4. modul Poliéderek felszíne, térfogata

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "4. modul Poliéderek felszíne, térfogata"

Átírás

1 Matematika A 1. évfolyam 4. modul Poliéderek felszíne, térfogata Készítette: Vidra Gábor

2 Matematika A 1. évfolyam 4. modul: POLIÉDEREK FELSZÍNE, TÉRFOGATA Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási pontok A felszín és a térfogat szemléletes fogalmának továbbfejlesztése. A poliéderek szemléletes definíciója, alapfogalmak ismerete (pl.: alkotó, alaplap, magasság). A hasáb, a gúla, a csonkagúla felszínének és térfogatának kiszámítása a megismert képletek alapján. 6 óra 1. évfolyam Sokszögek területe, kerülete, síkidomok és testek hasonlósága. Hegyesszögek szögfüggvényei, a szögfüggvények kiterjesztése. AJÁNLÁS A modul óráin javasoljuk a Polydron készlet alkalmazását csoportmunkában: testépítés háló vagy leírás alapján, a test adatainak (élhosszak, testmagasság, lapszögek) mérése, a mért adatok felhasználása térfogat és felszín számításakor. Az eszközkészlet használata helyett a mintapéldákat a modulhoz készült bemutató segítségével is átvehetjük, de ekkor a tanulók ne használják a Tanulók könyvét, hanem csoportosan próbálják a mintapéldát megoldani. Érdemes felhívni a tanulók figyelmét arra, hogy a szöveget kék vagy fekete tollal írják, az ábrákat pedig grafittal és színes ceruzával készítsék el, vonalzót használva. Igyekeznünk kell megtalálni a csoportmunka és az egyéni feladatmegoldás helyes arányát, ezért a modulvázlatban több helyen szerepel a tetszőleges módszerrel megjegyzés. Nem kell minden feladatot megoldani a modulból. A tanulócsoport igényeinek és tudásszintjének megfelelően lehetőségünk van differenciálásra (lásd vegyes feladatok) és arra is, hogy a modul anyagát a heti óránál nagyobb óraszámban tanuló diákokkal is fel tudjuk dolgozni.

3 Matematika A 1. évfolyam 4. modul: POLIÉDEREK FELSZÍNE, TÉRFOGATA Tanári útmutató A képességfejlesztés fókuszai Számolás, számítás, számlálás: A zsebszámológép biztos használata. A műveleti sorrend biztos alkalmazása, különösen a térgeometria összetettebb képleteinél. Mennyiségi következtetés: Testek ismert adataiból a hiányzó adatok kiszámítása. Nagyon fontos a jó vázlat elkészítése, melyen az ismert adatokat célszerű színessel kiemelni. A valóság tárgyainak geometriai modellezéséhez szükséges képességek fejlesztése. Becslés, mérés, valószínűségi szemlélet: Valóságból vett feladatok matematikai átfogalmazása, azok megoldása, és az eredmények konvertálása a valós problémába. A feladatok várható eredményének becslése, különösen a szöveges feladatok esetén. Szöveges feladatok, metakogníció: Szövegértelmezés továbbfejlesztése, a lényegkiemelő képesség fejlesztése. Csoportmunkában a társak jó gondolatainak megismerése, elfogadása, helytelen következtetések cáfolata. A geometriai feladok algebrai megoldása során keletkező hamis gyökök kiválasztásának képessége. Rendszerezés, kombinatív gondolkodás: Az eddig tanult síkidomok kerületének és területének rendszerező áttekintése. Ugyanazon síkidom területének többféle képlete közötti kapcsolat felfedeztetése. A geometriai feladatok megoldási tervének elkészítési képessége. Az adatok rendszerezése, egy feladaton belül a szükséges egység kiválasztása, és arra való átszámítás. Geometriai fogalmak segítségével az absztrakciós képesség fejlesztése. Induktív, deduktív következtetés: Összefüggések, képletek felfedezése gyakorlati tapasztalatból kiindulva, azok általánosítása és alkalmazása más esetekben.

4 Matematika A 1. évfolyam 4. modul: POLIÉDEREK FELSZÍNE, TÉRFOGATA Tanári útmutató 4 ÉRETTSÉGI KÖVETELMÉNYEK Középszint Ismerje a felszín és a térfogat szemléletes fogalmát. Hasáb, gúla, forgáshenger, forgáskúp, gömb, csonkagúla és csonkakúp felszínének és térfogatának kiszámítása képletbe való behelyettesítéssel. Emelt szint Térgeometriai feladatok megoldása. TÁMOGATÓ RENDSZER A modulhoz készült egy bemutató, amely tartalmazza az elméleti anyagot, a mintapéldákat és az eszközök alkalmazásához szükséges információkat. Ezen kívül találhatók benne olyan képek, amelyek segítenek csoportmunkában tapasztalatokat gyűjteni (ld. Polydronnal megoldható feladatok). A TANANYAG JAVASOLT ÓRABEOSZTÁSA 1. A hasáb térfogata, felszíne. Feladatok megoldása. A gúla térfogata, felszíne 4. Feladatok megoldása 5. A csonkagúla térfogata, felszíne 6. Feladatok megoldása

5 Matematika A 1. évfolyam 4. modul: POLIÉDEREK FELSZÍNE, TÉRFOGATA Tanári útmutató 5 MODULVÁZLAT Lépések, tevékenységek Kiemelt készségek, képességek Eszköz/Feladat/ Gyűjtemény I. A hasáb 1. Testek származtatása, poliéderek, térfogat, felszín, testmagasság Metakogníció, figyelem, rendszerezés (hasáb, gúla esetén),. Csoportalakítás tetszőleges módszerrel, ismétlés Kooperáció, kommunikáció, rendszerezés. Hasáb építése, mérés, térfogat és felszín meghatározása (csoportmunka, ellenőrzés párban módszer) következtetés, becslés Kooperáció, kommunikáció, mennyiségi 4. Hasáb térfogatával, felszínével kapcsolatos feladatok (egyéni feladatmegoldás vagy csoportmunka) becslés, ábrázolás, számológép használa- Mennyiségi következtetés, számolás, ta 5. Mintapéldák testátlóra (frontális vagy csoportmunka) Kooperáció, kommunikáció, mennyiségi következtetés, becslés 6. Testátlóval kapcsolatos feladatok (tetszőleges módszerrel) Kooperáció, kommunikáció, metakogníció, mennyiségi következtetés, számolás, becslés, ábrázolás, számológép használata Bemutató Bemutató, Polydron, vagy 1. és. mintapélda feladatokból válogatunk. és 4. mintapéldák, bemutató feladatokból válogatunk

6 Matematika A 1. évfolyam 4. modul: POLIÉDEREK FELSZÍNE, TÉRFOGATA Tanári útmutató 6 II. A gúla 1. A gúla térfogata (csoportmunkában) Kommunikáció, kooperáció, egybevágó gúlát építünk, és ezeket kockává illesztjük össze; metakogníció, mennyiségi következtetés szabályos tetraéder, négyzet alapú gúla.. Gúla térfogatával és felszínével kapcsolatos feladatok Metakogníció, figyelem, számolás, becslés, ábrázolás, matematikai szöveg értése, képletek alkalmazása. Hasonló testek térfogata, felszíne (testépítés és számítások csoportmunkában, Kommunikáció, kooperáció, majd mintapéldák frontális megoldása) metakogníció, mennyiségi következtetés 4. Feladatok megoldása Metakogníció, figyelem, számolás, becslés, ábrázolás, matematikai szöveg értése, képletek alkalmazása Polydron, bemutató 1 0. feladatokból válogatunk Bemutató, 5. és 6. mintapélda 1. feladatokból válogatunk III. A csonkagúla 1. Mintapélda megoldása (frontális, tanári magyarázat) Metakogníció, figyelem, számolás, becslés, 7. mintapélda. Feladatmegoldás (tetszőleges módszerrel) ábrázolás, matematikai szöveg érté- se, képletek alkalmazása 4 4. feladatokból válogatunk IV. Vegyes feladatok 1. Feladatok megoldása (frontális vagy egyéni, differenciált feladatmegoldás) Metakogníció, figyelem, számolás, becslés, ábrázolás, matematikai szöveg értése, képletek alkalmazása feladatok közül válogatunk

7 4. modul: POLIÉDEREK FELSZÍNE, TÉRFOGATA TANÁRI ÚTMUTATÓ 7 I. A hasáb A lakásban szeretnénk átalakításokat végezni: új falat emelni gipszkartonból, légkondicionálót beszereltetni, a falat lefestetni. Csupa olyan probléma, amelynek megoldásához alapvető térgeometriai ismeretekre van szükség: a festék mennyiségének meghatározásához területet, felszínt kell számolni, a megfelelő hűtőrendszer kiválasztásához pedig ismernünk kell a helyiség térfogatát. A test térfogata annak a térrésznek a mértéke, amelyet a test felülete határol. A térfogatot mindig valamilyen térfogategységhez hasonlítjuk, amely az egységélű kocka térfogata. Módszertani megjegyzés: Célszerű régi térfogategységeket feleleveníteni, esetleg a történetükkel és átszámításukkal kapcsolatban internetes kutatás-projektet indítani. A testek származtatása a 9. évfolyam anyaga, az ismétlést megbeszélhetjük a modulhoz készült bemutató segítségével is. A test felszíne a testet határoló felület területe. Síklapokkal határolt testek esetén a határoló lapok területének összege. Poliédernek nevezünk egy testet, ha azt véges sok sokszöglap határolja. A poliéder konvex, ha bármely két pontjának összekötő szakaszát is tartalmazza. Minden konvex poliéderre teljesül Euler tétele: l + c = e + (lapok + csúcsok száma = élek száma + ). A poliéder szabályos, ha élei, élszögei és lapszögei egyenlők. Összesen öt ilyen test van: tetraéder (4 lap), hexaéder (kocka; 6 lap), oktaéder (8 lap), dodekaéder (1 lap), ikozaéder (0 lap). A középiskolában leggyakrabban a poliéderek közül a hasábokkal, gúlákkal és csonkagúlákkal foglalkozunk. A test hálója poliéderek esetén az a sokszöglap, amelyet ha egy síklapból kivágunk, akkor összehajtogatható belőle a test felülete. Adott az alapsíkon egy sokszög (alaplap) és egy egyenes, amely az alapsíkkal nem párhuzamos. Ha a sokszög minden pontján keresztül párhuzamost húzunk az adott egyenessel,

8 8 MATEMATIKA A 1. ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ hasábfelületet kapunk. Ezt elmetsszük egy, az alapsíkkal párhuzamos síkkal (fedőlap). Az így keletkező korlátos (zárt) térrészt nevezzük hasábnak. Egyenes hasábot kapunk, ha az adott egyenes merőleges az alapsíkra. Az oldallapokat együtt palástnak nevezzük. Az alaplap és a fedőlap síkjának távolsága adja a hasáb magasságát. A hasáb térfogata: V = alapterület testmagasság, felszíne: A = alapterület + a palást területe. A térfogat és felszínképletek bizonyítható állítások. Speciális hasábok a téglatest és a kocka. A kocka térfogata: V = a, felszíne A = 6a (a a kocka élhossza). A téglatest térfogata V = abc, felszíne A = (ab + bc + ac) (a, b és c a téglatest egy csúcsából kiinduló éleinek hossza). Módszertani megjegyzés: A Polydron készlet és hurkapálca segítségével tanulmányozhatjuk a testek testátlóit, lapátlóit, hajlásszögeit. Javasolt téglatesteket, hasábokat építtetni a tanulókkal csoportmunkában, azon méréseket végezni, kiszámítani a lapátlókat, testátlókat, hajlásszögeket, és a mért adatokat összehasonlíttatni a számított adatokkal. Hatékony módszer, ha a tanulók párban végzik a méréseket és számításokat: előbb egy téglatesten mér az egyik tanuló, számít a másik, majd egy szabályos hatszög alapú hasábon felcserélik a szerepeket. A csoport másik párja szintén ugyanezen a két testen dolgozik, és a párok egyeztetik az eredményeket. Így a mintapéldák helyett a gyakorlat során megépített testeken végezhetünk számításokat. Mindenképpen javasolt térfogatot és felszínt számíttatni, rajzoltassunk testhálót, írassuk be az adatokat a megfelelő élekre, és szögfüggvények alkalmazásával számítassunk hajlásszögeket is. Az alábbi mintapéldát frontálisan, a bemutató segítségével vegyük át. Választhatjuk a két mintapélda feldolgozása helyett Polydron készlet alkalmazását az előbb leírt módon.

