Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit"

Átírás

1 Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

2 1. Tekintsünk a térben egy P (p 1, p 2, p 3 ) pontot és egy v = (v 1, v 2, v 3 ) = 0 vektort. Ekkor pontosan egy egyenes létezik, amelyik átmegy a P ponton és párhuzamos a v vektorral. Ennek az egyenesnek a paraméteres vektoregyenlete r = OP + t v, t R, (1) ahol az r = (x, y, z) az egyenes futópontjának helyvektora, a t valós szám a paraméter, a v vektor az egyenes irányvektora. Ez azt jelenti, hogy ha megadjuk a t paraméter értékét, akkor a kapott r helyvektorú pont rajta van az egyenesen, és fordítva, az egyenes minden pontjának r helyvektora megkapható úgy, hogy a paraméter helyére alkalmas számot helyettesítünk. Az (1) vektoregyenletben az egyenlőség az jelenti, hogy a bal és a jobb oldalon álló vektorok megfelelő koordinátái egyenlők. Ha felírjuk ezeket a koordinátákra vonatkozó egyenleteket, akkor az egyenes paraméteres egyenletrendszerét kapjuk. x = p 1 + v 1 t y = p 2 + v 2 t z = p 3 + v 3 t, t R. (2) Szinte minden esetben a paraméteres egyenletrendszert fogjuk használni. First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

3 Feladat 1 Írjuk fel a P (1, 2, 3) és Q(2, 1, 1) pontokon átmenő egyenes paraméteres egyenletrendszerét. Megoldás: A paraméteres egyenletrendszer felírásához kell egy pont, amin biztosan átmegy a szóban forgó egyenes, és kell egy vektor, amivel biztosan párhuzamos. A pontnak választhatjuk a P pontot, az irányvektornak pedig a v = P Q = (1, 1, 2) vektort. Ezekkel az egyenes paraméteres egyenletrendszere x = 1 + t y = 2 t z = 3 2t, t R. Például, ha t paraméter helyére 0-t helyettesítünk, akkor megkapjuk az egyenes P pontját, ha 1-et, akkor a Q pontot, ha 3-at, akkor az egyenes egy további R(4, 1, 3) pontját. Az A(0, 3, 5) pont rajta van az egyenesünkön, mert a t = 1 válsztással ezt a pontot kapjuk a paraméteres egyenletrendszerből, de a B( 1, 3, 7) pont nincs az egyenesen, mert az első koordinátája miatt csak a t = 2 paraméterhez tartozhatna, de akkor a második koordinátának 4-nek kéne lenni.

4 Ha a paraméteres egyenletrendszer felírásához a Q pontot és a w = 2v = ( 2, 2, 4) irányvektort használtuk volna, akkor azt kapjuk, hogy x = 2 2u y = 1 + 2u, u R. z = 1 + 4u Ez a két paraméteres egyenletrendszer nyilván ugyanahhoz az egyeneshez tartozik. Ha egy vektor jó irányvektornak, akkor minden számszorosa is jó. Két különböző paraméteres egyenletrendszerről a következő módon lehet eldönteni, hogy ugyanannak az egyenesnek a paraméteres egyenletrendszerei. Először is a két irányvektornak, amelyek koordinátái rendre a paraméterek együtthatói, párhuzamosaknak, azaz egymás számszorosainak kell lenniük. Ezentúl bárhogy megválasztva ez egyik egyenletrendszer paraméterének értékét, a kapot pontot meg kell tudni kapni a másik egyenletrendszerből is egy alakalmas ottani paraméterértékkel.

5 Feladat 2 Határozzuk meg az alábbi egyenesek metszéspontját. e : x = 2 + t y = 1 t z = 1 2t, t R, f : x = 4 + u y = 1 + 3u z = u, u R. Megoldás: A M metszéspont rajta van mindkét egyenesen, azaz van olyan t és u paraméterérték, hogy 2 + t = 4 + u 1 t = 1 + 3u 1 2t = u Ezt a t -ot és u -ot úgy lehet megtalálni, hogy megoldjuk a 2 + t = 4 + u 1 t = 1 + 3u 1 2t = u kétismeretlenes, de három egyenletből álló lineáris egyenletrendszert.

6 Ezt úgy érdemes csinálni, hogy kiválasztjuk bármelyik két egyenletet, azokat megoldjuk, majd leellenőrizzük, hogy a kapott megoldás a harmadik egyenletet is kielégíti-e. Ha igen, akkor megvan a megoldás, ha nem, akkor nincs megoldás, és így nincs metszéspont sem. Ha az első két egyenletet összeadjuk, kapjuk, hogy 1 = 5 + 4u, amiből u = 1. Ezt az első egyenletbe beírva 2 + t = 3, amiből t = 1. Ezek az értékek a harmadik egyenleteket is kielégítik. Tehát a metszéspont az első paraméteres egyenletrendszerből a t = 1 helyettesítéssel M(3, 2, 1). Természetesen ugyanezt kapjuk, ha a második paraméteres egyenletrendszerbe helyettesítünk u = 1-et.

7 2. Tekintsünk a térben egy P (p 1, p 2, p 3 ) pontot és egy n = (n 1, n 2, n 3 ) = 0 vektort. Ekkor pontosan egy sík létezik, amelyik átmegy a P ponton és merőleges az n vektorra. Ennek a síknak a normálegyenlete r OP, n = 0, (3) ahol az r = (x, y, z) a sík futópontjának helyvektora. Ha ezt a skalárzorzatot felírjuk a benne szereplő vektorok koordinátáival, akkor a sík egyenletét kapjuk Ez rendezés után n 1 (x p 1 ) + n 2 (y p 2 ) + n 3 (z p 3 ) = 0. (4) n 1 x + n 2 y + n 3 z + D = 0 (5) alakú. Minden pontnak a koordinátái, amelyik illeszkedik a síkra, kielégítik ezt az egyenletet, és minden pont, amelynek a koordinátái kielégítik ezt az egyenletet a szóbanforgó sík egy pontja. Ha egy sík egyenletét megszorozzuk egy tetszőleges, nullától különböző számmal, attól az még ugyanannak a síknak az egyenlete marad, a sík egyenlete csak egy konstans szorzó erejéig egyértelmű. Egy sík két egyenlete nem is különbözhet másban, csak abban, hogy egyik a másiknak számszorosa. Ha egy vektor jó normálvektornak, akkor minden számszorosa is jó. First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

