Geometriai példatár 2.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Geometriai példatár 2."

Átírás

1 Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara Baboss Csaba Szabó Gábor Geometriai példatár 2 GEM2 modul Metrikus feladatok SZÉKESFEHÉRVÁR 2010

2 Jelen szellemi terméket a szerzői jogról szóló 1999 évi LXXVI törvény védi Egzének vagy rzeinek másolása felhasználás kizárólag a szerző írásos engedélyével lehetséges Ez a modul a TÁMOP /1/A Tananyagfejlesztsel a GEO-ért projekt keretében kzült A projektet az Európai Unió a Magyar Állam Ft összegben támogatta Lektor: Németh László Projektvezető: Dr hc Dr Szepes András A projekt szakmai vezetője: Dr Mélykúti Gábor dékán Copyright Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010

3 Tartalom 2 Metrikus feladatok 1 21 Bevezet Alapvető fogalmak Összefüggek tételek képletek 2 22 Metrikus feladatok Szögekkel kapcsolatos feladatok Távolsági feladatok 8 23 Metrikus feladatok - MEGOLDÁSOK Szögekkel kapcsolatos feladatok (Megoldások) Távolsági feladatok (Megoldások) 14

4

5 2 fejezet - Metrikus feladatok 21 Bevezet Ez a modul az analitikus geometria azon feladatait gyűjtötte egybe amelyek az egyes térelemek távolságának hajlásszögének a meghatározását igénylik A feladatok előtt rövid elméleti összefoglalást adunk az egyes fogalmakról tételekről 211 Alapvető fogalmak Két pont távolsága: alapfogalom Szakasz hosszán a két végpontjának távolságát értjük Két ponthalmaz távolsága: A két ponthalmaz pontjai között behúzható összes szakasz hosszának infimuma (alsó határa) Zárt alakzatok esetén ez a legrövidebb szakasz Két ponthalmaz távolsága nulla ha van közös pontjuk vagy közös határuk Tehát metsző illetve illeszkedő térelemek távolsága nulla Pont egyenes távolsága: A pontból az egyenesre bocsátott merőleges szakasz hossza Pont sík távolsága: A pontból a síkra állított merőleges egyenes döfpontjának az adott pontnak a távolsága Két párhuzamos egyenes távolsága: Az egyik egyenes tetszőleges pontjának a másik egyenestől vett távolsága Kitérő egyenesek normáltranszverzálisa: Bizonyítható hogy két kitérő egyenes esetében pontosan egy olyan egyenes létezik amelyik mindkettőt metszi mindkét egyenesre merőleges Ez az egyenes a két kitérő egyenes normáltranszverzálisa Két kitérő egyenes távolsága: A normáltranszverzálisnak a kitérő egyenesekkel alkotott metszpontjai közé eső szakasza Egyenes vele párhuzamos sík távolsága: Az egyenes tetszőleges pontjának a síktól vett távolsága Két párhuzamos sík távolságán az egyik sík tetszőleges pontjának a másik síktól vett távolságát értjük Két metsző egyenes hajlásszöge: A metszpont körül keletkezett szögtartományok (2-2 egybevágó szög) közül a kisebbik Két kitérő egyenes hajlásszöge: Az a szög melyet úgy kapunk hogy az egyik egyenest önmagával párhuzamosan eltolva a másikkal metsző helyzetbe hozzuk az így keletkező immáron metsző egyenesek hajlásszöge lesz a két kitérő egyenes hajlásszöge Egyenes sík merőleges helyzete: Egy egyenes akkor merőleges egy síkra ha merőleges a sík összes egyenesére Bizonyítható hogy ha egy egyenes merőleges a sík két egymást metsző egyenesére akkor merőleges az összes egyenesére azaz merőleges a síkra Egyenes sík hajlásszögén az egyenesnek az adott síkra eső merőleges vetületének az adott egyenesnek a hajlásszögét értjük Két metsző sík hajlásszöge: A két sík metszvonalának egy pontjában a metszvonalra merőleges egyeneseket állítunk mindkét síkban az így nyert egyenesek hajlásszöge lesz a síkok hajlásszöge Ez a szög pótszöge az egyenes a sík normálisa által bezárt szögnek

6 Geometriai példatár Párhuzamos illetve egybeeső térelemek (sík egyenes) hajlásszöge nulla 212 Összefüggek tételek képletek Vektor hossza (síkbeli koordinátákkal): Vektor hossza (térbeli koordinátákkal): Az végpontú szakasz illetve vektor hossza: Két vektor skaláris szorzata: Két vektor skaláris szorzata síkbeli koordinátákkal: Két vektor skaláris szorzata térbeli koordinátákkal: Az vektorok vektoriális szorzatán azt a vektort értjük amelyik merőleges mindkét adott vektorra az hossza: vektorok ebben a sorrendben jobbrendszert alkotnak a Két vektor vektoriális szorzata koordinátákkal: Paralelogramma területe ha az egy csúcsból induló oldalélvektorokat -val -vel jelöljük: Háromszög területe ha az egy csúcsból induló oldalélvektorokat -val -vel jelöljük: Három vektor vegyes szorzatán a következő műveletet értjük: Paralelepipedon térfogata ha az egy csúcsból induló oldalélvektorokat -vel jelöljük: Tetraéder térfogata ha az egy csúcsból induló oldalélvektorokat -vel jelöljük: GEM2-2 Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010

7 Metrikus feladatok Az csúcsú háromszög súlypontjának koordinátái: A pontra illeszkedő egyenes egyenletei (síkban): - gel: Az irányvektorral: normálvektorral: - meredekség- (Az egyenes meredeksége az irányszögének a tangense) egyenes normálegyenlete: Ha az egyenest általános alakban írjuk fel azaz formában akkor ebből a normálegyenletet a következő alakban nyerjük: A pont egy adott egyenes távolsága: egyenes egyenletének nullára rendezett alakjából nyerhető ahol a tört számlálója az A koordináta-síkon adott két egyenes ( ahol mazható) ) hajlásszögének meghatározása: a két egyenes normálvektora (Ugyanez az összefügg az irányvektorokkal is alkal- Két egyenes hajlásszöge meredekségekkel: Két metsző egyenes szögfelezőinek egyenletét az adott egyenesek normálegyenleteinek összege illetve különbsége adja A kör általános egyenlete: sugara A kör ahol pontjában húzható a kör középpontja érintőjének az pedig a egyenlete: A külső pontból az általános egyenletével adott körhöz húzható érintők érinti pontjain áthaladó szelő egyenletét úgy kapjuk hogy a koordinátáit az érintő általános egyenletébe behelyettesítjük Ekkor tehát az egyenlet az előbb említett szelő egyenletét adja Ez az eljárás a továbbiakban előkerülő kúpszeletek mindegyikére alkalmazható Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010 GEM2-3

8 Geometriai példatár Az ellipszis általános egyenlete (ha a tengelyei párhuzamosak a koordináta-tengelyekkel): ahol tengely pedig az az ellipszis középpontja tengellyel párhuzamos fél- tengellyel párhuzamos féltengely hossza Összefügg az ellipszis féltengelyeire: Az az ellipszis ahol pontjában a fókuszpontok távolságának a fele húzható érintőjének az egyenlete: A hiperbola általános egyenlete (ha a tengelyei párhuzamosak a koordináta-tengelyekkel): ahol féltengely pedig az a hiperbola középpontja tengellyel párhuzamos tengellyel párhuzamos féltengely hossza Összefügg a hiperbola féltengelyeire: A az hiperbola ahol pontjában a fókuszpontok távolságának a fele húzható érintőjének az egyenlete: A hiperbola aszimptotáinak egyenletei: a hiperbola hossza ahol tengellyel párhuzamos féltengelye a hiperbola középpontja pedig az tengellyel párhuzamos féltengely A parabola általános egyenletei (elhelyezkedtől függően: - az tengely pozitív irányába nyitott tengelye párhuzamos az ja tengellyel: ahol tengely negatív irányába pedig a fókuszpont a vezéregyenes távolsága (paraméter) - az nyitott tengelye párhuzamos az tengellyel: irányába nyitott tengelye párhuzamos az a parabola tengelypont- - az tengellyel: tengellyel: Az szimmetriatengelyű párhuzamos tív irányába nyitott parabola tengely ne- - az gatív irányába nyitott tengelye párhuzamos az koordináta-tengellyel tengely pozitív az tengely pozi- pontjában húzható érintőjének az egyenlete: Az irányába koordináta-tengellyel nyitott párhuzamos parabola szimmetriatengelyű pontjában húzható az érintőjének tengely az pozitív egyenlete: GEM2-4 Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010

9 Metrikus feladatok A pontra illeszkedő sík egyenlete normálvektorával felírva: A sík normálegyenlete: Ha a síkot általános alakban írjuk fel azaz formában akkor ebből a normálegyenletet a következő alakban nyer- jük: illetve ugyanez tömörebb formában: A pont egy adott sík távolsága: számlálója a sík egyenletének nullára rendezett alakjából nyerhető ahol a tört Két metsző sík szögfelező síkjainak egyenletét az adott síkok normálegyenleteinek összege illetve különbsége adja A tér általános helyzetű egyenesének egyenletrendszere: az egyenes irányvektora valamint 0) ahol (tehát az irányvektor egyik koordinátája sem pedig az egyenes egy adott pontja A tér általános helyzetű egyenesének egyenletrendszere ha pedig az egyenes egy adott pontja: az egyenes irányvektora ahol valós paraméter Itt is lehet azaz ezt az egyenletrendszert akkor is használhatjuk ha az irányvektor valamelyik koordinátája 0 Két egyenes párhuzamos ha irányvektoraik párhuzamosak azaz: Egy egyenes egy sík párhuzamos ha az egyenes irányvektora merőleges a sík normálvektorára azaz: Két sík ( Két egyenes merőleges ha irányvektoraik merőlegesek egymásra azaz: Egy egyenes merőleges az azaz: ) párhuzamos ha normálvektoraik párhuzamosak azaz: Két sík ( síkra ha az egyenes irányvektora párhuzamos a sík normálvektorával ) merőleges ha normálvektoraik merőlegesek azaz: Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010 GEM2-5

