok tetraédert határoznak meg és számítsa ki a tetraéder térfogatát! V = 9, 8 4. B Vegyük az A(6; ; 4, B( ; 4;, C(; 4;, D(6; 4; pontokat. Igazolja, hogy ezek a pontok tetraédert határoznak meg és számítsa ki a tetraéder térfogatát! V = 89, 4. Vegyük az A( ; 4; 4, B(; 6;, C(; 7;, D(7; 8; pontokat. Igazolja, hogy ezek a pontok tetraédert határoznak meg, számítsa ki a tetraéder térfogatát és a D csúcshoz tartozó magasság hosszát! V = 6, ; m = 4, Egy tetraéder csúcsai A( ; 6;, B(; ;, C(; 6;, D( ; ;. Számítsa ki a tetraéder térfogatát és a D csúcshoz tartozó magasság hosszát! V = 8, ; m = 6, 4. Az ABCD tetraéder térfogata egység. Adottak az A(; ;, B(; ;, C(; ; csúcsok. Határozza meg a D csúcs koordinátáit, ha tudjuk, hogy az y tengelyen található! (; ;, (; 9 ; 44. Egy kockát kifeszítő három vektor közül kettő a(6; ;, b( ; 6;. Határozza meg a harmadik vektort! c(; ; 6, c( ; ; 6

17 Bodó Beáta 4. Adott: A(; ;, B(9; 4; 8, C(4; ; e : = + 4t, y = t, z = 6 + t, t R, f : + 6 = y + = z +. 9 (a B Írja fel az A és B pontok által meghatározott egyenes paraméteres és paraméter nélküli egyenletrendszerét! A pontra felírva: = + 7t, y = + t, z = + t, t R; 7 = y+ = z (b B Döntse el, hogy az A és B pontok illeszkednek-e az e egyenesre! A nem, B igen (c B Írja fel az A pontra illeszkedő f egyenessel párhuzamos egyenes paraméteres és paraméter nélküli egyenletrendszerét! = + t, y = t, z = + t, t R; = y+ = z (d Írja fel a C pontra illeszkedő e és f egyenesre merőleges egyenes paraméteres egyenletrendszerét! = 4 t, y = t, z = + t, t R (e Írja fel az ABC háromszög síkjára merőlegess B ponton áthaladó egyenes paraméteres egyenletrendszerét! = 9 4t, y = 4 + 8t, z = 8 + 6t, t R (f B Írja fel az A pontra illeszkedő e egyenesre merőleges sík egyenletét! 4 y + z 6 = (g B Írja fel az A, B és C pontok által meghatározott sík egyenletét! 4 + 8y + 6z + 6 = (h B Határozza meg az e és f egyenesek helyzetét a térben! Ha van metszéspont, adja meg a koordinátáit! kitérőek 46. Írja fel az A(; ;, B(4; ; 7, C(8; ; csúcspontú háromszög A csúcsából induló súlyvonalának paraméter nélküli egyenletrendszerét! A pontra felírva : = y+ = z 47. B Írja fel az A(4; ; 4 pontra illeszkedő tengellyel párhuzamos egyenes paraméteres egyenletrendszerét! = 4 + t, y =, z = 4, t R ( tengely irányvektora (;; 48. B Írja fel az A(; ; 4 pontra illeszkedő y síkra merőleges egyenes paraméteres egyenletrendszerét! =, y =, z = 4 + t, t R (y sík egyenlete z=, normálvektora (;; 49. B Írja fel az CD szakasz felezőpontján átmenő z tengellyel párhuzamos egyenes paraméteres egyenletrendszerét, ha C(; 8; 4, D( 6; 4;! =, y = 6, z = + t, t R (z tengely irányvektora (;;. Adott: A(; 4;, B(4; ; 7, C( ; ;, e : = + t, y = t, z = + t, t R, S : z = 4y + 4. (a Határozza meg annak a síknak az egyenletét, amely átmegy az origón, párhuzamos az e egyenessel és merőleges az S síkra! + y + 4z =

18 Bodó Beáta 6 (b Határozza meg az A pont és az e egyenes síkjának egyenletét! + 7y z + 9 = (c B Határozza meg az e egyenes és az z sík metszéspontját! (, ; ;, (z sík egyenlete: y= (d B Határozza meg annak a síknak az egyenletét, amely illeszkedik a B pontra és merőleges az e egyenesre! y + z + = (e B Határozza meg annak a síknak az egyenletét, amely átmegy az C ponton és párhuzamos az és y tengellyel! z = (f B Határozza meg annak az egyenesnek a paraméteres egyenletét, amely átmegy a B ponton és merőleges az y és z tengelyekre! = 4 + t, y =, z = 7, t R (g B Határozza meg annak a A pontra illeszkedő síknak az egyenletét, amely merőleges az y tengelyre! y + 4 = (y tengely irányvektora (;;. Adja meg annak az S síknak az egyenletét, amely átmegy a P (; ; ponton és illeszkedik az y tengelyre! S: -+z= (y tengely irányvektora (;;. B Írja fel az B(; ; pontra illeszkedő zy síkra merőleges egyenes paraméteres egyenletrendszerét! = + t, y =, z =, t R (yz sík egyenlete =, normálvektora (;;. Adja meg annak az S síknak az egyenletét, amely átmegy a C(; 4; 7 ponton és merőleges az S : y z = és S : 4 y + z = síkokra! S : + y z = 9 4. Az ABC háromszög csúcsai A(4; ; 6, B(; 4;, C(; ;. (a B Határozza meg az ABC háromszög síkjának egyenletét! 7 y 6z 84 = (b B Határozza meg annak a síknak az egyenletét, amely illeszkedik a C pontra és merőleges az AB oldalra! y z 8 = (c B Írja fel a A pontra illeszkedő BC oldallal párhuzamos egyenes paraméter nélküli egyenletét! y+ = z 6 6, = 4. Adott: D( 4; ;, E(; ;, F (; ;, m : = t, y = 4, z = + t, t R, n : + = y 4 = z+, S : + y = z +, S : 4 y + z + =. (a B Döntse el, hogy az E pont illeszkedik-e az S síkra! nem (b B Írja fel a E pontra illeszkedő m egyenessel párhuzamos egyenes paraméteres és paraméter nélküli egyenletrendszerét! = t, y =, z = + t, t R; = z, y = (c B Írja fel az D pontra illeszkedő S síkkal párhuzamos sík egyenletét! + y z + 7 = (d B Írja fel az F pontra illeszkedő yz síkkal párhuzamos sík egyenletét! =,(az yz sík egyenlete: =, normálvektora (;;

19 Bodó Beáta 7 (e B Írja fel az DEF háromszög síkjának az egyenletét! + 4y + 4z + 6 = (f Írja fel az F pont és az n egyenes síkjának az egyenletét! 6y + z + = (g B Határozza meg az n egyenes és az S sík helyzetét a térben! Ha van döféspont, adja meg a koordinátáit! az egyenes döfi a síkot, döféspont ( 79 8 ; 4 ; 7 8 (h B Határozza meg az m egyenes és az S sík helyzetét a térben! Ha van döféspont, adja meg a koordinátáit! az egyenes döfi a síkot, döféspont ( 7 ; 4; 7 (i Határozza meg az S és S síkok metszésvonalát! = + t, y = t, z = 7 t, t R, ahol ( ; ; 7 a metszésvonal tetszőleges pontja 6. B Határozza meg az alábbi egyenesek e : = + t, y = + t, z = t, t R és f : = + t, y = + t, z = t, t R helyzetét a térben! Ha van metszéspont, adja meg a koordinátáit! az egyenesek metszik egymást, metszéspont (-;-; 7. B Határozza meg az alábbi egyenesek a : = 6 + t, y = + t, z = 9 + t, t R és f : = y + 8 = y + helyzetét a térben! Ha van metszéspont, adja meg a koordinátáit! 4 6 az egyenesek kitérőek 8. B Határozza meg az m : = 8 + t, y = t, z = + t, t R egyenes és az S : 4 y + z = sík helyzetét a térben! Ha van döféspont, adja meg a koordinátáit! az egyenes döfi a síkot, döféspont (;; 9. B Határozza meg az f : = + t, y = + t, z = t, t R egyenes és az y sík helyzetét a térben! Ha van döféspont, adja meg a koordinátáit! az egyenes döfi a síkot, döféspont (-;-; 6. B Határozza meg az n : = t, y = +t, z = +t, t R egyenes és S : y+z = sík helyzetét a térben! Ha van döféspont, adja meg a koordinátáit! az egyenes párhuzamos a síkkal 6. Határozza meg az S : + y = z + 7 és S : + y z = 4 síkok kölcsönös helyzetét! Ha a síkok nem párhuzamosak, határozza meg a két sík metszésvonalát! = t, y = + t, z = t, t R 6. Határozza meg az S : + z = y + 6 és z síkok kölcsönös helyzetét! Ha a síkok nem párhuzamosak, határozza meg a két sík metszésvonalát! z sík egyenlete:y = ; t R 6. B Határozza meg az A(4;, pont és az f : = t, y = 4 + t, y = 6, t R egyenes távolságát! 7, 64. B Milyen messze van a D( ;, pont az S : y = z 6 síktól?, 6. Az ABCD csúcspontú tetraéderben határozza meg az AB és CD oldalegyenesek távolságát! A(; ;, B(; ;, C(; ;, D(; ;, 79