9 4. modul: POLIÉDEREK FELSZÍNE, TÉRFOGATA TANÁRI ÚTMUTATÓ 9 Mintapélda 1 Az ábrán látható prizma egy fényképezőgép alkatrésze. Négy darab téglalap határolja, amelyek közül a szomszédosak egy-egy oldala közös és 4 cm hosszú, valamint két szimmetrikus trapéz, amelyek alapjai 4 cm és cm, magassága cm. A két trapéz síkja merőleges a prizma alap és fedőlapjára. Számítsuk ki a prizma felszínét és a térfogatát! A felszín kiszámításához szükségünk van a trapéz szárára: 1 c = + = 5. A test hálóját felrajzolva láthatók a testet határoló síkidomok. A felszín ezek területének összege: + 4 A = 4 ( ) + = ,9 cm. A térfogat kiszámításához felhasználjuk, hogy a test egy trapéz alapú egyenes hasáb, az + 4 alapterület a trapéz területe: T = = 6 cm, a testmagasság M = 4 cm, így a térfogat: V = T M = 4 cm. Mintapélda Egy négyzet alapú ferde hasáb két oldallapja téglalap, másik két oldallapja olyan paralelogramma, melynek egyik szöge 60. Mekkora a hasáb térfogata és felszíne, ha az alapél hossza 14 cm, az oldalél hossza 0 cm? Ábrát készítünk, és ráírjuk a megfelelő adatokat. Az alapterület T =14 = 196 (cm ). Az egyik alapél és az oldalél által alkotott derékszögű háromszögből számítható a testmagasság, amely ebben az esetben az egyik oldallap m magassága is egyben: sin 60 =, ahonnan m = 0 sin 60 17, (cm). 0 A térfogat V = T m 94,7 cm. A felszín kiszámításához minden adatot ismerünk: A = ( ,) 146,96 cm.

10 10 MATEMATIKA A 1. ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ Feladatok Módszertani megjegyzés: A következő feladatokat csoportmunkában dolgozzuk fel: mindenki 1-1 részfeladattal foglalkozik a csoportból. Adott időre (például 8 perc) kell végezni. Az értékelés a megoldás helyessége alapján történik, a csoportban először a négyzetes oszlop térfogatának és felszínének képletét kell megkeresni, majd a munkamegosztásról kell dönteni. Az elkészült csapattagok segíthetnek társaiknak, ellenőrizhetik őket. Gyengébb képességű tanulók esetén a képleteket közösen is meghatározhatjuk. Ekkor a megoldáshoz kevesebb időt adunk. 1. Mekkora az a alapélű, b oldalélű négyzetes oszlop a térfogata és felszíne, ha a) a = 1 cm, b = dm; b) a =,4 cm, b = 5 mm; c) a = 400 mm, b = 4 dm; d) a = 55 mm, b = 0, dm. a) 880 cm, 148 cm ; b) 0,16 cm, 45,1 cm ; c) 64 dm ; 96 dm ; d) 90,75 cm ; 16,5 cm.. Egy négyzetes oszlop magassága háromszorosa az alapélnek. Töltsd ki a táblázat hiányzó részeit! alapél térfogat felszín a) 6 cm 648 cm 504 cm b) 4,6 dm 9 dm 96,4 dm c) 7 cm 109 cm 686 cm d),5 m 46,875 m 87,5 m. Egy építkezéshez darab, négyzetes oszlop alapú gerendát használnak fel. A gerenda keresztmetszete 10,5 cm x 10,5 cm, hosszuk egységesen 8,4 m. a) Hány m a gerendák térfogata összesen? b) A gerendákat olyan felületkezelő anyaggal vonják be, amelynek kiadóssága 10 m /liter. Hány liter vegyszerre van szükség? a),96 m 94, 7m ; b) 5500,5 cm,5 m egy gerenda felszíne, azt összes felszín: 11 m, ehhez 11, l favédő anyag kell.

11 4. modul: POLIÉDEREK FELSZÍNE, TÉRFOGATA TANÁRI ÚTMUTATÓ Számítsd ki az egyenlőszárú háromszög alapú hasáb térfogatát és felszínét, ha az alaplap alapja 50 cm, szárai 45 cm hosszúak, és a hasáb magassága 70 cm! Az alaplap magassága m = 45 5 = , 4 cm, az alapterület a m 50 7,4 T = = 95cm, a térfogat V = T M = cm. A felszín = T + P = 95 + ( ) 70 = A cm. 5. Az üzletben 750 ml-es utántöltőben is árulják a folyékony szappant. Van egy hasáb alakú tartónk, amelynek alaplapja egy 6 cm és 1 cm alapú, 7, cm szárú trapéz, a testmagassága 18 cm, és a tartó térfogatából 85% a tartály. Betölthető-e ebbe a szappantartóba a vásárolt folyékony szappan? Az alaplap magassága m = 7, 6, 55, az alapterület T = 6,55 = 58, 95 (cm ). A térfogat V = T M = 1061, 1 cm. 0,85 V 90 cm 9 deciliter, tehát a 7,5 dl belefér. 6. Az alábbi lakás szobáiba és konyhájába szeretnének klímaberendezést vásárolni. A lakás magassága,8 méter. Becsüljük meg, mekkora teljesítményű berendezéseket vásároljanak az egyes helyiségekbe! Átlagosan 5 W/m teljesítményegységgel számolhatunk. Megjegyzés: A kapott érték valóban becslés, mert a kívánt teljesítmény függ a helyiség használatának jellegétől, a benne tartózkodó személyek számától, a burkolófelületek anyagától, a tájolástól stb. A konyha térfogata,6 4,,8 4, m, a szükséges teljesítmény 4, 5 = 1515,5 W 1,5 kw. Hasonlóan számolv: 1. szoba: 44,5 m és 1,6 kw;. szoba: 70 m és 450 W,5 kw;. szoba: m és 110 W 1,1 kw.

12 1 MATEMATIKA A 1. ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ 7. Egy 9 cm oldalhosszúságú kocka sarkaiból levágunk egyegy cm oldalélű kockát az ábra szerint. Mekkora a megmaradó rész térfogata és felszíne? V = 9 8 = 51 cm, a felszín megegyezik a kocka felszínével: A = 6 9 = 486 cm. 8. Mekkora az ábrán látható, cm élű játékkockákkal kirakott játékbástya térfogata és felszíne? Az építmény 4 kis kockából áll, így a térfogata V = 4 = 6 cm. A felszínt 168 négyzet adja, aminek a területe A = 168 = 67 cm. Módszertani megjegyzés: Csoportmunkához ajánlott, hogy a tanulók számítsák ki padjuk faanyagának (vagy bútorlapanyagának) térfogatát és felszínét. Határozzák meg, hogy milyen adatokat kell megmérniük, végezzék el a méréseket, majd a számításokat. 9. Egy téglatest egyik éle m-rel hosszabb a másiknál, a harmadik éle 0 m, a térfogata 600 m. Mekkorák az élei és a hasáb felszíne? Másodfokúra visszavezethető egyenletet kapunk (a a rövidebbik él): 600 = a ( a + )0, ahonnan a hiányzó élek 10 és 1 m, a felszín 1180 m. 10. Egy téglatest felszíne 8576 cm. Egyik oldaléle,4 dm, a másik két oldalél különbsége 1 cm. Mekkorák a hasáb élei és térfogata? Másodfokúra visszavezethető egyenletet kapunk (a a rövidebbik él): [ 4a + 4( a + 1) + a( 1) ] A = 8576 = a + térfogat 4990 cm., ahonnan a hiányzó élek 40 cm és 5 cm, a

13 4. modul: POLIÉDEREK FELSZÍNE, TÉRFOGATA TANÁRI ÚTMUTATÓ Egy ajtóban az üveg keretét 8 cm x cm széles deszkából készítették. Az ajtó 10 cm magas és 86 cm széles, az üveg 8 mm vastag. Az ajtó térfogatának hány százaléka az üveg térfogata? Az üvegtábla méretei: 194 cm x 70 cm, a térfogata V = , cm, a keret térfogata 1 = V = ( ) = 1440 cm V1. Az üveg 100 = 44,7%. V +V 1 1. Egy szabályos hatszög alapú hasáb magassága másfélszerese az alapélének. Mekkora a hasáb felszíne, ha térfogatának pontos értéke 888? a az oldalél, az alapterület T a = 6, a testmagasság M = 1, 5a. A térfogat 4 6a 1,5a V = T M = =,5 a = 888, így a = 1, M = A felszín A = T + P = a + 6aM = , (te). 1. Egy szabályos sokszög alapú hasáb alapéle 1 cm, testmagassága 5 cm. Számítsd ki a hasáb térfogatát és felszínét, ha az alaplap a) hatszög; b) ötszög; c) nyolcszög; d) tízszög. a) V 95 cm, A 548 cm ; b) V 6194 cm, A 1995 cm ; c) V 178 cm, A 791 cm ; d) V 7699 cm, A 516 cm. 14. Egy szabályos háromszög alapú egyenes hasáb alapéle 8 cm hosszú, palástjának területe (az oldallapok területösszege) hatszorosa az egyik alaplap területének. Mekkora a hasáb felszíne és térfogata? Az alaplap területe T = a = A palást területe P = a M 6 16 = 8 M, ahonnan a testmagasság M = 4. A hasáb térfogata V = T M = 19 cm, a felszíne A = T + am = 18 1, 7 cm. Módszertani megjegyzés: Ez a feladat szerepelt a 006. májusi középszintű érettségin.

14 14 MATEMATIKA A 1. ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ Mintapélda Egy ideiglenes, téglatest alakú színpad vas keretéhez merevítésként be kell hegeszteni síkonként egy-egy lapátlót és két testátlót (amelyek metszik egymást, ezért a két testátlót négy egyforma darabból kell összeállítani). Számítsuk ki, hogy a kerettel együtt mennyi vas anyagra lesz szükség, ha a színpad 1,6 m magas, és 10 m x 6m a felület, amin fellépnek a művészek. Mekkora szögben illeszkedik egymáshoz a két testátló, és milyen hosszú az a négy darab, amiből összehegesztve megkapjuk a merevítést? A téglatest lapátlóit Pitagorasz-tétellel számítjuk ki: x = 6 + 1,6 = 8,56 6, 1(m) y = = 16 11,66 (m) z = 1, = 10,56 10,1 (m) A testátlót a kiemelt derékszögű háromszögből Pitagorasz-tétellel határozzuk meg: d = 10 + x = ,6, ahonnan =18, 56 d, d 11, 77 (m). A megfelelő darabok hosszát összeadva kapjuk a szükséges anyagmennyiséget: 4 ( ,6) + ( x + y + z) + 11, m anyagra van szükség. A hajlásszög kiszámításához derékszögű háromszöget keresünk a testátlók által meghatározott síkban. Szögfüggvény segítségével α 45,5. tgα = z z =, ahonnan 5 10 A feladat megoldása során láttuk, hogy a testátló hossza hogyan függ az oldalak hosszától: d = a + b + c. Ebből kapunk egy általánosan is igaz összefüggést: A téglatest testátlójának hossza: d + = a + b c, ahol a, b és c a téglatest egy csúcsban összefutó éleinek hossza.

15 4. modul: POLIÉDEREK FELSZÍNE, TÉRFOGATA TANÁRI ÚTMUTATÓ 15 Mintapélda 4 Hogyan függ a kocka testátlójának hossza a kocka (a) oldalhosszától? A kocka is téglatest, így a testátlóra kapott összefüggést itt is alkalmazhatjuk. Most minden oldal egyenlő: = a + a + a a, ahonnan a d = d =. Feladatok 15. Egészítsd ki a táblázat hiányzó részeit! a, b és c egy téglatest egy csúcsban összefutó élei, d a testátló, A a felszín és V a térfogat. a b c d A V a) 5 cm 8 cm 10 cm 1,7 cm 40 cm 400 cm b) 1, cm 0,46 dm 7 mm 15 cm 56,5 cm 407,4 cm c) 10 m 0 m 6 m 4, m 1960 m 500 m d) 6 cm 11 cm 14,8 cm 19,4 cm 65, cm 976,8 cm e) 8 dm a dm a dm 6,1 dm 1168 dm 4 dm 16. Mekkora szöget zár be a kocka testátlója a) a kocka éleivel; b) a kocka lapjaival; c) a kocka egy másik testátlójával? a) tgα =, α 54, 7 ; b) 90 α 5, ; c) a a β sin = = = d a, β 109, 5. Azonban a hajlásszög 90 -nál nem nagyobb, ezért a keresett szög β mellékszöge: 70, Mekkora a kocka térfogata és a felszíne, ha testátlója 1 cm? 1 A testátló: d = 1 = a, ahonnan a = = 4. A térfogat V = a = 19,6 cm, a felszín A = 6a = 88 cm.

16 16 MATEMATIKA A 1. ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ 18. Egy téglatest két éle 8 cm és 16 cm, felszíne 1168 cm. Mekkora szöget zár be a testátlója azokkal az élekkel és lapokkal, amelyek a testátló egyik csúcspontjában találkoznak? A = ( ab + ab + bc) 1168 = ( x + 16x), ahonnan a harmadik él: x =19 cm. d = a + b + c 6, 1. x cos α =, ahonnan α 4, a 19 cm-es éllel bezárt szöge, és d az alaplappal bezárt szöge 90 α 46, 7. Hasonló módon a másik két éllel bezárt szögek 7, és 5,, a másik két lappal bezárt szögek 17,8 és 7, Mekkora szöget zár be a 4 cm alapélű, 499 cm térfogatú, szabályos hatszög alapú hasáb leghosszabb testátlója az alaplappal? a V Az alapterület T = 6 = 4, a magasság M = 1 cm. 4 T M 1 tg α = = =, ahonnan α 56,. a 8 0. Egy szabályos sokszög alapú egyenes hasáb alapéle a, oldaléle b. Fejezd ki a leghosszabb testátlót a és b segítségével, ha az alaplap a) négyzet; b) hatszög; c) nyolcszög. a) e + = a, d = b + e d = a b ; b) = 4a b ; d + c) a e = ; cos 67,5 a d + cos 67,5 = ( e) + b d = b.

