VI.11. TORONY-HÁZ-TETŐ. A feladatsor jellemzői
|
|
- Henrik Szabó
- 8 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 VI.11. TORONY-HÁZ-TETŐ Tárgy, téma A feladatsor jellemzői Szögfüggvények derékszögű háromszögben, szinusztétel, koszinusztétel, Pitagorasz-tétel. Előzmények Pitagorasz-tétel, derékszögű háromszög trigonometriája, számológép használata szögfüggvények kiszámítására (oda-vissza, szögből szögfüggvényt és viszont), szinusztétel ismerete. Koszinusztétel ismerete előny, de nem szükségszerű. Cél A matematikai szövegértés és modellalkotás fejlesztése derékszögű és általános háromszögekkel modellezhető valós életbeli problémákkal. A szinusztétel használata és alkalmazása gyakorlati feladatokban, a tétel alkalmazásának buktatói, ezek felismerésének fejlesztése. A feladatsor által fejleszthető kompetenciák Tájékozódás a térben + Ismeretek alkalmazása + Tájékozódás az időben Problémakezelés és -megoldás + Tájékozódás a világ mennyiségi viszonyaiban + Alkotás és kreativitás + Tapasztalatszerzés + Kommunikáció + Képzelet + Együttműködés + Emlékezés Motiváltság Gondolkodás + Önismeret, önértékelés Ismeretek rendszerezése + A matematika épülésének elvei + Ismerethordozók használata Felhasználási útmutató A feladatsort elsősorban tanórai feldolgozásra ajánljuk. Használjunk trigonometrikus függvények számítására alkalmas számológépet. Ragaszkodjunk hozzá, hogy a tanulók minden feladat megoldása előtt készítsenek ábrát, azon jelöljék be és nevezzék el a feladat megoldása szempontjából fontos pontokat! Keressenek olyan háromszögeket, melyekben elég adatot ismerünk ahhoz, hogy a többi szöget és oldalt meghatározzuk! A feladat megoldása során fokozottan ügyeljünk a diákok figyelmes, értelmező szövegolvasására, mert enélkül nehéz megfelelően elképzelni a szituációt, és megfelelő ábrát készíteni! Érdemes arra figyelni, hogy a feladatok valóságosnak tekinthető szituációkat modelleznek, olyan adatokból indulnak ki, melyek ténylegesen mérhetőek lennének. Így a megoldások végén is célszerű meggondolni, életszerű-e az a végeredmény, amit kaptunk. Figyeljünk arra is, hogy milyen pontossággal érdemes megadni a válaszokat. Erre vonatkozóan a megoldás részletes eligazítást ad, amelyet a csoport képességeitől függően beszéljünk meg a tanulókkal. VI. Síkgeometria VI.11. Torony-Ház-Tető 1.oldal/
2 Gyengébb képességű csoport esetén mindenképpen a tanár segítsen megtalálni a feladatok megoldásához szükséges ötletet, aztán a tanulók dolgozzák ki a számításokat. Jobb képességű csoportok esetén az első feladat közös megoldása után a tanulók önállóan (egyedül vagy csoportosan) is megpróbálkozhatnak a további feladatokkal, a megoldás során tapasztaltakat azonban minden esetben beszéljék meg közösen is! Mindenképpen ki kell térni a szinusztétel legnagyobb buktatójára, hogy ugyanis (a koszinusztétellel ellentétben) a 0 és a 180 között két olyan szög is van, melyeknek szinusza azonos, ezért a szinusztételt ismeretlen szögek keresésére csak kellő körültekintéssel szabad használni. Hangsúlyozandó továbbá, hogy ismeretlen oldalak esetén ez a probléma nem merül fel, ilyen esetekben a szinusztétel biztonságosan és rendszerint a koszinusztételnél egyszerűbben