20 Bodó Beáta B Határozza meg az e : = + t, y = 4t, z = t, t R és az f : 8 4 = z egyenesek hajlásszögét! 6, 6 = y+ 67. Határozza meg mekkora szöget zár be az ABCD tetraéderben az AD oldal egyenese az ABC oldallap síkjával!a(; ;, B(; ;, C(; ;, D(; ; B Határozza meg az S : 7y = és S : y = 4 + z + 6 síkok hajlásszögét! Határozza meg az ABCD paralelegramma az AB oldalához tartozó magasságát! A(; ; 7, B(; 6;, C(4; ; 9, D(; ;, Adott: A(4; ;, B(; ;, e : = t, y = 4 + t, z = 4 t, t R, f : 4 = y = +z, S : + z = y, S : + y = 6z + 8. (a B Határozza meg az A és B pontok távolságát! (b B Határozza meg az A pont és az e egyenes távolságát! 6, 46 (c B Határozza meg a B pont és az f egyenes távolságát! 4, 6 (d B Határozza meg az e pont és f egyenesek távolságát! 4, 8 (e B Határozza meg a B pont távolságát az S síktól!, (f B Határozza meg az A pont távolságát az S síktól!, 4 (g B Határozza meg az S és S síkok kölcsönös helyzetét! Ha a síkok párhuzamosak, határozza meg a távolságát!, 7. B Határozza meg az S : + z = y sík és az m : = + t, y = t, z = t, t R egyenes távolságát!, 6 7. Határozza meg az a : = +t, y = t, z =, t R és b : = 4 u, y = +u, z = u,u R egyenesek távolságát! 7. Határozza meg az e : = + t, y = t, z = + t, t R és f : = 7 u, y = + u, z = + u, u R egyenesek távolságát! az egyenesek metszik egymást 74. B Határozza meg az e : = 4, y = 4t, z = + t, t R és az y tengely hajlásszögét! 6, 6 7. Határozza meg a paralelogramma átlóinak hajlásszögét! A(; ;, B(; 4;, C(; ; 6, D( ; ; 7, B Határozza meg az S : z = + 4y és az z sík hajlásszögét!, B Határozza meg az S : + y + z = sík és az p : = y = z egyenes hajlásszögét!8, 78. Az ABCD tetraéderben határozza meg az ABC és a BCD oldallapok által bezárt szöget! A(4; 7; 6, B(; ;, C( ; ;, D(4; ; 8,

21 Bodó Beáta Adott az ABCD tetraéder:a(4; 6;, B(; ;, C( ; 6;, D(; 4;. (a Írja fel az B pontra illeszkedő ACD síkkal párhuzamos sík egyenletét! + y + z + = (b Írja fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely párhuzamos a CD egyenessel és áthalad az AB oldal felezőpontján! = + 6t, y =, t, z =, t R (c Határozza meg az BC és AD oldalegyenesek távolságát! 4, 9 (d Határozza meg a C pont távolságát az ABD síktól! 4, 4 (e Határozza meg AC oldal egyenese az ABD oldallap síkjának hajlásszögét! 6, (f Határozza meg az ACD és a BCD oldallapok által bezárt szöget! 74, 7

22 Bodó Beáta. Legyen A = (a B B C T MÁTRIXOK, B = , C = ( 7 9, D = ( 4 (b B 4A 6B nem lehet (c B AB (d B BC (e B A (f B AC nem lehet ( 6 4 (g B D D (h B B T C ( 7 (i B (D + D T ( (i B det(d 4 (j B det(a (. Legyen A = 4, B =, C =, D = ( ( 4 4 E =, F =. 6 (a B (b B CD DC ( 69,.

23 Bodó Beáta (c (A B T T (d B A T C 8 8 (e B (A + BD nem lehet 9 (f B (A BD T 7 (g B E 4F T 6 4 ( (h B (E T F ( 87 (i B D T + C (j B det(e T + F 4 (k det(e F 49 (l det(a T + B 7 4. B Legyen G = 4, H = 7. Határozza meg azt az X mátriot, amelyre G + X = H! B Legyen M = ( mátriot, amelyre N + X = M!. B Oldja meg a 6. B Oldja meg a, N = ( Határozza meg azt az X ( = egyenletet! ; = egyenletet! 4;

24 Bodó Beáta 7. B Hogy kell megválasztani az számot, hogy a ; 8. B Hogy kell megválasztani az számot, hogy a 9. B Oldja meg a. B Oldja meg a determináns értéke legyen? determináns értéke legyen? ; 6 = egyenletet! 6 = egyenletet! ;. Számítsa ki az alábbi mátriok determinánsát! 7 4 (a A = (b B = B Bizonyítsa be, hogy a c (; és c (4; vektorok lineárisan függetlenek! csak az α =, α = triviális megoldás létezik, tehát lineárisan függetlenek. B Vizsgálja meg, hogy az + ; + 6; függvények lineárisan függetlenek-e? csak az α =, α =, α = triviális megoldás létezik, tehát lineárisan függetlenek 4. B Döntse el, hogy a v (; ;, v ( ; ; és v (8; ; vektorok lineárisan függetlenek-e! α = t, α = t, α = t, tehát a vektorok lineárisan összefüggőek. B Döntse el, hogy a u = 4, u = 4 és u = vektorok lineárisan függetlenek-e! csak az α =, α =, α = triviális megoldás létezik, tehát lineárisan függetlenek 6. B Előállítható-e ( a ( c vektor az, y( vektorok lineáris kombinációjaként? 9 =, y =, c = 4 + y = c

25 Bodó Beáta 4 7. B Előállítható-e az ( 7; vektor az c(;, d(6; 4 vektorok lineáris kombinációjaként? nem 8. Előállítható-e a d vektor az a, b, c vektorok lineáriskombinációjaként? 4 a =, b =, c =, d = 4 a b c = d Előállítható-e a d vektor az a, b, c vektorok lineáris kombinációjaként? a = (; ;, b = ( 4; ;, c = (; ; 7, d = ( 7; ;. 4a + b c = d. Oldja meg az alábbi egyenletrendszert! + y + z = y + z = y + z =. Oldja meg az alábbi egyenletrendszert! y z = + y z = + y + z =. Oldja meg az alábbi egyenletrendszert! + y + z = 7 + y + z = + y + z = 6. Oldja meg az alábbi egyenletrendszert! 7 y + z = 8 y + z = 4 + 6y 4z = 4. Oldja meg az alábbi egyenletrendszert! y + z = 4 + y z = y + z = 6. Oldja meg az alábbi egyenletrendszert! + y z = + y = + y + z = 4 6. Oldja meg az alábbi egyenletrendszert! + y z + 4v = 4 4y + z + v = y + z v = 4 y + z + v = =, y =, z = = + t, y = t, z = t, t R =, y =, z = az egyenletrendszernek nincs megoldása = 4 t, y = 4 7t, z = t, t R = 7 9, y = 9, z = =, y =, z =, v =

26 Bodó Beáta 7. Oldja meg az alábbi egyenletrendszert! y z + 4v = + y + z v = 7 + y + z + v = 6 4y z + v = 7 8. Oldja meg az alábbi egyenletrendszert! = + 4 = + + = 4 = 9. Oldja meg az alábbi egyenletrendszert! = + 4 = = = =, y =, z =, v = az egyenletrendszernek nincs megoldása =, ; = ; =, ; 4 =. Oldja meg az alábbi egyenletrendszert! + 4 = = = 4 = + t, ; = 7t; = + t; 4 = t; t R =. Oldja meg az alábbi egyenletrendszert! = = 9, + 4 = = =, ; = ; =, ; 4 =. Döntse el, hogy létezik-e inverze az alábbi mátrioknak! 4 (a B A = det(a =, létezik a mátri inverze 4 (b B B = 8. B Miyen értékek esetén nincs inverze az A = 4. B Miyen értékek esetén van inverze az A = det(b =, nem létezik a mátri inverze mátrinak? = 7 8 mátrinak?