17 4. modul: POLIÉDEREK FELSZÍNE, TÉRFOGATA TANÁRI ÚTMUTATÓ 17 II. A gúla Módszertani megjegyzés: A gúla térfogatát szemléletesen pleximodellek és víz segítségével mutathatjuk be, ha van azonos alaplapú és testmagasságú, nyitott téglatestünk, illetve gúlánk. Ekkor gúlányi vizet kell a téglatestbe tölteni, hogy tele legyen. A másik lehetőség: a modulvázlat mellékletében három gúla hálózata található (A4-es lapra kinyomtatható, kartonból kivágható és összeragasztható). A három gúlából összeállítható egy szabályos háromszög alapú hasáb (ragasztógyurmával összeragasztható). A három gúláról belátható, hogy térfogatuk megegyezik (ehhez előtte meg kell egyeznünk abban, hogy ha két gúlának egyenlő az alapterülete és a magassága, akkor azok térfogata is egyenlő), így a gúla térfogata a hasáb térfogatának harmada. A Polydron készletet is használhatjuk a szemléltetéshez: A következő feladatokat csoportmunkában javasolt megoldani. Az első feladatot a csoport együtt oldja, vagy tanári irányítással az egész osztály. Ezután a feladatokat a csoporton belül megosztják a tanulók. Adott az alapsíkon egy sokszög (alaplap) és egy pont az alapsíkon kívül (csúcspont). Ha a sokszög minden pontját egyenesekkel összekötjük az adott ponttal, gúlafelületet kapunk. A keletkező korlátos térrészt nevezzük gúlának. A gúla magassága az alaplap síkjának és a csúcspontnak a távolsága.

18 18 MATEMATIKA A 1. ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ Feladatok 1. Kheopsz fáraó négyzet alapú szabályos gúlát formáló Nagy Piramisának eredeti alapéle 0 m, magassága 147 m volt. Számítsuk ki, hogy mekkora a térfogata és a felszíne! a = 0 m, M = 147 m; T M a M 6 V = =,6 10 m, a m A = a + 4 = a + am ; a m = + M 186,6 (m). Behelyettesítve 5 A = ,4 10 m.. Egy négyzet alapú szabályos gúla alapéle,5 dm. Mekkora a térfogata és a felszíne, ha 50 cm a) a testmagassága; b) az oldallapjának magassága; c) az oldaléle? a) a = 5 cm, M = 50 cm. T M a M V = = 0417 cm, a m = + M 5 cm, A = a + am = 495 cm. a b) a = 5 cm, m = 50 cm, M = m 46, 8(cm). V cm, A = 475 cm. a a 5 c) M + = = = 50 4, 4 b M b cm, V 1771, 7 cm. a 5 m = b = 50 46,8 cm, A 4501 cm.

19 4. modul: POLIÉDEREK FELSZÍNE, TÉRFOGATA TANÁRI ÚTMUTATÓ 19. Egy szabályos hatszög alapú egyenes gúla alapéle a = 1 cm. Mekkora a térfogata és a felszíne, ha 0 cm a) testmagassága; b) oldallapjának magassága; c) oldaléle? a az alapterület mindhárom esetben T = 6 74, 1(cm ), és 4 a x = 10,4 (cm). Az alkalmazott képletek: V a m A = T + 6. a) a = 1 cm; M = 0 cm. V 494 cm. T M =, m = x + M,6 (cm), A 1188 cm. b) a = 1 cm; m = 0 cm. M = m x 17, 1(cm), V 1, 4 cm. A 1094 cm. c) a = 1 cm; b = 0 cm. M = b a = 16 (cm), V 1995, cm. m = x + M 19,1 (cm), A 1061, 7 cm. Módszertani megjegyzés: A következő két feladatnak a) és b) része is van, a megoldást ellenőrzés párban módszerrel javasoljuk. A 4 fős csoport egyik párja az a) feladatot oldja, mialatt a másik pár a b)-vel foglalkozik. Egy adott idő múlva (ez függ a gyerekek terhelhetőségétől) a párok feladatot cserélnek. Az ellenőrzés párban módszernek az a lényege, hogy a pár egyik tagja oldja a feladatot a másik ellenőrzése mellett, majd a következő feladatnál szerepet cserélnek. Mindkét feladat megoldása után a csoporton belül egyeztetik az eredményeket és megbeszélik a tapasztalatokat. A szerepcsere fontos, hogy a feladat jellegével és megoldásával minden tanuló megismerkedjen. 4. Egy négyzet alapú szabályos gúla alapéle 10 cm. Mekkora a gúla térfogata és a felszíne, ha 75 a) az oldalél és az alaplap hajlásszöge; b) az oldallap és az alaplap hajlásszöge? a) a = 10 cm, α = 75. Az alaplap átlójának a fele 5 (cm), a testmagasság M = 5 tg75 6,4 (cm). Az oldallap a magassága m = M + 6, 9 (cm). A keresett adatok: V 880 cm, A 68cm.

20 0 MATEMATIKA A 1. ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ a b) a = 10 cm, β = 75. m = 19,(cm), M = 5 tgβ 18, 7 cosβ (cm). A keresett adatok: V 6, cm, A 486cm. 5. Egy hatszög alapú szabályos gúla alaplapja köré 1 cm átmérőjű kör írható. Mekkora a térfogata és a felszíne, ha 45 a) az oldalél és az alaplap hajlásszöge; b) az oldallap és az alaplap hajlásszöge? a) A szabályos hatszög köré írható körének sugara egyenlő a hatszög alapélének hosszával: a = 6 cm, α = 45. a M = a tg α = 6 (cm), T = 6 9, 5 (cm ). 4 a m = M + 7,9 m. A keresett adatok: V 187cm, A 5,7cm. a M b) a = 6 cm, β = 45. M = tgβ 5, (cm), m = 7, 4 (cm), T 9, 5 (cm ). sin β A keresett adatok: V 16cm, A 6,7 cm. 6. Két szabályos gúla magassága megegyezik. Az egyik alaplapja szabályos ötszög, a másiké szabályos hatszög. A két sokszög köré írható körök sugara is megegyezik. Hány százalékkal nagyobb az egyik test térfogata a másik térfogatánál? A hatszög területe: r T = 6, r, az ötszög r sin 7 területe T = 5 =, 776 r. A térfogatok aránya: V V T1 M M T 1 1 = = = T T ötszög alapú gúla térfogatánál. 1,09, vagyis a hatszög alapú gúla térfogata 9,%-kal nagyobb az

21 4. modul: POLIÉDEREK FELSZÍNE, TÉRFOGATA TANÁRI ÚTMUTATÓ 1 7. Reklámcélra egy cég legyártja az ábrán látható testet: egy 10 cm élű kocka éleinek harmadoló pontjait kötötték össze, és levágták a kocka így adódó sarkait. a) Mekkora a keletkező test térfogata? b) Mekkora a felülete a piros és a kék részeknek összesen? a) A levágott gúla alaplapjának az egyik derékszögű háromszög alakú lapját tekintjük. Ekkor a gúla magassága 40 cm T M V 1 = = 10666,7 cm. A test térfogata V = 10 8 V ,4 cm 1,6m b) A testet 6 darab nyolcszög és 8 darab szabályos háromszög határolja. Egy nyolcszögek területe: 40 T 1 = = 1100(cm ), egy háromszög területe: ( 40 ) 185, 6. T = a = (cm ). A test felszíne: 4 4 A = 6 T1 + 8 T 7884,8cm 7,8m. 8. a) Számítsuk ki az a élű szabályos tetraéder térfogatát és felszínét! b) Mekkora az alaplap és az oldallap, illetve az alaplap és az oldalél hajlásszöge? a a a) s =, T =. A testmagasság az alaplap 4 középpontjában, a súlyvonal oldalhoz közelebbi harmadoló pontjában metszi az alaplapot. Ezért a a s a a = = = a a, M a M = =. Az oldallap magassága a a m =. A felszín: A = 4 = a, a térfogat a a V = T M = a =. 4 1

22 MATEMATIKA A 1. ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ a b) Az alaplap és az oldalél által bezárt szög: cosα = = α 54, 7, az a 1 alaplap és az oldallap szöge: cos β = β 70, A Téglatest együttes új nevet vett fel: Pyramys. Az együttes koncertjein árult, műanyagból készült, cm 4 cm 5 cm élű téglatestekből 60 darab megmaradt. Ezeket megolvasztják, és olyan négyzet alapú szabályos piramisokat gyártatnak belőle, amelyek alapéle 7 cm, testmagassága,5 cm. A gyártás során 7%-os térfogatveszteséggel kell számolni. Hány ilyen piramis készíthető? A megmaradt anyag térfogatának 9%-a megegyezik az új piramisok térfogatának összegével: V 1 0, 9 = V. V 1 = = 1600 cm, n darab piramis esetén a 7,5 térfogat V = n n 57, 17. Az egyenletet felírva: ,9 = n 57, 17, ahonnan n 51, 4, vagyis 51 darab piramis készíthető. 0. Egy vállalkozás reklámcélokra szabályos hatszög alapú szabályos gúlákat csináltat, amit fából készítenek el. A gúla alapélei 4, cm hosszúak, magassága 5 mm. Eddig 50 ilyen ajándékot osztottak ki. a) Hány cm faanyag van az eddig kiosztott gúlákban? b) A gúla oldallapjait színesre festik. Hány cm felületet festenek be egy gúla oldallapjainak a színezésekor? Mennyi festékre volt szükség a 50 ajándék befestésekor, ha 1 m -hez,6 liter festék kell? a a) Az alapterület hat szabályos háromszög összege: T = 6 45, 8 (cm ), a gúlák 4 T M 4, térfogata: V = 50 = 50 6,5 50 8, 9550 cm. 4 b) A palást területének kiszámításához szükségünk van az oldallap magasságára. a x =,64 (cm), a Pitagorasz-tételt felírva

23 4. modul: POLIÉDEREK FELSZÍNE, TÉRFOGATA TANÁRI ÚTMUTATÓ x = +,5 m, ahonnan 4, 41 4,m m (cm). A palást területe: P = 6 55, 6 cm, összesen a felszín: A = 50 P 1900 (cm ) 1,4(m ), ezért 1,4,6 5 liter festék kellett. Módszertani megjegyzés: Ez a feladat szerepelt a 005. októberi középszintű érettségin. A következő mintapélda a hasonló testek térfogatának és felszínének arányára világít rá, a tapasztalat szintjén. A mintapélda helyett Polydron segítségével, csoportmunkában is megtapasztalhatjuk az ismereteket (.1 feladatlap). Mintapélda 5 Egy 1 cm alapélű, 1 cm magasságú négyzet alapú szabályos gúlát elvágunk a testmagasság harmadoló pontjain átmenő, alaplappal párhuzamos síkokkal. a) Határozzuk meg az így keletkező három test térfogatát! A vázlat elkészítése a megoldás egyik kulcslépése. Három gúlát kapunk, amelyek alaplapja hasonló egymáshoz (a gúla csúcsából történő középpontos hasonlósággal ezek az alaplappal párhuzamos síkmetszetek egymásba vihetők). A hasonlóság arányát a megfelelő szakaszok, most a testmagasságok arányából határozzuk meg. A hasonló síkidomok területe a hasonlóság arányának négyzetével egyezik meg: T : T = ( M : M ) = jelenti, hogy T = T = 4T, és hasonlóan T 1 = T = 9T., ami azt 1 1 A szabályos egyes gúlák alapterülete: T = T = = 16 cm, T = cm, a gúla T M térfogata V =, a legkisebb gúláé V = = 1, cm. A másik két test térfogata gúlák térfogatának különbségeként állítható elő: 64 8 V = V 149, cm 1 1, illetve V1 = ( V + V ) 405, cm. Megjegyzés: A gúla alaplapjával párhuzamos síkok által levágott testek közül a gúla csúcsánál egy újabb gúla keletkezett, a másik két test pedig egy-egy csonkagúla, amellyel a későbbiekben részletesen foglalkozunk. A keletkezett kis gúla hasonló az eredetihez. A hasonlóság a térbeli alakzatokra is ugyanazt jelenti, mint a síkidomokra megadott definíció.