alkalmazható. Arra is fel kell hívni a tanulók figyelmét, hogy bizonyos esetekben viszont éppen a koszinusztételt lehet egyszerűbben alkalmazni. Érdemes többféle megoldási lehetőséget is bemutatni. A feladatsor megoldása során érdemes megfigyelni a térbeli helyzet szöveg alapján való helyes elképzelésének készségét, vagyis azt, hogy tudnak-e a tanulók a feladatnak megfelelő ábrát készíteni. Fontos továbbá ellenőrizni a térbeli helyzet látványszerű ábrázolásának készségét, valamint a szögfüggvények, szinusz- és koszinusztétel használatában való jártasságát. Ez a feladatsor lehetőséget ad arra is, hogy ellenőrizzük a tanulók realitásérzékét az eredmények megadásánál. VI. Síkgeometria VI.11. Torony-Ház-Tető 2.oldal/
3 TORONY-HÁZ-TETŐ Feladat sor 1. Megmérjük egy torony árnyékának hosszát, ez 10,5 méternek adódik. Tudjuk továbbá, hogy a napsugarak ekkor kb. 75 o -os szögben érik a talajt. Milyen magas a torony? 2. Egy tízemeletes ház legfelső emeletének ablakából kilógatunk egy 30 méter hosszúságú kötelet. Ha a kötelet megfeszítve a végét a talajhoz rögzítjük, akkor a kötél 8 o -os szögben hajlik a talajhoz. Milyen magasan van az ablak? 3. Egy ház háromszög alakú tetőszerkezete kissé aszimmetrikus, az északi oldalon a tető dőlésszöge (α) nagyobb, mint a délin (β). Lásd az ábrát! C A α γ β B Tudjuk, hogy az északi oldalon AC = 4,0 m, α = 55,0, a déli oldalon pedig β = 32,0. a) Mekkora a tetőszerkezet magassága, azaz a C pont távolsága az AB alaptól? b) Mekkora a déli oldalon mért BC hossz? c) Mekkora a tető teljes AB szélessége? 4. Cseréljünk most meg egy ismert és egy ismeretlen adatot: legyen az AC oldal 4,0 m, a BC oldal,0 m és az AC oldal dőlésszöge α = 55,0. Keressük a BC oldal β dőlésszögét! 5. Legyenek most adva a következő adatok: AC = 4 m, BC = m, γ = 140. Keressük a tető AB szélességét! VI. Síkgeometria VI.11. Torony-Ház-Tető 3.oldal/
4 MEGOLDÁSOK t 1. Legyen a torony magassága t. tg75, ebből t 10,5 tg75 39, 2 (m). 10,5 Tehát 39,2 méter magas a torony. [a) ábra.] Természetesen a kapott eredmény pontossága kérdéses. A fenti számolás során az adatokat pontos értékeknek feltételezve számoltunk, s a végeredményt egy tizedesjegyre kerekítettük. Ha a 10,5 tized méter és a mért szög fok pontosságú adat, akkor az árnyék l hosszúsága 10,45 l 10, 55 és az α szögre 74,5 75, 5. A két szélső értékkel számolva 10,45 tg74,5 h 10,55 tg75, 5, azaz egy tizedesjegy pontossággal 37, h 40, 8. Vagyis dm és fok pontosságú mérés esetén körülbelül 1, méteres pontossággal mondható, hogy a torony 39,2 m magas. A végeredményt helyesen így érdemes megadni: a torony 39,2 1, m magas. Ha a kiindulási adatok l = 10,50 m és α = 75,0, akkor a végeredményben h = 39,2 0,1 m, tehát sokkal pontosabb! a) b) t 2. Jelöljük az ablak földtől számított távolságát t-vel. Erre teljesül, hogysin Ebből t 30 sin 8 27, 8 (m). Tehát 27,8 m magasan van az ablak. [b) ábra.] Az előző példához hasonlóan, ha a kötél k hosszát méterben mérve 29,5 k 30, 5 és a mért α szögre 7,5 α 8, 5, akkor az ablak t magasságára 29,5 sin 7,5 t 30,5 sin 8, 5, azaz 27,3 t 28, 4. (Mivel a szinuszfüggvény ezen az intervallumon monoton nő, ezért a szorzat minimális, ha a szög és a hossz is minimális, és maximális, ha mindkettő maximális.) Az ablak magassága tehát körülbelül 27,8 0,5 méter. Ha a mért adatok ennél pontosabbak, azaz k = 30,0 m és α = 8,0, akkor 27,8 t 27, 9. VI. Síkgeometria VI.11. Torony-Ház-Tető 4.oldal/