27 Bodó Beáta 6. Igazolja, hogy a mátrinak létezik inverze és határozza meg az inverz mátriot! ( 4 (a B A = det(a =, létezik a mátri inverze; A = (b B B = (c C = (d D = (e E = (f F = (g G = ( ( 4 ( det(a =, létezik a mátri inverze; A = det(c =, létezik a mátri inverze; C = det(d = 6,létezik a mátri inverze; D = det(e =,létezik az inverz; E = det(f =, létezik a mátri inverze; F = det(g = 6, létezik a mátri inverze; G = 6. Határozza meg a mátri sajátértékeit! ( 9 4 (a B A = (b B B = (c C = ( λ = ; λ = λ = λ = λ = ; λ = ; λ =

28 Bodó Beáta 7 7. Határozza meg a mátri sajátértékeit és sajátvektorait! ( (a A = ( ( t λ =, s = = t, t R, t ; λ t = 4, s = ( (b B = 4 ( ( t λ =, s = = t t (c C = ( λ = 4, s = ( t t = t ( ( (d D = 4 ( ( t λ =, s = = t t (e E = 4 6 λ = λ =, s = t + u u t, t R, t ; λ =, s =, t R, t ; λ =, s =, t R, t ; λ =, s = ( t t ( 4 t t ( t t ( 4 t t, t, u R, t, u ; λ = 8, s = = t = t ( 4 = t = t ( 4 t t t ( (, t R, t, t R, t = t, t R, t, t R, t 8. Határozza meg az B B T mátri sajátértékeit és determinánsát! ( B = λ 4 = ; λ = 9; det(b B T = Határozza meg az (A T B mátri sajátértékeit és determinánsát! ( ( A =, B = λ = 6, 77; λ = 4, ; det((a T B =, t R, t

29 Bodó Beáta Többváltozós függvények. Ábrázolja az f(, y = y, D(f = R függvény c = ; ; ; ; magasságokhoz tartozó szintvonalait! c=-, c=-,c=,c=,c=. Határozza meg az f(, y = ln( y függvény értelmezési tartományát! y <. Határozza meg az f(, y = 4 y + e y függvény értelmezési tartományát! + y 4

30 Bodó Beáta 4. Határozza meg az f(, y = y + y függvény értelmezési tartományát! y. Határozza meg az f(, y = 4 + y 9 ln(y függvény értelmezési tartományát! + y 9; y > + ; értelmezési tartomány 6. Határozza meg az f(, y = ln( + y + + y + függvény értelmezési tartományát! y > ; y ; értelmezési tartomány

31 Bodó Beáta 7. Határozza meg az f(, y = ln(y+ + függvény értelmezési tartományát! y +6 y > ; + y < 6; értelmezési tartomány 8. Határozza meg az f(, y = ln( 4 + y + y 4 függvény értelmezési tartományát! ( + (y + > 9;kör:középpont(;, sugár r = 9. Határozza meg az f(, y = arccos( + y 4y függvény értelmezési tartományát! + (y 4; + (y 6; értelmezési tartomány. Határozza meg az f(, y = sin(y függvény parciális derivált függvényeit! f (, y = sin(y ; f y (, y = cos(y. Határozza meg az f(, y = y y függvény parciális derivált függvényeit! f (, y = y y = y y ; f y (, y = y = y

32 Bodó Beáta 4. Határozza meg az f(, y = e y függvény parciális derivált függvényeit! f (, y = e y = e y ; f y (, y = e y = e y. Határozza meg az f(, y = (y y 4 függvény parciális derivált függvényeit! f (, y = (y y 4 (y = 6y(y y 4 ; f y (, y = (y y 4 ( 4y = (y y 4 ( 4y 4. Határozza meg az f(, y = y + 7 függvény parciális derivált függvényeit! f (, y = y + 7 (y = y y + ; 7 f y (, y = y + y 7 ( y + = y + 7. Határozza meg az f(, y, z = y z + y + 6z függvény parciális derivált függvényeit! f (, y, z = y z = y z + 4 ; f y (, y, z = z y + + = yz ; f z (, y, z = y = y Határozza meg az f(, y = y függvény parciális derivált függvényeit! f (, y = y y, ( ; f y (, y = y ln(y, ( y 7. Határozza meg az f(, y = ln( + y függvény parciális derivált függvényeit! f (, y = + y ( y y = + y ; f y (, y = + y ( + y4 = y4 + y y 8. Határozza meg az f(, y = y 4 függvény parciális derivált függvényeit! + ( y ( y 4 + y (y 4 + f (, y = ( y 4 + = y 4 + y y4 y ; ( y 4 + f y (, y = ( y y ( y 4 + y ( 4y + ( y 4 + = y( y 4 + y 4 y y ( y Írja fel az f : R R : f(, y = y + y függvény érintőjének egyenletét az (; pontban! f (, y = y; f y (, y = + 4y;érintősík egyenlete: y z 4 =. Írja fel az f : R R : f(, y = 6 y függvény érintőjének egyenletét az (; 4 pontban!

33 Bodó Beáta f (, y = 6 y ; f y y(, y = ;érintősík egyenlete: 6 y y z + 9 =. Írja fel az f : R R : f(, y = ln( y + függvény érintőjének egyenletét az (; pontban! + y z + ln( = ; + y z + ln( e =. Írja fel az f : R R : f(, y = e y függvény érintőjének egyenletét az ( ; pontban! f (, y = e y ; f ( ; = e = e ; f y(, y = ye y ; f y ( ; = e = e ;érintősík egyenlete: e e y z + e szorozva: + y + ez = = ; e vel. Határozza meg az f : R R : f(, y = y y függvény u(; irányú iránymenti deriváltját a (; pontban! f u (; = 8 4. Határozza meg az f : R R : f(, y = e y ye függvény u( ; irányú iránymenti deriváltját a (; pontban! f (, y = e y ye ; f y (, y = e y e ; f u ( ; = 7 9. Határozza meg az f : R R : f(, y = ( + y függvény u(; irányú iránymenti deriváltját a P (; pontban! f u (; = 8 6. Határozza meg az f : R R : f(, y = ln( + y függvény gradiensét a (; pontban! grad f (; = f(; = (, 7. Határozza meg az f : R R : f(, y = ln + y függvény gradiensét a (; 4 pontban! f(, y = ln + y = ln( + y = ln( + y ; f (, y = ; f +y y (, y = y ; grad +y f (; 4 = f(; 4 = (, 4 8. Határozza meg az f : R R : f(, y = e sin(y függvény másodrendű parciális deriváltjait! f (, y = e sin(y; f y (, y = e cos(y; f, (, y = 9 4 e sin(y; f,y (, y = 9 e cos(y; f y, (, y = 9 e cos(y; f y,y (, y = 9e sin(y 9. Határozza meg az f : R R : f(, y = e y függvény másodrendű parciális deriváltjait! f (, y = e y + y e y = ( + y e y ; f y (, y = y e y ; f (, y = ( + y e y + ( + y e y y ; f y (, y = ( ye y + ( + y e y y; f y (, y = 6 ye y + y e y ; f yy (, y = e y y e y. Legyen f : R R : f(, y = y +y 8+y. Számítsa ki f y (, y parciális deriváltat! f (, y = y + y 8; f (, y = 6y ; f y (, y = y. Legyen f : R R : f(, y, z = e y +yz +yz. Számítsa ki f zy (, y, z parciális deriváltat! f z (, y, z = yz + y; f z (, y, z = y; f zy (, y, z =