8 Feladat 3 Írjuk fel a P (1, 2, 3) és Q(2, 1, 1), R( 1, 1, 2) pontokon átmenő sík egyenletét. Megoldás: Egy sík egyenletének felírásához kell egy pont, ami biztosan a síkon van. Ez lehet most pl. a P pont. Ezenkívül szükségünk van egy olyan n normálvektorra, ami merőleges a síkra. Ilyen vektort a legtöbbször nekünk kell készíteni. Ha egy vektor merőleges a síkra, akkor merőleges minden, a síkban benne fekvő vektorra is. Ezért, ha találunk két nem párhuzamos vektort, amelyek biztosan a síkban fekszenek, akkor ezek vektoriális szorzata jó lesz normálvektornak. Most a P Q = (1, 1, 2) és a P R = ( 2, 1, 5) vektorok biztosan a síkban vannak és nem párhuzamosak, tehát a normálvektor lehet n = P Q P R = Ezekkel a sík egyenlete i j k = (3, 9, 3). 3(x 1) + 9(y 2) 3(z 3) = 0, 3x + 9y 3z 12 = 0.

9 Feladat 4 Tekintsük az alábbi e egyenest és S síkot. x = 2 t e : y = 1 + t, t R, S : x + y 2z 5 = 0. z = 1 2t Igazoljuk, hogy az egyenes döfi a síkot és számoljuk ki a döféspont koordinátáit. Megoldás: Az egyenes akkor nem döfi a síkot, ha párhuzamos vele. Ez akkor következik be, ha az egyenes irányvektora párhuzamos a síkkal, azaz merőleges a sík normálvektorára. Az egyenes paraméteres egyenletrendszeréből és a sík egyenletéből leolvasható a v irányvektor és az n normálvektor. Most v = ( 1, 1, 2), n = (1, 1, 2). Ez a két vektor akkor merőleges, ha a skaláris szorzatuk nulla. Mivel v, n = 4 = 0, az egyenes nem párhuzamos a síkkal, tehát van döféspont.

10 A döféspont rajta van az egyenesen és a síkon is. Ezt a pontot úgy lehet meghatározni, hogy megkeressük azt a paraméterértéket, amelyhez tartozó pont az egyenesről kielégíti a sík egyenletét is. Ezt a paraméterértéket persze úgy lehet megtalálni, hogy az egyenes futópontjának a paraméterrel kifejezett x, y, z koordinátáját beírjuk a sík egyenletébe és megoldjuk a paraméterre kapott egyenletet. Azaz most megoldjuk a (2 t) + (1 + t) 2(1 2t) 5 = 0 egyismeretlenes lineáris egyenletet. Az adódik, hogy t = 1. Az M döféspont koordinátái tehát M(1, 2, 1). 3. Tudjuk, hogy a P (p 1, p 2, p 3 ) és a Q(q 1, q 2, q 3 ) pontok távolsága d P Q = (p 1 q 1 ) 2 + (p 2 q 2 ) 2 + (p 3 q 3 ) 2. A P pont és egy rá nem illeszkedő e egyenes d P e távolságát úgy kapjuk, hogy a P pontot merőlegesen levetítjük az e egyenesre, majd kiszámoljuk a P pont és a Q vetületpont távolságát. Ha R az egyenes egy tetszőleges pontja, v az irányvektora, akkor d P e = RP v. (6) v First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

11 4. A P pont és egy rá nem illeszkedő S sík d P S távolságát úgy kapjuk, hogy a P pontot merőlegesen levetítjük az S síkra, majd kiszámoljuk a P pont és a Q vetületpont távolságát. Ha R a sík egy tetszőleges pontja, n a normálvektora, akkor d P S = RP, n. (7) n 5. Két párhuzamos egyenes távolsága az egyik egyenes egy tetszőleges pontjának és a másik egyenesnek a távolsága. Két párhuzamos sík távolsága az egyik sík egy tetszőleges pontjának és a másik síknak a távolsága. Egy egyenes és egy vele párhuzamos sík távolsága az egyenes egy tetszőleges pontjának és a síknak a távolsága. Két kitérő egyenes távolsága az egyeneseket tartalmazó párhuzamos síkok távolsága.

12 6. Tudjuk, hogy a v és a w vektorok α szöge a cos α = v, w v w formulából határozható meg. Két egymást metsző egyenes szöge az irányvektoraik szöge, ha az hegyes szög, ha az tompaszög, akkor 180 -ból kivonva őt kapjuk az egyenesek szögét. 7. Két sík szöge a normálvektoraik szöge, ha az hegyes szög, ha az tompaszög, akkor 180 -ból kivonva őt kapjuk a síkok szögét. 8. Egy egyenes és egy sík szögét úgy kapjuk, hogy 90 -ból kivonjuk az egyenes irányvektorának és a sík normálvektorának a szögét, ha az hegyes szög. Ha az tompaszög, akkor belőle kivonva 90 -ot kapjuk az egyenes és a sík szögét.

13 Feladat 5 Az x 2y + z 10 = 0 síktól milyen messze van az origó és hány fokos szögben metszi őt az x tengely? Megoldás: A sík normálvektora n = (1, 2, 1). Választunk egy pontot a síkról. Például az R(10, 0, 0) pont koordinátái kielégítik a sík egyenletét, ez a pont tehát a síkon van. Most az origó fogja játszani a (7) képletben a P szerepét. Ekkor RO = ( 10, 0, 0), tehát d OS = RO, n n = 10 6 = Az x tengelynek, mint egyenesnek az irányvektora persze lehet v = (1, 0, 0). Jelöljük α-val a v és az n vektorok szögét. Ekkor cos α = v, n v n = α = Mivel α hegyesszög, az x tengely és a sík hajlásszöge 90 α = 24.1.