5 3. a) Először oldjuk meg a feladatot derékszögű háromszögekkel. Bontsuk a tető háromszögét két derékszögű háromszögre az AB alaphoz tartozó h magassággal! C A 4 m x h s 1 T s 2 B Az ATC háromszögben a szinuszfüggvény segítségével meghatározható: h 4 sin 55 3,28. Tehát a keresett magasság 3,28 m. Ennyi lenne a végeredmény, ha feltételezzük, hogy az adatok pontosak voltak, s a végeredményt két tizedesre kerekítjük. A bemenő adatok pontosságát figyelembe véve 3,95 sin 54,95 h 4,05 sin 55, 05, vagyis 3,23 h 3, 32, vagyis a magasság tényleg körülbelül 3,28 m, de helyesebb, ha jelezzük, hogy ±0,05 m pontossággal. b) Hasonlóan a BTC háromszögben: h x sin 32, ebből x-et kifejezve: h 3,28 x,19 (m), tehát BC =,19 m. sin 32 sin 32 A bemenő adatok pontosságát figyelembe véve azaz,1 x, 3. Ezek szerint BC,2 m. 3,95 sin 54,95 4,05 sin 55,05 x, sin 32,05 sin 31,95 c) Az ATC háromszögben szinuszfüggvény segítségével meghatározható: s 4 cos55 2,29 (m), továbbá 1 h 3,28 s 2 5,25 (m). tg 32 tg 32 A teljes AB szélesség tehát s 1 + s 2 7,54 m. Hibahatárokat figyelembe véve: 3,95 sin 54,95 3,95 cos55,05 s 1 s2 tg32, ,05 sin 55,05 4,05 cos54,95, azaz tg31,95,4 s s 7,7. A teljes AB szélesség tehát körülbelül 7,55 m. 4. Az ATC háromszögben a szinuszfüggvény segítségével meghatározható: h 4 sin 55 h ( 3,28). Hasonlóan a BTC háromszögben: h sin, ebből sin. Az előző 4sin 55 egyenlőségből ide h értékét behelyettesítve: sin 0,541, amiből 33. VI. Síkgeometria VI.11. Torony-Ház-Tető 5.oldal/
6 5. A kézenfekvő megoldás a koszinusztétel: c 4 2 4cos140 c 9,42 m. 4 m m 140 α c β A feladat azonban megoldható kizárólag szinusztétellel is, igaz, ehhez ismernünk kell a trigonometrikus addíciós tételeket: β = α = 40 α sin 40 4 sin sin 40 cos cos 40 sin 4 sin cos sin 4 sin 40 cos 40 sin sin sin 40 ctg cos cos40 ctg 3 2,2289, ebből pedig 24,1. sin 40 Innen egy újabb szinusztétellel: sin140 c, s ebből c 9,42 m. sin 24,1 Tekintve, hogy a trigonometrikus addíciós képletek levezetéséhez nincs szükség a koszinusztételre, kimondhatjuk, hogy az általános háromszögre vonatkozó feladatokat a koszinusztétel teljes hiányában is meg lehetne oldani, legfeljebb kicsit bonyolultabban. Hasonlóképpen azonban azt is be lehet bizonyítani, hogy a szinusztétel is körbekerülhető, azaz helyettesíthető több koszinusztétellel. Így az általános háromszögek trigonometriájának e két fő tétele egymással párhuzamosan létezik, egyik sem előfeltétele a másiknak, mindig az adott feladatra kényelmesebben alkalmazhatót kell elővenni, amint azt egyes korábbi feladatok megoldása közben már tapasztaltuk. VI. Síkgeometria VI.11. Torony-Ház-Tető.oldal/
Komplex számok. 2014. szeptember 4. 1. Feladat: Legyen z 1 = 2 3i és z 2 = 4i 1. Határozza meg az alábbi kifejezés értékét!
Komplex számok 014. szeptember 4. 1. Feladat: Legyen z 1 i és z 4i 1. (z 1 z ) (z 1 z ) (( i) (4i 1)) (6 9i 8i + ) 8 17i 8 + 17i. Feladat: Legyen z 1 i és z 4i 1. Határozza meg az alábbi kifejezés értékét!