34 Bodó Beáta 6. Legyen f : R R : f(, y, z = sin( +y z. Számítsa ki f z (, y, z parciális deriváltat! f (, y, z = cos( + y z ; f (, y, z = cos( + y z 4 sin( + y z ; f z (, y, z = 4z sin( + y z + 8 z cos( + y z. Legyen f : R R : f(, y, z = arctg( 6 y + sin(z 4 y z + cos 8 (z. Számítsa ki f zy (, y, z parciális deriváltat! f z (, y, z = z cos(z 4 y z 4 8(cos(z 7 sin(z; f zy (, y, z = 4 yz 4 ; f zy (, y, z = 4 yz 4 4. Határozza meg hol és milyen szélsőértéke van az f(, y = + 4y + y + 6 kétváltozós függvénynek! D(f = R f (, y = 4 + y; f y (, y = + 8y stacionárius pontok:(; f (, y = 4; f y (, y = ; f y (, y = ; f yy (, y = 8 (; -lokális minimumhely; f(; = 6. Határozza meg hol és milyen szélsőértéke van az f(, y = y y kétváltozós függvénynek! D(f = R f (, y = y ; f y (, y ( = y stacionárius pontok:(;, 6 ; f (, y = 6; f y (, y = ; f y (, y = ; f yy (, y = (; ( - nem szélsőérték hely 6 ; -lokális maimumhely;f ( 6 ; = 4 6. Határozza meg hol és milyen szélsőértéke van az f(, y = y y kétváltozós függvénynek! D(f = R f (, y = y; f y (, y = y stacionárius pontok:(;, ( ; f (, y = 6; f y (, y = ; f y (, y = ; f yy (, y = 6y (; - nem szélsőérték hely ( ; -lokális maimumhely;f ( ; = 7. Határozza meg hol és milyen szélsőértéke van az f(, y = +y + kétváltozós függvénynek! y A függvény értelmezési tartománya az egész sík, kivéve a koordinátatengelyek pontjait, hiszen a nevező miatt sem, sem y nem lehet nulla. f(, y = + y + y = + y + y f (, y = y ; f y(, y = y y stacionárius pontok:( ;, (; f (, y = + 4 y ; f y(, y = y ; f y (, y = y ; f yy (, y = + 4 y ( ; -lokális minimumhely;f ( ; = 4 (; -lokális minimumhely;f (; = 4

35 Bodó Beáta 7 8. Határozza meg az f(, y = y( y függvény kétszeres integrálját a { (, y R : ; y } tartományon! Megoldás: ( ( ( y y d dy = ( y y dy d ( y y dy = y4 4 y = 4 y 4 y = 4 ( ( y y dy d = (4 d = 4 = 7 9. Határozza meg az f(, y = y függvény kettősintegrálját a { (, y R : ; y } tartományon! Megoldás: ( (y dy d (y dy = ( (y dy y d = 4. Határozza meg az f(, y = tartományon! Megoldás: 7 ( 7 ( 7 = ( + y 4 dy d = y = ( d = 4 4 = ( + y 4 függvény kettősintegrálját a { (, y R : 7; y } ( 7 ( + y 4 d 7 ( + y 4 d = ( + y 4 d = 7 ( + y = (7 + y + ( ( + y 4 d dy = (7 + y + ( + y dy = ( (7 + y + ( + y dy = 6 dy (7 + y 6 ( + y ( + y = Határozza meg az f(, y = +8y függvény kettősintegrálját a { (, y R : ; y } tartományon! Megoldás: ( ( + 8y dy d ( + 8y dy = y + 8 y = y + 4y = ( + 8y dy d = ( d = = (

36 Bodó Beáta Határozza meg az f(, y = y +4 függvény kettősintegrálját a { (, y R : ; y + } tartományon! Megoldás: ( + (y + 4 dy d + ( + (y + 4 dy = y y = y + 4y + = ( (y + 4 dy d = d = = 9 4. Határozza meg az f(, y = y függvény kétszeres integrálját az y = és y = függvények által közrezárt tartományon! Megoldás: Tartomány= { ( (, y R : ; y } ( 4 ( y dy (y dy = ( y dy d y y d = = y y = ( d = Határozza meg az f(, y = y + 4 függvény kétszeres integrálját az y = és y = 4 függvények által közrezárt tartományon! Megoldás: Tartomány= { (, y R : ; y 4 } ( 4 (y + 4 dy d 4 (y+4 dy = y + 4 y 4 4 = y + 4 y = = ( 4 ( (y + 4 dy d = d = = 96

37 Bodó Beáta 9 4. Határozza meg az f(, y = + y függvény kétszeres integrálját az y = 4 és y = függvények által közrezárt tartományon! Megoldás: Tartomány= { (, y R : ; 4 y } ( ( + 4 y dy d ( + 4 y dy = y + y y = ( ( + ( 4 y dy d = d = = 7, Határozza meg az f(, y = 4 y függvény kétszeres integrálját az y = és y = függvények által közrezárt tartományon! Megoldás: Tartomány= {(, y R : ; y } ( ( (4 y dy d (4 y dy = 4y y = (4 y ( dy d = d = =, 79

VEKTOROK. 1. B Legyen a( 3; 2; 4), b( 2; 1; 2), c(3; 4; 5), d(8; 5; 7). (a) 2a 4c + 6d [(30; 10; 30)]

VEKTOROK. 1. B Legyen a( 3; 2; 4), b( 2; 1; 2), c(3; 4; 5), d(8; 5; 7). (a) 2a 4c + 6d [(30; 10; 30)] Bodó Beáta 1 VEKTOROK 1. B Legyen a( ; 2; 4), b( 2; 1; 2), c(; 4; 5), d(8; 5; 7). (a) 2a 4c + 6d [(0; 10; 0)] (b) c + b 7a [(18; 15; 29)] (c) 2d c + b [ (5; ; ) = 6, 56] (d) 4a + 8b 7c [ ( 49; 44; 5) =

Részletesebben

I. feladatsor. 9x x x 2 6x x 9x. 12x 9x2 3. 9x 2 + x. x(x + 3) 50 (d) f(x) = 8x + 4 x(x 2 25)

I. feladatsor. 9x x x 2 6x x 9x. 12x 9x2 3. 9x 2 + x. x(x + 3) 50 (d) f(x) = 8x + 4 x(x 2 25) I. feladatsor () Határozza meg az alábbi függvények határozatlan integrálját: (a) f(x) = (b) f(x) = x + 4 9x + (c) f(x) = (d) f(x) = 6x + 5 5x + f(x) = (f) f(x) = x + x + 5 x 6x + (g) f(x) = (h) f(x) =

Részletesebben

Vektorok összeadása, kivonása, szorzás számmal, koordináták

Vektorok összeadása, kivonása, szorzás számmal, koordináták Vektorok összeadása, kivonása, szorzás számmal, koordináták 1. Mik lesznek a P (3, 4, 8) pont C (3, 7, 2) pontra vonatkozó tükörképének a koordinátái? 2. Egy szabályos hatszög középpontja K (4, 1, 4),

Részletesebben

Koordinátageometriai gyakorló feladatok I ( vektorok )

Koordinátageometriai gyakorló feladatok I ( vektorok ) Koordinátageometriai gyakorló feladatok I ( vektorok./ Határozd meg az AB szakasznak azt a pontját, amely a szakaszt : ha A ( ; és a B ( ; 8!./ Adott az A ( 3 ; 5 és a ( ; 6 B pont. Számítsd ki az AB vektor

Részletesebben

Analitikus térgeometria

Analitikus térgeometria 5. fejezet Analitikus térgeometria Kezd és végpontjuk koordinátáival adott vektorok D 5.1 A koordináta-rendszer O kezd pontjából a P pontba mutató OP kötött vektort a P pont helyvektorának nevezzük. T

Részletesebben

Az egyenes és a sík analitikus geometriája

Az egyenes és a sík analitikus geometriája Az egyenes és a sík analitikus geometriája Az egyenes a kétdimenziós koordinátarendszerben A kétdimenziós koordinátarendszerben az egyenest egy n(a, B) normálvektorával és egy r 0 helyvektorú P(x 0,y 0

Részletesebben

Skaláris szorzat: a b cos, ahol α a két vektor által bezárt szög.