24 4 MATEMATIKA A 1. ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ Mintapélda 6 Egy T alapterületű, M testmagasságú gúlát a csúcsából k-szorosára nagyítunk. Írd fel T, M és k segítségével a keletkező új gúla térfogatát! Az eredeti gúla térfogata V T M T ' M ' =. A nagyított gúla térfogata V ' =, ahol T az új test alapterülete, M pedig a testmagassága. A nagyított és az eredeti gúla hasonlósága miatt M ' = k M, míg az alapterület T ' = k T. Ezeket behelyettesítve T ' M ' V ' = = ( k T ') ( k M ') = k T ' M ' = k V Hasonló testek felszínének aránya a hasonlóság arányának második hatványa. Hasonló testek térfogatának aránya a hasonlóság arányának harmadik hatványa. Ha az 1. és a. test hasonló és k a hasonlóság aránya, akkor A 1 V = k és 1 = k A V Feladatok 1. Egy szabályos gúlát úgy vágunk el egy alaplappal párhuzamos síkkal, hogy a keletkező két rész térfogata megegyezzen. A magasság hányad részénél kell elvágnunk a gúlát? A levágott és az eredeti gúla között k arányú hasonlóság van, M V = k m, és V = k v (kisbetűk jelölik a levágott gúla adatait). Ez utóbbiból V = k, ahonnan 1 k =. Innen m = M 0, 79 M. Tehát a csúcstól számítva a magasság 79%-ánál kell elvágni a gúlát.. Egy hatszög alapú szabályos gúla testmagassága és alapéle egyaránt 4 cm. Úgy vágjuk el a gúlát egy alaplappal párhuzamos síkkal, hogy a keletkező két rész térfogatának aránya : legyen! a) Számítsd ki a keletkező részek térfogatát! b) Hol kell elvágni a gúlát? Módszertani megjegyzés: jobb képességű diákoknak feladhatjuk a felszín kiszámítását is.

25 4. modul: POLIÉDEREK FELSZÍNE, TÉRFOGATA TANÁRI ÚTMUTATÓ a) A nagy gúla térfogata V = T M = , (cm ). A kisebb 4 gúla térfogata V 1 = V 1197,cm, a csonkagúla térfogata V = V 798,1 cm. 5 5 b) A hasonló testek térfogatának aránya a hasonlóság köbével egyenlő. A kis gúla és az eredeti gúla hasonló, a hasonlóság aránya: k = 0, 84, azaz a csúcstól számítva 5 0,1 cm-re kell az eredeti gúlát az alaplap síkjával párhuzamosan elvágni.. Egy 8,5 cm alapélű, szabályos négyoldalú gúla oldaléle az alaplappal 65 -os szöget zár be. Az alaplaptól milyen távolságokban vágjuk el a gúlát két, alaplappal párhuzamos síkkal, hogy a keletkező részek térfogata egyenlő legyen? Legyen a legkisebb gúla magassága M 1. A hasonlóság miatt M = M1 és M = M1. Az alaplap átlójának fele, M és az oldalél által alkotott derékszögű háromszögben: M tg 65 = 8,5 M 1,9 (cm), így M 8,9 (cm), M 11, 1 (cm). Az alaptól tehát 1,6 cm és 4 cm-re kell elvágni a gúlát.

26 6 MATEMATIKA A 1. ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ III. A csonkagúla Ha a gúlát elmetsszük egy, az alaplappal párhuzamos síkkal, csonkagúlát kapunk. Mintapélda 7 Hány liter virágföldet vásároljunk abba a négyzet alapú, csonkagúla alakú virágládába, amelynek belső méretei: az alaplap éle 6 cm, a fedőlap éle 8 cm, a láda magassága 47 cm? A cserép térfogatának meghatározásához ismerni kell a csonkagúla térfogatának kiszámítási módját. Hasonlóság segítségével a következő képletet lehet levezetni: M A csonkagúla térfogata: V ( T + t T + t) =, ahol M a testmagasság, t a fedőlap, T az alaplap területe. Az adatokat képletbe behelyettesítve: ( ) = 4869 cm 48,7 liter V = 47 zsák virágföldet megvásárolni.. Érdemes tehát egy 50 literes A csonkagúla felszínének kiszámításához nincs képlet, minden feladatot egyedi módon oldunk meg. Ha a csonkagúla négyzet alapú szabályos gúlából származott, melynek adatai az ábrán láthatók, akkor meghatározzuk az oldallapok (trapézok) területét. Az oldallap magassága (m) és testmagasság (M), valamint az oldallap magassága és az oldalél (b) között a Pitagorasz-tétel teremt kapcsolatot: m b = M = m a c + a c +

27 4. modul: POLIÉDEREK FELSZÍNE, TÉRFOGATA TANÁRI ÚTMUTATÓ 7 Módszertani megjegyzés: A következő feladatot csoportmunkában javasoljuk megoldani. Feladatok 4. Egy egyiptomi matematikatörténeti emlék, a moszkvai papirusz a következőképpen írja le a csonkagúla térfogatának kiszámítását: [ ] alapélek:, illetve 4 könyök, magasság: 6 könyök. 1. Add össze ezt a 16-ot. ezzel a 8-cal és ezzel a 4-gyel:. kijön 8. Számítsd ki 4. 1/-át a 6-nak. Kijön. 5. Számolj 8-asával kétszer. Kijön Nézd, ez 56. Helyesen számítottad ki. Valóban helyes a számolás? Ellenőrizd! M 4 V = ( t + t T + T ) = ( ) = Jól számoltak. Forrás: 5. Töltsd ki a táblázat hiányzó részeit! a b c m M V A a) ,7 8 5, 46, 18,4 b) , , c) a 1 =; a = ,7 49,6 1946, d) 06 17, Egy,6 dm élű kocka egyik oldalának csúcsait összekötjük a szemközti oldal középpontjával, majd az így kapott gúlát elvágjuk az adott oldallal párhuzamos, a kocka középpontján átmenő síkkal. Határozd meg az így kapott csonkagúla térfogatát és felszínét!

28 8 MATEMATIKA A 1. ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ (,6 + 1,8,6 + 1,8 ) 1,6 dm 1,8 V =. m = 1,8 + 0,9,0 (dm). A =,6 + 1,8 1,8 +, ,8dm. 7. Egy sokszög alapú szabályos csonkagúla alaplapjának éle 18 cm, fedőlapjának éle 8 cm, oldaléle 0 cm. Mekkora a térfogata és felszíne, ha az alaplap a) négyzet; b) szabályos hatszög? a) m 19,4 cm; M 18,7 cm; V 89,6 cm ; A 196,8 cm. b) M = , cm; m = ,6 cm; V 8919,7 cm ; A 518,1 cm. 8. Egy négyzet alapú szabályos csonkagúla alapéle 6 cm, fedőlapjának éle 18 cm, és az oldallapok 7 -os szöget zárnak be az alaplappal. Mekkora a térfogata és a felszíne? 4 m = 1, 7 (cm); cos7 M = 4 tg7 1,1 (cm); t = 18 = 4 (cm ); T = 6 = 676 (cm ); ( t + tt + ) 6410, cm M V = T ; a + c A = t + T + 4 m 05,6 cm. 9. Egy négyzet alapú szabályos csonkagúla alapéle 16 cm, fedőlapjának éle 8 cm, és az oldalélek 64 -os szöget zárnak be az alaplappal. Mekkora a térfogata és a felszíne? e = 8 11, (cm); f =16, 6(cm); f e x = 5,65(cm); M = x tg64 11, 6 (cm);

29 4. modul: POLIÉDEREK FELSZÍNE, TÉRFOGATA TANÁRI ÚTMUTATÓ 9 x b = 1,9 (cm); m = b 4 1, (cm); t = 8 = 64 (cm ); T =16 = 56 cos 64 M a + c V = t + tt + T 17, cm ; A = t + T + 4 m 910,4 cm. (cm ). ( ) 40. Egy szobor talapzata 1,7 méter magas szabályos hatszög alapú egyenes csonkagúla, az alaplap éle 10 cm, és a fedőlap éle 0%-kal kisebb az alaplap élénél. a) Mekkora a talapzat tömege, ha az anyaga,7 kg/dm sűrűségű márvány? b) Télire becsomagolják a szobor talapzatát, hogy megóvják az időjárás viszontagságaitól. Mennyi csomagolóanyagra van szükség, ha a kötözéshez a talapzat felszínén kívül még 10% anyagot rá kell számolni? a) A fedőlap éle 1, 0,7 = 0, 84 (m). Az alaplap területe T 1, = 6 4,74 (m ), a fedőlapé 0,84 t = 6 1,8 (m ). 4 (,74 +,74 1,8 + 1,8) 4, 69 1,7 V = (m ). A tömeg: m = ρ V =, kg. Az oldallap magassága (1, 0,84) m = 1,7 + összefüggésből 1, 7 1, + 0,84 P = 6 1,7 10,59 (m ). Összesen tehát 10,59 + 1,8 1, 4 m. m (m), 41. Az ábrákon kürtős páraelszívók láthatók. Számítsd ki a térfogatukat és a felszínüket! A páraelszívók szimmetrikusak egy olyan síkra, amelyik az alaplap 60 cm-es élével párhuzamos és az alaplapra merőleges. Minden távolságadat cm-ben értendő. a) b)

30 0 MATEMATIKA A 1. ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ 49 a) A csonkagúla térfogata: V = ( ) négyzetes oszlopé V = (cm ), együtt cm. = A felszínhez szükség van a kétféle oldallap magasságaira: m 1 = m = ,6 (cm), 5,6 (cm) A = ( 59,6 + 5,6) = 1886, 4 cm. (cm ), a b) Itt nincs hátlap, a csonkagúla egyik oldallapja merőleges az alaplapra. A térfogat ( ) V 1 = (cm ), a négyzetes oszlopé V = (cm ), együtt cm. = A két magasság: m = , 6 (cm), m = 49 +,5 58, 8 (cm), a A cm. felszín: = 6,6 + 58,8 + ( 1+ 5) 70 = 14816, 4. Egy szabályos háromszög alapú szabályos csonkagúla oldallapjai az alaplappal 70 os szöget zárnak be. A csonkagúla magassága 19 cm, az alaplap éle cm. Mekkora a felszíne és a térfogata? m = 0, (cm); x = 6, 9 (cm). sin 70 tg70 A csonkagúla egyenes, ezért az alaplap és a fedőlap középpontján átmenő egyenes merőleges az alaplap síkjára. y a fedőlap magasságának harmada. 1 y = PQ x = x, (cm), így a fedőlap éle az 1 c y = összefüggésből c 8, 0 (cm). Az alaplap területe T = c 7, 7 (cm ), 4

31 4. modul: POLIÉDEREK FELSZÍNE, TÉRFOGATA TANÁRI ÚTMUTATÓ 1 a fedőlapé t 44, 4(cm ). ( 7,7 + 7,7 44,4 + 44,) 684,9 cm, V = A = + + 0, 168,1 cm. 4 4

32 MATEMATIKA A 1. ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ IV. Vegyes feladatok 4. Mekkora annak a háromszög alapú egyenes hasábnak a térfogata és felszíne, amelynek alapélei 10 cm, 1 cm és 14 cm, oldaléle pedig 0 cm hosszú? Az alapterületet vagy a Héron-képlettel számítjuk ki, vagy a koszinusz-tétellel meghatározzuk a legkisebb szögét (ez biztosan hegyesszög), és a trigonometrikus területképletet használjuk. 10 = cosα, ahonnan α 44, sinα Az alapterület T = 58,8 cm, a hasáb térfogata V = 58, cm. A felszín: = T + P = 58,8 + ( ) 0 67, 6 A cm. 44. Egy négyzetes oszlop oldalainak hossza centiméterrel mérve egész szám, térfogata 7 cm. Mennyi lehet a felszíne? A térfogat { } V = a b = 7 =. Így 1; ; ; ( ) a, ezért a csak 1,, vagy 6 lehet. A lehetséges megoldások: a 1 6 (cm) b (cm) A (cm ) 45. Egy ajtót úgy készítettek, hogy két bútorlapot összeragasztottak. Az egyik méretei: 8 cm 01 cm mm, a másik méretei: 85 cm 0,5 cm 15 mm. a) Számítsd ki az egyes bútorlapok, majd az egész ajtó anyagának térfogatát! b) Mekkora a tömege az ajtónak, ha a bútorlap sűrűsége 600 kg/m? m A sűrűség, a tömeg és a térfogat közötti összefüggés: ρ =. V a) V = 0,8,01 0,0 0,08 m, 1 V = 0,85,05 0,015 0,06 m, V = V + V 0,064 m. b) m = ρ V 8,4 kg. 1

33 4. modul: POLIÉDEREK FELSZÍNE, TÉRFOGATA TANÁRI ÚTMUTATÓ 46. Egy 108 cm élű kocka oldalait kilenc egybevágó négyzetre osztjuk, és a középső négyzeteknek megfelelően teljesen átfúrjuk a kockát. a) Mennyi a megmaradó rész térfogata? b) A kocka lapjain megmaradó 8-8 négyzetet újra 9 egybevágó négyzetre osztjuk, és az itt megjelenő középső négyzeteknek megfelelően ismét átfurkáljuk a kockából megmaradt testet. Mekkora az így keletkező test térfogata? Módszertani megjegyzés: Érdeklődő diákjainknak megemlíthetjük, hogy ha a folyamatot a végtelenségig folytatjuk, fraktált kapunk (Menger-szivacs; sorozat felállítása a térfogatra). Indíthatunk gyűjtőprojekteket, amelyek eredménye a fraktálokat ismertető kiselőadás (bemutatóval), vagy a dimenzió olyan értelmezésével kapcsolatos, amely nem egész számot ad. A fraktáloknak nagy jelentősége van, mert segítségükkel jól leírhatók a cikcakkos tengerpartok, a csipkés hegygerincek, a páfránylevelek stb. A fraktáldimenzió (törtdimenziójú felületek, testek) értelmezése logaritmussal történik, az összes szükséges előismerettel rendelkeznek a tanulók. A következő honlapokon bővebb ismertetéseket is találunk (007. márciusi állapot): a) 7 darab, 6 cm élű kockát távolítottunk el, a megmaradó rész térfogata: cm. b) 0 darab, az eredetihez hasonló kis kocka keletkezik, a hasonlóság aránya 1. Ezért 1 V = 0 V ere det i = cm.

