MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Térgeometria

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Térgeometria"

Átírás

1 MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Térgeometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek megoldásához! ) Egy négyzet alapú egyenes hasáb alapéle 8 egység, testátlója 6 egység. a) Mekkora szöget zár be a testátló az alaplap síkjával? (4 pont) b) Hány területegység a hasáb felszíne? (A felszín mérőszámát egy tizedesjegyre kerekítve adja meg!) ( pont) c) Az alapél és a testátló hosszát ebben a sorrendben - tekintsük egy mértani sorozat első és negyedik tagjának! Igazolja, hogy az alaplap átlójának hossza ennek a sorozatnak a második tagja! (4 pont) a) Az ACG háromszögben a GAC Az ABC derékszögű háromszögben így AC cos, 0 90 AG 60 szöget keressük AC 8 ahonnan b) A négyzetes hasáb alapéle a 8, magassága m CG 8 6 felszíne: A hasáb felszíne 8,5 területegység c) Ha a mértani sorozat első tagja a, hányadosa q, akkor a AB 8 és a q AG 6 innen azaz A a a m ,5 q q A mértani sorozat második tagja tehát alaplap átlójának hossza. aq 8 és ez éppen az Összesen: pont

2 ) Egy szobor márvány talapzatát egy dm élű kocka alakú kőből faragják. Minden csúcsnál a csúcshoz legközelebbi élnegyedelő pontokat tartalmazó sík mentén lecsiszolják a kockát. a) A kész talapzatnak - hány éle, - hány csúcsa, - hány lapja van? ( pont) b) A kész talapzatnak mekkora a felszíne? (6 pont) c) Az ékszerész vállalta, hogy elkészít 0 db egyforma tömegű ajándéktárgyat: a szobortalapzat kicsinyített mását. Az egyes ajándéktárgyak az alábbi féldrágakövek valamelyikéből készültek: achát, hematit, zöld jade és gránát. A kész ajándéktárgyakat a megrendelő átvételkor egyben lemérte. A 0 tárgy együttes tömege megfelelt a megrendelésnek. Otthon egyenként is megmérte a tárgyakat, és kiderült, hogy a féldrágakövekből készített négyféle ajándéktárgy közül egyik sem a megrendelt tömegű. Az ugyanabból az anyagból készülteket egymással azonos tömegűnek mérte. A három achát tárgy mindegyike %-kal kisebb; a hat darab hematit tárgy mindegyike 0,5%-kal kisebb; a hét zöld jade tárgy mindegyik,5%-kal nagyobb a megrendelésben szerepelt értéknél. A gránát tárgyak tömege hány százalékkal tért el a megrendeléstől? (7 pont) a) A lecsiszolt testnek 4 csúcsa van, mert a 8 kockacsúcs helyett minden csúcsnál - új csúcs keletkezik a negyedelő pontoknál A lecsiszolt testnek 6 éle van, mert a kocka élén maradnak élek, és a lemetszett háromszögek oldalai is élek: 8 4 és 4 A lapok száma 4, mert kockalapokból marad egy-egy nyolcszög, és a lemetszett háromszögek száma 8, 6 8 b) A talapzat felszínét kiszámíthatjuk, ha a 6 db nyolcszög területéhez hozzáadjuk a 8 db szabályos háromszög területét. A nyolcszög területe: a dm oldalú négyzet területéből kivonjuk a 4 db egyenlő szárú derékszögű háromszög területét, vagyis db dm oldalú négyzet területét: dm ( pont) Tnyolcszög 6 A szabályos háromszög oldala, ezért nyolcszög háromszög 6 4 T háromszög a 9 4 dm ( pont) A 6 T 8 T ,5 dm c) Legyen m az ajándéktárgy megrendelt tömege. Az összes tömeg 0m. Foglaljuk táblázatba a csiszolt ajándéktárgyakról tudott információkat.( pont) anyag achát hematit zöld jade gránát gyakoriság db 6 db 7 db 4 db tömeg 0,99m 0,995m,05m

3 Jelöljük x m -mel a gránátból készített ajándéktárgy valódi tömegét. Tudjuk, hogy a tényleges össztömeg 0m, innen ( pont) Ebből következik, hogy ( pont) A gránát ajándéktárgyak tömege,5%-kal kisebb a megrendeltnél. Összesen: 6 pont 0 m 0,99m 6 0,995m 7,05 m 4 xm x 0,98875 ) Az. ábra szerinti padlástér egy 6x6 méteres négyzetes alapú gúla, ahol a tető csúcsa a négyzet középpontja felett 5 méter magasan van a) Milyen szöget zárnak be a tetősíkok a vízszintessel (padlássíkkal)? (4 pont) Hasznos alapterületnek számít a tetőtérben a terület, amely fölött a (bel)magasság legalább,9 liter. b) Mennyi lenne a tetőtér beépítésekor a hasznos terület? (6 pont) A tető cseréjekor a hasznos alapterület növelésének érdekében a ház oldalfalait egy ún. koszorúval kívánják magasítani. A ház teljes magassága- építészeti előírások miatt- nem növelhető, ezért a falak magasítása csak úgy lehetséges, ha a tető síkjának meredekségét csökkentik (. ábra). Jelölje x a koszorú magasságát és T a hasznos alapterületet. c) Írja fel a T(x) függvény hozzárendelési szabályát! (6 pont) a) A padlássíkra és a tetősíkra egyaránt merőleges síkmetszetből lehet a keresett szöget meghatározni. ( pont) 5 A keresztmetszeti ábrán a keresett szöget -val jelölve, felírható, hogy tg ahonnan 59

4 b) Keressük az ábrán s-sel jelölt szakasz hosszát. ( pont) Hasonlóság alapján: Ebből s,86,9 5 s ( pont) A hasznos alapterület 4s,84 m c) Az ábra jelöléseit használva használjuk, ahol. Az ábra alapján T 4y 0 x,9 -et (ami a hasznos alapterület) kell kifejeznünk x segítségével. A két kisebb háromszög megfelelő szögei egyenlők, tehát hasonlóak. Így Innen,,9 x y y 9, y 5 x Tehát a keresett összefüggés: Ha 8,6 4y 5 x x,9, akkor 6 m a hasznos alapterület. Összefoglalva: T x 8,6, ha 0 x, x, ha 6, 9 x 5 Összesen: 6 pont

5 4) A csonkakúp alakú tárgyak térfogatát régebben a gyakorlat számára elegendően pontos közelítő számítással határozták meg. Eszerint a csonkakúp térfogata közelítőleg egy olyan henger térfogatával egyezik meg, amelynek átmérője akkora, mint a csonkakúp alsó és felső átmérőjének számtani közepe, magassága pedig akkora, mint a csonkakúp magassága. a) Egy csonkakúp alakú fatörzs hossza (vagyis a csonkakúp magassága) m, alsó átmérője cm, felső átmérője 8 cm. A közelítő számítással kapott térfogat hány százalékkal tér el a pontos térfogattól? (Ezt nevezzük a közelítő eljárás relatív hibájának.) ( pont) b) Igazolja, hogy a csonkakúp térfogatát a fentiekben leírt útmutatás alapján kapott - közelítő érték sohasem nagyobb, mint a csonkakúp térfogatának pontos értéke! (7 pont) Jelölje x a csonkakúp két alapköre sugarának az arányát, és legyen x. Bizonyítandó, hogy a fentiekben leírt, közelítő számítás relatív hibájának százalékban mérve a következő függvény adja meg: f : ;, f x 5 x x x c) Igazolja, hogy f-nek nincs szélsőértéke! (6 pont) a) A közelítő henger alapkörének sugara:. 8 5 cm, térfogata cm. A csonkakúp elméletileg pontos térfogata: cm. A közelítő érték cm -rel kisebb, tehát a pontos értéktől 00 5, %-kal tér el. b) Legyen a csonkakúp alapköreinek sugara R és r, magassága m. A csonkakúp elméleti térfogata: A csonkakúp gyakorlati térfogata: A két térfogat különbségéről állítjuk: m R Rr r R r m R Rr r m m R r 0 Szorozzuk be az egyenlet mindkét oldalát -vel, bontsuk fel a zárójeleket és m az összevonások után: ( pont) Vagyis R r 0 adódik, ami minden R és r esetén igaz. A következtetés minden lépése megfordítható, ezért az állítás igaz R Rr r 0

6 c) Az f függvény deriválható, a deriváltfüggvény hozzárendelési szabálya: f x 5 f x 75 Az x x x x x x f x 0 x x x x egyenletnek nincs megoldása az tehát f-nek nincs szélsőértéke ; ( pont) ( pont) intervallumon, ( pont) Összesen: 6 pont 5) Az ABCDE szabályos négyoldalú gúla alaplapja az ABCD négyzet. A gúla alapéle 8 egység hosszú. Legyen F a CE oldalélnek, G pedig a DE oldalélnek a felezőpontja. Az ABFG négyszög területe 504 területegység. Milyen hosszú a gúla oldaléle? (6 pont) A GF középvonal a DCE háromszögben, így GF 4 egység Az ABFG négyszög szimmetrikus trapéz, mivel AB CD FG és AG BF. Legyen HF a trapéz alapokhoz tartozó magassága. A trapéz területképlete alapján tehát 8 4 HF 504 HF 4 egység A szimmetrikus trapéz tulajdonsága miatt 8 4 HB 7 BF 4 7 a HBF derékszögű háromszögben Pitagorasz-tétel alapján ahonnan BF 5 Az F pontból a BC oldalra bocsátott merőleges talppontja legyen P. Ez a pont a BC oldal C-hez legközelebbi negyedelő pontja ( pont) A negyedelő pont indoklása: például legyen Q a BC él felezőpontja. Az FP szakasz az EQC háromszög középvonala BP BC 4 és PC BC 4 7 A BPF derékszögű háromszögben Pitagorasz-tételt alkalmazva: PF 5 84