10 Geometriai példatár Két általános helyzetű egyenes hajlásszögének meghatározása: a két egyenes irányvektora ahol Általános helyzetű egyenes sík hajlásszögének meghatározása: egyenes irányvektora ahol az pedig a sík normálvektora Két általános helyzetű sík ( ) hajlásszögének meghatározása: a két sík normálvektora A gömb egyenlete: pedig a sugara A ahol ahol gömb pontjában a gömb középpontja húzható érintősík egyenlete: Az ellipszoid egyenlete: pontja az Az ahol az ellipszoid közép- a három féltengelye ellipszoid pontjában húzható érintősík egyenlete: 22 Metrikus feladatok 221 Szögekkel kapcsolatos feladatok 1 Adott két vektor Határozzuk meg az általuk bezárt c) 2 Legyen zárjon be egymással! szöget! a) b) Határozzuk meg az abszcisszáját úgy hogy a két vektor 60o-os szöget 3 Határozzuk meg a következő két-két egyenes által bezárt GEM2-6 c) e) szöget! a) b) d) Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010

11 Metrikus feladatok 4 Adjuk meg azon egyenes egyenletét amelyik áthalad a ponton a harmadik síknegyedben a koordinátatengelyekkel olyan háromszöget alkot amelyiknek a területe területegység 5 Két egyenes egyenlete: e: f: Határozzuk meg az f egyenes m meredekségét úgy hogy a két egyenes által bezárt szög 6 Legyen e: f: legyen! Határozzuk meg az f egyenes egyenletében szereplő úgy hogy a két egyenes által bezárt szög értékét legyen 7 Határozzuk meg a f: következő két egyenes hajlásszögét! e: 8 Számítsuk ki az alábbi térelemek által bezárt szöget! e: S: 9 10 Mekkora a hajlásszögük a következő síkoknak? S: Adjuk meg az alábbi síkok hajlásszögét! S: R: R: 11 Adott egy egyenes egy S: 12 sík Mekkora az egymással bezárt szögük? e: Milyen szög alatt látjuk a pontból a g: ellipszist? 13 Milyen szög alatt látjuk a pontból a g: egyenletű görbét? 14 Határozzuk meg a g: egyenletű görbének a pontból való látószögét! 15 Milyen szög alatt látható a 16 pontból a egyenletű ellipszis? Adjuk meg annak az origó középpontú hiperbolának az egyenletét amelyiknek egyik pontja a aszimptotái 60o-os szöget zárnak be egymással! 17 Hány fokos szögben látható a pontból a Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010 egyenletű hiperbola jobb oldali ága? GEM2-7

12 Geometriai példatár Milyen szög alatt látható a g: parabola a Hány fokos szögben látható a pontból a g: pontból? egyenletű görbe? Adott egy f: egyenes egy g: egyenletű ellipszis Az egyenes két pontban metszi a görbét Határozzuk meg mind a két metszpontban az egyenes a görbe által bezárt hajlásszöget! Megjegyz: Egymást metsző görbe egyenes hajlásszögén azt a szöget értjük melyet a metszpontban húzható érintő az adott egyenessel zár be Adott egy g: egyenletű hiperbola egy f: görbe egyenes által bezárt hajlásszöget mind a két metszpontban! Adott egy g: egyenletű parabola egy f: az egyenes által bezárt hajlásszöget mind a két metszpontban! Adott az origó középpontú hiperbola h: meg a metszpontjaikban keletkezett hajlásszögeket! Adott két parabola:g: letkezett hajlásszögeket! egyenes Határozzuk meg a egyenes Határozzuk meg a görbe g: h: ellipszis Határozzuk Határozzuk meg a metszpontjaikban ke- 222 Távolsági feladatok 1 Határozzuk meg azon háromszögek területét amelynek csúcsai: a) 2 3 c) Adott két pont továbbá három pont egy egyenesen legyen! b) Határozzuk meg a Adott két pont továbbá koordinátáját úgy hogy a három pont egy egyenesen legyen! pont ordinátáját úgy hogy a Határozzuk meg a pont ismeretlen 4 Egy háromszög csúcsai: területe T= ordinátáját úgy hogy a háromszög területe a megadott érték legyen! 5 Határozzuk meg azon gúlák térfogatait amelyeknek csúcsai: a) b) 6 Egy gúla csúcsai: Határozzuk meg a 7 8 Határozzuk meg a csúcs térfogata térfogategység csúcs applikátáját úgy hogy a térfogat a megadott érték legyen! Legyen hogy a négy pont egy síkban legyen Határozzuk meg a C pont abszcisszáját úgy Adott az háromszög Határozzuk meg: a) a C csúcsra illeszkedő magasságvonal egyenletét b) az mc magasság hosszát! GEM2-8 Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010

13 Metrikus feladatok 9 Adott egy e: hogy a 10 pont Határozzuk meg a pont ordinátáját úgy pont távolsága az adott egyenestől 5 egység legyen! Adott az e: egyenes egy egyenes az pontpár Melyek azok a pontok amelyek az pontoktól egyenlő távolságra az e egyenestől pedig 5 egységre vannak? 11 Határozzuk meg a 12 Számítsuk ki a pontnak az e: egyenestől való távolságát! pontnak az S: síktól való távolságát! 13 Adott S sík egy e egyenes S: e: a) Állapítsuk meg kölcsönös helyzetüket! b) Ha metszőek határozzuk meg a metszpont koordinátáit! Ha párhuzamosak számítsuk ki a távolságukat! Adott két párhuzamos sík: S: ; R: Adott egy S: sík Határozzuk meg a való távolsága 3 koordináta egység legyen! Határozzuk meg a távolságukat! pont ordinátáját úgy hogy a pont síktól 16 Létezik-e s ha igen mekkora a következő két egyenes távolsága? e: f: 17 Adott két kitérő egyenes: e: f: a) Határozzuk meg normáltranszverzálisuk egyenletrendszerét! b) Adjuk meg legközelebb lévő pontjaikat! c) Számítsuk ki távolságukat! 18 Adott két kitérő egyenes: e: f: a) Adjuk meg legközelebb lévő pontjaikat! b) Határozzuk meg normáltranszverzálisuk egyenletrendszerét! c) Számítsuk ki távolságukat! 19 Adott két kitérő egyenes: e: f: a) Adjuk meg legközelebb lévő pontjaikat! b) Határozzuk meg normáltranszverzálisuk egyenletrendszerét! c) Számítsuk ki távolságukat! 20 Határozzuk meg az egyenes egyenletében az ordináta-szelet ( ) értékét úgy hogy az egyenes az origótól 5 koordináta egységre legyen! Mekkora területű háromszöget alkot a koordináta-rendszer tengelyeivel a kapott egyenes? 21 Határozzuk meg az egyenes egyenletében a meredekség ( az origótól való távolsága 2 koordináta egység legyen! Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010 ) értékét úgy hogy az egyenesnek GEM2-9

14 Geometriai példatár Adott két kitérő egyenes: e: f: a) Adjuk meg legközelebb lévő pontjaikat! b) Határozzuk meg normáltranszverzálisuk egyenletrendszerét! c) Számítsuk ki távolságukat! 23 Adott két kitérő egyenes: e: f: a) Adjuk meg legközelebb lévő pontjaikat! b) Határozzuk meg normáltranszverzálisuk egyenletrendszerét! c) Számítsuk ki távolságukat! 24 Adott az A B sík egy e egyenes A: B: e: Határozzuk meg az e egyenes azon pontját amely mind a két síktól egyenlő távolságra van! Adott három sík: A: B: C: Határozzuk meg mindazon pontokat amelyek egyrzt az A B síkoktól egyenlő távolságra másrzt a C síktól 1 koordináta egységre vannak! Adott két pont egy S: sík Határozzuk meg azon pontokat amelyek az adott pontoktól egyenlő távolságra az S síktól pedig 2 egységre vannak! Határozzuk meg az S: távolságát! síknak az Határozzuk meg az S: egyenletű gömbfelülettől való síknak a távolságát a következő gömbfelülettől: Adjuk meg az S: síknak az ellipszoidtól való távolságát! Határozzuk meg az távolságát! egyenletű görbének az f: egyenestől való Határozzuk meg a g: egyenes távolságát! egyenletű hiperbola jobb oldali ága 31 az f: 32 Adott az Adjuk meg az f: Határozzuk meg az egyenes távolságát! egyenletű ellipszis egy f: egyenesnek a g: egyenes Határozzuk meg távolságukat! egyenletű görbétől való távolágát! egyenletű hiperbola jobb oldali ága az egyenletű Adott az egyenletű hiperbola Mekkora annak a háromszögnek a területe amelyet az pontjára illeszkedő érintő az I III síknegyedben lévő aszimptota az x tengely zár be? Határozzuk meg az GEM2-10 parabola az egyenes távolságát! Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010