34 4 MATEMATIKA A 1. ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ 47. Mekkora annak a hasábnak a térfogata és felszíne, amelynek hálóját és méreteit az ábra mutatja? 8 1 a) Derékszögű háromszög alapú hasáb. T = = 5 (cm ), az alaplap átfogója = 15, (cm), M = 0 (cm). A térfogat V felszín A = T + M ( a + b + c) 80 cm. = T M = 1040 cm b) Rombusz alapú hasáb. T = 5 sin 60 1, 7 (cm ). V 108,5 cm, A 14,4 cm. c) Deltoid alapú hasáb. Az átlók hossza e = 1 sin 5 10, 1(cm) és 1 sin 5 e f f = 1 cos ,9 (cm), az alapterület T = tg40 85, cm. 10,1 V 179,5 cm 1, dm. A deltoid ismeretlen oldala 7, 9 (cm), a felszín sin 40 A = T + 15 ( 7,9 + 1) 767,6 cm 7,7 dm., a 48. Egy egyenes hasáb alaplapja olyan trapéz, amelynek egyik alapja kétszerese a másiknak. Hogyan tudnánk három, egyenlő térfogatú hasábra vágni két olyan síkkal, ami párhuzamos az oldalélekkel? A keresett síkok a hosszabbik alap F felezőpontjára és egy-egy oldalára illeszkednek. Így mindhárom hasáb alapterülete és testmagassága egyenlő, a térfogataik tehát megegyeznek.

35 4. modul: POLIÉDEREK FELSZÍNE, TÉRFOGATA TANÁRI ÚTMUTATÓ Egy trapéz alapú egyenes hasábot az alaplap átlóját tartalmazó, alaplapra merőleges síkokkal négy darab háromszög alapú hasábra bontunk az ábra szerint. Milyen összefüggések találhatók a keletkező hasábok térfogatai között? A trapéz rövidebbik alapja 6 cm, a hosszabbik 15 cm. T 1 + T 4 = T + T 4 T 1 = T, így az 1. és a. test térfogata egyenlő.. és háromszögek hasonlósága miatt T4 = T, így a térfogatuk aránya is = 6,5. T1 = T = T T1 = T T = 0,68T V1 = 0, 69V A 10 cm alapélű, 15 cm testmagasságú, rombusz alapú egyenes hasábok közül melyiknek a legnagyobb a térfogata? Számítsd ki a maximális térfogatot és azt is, hogy ekkor mennyi a felszín! A trigonometrikus területképletet alkalmazva, az alapterület T =10 sinα, ahol α a rombusz hegyesszöge. Ez akkor maximális, ha sin α = 1, azaz α=90, a rombusz négyzet, a test négyzetes oszlop. Ekkor térfogata = 1500 cm, felszíne 800 cm. 51. Egy hasáb alakú sarokgardrób alaplapja látható az ábrán. Mennyibe kerül a bútorlap költsége, ha a szekrény magassága 19 cm, körbe mindenhol bútorlap határolja és a négyzetméter ár 400 tallér? 60 Az alapterület T = 90 = 600 cm. Az első oldal szélessége (a két ajtó együtt) 60 84,9 cm, így a felszín: A = ( ,9) = 7505,7 cm A költség kb tallér. 7,5 m.

36 6 MATEMATIKA A 1. ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ 5. Egy szabályos négyoldalú gúla oldaléle az alapél kétszerese. Mekkora szöget zár be az alaplap az oldallappal? a 15 m = (a) = a, a a a 1 cos α = = = =, ahonnan α 75. m m 15a Egy szabályos négyoldalú gúla alapélének és testmagasságának aránya : 5, térfogata 1875 cm. Mekkora a felszíne? Az arány miatt van egy közös egység (e), amivel felírva az alapél e, a magasság 5e. (e) 5e V V = = 15e, ahonnan e = = 5(cm), az alapél a = 15 cm, a testmagasság 15 M = 5 cm. a m Az oldallap magassága m = 7, , 1(cm), a palást P = 4 78 (cm ), a felszín A = a + P 1008 cm. 54. Egy 4 cm élű kocka egyik oldalának csúcsait összekötjük a szemközti oldal középpontjával. Határozd meg az így kapott gúla térfogatát és felszínét! V = a = 4608 cm. Az oldallap magassága m = ,8 (cm), így A = a ( a + m) 186,4 cm.

37 4. modul: POLIÉDEREK FELSZÍNE, TÉRFOGATA TANÁRI ÚTMUTATÓ Egy kerítésdíszt úgy készítenek, hogy egy 6 cm élű kocka szemközti oldalainak csúcsait összekötik a kocka középpontjával (középen pontszerűen összehegesztik). Határozd meg az így kapott dísz térfogatát és felszínét! 1 V = ,7 cm. m = 1, az egész test 6 1 felszíne A = cm. 56. A 0 cm magasságú, 18 cm alapélű, négyzet alapú szabályos gúlát az alaplapjával felfelé fordítjuk, és a magasság feléig megtöltjük vízzel. Ezután lezárjuk, és a gúlát az alaplapjára fordítva lerakjuk az asztalra. Milyen magasan áll benne a víz? Az egész gúla térfogata 18 0 = 160, a beleöntött víz 9 10 térfogata = 70 (cm ); a hasonlóság miatt az alapél is felére csökken, 9 cm-re. Megfordítás után a hasonlóság miatt x y =, ahonnan y = 0, 9 x 0 18 A felső gúla térfogata = 1890 (cm ). A térfogat képletével számolva y x 0,81x 1890 =, beírva az előbbi összefüggést 1890 =, x = , 1(cm). A víz tehát mindössze kb. 9 mm magasan áll a gúlában. 57. Egy szabályos ötszög alapú szabályos gúla alaplapja köré 6,8 cm sugarú kör írható. Mekkora a térfogata és a felszíne, ha 45 a) az oldalél és az alaplap hajlásszöge; b) az oldallap és az alaplap hajlásszöge? Az alapterület a trigonometrikus területképlettel 6,8 sin 7 számítva: T = 5 109, 9(cm ), az alapél

38 8 MATEMATIKA A 1. ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ a = 6,8 sin 6 8,0 (cm). A 45 azt jelenti, hogy egyenlőszárú derékszögű háromszögekkel számolhatunk. x = 6,8 cos6 5, 5 (cm). a) M T M a m = r = 6,8 (cm); V = 49,1 cm ; A = T + 5, ahol m = x + M 8,7 (cm). Behelyettesítve az adatokat A 8,9 cm. T M b) M = x 5,5 (cm); V = 01,5 cm ; m = x 7, 8 (cm); A 65,9 cm. 58. Egy nyolcszög alapú szabályos gúla alaplapja köré, dm sugarú kör írható. Mekkora a térfogata és a felszíne, ha 5 a) az oldalél és az alaplap hajlásszöge; b) az oldallap és az alaplap hajlásszöge? A nagyobb pontosság miatt centiméterben számolunk, és az eredményt a végén váltjuk át és kerekítjük. sin 45 T = , (cm ); a = sin,5 17,6 (cm); x = cos,5 1, (cm). a) M = tg5 16, 1(cm); m = M + x 6, 6 (cm); V 1 809,6 cm 8 dm = T M ; a m A = T ,8 cm,7 dm. b) M = x tg5 14, 8 (cm); m = M + x 5, 9(cm); V 781, cm 7,4 dm ; A 19,6 cm, dm. 59. Egy négyzet alapú szabályos csonkagúla testmagassága 5 -os szöget zár be az oldallap magasságával, és a két magasság különbsége 6,8 cm. Mekkora a térfogata és a felszíne, ha a fedőlap éle cm? m M = 6, 8; M = m cos 5, ezért M ( 1 cos 5 ) = 6,8, ahonnan M 7,6 (cm), m 80, 1(cm).

39 4. modul: POLIÉDEREK FELSZÍNE, TÉRFOGATA TANÁRI ÚTMUTATÓ 9 x = m sin 5,9 (cm), a = + x 90, 8 (cm); T 844, 6 (cm ), t = 59 (cm ), 6861,4 cm V 6,9 dm ; A 7004,4 cm 70 dm. 60. Egy négyzet alapú egyenes csonkagúla fedőlapjának és alaplapjának élei közötti különbség 1 cm, testmagassága 1,8 cm. Mekkora a felszíne, ha a térfogata 498 cm? a c 1 M = 1,8 (cm); a = c + 1 ; x = = = 6 (cm); m = M + x 15 (cm). A térfogat [ + ( c + 1) c + ( 1) ] 1,8 498 = c c +, ahonnan c + 1c 1 = 0 adódik. Ennek pozitív megoldása: c = 7 (cm), ebből a = 19 (cm). A felszín a + c A = t + T + 4 m = 1190 cm. 61. Mekkora annak a négyzet alapú csonkagúlának a térfogata és felszíne, amelyiknek hálója az ábrán látható? m = 10 5 = 75 8,7 ; M = m 5 = 50 7, 1; t = 8 = 64; T = 18 = 4 ; a + c A = t + T + 4 m 840,4 cm ( t + t T + ) 159,1 cm M V = T ;.

40 40 MATEMATIKA A 1. ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ Kislexikon A test térfogata: annak a térrésznek a mértéke, amelyet a test felülete határol. A térfogatot mindig valamilyen térfogategységhez hasonlítjuk. Térfogategység: az egységélű kocka térfogata. A test felszíne: a testet határoló felület területe. Síklapokkal határolt testek esetén a határoló lapok területének összege. Poliédernek nevezünk egy testet, ha azt véges sok sokszög határolja. Konvex poliéder: bármely két pontjának összekötő szakaszát is tartalmazza. Euler tétele: l + c = e + (lapok + csúcsok száma = élek száma + ); minden konvex poliéderre teljesül. Szabályos poliéder: élei, élszögei és lapszögei egyenlők. Hasáb: Adott az alapsíkon egy sokszög (alaplap) és egy egyenes, amely az alapsíkkal nem párhuzamos. Ha a sokszög minden pontján keresztül párhuzamost húzunk az adott egyenessel, hasábfelületet kapunk. Ezt elmetsszük egy, az alapsíkkal párhuzamos síkkal (fedőlap). Az így keletkező bezárt térrészt nevezzük hasábnak. Egyenes hasáb: olyan hasáb, amelynél az adott egyenes merőleges az alapsíkra. Palást: a poliéder oldallapjainak együttese. Gúla: Adott az alapsíkon egy sokszög (alaplap) és egy pont az alapsíkon kívül (csúcspont). Ha a sokszög minden pontját egyenesekkel összekötjük az adott ponttal, gúlafelületet kapunk. A keletkező bezárt térrészt nevezzük gúlának. A gúla magassága az alaplap síkjának és a csúcspontnak a távolsága. Csonkagúlát kapunk, ha a gúlát elmetsszük egy, az alaplappal párhuzamos síkkal.

41 4. modul: POLIÉDEREK FELSZÍNE, TÉRFOGATA TANÁRI ÚTMUTATÓ 41 Gyakran előforduló poliéderek térfogata és felszíne: A kocka térfogata: V = a, felszíne A = 6a (a a kocka éle). A téglatest térfogata V = abc, felszíne A = (ab + bc + ac) (a, b és c a téglatest élei). A hasáb térfogata: V = alapterület testmagasság, felszíne: A = alapterület + a palást területe. A gúla térfogata V összege adja. alapterület magasság =, felszínét a határoló lapok területeinek M A csonkagúla térfogata: V ( T + t T + t) T az alaplap területe. =, ahol M a testmagasság, t a fedőlap, Hasonló testek: két test hasonló, ha van olyan hasonlósági transzformáció, amely egyiket a másikhoz rendeli. Hasonló testek esetén fennáll a síkidomokra is érvényes állítás: az egyik alakzat két tetszőleges pontjának egymástól való távolsága s a másik alakzat megfelelő pontjainak egymástól való távolsága között levő arány állandó. Hasonló testek felszínének aránya a hasonlóság arányának négyzete. Hasonló testek térfogatának aránya a hasonlóság arányának köbe.