7 Az FPC derékszögű háromszögben is Pitagorasz-tételt alkalmazva: Így FC 5,6 FC 84 7 A gúla oldaléle EC FC 0,5 egység. Összesen: 6 pont 6) Jancsi vázát készít. Egy 0 cm sugarú, belül üreges gömbből levágott m magasságú (m 0 ) gömbszelet határoló köréhez egy szintén m magasságú hengerpalástot ragaszt. A henger sugara megegyezik a gömbszelet határoló kör sugarával. Mekkorának válassza Jancsi a gömbszelet m magasságát, hogy a vázába a lehető legtöbb víz férjen? (A váza anyaga vékony, ezért a vastagságától eltekintünk, s hogy ne boruljon fel, egy megfelelő méretű üreges fatalpra fogják állítani.) Tudjuk, hogy ha a gömbszelet magassága m, a határoló kör sugara pedig r, akkor a térfogata: V m r m 6 Helyes ábra ( pont) A KBC derékszögű háromszög befogóinak hossza r, átfogója 0 cm ( pont) Alkalmazzuk a Pitagorasz-tételt a KBC háromszögre: m r 0 00 m 0 és ( pont) Ebből A váza térfogata: r 0m m V m m 0m m m 0m m m 6 azaz 4 V m m m m m 0 45 m ahol 0 0 A V függvény differenciálható a ;0 V m m m m m 0;0 A nyílt intervallumon V m 0 V m V 0 m 5 ( pont) (6 pont) nyílt intervallumon, deriváltja pedig: pontosan akkor, ha m 5 5 m 0 pozitív = 0 negatív szigorúan növő helyi maximum m 5 szigorúan csökkenő ( pont) Az térfogata a lehető legnagyobb Vmax 50 Összesen: 6 pont m 5 a V függvény abszolút maximum helye is, így ekkor lesz a váza

8 7) Az ABCDEFGH téglatest A csúcsból induló élei: Jelölje HG felezőpontját P. AB, 6 AD, AE 8. a) Számítsa ki az ABCDP gúla felszínét! (0 pont) b) Mekkora szöget zár be az ABCDP gúla ABP lapjának síkja az ABCD lap síkjával? ( pont) a) Az alaplap területe: TABCD 6 7 cm Az AB él felezőpontja legyen M, a CD él felezőpontja pedig N. Az APB háromszög egyenlő szárú, a PM merőleges az AB szakaszra. Az MNP háromszög az N csúcsban derékszögű. PM 0 cm (a befogók 6 és 8) Az ABP háromszög területe: A DCP háromszög területe: DP PC 0 T T ABP DCP AB PM 0 60 DC PN 8 48 cm A PBC és a PAD oldallapok egybevágó háromszögek és a két háromszög egybevágó a PBM háromszöggel T PBC cm cm cm A gúla felszíne: cm b) Az MN szakasz és a PM szakasz is merőleges az AB élre, ezért a kérdezett szög a PMN A PMN háromszög N-nél derékszögű ezért tgpmn PN 8 4 MN 6, ahonnan PMN 5, Összesen: pont 8) Egy fából készült négyzetes oszlop minden élének hossza centiméterben mérve -nél nagyobb egész szám. A négyzetes oszlop minden lapját befestjük pirosra, majd a lapokkal párhuzamosan cm élű kis kockára vágtuk. A kis kockák közül 8 lett olyan, amelynek pontosan két lapja piros. Mekkora lehetett a négyzetes oszlop térfogata? (6 pont) Legyen a négyzetes oszlop alapéleinek hossza a (cm) és a magasság hossza b (cm). (a, b -nél nagyobb egészek).

9 Azoknak az egységkockáknak lesz pontosan két lapja piros, melyek az élek mentén, de nem a csúcsokban helyezkednek el A két db négyzetlap 8 élén a 4 oldalélén 4 b a b a ilyen festett kocka van Innen Az élhosszak megfelelő értékei a 5 4 b 5 7 A három lehetséges négyzetes oszlop térfogata rendre 75 cm, 80 cm és 6 cm ab (6 pont) ( pont) Összesen: 6 pont 9) Egy pillepalack alakja olyan forgáshenger, amelynek alapköre 8 cm átmérőjű. A palack fedőkörén található a folyadék kiöntésére szolgáló szintén forgáshenger alakú nyílás. A két hengernek közös a tengelye. A kiöntő nyílás alapkörének átmérője cm. A palack magassága a kiöntő nyílás nélkül 0 cm. A palack vízszintesen fekszik úgy, hogy annyi folyadék van benne, amennyi még éppen nem folyik ki a nyitott kiöntő nyíláson keresztül. a) Hány deciliter folyadék van a palackban? (Válaszát egy tizedesjegyre kerekítve adja meg!) (9 pont) A palack tartalmát kiöntve, a palackot összenyomva, annak eredeti térfogata p százalékkal csökken. Egy hulladékot újrahasznosító cég (speciális gép segítségével) az ilyen módon tömörített palack térfogatát annak további p százalékával tudja csökkenteni. Az összenyomással, majd az azt követő gépi tömörítéssel azt érik el, hogy a palackot eredeti térfogatának 9,5 százalékára nyomják össze. b) Határozza meg p értékét! (7 pont)

10 a) A fedőkör tengelyre merőleges síkmetszete, jó ábra. ( pont) cos, amiből 4 (Így a kérdéses terület az O középpontú ODC háromszög különbségeként adódik. T körcikk 60 75,5 4,09 (cm ) középponti szögű körcikk és az 4 sin T ODC,87 (cm ) (cm ) Amiből a folyadék térfogata: (cm ) T T T ODC körszelet körcikk 7, Vfolyadék Tkörszelet mpalack 7, 0 56,6 Azaz 5, dl folyadék van a palackban. b) A feltételek szerint p p 0, ( pont) (ahol p 50 ) ( pont) Rendezve: ( pont) melynek gyökei Utóbbi nem megoldása a feladatnak ( p 50) Tehát. Összesen: 6 pont p p 5 50p p 5, p 5

11 0) Egy forgáskúp nyílásszöge 90, magassága 6 cm. a) Számítsa ki a kúp térfogatát (cm -ben) és a felszínét (cm -ben)! (4 pont) b) A kúp alaplapjával párhuzamos síkkal kettévágjuk a kúpot. Mekkora a keletkező csonkakúp térfogata (cm -ben), ha a metsző sík átmegy a kúp beírt gömbének középpontján? (9 pont) Válaszát egészre kerekítve adja meg! a) A kúp alapkörének sugara 6cm, alkotójának hossza 6 8, 49 cm térfogata V T m (cm ) felszíne A r r a cm b) Jó ábra, tartalmazza a gömb sugarát (p), a 45 -os szöget és a síkmetszet sugarát (r) ( pont) p 6 tg,5 amiből p, 49 cm A KCE egyenlőszárú derékszögű háromszögből azaz A csonkakúp magassága (egyenlő a gömb sugarával) m,49 cm A csonkakúp térfogata,49 6 6,5,5 r 6 p r,5cm m V R Rr r 8 cm Összesen pont

12 ) Két egyenes hasábot építünk, H-et és H-t. AZ építéshez használt négyzetes oszlopok (négyzet alapú egyenes hasábok) egybevágok, magasságuk kétszer akkora, mint az alapélük. A H hasáb építésekor a szomszédos négyzetes oszlopokat az oldallapjukkal illesztjük össze, a H hasáb építésekor pedig a négyzet alaplapjukkal- az ábra szerint. a) A H és H egyenes hasábok felszínének hányadosa A A H H 08,. Hány négyzetes oszlopot használtunk az egyes hasábok építéséhez, ha H- et és H-t ugyanannyi négyzetes oszlopból építettük fel? (8 pont) b) Igazolja, hogy korlátos! n n 4n sorozat szigorú monoton növekvő és (8 pont) a) Ha a jelöli a négyzetes oszlop alapélének hosszát, és k darabból készítjük a hasábokat, akkor b) H H felszíne: A a k a k a a k H felszíne: Az A A H H 0,8 A a k a a k H 4 4 feltételből k 0,8 4k ( pont) ( pont) ( pont) Az egyenlet megoldása tehát 6-6 négyzetes oszlopot használtunk fel az építéshez a n 5 4n n a 4n 5 n n n n 5 5 n n 0 n n 0 k 6 A fenti hányados minden pozitív egész n esetén -nél kisebb a sorozat minden tagja pozitív ezért a sorozat szigorú monoton csökkenő Ebből következik, hogy a sorozat felülről korlátos Mivel a sorozat minden tagja pozitív, így alulról is korlátos tehát a sorozat korlátos Összesen 6 pont

13 ) a) Ábrázolja a 0;6 intervallumon értelmezett, x x 4 hozzárendelési szabállyal megadott függvényt! (4 pont) b) Állapítsa meg a függvény értékkészletét! ( pont) intervallumra leszűkített függvény grafikonját c) Forgassuk meg a a) 0; 4 az x tengely körül! Számítsa ki az így keletkezett forgástest felszínét! (8 pont) ;5 b) Az értékkészlet (4 pont) ( pont) c) A keletkezett forgástest egy csonkakúp ( pont) Az alapkörök sugara ( pont) R 5; r Az alkotó hossza Pitagorasz-tétellel: Így a felszín: a A R r R r a ,78 9, ( pont) ( pont) Összesen: 4 pont ) Egy centiméterben mérve egész szám élhosszúságú kockát feldarabolunk 99 kisebb kockára úgy, hogy közülük 98 egybevágó, cm élű kocka. Számítsa ki az eredeti kocka térfogatát! (6 pont) Jelölje a az eredeti kocka élhosszát, b pedig a 99., nem egységkocka élhosszát centiméterben mérve. A feltételek alapján a és b pozitív egészek, és ( pont) 98 a b a b a ab b Mivel és a b a ab b, ezért eset lehetséges ( pont) I. eset: ab és Ekkor helyettesítés után a második egyenletből kapjuk, hogy, ami nem lehet, hiszen nem osztója 97-nek ( pont) II. eset: és a ab b 49 Ekkor b b 5, ahonnan a feltételeknek megfelelő megoldás: b és a 5 ( pont) III. eset: ab 7 és a ab b 4 Ekkor b b 5, ami nem lehetséges, ugyanis b pozitív egész ( pont) Azt kaptuk, hogy az eredeti kocka éle 5 cm, így térfogata 5 cm ( pont) 98 7 a b b b 97 ab a ab b 98