14 Feladat 6 Tekintsük az alábbi e egyenest és S síkot. x = 2 e : y = 1 5t, t R, S : x y z 2 = 0. z = 1 t Határozzuk meg e S-re vett vetületének paraméteres egyenletrendszerét. Megoldás: Az e egyenes irányvektora v = (0, 5, 1), a sík normálvektora n = (1, 1, 1). Mivel v, n = 6 = 0, az egyenes döfi a síkot. (Ha párhuzamos lenne vele, akkor nem úgy kellene számolni, mint ahogy a következőkben tesszük. Minden feladatban érdemes először tisztázni a térelemek viszonyát. Speciális esetekben - párhuzamosság, merőlegesség megléte - nem mindig lehet úgy számolni, mint az általános esetben.) Egy egyenes a kérdés, a paraméteres egyenletrendszerének felírásához egy pontját biztosan meg kell határozni. Az M döféspont nyilván rajta van az eredeti egyenes vetületén is, célszerűnek tűnik őt kiszámolni. 2 (1 5t) ( 1 t) 2 = 0 t = 0 M(2, 1, 1). A vetület irányvektorát kell még kiszámolnuk.

15 Ha az egyenes egy, a döfésponttól különböző P pontját levetítjük a síkra, akkor a kapott Q vetületi pont és az M pont által meghatározott M Q jó lesz irányvektornak. Például az egyenes egy pontja a t = 1 paraméterérték mellett P (2, 4, 2). Ennek Q vetületét az S síkon úgy kapjuk, hogy meghatározzuk a P -n átmenő, S-re merőleges g egyenest és vesszük ennek és S-nek a döféspontját. A g egyenes irányvektora lehet a w = n vektor. Tehát g : x = 2 + u y = 4 u z = 2 u, u R. (2+u) ( 4 u) ( 2 u) 2 = 0 u = 2, Q(0, 2, 0). A keresett egyenes irányvektora tehát lehet az MQ = ( 2, 3, 1) vektor. Így a vetület paraméteres egyenletrendszere x = 2 2t y = 1 3t z = 1 + t, t R.

16 Feladat 7 Számítsuk ki az alábbi egyenesek távolságát. e : x = 3 + 2t y = 2t z = 2 t, t R, f : x = 2 3u y = 2 + u z = 4 + u, u R Megoldás: Két egyenes távolságát két esetben értelmeztük: ha párhuzamosak, (ekkor egy síkban is vannak), vagy ha kitérők. Az e egyenes irányvektora v = (2, 2, 1), az f egyenes irányvektora w = ( 3, 1, 1). Ezek a vektorok nem párhuzamosak. Azt, hogy kitérők úgy tudjuk leellenőrizni, hogy megmutatjuk, hogy nem is metszik egymást. A 3 + 2t = 2 3u 2t = 2 + u 2 t = 4 + u egyenletrendszer harmadik egyenletéből kivonva a másodikat 2+t = 2, azaz t = 4, a második egyenletből u = 10. Ezek az értékek azonban nem elégítik ki az első egyenletet, tehát az egyenesek kitérők.

17 Van tehát két párhuzamos S 1 és S 2 sík, amelyek közül S 1 -ben fekszik az e egyenes, és S 2 -ben az f. Ennek a két síknak közös lehet az n normálvektora. Erre az n vektorra egyedül annak kell teljesülni, hogy merőleges legyen v-re és w-re is. Tehát az n = v w választás jó lesz. i j k n = v w = = ( 1, 1, 4) Tudjuk, hogy ennek a két síknak a távolsága az egyenesek távolsága, ami az S 1 sík egy pontjának és az S 2 síknak a távolsága. Ahhoz, hogy alkalmazni tudjuk a (7) képletet legyen az S 1 sík egy P pontja az e egyenesről a t = 0 választással kapott P (3, 0, 2), az S 2 sík egy R pontja az f egyenesről az u = 0 választással kapott R( 2, 2, 4) pont. Ekkor RP = (5, 2, 6) és a keresett távolság d P S2 = RP, n n =

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens Az R 3 tér geometriája Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. 1 Vektorok Vektor: irányított szakasz Jel.: a, a, a, AB, Jellemzői: irány, hosszúság, (abszolút érték) jel.: a Speciális

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 8 VIII VEkTOROk 1 VEkTOR Vektoron irányított szakaszt értünk Jelölése: stb Vektorok hossza A vektor abszolút értéke az irányított szakasz hossza Ha a vektor hossza egységnyi akkor

Részletesebben

1. FELADAT. Írjuk fel az adott P ponton átmenő és az adott iránnyal párhuzamos egyenes explicit paraméteres és implicit egyenletrendszerét!

1. FELADAT. Írjuk fel az adott P ponton átmenő és az adott iránnyal párhuzamos egyenes explicit paraméteres és implicit egyenletrendszerét! 1. FELADAT. Írjuk fel az adott P ponton átmenő és az adott iránnyal párhuzamos egyenes explicit paraméteres és implicit egyenletrendszerét! 1.1. Kérdés. P (1,, ), v = (, 1, 4). 1.1.1. Megoldás. p = p 0

Részletesebben

Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport

Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport 1. Egy egyenesre esnek-e az A (2, 5, 1), B (5, 17, 7) és C (3, 9, 3) pontok? 5 pont Megoldás: Nem, mert AB (3, 12,

Részletesebben

Nagy András. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 2010.

Nagy András. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 2010. Nagy András Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 010. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 1) Döntsd el, hogy a P pont illeszkedik-e az e egyenesre

Részletesebben

Vektorok összeadása, kivonása, szorzás számmal, koordináták

Vektorok összeadása, kivonása, szorzás számmal, koordináták Vektorok összeadása, kivonása, szorzás számmal, koordináták 1. Mik lesznek a P (3, 4, 8) pont C (3, 7, 2) pontra vonatkozó tükörképének a koordinátái? 2. Egy szabályos hatszög középpontja K (4, 1, 4),

Részletesebben

, D(-1; 1). A B csúcs koordinátáit az y = + -. A trapéz BD

, D(-1; 1). A B csúcs koordinátáit az y = + -. A trapéz BD Kör és egyenes kölcsönös helyzete Kör érintôje 7 9 A húr hossza: egység 9 A ( ) ponton átmenô legrövidebb húr merôleges a K szakaszra, ahol K az adott kör középpontja, feltéve, hogy a kör belsejében van