15 Metrikus feladatok Adjuk meg a g: görbe az f: Határozzuk meg az egyenes távolságát! ellipszisnek a egyenestől való távolságát! 39Az e egyenes mentén beeső fénysugár a tükör S síkjáról visszaverődve az e* egyenes mentén halad tovább Adjuk meg a visszavert fénysugár (e*) egyenletrendszerét ha: e: 40 Tükrözzük az S: S: pontra Adjuk meg a sík tükörképének (S*) egyenletét! síkot a 41 Tükrözzük az e: (e*) az egyenletrendszerét! egyenest a pontra! Adjuk meg az egyenes tükörképének 42 Tükrözzük a ( pontot a t: egyenesre! Adjuk meg a pont tükörképének ) koordinátáit! Adott két párhuzamos egyenes: e: f: az adott egyenesekre illeszkednek Az egyik szára az van Határozzuk meg a trapéz területét! koordináta-síkon a másik pedig az Egy gúla egyik csúcsa az origó további három csúcsát az S: tengelyekkel alkotott metszpontjaiban nyerjük Mekkora a gúla térfogata? Egy trapéz csúcsai síkon síknak a koordináta- 45Egy háromszög két oldala az alább adott e f - egyeneseknek szakaszai a harmadik oldala párhuzamos az koordináta-síkkal fölötte egységnyi távolságra van Mekkora a háromszög kerülete? e: f: 46 Az e: egyenletrendszereit! 47 egyenest tükrözzük mind a három koordináta-síkra Adjuk meg a tükörképek Létezik-e s ha igen mekkora a térfogata annak a tetraédernek amelynek alaplapja S: síkon van három éle az alábbi (e; f; g) egyenesek szakaszai? e: f: g: 48 Adott két metsző egyenes: e: f: Határozzuk meg azon egyenlőszárú háromszög csúcsait amelynek szárai az adott egyenesek szakaszai a szárak hossza 7 koordináta egység Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010 GEM2-11

16 Geometriai példatár Metrikus feladatok - MEGOLDÁSOK 231 Szögekkel kapcsolatos feladatok (Megoldások) 1 a) b) c) 2 3 a) b) e) c) d) A hajlásszöget az egyenesek irányvektorai által bezárt szög segítségével állapítjuk meg (figyelembe véve hogy két térelem nem zárhat be 90o-nál nagyobb szöget viszont két vektor szöge lehet 90o-nál nagyobb) Megjegyz: Két térbeli egyenes által bezárt szöget attól függetlenül meg tudjuk állapítani hogy tudnánk hogy metszők avagy kitérők (ugyanis a párhuzamosság az irányvektorok ismeretében kizárt) A keresett látószöget a P pontra illeszkedő két érintő zárja be Az érintők e1: A keresett szög: GEM2-12 e2: Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010

17 Metrikus feladatok 13 A P pontra illeszkedő érintők: e1: e2: A keresett látószög: 14 A P pontra illeszkedő érintők: e1: 15 e2: A keresett látószög: A P pontra illeszkedő érintők: e1: e2: A keresett látószög: 16 Két ilyen hiperbola van: 17 A P pontra illeszkedő érintők: e1: 18 e2: A keresett látószög: e 2: A keresett látószög: A P pontra illeszkedő érintők: e1: 19 A P pontra illeszkedő érintők: e1: e2: A keresett látószög: 20 A görbe egyenes metszpontjai: Az metszpontnál létrejövő hajlásszög: e2: 21 A Az metszpontnál létrejövő hajlásszög: 22 A metszpontnál létrejövő hajlásszög: Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010 Az pontra illeszkedő érintő: pontra illeszkedő érintő: e1: Az A metszpontnál létrejövő hajlásszög: A görbe egyenes metszpontjai: Az A metszpontnál létrejövő hajlásszög: A görbe egyenes metszpontjai: e2: pontra illeszkedő érintő: e1: Az pontra illeszkedő érintő: pontra illeszkedő érintő: e1: A pontra illesz- GEM2-13

18 Geometriai példatár kedő érintő: e2: A metszpontnál létrejövő hajlásszög: 23A két görbe 4 (különböző síknegyedbe eső) pontban metszi egymást Ezen metszpontok koordinátái a közös szimmetriatengelyek miatt csak előjelben különböznek A keresett hajlásszögek ezért egyenlők tehát elegendő csak az I síknegyedben vizsgálódni A görbék metszpontja az I síknegyedben: M(4;2) Az ellipszis érintője az M pontban: e1: A hiperbola érintője az M pontban: e2: hajlásszöge az M pontban: A görbék 24Az y tengely a két parabola közös szimmetriatengelye ezért a két metszpont csupán az első koordinátáik előjelében térnek el egymástól Másrzt a két metszpontban keletkezett hajlásszögek megegyeznek A görbék metszpontja az I síknegyedben: Az egyik érintő: e1: A keresett hajlásszög: A másik érintő: e2: 232 Távolsági feladatok (Megoldások) 1 a) területegység b) területegység c) Megjegyz: Hogy a c) feladat háromszögének 0 a területe már abból is feltűnhet hogy az meghatározásával 2 vektorok koordinátáinak adódik ami csak úgy lehet ha a három pont egy egyenesre illeszkedik Ha a három pont egy egyenesen van három féle módon is megoldhatjuk a feladatot: a) Az területe 0 alkalmazzuk a terület-képletet b) háromszög Mivel a C egyik koordinátája ismert ezért eb- ből meghatározható majd az ismeretlen koordináta is számolható c) A C illeszkedik az AB egyenesre ezért annak egyenletét felírva majd a C koordinátáit behelyettesítve kiszámítható az ismeretlen koordináta Megoldás: 3 A feladat szövege azonos az előző feladatéval A különbség az hogy most három dimenzióban vagyunk Térben az előbbi megoldás a) variációja nem használható mert itt a T=0 egyenlet két ismeretlent tartalmaz A b) c) megoldást itt is alkalmazhatjuk Eredmények: 4 vagy 5 a) V=3 térfogategység b) 6 vagy térfogategység 7 Ha a négy pont egy síkban van akkor az általuk meghatározott gúla térfogata 0 Másik megoldás: Írjuk fel az A B D pontok közös síkjának egyenletét majd mivel a C pont ezen sík eleme a kapott egyenletbe helyettesítsük be a C pont koordinátáit Megoldás: GEM2-14 Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010

19 Metrikus feladatok 8 a) b) mc=5 egység 9 Két megoldás van: az egyik az egyenes fölött : 10 a másik az egyenes alatt : Az A B pontoktól egyenlő távolságra lévő pontok mértani helye az f: szakaszfelező merőleges Az e egyenestől 5 egységre lévő pontok mértani helye két egymással az e egyenessel is párhuzamos h g egyenes h: g: Megoldás: az említett mértani helyek metszpontjai: 11Célszerű előbb meghatározni az egyenesnek azt a pontját amelyik a legközelebb van az adott ponthoz Ezt a pontot a P pontra illeszkedő az e egyenesre merőleges S: nesből: sík metszi ki az adott egye- Ezzel a feladatot visszavezettük két pont távolságának kiszámítására ami azonos a vektor hosszával: d=pm=7 egység 12A távolság: d=3 egység 13 a) Mivel ezért a két vektor merőleges az S sík az e egyenes párhuzamos egymással b) A távolságot az egyenes egy tetszőleges pontjának pl tartópontjának a síktól való távolságával mérjük: d=1 egység 14A távolság: d=3 egység 15 Az S síktól 3 egységre lévő pontok mértani helye a következő két sík: A: A P pont illeszkedik ezen síkokra: 16 A két egyenes párhuzamos mert van közös irányvektoruk: vagy B: Így létezik a távolságuk: d=7 egység 17a) Két kitérő egyenes normáltranszverzálisát a Geometria I jegyzet oldalain leírt megoldási elv alapján számíthatjuk lásd az ott kidolgozott feladatot A kapott normáltranszverzális egyenletrendszere: Megjegyz:Bármely ezzel ekvivalens egyenletrendszer is termzetesen helyes megoldás b) illeszkedik az e egyenesre illeszkedik f egyenesre c) d=7 egység 18 a) illeszkedik az e egyenesre illeszkedik az f egyenesre b) Megjegyz: Lásd 17/a megjegyzét c) d=3 egység 19 a) illeszkedik az e egyenesre illeszkedik f egyenesre b) Megjegyz:Bármely ezzel ekvivalens egyenletrendszer is termzetesen helyes megoldás c) d=7 egység 20 A keresett érték: A meredekség: területegység 21 Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010 GEM2-15