14 Összesen: 6 pont 4) Kartonpapírból kivágunk egy,5 dm magasságú ABC szabályos háromszöglapot. A háromszöglapon párhuzamost húzunk a háromszög mindegyik oldalával, mindegyikből ugyanakkora 0,5 deciméternél kisebb x távolságra. Ezek az egyenesek az szabályos háromszög oldalegyenesei. a) Írja fel az háromszög területét x függvényében! (6 pont) A B C A B C b) Szeretnénk egy alapú x magasságú, felül nyitott egyenes hasáb alakú íróasztali tolltartót létrehozni a lapból, ezért levágjuk a fölösleget, majd az háromszög élei mentén felhajtottuk a AB C A B C hasáb oldallapjait. Mekkora x estén lesz a keletkezett hasáb térfogata maximális? (0 pont) a) Az ABC szabályos háromszög oldalhossza a. Az ABC súlypontja 0,5 dm távolságra van a háromszög oldalegyeneseitől, s mivel súlypont az háromszög az ABC háromszög belsejében van. ( pont) AB C x 0,5, így ez a Az A; B; C pontok rendre az ABC háromszög A-ból, B-ből, C-ből induló belső szögfelezőjének egy-egy pontja. Jelöljük b-vel az AB C hosszát. Az ábra szerinti CCT derékszögű háromszögben legyen Ekkor ctg0 y x háromszög oldalának x C T és y TC, így y x ( pont) A tengelyes szimmetria figyelembevételével: b x T AB C b 4 - x 4 dm

15 b) A hasáb alaplapja AB C háromszög, magassága x. x 4 4 V x T x x x x x ahol 0 x 4 4 A V függvény differenciálható az értelmezési tartományán és V x x 8 x ( pont) 4 x 8 x 0 4 Megoldásai: V x V x illetve 6 0 x 6 A hasáb térfogata maximális, ha az x távolságot x 6 x 6 pozitív 0 negatív növő maximum csökkenő 6 ( pont) dm hosszúnak választjuk. Összesen: 6 pont

16 5) Egy üzemben 4000 cm -es, négyzet alapú, egyenes hasáb alakú, felül nyitott sütőedények gyártását tervezik. Az edények külső felületét tűzálló zománcfestékkel vonják be. (A belső felülethez más anyagot használnak.) a. Számítsa ki, mekkora felületre kellene tűzálló zománcfesték egy olyan edény esetén, amelynek oldallapjai 6,4 cm magasak! ( pont) b. Az üzemben végül úgy határozták meg az edények méretét, hogy a gyártásukhoz a lehető legkevesebb zománcfestékre legyen szükség. Számítsa ki a gyártott edények alapélének hosszát! (9 pont) c. Minőségellenőrzési statisztikák alapján ismert: 0,0 annak a valószínűsége, hogy egy véletlenszerűen kiválasztott edény selejtes. Egy áruházláncnak szállított 50 darabos tételben mekkora valószínűséggel lesz pontosan darab selejtes? (4 pont) a) Az edény alapéle legyen x cm hosszú 4000 x 6,4 x 5 A zománccal bevonható felület területe tehát ,4 65cm b) Ha az edény magassága m cm, akkor és a zománccal bevonandó felület területe cm - ben T x 4xm Az m-et a térfogatra felírt összefüggésből kifejezve és behelyettesítve T-be 6000 T x x Tekintsük a T : ; T x x T-nek ott lehet szélsőértéke, ahol a deriváltja T x x x T x 0 x 8000 x 0 Mivel 000 T x x pozitív az x 4000 x m függvényt x 0 helyen x 0 helyen abszolút minimuma van ezért a T függvénynek az A gyártott edények alapéle 0 cm c) Egy edényt véletlenszerűen kiválasztva az 0,0 valószínűséggel lesz selejtes, tehát 0,98 valószínűséggel jó. A kérdéses valószínűség a binomiális eloszlás alapján számolható P selejtes 0,00 0,98 P selejtes 0,86 Összesen: 6 pont

17 6) Egy üzemben olyan forgáshenger alakú konzervdoboz gyártását szeretnék elkezdeni, amelynek térfogata 000 cm. A doboz aljának és tetejének anyagköltsége 0, cm Ft, míg oldalának anyagköltsége 0, cm Ft. a) Mekkorák legyenek a konzervdoboz méretei (az alapkör sugara és a doboz magassága), ha a doboz anyagköltségét minimalizálni akarják? Válaszát cm-ben, egy tizedesjegyre kerekítve adja meg! Számítsa ki a minimális anyagköltséget is egész forintra kerekítve! ( pont) A megtöltött konzervdobozokat tizenkettesével csomagolták kartondobozokba. Egy ellenőrzés alkalmával 0 ilyen kartondoboz tartalmát megvizsgálták. Minden kartondoboz esetén feljegyezték, hogy a benne található konzerv között hány olyat találtak, amelyben a töltősúly nem érte el az előírt minimális értéket. Az ellenőrök a 0 kartondobozban rendre 0,, 0, 0,, 0, 0,,, 0 ilyen konzervet találtak, s ezeket a konzerveket selejtesnek minősítették. b) Határozza meg a kartondobozonkénti selejtes konzervek számának átlagát, és az átlagtól mért átlagos abszolút eltérését! ( pont) a) Ha r a doboz alapkörének sugara m pedig a doboz magassága cm-ben mérve, V 000 akkor ahonnan m r r Az alap- és a fedőlap együttes anyagköltsége r függvényében V 00 A palást anyagköltsége 0, r ( pont) r r A teljes anyagköltség V r m 00 0,4r f r r r 0 esetében 0, r Az f függvénynek a pozitív számok halmazán ott lehet minimuma, ahol deriváltja f r 0,8r r f r 0 ha r 00 4, 0,8 ( pont) 400 f r 0,8 0, ezért itt valóban minimális f értéke r Minimális anyagköltséghez tartozó magasság 000 m 7, cm r Tehát a minimális anyagköltség forintra kerekítve 70 Ft ( pont) b) Az adatok átlaga 0,7 A minta átlagtól mért átlagos abszolút eltérése 6 0,7 0,,, 0,84 0 ( pont) Összesen: 6 pont

18 7) Egy építőkészletben a rajzon látható négyzetes hasáb alakú elem is megtalálható. Két ilyen építőelem illeszkedését az egyik elem tetején kiemelkedő négy egyforma kis henger és a másik elem alján lévő nagyobb henger szoros, érintkező kapcsolata biztosítja. (Ez azt jelenti, hogy a hengerek tengelyére merőleges síkmetszetben a nagyobb kört érinti a négy kisebb kör, amelyek középpontjai egy négyzetet határoznak meg.) Tudjuk, hogy a kis hengerek sugara mm, az egymás melletti kis hengerek tengelyének távolsága pedig mm. a) Mekkora a nagyobb henger átmérője? Válaszát milliméterben, két tizedesjegyre kerekítve adja meg! (5 pont) A készletben az építőelemek kék vagy piros színűek. Péter 8 ilyen elemet egymásra rak úgy, hogy több piros színű van köztük, mint kék. Lehet, hogy csak az egyik színt használja, de lehet, hogy mindkettőt. b) Hányféle különböző szín összeállítású 8 emeletes tornyot tud építeni? (4 pont) A gyárban (ahol ezeket az építőelemeket készítik) nagyon ügyelnek a pontosságra. Egymillió építőelemből átlagosan csupán 0 selejtes. András olyan készletet szeretne vásárolni, melyre igaz a következő állítás: 0,0-nál kisebb annak a valószínűsége, hogy a dobozban található építőelemek között van selejtes. c) Legfeljebb hány darabos készletet vásárolhat András? (7 pont) a) Jó ábra rajzolása A kis kör kp-ja egy mm oldalú négyzetet alkot Ennek az átlója Mivel ez éppen 6 R d R 6 0, 97 b) A piros elemek száma 5, 6, 7 vagy 8 lehet Ha a piros elemek száma k, akkor az építhető tornyok száma 8 k Így az ilyen tornyok száma összesen: = 9 ( pont)

19 c) Annak a valószínűsége, hogy egy kiválasztott kocka nem selejtes , Annak a valószínűsége, hogy egy n kockát tartalmazó dobozban egyik kocka sem selejtes 0,99998 n Ha annak a valószínűsége, hogy a dobozban van selejtes kisebb 0,0-nál, akkor annak a valószínűsége, hogy a dobozban nincs selejtes, legalább 0,99 Megoldandó a n 0, ,99 n A logaritmus függvény szigorú monotonitása miatt n lg 0,99998 lg 0,99 lg 0,99 Ebből n 50,5 lg 0,99998 Tehát András legfeljebb 50 darabos készletet vehetett Összesen: 6 pont 8) Egy 5 -os emelkedési szögű hegyoldalon álló függőleges fa egy adott időpontban a hegyoldal emelkedésének irányában méter hosszú árnyékot vet. Ugyanebben az időpontban a közeli vízszintes fennsíkon álló turista árnyékának hossza éppen fele a turista magasságának. Hány méter magas a fa? Válaszát egy tizedesjegyre kerekítve adja meg! ( pont) A szövegnek megfelelő, az adatokat helyesen feltüntető ábra. ( pont) Az ACB és DFE szögek egyenlők, mivel mindkettő a napsugarak és a függőleges által bezárt szög. A DEF derékszögű háromszögben: a tg a ( pont) 6,57 BAC szög Így 78,4. (Szinusztétel az ABC háromszögben:) sin 78,4 x sin 6,57 ( pont) x 6,57 A fa tehát körülbelül 6,6 méter magas. Összesen: pont