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

Analitikus térgeometria

Analitikus térgeometria 5. fejezet Analitikus térgeometria Kezd és végpontjuk koordinátáival adott vektorok D 5.1 A koordináta-rendszer O kezd pontjából a P pontba mutató OP kötött vektort a P pont helyvektorának nevezzük. T

Részletesebben

= 7, a 3. = 7; x - 4y =-8; x + 2y = 10; x + y = 7. C-bôl induló szögfelezô: (-2; 3). PA + PB = PA 1. (8; -7), n(7; 8), 7x + 8y = 10, x = 0 & P 0;

= 7, a 3. = 7; x - 4y =-8; x + 2y = 10; x + y = 7. C-bôl induló szögfelezô: (-2; 3). PA + PB = PA 1. (8; -7), n(7; 8), 7x + 8y = 10, x = 0 & P 0; 98 Az egyenes egyenletei. a) A( 0) B(0 6) AB_ - 6i& n( ) x + y = b) x - y =- c) 6x - y = 0 d) 6x + y = e) x + y = f) x + y = a g) x - y = a.. A(a 0) B(0 b) AB_ -a bi n (b a) bx + ay = ab osszuk el a $

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Komplex számok (2)

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Komplex számok (2) 2. előadás Komplex számok (2) 1. A a + bi (a, b) kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés lehetővé teszi, hogy a komplex számokat a sík pontjaival, illetve helyvektoraival ábrázoljuk. A derékszögű koordináta

Részletesebben

Geometriai példatár 2.

Geometriai példatár 2. Geometriai példatár 2 Metrikus feladatok Baboss, Csaba, Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar Szabó, Gábor, Nyugat-Magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar Geometriai példatár 2: Metrikus feladatok

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. Koordináta-geometria és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 4

Részletesebben

Egy sík és a koordinátasíkok metszésvonalainak meghatározása

Egy sík és a koordinátasíkok metszésvonalainak meghatározása 1 Egy sík és a koordinátasíkok metszésvonalainak meghatározása Ehhez tekintsük az 1. ábrát! 1. ábra Itt az ( u, v, w ) tengelymetszeteivel adott S síkot látjuk, az Oxyz térbeli derékszögű koordináta -

Részletesebben

Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók)

Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók) Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók) Vektorok 1. Egy négyzet két szemközti csúcsának koordinátái: A( ; 7) és C(4 ; 1). Határozd meg a másik két

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Matematika I

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Matematika I Matematika I (Analízis) Készítette: Horváth Gábor Kötelező irodalom: Ács László, Gáspár Csaba: Analízis 1 Oktatási segédanyagok és a tantárgyi követelményrendszer megtalálható a http://rs1.szif.hu/ horvathg/horvathg.html

Részletesebben

3 m ; a víz sodráé sec. Bizonyítsuk be, hogy a legnagyobb szöge 120 0 -os! α =. 4cos 2

3 m ; a víz sodráé sec. Bizonyítsuk be, hogy a legnagyobb szöge 120 0 -os! α =. 4cos 2 3... Egyenes szíjhatás esetén milyen hosszú szíj szükséges 50 cmes és 6 cm-es sugarú tárcsák összekapcsolásához, ha a tárcsák tengelyeinek távolsága 335 cm? 3... Csónakkal akarunk a folyó túlsó partjára

Részletesebben

Az axonometrikus ábrázolás analitikus geometriai egyenleteinek másfajta levezetése. Bevezetés

Az axonometrikus ábrázolás analitikus geometriai egyenleteinek másfajta levezetése. Bevezetés 1 Az axonometrikus ábrázolás analitikus geometriai egyenleteinek másfajta levezetése Bevezetés Több korábbi dolgozatunkban is foglalkoztunk hasonló dolgokkal, vagyis az axonometri - kus ábrázolás alapfeladatának

Részletesebben

Koordináta-geometria feladatok (középszint)

Koordináta-geometria feladatok (középszint) Koordináta-geometria feladatok (középszint) 1. (KSZÉV Minta (1) 2004.05/I/4) Adott az A(2; 5) és B(1; 3) pont. Adja meg az AB szakasz felezőpontjának koordinátáit! 2. (KSZÉV Minta (2) 2004.05/I/7) Egy

Részletesebben

9. előadás. Térbeli koordinátageometria

9. előadás. Térbeli koordinátageometria 9. előadás Térbeli koordinátageometria Koordinátageometria a térben Descartes-féle koordinátarendszerben dolgozunk. A legegyszerűbb alakzatokat fogjuk vizsgálni. Az ezeket leíró egyenletek első-, vagy

Részletesebben

Matematika 11 Koordináta geometria. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < szeptember 27.

Matematika 11 Koordináta geometria. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < szeptember 27. Matematika 11 Koordináta geometria Juhász László matematika és fizika szakos középiskolai tanár > o < 2015. szeptember 27. copyright: c Juhász László Ennek a könyvnek a használatát szerzői jog védi. A

Részletesebben

Lineáris algebra és többváltozós függvények (NGB_MA_002_2)

Lineáris algebra és többváltozós függvények (NGB_MA_002_2) Lineáris algebra és többváltozós függvények (NGB_MA ) Készítette: Kiss-Tóth Christian Széchenyi István Egyetem Budapest, 5. február 3. Tartalomjegyzék. Integrálszámítás 3.. Racionális törtfüggvények integrálása........................

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

15. Koordinátageometria

15. Koordinátageometria I. Elméleti összefoglaló Koordinátákkal adott vektorok 15. Koordinátageometria Ha a(a ; a ) és b(b ; b ) a sík két vektora, λ valós szám, akkor az a vektor hossza: a = a + a a két vektor összege : a +

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 14 XIV NEVEZETES GÖRbÉk 1 AZ EGYEnES EGYEnLETE A és pontokon átmenő egyenes egyenlete: (1), Az hányados neve iránytényező (iránytangens, meredekség) A ponton átmenő, m iránytangensű

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. (Derivált)

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. (Derivált) Valós függvények (3) (Derivált) . Legyen a belső pontja D f -nek. Ha létezik és véges a f(x) f(a) x a x a = f (a) () határérték, akkor f differenciálható a-ban. Az f (a) szám az f a-beli differenciálhányadosa.