20 Geometriai példatár a) illeszkedik az e egyenesre illeszkedik f egyenesre b) Megjegyz:Bármely ezzel ekvivalens egyenletrendszer is termzetesen helyes megoldás c) ség egy- 23 a) illeszkedik az e egyenesre illeszkedik f egyenesre b) Megjegyz:Bármely ezzel ekvivalens egyenletrendszer is termzetesen helyes megoldás c) ség 24 egy- Két párhuzamos síktól egyenlő távolságra lévő pontok mértani helye az az F: egyenletű sík amelynek az origótól való távolsága számtani közepe az adott síkok origótól való távolságának Megoldás: az e egyenesnek az F síkkal való metszpontja: 25Az A B síkoktól egyenlő távolságra lévő pontok mértani helye SZ F szögfelező síkok SZ: S: F: A C síktól egy egységre lévő pontok mértani helye az R: síkok A megoldás 4 olyan egyenes (e; f; g; h) amelye- ket az előbb említett síkok metszvonalaiként az alábbiak szerint nyerünk: e: az S F síkok metszvonala f: az S SZ síkok metszvonala g: az R F síkok metszvonala h: az R SZ síkok metszvonala Megjegyz:Bármely ezekkel ekvivalens egyenletrendszerek is termzetesen helyes megoldások 26Az A B pontoktól egyenlő távolságra lévő pontok mértani helye az AB szakasz felezőmerőleges síkja: F: L: Az S síktól 2 egységre lévő pontok mértani helye a H: síkok A megoldás: h: az F H síkok metszvonala l: az F L síkok metszvonala Megjegyz:Bármely ezekkel ekvivalens egyenletrendszerek is termzetesen helyes megoldások 27Két megoldási módot is adunk: a) Az S sík normálegyenletéből leolvassuk a síknak a gömb középpontjától jelen esetben az origótól való távolságát (9 egység) Ebből levonva a gömb sugarát (r=3 egység) kapjuk a sík a gömbfelület távolságát: d=6 egység b) Megadjuk az egyenletrendszerét annak az f egyenesnek amelyik illeszkedik a gömb középpontjára merőleges az S síkra: f: f egyenesnek a gömbfelülettel alkotott metszpontjait: Meghatározzuk az Megvizsgáljuk hogy a két pont közül melyik van a síkhoz közelebb ( ) illetve távolabb ( ) a közelebbinek az S síktól való távolsága lesz a síknak a gömbfelülettől való távolsága: d=6 egység 28Két megoldási módot adunk: a) Megadjuk a gömb középpontjára illeszkedő S síkkal párhuzamos R síkot R: Meghatározzuk a két sík egymástól való távolságát (origótól való távolságuk különbségét 18-6=12 egység) Ebből a gömb sugarát (r=3 egység) levonva kapjuk az S síknak a gömbfelülettől való távolságát d=9 egység b) Megadjuk az egyenletrendszerét annak az f egyenesnek amelyik illeszkedik GEM2-16 Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010

21 Metrikus feladatok a gömb középpontjára merőleges az S síkra: f: a gömbfelülettel alkotott metszpontjait: Meghatározzuk az f egyenesnek Megvizsgáljuk hogy a két pont közül melyik van a síkhoz közelebb ( ) illetve távolabb ( ) a közelebbinek az S síktól való távolsága lesz a síknak a gömbfelülettől való távolsága: d=9 egység Megjegyz: Az előző feladat a) megoldási módszerét is alkalmazhattuk volna 29 Legyen egyenletéből (az az a felületi pont amelyhez tartozó érintősík párhuzamos az S síkkal A felület pont koordinátáinak segítségével) felírható egy E: említett párhuzamos síkok normálvektoraira: érintősík Az vektoregyenletnek kell teljesülnie A megfelelő koordinátákra hasonló egyenletek nyerhetők továbbá az pont rajta van a felületen ezért koordinátái kielégítik a felület egyenletét Az említett egyenletekből álló egyenletrendszer megoldásaként két felületi pontot kapunk (mert az S síkkal párhuzamos érintősíkból 2 van): Ezek közül az egyik a felület legközelebbi a másik a legtávolabbi pont A keresett távolság: 30Előbb próbáljuk meghatározni a görbének az f egyenessel párhuzamos érintőit Így megkapjuk a görbe egyeneshez legközelebbi illetve legtávolabbi pontját A legközelebbi pont: d=3 egység 31 A görbének az egyeneshez legközelebbi pontja egység 32 A görbének az egyeneshez legközelebbi pontja egység A görbének az egyeneshez legközelebbi pontja egység A görbének az egyeneshez legközelebbi pontja egység 35 Az érintő egyenlete: e: Az aszimptota egyenlete: A háromszög területe: területegység A görbének az egyeneshez legközelebbi pontja egység A görbének az egyeneshez legközelebbi pontja egység A görbének az egyeneshez legközelebbi pontja egység 39 A megoldás: e*: Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010 GEM2-17

22 Geometriai példatár A megoldás: S*: 41 A megoldás: e*: 42 A megoldás: 43 A trapéz csúcsai: ; 44 ; A gúla csúcsai A trapéz oldalai: ; egység A trapéz kerülete az előbbi oldalak összege A gúla térfogata V=20 térfogategység 45 A háromszög csúcsai ; A háromszög oldalai: egység A háromszög kerülete: ; egység 46 Az e egyenes tükörképe az koordináta síkra: koordináta síkra: Az e egyenes tükörképe az Az e egyenes tükörképe az koordináta síkra: Megjegyz:Bármely ezekkel ekvivalens egyenletrendszerek is termzetesen helyes megoldások 47A tetraéder létezének feltétele hogy az adott három egyenesnek legyen egy közös pontja E közös ponthoz ha létezik úgy jutunk hogy meghatározzuk két-két egyenes metszpontját (tetraéder léteze esetén) ennek azonosnak kell lennie Most ettől megkíméljük a feladat megoldóját ugyanis vegyük zre hogy az egyenesek közös tartópontúak Tehát létezik a tetraéder s annak egy csúcsa az előbbi M pont A tetraéder alaplapjának nyerjük: 48 csúcsit az adott egyeneseknek az S síkkal alkotott döfpontjaiként A gúla térfogata: V=7 térfogategység A háromszög alapjával szemben lévő csúcsát a két egyenes metszpontjában nyerjük: a szárak hossza 7 egység ezért a Mivel csúcsokat az adott egyenesek az A középpontú 7 egység sugarú gömb felületéből metszik ki A feladatnak négy megoldása van Egyik megoldás: További megoldásokat az előbbi csúcsoknak az pontra való tükrözével nyerünk Irodalomjegyzék Baboss Csaba: Geometria I Nyugat-Magyarországi Egyetem Geoinformatikai kar Székesfehérvár 2007 Coxeter H S M: A geometriák alapjai Műszaki Könyvkiadó Budapest 1973 Hajós György: Bevezet a geometriába Tankönyvkiadó Budapest 1966 GEM2-18 Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010

23 Metrikus feladatok Kárteszi Ferenc: Bevezet a véges geometriákba Akadémia Kiadó Budapest 1972 Kárteszi Ferenc: Lineáris transzformációk Tankönyvkiadó Budapest 1974 Reiman István: A geometria határterületei Gondolat Könyvkiadó 1986 Pelle Béla: Geometria Tankönyvkiadó Budapest 1974 Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010 GEM2-19

24

Geometriai példatár 2.

Geometriai példatár 2. Geometriai példatár 2 Metrikus feladatok Baboss, Csaba, Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar Szabó, Gábor, Nyugat-Magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar Geometriai példatár 2: Metrikus feladatok

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria I.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria I. Geometria I. Alapfogalmak: Az olyan fogalmakat, amelyeket nem tudunk egyszerűbb fogalmakra visszavezetni, alapfogalmaknak nevezzük, s ezeket nem definiáljuk. Pl.: pont, egyenes, sík, tér, illeszkedés.

Részletesebben

Geometriai alapfogalmak

Geometriai alapfogalmak Geometriai alapfogalmak Alapfogalmak (nem definiáljuk): pont, egyenes, sík, tér. Félegyenes: egy egyenest egy pontja két félegyenesre bontja. Ez a pont a félegyenes végpontja. A félegyenes végtelen hosszú.

Részletesebben

LINEÁRIS ALGEBRA PÉLDATÁR MÉRNÖK INFORMATIKUSOKNAK

LINEÁRIS ALGEBRA PÉLDATÁR MÉRNÖK INFORMATIKUSOKNAK Írta: LEITOLD ADRIEN LINEÁRIS ALGEBRA PÉLDATÁR MÉRNÖK INFORMATIKUSOKNAK Egyetemi tananyag COPYRIGHT: Dr. Leitold Adrien Pannon Egyetem Műszaki Informatika Kar Matematika Tanszék LEKTORÁLTA: Dr. Buzáné

Részletesebben

Fejezetek az abszolút geometriából 6. Merőleges és párhuzamos egyenesek

Fejezetek az abszolút geometriából 6. Merőleges és párhuzamos egyenesek Fejezetek az abszolút geometriából 6. Merőleges és párhuzamos egyenesek Ebben a fejezetben megadottnak feltételezzük az abszolút tér egy síkját és tételeink mindig ebben a síkban értendők. T1 (merőleges

Részletesebben

6. modul Egyenesen előre!

6. modul Egyenesen előre! MATEMATIKA C 11 évfolyam 6 modul Egyenesen előre! Készítette: Kovács Károlyné Matematika C 11 évfolyam 6 modul: Egyenesen előre! Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási

Részletesebben

Geometriai példatár 1.