VII.10. TORNYOSULÓ PROBLÉMÁK. A feladatsor jellemzői
VII.10. TORNYOSULÓ PROBLÉMÁK Tárgy, téma A feladatsor jellemzői Szögfüggvények a derékszögű háromszögben. A szinusztétel és a koszinusztétel alkalmazása gyakorlati problémák megoldásában. Előzmények Szinusz-
Számelméleti feladatok az általános iskolai versenyek tükrében dr. Pintér Ferenc, Nagykanizsa
Számelméleti feladatok az általános iskolai versenyek tükrében dr. Pintér Ferenc, Nagykanizsa 1. Mutasd meg, hogy a tízes számrendszerben felírt 111111111111 tizenhárom jegyű szám összetett szám, azaz
5. Trigonometria. 2 cos 40 cos 20 sin 20. BC kifejezés pontos értéke?
5. Trigonometria I. Feladatok 1. Mutassuk meg, hogy cos 0 cos 0 sin 0 3. KöMaL 010/október; C. 108.. Az ABC háromszög belsejében lévő P pontra PAB PBC PCA φ. Mutassuk meg, hogy ha a háromszög szögei α,
9. modul Szinusz- és koszinusztétel. Készítette: Csákvári Ágnes
9. modul Szinusz- és koszinusztétel Készítette: Csákvári Ágnes Matematika A 11. évfolyam 9. modul: Szinusz- és koszinusztétel Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási
Egy emelt szintű érettségi feladat kapcsán Ábrahám Gábor, Szeged
Egy emelt szintű érettségi feladat kapcsán Ábrahám Gábor, Szeged A 01. május 8.-i emelt szintű matematika érettségin szerepelt az alábbi feladat. Egy háromszög oldalhosszai egy számtani sorozat egymást
2. előadás: További gömbi fogalmak
2 előadás: További gömbi fogalmak 2 előadás: További gömbi fogalmak Valamely gömbi főkör ívének α azimutja az ív egy tetszőleges pontjában az a szög, amit az ív és a meridián érintői zárnak be egymással
Segédlet a menetes orsó - anya feladathoz Összeállította: Dr. Kamondi László egyetemi docens, tárgyelőadó Tóbis Zsolt tanszéki mérnök, feladat felelős
Segélet a menetes orsó - anya felaathoz Összeállította: Dr. Kamoni László egyetemi ocens, tárgyelőaó Tóbis Zsolt tanszéki mérnök, felaat felelős Terhelhetőségi vizsgálat Az ismert geometriai méretek, és
Analízisfeladat-gyűjtemény IV.
Oktatási segédanyag a Programtervező matematikus szak Analízis. című tantárgyához (003 004. tanév tavaszi félév) Analízisfeladat-gyűjtemény IV. (Függvények határértéke és folytonossága) Összeállította
A gyakorlatok HF-inak megoldása Az 1. gyakorlat HF-inak megoldása. 1. Tagadások:
. Tagadások: A gyakorlatok HF-inak megoldása Az. gyakorlat HF-inak megoldása "Nem észak felé kell indulnunk és nem kell visszafordulnunk." "Nem esik az es, vagy nem fúj a szél." "Van olyan puha szilva,
Fizikaverseny, Döntő, Elméleti forduló 2013. február 8.
Fizikaverseny, Döntő, Elméleti forduló 2013. február 8. 1. feladat: Az elszökő hélium Több helyen hallhattuk, olvashattuk az alábbit: A hélium kis móltömege miatt elszökik a Föld gravitációs teréből. Ennek
Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Analízis I. példatár. (kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény
Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR Analízis I. példatár kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény Összeállította: Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia Miskolc, 013. Köszönetnyilvánítás
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2007. október 25. EMELT SZINT I.
1) x x MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 007. október 5. EMELT SZINT I. a) Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenletet! (5 pont) b) Oldja meg a valós számpárok halmazán az alábbi egyenletrendszert! lg x
Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István. tankönyv. Mozaik Kiadó Szeged, 2013
Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István tankönyv 0 Mozaik Kiadó Szeged, 03 TARTALOMJEGYZÉK Gondolkodási módszerek. Mi következik ebbõl?... 0. A skatulyaelv... 3. Sorba rendezési
A 2011/2012. tanévi FIZIKA Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első fordulójának feladatai és megoldásai fizikából. I.