Részletesebben

Feladatok megoldásokkal a harmadik gyakorlathoz (érintési paraméterek, L Hospital szabály, elaszticitás) y = 1 + 2(x 1). y = 2x 1.

Feladatok megoldásokkal a harmadik gyakorlathoz (érintési paraméterek, L Hospital szabály, elaszticitás) y = 1 + 2(x 1). y = 2x 1. Feladatok megoldásokkal a harmadik gyakorlathoz (érintési paraméterek, L Hospital szabály, elaszticitás). Feladat. Írjuk fel az f() = függvény 0 = pontbeli érintőjének egyenletét! Az érintő egyenlete y

Részletesebben

Oktatási Hivatal. 1 pont. A feltételek alapján felírhatók az. összevonás után az. 1 pont

Oktatási Hivatal. 1 pont. A feltételek alapján felírhatók az. összevonás után az. 1 pont Oktatási Hivatal Öt pozitív egész szám egy számtani sorozat első öt eleme A sorozatnak a különbsége prímszám Tudjuk hogy az első négy szám köbének összege megegyezik az ezen öt tag közül vett páros sorszámú

Részletesebben

Érettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve / 5

Érettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve / 5 Érettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve 2005-2013 1/ 5 Vektorok 2005. május 28./12. Adottak az a (4; 3) és b ( 2; 1) vektorok. a) Adja meg az a hosszát! b) Számítsa ki az a + b koordinátáit!

Részletesebben

Klár Gergely 2010/2011. tavaszi félév

Klár Gergely 2010/2011. tavaszi félév Számítógépes Grafika Klár Gergely tremere@elte.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2010/2011. tavaszi félév Tartalom Pont 1 Pont 2 3 4 5 Tartalom Pont Descartes-koordináták Homogén koordináták

Részletesebben

Megoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7

Megoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7 A = {1; 3; 5; 7; 9} A B = {3; 5; 7} A/B = {1; 9} Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7 Azonos alapú hatványokat

Részletesebben

Érettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5

Érettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5 Érettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5 2003. Próba/ 13. Adott egy háromszög három csúcspontja a koordinátáival: A( 4; 4), B(4; 4) és C( 4; 8). Számítsa ki a C csúcsból induló súlyvonal és az A csúcsból

Részletesebben

Síkbeli egyenesek Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg

Síkbeli egyenesek Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg Analitikus mértan 5. FELADATLAP Síkbeli egyenesek 5.1. Írjuk fel annak az egyenesnek a paraméteres egyenleteit, amely (i) áthalad az M 0 (1, 2) ponton és párhuzamos a a(3, 1) vektorral; (ii) áthalad az

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII.

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Magasabbfokú egyenletek: A 3, vagy annál nagyobb fokú egyenleteket magasabb fokú egyenleteknek nevezzük. Megjegyzés: Egy n - ed fokú egyenletnek legfeljebb n darab valós

Részletesebben

Határozatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Határozatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Határozatlan integrál () First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Az összetett függvények integrálására szolgáló egyik módszer a helyettesítéssel való integrálás. Az idevonatkozó tétel pontos

Részletesebben

15. Koordinátageometria

15. Koordinátageometria I. Elméleti összefoglaló Koordinátákkal adott vektorok 15. Koordinátageometria Ha a(a ; a ) és b(b ; b ) a sík két vektora, λ valós szám, akkor az a vektor hossza: a = a + a a két vektor összege : a +

Részletesebben

Exponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek

Exponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek Eponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek. Hatványozási azonosságok. Számítsd ki a következő hatványok pontos értékét! a) 8 b) 4 c) d) 7 e) f) 9 0, g) 0, 9 h) 6 0, 7,, i) 8 j) 6 k) 4 l) 49,.

Részletesebben

Síkbeli egyenesek. 2. Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg

Síkbeli egyenesek. 2. Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg Analitikus mértan 3. FELADATLAP Síkbeli egyenesek 1. Írjuk fel annak az egyenesnek a paraméteres egyenleteit, amely (i) áthalad az M 0 (1, 2) ponton és párhuzamos a a(3, 1) vektorral; (ii) áthalad az origón

Részletesebben

Geometria II gyakorlatok

Geometria II gyakorlatok Geometria II gyakorlatok Kovács Zoltán Copyright c 2011 Last Revision Date: 2012. május 8. kovacsz@nyf.hu Technikai útmutató a jegyzet használatához A jegyzet képernyőbarát technikával készült, a megjelenés

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Koordinátageometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Koordinátageometria 1) MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Koordinátageometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Vektoralgebra. 1.) Mekkora a pillanatnyi sebesség 3 s elteltével, ha a kezdősebesség (15;9;7) m/s, a gravitációs gyorsulás pedig (0;0;-10) m/s 2?

Vektoralgebra. 1.) Mekkora a pillanatnyi sebesség 3 s elteltével, ha a kezdősebesség (15;9;7) m/s, a gravitációs gyorsulás pedig (0;0;-10) m/s 2? Vektoralgebra Elmélet: http://digitus.itk.ppke.hu/~b_novak/dmat/vektorfolcop.pdf Mikor érdemes más, nem ortonormált bázist alkalmazni? Fizikában a ferde hajításoknál megéri úgynevezett ferdeszögű koordináta-rendszert

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

Számítási feladatok a Számítógépi geometria órához

Számítási feladatok a Számítógépi geometria órához Számítási feladatok a Számítógépi geometria órához Kovács Zoltán Copyright c 2012 Last Revision Date: 2012. október 15. kovacsz@nyf.hu Technikai útmutató a jegyzet használatához A jegyzet képernyőbarát

Részletesebben

LINEÁRIS ALGEBRA. matematika alapszak. Euklideszi terek. SZTE Bolyai Intézet, őszi félév. Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40

LINEÁRIS ALGEBRA. matematika alapszak. Euklideszi terek. SZTE Bolyai Intézet, őszi félév. Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40 LINEÁRIS ALGEBRA matematika alapszak SZTE Bolyai Intézet, 2016-17. őszi félév Euklideszi terek Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40 Euklideszi tér Emlékeztető: A standard belső szorzás és standard

Részletesebben

Geometriai példatár 2.