5. modul Térfogat és felszínszámítás 2

5. modul Térfogat és felszínszámítás 2 Matematika A 1. évfolyam 5. modul Térfogat és felszínszámítás Készítette: Vidra Gábor Matematika A 1. évfolyam 5. modul: TÉRFOGAT ÉS FELSZÍNSZÁMÍTÁS Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály

Részletesebben

10. évfolyam, negyedik epochafüzet

10. évfolyam, negyedik epochafüzet 10. évfolyam, negyedik epochafüzet (Geometria) Tulajdonos: NEGYEDIK EPOCHAFÜZET TARTALOM I. Síkgeometria... 4 I.1. A háromszög... 4 I.2. Nevezetes négyszögek... 8 I.3. Sokszögek... 14 I.4. Kör és részei...

Részletesebben

MATEMATIKA A 10. évfolyam

MATEMATIKA A 10. évfolyam MATEMATIKA A 10. évfolyam 8. modul Hasonlóság és alkalmazásai Készítették: Vidra Gábor, Lénárt István Matematika A 10. évfolyam 8. modul: Hasonlóság és alkalmazásai A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Térgeometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Térgeometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Térgeometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

9. modul Szinusz- és koszinusztétel. Készítette: Csákvári Ágnes

9. modul Szinusz- és koszinusztétel. Készítette: Csákvári Ágnes 9. modul Szinusz- és koszinusztétel Készítette: Csákvári Ágnes Matematika A 11. évfolyam 9. modul: Szinusz- és koszinusztétel Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Térgeometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Térgeometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Térgeometria 1) Egy gömb alakú labda belső sugara 13 cm. Hány liter levegő van benne? Válaszát indokolja! 2) Egy forgáskúp alapkörének átmérője egyenlő a

Részletesebben

Felszín- és térfogatszámítás (emelt szint)

Felszín- és térfogatszámítás (emelt szint) Felszín- és térfogatszámítás (emelt szint) (ESZÉV 2004.minta III./7) Egy négyoldalú gúla alaplapja rombusz. A gúla csúcsa a rombusz középpontja felett van, attól 82 cm távolságra. A rombusz oldalának hossza

Részletesebben

4b 9a + + = + 9. a a. + 6a = 2. k l = 12 évfolyam javítóvizsgára. 1) Alakítsd szorzattá a következő kifejezéseket!

4b 9a + + = + 9. a a. + 6a = 2. k l = 12 évfolyam javítóvizsgára. 1) Alakítsd szorzattá a következő kifejezéseket! ) Alakítsd szorzattá a következő kifejezéseket! 4 c) d) e) f) 9k + 6k l + l = ay + 7ay + 54a = 4 k l = b 6bc + 9c 4 + 4y + y 4 4b 9a évfolyam javítóvizsgára ) Végezd el az alábbi műveleteket és hozd a

Részletesebben

Munkafüzet megoldások 7. osztályos tanulók számára. Makara Ágnes Bankáné Mező Katalin Argayné Magyar Bernadette Vépy-Benyhe Judit

Munkafüzet megoldások 7. osztályos tanulók számára. Makara Ágnes Bankáné Mező Katalin Argayné Magyar Bernadette Vépy-Benyhe Judit Kalandtúra 7. unkafüzet megoldások 7. osztályos tanulók számára akara Ágnes Bankáné ező Katalin Argayné agyar Bernadette Vépy-Benyhe Judit BEELEGÍTŐ GONDOLKODÁS. SZÓRAKOZTATÓ FELADVÁNYOK. oldal. 6... 6.

Részletesebben

MATEMATIKA ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI-FELVÉTELI FELADATOK 2003. május 19. du. JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI-FELVÉTELI FELADATOK 2003. május 19. du. JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ MATEMATIKA ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI-FELVÉTELI FELADATOK 00 május 9 du JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ Oldja meg a rendezett valós számpárok halmazán az alábbi egyenletrendszert! + y = 6 x + y = 9 x A nevezők miatt az alaphalmaz

Részletesebben

MATEMATIKA PRÓBAFELVÉTELI a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA PRÓBAFELVÉTELI a 8. évfolyamosok számára MEGOLDÓKULCS MATEMATIKA PRÓBAFELVÉTELI a 8. évfolyamosok számára 2012. december 17. 10:00 óra NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tollal dolgozz! Zsebszámológépet nem asználatsz. A feladatokat tetszés szerinti

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2012. május 8. EMELT SZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2012. május 8. EMELT SZINT I. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 01. május 8. EMELT SZINT I. 1) Egy 011-ben készült statisztikai összehasonlításban az alábbiakat olvashatjuk: Ha New York-ban az átlagfizetést és az átlagos árszínvonalat egyaránt

Részletesebben

MATEMATIKA KOMPETENCIATERÜLET A

MATEMATIKA KOMPETENCIATERÜLET A MATEMATIKA KOMPETENCIATERÜLET A Matematika 7. évfolyam TANULÓI MUNKAFÜZET 2. félév A kiadvány KHF/4002-17/2008 engedélyszámon 2008. 08. 18. időponttól tankönyvi engedélyt kapott Educatio Kht. Kompetenciafejlesztő

Részletesebben

Első sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a. cos x + sin2 x cos x. +sinx +sin2x =

Első sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a. cos x + sin2 x cos x. +sinx +sin2x = 2000 Írásbeli érettségi-felvételi feladatok Első sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a egyenletet! cos x + sin2 x cos x +sinx +sin2x = 1 cos x (9 pont) 2. Az ABCO háromszög

Részletesebben

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A Matematika 10. évfolyam TANULÓK KÖNYVE. FÉLÉV A kiadvány KHF/4365-1/008. engedélyszámon 008.08.8. időponttól tankönyvi engedélyt kapott Educatio Kht. Kompetenciafejlesztő

Részletesebben

6. modul Egyenesen előre!

6. modul Egyenesen előre! MATEMATIKA C 11 évfolyam 6 modul Egyenesen előre! Készítette: Kovács Károlyné Matematika C 11 évfolyam 6 modul: Egyenesen előre! Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási

Részletesebben

KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA

KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA ÉRETTSÉGI VIZSGA 2016. május 3. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2016. május 3. 8:00 I. Időtartam: 45 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Matematika középszint

Részletesebben

Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István. tankönyv. Mozaik Kiadó Szeged, 2013

Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István. tankönyv. Mozaik Kiadó Szeged, 2013 Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István tankönyv 0 Mozaik Kiadó Szeged, 03 TARTALOMJEGYZÉK Gondolkodási módszerek. Mi következik ebbõl?... 0. A skatulyaelv... 3. Sorba rendezési

Részletesebben

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A Matematika 6. évfolyam TANULÓI MUNKAFÜZET 2. FÉLÉV A kiadvány KHF/4356-14/2008. engedélyszámon 2008.11.25. időponttól tankönyvi engedélyt kapott Educatio Kht. Kompetenciafejlesztő

Részletesebben

44. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY. Országos döntő, 1. nap - 2015. május 29.

44. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY. Országos döntő, 1. nap - 2015. május 29. 44. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY Országos döntő, 1. nap - 015. május 9. ÖTÖDIK OSZTÁLY - ok 1. Egy háromjegyű szám középső számjegyét elhagyva egy kétjegyű számot kaptunk. A két szám összege

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 161 ÉRETTSÉGI VIZSGA 016. május. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

TARTALOMJEGYZÉK ELŐSZÓ... 7 1. GONDOLKOZZ ÉS SZÁMOLJ!... 9 2. HOZZÁRENDELÉS, FÜGGVÉNY... 69

TARTALOMJEGYZÉK ELŐSZÓ... 7 1. GONDOLKOZZ ÉS SZÁMOLJ!... 9 2. HOZZÁRENDELÉS, FÜGGVÉNY... 69 TARTALOMJEGYZÉK ELŐSZÓ............................................................ 7 1. GONDOLKOZZ ÉS SZÁMOLJ!............................. 9 Mit tanultunk a számokról?............................................

Részletesebben

PRÓBAÉRETTSÉGI MATEMATIKA. 2003. május-június SZÓBELI EMELT SZINT. Tanulói példány. Vizsgafejlesztő Központ

PRÓBAÉRETTSÉGI MATEMATIKA. 2003. május-június SZÓBELI EMELT SZINT. Tanulói példány. Vizsgafejlesztő Központ PRÓBAÉRETTSÉGI 2003. május-június MATEMATIKA SZÓBELI EMELT SZINT Tanulói példány Vizsgafejlesztő Központ 1. Halmazok, halmazműveletek Alapfogalmak, halmazműveletek, számosság, számhalmazok, nevezetes ponthalmazok

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2011. október 18. EMELT SZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2011. október 18. EMELT SZINT I. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 0. október 8. EMELT SZINT I. ) Kinga 0. születésnapja óta kap havi zsebpénzt a szüleitől. Az első összeget a 0. születésnapján adták a szülők, és minden hónapban 50 Fttal többet adnak,

Részletesebben

1992. évi verseny, 2. nap. legkisebb d szám, amelyre igaz, hogy bárhogyan veszünk fel öt pontot

1992. évi verseny, 2. nap. legkisebb d szám, amelyre igaz, hogy bárhogyan veszünk fel öt pontot 1991. évi verseny, 1. nap 1. Bizonyítsd be, hogy 1 101 + 1 102 + 1 103 +... + 1 200 < 1 2. 2. Egy bálon 42-en vettek részt. Az első lány elmondta, hogy 7 fiúval táncolt, a második lány 8-cal, a harmadik

Részletesebben

MATEMATIKA C 12. évfolyam 3. modul A mi terünk

MATEMATIKA C 12. évfolyam 3. modul A mi terünk MTEMTIK C 1. évflyam. mdul mi terünk Készítette: Kvács Kárlyné Matematika C 1. évflyam. mdul: mi terünk Tanári útmutató mdul célja Időkeret jánltt krsztály Mdulkapcslódási pntk térfgat- és felszínszámítási

Részletesebben

EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK, EGYENLETRENDSZEREK

EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK, EGYENLETRENDSZEREK X. Témakör: feladatok 1 Huszk@ Jenő X.TÉMAKÖR EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK, EGYENLETRENDSZEREK Téma Egyenletek, egyenlőtlenségek grafikus megoldása Egyszerűbb modellalkotást igénylő, elsőfokú egyenletre

Részletesebben

3. Az y=x2 parabolához az y=x egyenletű egyenes mely pontjából húzható két, egymásra merőleges érintő?

3. Az y=x2 parabolához az y=x egyenletű egyenes mely pontjából húzható két, egymásra merőleges érintő? Észforgató középiskolásoknak 1.Egy tálba egymás után felütünk tíz darab tojást. A tojások közül kettő romlott, de ez csak a feltöréskor derül ki. A záptojások az összes előttük feltört tojást használhatatlanná

Részletesebben

1. A testek csoportosítása: gúla, kúp

1. A testek csoportosítása: gúla, kúp TÉRGOMTRI 1. testek csoportosítása: gúla, kúp Keressünk a környezetünkben gömböket, hengereket, hasábokat, gúlákat, kúpokat! Keressük meg a fenti képen az alábbi testeket! gömb egyenes körhenger egyenes

Részletesebben

148 feladat 21 + + 20 20 ) + ( 1 21 + 2 200 > 1 2. 1022 + 1 51 + 1 52 + + 1 99 2 ) (1 1 100 2 ) =?

148 feladat 21 + + 20 20 ) + ( 1 21 + 2 200 > 1 2. 1022 + 1 51 + 1 52 + + 1 99 2 ) (1 1 100 2 ) =? 148 feladat a Kalmár László Matematikaversenyről 1. ( 1 19 + 2 19 + + 18 19 ) + ( 1 20 + 2 20 + + 19 20 ) + ( 1 21 + 2 21 + + 20 21 ) + ( 1 22 + 2 22 + + 21 22 ) =? Kalmár László Matematikaverseny megyei

Részletesebben

Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet TÁMOP-3.1.1-11/1-2012-0001 XXI. századi közoktatás (fejlesztés, koordináció) II. szakasz. Fejlesztőfeladatok

Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet TÁMOP-3.1.1-11/1-2012-0001 XXI. századi közoktatás (fejlesztés, koordináció) II. szakasz. Fejlesztőfeladatok Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet TÁMOP-3.1.1-11/1-2012-0001 XXI. századi közoktatás (fejlesztés, koordináció) II. szakasz Fejlesztőfeladatok MATEMATIKA 4. szint 2015 Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Síkgeometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Síkgeometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Síkgeometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

MATEMATIKA GYAKORLÓ FELADATGYŰJTEMÉNY

MATEMATIKA GYAKORLÓ FELADATGYŰJTEMÉNY MATEMATIKA GYAKORLÓ FELADATGYŰJTEMÉNY (Kezdő 9. évfolyam) A feladatokat a Borbás Lászlóné MATEMATIKA a nyelvi előkészítő évfolyamok számára című könyv alapján állítottuk össze. I. Számok, műveletek számokkal.