20 9) Aranyékszerek készítésekor az aranyat mindig ötvözik valamilyen másik fémmel. A karát az aranyötvözet finomságát jelöli. Egy aranyötvözet karátos, ha az ötvözet teljes tömegének k aranyötvözet tömegének 4 része arany. 4 része arany, a k karátos Kata örökölt a nagymamájától egy 7 grammos, 8 karátos aranyláncot. Ebből két darab 4 karátos karikagyűrűt szeretne csináltatni. a) Legfeljebb hány gramm lehet a két gyűrű együttes tömege, ha aranytartalmuk összesen sem több mint az aranylánc aranytartalma? (4 pont) b) Kata végül két olyan gyűrűt készíttetett, amelyek együttes tömege 6 gramm. (A megmaradó 4 karátos aranyötvözetet törtaranyként visszakapta.) Az elkészült két karikagyűrű tekinthető két lyukas hengernek, amelyek szélessége (a lyukas hengerek magassága) megegyezik. Az egyik gyűrű belső átmérője 7 mm, és mindenhol,5 mm vastag, a másik gyűrű belső átmérője 9,8 mm, vastagsága pedig mindenhol,6 mm. Hány mm a gyűrűk szélessége, ha a készítésükhöz használt 4 g karátos aranyötvözet sűrűsége 5? (0 pont) cm Válaszait egy tizedesjegyre kerekítve adja meg! a) A 7 gramm 8 karátos ékszer aranytartalma x gramm 4 karátos ékszer aranytartalma: Ebből x,86 b) A két gyűrű térfogatának összege 8 7, x,75 4 (gramm).( pont) (gramm)., így a két gyűrű együttes tömege legfeljebb,9 gramm. m 6 V,0667 cm 066,7 mm 5 ( pont) Egy gyűrű térfogata két henger térfogatának különbsége. Az egyik gyűrű belső sugara 8,5 mm, külső sugara 0 mm, és ha x a keresett szélesség, akkor V 0 x 8,5 x 87, x (mm ). ( pont) A másik gyűrű belső sugara 9,9 mm, külső sugara,5 mm, így (mm ) ( pont) V x x x,5 9,9 07,6 V V V, azaz 066,7 87,x 07,6x. Ebből A gyűrűk szélessége 5,5 mm. Összesen: 4 pont x 5,48 mm..

21 relatív gyakoriság 0) Egy cég a függőleges irány kijelölésére alkalmas, az építkezéseknél is gyakran használt függőónt gyárt, amelynek nehezéke egy acélból készült test. Ez a test egy cm oldalhosszúságú szabályos ötszög egyik szimmetriatengelye körüli forgatásával származtatható (lásd az ábrán). a. Hány cm a nehezék térfogata? Válaszát egy tizedesjegyre kerekítve adja meg! (9 pont) A minőség-ellenőrzés 0 darab terméket vizsgált meg. Feljegyezték az egyes darabok egész grammokra kerekített tömegét is. Hatféle tömeg fordult elő, ezek relatív gyakoriságát mutatja az oszlopdiagram. b. Készítsen gyakorisági táblázatot a 0 adatról, és számítsa ki ezek átlagát és szórását! (5 pont) a) A nehezék térfogata egy forgáskúp és egy csonkakúp térfogatának összege. A forgáskúp magassága az AFB derékszögű háromszögből: ( pont) A kúp alapkörének sugara: m cos54 o r sin54 o A csonkakúp h magassága a CGD derékszögű háromszögből: h sin7 o ( pont) A forgáskúp térfogata:,6,8 V kúp A csonkakúp térfogata:,90 V csonkakúp,6,6 A nehezék térfogata a kettő összege: Vkúp V csonkakúp,4 0,9,6 (cm ). 0,4 0, 0, 0, 0 gramm

22 b) A gyakorisági táblázat: tömeg (gramm) gyakoriság A 0 adat átlaga: A 0 adat szórása: (gramm) ,7, (gramm). ( pont) ( pont) Összesen: 4 pont ) Egy üzemben olyan digitális műszert gyártanak, amely kétféle adat mérésére alkalmas: távolságot és szöget lehet vele meghatározni. A gyártósor meghibásodott, de ezt hosszabb ideig nem vették észre. Ezalatt sok mérőeszközt gyártottak, ám ezeknek csak a 9%-a adja meg hibátlanul a szöget, a 95%-a méri hibátlanul a távolságot, sőt a gyártott mérőeszközök %-a mindkét adatot hibásan határozza meg. a) Az egyik minőségellenőr 0 darab műszert vizsgál meg visszatevéses mintavétellel a meghibásodási időszak alatt készült termékek közül. Mekkora annak a valószínűsége, hogy legfeljebb darab hibásat talál közöttük? (Egy műszert hibásnak tekintünk, ha akár a szöget, akár a távolságot hibásan méri.) (7 pont) Vízszintes, sík terepen futó patak túlpartján álló fa magasságát kell meghatároznunk. A síkra merőlegesen álló fát megközelíteni nem tudjuk, de van egy kisméretű, digitális műszerünk, amellyel szöget és távolságot is pontosan tudunk mérni. A patakparton kitűzzük az A és B pontokat, amelyek 0 méterre vannak egymástól. Az A pontból -os, a B-ből -os emelkedési szög alatt látszik a fa teteje. Szögméréssel még megállapítjuk, hogy, ahol T a fa talppontja. b) Milyen magas a fa? (9 pont) 60 o ATB 90 o a) A műszerek 7%-a hibásan méri a szöget, 5%-a pedig hibásan méri a távolságot. Mivel a műszerek %-a mindkét adatot hibásan méri, ezért a hibás műszerek aránya: %. Egy hibátlan műszer választásának valószínűsége tehát 0,9. Akkor lesz köztük legfeljebb hibás, ha a hibás műszerek száma 0, vagy. Annak a valószínűsége tehát, hogy a 0 kiválasztott műszer között legfeljebb hibás lesz: 0 0 0,9 0,9 0, 0,9 0, A kérdezett valószínűség megközelítőleg 0, ( pont) o

23 b) Jó ábra felrajzolása ( pont) Az ATP háromszögből: A BTP háromszögből: h AT 0,700h o tg55 h BT 0,577h o tg60 Az ATB derékszögű háromszögből Pitagorasz-tétellel adódik: h h tg 55 tg 60 o o 00, Innen A fa magassága tehát körülbelül méter. h. ( pont) Összesen: 6 pont ) Kovács úr a tetőterébe egy téglatest alakú beépített szekrényt készíttet. Két vázlatot rajzolt a terveiről az asztalosnak, és ezeken feltüntette a tetőtér megfelelő adatait is. Az első vázlat térhatású, a második pedig elölnézetben ábrázolja a szekrényt. A tetőtér adottságai miatt a szekrény mélységének pontosan 60 cm-nek kell lennie. a) Mekkora legyen a szekrény vízszintes és függőleges mérete (azaz a szélessége és a magassága), ha a lehető legnagyobb térfogatú szekrényt szeretné elkészíttetni? (A magasság, a szélesség és a mélység a szekrény külső méretei, Kovács úr ezekkel számítja ki a térfogatot.) (8 pont) A szekrény elkészült. Az akasztós részébe Kovács úr vasárnap este 7 inget tesz be, a hét minden napjára egyet-egyet. Az ingek között van fehér, világoskék és sárga. Reggelente nagyon siet, ezért Kovács úr csak benyúl a szekrénybe, és anélkül, hogy odanézne, véletlenszerűen kivesz egy inget. b) Mennyi a valószínűsége annak, hogy a hét első három napján vagy három különböző színű vagy három egyforma színű inget választ? (Ha valamelyik nap viselt egy inget, azt utána már nem teszi vissza a szekrénybe.) (8 pont)

24 a) Ha a szekrény magassága x méter, akkor szélessége az ábrán látható egyenlő szárú háromszögek miatt 4 x. ( pont) A térfogata pedig: amennyiben Az 0 x x 0,6x 4 x V 0, 6x 4 x., másodfokú függvénynek két zérushelye van, a 0 és a. Így a negatív főegyüttható miatt ennek a függvénynek a maximuma a két zérushelye számtani közepénél, az helyen lesz. ( pont) x Mivel a eleme a feladat értelmezési tartományának, ezért a legnagyobb térfogatú szekrény magassága körülbelül,4 méter, szélessége pedig körülbelül,8 méter lesz. ( pont) b) Az azonos színű ingeket megkülönböztetve az első három napon különböző lehetőség van a három ing kiválasztására. Kedvező esemény az, ha valamilyen sorrendben mindegyik színből pontosan egyet vagy három sárga inget választott Kovács úr. Egy adott színsorrendben különböző módon lehet három inget kiválasztani. Három adott szín sorrendje!-féle lehet, tehát három különböző színű inget különböző módon választhat ki Kovács úr. ( pont) A három sárga inget! különböző sorrendben választhatja ki. A kedvező esetek száma:. A kérdezett valószínűség tehát:! 7!! ,7. Összesen: 6 pont ) Egy cm sugarú, 0 cm széles festőhengerrel dolgozva egy fordulattal körülbelül ml festéket viszünk fel a falra. (A festőhenger csúszás nélkül gördül a falon.) a) Elegendő-e 4 liter falfestéket vásárolnunk, ha a szobánkban 40 m nyi falfelületet egy rétegben, egyszer akarunk lefesteni? (6 pont) b) Milyen magasan állna 4 liter falfesték a 6 cm átmérőjű, forgáshenger alakú festékes vödörben? Válaszát cm-ben, egészre kerekítve adja meg! (5 pont) -