Oktatási Hivatal A 11/1. tanévi FIZIKA Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első fordulójának feladatai és megoldásai fizikából I. kategória A dolgozatok elkészítéséhez minden segédeszköz használható.
MATEMATIKA TANTERV Bevezetés Összesen: 432 óra Célok és feladatok
MATEMATIKA TANTERV Bevezetés A matematika tanítását minden szakmacsoportban és minden évfolyamon egységesen heti három órában tervezzük Az elsı évfolyamon mindhárom órát osztálybontásban tartjuk, segítve
MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ
Matematika emelt szint 0 ÉRETTSÉGI VIZSGA 00. február. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Matematika emelt szint Fontos tudnivalók Formai
MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ
Matematika emelt szint 1613 ÉRETTSÉGI VIZSGA 016. május 3. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fontos tudnivalók Formai előírások:
4. modul Poliéderek felszíne, térfogata
Matematika A 1. évfolyam 4. modul Poliéderek felszíne, térfogata Készítette: Vidra Gábor Matematika A 1. évfolyam 4. modul: POLIÉDEREK FELSZÍNE, TÉRFOGATA Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott
MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ
Matematika emelt szint 0613 ÉRETTSÉGI VIZSGA 007. május 8. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Formai előírások: Fontos tudnivalók
MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ
Matematika középszint 1413 ÉRETTSÉGI VIZSGA 015. május 5. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fontos tudnivalók Formai előírások:
MATEMATIKA A és B variáció
MATEMATIKA A és B variáció A Híd 2. programban olyan fiatalok vesznek részt, akik legalább elégséges érdemjegyet kaptak matematikából a hatodik évfolyam végén. Ezzel együtt az adatok azt mutatják, hogy
Ady Endre Líceum Nagyvárad XII.C. Matematika Informatika szak ÉRINTVE A GÖRBÉT. Készítette: Szigeti Zsolt. Felkészítő tanár: Báthori Éva.
Ady Endre Líceum Nagyvárad XII.C. Matematika Informatika szak ÉRINTVE A GÖRBÉT Készítette: Szigeti Zsolt Felkészítő tanár: Báthori Éva 2010 október Dolgozatom témája a különböző függvények, illetve mértani
Trigonometria. Szögfüggvények alkalmazása derékszög háromszögekben. Szent István Egyetem Gépészmérnöki Kar Matematika Tanszék 1
Szent István Egyetem Gépészmérnöki Kar Matematika Tanszék 1 Trigonometria Szögfüggvények alkalmazása derékszög háromszögekben 1. Az ABC hegyesszög háromszögben BC = 14 cm, AC = 1 cm, a BCA szög nagysága
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2008. október 21. KÖZÉPSZINT I.
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 008. október 1. KÖZÉPSZINT I. 1) Adja meg a 4 egyjegyű pozitív osztóinak halmazát! A keresett halmaz: {1 4 6 8}. ) Hányszorosára nő egy cm sugarú kör területe, ha a sugarát háromszorosára
43. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY MEGYEI FORDULÓ HETEDIK OSZTÁLY JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ
43. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY MEGYEI FORDULÓ HETEDIK OSZTÁLY JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ 1. Alfa tanár úr 5 tanulót vizsgáztatott matematikából. Az elért pontszámokat véletlen sorrendben írta
NYUGAT-MAGYARORSZÁGI EGYETEM Faipari Mérnöki Kar. Mőszaki Mechanika és Tartószerkezetek Intézet. Dr. Hajdu Endre egyetemi docens MECHANIKA I.
NYUGAT-MAGYARORSZÁGI EGYETEM aipari Mérnöki Kar Mőszaki Mechanika és Tartószerkezetek Intézet Dr Hajdu Endre egyetemi docens MECHANIKA I Sopron 9 javított kiadás TARTALOMJEGYZÉK I Bevezetés a mőszaki mechanika
Tűgörgős csapágy szöghiba érzékenységének vizsgálata I.
Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Gépészmérnöki Kar Tudományos Diákköri Konferencia Tűgörgős csapágy szöghiba érzékenységének vizsgálata I. Szöghézag és a beépítésből adódó szöghiba vizsgálata
Általános statisztika II. Kriszt, Éva Varga, Edit Kenyeres, Erika Korpás, Attiláné Csernyák, László
Általános statisztika II Kriszt, Éva Varga, Edit Kenyeres, Erika Korpás, Attiláné Csernyák, László Általános statisztika II Kriszt, Éva Varga, Edit Kenyeres, Erika Korpás, Attiláné Csernyák, László Publication
MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS EMELT SZINT
MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS EMELT SZINT I. rész: Az alábbi 4 feladat megoldása kötelező volt! 1) Egy idegen nyelvekkel kapcsolatos online kérdőívet hetven SG-s töltött ki. Tudja, hogy minden
MATEMATIKA I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY A) KOMPETENCIÁK
MATEMATIKA I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY Az érettségi követelményeit két szinten határozzuk meg: - középszinten a mai társadalomban tájékozódni és alkotni tudó ember matematikai ismereteit kell
Matematikai és matematikai statisztikai alapismeretek
Kézirat a Matematikai és matematikai statisztikai alapismeretek című előadáshoz Dr. Győri István NEVELÉSTUDOMÁNYI PH.D. PROGRM 1999/2000 1 1. MTEMTIKI LPOGLMK 1.1. Halmazok Halmazon mindig bizonyos dolgok
1. BEVEZETÉS. - a műtrágyák jellemzői - a gép konstrukciója; - a gép szakszerű beállítása és üzemeltetése.
. BEVEZETÉS A korszerű termesztéstechnológia a vegyszerek minimalizálását és azok hatékony felhasználását célozza. E kérdéskörben a növényvédelem mellett kulcsszerepe van a tudományosan megalapozott, harmonikus
Megoldások, megoldás ötletek (Jensen-egyenlőtlenség)
Megoldások, megoldás ötletek (Jensen-egyenlőtlenség) Mivel az f : 0; ; x sin x folytonos az értelmezési tartományán, ezért elég azt belátni, hogy szigorúan gyengén konkáv ezen az intervallumon Legyen 0
KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 5 V ELEmI ALGEbRA 1 BINÁRIS műveletek Definíció Az halmazon definiált bináris művelet egy olyan függvény, amely -ből képez -be Ha akkor az elempár képét jelöljük -vel, a művelet
Matematikai programozás gyakorlatok
VÁRTERÉSZ MAGDA Matematikai programozás gyakorlatok 2003/04-es tanév 1. félév Tartalomjegyzék 1. Számrendszerek 3 1.1. Javasolt órai feladat.............................. 3 1.2. Javasolt házi feladatok.............................
Gépelemek szerelésekor, gyártásakor használt mérőezközök fajtái, használhatóságuk a gyakorlatban
Molnár István Gépelemek szerelésekor, gyártásakor használt mérőezközök fajtái, használhatóságuk a gyakorlatban A követelménymodul megnevezése: Gépelemek szerelése A követelménymodul száma: 0221-06 A tartalomelem
Széchenyi István Egyetem. Alkalmazott Mechanika Tanszék
Széchenyi István Egyetem Szerkezetek dinamikája Alkalmazott Mechanika Tanszék Elméleti kérdések egyetemi mesterképzésben (MSc) résztvev járm mérnöki szakos hallgatók számára 1. Merev test impulzusának
MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ
Matematika emelt szint 05 ÉRETTSÉGI VIZSGA 006. május 9. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Formai előírások: Fontos tudnivalók A dolgozatot
EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK, EGYENLETRENDSZEREK
X. Témakör: feladatok 1 Huszk@ Jenő X.TÉMAKÖR EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK, EGYENLETRENDSZEREK Téma Egyenletek, egyenlőtlenségek grafikus megoldása Egyszerűbb modellalkotást igénylő, elsőfokú egyenletre
MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ
Matematika emelt szint 051 ÉRETTSÉGI VIZSGA 007. május 8. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Formai előírások: Fontos tudnivalók
Az indukció. Azáltal, hogy ezt az összefüggést felírtuk, ezúttal nem bizonyítottuk, ez csak sejtés!