Skaláris szorzat: a b cos, ahol α a két vektor által bezárt szög. 1 Összeadás: Legyen a (7; 3) és b (- 2; 4), akkor az összegük a + b (7 + (-2); 3 + 4) = (5; 7) Kivonás: Legyen a (7; 3) és b (- 2; 4), akkor a különbségük a b (7 - (-2); 3-4)=(9; - 1) Valós számmal való

Részletesebben

Koordináta-geometria feladatok (középszint)

Koordináta-geometria feladatok (középszint) Koordináta-geometria feladatok (középszint) 1. (KSZÉV Minta (1) 2004.05/I/4) Adott az A(2; 5) és B(1; 3) pont. Adja meg az AB szakasz felezőpontjának koordinátáit! 2. (KSZÉV Minta (2) 2004.05/I/7) Egy

Részletesebben

Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport

Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport 1. Egy egyenesre esnek-e az A (2, 5, 1), B (5, 17, 7) és C (3, 9, 3) pontok? 5 pont Megoldás: Nem, mert AB (3, 12,

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások Megoldások 1. Tekintsük az alábbi szabályos hatszögben a következő vektorokat: a = AB és b = AF. Add meg az FO, DC, AO, AC, BE, FB, CE, DF vektorok koordinátáit az (a ; b ) koordinátarendszerben! Alkalmazzuk

Részletesebben

HÁZI FELADATOK. 1. félév. 1. konferencia A lineáris algebra alapjai

HÁZI FELADATOK. 1. félév. 1. konferencia A lineáris algebra alapjai HÁZI FELADATOK. félév. konferencia A lineáris algebra alapjai Értékelés:. egység: önálló feladatmegoldás.8. Döntse el, párhuzamosak-e a következő vektorpárok: a) a( ; ; 7) b(; 5; ) b) c(; 9; 5) d(8; 6;

Részletesebben

Érettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5

Érettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5 Érettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5 2003. Próba/ 13. Adott egy háromszög három csúcspontja a koordinátáival: A( 4; 4), B(4; 4) és C( 4; 8). Számítsa ki a C csúcsból induló súlyvonal és az A csúcsból

Részletesebben

Érettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve / 5

Érettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve / 5 Érettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve 2005-2013 1/ 5 Vektorok 2005. május 28./12. Adottak az a (4; 3) és b ( 2; 1) vektorok. a) Adja meg az a hosszát! b) Számítsa ki az a + b koordinátáit!

Részletesebben

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al: Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x

Részletesebben

Síkbeli egyenesek. 2. Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg

Síkbeli egyenesek. 2. Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg Analitikus mértan 3. FELADATLAP Síkbeli egyenesek 1. Írjuk fel annak az egyenesnek a paraméteres egyenleteit, amely (i) áthalad az M 0 (1, 2) ponton és párhuzamos a a(3, 1) vektorral; (ii) áthalad az origón

Részletesebben

9. Írjuk fel annak a síknak az egyenletét, amely átmegy az M 0(1, 2, 3) ponton és. egyenessel;

9. Írjuk fel annak a síknak az egyenletét, amely átmegy az M 0(1, 2, 3) ponton és. egyenessel; Síkok és egyenesek FELADATLAP Írjuk fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely átmegy az M 0(,, ) ponton és a) az M(,, 0) ponton; b) párhuzamos a d(,, 5) vektorral; c) merőleges a x y + z 0 = 0 síkra;

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások Megoldások 1. Határozd meg a szakasz hosszát, ha a végpontok koordinátái: A ( 1; ) és B (5; )! A szakasz hosszához számítsuk ki a két pont távolságát: d AB = AB = (5 ( 1)) + ( ) = 6 + 1 = 7 6,08.. Határozd

Részletesebben

1. Milyen parciális törtekre bontaná az alábbi racionális törtfüggvényt:

1. Milyen parciális törtekre bontaná az alábbi racionális törtfüggvényt: Matematika (Lineáris algebra és többváltozós függvények), NGB_MA002_2, 1. zárthelyi 2016. 10. 19., 2A-csoport 1. Milyen parciális törtekre bontaná az alábbi racionális törtfüggvényt: x 2x 2 4x + 1 (x 2

Részletesebben

λ 1 u 1 + λ 2 v 1 + λ 3 w 1 = 0 λ 1 u 2 + λ 2 v 2 + λ 3 w 2 = 0 λ 1 u 3 + λ 2 v 3 + λ 3 w 3 = 0

λ 1 u 1 + λ 2 v 1 + λ 3 w 1 = 0 λ 1 u 2 + λ 2 v 2 + λ 3 w 2 = 0 λ 1 u 3 + λ 2 v 3 + λ 3 w 3 = 0 Vektorok a térben Egy (v 1,v 2,v 3 ) valós számokból álló hármast vektornak nevezzünk a térben (R 3 -ban). Használni fogjuk a v = (v 1,v 2,v 3 ) jelölést. A v 1,v 2,v 3 -at a v vektor komponenseinek nevezzük.

Részletesebben

Nagy András. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 2010.

Nagy András. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 2010. Nagy András Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 010. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 1) Döntsd el, hogy a P pont illeszkedik-e az e egyenesre

Részletesebben

Koordináta-geometria feladatok (emelt szint)

Koordináta-geometria feladatok (emelt szint) Koordináta-geometria feladatok (emelt szint) 1. (ESZÉV Minta (2) 2004.05/7) Egy ABC háromszögben CAB = 30, az ACB = 45. A háromszög két csúcsának koordinátái: A(2; 2) és C(4; 2). Határozza meg a harmadik

Részletesebben

Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz

Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Gazdasági matematika II tárgy gyakorlataihoz a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottnak tekintjük a nehezebb

Részletesebben

Síkbeli egyenesek Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg

Síkbeli egyenesek Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg Analitikus mértan 5. FELADATLAP Síkbeli egyenesek 5.1. Írjuk fel annak az egyenesnek a paraméteres egyenleteit, amely (i) áthalad az M 0 (1, 2) ponton és párhuzamos a a(3, 1) vektorral; (ii) áthalad az

Részletesebben

Koordináta-geometria feladatgyűjtemény

Koordináta-geometria feladatgyűjtemény Koordináta-geometria feladatgyűjtemény A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók Vektorok 1. Egy négyzet két szemközti csúcsának koordinátái: A( ; 7) és C(4 ; 1). Határozd meg a másik két csúcs

Részletesebben

Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók)

Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók) Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók) Vektorok 1. Egy négyzet két szemközti csúcsának koordinátái: A( ; 7) és C(4 ; 1). Határozd meg a másik két

Részletesebben

x 2 e x dx c) (3x 2 2x)e 2x dx x sin x dx f) x cosxdx (1 x 2 )(sin 2x 2 cos 3x) dx e 2x cos x dx k) e x sin x cosxdx x ln x dx n) (2x + 1) ln 2 x dx

x 2 e x dx c) (3x 2 2x)e 2x dx x sin x dx f) x cosxdx (1 x 2 )(sin 2x 2 cos 3x) dx e 2x cos x dx k) e x sin x cosxdx x ln x dx n) (2x + 1) ln 2 x dx Integrálszámítás II. Parciális integrálás. g) i) l) o) e ( + )(e e ) cos h) e sin j) (sin 3 cos) m) arctg p) arcsin e (3 )e sin f) cos ( )(sin cos 3) e cos k) e sin cos ln n) ( + ) ln. e 3 e cos 3 3 cos

Részletesebben

= Y y 0. = Z z 0. u 1. = Z z 1 z 2 z 1. = Y y 1 y 2 y 1

= Y y 0. = Z z 0. u 1. = Z z 1 z 2 z 1. = Y y 1 y 2 y 1 Egyenes és sík a térben Elméleti áttekintés Az egyenes paraméteres egyenlete: X = u 1 λ + x 0 Y = u λ + y 0, Z = u λ + z 0 ahol a λ egy valós paraméter Az u = (u 1, u, u ) az egyenes irányvektora és P

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. Koordináta-geometria és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 4

Részletesebben

2 (j) f(x) dx = 1 arcsin(3x 2) + C. (d) A x + Bx + C 5x (2x 2 + 7) + Hx + I. 2 2x F x + G. x

2 (j) f(x) dx = 1 arcsin(3x 2) + C. (d) A x + Bx + C 5x (2x 2 + 7) + Hx + I. 2 2x F x + G. x I feladatsor Határozza meg az alábbi függvények határozatlan integrálját: a fx dx = x arctg + C b fx dx = arctgx + C c fx dx = 5/x 4 arctg 5 x + C d fx dx = arctg + C 5/ e fx dx = x + arctg + C f fx dx

Részletesebben

cos 2 (2x) 1 dx c) sin(2x)dx c) cos(3x)dx π 4 cos(2x) dx c) 5sin 2 (x)cos(x)dx x3 5 x 4 +11dx arctg 11 (2x) 4x 2 +1 π 4

cos 2 (2x) 1 dx c) sin(2x)dx c) cos(3x)dx π 4 cos(2x) dx c) 5sin 2 (x)cos(x)dx x3 5 x 4 +11dx arctg 11 (2x) 4x 2 +1 π 4 Integrálszámítás I. Végezze el a következő integrálásokat:. α, haα sin() cos() e f) a sin h) () cos ().. 5 4 ( ) e + 4 sin h) (+) sin() sin() cos() + f) 5 i) cos ( +) 7 4. 4 (+) 6 4 cos() 5 +7 5. ( ) sin()cos