25 a) Az egy fordulattal lefestett falfelület nagysága a (festő)henger palástjának területével egyenlő. b) T palást , cm 40 m cm, tehát a teljes falfelület befestéséhez kb , fordulatra van szükség a festőhengerrel. Ennyi fordulattal kb ml festéket viszünk fel a falra. 4 liter festék megvásárlása tehát nem elegendő. 4 liter 4 dm 4000 cm r 8 cm 4000 cm 8 m Ebből m ,9 cm 64. A festék tehát kb. 0 cm magasan állna a vödörben. Összesen: pont 4) a) Egy kocka és egy gömb felszíne egyenlő. Bizonyítsa be, hogy a gömb térfogata nagyobb, mint a kockáé! (6 pont) Két fémkocka összeolvasztásával egy nagyobb kockát készítünk. Az egyik beolvasztott kocka egy élének hossza p, a másiké pedig q. (Feltesszük, hogy az összeolvasztással kapott kocka p 0, q 0 térfogata egyenlő a két összeolvasztott kocka térfogatának összegével.) b) Igazolja, hogy az összeolvasztással kapott kocka felszíne 6 p g. ( pont) c) Bizonyítsa be, hogy az összeolvasztással kapott kocka felszíne kisebb, mint a két összeolvasztott kocka felszínének összege! (8 pont) A a) Ha a két test felszíne egyaránt A, akkor Vkocka, ( pont) 6 V gömb A 6 ( pont) Mivel 6 6, ezért a gömb térfogata valóban nagyobb a kocka térfogatánál.

26 b) Az összeolvasztással kapott kocka térfogata p q, ezért élének hossza p q, felszíne tehát c) A bizonyítandó állítás: 6 p q, ami valóban 6 p q p q p q 6 6 Mindkét oldalt 6-tal osztva és köbre emelve (az monotonitása miatt): Elvégezve a hatványozásokat: Rendezve és a pozitív 0 p q p q pq -nel egyenlő. x függvény szigorú. p p q q p p q p q q szorzattal osztva: 0 p q pq. ( pont). p q p q, ez pedig mindig igaz (hiszen a jobb oldalon két pozitív és egy nemnegatív szám összege áll). Mivel minden átalakítás ekvivalens volt, ezért a bizonyítandó állítás is igaz. Összesen: 6 pont

Felszín- és térfogatszámítás (emelt szint)

Felszín- és térfogatszámítás (emelt szint) Felszín- és térfogatszámítás (emelt szint) (ESZÉV 2004.minta III./7) Egy négyoldalú gúla alaplapja rombusz. A gúla csúcsa a rombusz középpontja felett van, attól 82 cm távolságra. A rombusz oldalának hossza

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2007. október 25. EMELT SZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2007. október 25. EMELT SZINT I. 1) x x MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 007. október 5. EMELT SZINT I. a) Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenletet! (5 pont) b) Oldja meg a valós számpárok halmazán az alábbi egyenletrendszert! lg x

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2012. május 8. EMELT SZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2012. május 8. EMELT SZINT I. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 01. május 8. EMELT SZINT I. 1) Egy 011-ben készült statisztikai összehasonlításban az alábbiakat olvashatjuk: Ha New York-ban az átlagfizetést és az átlagos árszínvonalat egyaránt

Részletesebben

4. modul Poliéderek felszíne, térfogata

4. modul Poliéderek felszíne, térfogata Matematika A 1. évfolyam 4. modul Poliéderek felszíne, térfogata Készítette: Vidra Gábor Matematika A 1. évfolyam 4. modul: POLIÉDEREK FELSZÍNE, TÉRFOGATA Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Síkgeometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Síkgeometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Síkgeometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 161 ÉRETTSÉGI VIZSGA 016. május. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 0 ÉRETTSÉGI VIZSGA 00. február. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Matematika emelt szint Fontos tudnivalók Formai

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2011. október 18. EMELT SZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2011. október 18. EMELT SZINT I. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 0. október 8. EMELT SZINT I. ) Kinga 0. születésnapja óta kap havi zsebpénzt a szüleitől. Az első összeget a 0. születésnapján adták a szülők, és minden hónapban 50 Fttal többet adnak,

Részletesebben

MATEMATIKA ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI-FELVÉTELI FELADATOK 2003. május 19. du. JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI-FELVÉTELI FELADATOK 2003. május 19. du. JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ MATEMATIKA ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI-FELVÉTELI FELADATOK 00 május 9 du JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ Oldja meg a rendezett valós számpárok halmazán az alábbi egyenletrendszert! + y = 6 x + y = 9 x A nevezők miatt az alaphalmaz

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2009. október 20. EMELT SZINT

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2009. október 20. EMELT SZINT MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 009. október 0. EMELT SZINT ) Oldja meg az alábbi egyenleteket! a), ahol és b) log 0,5 0,5 7 6 log log 0 I., ahol és (4 pont) (7 pont) log 0,5 a) Az 0,5 egyenletben a hatványozás megfelelő

Részletesebben

Első sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a. cos x + sin2 x cos x. +sinx +sin2x =

Első sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a. cos x + sin2 x cos x. +sinx +sin2x = 2000 Írásbeli érettségi-felvételi feladatok Első sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a egyenletet! cos x + sin2 x cos x +sinx +sin2x = 1 cos x (9 pont) 2. Az ABCO háromszög

Részletesebben

MATEMATIKA ÍRÁSBELI VIZSGA EMELT SZINT% ÉRETTSÉGI VIZSGA 2013. május 7. MINISZTÉRIUMA. 2013. május 7. 8:00 EMBERI ERFORRÁSOK

MATEMATIKA ÍRÁSBELI VIZSGA EMELT SZINT% ÉRETTSÉGI VIZSGA 2013. május 7. MINISZTÉRIUMA. 2013. május 7. 8:00 EMBERI ERFORRÁSOK I. rész II. rész a feladat sorszáma maximális pontszám elért pontszám maximális pontszám 1. 11 2. 13 51 3. 13 4. 14 16 16 64 16 16 8 nem választott feladat Az írásbeli vizsgarész pontszáma 115 elért pontszám

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Térgeometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Térgeometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Térgeometria 1) Egy gömb alakú labda belső sugara 13 cm. Hány liter levegő van benne? Válaszát indokolja! 2) Egy forgáskúp alapkörének átmérője egyenlő a

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Térgeometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Térgeometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Térgeometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2008. október 21. EMELT SZINT

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2008. október 21. EMELT SZINT MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 008. október. EMELT SZINT ) Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenleteket: a) b) lg 8 0 6 I. (5 pont) (5 pont) a) A logaritmus értelmezése alapján: 80 ( vagy ) Egy szorzat

Részletesebben

Középszintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: 2005. november. I. rész

Középszintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: 2005. november. I. rész Pataki János, 005. november Középszintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: 005. november I. rész. feladat Egy liter 0%-os alkoholhoz / liter 40%-os alkoholt keverünk.

Részletesebben

10. évfolyam, negyedik epochafüzet

10. évfolyam, negyedik epochafüzet 10. évfolyam, negyedik epochafüzet (Geometria) Tulajdonos: NEGYEDIK EPOCHAFÜZET TARTALOM I. Síkgeometria... 4 I.1. A háromszög... 4 I.2. Nevezetes négyszögek... 8 I.3. Sokszögek... 14 I.4. Kör és részei...

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 0613 ÉRETTSÉGI VIZSGA 007. május 8. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Formai előírások: Fontos tudnivalók

Részletesebben

MATEMATIKA A 10. évfolyam

MATEMATIKA A 10. évfolyam MATEMATIKA A 10. évfolyam 8. modul Hasonlóság és alkalmazásai Készítették: Vidra Gábor, Lénárt István Matematika A 10. évfolyam 8. modul: Hasonlóság és alkalmazásai A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály

Részletesebben

4) Az ABCD négyzet oldalvektorai körül a=ab és b=bc. Adja meg az AC és BD vektorokat a és b vektorral kifejezve!