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 0 ÉRETTSÉGI VIZSGA 00. február. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Matematika emelt szint Fontos tudnivalók Formai

Részletesebben

- hányadost és az osztót összeszorozzuk, majd a maradékot hozzáadjuk a kapott értékhez

- hányadost és az osztót összeszorozzuk, majd a maradékot hozzáadjuk a kapott értékhez 1. Számtani műveletek 1. Összeadás 73 + 19 = 92 összeadandók (tagok) összeg Összeadáskor a tagok felcserélhetőek, az összeg nem változik. a+b = b+a Összeadáskor a tagok tetszőlegesen csoportosíthatóak

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Térgeometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Térgeometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Térgeometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Középszintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: 2005. november. I. rész

Középszintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: 2005. november. I. rész Pataki János, 005. november Középszintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: 005. november I. rész. feladat Egy liter 0%-os alkoholhoz / liter 40%-os alkoholt keverünk.

Részletesebben

Matematika POKLICNA MATURA

Matematika POKLICNA MATURA Szakmai érettségi tantárgyi vizsgakatalógus Matematika POKLICNA MATURA A tantárgyi vizsgakatalógus a 0-es tavaszi vizsgaidőszaktól kezdve alkalmazható mindaddig, amíg új nem készül. A katalógus érvényességét

Részletesebben

Matematika tanmenet (A) az HHT-Arany János Tehetségfejleszt Program el készít -gazdagító évfolyama számára

Matematika tanmenet (A) az HHT-Arany János Tehetségfejleszt Program el készít -gazdagító évfolyama számára Matematika tanmenet (A) az HHT-Arany János Tehetségfejleszt Program el készít -gazdagító évfolyama számára Ez a tanmenet az OM által jóváhagyott tanterv alapján készült. A tanterv az Országos Közoktatási

Részletesebben

Tanmenet Matematika 8. osztály HETI ÓRASZÁM: 3,5 óra ( 4-3) ÉVES ÓRASZÁM: 126 óra

Tanmenet Matematika 8. osztály HETI ÓRASZÁM: 3,5 óra ( 4-3) ÉVES ÓRASZÁM: 126 óra Tanmenet Matematika 8. osztály HETI ÓRASZÁM: 3,5 óra ( 4-3) ÉVES ÓRASZÁM: 126 óra A Kiadó javaslata alapján összeállította: Látta:...... Harmath Lajos munkaközösség vezető tanár Jóváhagyta:... igazgató

Részletesebben

Elsôfokú egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek

Elsôfokú egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek Elsôfokú egyváltozós egyenletek 6 Elsôfokú egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek. Elsôfokú egyváltozós egyenletek 000. Érdemes egyes tagokat, illetve tényezôket alkalmasan csoportosítani, valamint

Részletesebben

Azonosító jel: MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA. 2015. október 13. 8:00. Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc

Azonosító jel: MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA. 2015. október 13. 8:00. Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc É RETTSÉGI VIZSGA 2015. október 13. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2015. október 13. 8:00 Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA

Részletesebben

Geometriai alapfogalmak

Geometriai alapfogalmak Geometriai alapfogalmak Alapfogalmak (nem definiáljuk): pont, egyenes, sík, tér. Félegyenes: egy egyenest egy pontja két félegyenesre bontja. Ez a pont a félegyenes végpontja. A félegyenes végtelen hosszú.

Részletesebben

MATEMATIKA I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY A) KOMPETENCIÁK

MATEMATIKA I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY A) KOMPETENCIÁK MATEMATIKA I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY Az érettségi követelményeit két szinten határozzuk meg: - középszinten a mai társadalomban tájékozódni és alkotni tudó ember matematikai ismereteit kell

Részletesebben

EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA

EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA ÉRETTSÉGI VIZSGA 2006. február 21. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2006. február 21. 8:00 Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Matematika

Részletesebben

9. ÉVFOLYAM. Tájékozottság a racionális számkörben. Az azonosságok ismerete és alkalmazásuk. Számok abszolútértéke, normál alakja.

9. ÉVFOLYAM. Tájékozottság a racionális számkörben. Az azonosságok ismerete és alkalmazásuk. Számok abszolútértéke, normál alakja. 9. ÉVFOLYAM Gondolkodási módszerek A szemléletes fogalmak definiálása, tudatosítása. Módszer keresése az összes eset áttekintéséhez. A szükséges és elégséges feltétel megkülönböztetése. A megismert számhalmazok

Részletesebben

MATEMATIKA 9. osztály Segédanyag 4 óra/hét

MATEMATIKA 9. osztály Segédanyag 4 óra/hét MATEMATIKA 9. osztály Segédanyag 4 óra/hét - 1 - Az óraszámok az AROMOBAN követhetőek nyomon! A tananyag feldolgozása a SOKSZÍNŰ MATEMATIKA (Mozaik, 013) tankönyv és a SOKSZÍNŰ MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY

Részletesebben

Szent István Tanulmányi Verseny Matematika 3.osztály

Szent István Tanulmányi Verseny Matematika 3.osztály SZENT ISTVÁN RÓMAI KATOLIKUS ÁLTALÁNOS ISKOLA ÉS ÓVODA 5094 Tiszajenő, Széchenyi út 28. Tel.: 56/434-501 OM azonosító: 201 669 Szent István Tanulmányi Verseny Matematika 3.osztály 1. Hányféleképpen lehet

Részletesebben

Bevezetés. Párhuzamos vetítés és tulajdonságai

Bevezetés. Párhuzamos vetítés és tulajdonságai Bevezetés Az ábrázoló geometria célja a háromdimenziós térben elhelyezkedő alakzatok helyzeti és metrikus viszonyainak egyértelműen és egyértelműen visszaállítható (rekonstruálható) módon történő való

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2009. október 20. EMELT SZINT

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2009. október 20. EMELT SZINT MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 009. október 0. EMELT SZINT ) Oldja meg az alábbi egyenleteket! a), ahol és b) log 0,5 0,5 7 6 log log 0 I., ahol és (4 pont) (7 pont) log 0,5 a) Az 0,5 egyenletben a hatványozás megfelelő

Részletesebben

MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA. 2013. május 7. 8:00. Időtartam: 45 perc EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA

MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA. 2013. május 7. 8:00. Időtartam: 45 perc EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA ÉRETTSÉGI VIZSGA 2013. május 7. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2013. május 7. 8:00 I. Időtartam: 45 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Matematika középszint

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 05 ÉRETTSÉGI VIZSGA 006. május 9. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Formai előírások: Fontos tudnivalók A dolgozatot

Részletesebben

2) = 0 ahol x 1 és x 2 az ax 2 + bx + c = 0 ( a,b, c R és a 0 )

2) = 0 ahol x 1 és x 2 az ax 2 + bx + c = 0 ( a,b, c R és a 0 ) Fogalom gyűjtemény Abszcissza: az x tengely Abszolút értékes egyenletek: azok az egyenletek, amelyekben abszolút érték jel szerepel. Abszolútérték-függvény: egy elemi egyváltozós valós függvény, mely minden

Részletesebben

5. Trigonometria. 2 cos 40 cos 20 sin 20. BC kifejezés pontos értéke?

5. Trigonometria. 2 cos 40 cos 20 sin 20. BC kifejezés pontos értéke? 5. Trigonometria I. Feladatok 1. Mutassuk meg, hogy cos 0 cos 0 sin 0 3. KöMaL 010/október; C. 108.. Az ABC háromszög belsejében lévő P pontra PAB PBC PCA φ. Mutassuk meg, hogy ha a háromszög szögei α,

Részletesebben

Az alap- és a képfelület fogalma, megadási módjai és tulajdonságai

Az alap- és a képfelület fogalma, megadási módjai és tulajdonságai A VETÜLETEK ALAP- ÉS KÉPFELÜLETE Az alap- és a képfelület fogalma, megadási módjai és tulajdonságai A geodézia, a térinformatika és a térképészet a görbült földfelületen elhelyezkedő geometriai alakzatokat

Részletesebben

0663 MODUL SÍKIDOMOK. Háromszögek, nevezetes vonalak. Készítette: Jakucs Erika, Takácsné Tóth Ágnes

0663 MODUL SÍKIDOMOK. Háromszögek, nevezetes vonalak. Készítette: Jakucs Erika, Takácsné Tóth Ágnes 0663 MODUL SÍKIDOMOK Háromszögek, nevezetes vonalak Készítette: Jakucs Erika, Takácsné Tóth Ágnes Matematika A 6. évfolyam 0663. Síkidomok Háromszögek, nevezetes vonalak Tanári útmutató 2 MODULLEÍRÁS A

Részletesebben

EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA

EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA ÉRETTSÉGI VIZSGA 2016. május 3. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2016. május 3. 8:00 Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2006. május 9. EMELT SZINT

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2006. május 9. EMELT SZINT ) A PQRS négyszög csúcsai: MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 006. május 9. EMELT SZINT P 3; I., Q ;3, R 6; és S 5; 5 Döntse el, hogy az alábbi három állítás közül melyik igaz és melyik hamis! Tegyen * jelet a táblázat

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria V.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria V. Geometria V. DEFINÍCIÓ: (Középponti szög) Ha egy szög csúcsa egy adott kör középpontja, akkor a kör középponti szögének nevezzük. DEFINÍCIÓ: (Kerületi szög) Ha egy szög csúcsa egy adott körvonal pontja,

Részletesebben

ÉLETPÁLYA- ÉPÍTÉS MATEMATIKA TANÁRI ÚTMUTATÓ KOMPETENCIATERÜLET B. 6. évfolyam

ÉLETPÁLYA- ÉPÍTÉS MATEMATIKA TANÁRI ÚTMUTATÓ KOMPETENCIATERÜLET B. 6. évfolyam ÉLETPÁLYA- ÉPÍTÉS KOMPETENCIATERÜLET B MATEMATIKA TANÁRI ÚTMUTATÓ 6. évfolyam A kiadvány az Educatio Kht. kompetenciafejlesztő oktatási program kerettanterve alapján készült. A kiadvány a Nemzeti Fejlesztési

Részletesebben

NÉGYOSZTÁLYOS FELVÉTELI A Gyakorló feladatsor I. megoldásai Számadó László (Budapest)

NÉGYOSZTÁLYOS FELVÉTELI A Gyakorló feladatsor I. megoldásai Számadó László (Budapest) NÉGYOSZTÁLYOS FELVÉTELI A Gyakorló feladatsor I. megoldásai Számadó László (Budapest) A javítókulcsban feltüntetett válaszokra a megadott pontszámok adhatók. A pontszámok részekre bontása csak ott lehetséges,

Részletesebben

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS KÖZÉPSZINT

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS KÖZÉPSZINT Matematika Próbaérettségi Megoldókulcs 016. január 16. MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS KÖZÉPSZINT I. rész: Az alábbi 1 feladat megoldása kötelező volt! 1) Egyszerűsítse a következő kifejezést: Válaszát

Részletesebben

10. évfolyam, ötödikepochafüzet

10. évfolyam, ötödikepochafüzet 10. évfolyam, ötödikepochafüzet (Hasonlóság, trigonometria) Tulajdonos: ÖTÖDIK EPOCHAFÜZET TARTALOM I. Geometriai transzformációk... 3 I.1. A geometriai transzformációk ismétlése... 3 I.2. A vektorok ismétlése...

Részletesebben

Matematika felvételi feladatok bővített levezetése 2013 (8. osztályosoknak)

Matematika felvételi feladatok bővített levezetése 2013 (8. osztályosoknak) Matematika felvételi feladatok bővített levezetése 2013 (8. osztályosoknak) Erre a dokumentumra az Edemmester Gamer Blog kiadványokra vonatkozó szabályai érvényesek. 1. feladat: Határozd meg az a, b és

Részletesebben

BEVEZETÉS AZ ÁBRÁZOLÓ GEOMETRIÁBA

BEVEZETÉS AZ ÁBRÁZOLÓ GEOMETRIÁBA Pék Johanna BEVEZETÉS AZ ÁBRÁZOLÓ GEOMETRIÁBA (Matematika tanárszakos hallgatók számára) Tartalomjegyzék Előszó ii 0. Alapismeretek 1 0.1. Térgeometriai alapok............................. 1 0.2. Az ábrázoló

Részletesebben

3. Öt alma és hat narancs 20Ft-tal kerül többe, mint hat alma és öt narancs. Hány forinttal kerül többe egy narancs egy

3. Öt alma és hat narancs 20Ft-tal kerül többe, mint hat alma és öt narancs. Hány forinttal kerül többe egy narancs egy 1. forduló feladatai 1. Üres cédulákra neveket írtunk, minden cédulára egyet. Egy cédulára Annát, két cédulára Pétert, három cédulára Bencét és négy cédulára Petrát. Ezután az összes cédulát egy üres kalapba

Részletesebben

Matematika tanmenet 2. osztály részére

Matematika tanmenet 2. osztály részére 2. osztály részére 2014-2015. Izsáki Táncsics Mihály Általános Iskola és Alapfokú Művészeti Iskola Készítette: Molnárné Tóth Ibolya Témakörök 1. Témakör: Év eleji ismétlés /1-24. óra/..3-5. oldal 2. Témakör:

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 0613 ÉRETTSÉGI VIZSGA 007. május 8. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Formai előírások: Fontos tudnivalók

Részletesebben

Próba érettségi feladatsor 2008. április 11. I. RÉSZ

Próba érettségi feladatsor 2008. április 11. I. RÉSZ Név: osztály: Próba érettségi feladatsor 2008 április 11 I RÉSZ Figyelem! A dolgozatot tollal írja; az ábrákat ceruzával is rajzolhatja A megoldást minden esetben a feladat szövege melletti keretbe írja!