Geometriai példatár 2. Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara Baboss Csaba Szabó Gábor Geometriai példatár 2 GEM2 modul Metrikus feladatok SZÉKESFEHÉRVÁR 2010 Jelen szellemi terméket a szerzői jogról szóló 1999 évi

Részletesebben

8. előadás. Kúpszeletek

8. előadás. Kúpszeletek 8. előadás Kúpszeletek Kör A k kört egyértelműen meghatározza C(a,b) középpontja és r sugara. A P pont pontosan akkor van k-n, ha CP=r. Vektoregyenlet: p-c = r. Koordinátás egyenlet: (X-a)2 + (Y-b)2 =

Részletesebben

Minimum követelmények matematika tantárgyból 11. évfolyamon

Minimum követelmények matematika tantárgyból 11. évfolyamon Minimum követelmények matematika tantárgyból. évfolyamon A hatványozás általánosítása pozitív alap esetén racionális kitevőre. Műveletek hatványokkal. A, a 0 függvény. Az eponenciális függvény. Vizsgálata

Részletesebben

Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I máj. 29.

Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I máj. 29. Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I. 2007. máj. 29. Megoldókulcs 1. Adott az S : 3x 6y + 2z = 6 sík a három dimenziós térben. (a) Írja fel egy tetszőleges, az S-re merőleges S síknak az egyenletét!

Részletesebben

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A Matematika 11. évfolyam 2. félév ESZKÖZÖK Matematika A 11. évfolyam 6. modul 6.1 kártyakészlet 6.1 kártyakészlet leírása A kártyákon pontok koordinátáit találjuk. A tanulók

Részletesebben

M/D/13. Szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát a közös nevezővel, 12-vel; így a következő egyenlethez jutunk: = 24

M/D/13. Szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát a közös nevezővel, 12-vel; így a következő egyenlethez jutunk: = 24 OKTATÁSI MINISZTÉRIUM M/D/13 Dolgozók gimnáziuma Dolgozók szakközépiskolája Szakmunkások szakközépiskolája intenzív tagozat) 003. május ) Határozza meg a következő egyenlet racionális gyökét! 1 3 4 + 5

Részletesebben

összeadjuk 0-t kapunk. Képletben:

összeadjuk 0-t kapunk. Képletben: 814 A ferde kifejtés tétele Ha egy determináns valamely sorának elemeit egy másik sor elemeihez tartozó adjungáltakkal szorozzuk meg és a szorzatokat összeadjuk 0-t kapunk Képletben: n a ij A kj = 0, ha

Részletesebben

3 függvény. Számítsd ki az f 4 f 3 f 3 f 4. egyenlet valós megoldásait! 3 1, 3 és 5 3 1

3 függvény. Számítsd ki az f 4 f 3 f 3 f 4. egyenlet valós megoldásait! 3 1, 3 és 5 3 1 Érettségi, M, I-es feladatsor, természettudomány.. Számítsd ki a C! összeget! log 4. Határozd meg a. Számítsd ki az egyenlet valós megoldásait! összeg értékét, ha és az 4. Adott az f : 0,, f. Adottak az

Részletesebben

LINEÁRIS ALGEBRA PÉLDATÁR MÉRNÖK INFORMATIKUSOKNAK

LINEÁRIS ALGEBRA PÉLDATÁR MÉRNÖK INFORMATIKUSOKNAK Írta: LEITOLD ADRIEN LINEÁRIS ALGEBRA PÉLDATÁR MÉRNÖK INFORMATIKUSOKNAK Egyetemi tananyag COPYRIGHT: Dr. Leitold Adrien Pannon Egyetem Műszaki Informatika Kar Matematika Tanszék LEKTORÁLTA: Dr. Buzáné

Részletesebben

Egyenesek MATEMATIKA 11. évfolyam középszint

Egyenesek MATEMATIKA 11. évfolyam középszint TÁMOP-3.1.4-08/2-2009-0011 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Egyenesek MATEMATIKA 11. évfolyam középszint Készítette: Nagy András Vasvár, 2010.

Részletesebben

A mátrix típusát sorainak és oszlopainak száma határozza meg. Tehát pl. egy 4 sorból és 3 oszlopból álló mátrix 4 3- as típusú.

A mátrix típusát sorainak és oszlopainak száma határozza meg. Tehát pl. egy 4 sorból és 3 oszlopból álló mátrix 4 3- as típusú. 1. Vektorok, lineáris algebra 1.1. Mátrixok 1.1.1. Fogalmak, tételek Definíció A mátrix elemek általában számok táblázata téglalap alakú elrendezésben. Nyomtatott nagybetűvel jelölik ezen felül nyomtatásban

Részletesebben

Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály, középszint

Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály, középszint TÁMOP-.1.4-08/2-2009-0011 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály, középszint Vasvár,

Részletesebben

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al: Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x

Részletesebben

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II.

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II. 8 Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II Elméleti összefoglaló Az a + b+ c, a egyenletet másodfokú egyenletnek nevezzük A D b ac kifejezést az egyenlet diszkriminánsának nevezzük Ha D >, az

Részletesebben

Emelt szintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: november. I. rész

Emelt szintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: november. I. rész Pataki János, november Emelt szintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: november I rész feladat Oldja meg az alábbi egyenleteket: a) log 7 log log log 7 ; b) ( )

Részletesebben

20. tétel A kör és a parabola a koordinátasíkon, egyenessel való kölcsönös helyzetük. Másodfokú egyenlőtlenségek.

20. tétel A kör és a parabola a koordinátasíkon, egyenessel való kölcsönös helyzetük. Másodfokú egyenlőtlenségek. . tétel A kör és a parabola a koordinátasíkon, egyenessel való kölcsönös helyzetük. Másodfokú egyenlőtlenségek. Először megadom a síkbeli definíciójukat, mert ez alapján vezetjük le az egyenletüket. Alakzat

Részletesebben

5. előadás. Skaláris szorzás

5. előadás. Skaláris szorzás 5. előadás Skaláris szorzás Bevezetés Két vektor hajlásszöge: a vektorokkal párhuzamos és egyirányú, egy pontból induló félegyenesek konvex szöge. φ Bevezetés Definíció: Két vektor skaláris szorzata abszolút

Részletesebben

Így a Bálint számára kedvező esetek száma +, hiszen duplán számoltuk azokat az eseteket, amikor a számok sem 2-vel, sem 5-tel nem oszthatók.