4) Az ABCD négyzet oldalvektorai körül a=ab és b=bc. Adja meg az AC és BD vektorokat a és b vektorral kifejezve! (9/1) Vektorok, Koordináta Geometria 1) Szerkessze meg az a + b és az a b vektort, ha a és b egy szabályos háromszögnek a mellékelt ábra szerinti oldalvektorai! 2) Az ABC háromszög két oldalának vektora

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Térgeometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Térgeometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Térgeometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA

EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA ÉRETTSÉGI VIZSGA 2006. február 21. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2006. február 21. 8:00 Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Matematika

Részletesebben

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A Matematika 10. évfolyam TANULÓK KÖNYVE. FÉLÉV A kiadvány KHF/4365-1/008. engedélyszámon 008.08.8. időponttól tankönyvi engedélyt kapott Educatio Kht. Kompetenciafejlesztő

Részletesebben

5. Trigonometria. 2 cos 40 cos 20 sin 20. BC kifejezés pontos értéke?

5. Trigonometria. 2 cos 40 cos 20 sin 20. BC kifejezés pontos értéke? 5. Trigonometria I. Feladatok 1. Mutassuk meg, hogy cos 0 cos 0 sin 0 3. KöMaL 010/október; C. 108.. Az ABC háromszög belsejében lévő P pontra PAB PBC PCA φ. Mutassuk meg, hogy ha a háromszög szögei α,

Részletesebben

MATEMATIKA KOMPETENCIATERÜLET A

MATEMATIKA KOMPETENCIATERÜLET A MATEMATIKA KOMPETENCIATERÜLET A Matematika 7. évfolyam TANULÓI MUNKAFÜZET 2. félév A kiadvány KHF/4002-17/2008 engedélyszámon 2008. 08. 18. időponttól tankönyvi engedélyt kapott Educatio Kht. Kompetenciafejlesztő

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 113 ÉRETTSÉGI VIZSGA 015. május 5. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Formai előírások: Fontos tudnivalók

Részletesebben

5. modul Térfogat és felszínszámítás 2

5. modul Térfogat és felszínszámítás 2 Matematika A 1. évfolyam 5. modul Térfogat és felszínszámítás Készítette: Vidra Gábor Matematika A 1. évfolyam 5. modul: TÉRFOGAT ÉS FELSZÍNSZÁMÍTÁS Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály

Részletesebben

Egy csodálatos egyenesről (A Simson-egyenes) Bíró Bálint, Eger

Egy csodálatos egyenesről (A Simson-egyenes) Bíró Bálint, Eger Egy csodálatos egyenesről (A Simson-egyenes) Bíró Bálint, Eger. feladat Állítsunk merőlegeseket egy húrnégyszög csúcsaiból a csúcsokon át nem menő átlókra. Bizonyítsuk be, hogy a merőlegesek talppontjai

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 051 ÉRETTSÉGI VIZSGA 007. május 8. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Formai előírások: Fontos tudnivalók

Részletesebben

EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA

EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA ÉRETTSÉGI VIZSGA 2016. május 3. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2016. május 3. 8:00 Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA

Részletesebben

1. A testek csoportosítása: gúla, kúp

1. A testek csoportosítása: gúla, kúp TÉRGOMTRI 1. testek csoportosítása: gúla, kúp Keressünk a környezetünkben gömböket, hengereket, hasábokat, gúlákat, kúpokat! Keressük meg a fenti képen az alábbi testeket! gömb egyenes körhenger egyenes

Részletesebben

MATEMATIKA ÍRÁSBELI VIZSGA EMELT SZINT% ÉRETTSÉGI VIZSGA 2013. október 15. 2013. október 15. 8:00 MINISZTÉRIUMA EMBERI ERFORRÁSOK

MATEMATIKA ÍRÁSBELI VIZSGA EMELT SZINT% ÉRETTSÉGI VIZSGA 2013. október 15. 2013. október 15. 8:00 MINISZTÉRIUMA EMBERI ERFORRÁSOK I. rész II. rész a feladat sorszáma maximális pontszám elért pontszám maximális pontszám 1. 11 2. 12 51 3. 14 4. 14 16 16 64 16 16 8 nem választott feladat Az írásbeli vizsgarész pontszáma 115 elért pontszám

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 1413 ÉRETTSÉGI VIZSGA 015. május 5. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

9. modul Szinusz- és koszinusztétel. Készítette: Csákvári Ágnes

9. modul Szinusz- és koszinusztétel. Készítette: Csákvári Ágnes 9. modul Szinusz- és koszinusztétel Készítette: Csákvári Ágnes Matematika A 11. évfolyam 9. modul: Szinusz- és koszinusztétel Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási

Részletesebben

Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István. tankönyv. Mozaik Kiadó Szeged, 2013

Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István. tankönyv. Mozaik Kiadó Szeged, 2013 Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István tankönyv 0 Mozaik Kiadó Szeged, 03 TARTALOMJEGYZÉK Gondolkodási módszerek. Mi következik ebbõl?... 0. A skatulyaelv... 3. Sorba rendezési

Részletesebben

I. rész. x 100. Melyik a legkisebb egész szám,

I. rész. x 100. Melyik a legkisebb egész szám, Dobos Sándor, 005. november Középszintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Dobos Sándor; dátum: 005. november 1. feladat A 70-nek 80%-a mely számnak a 70%-a? I. rész. feladat Egy szabályos

Részletesebben

Azonosító jel: MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA. 2008. október 21. 8:00. Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc

Azonosító jel: MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA. 2008. október 21. 8:00. Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc É RETTSÉGI VIZSGA 2008. október 21. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2008. október 21. 8:00 Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2006. május 9. EMELT SZINT

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2006. május 9. EMELT SZINT ) A PQRS négyszög csúcsai: MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 006. május 9. EMELT SZINT P 3; I., Q ;3, R 6; és S 5; 5 Döntse el, hogy az alábbi három állítás közül melyik igaz és melyik hamis! Tegyen * jelet a táblázat

Részletesebben

Azonosító jel: MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA. 2007. október 25. 8:00. Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc

Azonosító jel: MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA. 2007. október 25. 8:00. Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc ÉRETTSÉGI VIZSGA 2007. október 25. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2007. október 25. 8:00 Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM

Részletesebben

KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA

KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA ÉRETTSÉGI VIZSGA 2016. május 3. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2016. május 3. 8:00 I. Időtartam: 45 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Matematika középszint

Részletesebben

Elsőfokú egyenletek...

Elsőfokú egyenletek... 1. Hozza egyszerűbb alakra a következő kifejezést: 1967. N 1. Elsőfokú egyenletek... I. sorozat ( 1 a 1 + 1 ) ( 1 : a+1 a 1 1 ). a+1 2. Oldja meg a következő egyenletet: 1981. G 1. 3x 1 2x 6 + 5 2 = 3x+1

Részletesebben

Munkafüzet megoldások 7. osztályos tanulók számára. Makara Ágnes Bankáné Mező Katalin Argayné Magyar Bernadette Vépy-Benyhe Judit

Munkafüzet megoldások 7. osztályos tanulók számára. Makara Ágnes Bankáné Mező Katalin Argayné Magyar Bernadette Vépy-Benyhe Judit Kalandtúra 7. unkafüzet megoldások 7. osztályos tanulók számára akara Ágnes Bankáné ező Katalin Argayné agyar Bernadette Vépy-Benyhe Judit BEELEGÍTŐ GONDOLKODÁS. SZÓRAKOZTATÓ FELADVÁNYOK. oldal. 6... 6.

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2009. május 5. KÖZÉPSZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2009. május 5. KÖZÉPSZINT I. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 009. május 5. KÖZÉPSZINT I. 1) Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenletet! x 1x 4 0 Az egyenlet gyökei 1, 5 és 8. ) Számítsa ki a 1 és 75 számok mértani közepét! A mértani

Részletesebben

MATEMATIKA C 12. évfolyam 3. modul A mi terünk

MATEMATIKA C 12. évfolyam 3. modul A mi terünk MTEMTIK C 1. évflyam. mdul mi terünk Készítette: Kvács Kárlyné Matematika C 1. évflyam. mdul: mi terünk Tanári útmutató mdul célja Időkeret jánltt krsztály Mdulkapcslódási pntk térfgat- és felszínszámítási

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 1613 ÉRETTSÉGI VIZSGA 016. május 3. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

Matematika felvételi feladatok bővített levezetése 2013 (8. osztályosoknak)

Matematika felvételi feladatok bővített levezetése 2013 (8. osztályosoknak) Matematika felvételi feladatok bővített levezetése 2013 (8. osztályosoknak) Erre a dokumentumra az Edemmester Gamer Blog kiadványokra vonatkozó szabályai érvényesek. 1. feladat: Határozd meg az a, b és

Részletesebben

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS KÖZÉPSZINT

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS KÖZÉPSZINT Matematika Próbaérettségi Megoldókulcs 016. január 16. MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS KÖZÉPSZINT I. rész: Az alábbi 1 feladat megoldása kötelező volt! 1) Egyszerűsítse a következő kifejezést: Válaszát

Részletesebben

4b 9a + + = + 9. a a. + 6a = 2. k l = 12 évfolyam javítóvizsgára. 1) Alakítsd szorzattá a következő kifejezéseket!

4b 9a + + = + 9. a a. + 6a = 2. k l = 12 évfolyam javítóvizsgára. 1) Alakítsd szorzattá a következő kifejezéseket! ) Alakítsd szorzattá a következő kifejezéseket! 4 c) d) e) f) 9k + 6k l + l = ay + 7ay + 54a = 4 k l = b 6bc + 9c 4 + 4y + y 4 4b 9a évfolyam javítóvizsgára ) Végezd el az alábbi műveleteket és hozd a

Részletesebben

3. Öt alma és hat narancs 20Ft-tal kerül többe, mint hat alma és öt narancs. Hány forinttal kerül többe egy narancs egy

3. Öt alma és hat narancs 20Ft-tal kerül többe, mint hat alma és öt narancs. Hány forinttal kerül többe egy narancs egy 1. forduló feladatai 1. Üres cédulákra neveket írtunk, minden cédulára egyet. Egy cédulára Annát, két cédulára Pétert, három cédulára Bencét és négy cédulára Petrát. Ezután az összes cédulát egy üres kalapba

Részletesebben

2. feladat Legyenek 1 k n rögzített egészek. Mennyi az. x 1 x 2...x k +x 2 x 3...x k+1 +...+x n k+1 x n k+2...x n

2. feladat Legyenek 1 k n rögzített egészek. Mennyi az. x 1 x 2...x k +x 2 x 3...x k+1 +...+x n k+1 x n k+2...x n Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny, 2012 13-as tanév MATEMATIKA, III. kategória a gimnáziumok speciális matematikai osztályainak tanulói részére Az első forduló feladatainak megoldásai Kérjük a javító

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 0813 É RETTSÉGI VIZSGA 008 október 1 MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Formai előírások: Fontos tudnivalók

Részletesebben

1. Az ábrán a pontok a szabályos háromszögrács 10 pontját jelentik (tehát az ABC háromszög egyenlőoldalú, a BDE háromszög egyenlőoldalú, a CEF

1. Az ábrán a pontok a szabályos háromszögrács 10 pontját jelentik (tehát az ABC háromszög egyenlőoldalú, a BDE háromszög egyenlőoldalú, a CEF 1. Az ábrán a pontok a szabályos háromszögrács 10 pontját jelentik (tehát az ABC háromszög egyenlőoldalú, a BDE háromszög egyenlőoldalú, a CEF háromszög egyenlőoldalú, stb ). A 10 pont közül ki kell választani

Részletesebben

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2007/2008-as tanév 2. forduló haladók I. kategória

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2007/2008-as tanév 2. forduló haladók I. kategória Bolyai János Matematikai Társulat Oktatási és Kulturális Minisztérium Támogatáskezelő Igazgatósága támogatásával Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 007/008-as tanév. forduló haladók I. kategória Megoldások

Részletesebben

Próba érettségi feladatsor 2008. április 11. I. RÉSZ

Próba érettségi feladatsor 2008. április 11. I. RÉSZ Név: osztály: Próba érettségi feladatsor 2008 április 11 I RÉSZ Figyelem! A dolgozatot tollal írja; az ábrákat ceruzával is rajzolhatja A megoldást minden esetben a feladat szövege melletti keretbe írja!