Részletesebben

Geometriai példatár 2.

Geometriai példatár 2. Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara Baboss Csaba Szabó Gábor Geometriai példatár 2 GEM2 modul Metrikus feladatok SZÉKESFEHÉRVÁR 2010 Jelen szellemi terméket a szerzői jogról szóló 1999 évi

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2009. május 5. KÖZÉPSZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2009. május 5. KÖZÉPSZINT I. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 009. május 5. KÖZÉPSZINT I. 1) Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenletet! x 1x 4 0 Az egyenlet gyökei 1, 5 és 8. ) Számítsa ki a 1 és 75 számok mértani közepét! A mértani

Részletesebben

Számsorozatok Sorozat fogalma, példák sorozatokra, rekurzív sorozatokra, sorozat megadása Számtani sorozat Mértani sorozat Kamatszámítás

Számsorozatok Sorozat fogalma, példák sorozatokra, rekurzív sorozatokra, sorozat megadása Számtani sorozat Mértani sorozat Kamatszámítás 12. évfolyam Osztályozó vizsga 2013. augusztus Számsorozatok Sorozat fogalma, példák sorozatokra, rekurzív sorozatokra, sorozat megadása Számtani sorozat Mértani sorozat Kamatszámítás Ismerje a számsorozat

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2008. október 21. KÖZÉPSZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2008. október 21. KÖZÉPSZINT I. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 008. október 1. KÖZÉPSZINT I. 1) Adja meg a 4 egyjegyű pozitív osztóinak halmazát! A keresett halmaz: {1 4 6 8}. ) Hányszorosára nő egy cm sugarú kör területe, ha a sugarát háromszorosára

Részletesebben

Az áprilisi vizsga anyaga a fekete betűkkel írott szöveg! A zölddel írott rész az érettségi vizsgáig még megtanulandó anyag!

Az áprilisi vizsga anyaga a fekete betűkkel írott szöveg! A zölddel írott rész az érettségi vizsgáig még megtanulandó anyag! Részletes követelmények Matematika házivizsga Az áprilisi vizsga anyaga a fekete betűkkel írott szöveg! A zölddel írott rész az érettségi vizsgáig még megtanulandó anyag! A vizsga időpontja: 2015. április

Részletesebben

O 1.1 A fény egyenes irányú terjedése

O 1.1 A fény egyenes irányú terjedése O 1.1 A fény egyenes irányú terjedése 1 blende 1 és 2 rés 2 összekötő vezeték Előkészület: A kísérleti lámpát teljes egészében egy ív papírlapra helyezzük. A négyzetes fénynyílást széttartó fényként használjuk

Részletesebben

NT-17102 Matematika 9. (Heuréka) Tanmenetjavaslat

NT-17102 Matematika 9. (Heuréka) Tanmenetjavaslat NT-17102 Matematika 9. (Heuréka) Tanmenetjavaslat Ezzel a segédanyaggal szeretnék segítséget nyújtani a középiskolák azon matematikatanárainak, akik a matematikai oktatáshoz és neveléshez Dr. Fried Katalin

Részletesebben

Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály, középszint

Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály, középszint TÁMOP-.1.4-08/2-2009-0011 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály, középszint Vasvár,

Részletesebben

Kompetencia alapú matematika oktatás Oláhné Téglási Ilona

Kompetencia alapú matematika oktatás Oláhné Téglási Ilona Kompetencia alapú matematika oktatás Oláhné Téglási Ilona Ítéletalkotás, döntés képességének fejlesztése Rezner-Szabó Zsuzsanna Matematikatanár, MA Eszterházy Károly Főiskola 1. feladat Építs piramist!

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2007. október 25. EMELT SZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2007. október 25. EMELT SZINT I. 1) x x MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 007. október 5. EMELT SZINT I. a) Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenletet! (5 pont) b) Oldja meg a valós számpárok halmazán az alábbi egyenletrendszert! lg x

Részletesebben

TÖRTSZÁMOK, MÉRÉSEK. 34. modul

TÖRTSZÁMOK, MÉRÉSEK. 34. modul Matematika A 3. évfolyam TÖRTSZÁMOK, MÉRÉSEK 34. modul Készítette: SZITÁNYI JUDIT matematika A 3. ÉVFOLYAM 34. modul TÖRTSZÁMOK, MÉRÉSEK MODULLEÍRÁS A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 1413 ÉRETTSÉGI VIZSGA 015. május 5. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

Lineáris Algebra gyakorlatok

Lineáris Algebra gyakorlatok A V 2 és V 3 vektortér áttekintése Lineáris Algebra gyakorlatok Írta: Simon Ilona Lektorálta: DrBereczky Áron Áttekintjük néhány témakör legfontosabb definícióit és a feladatokban használt tételeket kimondjuk

Részletesebben

0653. MODUL TÖRTEK. Szorzás törttel, osztás törttel KÉSZÍTETTE: BENCZÉDY LACZKA KRISZTINA, MALMOS KATALIN

0653. MODUL TÖRTEK. Szorzás törttel, osztás törttel KÉSZÍTETTE: BENCZÉDY LACZKA KRISZTINA, MALMOS KATALIN 06. MODUL TÖRTEK Szorzás törttel, osztás törttel KÉSZÍTETTE: BENCZÉDY LACZKA KRISZTINA, MALMOS KATALIN 06. Törtek Szorzás törttel, osztás törttel Tanári útmutató MODULLEÍRÁS A modul célja Időkeret Ajánlott

Részletesebben

Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara. Csordásné Marton Melinda. Fizikai példatár 1. FIZ1 modul. Optika feladatgyűjtemény

Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara. Csordásné Marton Melinda. Fizikai példatár 1. FIZ1 modul. Optika feladatgyűjtemény Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara Csordásné Marton Melinda Fizikai példatár 1 FIZ1 modul Optika feladatgyűjtemény SZÉKESFEHÉRVÁR 2010 Jelen szellemi terméket a szerzői jogról szóló 1999

Részletesebben

A 2011/2012. tanévi FIZIKA Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első fordulójának feladatai és megoldásai fizikából. I.

A 2011/2012. tanévi FIZIKA Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első fordulójának feladatai és megoldásai fizikából. I. Oktatási Hivatal A 11/1. tanévi FIZIKA Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első fordulójának feladatai és megoldásai fizikából I. kategória A dolgozatok elkészítéséhez minden segédeszköz használható.

Részletesebben

Feladatok MATEMATIKÁBÓL a 12. évfolyam számára

Feladatok MATEMATIKÁBÓL a 12. évfolyam számára Feladatok MATEMATIKÁBÓL a. évfolyam számára I.. Egy 35 fős osztályból mindenki részvett valamelyik iskolai kiránduláson. 5-en Debrecenbe utaztak, 8-an pedig Pécsre. Hányan utaztak mindkét városba?. Állapítsa

Részletesebben

MATEMATIKA Kiss Árpád Országos Közoktatási Szolgáltató Intézmény Vizsgafejlesztő Központ

MATEMATIKA Kiss Árpád Országos Közoktatási Szolgáltató Intézmény Vizsgafejlesztő Központ MATEMATIKA Kiss Árpád Országos Közoktatási Szolgáltató Intézmény Vizsgafejlesztő Központ I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY Az érettségi követelményeit két szinten határozzuk meg: középszinten a

Részletesebben

KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA

KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA ÉRETTSÉGI VIZSGA 2009. május 5. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2009. május 5. 8:00 I. Időtartam: 45 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Matematika középszint

Részletesebben

PRÓBAÉRETTSÉGI VIZSGA 2014. január 18.

PRÓBAÉRETTSÉGI VIZSGA 2014. január 18. MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI VIZSGA 2014. január 18. EMELT SZINTŰ PRÓBAÉRETTSÉGI VIZSGA Név E-mail cím Tanárok neve Pontszám 2014. január 18. Időtartam: 240 perc STUDIUM GENERALE MATEMATIKA SZEKCIÓ Matematika

Részletesebben

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS EMELT SZINT

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS EMELT SZINT Matematika RÉ megoldókulcs 0. január. MTEMTIK RÓBÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS EMELT SZINT dottak a 0; ; ; ; ; ; 5; 7; 7; 8 számjegyek. a Hány darab tízjegyű, 5-tel osztható szám készíthető az adott számjegyekből

Részletesebben

Scherlein Márta Dr. Hajdu Sándor Köves Gabriella Novák Lászlóné MATEMATIKA 1. MÓDSZERTANI AJÁNLÁSOK MÁSODIK FÉLÉV

Scherlein Márta Dr. Hajdu Sándor Köves Gabriella Novák Lászlóné MATEMATIKA 1. MÓDSZERTANI AJÁNLÁSOK MÁSODIK FÉLÉV Scherlein Márta Dr. Hajdu Sándor Köves Gabriella Novák Lászlóné MATEMATIKA. MÓDSZERTANI AJÁNLÁSOK MÁSODIK FÉLÉV Tankönyv második kötet Számok és műveletek 0-től 0-ig Kompetenciák, fejlesztési feladatok:

Részletesebben

I. Gondolkodási módszerek: (6 óra) 1. Gondolkodási módszerek, a halmazelmélet elemei, a logika elemei. 1. Számfogalom, műveletek (4 óra)

I. Gondolkodási módszerek: (6 óra) 1. Gondolkodási módszerek, a halmazelmélet elemei, a logika elemei. 1. Számfogalom, műveletek (4 óra) MATEMATIKA NYEK-humán tanterv Matematika előkészítő év Óraszám: 36 óra Tanítási ciklus 1 óra / 1 hét Részletes felsorolás A tananyag felosztása: I. Gondolkodási módszerek: (6 óra) 1. Gondolkodási módszerek,

Részletesebben

MATEMATIKA TAGOZAT 5-8. BEVEZETŐ. 5. évfolyam

MATEMATIKA TAGOZAT 5-8. BEVEZETŐ. 5. évfolyam BEVEZETŐ Ez a helyi tanterv a kerettanterv Emelet matematika A változata alapján készült. Az emelt oktatás során olyan tanulóknak kívánunk magasabb szintű ismerteket nyújtani, akik matematikából átlag

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 113 ÉRETTSÉGI VIZSGA 015. május 5. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Formai előírások: Fontos tudnivalók

Részletesebben

2. OPTIKA 2.1. Elmélet 2.1.1. Geometriai optika

2. OPTIKA 2.1. Elmélet 2.1.1. Geometriai optika 2. OPTIKA 2.1. Elmélet Az optika tudománya a látás élményéből fejlődött ki. A tárgyakat azért látjuk, mert fényt bocsátanak ki, vagy a rájuk eső fényt visszaverik, és ezt a fényt a szemünk érzékeli. A

Részletesebben

Hraskó András, Surányi László: 11-12. spec.mat szakkör Tartotta: Surányi László. Feladatok

Hraskó András, Surányi László: 11-12. spec.mat szakkör Tartotta: Surányi László. Feladatok Feladatok 1. Színezzük meg a koordinátarendszer rácspontjait két színnel, kékkel és pirossal úgy, hogy minden vízszintes egyenesen csak véges sok kék rácspont legyen és minden függőleges egyenesen csak

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 051 ÉRETTSÉGI VIZSGA 007. május 8. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Formai előírások: Fontos tudnivalók

Részletesebben

Azonosító jel: MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA. 2008. október 21. 8:00. Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc

Azonosító jel: MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA. 2008. október 21. 8:00. Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc É RETTSÉGI VIZSGA 2008. október 21. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2008. október 21. 8:00 Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM

Részletesebben

Varga Tamás Matematikaverseny 8. osztályos feladatok megoldásai iskolai forduló 2010.

Varga Tamás Matematikaverseny 8. osztályos feladatok megoldásai iskolai forduló 2010. Varga Tamás Matematikaverseny 8. osztályos feladatok megoldásai iskolai forduló 2010. 1. feladat tengeren léket kapott egy hajó, de ezt csak egy óra múlva vették észre. Ekkorra már 3 m 3 víz befolyt a

Részletesebben

1. Melyek azok a kétjegyű számok, amelyek oszthatók számjegyeik

1. Melyek azok a kétjegyű számok, amelyek oszthatók számjegyeik 1991. évi verseny, 1. nap 1. Számold össze, hány pozitív osztója van 16 200-nak! 2. Bontsd fel a 60-at két szám összegére úgy, hogy az egyik szám hetede egyenlő legyen a másik szám nyolcadával! 3. Van

Részletesebben