Geometriai példatár 1. Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara Baboss Csaba Szabó Gábor Geometriai példatár 1 GEM1 modul Koordináta-geometria SZÉKESFEHÉRVÁR 2010 Jelen szellemi terméket a szerzői jogról szóló 1999

Részletesebben

Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara. Dr. Engler Péter. Fotogrammetria 2. FOT2 modul. A fotogrammetria geometriai és matematikai alapjai

Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara. Dr. Engler Péter. Fotogrammetria 2. FOT2 modul. A fotogrammetria geometriai és matematikai alapjai Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara Dr. Engler Péter Fotogrammetria 2. FOT2 modul A fotogrammetria geometriai és matematikai alapjai SZÉKESFEHÉRVÁR 2010 Jelen szellemi terméket a szerzői

Részletesebben

Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály, középszint

Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály, középszint TÁMOP-.1.4-08/2-2009-0011 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály, középszint Vasvár,

Részletesebben

2) = 0 ahol x 1 és x 2 az ax 2 + bx + c = 0 ( a,b, c R és a 0 )

2) = 0 ahol x 1 és x 2 az ax 2 + bx + c = 0 ( a,b, c R és a 0 ) Fogalom gyűjtemény Abszcissza: az x tengely Abszolút értékes egyenletek: azok az egyenletek, amelyekben abszolút érték jel szerepel. Abszolútérték-függvény: egy elemi egyváltozós valós függvény, mely minden

Részletesebben

BEVEZETÉS AZ ÁBRÁZOLÓ GEOMETRIÁBA

BEVEZETÉS AZ ÁBRÁZOLÓ GEOMETRIÁBA Pék Johanna BEVEZETÉS AZ ÁBRÁZOLÓ GEOMETRIÁBA (Matematika tanárszakos hallgatók számára) Tartalomjegyzék Előszó ii 0. Alapismeretek 1 0.1. Térgeometriai alapok............................. 1 0.2. Az ábrázoló

Részletesebben

PRÓBAÉRETTSÉGI MATEMATIKA. 2003. május-június SZÓBELI EMELT SZINT. Tanulói példány. Vizsgafejlesztő Központ

PRÓBAÉRETTSÉGI MATEMATIKA. 2003. május-június SZÓBELI EMELT SZINT. Tanulói példány. Vizsgafejlesztő Központ PRÓBAÉRETTSÉGI 2003. május-június MATEMATIKA SZÓBELI EMELT SZINT Tanulói példány Vizsgafejlesztő Központ 1. Halmazok, halmazműveletek Alapfogalmak, halmazműveletek, számosság, számhalmazok, nevezetes ponthalmazok

Részletesebben

9. ÉVFOLYAM. Tájékozottság a racionális számkörben. Az azonosságok ismerete és alkalmazásuk. Számok abszolútértéke, normál alakja.

9. ÉVFOLYAM. Tájékozottság a racionális számkörben. Az azonosságok ismerete és alkalmazásuk. Számok abszolútértéke, normál alakja. 9. ÉVFOLYAM Gondolkodási módszerek A szemléletes fogalmak definiálása, tudatosítása. Módszer keresése az összes eset áttekintéséhez. A szükséges és elégséges feltétel megkülönböztetése. A megismert számhalmazok

Részletesebben

NT-17102 Matematika 9. (Heuréka) Tanmenetjavaslat

NT-17102 Matematika 9. (Heuréka) Tanmenetjavaslat NT-17102 Matematika 9. (Heuréka) Tanmenetjavaslat Ezzel a segédanyaggal szeretnék segítséget nyújtani a középiskolák azon matematikatanárainak, akik a matematikai oktatáshoz és neveléshez Dr. Fried Katalin

Részletesebben

Széchenyi István Egyetem, 2005

Széchenyi István Egyetem, 2005 Gáspár Csaba, Molnárka Győző Lineáris algebra és többváltozós függvények Széchenyi István Egyetem, 25 Vektorterek Ebben a fejezetben a geometriai vektorfogalom ( irányított szakasz ) erős általánosítását

Részletesebben

20. tétel A kör és a parabola a koordinátasíkon, egyenessel való kölcsönös helyzetük. Másodfokú egyenlőtlenségek.

20. tétel A kör és a parabola a koordinátasíkon, egyenessel való kölcsönös helyzetük. Másodfokú egyenlőtlenségek. . tétel A kör és a parabola a koordinátasíkon, egyenessel való kölcsönös helyzetük. Másodfokú egyenlőtlenségek. Először megadom a síkbeli definíciójukat, mert ez alapján vezetjük le az egyenletüket. Alakzat

Részletesebben

Az alap- és a képfelület fogalma, megadási módjai és tulajdonságai

Az alap- és a képfelület fogalma, megadási módjai és tulajdonságai A VETÜLETEK ALAP- ÉS KÉPFELÜLETE Az alap- és a képfelület fogalma, megadási módjai és tulajdonságai A geodézia, a térinformatika és a térképészet a görbült földfelületen elhelyezkedő geometriai alakzatokat

Részletesebben

MATEMATIKA 9. osztály Segédanyag 4 óra/hét

MATEMATIKA 9. osztály Segédanyag 4 óra/hét MATEMATIKA 9. osztály Segédanyag 4 óra/hét - 1 - Az óraszámok az AROMOBAN követhetőek nyomon! A tananyag feldolgozása a SOKSZÍNŰ MATEMATIKA (Mozaik, 013) tankönyv és a SOKSZÍNŰ MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY

Részletesebben

MAGISTER GIMNÁZIUM TANMENET 2012-2013 9. OSZTÁLY

MAGISTER GIMNÁZIUM TANMENET 2012-2013 9. OSZTÁLY MAGISTER GIMNÁZIUM TANMENET 2012-2013 9. OSZTÁLY Heti 4 óra Évi 148 óra Készítette: Ellenőrizte: Literáti Márta matematika tanár.. igazgató 1 / 5 I. Az általános iskolai ismeretek ismétlése 1. óra: Műveletek

Részletesebben

Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Geometriai Tanszék AZ EVOLUTÁK VILÁGA. BSc szakdolgozat. tanári szakirány. Budapest, 2013.

Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Geometriai Tanszék AZ EVOLUTÁK VILÁGA. BSc szakdolgozat. tanári szakirány. Budapest, 2013. Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Geometriai Tanszék AZ EVOLUTÁK VILÁGA BSc szakdolgozat Készítette: Somlói Zsófia matematika BSc tanári szakirány Témavezető: Dr. Moussong Gábor adjunktus

Részletesebben

MATEMATIKA ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI-FELVÉTELI FELADATOK 2003. május 19. du. JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI-FELVÉTELI FELADATOK 2003. május 19. du. JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ MATEMATIKA ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI-FELVÉTELI FELADATOK 00 május 9 du JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ Oldja meg a rendezett valós számpárok halmazán az alábbi egyenletrendszert! + y = 6 x + y = 9 x A nevezők miatt az alaphalmaz

Részletesebben

Matematika POKLICNA MATURA

Matematika POKLICNA MATURA Szakmai érettségi tantárgyi vizsgakatalógus Matematika POKLICNA MATURA A tantárgyi vizsgakatalógus a 0-es tavaszi vizsgaidőszaktól kezdve alkalmazható mindaddig, amíg új nem készül. A katalógus érvényességét

Részletesebben

4) Az ABCD négyzet oldalvektorai körül a=ab és b=bc. Adja meg az AC és BD vektorokat a és b vektorral kifejezve!

4) Az ABCD négyzet oldalvektorai körül a=ab és b=bc. Adja meg az AC és BD vektorokat a és b vektorral kifejezve! (9/1) Vektorok, Koordináta Geometria 1) Szerkessze meg az a + b és az a b vektort, ha a és b egy szabályos háromszögnek a mellékelt ábra szerinti oldalvektorai! 2) Az ABC háromszög két oldalának vektora

Részletesebben

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens Az R 3 tér geometriája Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. 1 Vektorok Vektor: irányított szakasz Jel.: a, a, a, AB, Jellemzői: irány, hosszúság, (abszolút érték) jel.: a Speciális

Részletesebben

Halmazok Halmazok, részhalmaz, halmazműveletek, halmazok elemszáma

Halmazok Halmazok, részhalmaz, halmazműveletek, halmazok elemszáma Az osztályozóvizsgák követelményrendszere 9.Ny osztály Halmazok Halmazok, részhalmaz, halmazműveletek, halmazok elemszáma Algebra és számelmélet Alapműveletek az egész és törtszámok körében Műveleti sorrend,

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2009. október 20. EMELT SZINT

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2009. október 20. EMELT SZINT MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 009. október 0. EMELT SZINT ) Oldja meg az alábbi egyenleteket! a), ahol és b) log 0,5 0,5 7 6 log log 0 I., ahol és (4 pont) (7 pont) log 0,5 a) Az 0,5 egyenletben a hatványozás megfelelő

Részletesebben

I. Gondolkodási módszerek: (6 óra) 1. Gondolkodási módszerek, a halmazelmélet elemei, a logika elemei. 1. Számfogalom, műveletek (4 óra)

I. Gondolkodási módszerek: (6 óra) 1. Gondolkodási módszerek, a halmazelmélet elemei, a logika elemei. 1. Számfogalom, műveletek (4 óra) MATEMATIKA NYEK-humán tanterv Matematika előkészítő év Óraszám: 36 óra Tanítási ciklus 1 óra / 1 hét Részletes felsorolás A tananyag felosztása: I. Gondolkodási módszerek: (6 óra) 1. Gondolkodási módszerek,

Részletesebben

Első sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a. cos x + sin2 x cos x. +sinx +sin2x =

Első sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a. cos x + sin2 x cos x. +sinx +sin2x = 2000 Írásbeli érettségi-felvételi feladatok Első sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a egyenletet! cos x + sin2 x cos x +sinx +sin2x = 1 cos x (9 pont) 2. Az ABCO háromszög

Részletesebben

Az áprilisi vizsga anyaga a fekete betűkkel írott szöveg! A zölddel írott rész az érettségi vizsgáig még megtanulandó anyag!