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria V.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria V. Geometria V. DEFINÍCIÓ: (Középponti szög) Ha egy szög csúcsa egy adott kör középpontja, akkor a kör középponti szögének nevezzük. DEFINÍCIÓ: (Kerületi szög) Ha egy szög csúcsa egy adott körvonal pontja,

Részletesebben

44. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY. Országos döntő, 1. nap - 2015. május 29.

44. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY. Országos döntő, 1. nap - 2015. május 29. 44. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY Országos döntő, 1. nap - 015. május 9. ÖTÖDIK OSZTÁLY - ok 1. Egy háromjegyű szám középső számjegyét elhagyva egy kétjegyű számot kaptunk. A két szám összege

Részletesebben

148 feladat 21 + + 20 20 ) + ( 1 21 + 2 200 > 1 2. 1022 + 1 51 + 1 52 + + 1 99 2 ) (1 1 100 2 ) =?

148 feladat 21 + + 20 20 ) + ( 1 21 + 2 200 > 1 2. 1022 + 1 51 + 1 52 + + 1 99 2 ) (1 1 100 2 ) =? 148 feladat a Kalmár László Matematikaversenyről 1. ( 1 19 + 2 19 + + 18 19 ) + ( 1 20 + 2 20 + + 19 20 ) + ( 1 21 + 2 21 + + 20 21 ) + ( 1 22 + 2 22 + + 21 22 ) =? Kalmár László Matematikaverseny megyei

Részletesebben

Bolyai János Matematikai Társulat

Bolyai János Matematikai Társulat Bolyai János Matematikai Társulat Oktatási és Kulturális Minisztérium Támogatáskezelő Igazgatósága támogatásával Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 007/008-as tanév első (iskolai) forduló haladók II.

Részletesebben

A legrövidebb úton úgy tudunk menni az A-ból B-be, hogy csak rézsútosan jobbra és lefele megyünk. (3 pont)

A legrövidebb úton úgy tudunk menni az A-ból B-be, hogy csak rézsútosan jobbra és lefele megyünk. (3 pont) NÉMETH LÁSZLÓ VÁROSI MATEMATIKA VERSENY 015 HÓDMEZŐVÁSÁRHELY 9-. OSZTÁLY 015. MÁRCIUS 30. FELADATOK CSAK SZAKKÖZÉPISKOLÁSOKNAK Sz 1. Futár Berci csomagokat szállít Erdőfalván. Most az A pontból kell eljutnia

Részletesebben

Fazekas nyílt verseny matematikából 8. osztály, speciális kategória

Fazekas nyílt verseny matematikából 8. osztály, speciális kategória Fazekas nyílt verseny matematikából 8. osztály, speciális kategória 2005. január 12. feladatok kidolgozására két óra áll rendelkezésre. Számológép nem használható. példák tetszőleges sorrendben megoldhatók.

Részletesebben

3. Az y=x2 parabolához az y=x egyenletű egyenes mely pontjából húzható két, egymásra merőleges érintő?

3. Az y=x2 parabolához az y=x egyenletű egyenes mely pontjából húzható két, egymásra merőleges érintő? Észforgató középiskolásoknak 1.Egy tálba egymás után felütünk tíz darab tojást. A tojások közül kettő romlott, de ez csak a feltöréskor derül ki. A záptojások az összes előttük feltört tojást használhatatlanná

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Térgeometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Térgeometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Térgeometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2008. október 21. KÖZÉPSZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2008. október 21. KÖZÉPSZINT I. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 008. október 1. KÖZÉPSZINT I. 1) Adja meg a 4 egyjegyű pozitív osztóinak halmazát! A keresett halmaz: {1 4 6 8}. ) Hányszorosára nő egy cm sugarú kör területe, ha a sugarát háromszorosára

Részletesebben

Megoldókulcs. Matematika D kategória (11-12. osztályosok) 2015. február 6.

Megoldókulcs. Matematika D kategória (11-12. osztályosok) 2015. február 6. Megoldókulcs Matematika D kategória (11-12. osztályosok) 2015. február 6. 1. Az ABC háromszög mindhárom csúcsából merőlegeseket állítunk a többi csúcs külső és belső szögfelezőire. Igazoljuk, hogy az így

Részletesebben

FELADATOK ÉS MEGOLDÁSOK

FELADATOK ÉS MEGOLDÁSOK 3. osztály Anna, Béla és Csaba összesen 36 diót talált a kertben. Annának és Bélának együtt 27, Bélának és Csabának együtt 19 diója van. Mennyi diót találtak külön-külön a gyerekek? A 36 dióból 27 Annáé

Részletesebben

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A Matematika 6. évfolyam TANULÓI MUNKAFÜZET 2. FÉLÉV A kiadvány KHF/4356-14/2008. engedélyszámon 2008.11.25. időponttól tankönyvi engedélyt kapott Educatio Kht. Kompetenciafejlesztő

Részletesebben

10. JAVÍTÓKULCS ORSZÁGOS KOMPETENCIAMÉRÉS MATEMATIKA. példaválaszokkal. s u l i N o v a K h t. É R T É K E L É S I K Ö Z P O N T É V F O L Y A M

10. JAVÍTÓKULCS ORSZÁGOS KOMPETENCIAMÉRÉS MATEMATIKA. példaválaszokkal. s u l i N o v a K h t. É R T É K E L É S I K Ö Z P O N T É V F O L Y A M 10. É V F O L Y A M ORSZÁGOS KOMPETENCIAMÉRÉS JAVÍTÓKULCS MATEMATIKA s u l i N o v a K h t. É R T É K E L É S I K Ö Z P O N T 2 0 0 6 példaválaszokkal Hány órából áll egy hét? Válasz: A feleletválasztós

Részletesebben

Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály, középszint

Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály, középszint TÁMOP-.1.4-08/2-2009-0011 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály, középszint Vasvár,

Részletesebben

10. évfolyam, ötödikepochafüzet

10. évfolyam, ötödikepochafüzet 10. évfolyam, ötödikepochafüzet (Hasonlóság, trigonometria) Tulajdonos: ÖTÖDIK EPOCHAFÜZET TARTALOM I. Geometriai transzformációk... 3 I.1. A geometriai transzformációk ismétlése... 3 I.2. A vektorok ismétlése...

Részletesebben

BEVEZETÉS AZ ÁBRÁZOLÓ GEOMETRIÁBA

BEVEZETÉS AZ ÁBRÁZOLÓ GEOMETRIÁBA Pék Johanna BEVEZETÉS AZ ÁBRÁZOLÓ GEOMETRIÁBA (Matematika tanárszakos hallgatók számára) Tartalomjegyzék Előszó ii 0. Alapismeretek 1 0.1. Térgeometriai alapok............................. 1 0.2. Az ábrázoló

Részletesebben

Megoldások, megoldás ötletek (Jensen-egyenlőtlenség)

Megoldások, megoldás ötletek (Jensen-egyenlőtlenség) Megoldások, megoldás ötletek (Jensen-egyenlőtlenség) Mivel az f : 0; ; x sin x folytonos az értelmezési tartományán, ezért elég azt belátni, hogy szigorúan gyengén konkáv ezen az intervallumon Legyen 0

Részletesebben

Hraskó András, Surányi László: 11-12. spec.mat szakkör Tartotta: Surányi László. Feladatok

Hraskó András, Surányi László: 11-12. spec.mat szakkör Tartotta: Surányi László. Feladatok Feladatok 1. Színezzük meg a koordinátarendszer rácspontjait két színnel, kékkel és pirossal úgy, hogy minden vízszintes egyenesen csak véges sok kék rácspont legyen és minden függőleges egyenesen csak

Részletesebben

6. modul Egyenesen előre!