Részletesebben

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens Az R 3 tér geometriája Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. 1 Vektorok Vektor: irányított szakasz Jel.: a, a, a, AB, Jellemzői: irány, hosszúság, (abszolút érték) jel.: a Speciális

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások Megoldások 1. Írd fel a K (0; 2) középpontú 7 sugarú kör egyenletét! A keresett kör egyenletét felírhatjuk a képletbe való behelyettesítéssel: x 2 + (y + 2) 2 = 49. 2. Írd fel annak a körnek az egyenletét,

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 8 VIII VEkTOROk 1 VEkTOR Vektoron irányított szakaszt értünk Jelölése: stb Vektorok hossza A vektor abszolút értéke az irányított szakasz hossza Ha a vektor hossza egységnyi akkor

Részletesebben

I. Vektorok. Adott A (2; 5) és B ( - 3; 4) pontok. (ld. ábra) A két pont által meghatározott vektor:

I. Vektorok. Adott A (2; 5) és B ( - 3; 4) pontok. (ld. ábra) A két pont által meghatározott vektor: I. Vektorok 1. Vektorok összege Általánosan: Az ábra alapján Adott: a(4; 1) és b(; 3) a + b (4 + ; 1 + 3) = (6; ) a(a 1 ; a ) és b(b 1 ; b ) a + b(a 1 + b 1 ; a + b ). Vektorok különbsége Általánosan:

Részletesebben

Exponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek

Exponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek Eponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek. Hatványozási azonosságok. Számítsd ki a következő hatványok pontos értékét! a) 8 b) 4 c) d) 7 e) f) 9 0, g) 0, 9 h) 6 0, 7,, i) 8 j) 6 k) 4 l) 49,.

Részletesebben

Koordinátageometria Megoldások

Koordinátageometria Megoldások 005-0XX Középszint Koordinátageometria Megoldások 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 + 4 + 1 3 F ; = F ;1 ) Egy kör sugarának

Részletesebben

A képzetes számok az isteni szellem e gyönyörű és csodálatos hordozói már majdnem a lét és nemlét megtestesítői. (Carl Friedrich Gauss)

A képzetes számok az isteni szellem e gyönyörű és csodálatos hordozói már majdnem a lét és nemlét megtestesítői. (Carl Friedrich Gauss) Gyakorló feladatok (Ép. matek). Komple számok: A képzetes számok az isteni szellem e gyönyörű és csodálatos hordozói már majdnem a lét és nemlét megtestesítői. (Carl Friedrich Gauss) ) Számítsa ki a következő

Részletesebben

Matematikai analízis II.

Matematikai analízis II. Matematikai analízis II. Feladatgyűjtemény GEMAN6-B Gazdaságinformatikus, Programtervező informatikus és Mérnökinformatikus hallgatók részére Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia 6 . feladatlap Implicit függvények

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

Koordináta-geometria II.

Koordináta-geometria II. Koordináta-geometria II. DEFINÍCIÓ: (Alakzat egyenlete) A síkon adott egy derékszögű koordináta rendszer. A síkban levő alakzat egyenlete olyan f (x, y) = 0 egyenlet, amelyet azoknak és csak azoknak a

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Többváltozós függvények (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Egyváltozós függvények esetén a differenciálhatóságból következett a folytonosság. Fontos tudni, hogy abból, hogy egy

Részletesebben

= 7, a 3. = 7; x - 4y =-8; x + 2y = 10; x + y = 7. C-bôl induló szögfelezô: (-2; 3). PA + PB = PA 1. (8; -7), n(7; 8), 7x + 8y = 10, x = 0 & P 0;

= 7, a 3. = 7; x - 4y =-8; x + 2y = 10; x + y = 7. C-bôl induló szögfelezô: (-2; 3). PA + PB = PA 1. (8; -7), n(7; 8), 7x + 8y = 10, x = 0 & P 0; 98 Az egyenes egyenletei. a) A( 0) B(0 6) AB_ - 6i& n( ) x + y = b) x - y =- c) 6x - y = 0 d) 6x + y = e) x + y = f) x + y = a g) x - y = a.. A(a 0) B(0 b) AB_ -a bi n (b a) bx + ay = ab osszuk el a $

Részletesebben

egyenletrendszert. Az egyenlő együtthatók módszerét alkalmazhatjuk. sin 2 x = 1 és cosy = 0.

egyenletrendszert. Az egyenlő együtthatók módszerét alkalmazhatjuk. sin 2 x = 1 és cosy = 0. Magyar Ifjúság. X. TRIGONOMETRIKUS FÜGGVÉNYEK A trigonometrikus egyenletrendszerek megoldása során kísérletezhetünk új változók bevezetésével, azonosságok alkalmazásával, helyettesítő módszerrel vagy más,

Részletesebben

Többváltozós függvények Feladatok

Többváltozós függvények Feladatok Többváltozós függvények Feladatok 2. szeptember 3. Határozzuk meg az alábbi sorozatok határértékét illetve torlódási pontjait!. ( n n2 + n n 3 2. ( n + n n5 n2 +2n+ 5 n n+ 3. ( sin(nπ/2 n n! Határozzuk

Részletesebben

Koordinátageometria. M veletek vektorokkal grakusan. Szent István Egyetem Gépészmérnöki Kar Matematika Tanszék 1

Koordinátageometria. M veletek vektorokkal grakusan. Szent István Egyetem Gépészmérnöki Kar Matematika Tanszék 1 Szent István Egyetem Gépészmérnöki Kar Matematika Tanszék 1 Koordinátageometria M veletek vektorokkal grakusan 1. Az ABCD négyzet oldalvektorai közül a = AB és b = BC. Adja meg az AC és BD vektorokat a

Részletesebben

10. Koordinátageometria

10. Koordinátageometria I. Nulladik ZH-ban láttuk: 0. Koordinátageometria. Melyek azok a P x; y pontok, amelyek koordinátái kielégítik az Ábrázolja a megoldáshalmazt a koordináta-síkon! x y x 0 egyenlőtlenséget? ELTE 00. szeptember

Részletesebben

, D(-1; 1). A B csúcs koordinátáit az y = + -. A trapéz BD

, D(-1; 1). A B csúcs koordinátáit az y = + -. A trapéz BD Kör és egyenes kölcsönös helyzete Kör érintôje 7 9 A húr hossza: egység 9 A ( ) ponton átmenô legrövidebb húr merôleges a K szakaszra, ahol K az adott kör középpontja, feltéve, hogy a kör belsejében van

Részletesebben

3 függvény. Számítsd ki az f 4 f 3 f 3 f 4. egyenlet valós megoldásait! 3 1, 3 és 5 3 1

3 függvény. Számítsd ki az f 4 f 3 f 3 f 4. egyenlet valós megoldásait! 3 1, 3 és 5 3 1 Érettségi, M, I-es feladatsor, természettudomány.. Számítsd ki a C! összeget! log 4. Határozd meg a. Számítsd ki az egyenlet valós megoldásait! összeg értékét, ha és az 4. Adott az f : 0,, f. Adottak az

Részletesebben

Matematika (Lineáris algebra és többváltozós függvények), NGB_MA002_2, 1. zárthelyi , 1A-csoport. Név:... Neptun:... Aláírás:...

Matematika (Lineáris algebra és többváltozós függvények), NGB_MA002_2, 1. zárthelyi , 1A-csoport. Név:... Neptun:... Aláírás:... Matematika (Lineáris algebra és többváltozós függvények), NGB_MA002_2, 1. zárthelyi 2015. 03. 11., 1A-csoport 1. Milyen parciális törtekre bontanánk az alábbi racionális törtfüggvényt? (Az együtthatókat

Részletesebben

KOORDINÁTA-GEOMETRIA

KOORDINÁTA-GEOMETRIA XIV. Témakör: feladatok 1 Huszk@ Jenő XIV.TÉMAKÖR Téma A pont koordinátageometriája A kör koordinátageometriája KOORDINÁTA-GEOMETRIA A projekt típus ú feladatok tartalmi szintézise A feladat sorszáma Oldal

Részletesebben

10. Differenciálszámítás

10. Differenciálszámítás 0. Differenciálszámítás 0. Vázolja a következő függvények, és határozza meg az értelmezési tartomány azon pontjait, ahol nem differenciálhatóak: a, f() = - b, f()= sin c, f() = sin d, f () = + e, f() =

Részletesebben

Megoldások. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)

Megoldások. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások 1. Határozd meg az a és b vektor skaláris szorzatát, ha a = 5, b = 4 és a közbezárt szög φ = 55! Alkalmazzuk a megfelelő képletet: a b = a b cos φ = 5 4 cos 55 11,47. 2. Határozd meg a következő

Részletesebben

Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Tekintsünk a térben egy P (p 1, p 2, p 3 ) pontot és egy v = (v 1, v 2, v 3 ) = 0 vektort. Ekkor pontosan egy egyenes létezik,

Részletesebben

Vektorok és koordinátageometria

Vektorok és koordinátageometria Vektorok és koordinátageometria Vektorral kapcsolatos alapfogalmak http://zanza.tv/matematika/geometria/vektorok-bevezetese Definíció: Ha egy szakasz két végpontját megkülönböztetjük egymástól oly módon,

Részletesebben

Vektorgeometria (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Vektorgeometria (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Vektorgeometria (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. A térbeli irányított szakaszokat vektoroknak hívjuk. Két vektort egyenlőnek tekintünk, ha párhuzamos eltolással fedésbe hozhatók.