Az áprilisi vizsga anyaga a fekete betűkkel írott szöveg! A zölddel írott rész az érettségi vizsgáig még megtanulandó anyag! Részletes követelmények Matematika házivizsga Az áprilisi vizsga anyaga a fekete betűkkel írott szöveg! A zölddel írott rész az érettségi vizsgáig még megtanulandó anyag! A vizsga időpontja: 2015. április

Részletesebben

4. modul Poliéderek felszíne, térfogata

4. modul Poliéderek felszíne, térfogata Matematika A 1. évfolyam 4. modul Poliéderek felszíne, térfogata Készítette: Vidra Gábor Matematika A 1. évfolyam 4. modul: POLIÉDEREK FELSZÍNE, TÉRFOGATA Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott

Részletesebben

Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István. tankönyv. Mozaik Kiadó Szeged, 2013

Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István. tankönyv. Mozaik Kiadó Szeged, 2013 Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István tankönyv 0 Mozaik Kiadó Szeged, 03 TARTALOMJEGYZÉK Gondolkodási módszerek. Mi következik ebbõl?... 0. A skatulyaelv... 3. Sorba rendezési

Részletesebben

Számsorozatok Sorozat fogalma, példák sorozatokra, rekurzív sorozatokra, sorozat megadása Számtani sorozat Mértani sorozat Kamatszámítás

Számsorozatok Sorozat fogalma, példák sorozatokra, rekurzív sorozatokra, sorozat megadása Számtani sorozat Mértani sorozat Kamatszámítás 12. évfolyam Osztályozó vizsga 2013. augusztus Számsorozatok Sorozat fogalma, példák sorozatokra, rekurzív sorozatokra, sorozat megadása Számtani sorozat Mértani sorozat Kamatszámítás Ismerje a számsorozat

Részletesebben

ÁBRÁZOLÓ GEOMETRIA. Csavarvonal, csavarfelületek. Összeállította: Dr. Geiger János. Gépészmérnöki és Informatikai Kar MISKOLCI EGYETEM

ÁBRÁZOLÓ GEOMETRIA. Csavarvonal, csavarfelületek. Összeállította: Dr. Geiger János. Gépészmérnöki és Informatikai Kar MISKOLCI EGYETEM ÁBRÁZOLÓ GEOMETRIA Csavarvonal, csavarfelületek Összeállította: Dr. Geiger János Gépészmérnöki és Informatikai Kar MISKOLCI EGYETEM 2014 TARTALOM 1. A munkafüzet célja, területei, elsajátítható kompetenciák...

Részletesebben

Osztályozóvizsga követelményei

Osztályozóvizsga követelményei Osztályozóvizsga követelményei Képzés típusa: Tantárgy: Nyolcosztályos gimnázium Matematika Évfolyam: 5 Emelt óraszámú csoport Emelt szintű csoport Vizsga típusa: Írásbeli Követelmények, témakörök: Gondolkodási

Részletesebben

Azonosító jel: MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA. 2015. október 13. 8:00. Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc

Azonosító jel: MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA. 2015. október 13. 8:00. Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc É RETTSÉGI VIZSGA 2015. október 13. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2015. október 13. 8:00 Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA

Részletesebben

Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók)

Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók) Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók) Vektorok 1. Egy négyzet két szemközti csúcsának koordinátái: A( ; 7) és C(4 ; 1). Határozd meg a másik két

Részletesebben

Matematikai geodéziai számítások 4.

Matematikai geodéziai számítások 4. Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara Dr. Bácsatyai László Matematikai geodéziai számítások 4. MGS4 modul Vetületi átszámítások SZÉKESFEHÉRVÁR 2010 Jelen szellemi terméket a szerzői jogról

Részletesebben

Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara. Csordásné Marton Melinda. Fizikai példatár 1. FIZ1 modul. Optika feladatgyűjtemény

Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara. Csordásné Marton Melinda. Fizikai példatár 1. FIZ1 modul. Optika feladatgyűjtemény Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara Csordásné Marton Melinda Fizikai példatár 1 FIZ1 modul Optika feladatgyűjtemény SZÉKESFEHÉRVÁR 2010 Jelen szellemi terméket a szerzői jogról szóló 1999

Részletesebben

Témakörök az osztályozó vizsgához. Matematika

Témakörök az osztályozó vizsgához. Matematika Témakörök az osztályozó vizsgához Idegenforgalmi és Informatikus osztályok (9.A/9.B) 1. A halmazok, számhalmazok, ponthalmazok 2. Függvények 3. A számelmélet elemei. Hatványozás. 0 és negatív kitevőjű

Részletesebben

9. előadás. Térbeli koordinátageometria

9. előadás. Térbeli koordinátageometria 9. előadás Térbeli koordinátageometria Koordinátageometria a térben Descartes-féle koordinátarendszerben dolgozunk. A legegyszerűbb alakzatokat fogjuk vizsgálni. Az ezeket leíró egyenletek első-, vagy

Részletesebben

10. évfolyam, negyedik epochafüzet

10. évfolyam, negyedik epochafüzet 10. évfolyam, negyedik epochafüzet (Geometria) Tulajdonos: NEGYEDIK EPOCHAFÜZET TARTALOM I. Síkgeometria... 4 I.1. A háromszög... 4 I.2. Nevezetes négyszögek... 8 I.3. Sokszögek... 14 I.4. Kör és részei...

Részletesebben

Ady Endre Líceum Nagyvárad XII.C. Matematika Informatika szak ÉRINTVE A GÖRBÉT. Készítette: Szigeti Zsolt. Felkészítő tanár: Báthori Éva.

Ady Endre Líceum Nagyvárad XII.C. Matematika Informatika szak ÉRINTVE A GÖRBÉT. Készítette: Szigeti Zsolt. Felkészítő tanár: Báthori Éva. Ady Endre Líceum Nagyvárad XII.C. Matematika Informatika szak ÉRINTVE A GÖRBÉT Készítette: Szigeti Zsolt Felkészítő tanár: Báthori Éva 2010 október Dolgozatom témája a különböző függvények, illetve mértani

Részletesebben

Geometria 1 összefoglalás o konvex szögek

Geometria 1 összefoglalás o konvex szögek Geometria 1 összefoglalás Alapfogalmak: a pont, az egyenes és a sík Axiómák: 1. Bármely 2 pontra illeszkedik egy és csak egy egyenes. 2. Három nem egy egyenesre eső pontra illeszkedik egy és csak egy sík.

Részletesebben

I. rész. x 100. Melyik a legkisebb egész szám,

I. rész. x 100. Melyik a legkisebb egész szám, Dobos Sándor, 005. november Középszintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Dobos Sándor; dátum: 005. november 1. feladat A 70-nek 80%-a mely számnak a 70%-a? I. rész. feladat Egy szabályos

Részletesebben

MATEMATIKA Kiss Árpád Országos Közoktatási Szolgáltató Intézmény Vizsgafejlesztő Központ

MATEMATIKA Kiss Árpád Országos Közoktatási Szolgáltató Intézmény Vizsgafejlesztő Központ MATEMATIKA Kiss Árpád Országos Közoktatási Szolgáltató Intézmény Vizsgafejlesztő Központ I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY Az érettségi követelményeit két szinten határozzuk meg: középszinten a

Részletesebben

Lineáris algebra I. Vektorok és szorzataik

Lineáris algebra I. Vektorok és szorzataik Lineáris algebra I. Vektorok és szorzataik Ismert fogalmak Témák Vektortér Lineáris kombináció Lineáris függőség, függetlenség Generátorrendszer, bázis, dimenzió Lineáris leképezések Szabadvektorok vektortere

Részletesebben

Három dimenziós barlangtérkép elkészítésének matematikai problémái

Három dimenziós barlangtérkép elkészítésének matematikai problémái Szegedi Tudományegyetem Természettudományi és Informatikai Kar Bolyai Intézet Geometria Tanszék Három dimenziós barlangtérkép elkészítésének matematikai problémái Szakdolgozat Írta: Pásztor Péter Matematika

Részletesebben

Lineáris algebra I. Kovács Zoltán. Előadásvázlat (2006. február 22.)

Lineáris algebra I. Kovács Zoltán. Előadásvázlat (2006. február 22.) Lineáris algebra I. Kovács Zoltán Előadásvázlat (2006. február 22.) 2 3 Erdős Jenő emlékének. 4 Tartalomjegyzék 1. A szabadvektorok vektortere 7 1. Szabadvektorok összeadása és skalárral való szorzása...............

Részletesebben

Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara. Prof. Dr. Závoti József. Matematika III. 6. MA3-6 modul. A statisztika alapfogalmai

Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara. Prof. Dr. Závoti József. Matematika III. 6. MA3-6 modul. A statisztika alapfogalmai Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara Prof. Dr. Závoti József Matematika III. 6. MA3-6 modul A statisztika alapfogalmai SZÉKESFEHÉRVÁR 2010 Jelen szellemi terméket a szerzői jogról szóló 1999.