6. modul Egyenesen előre! MATEMATIKA C 11 évfolyam 6 modul Egyenesen előre! Készítette: Kovács Károlyné Matematika C 11 évfolyam 6 modul: Egyenesen előre! Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási

Részletesebben

VI.11. TORONY-HÁZ-TETŐ. A feladatsor jellemzői

VI.11. TORONY-HÁZ-TETŐ. A feladatsor jellemzői VI.11. TORONY-HÁZ-TETŐ Tárgy, téma A feladatsor jellemzői Szögfüggvények derékszögű háromszögben, szinusztétel, koszinusztétel, Pitagorasz-tétel. Előzmények Pitagorasz-tétel, derékszögű háromszög trigonometriája,

Részletesebben

FELADATOK ÉS MEGOLDÁSOK

FELADATOK ÉS MEGOLDÁSOK 3. osztály Egy asztal körül 24-en ülnek, mindannyian mindig igazat mondanak. Minden lány azt mondja, hogy a közvetlen szomszédjaim közül pontosan az egyik fiú, és minden fiú azt mondja, hogy mindkét közvetlen

Részletesebben

1. Melyek azok a kétjegyű számok, amelyek oszthatók számjegyeik

1. Melyek azok a kétjegyű számok, amelyek oszthatók számjegyeik 1991. évi verseny, 1. nap 1. Számold össze, hány pozitív osztója van 16 200-nak! 2. Bontsd fel a 60-at két szám összegére úgy, hogy az egyik szám hetede egyenlő legyen a másik szám nyolcadával! 3. Van

Részletesebben

Azonosító jel: MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA. 2015. október 13. 8:00. Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc

Azonosító jel: MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA. 2015. október 13. 8:00. Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc É RETTSÉGI VIZSGA 2015. október 13. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2015. október 13. 8:00 Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA

Részletesebben

TARTALOMJEGYZÉK ELŐSZÓ... 7 1. GONDOLKOZZ ÉS SZÁMOLJ!... 9 2. HOZZÁRENDELÉS, FÜGGVÉNY... 69

TARTALOMJEGYZÉK ELŐSZÓ... 7 1. GONDOLKOZZ ÉS SZÁMOLJ!... 9 2. HOZZÁRENDELÉS, FÜGGVÉNY... 69 TARTALOMJEGYZÉK ELŐSZÓ............................................................ 7 1. GONDOLKOZZ ÉS SZÁMOLJ!............................. 9 Mit tanultunk a számokról?............................................

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 05 ÉRETTSÉGI VIZSGA 006. május 9. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Formai előírások: Fontos tudnivalók A dolgozatot

Részletesebben

Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet TÁMOP-3.1.1-11/1-2012-0001 XXI. századi közoktatás (fejlesztés, koordináció) II. szakasz. Fejlesztőfeladatok

Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet TÁMOP-3.1.1-11/1-2012-0001 XXI. századi közoktatás (fejlesztés, koordináció) II. szakasz. Fejlesztőfeladatok Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet TÁMOP-3.1.1-11/1-2012-0001 XXI. századi közoktatás (fejlesztés, koordináció) II. szakasz Fejlesztőfeladatok MATEMATIKA 4. szint 2015 Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet

Részletesebben

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2006/2007-es tanév első (iskolai) forduló haladók I. kategória

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2006/2007-es tanév első (iskolai) forduló haladók I. kategória Bolyai János Matematikai Társulat Oktatási és Kulturális Minisztérium Alapkezelő Igazgatósága támogatásával Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2006/2007-es tanév első (iskolai) forduló haladók I. kategória

Részletesebben

Tető nem állandó hajlású szarufákkal

Tető nem állandó hajlású szarufákkal 1 Tető nem állandó hajlású szarufákkal Már korábbi dolgozatainkban is szó volt a címbeli témáról. Most azért vettük újra elő, mert szép és érdekes ábrákat találtunk az interneten, ezzel kapcsolatban, és

Részletesebben

Városok Viadala JUNIOR, 1990-91. sz, második forduló ... 99

Városok Viadala JUNIOR, 1990-91. sz, második forduló ... 99 JUNIOR, 990-9. sz, els forduló. Adott két pozitív valós szám. Bizonyítsuk be, hogy ha az összegük kisebb, mint a szorzatuk, akkor az összegük nagyobb 4-nél. (N. Vasziljev, 4 pont) 2. Egy szabályos háromszög

Részletesebben

3 6. 3 4. o.: 1 50. feladat 5 6. o.: 26 75. feladat. Mérünk és számolunk 2011. Egységnyi térfogatú anyag tömege

3 6. 3 4. o.: 1 50. feladat 5 6. o.: 26 75. feladat. Mérünk és számolunk 2011. Egységnyi térfogatú anyag tömege Jármezei Tamás Egységnyi térfogatú anyag tömege Mérünk és számolunk 211 FELADATGYŰJTEMÉNY AZ ÁLTALÁNOS ISKOLA 3 6. ÉVFOLYAMA SZÁMÁRA Jedlik-verseny I. forduló 3 4. o.: 1 5. feladat 5 6. o.: 26 75. feladat

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. Koordináta-geometria és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 4

Részletesebben

Elsôfokú egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek

Elsôfokú egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek Elsôfokú egyváltozós egyenletek 6 Elsôfokú egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek. Elsôfokú egyváltozós egyenletek 000. Érdemes egyes tagokat, illetve tényezôket alkalmasan csoportosítani, valamint

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2010. október 19. EMELT SZINT

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2010. október 19. EMELT SZINT 1) MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 010. október 19. EMELT SZINT a) Mely valós számok elégítik ki az alábbi egyenlőtlenséget? 3 3 1 1 8 b) Az alábbi f és g függvényt is a f 3 és g 0,5,5 I. 3;6. intervallumon értelmezzük.

Részletesebben

Csordás Mihály Konfár László Kothencz Jánosné Kozmáné Jakab Ágnes Pintér Klára Vincze Istvánné. tankönyv. Mozaik Kiadó Szeged, 2013

Csordás Mihály Konfár László Kothencz Jánosné Kozmáné Jakab Ágnes Pintér Klára Vincze Istvánné. tankönyv. Mozaik Kiadó Szeged, 2013 Csordás Mihály Konfár László Kothencz Jánosné Kozmáné Jakab Ágnes Pintér Klára Vincze Istvánné tankönyv 5 Mozaik Kiadó Szeged, 2013 A TERMÉSZETES SZÁMOK 13. A szorzat változásai Az iskolai könyvtáros 10

Részletesebben

Az alap- és a képfelület fogalma, megadási módjai és tulajdonságai

Az alap- és a képfelület fogalma, megadási módjai és tulajdonságai A VETÜLETEK ALAP- ÉS KÉPFELÜLETE Az alap- és a képfelület fogalma, megadási módjai és tulajdonságai A geodézia, a térinformatika és a térképészet a görbült földfelületen elhelyezkedő geometriai alakzatokat

Részletesebben

LINEÁRIS ALGEBRA PÉLDATÁR MÉRNÖK INFORMATIKUSOKNAK

LINEÁRIS ALGEBRA PÉLDATÁR MÉRNÖK INFORMATIKUSOKNAK Írta: LEITOLD ADRIEN LINEÁRIS ALGEBRA PÉLDATÁR MÉRNÖK INFORMATIKUSOKNAK Egyetemi tananyag COPYRIGHT: Dr. Leitold Adrien Pannon Egyetem Műszaki Informatika Kar Matematika Tanszék LEKTORÁLTA: Dr. Buzáné

Részletesebben

NÉGYOSZTÁLYOS FELVÉTELI A Gyakorló feladatsor I. megoldásai Számadó László (Budapest)

NÉGYOSZTÁLYOS FELVÉTELI A Gyakorló feladatsor I. megoldásai Számadó László (Budapest) NÉGYOSZTÁLYOS FELVÉTELI A Gyakorló feladatsor I. megoldásai Számadó László (Budapest) A javítókulcsban feltüntetett válaszokra a megadott pontszámok adhatók. A pontszámok részekre bontása csak ott lehetséges,

Részletesebben

KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA

KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA ÉRETTSÉGI VIZSGA 2009. május 5. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2009. május 5. 8:00 I. Időtartam: 45 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Matematika középszint

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2011/2012 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) 2. forduló - megoldások. 1 pont Ekkor

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2011/2012 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) 2. forduló - megoldások. 1 pont Ekkor Okta tási Hivatal Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 0/0 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA). forduló - megoldások. Az valós számra teljesül a 3 sin sin cos sin egyenlőség. Milyen értékeket

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Gráfelmélet II. Gráfok végigjárása

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Gráfelmélet II. Gráfok végigjárása Gráfelmélet II. Gráfok végigjárása DEFINÍCIÓ: (Séta) A G gráf egy olyan élsorozatát, amelyben a csúcsok és élek többször is szerepelhetnek, sétának nevezzük. Egy lehetséges séta: A; 1; B; 2; C; 3; D; 4;

Részletesebben

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak!

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak! Magyar Ifjúság 6 V SOROZATOK a) Három szám összege 76 E három számot tekinthetjük egy mértani sorozat három egymás után következő elemének vagy pedig egy számtani sorozat első, negyedik és hatodik elemének

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI február 21. EMELT SZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI február 21. EMELT SZINT I. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 00. február. EMELT SZINT I. ) Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenletet! cos x sin x 5sin x 0 ( pont) cos x sin a megoldandó egyenlet: sin x 5sin x 3 0 A sinx -re másodfokú

Részletesebben

Azonosító jel: MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA. 2007. május 8. 8:00. Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc

Azonosító jel: MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA. 2007. május 8. 8:00. Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc ÉRETTSÉGI VIZSGA 2007. május 8. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2007. május 8. 8:00 Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM

Részletesebben

Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara. Csordásné Marton Melinda. Fizikai példatár 1. FIZ1 modul. Optika feladatgyűjtemény

Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara. Csordásné Marton Melinda. Fizikai példatár 1. FIZ1 modul. Optika feladatgyűjtemény Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara Csordásné Marton Melinda Fizikai példatár 1 FIZ1 modul Optika feladatgyűjtemény SZÉKESFEHÉRVÁR 2010 Jelen szellemi terméket a szerzői jogról szóló 1999

Részletesebben

43. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY MEGYEI FORDULÓ NYOLCADIK OSZTÁLY JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ

43. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY MEGYEI FORDULÓ NYOLCADIK OSZTÁLY JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ 43. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY MEGYEI FORDULÓ NYOLCADIK OSZTÁLY JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ 1. Az apa, az anya és a három lányuk együtt 118 évesek. Az anya 10 évvel idősebb, mint a három lány együtt.

Részletesebben