Részletesebben

Koordináta - geometria I.

Koordináta - geometria I. Koordináta - geometria I A koordináta geometria témaköre geometriai problémákat old meg algebrai módszerekkel úgy, hogy a geometriai fogalmaknak algebrai fogalmakat feleltet meg: a pontokat, vektorokat

Részletesebben

IV. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Feladatok november

IV. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Feladatok november IV. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Feladatok 9. november Határozatlan integrálás Elemi függvények integrálja 4.5. 4.6. 3 4.7. ( ) 4.8. ( ) 4.9. + 4 4.. ( + )( + ) 4.4. + ( + ) 4.5. 4.6. 6 5 + 5 ln + 4.8. cos cos sin

Részletesebben

Koordináta geometria III.

Koordináta geometria III. Koordináta geometria III. TÉTEL: A P (x; y) pont akkor és csak akkor illeszkedik a K (u; v) középpontú r sugarú körre (körvonalra), ha (x u) 2 + (y v) 2 = r 2. Ez az összefüggés a K (u; v) középpontú r

Részletesebben

3 m ; a víz sodráé sec. Bizonyítsuk be, hogy a legnagyobb szöge 120 0 -os! α =. 4cos 2

3 m ; a víz sodráé sec. Bizonyítsuk be, hogy a legnagyobb szöge 120 0 -os! α =. 4cos 2 3... Egyenes szíjhatás esetén milyen hosszú szíj szükséges 50 cmes és 6 cm-es sugarú tárcsák összekapcsolásához, ha a tárcsák tengelyeinek távolsága 335 cm? 3... Csónakkal akarunk a folyó túlsó partjára

Részletesebben

5. Analitikus térgeometria (megoldások) AC = [2, 3, 6], (z + 5) 2 következik. Innen z = 5 3. A keresett BA BC = [3, 2, 8],

5. Analitikus térgeometria (megoldások) AC = [2, 3, 6], (z + 5) 2 következik. Innen z = 5 3. A keresett BA BC = [3, 2, 8], (megoldások) 1. Alkalmazzuk a T 5. tételt: AB = [ 1, +, 0+] = [1, 1, ], AC = [,, 6], AD = [,, 9].. A P pontnak az origótól mért távolsága az OP helyvektor hosszával egyenl. OA = 4 + ( ) + ( 4) = 6, OB

Részletesebben

Minimum követelmények matematika tantárgyból 11. évfolyamon

Minimum követelmények matematika tantárgyból 11. évfolyamon Minimum követelmények matematika tantárgyból. évfolyamon A hatványozás általánosítása pozitív alap esetén racionális kitevőre. Műveletek hatványokkal. A, a 0 függvény. Az eponenciális függvény. Vizsgálata

Részletesebben

15. Koordinátageometria

15. Koordinátageometria I. Elméleti összefoglaló Koordinátákkal adott vektorok 15. Koordinátageometria Ha a(a ; a ) és b(b ; b ) a sík két vektora, λ valós szám, akkor az a vektor hossza: a = a + a a két vektor összege : a +

Részletesebben

Lineáris algebra Gyakorló feladatok

Lineáris algebra Gyakorló feladatok Lineáris algebra Gyakorló feladatok. október.. Feladat: Határozzuk meg a, 4b, c és a b c vektorokat, ha a = (; ; ; ; b = (; ; ; ; c = ( ; ; ; ;.. Feladat: Határozzuk meg a, 4b, a, c és a b; c + b kifejezések

Részletesebben

Lin.Alg.Zh.1 feladatok

Lin.Alg.Zh.1 feladatok Lin.Alg.Zh. feladatok 0.. d vektorok Adott három vektor ā (0 b ( c (0 az R Euklideszi vektortérben egy ortonormált bázisban.. Mennyi az ā b skalárszorzat? ā b 0 + + 8. Mennyi az n ā b vektoriális szorzat?

Részletesebben

Matematika A2 vizsga mgeoldása június 4.

Matematika A2 vizsga mgeoldása június 4. Matematika A vizsga mgeoldása 03. június.. (a (3 pont Definiálja az f(x, y függvény határértékét az (x 0, y 0 helyen! Megoldás: Legyen D R, f : D R. Legyen az f(x, y függvény értelmezve az (x 0, y 0 pont

Részletesebben

EGYBEVÁGÓSÁGI TRANSZFORMÁCIÓK TENGELYES TÜKRÖZÉS

EGYBEVÁGÓSÁGI TRANSZFORMÁCIÓK TENGELYES TÜKRÖZÉS GEOMETRIA 1. Az A, B, C egy egyenes pontjai (ebben a sorrendben), AB szakasz 5 cm, BC szakasz 17 cm. F 1 az AB szakasz, F 2 a BC szakasz felezőpontja. Mekkora az F 1 F 2 szakasz? 2. Az AB és CD szakaszok

Részletesebben

Matematika II. Feladatgyűjtemény GEMAN012B. Anyagmérnök BSc szakos hallgatók részére

Matematika II. Feladatgyűjtemény GEMAN012B. Anyagmérnök BSc szakos hallgatók részére Matematika II. Feladatgyűjtemény GEMANB Anyagmérnök BSc szakos hallgatók részére Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia 6 . gyakorlat Matematika II.. Az alábbi f függvényeknél adja meg f -t! f() = + 5; (b) f()

Részletesebben

15. Koordinátageometria

15. Koordinátageometria I. Elméleti összefoglaló Koordinátákkal adott vektorok 15. Koordinátageometria Ha a(a ; a ) és b(b ; b ) a sík két vektora, λ valós szám, akkor az a vektor hossza: a = a + a a két vektor összege : a +

Részletesebben

(d) a = 5; c b = 16 3 (e) b = 13; c b = 12 (f) c a = 2; c b = 5. Számítsuk ki minden esteben a háromszög kerületét és területét.

(d) a = 5; c b = 16 3 (e) b = 13; c b = 12 (f) c a = 2; c b = 5. Számítsuk ki minden esteben a háromszög kerületét és területét. Euklidész tételei megoldások c = c a + c b a = c c a b = c c b m c = c a c b 1. Számítsuk ki az derékszögű ABC háromszög hiányzó oldalainak nagyságát, ha adottak: (a) c a = 1,8; c b =, (b) c = 10; c a

Részletesebben

Koordinátageometria. , azaz ( ) a B halmazt pontosan azok a pontok alkotják, amelynek koordinátáira:

Koordinátageometria. , azaz ( ) a B halmazt pontosan azok a pontok alkotják, amelynek koordinátáira: 005-0XX Emelt szint Koordinátageometria 1) a) Egy derékszögű háromszög egyik oldalegyenese valamelyik koordinátatengely, egy másik oldalegyenesének egyenlete x + y = 10, egyik csúcsa az origó. Hány ilyen

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Koordinátageometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Koordinátageometria 1) MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Koordinátageometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Paraméter

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Paraméter MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Paraméter A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Debreceni Egyetem. Feladatok a Matematika II. tárgy gyakorlataihoz. Határozatlan integrál

Debreceni Egyetem. Feladatok a Matematika II. tárgy gyakorlataihoz. Határozatlan integrál Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Matematika II. tárgy gyakorlataihoz Határozatlan integrál. z alapintegrálok, elemi átalakítások és lineáris helyettesítések segítségével számítsuk

Részletesebben

sin x = cos x =? sin x = dx =? dx = cos x =? g) Adja meg a helyettesítéses integrálás szabályát határozott integrálokra vonatkozóan!

sin x = cos x =? sin x = dx =? dx = cos x =? g) Adja meg a helyettesítéses integrálás szabályát határozott integrálokra vonatkozóan! Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Analízis II Határozatlan integrálszámítás g) t = tg x 2 helyettesítés esetén mivel egyenlő sin x = cos x =? g) t = tg x 2 helyettesítés esetén

Részletesebben

1.1. Feladatok. x 0 pontban! b) f(x) = 2x + 5, x 0 = 2. d) f(x) = 1 3x+4 = 1. e) f(x) = x 1. f) x 2 4x + 4 sin(x 2), x 0 = 2. általános pontban!