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2012. május 8. EMELT SZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2012. május 8. EMELT SZINT I. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 01. május 8. EMELT SZINT I. 1) Egy 011-ben készült statisztikai összehasonlításban az alábbiakat olvashatjuk: Ha New York-ban az átlagfizetést és az átlagos árszínvonalat egyaránt

Részletesebben

Ferde fényképezés. Szalkai István Pannon Egyetem, Veszprém, szalkai@almos.uni-pannon.hu. June 18, 2015

Ferde fényképezés. Szalkai István Pannon Egyetem, Veszprém, szalkai@almos.uni-pannon.hu. June 18, 2015 Ferde fényképezés Szalkai István Pannon Egyetem, Veszprém, szalkai@almos.uni-pannon.hu June 18, 2015 Haladvány Kiadvány, 2015. http://www.math.bme.hu/~hujter/halad.htm/150619.pdf Legtöbbször nem tudjuk

Részletesebben

Koordináta-geometria feladatok (középszint)

Koordináta-geometria feladatok (középszint) Koordináta-geometria feladatok (középszint) 1. (KSZÉV Minta (1) 2004.05/I/4) Adott az A(2; 5) és B(1; 3) pont. Adja meg az AB szakasz felezőpontjának koordinátáit! 2. (KSZÉV Minta (2) 2004.05/I/7) Egy

Részletesebben

Középszintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: 2005. november. I. rész

Középszintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: 2005. november. I. rész Pataki János, 005. november Középszintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: 005. november I. rész. feladat Egy liter 0%-os alkoholhoz / liter 40%-os alkoholt keverünk.

Részletesebben

- hányadost és az osztót összeszorozzuk, majd a maradékot hozzáadjuk a kapott értékhez

- hányadost és az osztót összeszorozzuk, majd a maradékot hozzáadjuk a kapott értékhez 1. Számtani műveletek 1. Összeadás 73 + 19 = 92 összeadandók (tagok) összeg Összeadáskor a tagok felcserélhetőek, az összeg nem változik. a+b = b+a Összeadáskor a tagok tetszőlegesen csoportosíthatóak

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2011. október 18. EMELT SZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2011. október 18. EMELT SZINT I. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 0. október 8. EMELT SZINT I. ) Kinga 0. születésnapja óta kap havi zsebpénzt a szüleitől. Az első összeget a 0. születésnapján adták a szülők, és minden hónapban 50 Fttal többet adnak,

Részletesebben

3 m ; a víz sodráé sec. Bizonyítsuk be, hogy a legnagyobb szöge 120 0 -os! α =. 4cos 2

3 m ; a víz sodráé sec. Bizonyítsuk be, hogy a legnagyobb szöge 120 0 -os! α =. 4cos 2 3... Egyenes szíjhatás esetén milyen hosszú szíj szükséges 50 cmes és 6 cm-es sugarú tárcsák összekapcsolásához, ha a tárcsák tengelyeinek távolsága 335 cm? 3... Csónakkal akarunk a folyó túlsó partjára

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY

MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY Pék Johanna MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY Nem matematika alapszakos hallgatók számára Tartalomjegyzék Előszó iii. Lineáris algebra.. Mátrixok...................................... Lineáris egyenletrendszerek..........................

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria V.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria V. Geometria V. DEFINÍCIÓ: (Középponti szög) Ha egy szög csúcsa egy adott kör középpontja, akkor a kör középponti szögének nevezzük. DEFINÍCIÓ: (Kerületi szög) Ha egy szög csúcsa egy adott körvonal pontja,

Részletesebben

3. Nevezetes ponthalmazok a síkban és a térben

3. Nevezetes ponthalmazok a síkban és a térben 3. Nevezetes ponthalmazok a síkban és a térben 1. 1. Alapfogalmak 2. Nevezetes sík- és térbeli alakzatok, definícióik 3. Thalész-tétel 4. Gyakorlati alkalmazás Pont: alapfogalom, nem definiáljuk Egyenes:

Részletesebben

Matematika 11 Koordináta geometria. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < szeptember 27.

Matematika 11 Koordináta geometria. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < szeptember 27. Matematika 11 Koordináta geometria Juhász László matematika és fizika szakos középiskolai tanár > o < 2015. szeptember 27. copyright: c Juhász László Ennek a könyvnek a használatát szerzői jog védi. A

Részletesebben

9. modul Szinusz- és koszinusztétel. Készítette: Csákvári Ágnes

9. modul Szinusz- és koszinusztétel. Készítette: Csákvári Ágnes 9. modul Szinusz- és koszinusztétel Készítette: Csákvári Ágnes Matematika A 11. évfolyam 9. modul: Szinusz- és koszinusztétel Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási

Részletesebben

Bevezetés a számításelméletbe I. feladatgyűjtemény. Szeszlér Dávid, Wiener Gábor

Bevezetés a számításelméletbe I. feladatgyűjtemény. Szeszlér Dávid, Wiener Gábor Bevezetés a számításelméletbe I. feladatgyűjtemény Szeszlér Dávid, Wiener Gábor Tartalomjegyzék Előszó 2 1. Feladatok 5 1.1. Térbeli koordinátageometria........................... 5 1.2. Vektortér, altér..................................

Részletesebben

Tanmenet Matematika 8. osztály HETI ÓRASZÁM: 3,5 óra ( 4-3) ÉVES ÓRASZÁM: 126 óra

Tanmenet Matematika 8. osztály HETI ÓRASZÁM: 3,5 óra ( 4-3) ÉVES ÓRASZÁM: 126 óra Tanmenet Matematika 8. osztály HETI ÓRASZÁM: 3,5 óra ( 4-3) ÉVES ÓRASZÁM: 126 óra A Kiadó javaslata alapján összeállította: Látta:...... Harmath Lajos munkaközösség vezető tanár Jóváhagyta:... igazgató

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 8 VIII VEkTOROk 1 VEkTOR Vektoron irányított szakaszt értünk Jelölése: stb Vektorok hossza A vektor abszolút értéke az irányított szakasz hossza Ha a vektor hossza egységnyi akkor

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Koordinátageometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Koordinátageometria 1) MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Koordinátageometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Feladatok megoldásokkal a harmadik gyakorlathoz (érintési paraméterek, L Hospital szabály, elaszticitás) y = 1 + 2(x 1). y = 2x 1.

Feladatok megoldásokkal a harmadik gyakorlathoz (érintési paraméterek, L Hospital szabály, elaszticitás) y = 1 + 2(x 1). y = 2x 1. Feladatok megoldásokkal a harmadik gyakorlathoz (érintési paraméterek, L Hospital szabály, elaszticitás). Feladat. Írjuk fel az f() = függvény 0 = pontbeli érintőjének egyenletét! Az érintő egyenlete y

Részletesebben

Helyi tanterv. Batthyány Kázmér Gimnázium Matematika emelt (5+6+6+6 óra/hét) 9-12 évfolyam Készült: 2013 február

Helyi tanterv. Batthyány Kázmér Gimnázium Matematika emelt (5+6+6+6 óra/hét) 9-12 évfolyam Készült: 2013 február Helyi tanterv Batthyány Kázmér Gimnázium Matematika emelt (5+6+6+6 óra/hét) 9-12 évfolyam Készült: 2013 február 1 A TANTERV SZERKEZETE Bevezető Célok és feladatok Fejlesztési célok és kompetenciák Helyes

Részletesebben

MATEMATIKA TAGOZAT 5-8. BEVEZETŐ. 5. évfolyam

MATEMATIKA TAGOZAT 5-8. BEVEZETŐ. 5. évfolyam BEVEZETŐ Ez a helyi tanterv a kerettanterv Emelet matematika A változata alapján készült. Az emelt oktatás során olyan tanulóknak kívánunk magasabb szintű ismerteket nyújtani, akik matematikából átlag

Részletesebben

Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara. Gyenes Róbert. Geodézia 4. GED4 modul. Vízszintes helymeghatározás

Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara. Gyenes Róbert. Geodézia 4. GED4 modul. Vízszintes helymeghatározás Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara Gyenes Róbert Geodézia 4. GED4 modul Vízszintes helymeghatározás SZÉKESFEHÉRVÁR 2010 Jelen szellemi terméket a szerzői jogról szóló 1999. évi LXXVI. törvény

Részletesebben

Optika feladatok (szemelvények a 333 Furfangos Feladat Fizikából könyvből)

Optika feladatok (szemelvények a 333 Furfangos Feladat Fizikából könyvből) Fénytan 1 Optika feladatok (szemelvények a 333 Furfangos Feladat Fizikából könyvből) Feladatok F. 1. Vízszintes asztallapra fektetünk egy negyedhenger alakú üvegtömböt, amelynek függőlegesen álló síklapját

Részletesebben

Matematika emelt szintû érettségi témakörök 2013. Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár)

Matematika emelt szintû érettségi témakörök 2013. Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár) Matematika emelt szintû érettségi témakörök 013 Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár) Tájékoztató vizsgázóknak Tisztelt Vizsgázó! A szóbeli vizsgán a tétel címében megjelölt téma kifejtését

Részletesebben

Matematika emelt szint a 11-12.évfolyam számára

Matematika emelt szint a 11-12.évfolyam számára Német Nemzetiségi Gimnázium és Kollégium Budapest Helyi tanterv Matematika emelt szint a 11-12.évfolyam számára 1 Emelt szintű matematika 11 12. évfolyam Ez a szakasz az érettségire felkészítés időszaka

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. Koordináta-geometria és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 4