Így a Bálint számára kedvező esetek száma +, hiszen duplán számoltuk azokat az eseteket, amikor a számok sem 2-vel, sem 5-tel nem oszthatók. Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny, 2006 2007-es tanév MATEMATIKA, III. kategória a gimnáziumok speciális matematikai osztályainak tanulói részére Az első forduló feladatainak megoldásai Kérjük a

Részletesebben

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2011/2012 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) 2. forduló - megoldások. 1 pont Ekkor

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2011/2012 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) 2. forduló - megoldások. 1 pont Ekkor Okta tási Hivatal Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 0/0 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA). forduló - megoldások. Az valós számra teljesül a 3 sin sin cos sin egyenlőség. Milyen értékeket

Részletesebben

A brachistochron probléma megoldása

A brachistochron probléma megoldása A brachistochron probléma megoldása Adott a függőleges síkban két nem egy függőleges egyenesen fekvő P 0 és P 1 pont, amelyek közül a P 1 fekszik alacsonyabban. Azt a kérdést fogjuk vizsgálni. hogy van-e

Részletesebben

pont százalék % érdemjegy (jeles) (jó) (közepes) (elégséges) alatt 1 (elégtelen

pont százalék % érdemjegy (jeles) (jó) (közepes) (elégséges) alatt 1 (elégtelen A dolgozat feladatai az órán megoldott feladatok valamelyike, vagy ahhoz nagyon hasonló. A dolgozat 8 feladatból áll. 1. feladat 13 pont. feladat 8 pont 3. feladat 4. feladat 5. feladat 5 pont 6. feladat

Részletesebben

Matematika (mesterképzés)

Matematika (mesterképzés) Matematika (mesterképzés) Környezet- és Településmérnököknek Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 1 / 29 Lineáris tér,

Részletesebben

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek A másodfokú egyenlet grafikus megoldása Példa1. Ábrázold az f(x) = x + 1x + 16 függvényt, majd olvasd le az ábráról az alábbi egyenlet megoldását: x + 1x + 16 = 0.

Részletesebben

Széchenyi István Egyetem, 2005

Széchenyi István Egyetem, 2005 Gáspár Csaba, Molnárka Győző Lineáris algebra és többváltozós függvények Széchenyi István Egyetem, 25 Vektorterek Ebben a fejezetben a geometriai vektorfogalom ( irányított szakasz ) erős általánosítását

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

Geometria 1 összefoglalás o konvex szögek

Geometria 1 összefoglalás o konvex szögek Geometria 1 összefoglalás Alapfogalmak: a pont, az egyenes és a sík Axiómák: 1. Bármely 2 pontra illeszkedik egy és csak egy egyenes. 2. Három nem egy egyenesre eső pontra illeszkedik egy és csak egy sík.

Részletesebben

1. Szabadvektorok és analitikus geometria

1. Szabadvektorok és analitikus geometria 1. Szabadvektorok és analitikus geometria Ebben a fejezetben megismerkedünk a szabadvektorok fogalmával, amely a középiskolai vektorfogalom pontosítása. Előzetes ismeretként feltételezzük az euklideszi

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

MATEMATIKA HETI 5 ÓRA. IDŐPONT: 2009. június 8.

MATEMATIKA HETI 5 ÓRA. IDŐPONT: 2009. június 8. EURÓPAI ÉRETTSÉGI 2009 MATEMATIKA HETI 5 ÓRA IDŐPONT: 2009. június 8. A VIZSGA IDŐTARTAMA: 4 óra (240 perc) ENGEDÉLYEZETT SEGÉDESZKÖZÖK : Európai képletgyűjtemény Nem programozható, nem grafikus kalkulátor

Részletesebben

Feladatok megoldásokkal az első gyakorlathoz (differencia- és differenciálhányados fogalma, geometriai és fizikai jelentése) (x 1)(x + 1) x 1

Feladatok megoldásokkal az első gyakorlathoz (differencia- és differenciálhányados fogalma, geometriai és fizikai jelentése) (x 1)(x + 1) x 1 Feladatok megoldásokkal az első gyakorlathoz (differencia- és differenciálhányados fogalma, geometriai és fizikai jelentése). Feladat. Határozzuk meg az f(x) x 2 függvény x 0 pontbeli differenciahányados

Részletesebben

Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Valós számsorozaton valós számok meghatározott sorrendű végtelen listáját értjük. A hangsúly az egymásután következés rendjén van.

Részletesebben

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny tanévi első fordulójának feladatmegoldásai

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny tanévi első fordulójának feladatmegoldásai Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 008-009. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára. Határozzuk meg az alábbi egyenletrendszer valós megoldásait. ( x

Részletesebben

Lineáris egyenletrendszerek

Lineáris egyenletrendszerek Lineáris egyenletrendszerek Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az a 11 x 1 + a 12 x 2 +... +a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... +a 2n x n = b 2.. a k1 x 1 + a k2 x 2 +... +a kn x n = b k n ismeretlenes,

Részletesebben

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek A másodfokú egyenlet grafikus megoldása Példa1. Ábrázold az f(x) = x 1x 16 függvényt, majd olvasd le az ábráról az alábbi egyenlet megoldását: x 1x 16 =. 1. lépés:

Részletesebben

1. A komplex számok ábrázolása

1. A komplex számok ábrázolása 1. komplex számok ábrázolása Vektorok és helyvektorok. Ismétlés sík vektorai irányított szakaszok, de két vektor egyenlő, ha párhuzamosak, egyenlő hosszúak és irányúak. Így minden vektor kezdőpontja az

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Polárkoordinátás és paraméteres megadású görbék. oktatási segédanyag

Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Polárkoordinátás és paraméteres megadású görbék. oktatási segédanyag Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR Polárkoordinátás és paraméteres megadású görbék oktatási segédanyag Összeállította: Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia Miskolc, 01. Köszönetnyilvánítás Az

Részletesebben

Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai 1.

Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai 1. Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai.). Feladat. Határozzuk meg az alábbi integrálokat: a) x x + dx d) xe x dx b) c)

Részletesebben

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2014/2015-ös tanév első (iskolai) forduló Haladók II. kategória

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2014/2015-ös tanév első (iskolai) forduló Haladók II. kategória Bolyai János Matematikai Társulat Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 01/01-ös tanév első iskolai) forduló Haladók II. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. Adott az alábbi két egyenletrendszer:

Részletesebben

1. Feladatsor. I. rész

1. Feladatsor. I. rész . feladatsor. Feladatsor I. rész. Mely x valós számokra lesz ebben a sorrendben a cos x, a sinx és a tg x egy mértani sorozat három egymást követő tagja?... (). Egy rombusz egyik átlója 0 cm, beírható

Részletesebben

Geometriai példatár 1.

Geometriai példatár 1. Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara Baboss Csaba Szabó Gábor Geometriai példatár 1 GEM1 modul Koordináta-geometria SZÉKESFEHÉRVÁR 2010 Jelen szellemi terméket a szerzői jogról szóló 1999

Részletesebben

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ A MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI 1. FELADATSORHOZ

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ A MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI 1. FELADATSORHOZ JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ A MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI 1. FELADATSORHOZ Formai előírások: A dolgozatot a vizsgázó által használt színűtől eltérő színű tollal kell javítani, és a tanári gyakorlatnak

Részletesebben

A hiperbolikus síkgeometria Poincaré-féle körmodellje

A hiperbolikus síkgeometria Poincaré-féle körmodellje A hiperbolikus síkgeometria Poincaré-féle körmodellje Ha egy aiómarendszerre modellt adunk, az azt jelenti, hogy egy matematikai rendszerben interpretáljuk az aiómarendszer alapfogalmait és az aiómák a

Részletesebben

Differenciálegyenletek megoldása próbafüggvény-módszerrel

Differenciálegyenletek megoldása próbafüggvény-módszerrel Differenciálegyenletek megoldása próbafüggvény-módszerrel Ez még nem a végleges változat, utoljára módosítva: 2012. április 9.19:38. Elsőrendű egyenletek Legyen adott egy elsőrendű lineáris állandó együtthatós

Részletesebben

ARCHIMEDES MATEMATIKA VERSENY

ARCHIMEDES MATEMATIKA VERSENY Koszinusztétel Tétel: Bármely háromszögben az egyik oldal négyzetét megkapjuk, ha a másik két oldal négyzetének összegéből kivonjuk e két oldal és az általuk közbezárt szög koszinuszának kétszeres szorzatát.

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2013. október 15. KÖZÉPSZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2013. október 15. KÖZÉPSZINT I. 1) Az A halmaz elemei a MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 01. október 15. KÖZÉPSZINT I. 5 -nél nagyobb, de -nél kisebb egész számok. B a pozitív egész számok halmaza. Elemeinek felsorolásával adja meg az halmazt! A\

Részletesebben

9. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 9. előadás Mátrix inverze, mátrixegyenlet

9. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 9. előadás Mátrix inverze, mátrixegyenlet 9. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 75. 84. oldal. Gondolkodnivalók Mátrix rangja 1. Gondolkodnivaló Határozzuk meg a p valós paraméter értékétől függően a következő mátrix rangját: p 3 1 2 2

Részletesebben

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok I. DEFINÍCIÓ: (Számsorozat) A számsorozat olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza, értékkészlete a valós számok egy részhalmaza. Jelölés: (a n ), {a n }.

Részletesebben

A táblára felírtuk a 0-tól 2003-ig terjedő egész számokat (tehát összesen 2004 db számot). Mekkora a táblán levő számjegyek összege?

A táblára felírtuk a 0-tól 2003-ig terjedő egész számokat (tehát összesen 2004 db számot). Mekkora a táblán levő számjegyek összege? ! " # $ %& '()(* $ A táblára felírtuk a 0-tól 00-ig terjedő egész számokat (tehát összesen 004 db számot). Mekkora a táblán levő számjegyek összege? 0 0 0 0 0. 9 7. 9 9 9 + ')./ &,- $ Először a 0-tól 999-ig

Részletesebben

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének 6. Függvények I. Elméleti összefoglaló A függvény fogalma, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet Legyen az A és B halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük

Részletesebben

1. tétel. 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója 7 cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont)

1. tétel. 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója 7 cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont) 1. tétel 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont). Adott az ábrán két vektor. Rajzolja meg a b, a b és az a b vektorokat! (6 pont)

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA II 8 VIII Elsőrendű DIFFERENCIÁLEGYENLETEk 1 Alapvető ÖSSZEFÜGGÉSEk Elsőrendű differenciálegyenlet általános és partikuláris megoldása Az vagy (1) elsőrendű differenciálegyenlet

Részletesebben

Matematika szóbeli érettségi témakörök 2016/2017-es tanév őszi vizsgaidőszak

Matematika szóbeli érettségi témakörök 2016/2017-es tanév őszi vizsgaidőszak Matematika szóbeli érettségi témakörök 2016/2017-es tanév őszi vizsgaidőszak Halmazok Halmazok egyenlősége Részhalmaz, valódi részhalmaz Üres halmaz Véges és végtelen halmaz Halmazműveletek (unió, metszet,

Részletesebben

Diszkrét matematika II., 5. előadás. Lineáris egyenletrendszerek

Diszkrét matematika II., 5. előadás. Lineáris egyenletrendszerek 1 Diszkrét matematika II, 5 előadás Lineáris egyenletrendszerek Dr Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@infnymehu http://infnymehu/ takach/ 2007 március 8 Egyenletrendszerek Középiskolás módszerek:

Részletesebben

A tér lineáris leképezései síkra

A tér lineáris leképezései síkra A tér lineáris leképezései síkra Az ábrázoló geometria célja: A háromdimenziós térben elhelyezkedő alakzatok helyzeti és metrikus viszonyainak egyértelmű és egyértelműen rekonstruálható módon történő ábrázolása

Részletesebben

Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely. 2015. március 30. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa

Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely. 2015. március 30. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely 2015. március 30. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa Feladatok csak szakközépiskolásoknak Sz 1. A C csúcs értelemszerűen az AB oldal felező

Részletesebben