1.1. Feladatok. x 0 pontban! b) f(x) = 2x + 5, x 0 = 2. d) f(x) = 1 3x+4 = 1. e) f(x) = x 1. f) x 2 4x + 4 sin(x 2), x 0 = 2. általános pontban! . Egyváltozós függgvények deriválása.. Feladatok.. Feladat A definíció alapján határozzuk meg a következő függvények deriváltját az x pontban! a) f(x) = x +, x = 5 b) f(x) = x + 5, x = c) f(x) = x+, x

Részletesebben

ANALITIKUS MÉRTAN I. VEKTORALGEBRA. 1. Adott egy ABCD tetraéder. Határozzuk meg az alábbi összegeket: a) AD + BC = BD + AC.

ANALITIKUS MÉRTAN I. VEKTORALGEBRA. 1. Adott egy ABCD tetraéder. Határozzuk meg az alábbi összegeket: a) AD + BC = BD + AC. ANALITIKUS MÉRTAN INFORMATIKA CSOPORT I. VEKTORALGEBRA 1. Feladatlap Műveletek vektorokkal 1. Adott egy ABCD tetraéder. Határozzuk meg az alábbi összegeket: a) AB + BD + DC; b) AD + CB + DC; c) AB + BC

Részletesebben

MATEMATIKA HETI 5 ÓRA

MATEMATIKA HETI 5 ÓRA EURÓPAI ÉRETTSÉGI 2008 MATEMATIKA HETI 5 ÓRA IDŐPONT : 2008. június 5 (reggel) A VIZSGA IDŐTARTAMA: 4 óra (240 perc) MEGENGEDETT ESZKÖZÖK: Európai képletgyűjtemény Nem programozható, nem grafikus számológép

Részletesebben

5. előadás. Skaláris szorzás

5. előadás. Skaláris szorzás 5. előadás Skaláris szorzás Bevezetés Két vektor hajlásszöge: a vektorokkal párhuzamos és egyirányú, egy pontból induló félegyenesek konvex szöge. φ Bevezetés Definíció: Két vektor skaláris szorzata abszolút

Részletesebben

Geometria II gyakorlatok

Geometria II gyakorlatok Geometria II gyakorlatok Kovács Zoltán Copyright c 2011 Last Revision Date: 2011. november 29. kovacsz@nyf.hu Technikai útmutató a jegyzet használatához A jegyzet képernyőbarát technikával készült, a megjelenés

Részletesebben

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1 Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Vektorok I.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Vektorok I. Vektorok I. DEFINÍCIÓ: (Vektor) Az egyenlő hosszúságú és egyirányú irányított (kezdő és végponttal rendelkező) szakaszoknak a halmazát vektornak nevezzük. Jele: v ; v; AB (ahol A a vektor kezdőpontja,

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Vektorok II.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Vektorok II. Vektorok II. DEFINÍCIÓ: (Vektorok hajlásszöge) Két vektor hajlásszögének azt a φ (0 φ 180 ) szöget nevezzük, amelyet a vektorok egy közös pontból felmért reprezentánsai által meghatározott félegyenesek

Részletesebben

Matematika (mesterképzés)

Matematika (mesterképzés) Matematika (mesterképzés) Környezet- és Településmérnököknek Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 1 / 29 Lineáris tér,

Részletesebben

Lin.Alg.Zh.1 feladatok

Lin.Alg.Zh.1 feladatok LinAlgZh1 feladatok 01 3d vektorok Adott három vektor ā = (0 2 4) b = (1 1 4) c = (0 2 4) az R 3 Euklideszi vektortérben egy ortonormált bázisban 1 Mennyi az ā b skalárszorzat? 2 Mennyi az n = ā b vektoriális

Részletesebben

Geometria II gyakorlatok

Geometria II gyakorlatok Geometria II gyakorlatok Kovács Zoltán Copyright c 2011 Last Revision Date: 2012. május 8. kovacsz@nyf.hu Technikai útmutató a jegyzet használatához A jegyzet képernyőbarát technikával készült, a megjelenés

Részletesebben

1. Folytonosság. 1. (A) Igaz-e, hogy ha D(f) = R, f folytonos és periodikus, akkor f korlátos és van maximuma és minimuma?

1. Folytonosság. 1. (A) Igaz-e, hogy ha D(f) = R, f folytonos és periodikus, akkor f korlátos és van maximuma és minimuma? . Folytonosság. (A) Igaz-e, hogy ha D(f) = R, f folytonos és periodikus, akkor f korlátos és van maimuma és minimuma?. (A) Tudunk példát adni olyan függvényekre, melyek megegyeznek inverzükkel? Ha igen,

Részletesebben

Számítógépes Grafika mintafeladatok

Számítógépes Grafika mintafeladatok Számítógépes Grafika mintafeladatok Feladat: Forgassunk a 3D-s pontokat 45 fokkal a X tengely körül, majd nyújtsuk az eredményt minden koordinátájában kétszeresére az origóhoz képest, utána forgassunk

Részletesebben

Matematika III előadás

Matematika III előadás Matematika III. - 2. előadás Vinczéné Varga Adrienn Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Előadáskövető fóliák Vinczéné Varga Adrienn (DE-MK) Matematika III. 2016/2017/I 1 / 23 paramétervonalak,

Részletesebben

I. feladatsor. (t) z 1 z 3

I. feladatsor. (t) z 1 z 3 I. feladatsor () Töltse ki az alábbi táblázatot: Komple szám Valós rész Képzetes rész Konjugált Abszolútérték 4 + i 3 + 4i 5i 6i 3 5 3 i 7i () Adottak az alábbi komple számok: z = + 3i, z = i, z 3 = i.

Részletesebben

Gyakorlo feladatok a szobeli vizsgahoz

Gyakorlo feladatok a szobeli vizsgahoz Gyakorlo feladatok a szobeli vizsgahoz Függvények. Viszgaljuk meg, hogy az alabbi fuggvenyek kozuk melyik injektv, szurjektv, illetve bijektv? F : N N, n n b) F : Q Q, c) F : R R, d) F : N N, n n e) F

Részletesebben

1. zárthelyi,

1. zárthelyi, 1. zárthelyi, 2009.10.20. 1. Írjuk fel a tér P = (0,2,4) és Q = (6, 2,2) pontjait összekötő szakasz felezőmerőleges síkjának egyenletét. 2. Tekintsük az x + 2y + 3z = 14, a 2x + 6y + 10z = 24 és a 4x+2y

Részletesebben

Geometriai példatár 2.

Geometriai példatár 2. Geometriai példatár 2 Metrikus feladatok Baboss, Csaba, Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar Szabó, Gábor, Nyugat-Magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar Geometriai példatár 2: Metrikus feladatok

Részletesebben

11. gyakorlat megoldásai

11. gyakorlat megoldásai 11. gyakorlat megoldásai Lokális szélsőértékek F1. Határozza meg az alábbi kétváltozós függvények lokális szélsőértékeit! (a) f(x, y) = 4x 2 + 2xy + 5y 2 + 2, (b) f(x, y) = y 4 3y + x 2 y + 2xy, (c) f(x,

Részletesebben

O ( 0, 0, 0 ) A ( 4, 0, 0 ) B ( 4, 3, 0 ) C ( 0, 3, 0 ) D ( 4, 0, 5 ) E ( 4, 3, 5 ) F ( 0, 3, 5 ) G ( 0, 0, 5 )

O ( 0, 0, 0 ) A ( 4, 0, 0 ) B ( 4, 3, 0 ) C ( 0, 3, 0 ) D ( 4, 0, 5 ) E ( 4, 3, 5 ) F ( 0, 3, 5 ) G ( 0, 0, 5 ) 1. feladat Írjuk föl a következő vektorokat! AC, BF, BG, DF, BD, AG, GB Írjuk föl ezen vektorok egységvektorát is! a=3 m b= 4 m c= m Írjuk föl az egyes pontok koordinátáit: O ( 0, 0, 0 ) A ( 4, 0, 0 )

Részletesebben