Részletesebben

MATEMATIKA A 10. évfolyam

MATEMATIKA A 10. évfolyam MATEMATIKA A 10. évfolyam 8. modul Hasonlóság és alkalmazásai Készítették: Vidra Gábor, Lénárt István Matematika A 10. évfolyam 8. modul: Hasonlóság és alkalmazásai A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály

Részletesebben

Lineáris Algebra gyakorlatok

Lineáris Algebra gyakorlatok A V 2 és V 3 vektortér áttekintése Lineáris Algebra gyakorlatok Írta: Simon Ilona Lektorálta: DrBereczky Áron Áttekintjük néhány témakör legfontosabb definícióit és a feladatokban használt tételeket kimondjuk

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria III.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria III. Geometria III. DEFINÍCIÓ: (Vektor) Az egyenlő hosszúságú és egyirányú irányított szakaszoknak a halmazát vektornak nevezzük. Jele: v. DEFINÍCIÓ: (Geometriai transzformáció) Geometriai transzformációnak

Részletesebben

, D(-1; 1). A B csúcs koordinátáit az y = + -. A trapéz BD

, D(-1; 1). A B csúcs koordinátáit az y = + -. A trapéz BD Kör és egyenes kölcsönös helyzete Kör érintôje 7 9 A húr hossza: egység 9 A ( ) ponton átmenô legrövidebb húr merôleges a K szakaszra, ahol K az adott kör középpontja, feltéve, hogy a kör belsejében van

Részletesebben

Forgásfelületek származtatása és ábrázolása

Forgásfelületek származtatása és ábrázolása Forgásfelületek származtatása és ábrázolása Ha egy rögzített egyenes körül egy tetszőleges görbét forgatunk, akkor a görbe úgynevezett forgásfelületet ír le; a rögzített egyenes, amely körül a görbe forog,

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 9.A-9.C-9.D OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT/ ÖSSZ 148 ÓRA

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 9.A-9.C-9.D OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT/ ÖSSZ 148 ÓRA MINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI ELJÁRÁS MELLÉKLET Tanmenetborító Azonosító: ME-III.1./1 Változatszám: 2 Érvényesség 2013. 01. 01. kezdete: Oldal/összes: 1/5 Fájlnév: ME- III.1.1.Tanmenetborító SZK- DC-2013 MATEMATIKA

Részletesebben

Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Tekintsünk a térben egy P (p 1, p 2, p 3 ) pontot és egy v = (v 1, v 2, v 3 ) = 0 vektort. Ekkor pontosan egy egyenes létezik,

Részletesebben

Vetülettani és térképészeti alapismeretek

Vetülettani és térképészeti alapismeretek Vetülettani és térképészeti alapismeretek A geodéziában - mint ismeretes - a földalak első megközelítője a geoid. Geoidnak nevezzük a nehézségi erőtér potenciáljának azt a szintfelületét, amelynek potenciálértéke

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 1413 ÉRETTSÉGI VIZSGA 015. május 5. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

Gyakorló feladatok vektoralgebrából

Gyakorló feladatok vektoralgebrából Gyakorló feladatok ektoralgebrából Az alábbi feladatokban, hasak nem jelezzük másként, az i, j, k bázist használjk.. a.) Milyen messze annak egymástól az A(,,) és a B(4,-,6) pontok? b.) Számítsa ki az

Részletesebben

Váltakozó áram. A váltakozó áram előállítása

Váltakozó áram. A váltakozó áram előállítása Váltakozó áram A váltakozó áram előállítása Mágneses térben vezető keretet fogatunk. A mágneses erővonalakat metsző vezetőpárban elektromos feszültség (illetve áram) indukálódik. Az indukált feszültség

Részletesebben

4b 9a + + = + 9. a a. + 6a = 2. k l = 12 évfolyam javítóvizsgára. 1) Alakítsd szorzattá a következő kifejezéseket!

4b 9a + + = + 9. a a. + 6a = 2. k l = 12 évfolyam javítóvizsgára. 1) Alakítsd szorzattá a következő kifejezéseket! ) Alakítsd szorzattá a következő kifejezéseket! 4 c) d) e) f) 9k + 6k l + l = ay + 7ay + 54a = 4 k l = b 6bc + 9c 4 + 4y + y 4 4b 9a évfolyam javítóvizsgára ) Végezd el az alábbi műveleteket és hozd a

Részletesebben

Elemi matematika szakkör

Elemi matematika szakkör lemi matematika szakkör Kolozsvár, 2015. október 26. 1.1. eladat. z konvex négyszögben {} = és { } = (lásd a mellékelt ábrát). izonyítsd be, hogy a következő három kijelentés egyenértékű: 1. z négyszögbe

Részletesebben

Bevezetés. Párhuzamos vetítés és tulajdonságai

Bevezetés. Párhuzamos vetítés és tulajdonságai Bevezetés Az ábrázoló geometria célja a háromdimenziós térben elhelyezkedő alakzatok helyzeti és metrikus viszonyainak egyértelműen és egyértelműen visszaállítható (rekonstruálható) módon történő való

Részletesebben

Vektorok összeadása, kivonása, szorzás számmal, koordináták

Vektorok összeadása, kivonása, szorzás számmal, koordináták Vektorok összeadása, kivonása, szorzás számmal, koordináták 1. Mik lesznek a P (3, 4, 8) pont C (3, 7, 2) pontra vonatkozó tükörképének a koordinátái? 2. Egy szabályos hatszög középpontja K (4, 1, 4),

Részletesebben

2. OPTIKA 2.1. Elmélet 2.1.1. Geometriai optika

2. OPTIKA 2.1. Elmélet 2.1.1. Geometriai optika 2. OPTIKA 2.1. Elmélet Az optika tudománya a látás élményéből fejlődött ki. A tárgyakat azért látjuk, mert fényt bocsátanak ki, vagy a rájuk eső fényt visszaverik, és ezt a fényt a szemünk érzékeli. A

Részletesebben

MATEMATIKA. 9 10. évfolyam. Célok és feladatok. Fejlesztési követelmények

MATEMATIKA. 9 10. évfolyam. Célok és feladatok. Fejlesztési követelmények MATEMATIKA 9 10. évfolyam 1066 MATEMATIKA 9 10. évfolyam Célok és feladatok A matematikatanítás célja és ennek kapcsán feladata, hogy megalapozza a tanulók korszerű, alkalmazásra képes matematikai műveltségét,

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2007. október 25. EMELT SZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2007. október 25. EMELT SZINT I. 1) x x MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 007. október 5. EMELT SZINT I. a) Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenletet! (5 pont) b) Oldja meg a valós számpárok halmazán az alábbi egyenletrendszert! lg x

Részletesebben

Helyi tanterv Német nyelvű matematika érettségi előkészítő. 11. évfolyam

Helyi tanterv Német nyelvű matematika érettségi előkészítő. 11. évfolyam Helyi tanterv Német nyelvű matematika érettségi előkészítő 11. évfolyam Tematikai egység címe órakeret 1. Gondolkodási és megismerési módszerek 10 óra 2. Geometria 30 óra 3. Számtan, algebra 32 óra Az

Részletesebben

Lineáris Algebra GEMAN 203-B. A három dimenziós tér vektorai, egyenesei, síkjai

Lineáris Algebra GEMAN 203-B. A három dimenziós tér vektorai, egyenesei, síkjai Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Lineáris Algebra GEMAN 203-B A három dimenziós tér vektorai, egyenesei, síkjai a) Hogyan számítjuk ki az a = (a 1, a 2, a 3 ) és b = (b 1, b

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2009. május 5. KÖZÉPSZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2009. május 5. KÖZÉPSZINT I. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 009. május 5. KÖZÉPSZINT I. 1) Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenletet! x 1x 4 0 Az egyenlet gyökei 1, 5 és 8. ) Számítsa ki a 1 és 75 számok mértani közepét! A mértani

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 113 ÉRETTSÉGI VIZSGA 015. május 5. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Formai előírások: Fontos tudnivalók

Részletesebben

Számítási feladatok a Számítógépi geometria órához

Számítási feladatok a Számítógépi geometria órához Számítási feladatok a Számítógépi geometria órához Kovács Zoltán Copyright c 2012 Last Revision Date: 2012. október 15. kovacsz@nyf.hu Technikai útmutató a jegyzet használatához A jegyzet képernyőbarát

Részletesebben

A Szekszárdi I. Béla Gimnázium Helyi Tanterve

A Szekszárdi I. Béla Gimnázium Helyi Tanterve A Szekszárdi I. Béla Gimnázium Helyi Tanterve Matematika Készítette: a gimnázium reál szakmai munkaközössége 2015. Tartalom Emelt szintű matematika képzés... 3 Matematika alapóraszámú képzés... 47 Matematika

Részletesebben

Elsőfokú egyenletek...

Elsőfokú egyenletek... 1. Hozza egyszerűbb alakra a következő kifejezést: 1967. N 1. Elsőfokú egyenletek... I. sorozat ( 1 a 1 + 1 ) ( 1 : a+1 a 1 1 ). a+1 2. Oldja meg a következő egyenletet: 1981. G 1. 3x 1 2x 6 + 5 2 = 3x+1

Részletesebben

MATEMATIKA I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY A) KOMPETENCIÁK

MATEMATIKA I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY A) KOMPETENCIÁK MATEMATIKA I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY Az érettségi követelményeit két szinten határozzuk meg: - középszinten a mai társadalomban tájékozódni és alkotni tudó ember matematikai ismereteit kell

Részletesebben