Az indukció A logikában indukciónak nevezzük azt a következtetési módot, amelyek segítségével valamely osztályon belül az egyes esetekb l az általánosra következtetünk. Például: 0,, 804, 76, 48 mind oszthatóak
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2006. május 9. EMELT SZINT
) A PQRS négyszög csúcsai: MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 006. május 9. EMELT SZINT P 3; I., Q ;3, R 6; és S 5; 5 Döntse el, hogy az alábbi három állítás közül melyik igaz és melyik hamis! Tegyen * jelet a táblázat
Vektorszámítás Fizika tanárszak I. évfolyam
Vektorszámítás Fizika tanárszak I. évfolyam Lengyel Krisztián TARTALOMJEGYZÉK Tartalomjegyzék. Deriválás.. Elmélet........................................... Deriválási szabályok..................................
MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ
Matematika emelt szint 113 ÉRETTSÉGI VIZSGA 015. május 5. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Formai előírások: Fontos tudnivalók
Középszintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: 2005. november. I. rész
Pataki János, 005. november Középszintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: 005. november I. rész. feladat Egy liter 0%-os alkoholhoz / liter 40%-os alkoholt keverünk.
Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály, középszint
TÁMOP-.1.4-08/2-2009-0011 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály, középszint Vasvár,
Az ablakos problémához
1 Az ablakos problémához A Hajdu Endre által felvetett, egy ablak akadályoztatott kinyitásával kapcsolatos probléma a következő. Helyezzünk el egy d oldalhosszúságú, álló, négyzet alapú egyenes hasábot
MATEMATIKA ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI-FELVÉTELI FELADATOK 2003. május 19. du. JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ
MATEMATIKA ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI-FELVÉTELI FELADATOK 00 május 9 du JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ Oldja meg a rendezett valós számpárok halmazán az alábbi egyenletrendszert! + y = 6 x + y = 9 x A nevezők miatt az alaphalmaz
10.3. A MÁSODFOKÚ EGYENLET
.. A MÁSODFOKÚ EGYENLET A másodfokú egenlet és függvén megoldások w9 a) ( ) + ; b) ( ) + ; c) ( + ) ; d) ( 6) ; e) ( + 8) 6; f) ( ) 9; g) (,),; h) ( +,),; i) ( ) + ; j) ( ) ; k) ( + ) + 7; l) ( ) + 9.
Méréssel kapcsolt 3. számpélda
Méréssel kapcsolt 3. számpélda Eredmények: m l m 1 m 3 m 2 l l ( 2 m1 m2 m l = 2 l2 ) l 2 m l 3 = m + m2 m1 Méréssel kapcsolt 4. számpélda Állítsuk össze az ábrán látható elrendezést. Használjuk a súlysorozat
FOLYTONOS TESTEK. Folyadékok sztatikája. Térfogati erők, nyomás. Hidrosztatikai nyomás. www.baranyi.hu 2010. szeptember 19.
FOLYTONOS TESTEK Folyadékok sztatikája Térfogati erők, nyomás A deformáció szempontjából a testre ható erőket két csoportba soroljuk. A térfogati erők a test minden részére, a belső részekre és a felületi
6. modul Egyenesen előre!
MATEMATIKA C 11 évfolyam 6 modul Egyenesen előre! Készítette: Kovács Károlyné Matematika C 11 évfolyam 6 modul: Egyenesen előre! Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási
Lakóház építtetőknek a tervezési programról.
Lakóház építtetőknek a tervezési programról. A tervezési program viszonylag új intézmény az építészeti tervezési gyakorlatban. Ezt jól jelzi az is, hogy általában az építtetők nem ismerik, de a tervezők
Hossó Aranka Márta. Matematika. pontozófüzet. a speciális szakiskola 9 10. osztálya számára összeállított. Felmérő feladatokhoz. Novitas Kft.
Hossó Aranka Márta Matematika pontozófüzet a speciális szakiskola 9 10. osztálya számára összeállított Felmérő feladatokhoz Novitas Kft. Debrecen, 2007 Összeállította: Hossó Aranka Márta Kiadja: Pedellus
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett
MATEMATIKA GYAKORLÓ FELADATGYŰJTEMÉNY
MATEMATIKA GYAKORLÓ FELADATGYŰJTEMÉNY (Kezdő 9. évfolyam) A feladatokat a Borbás Lászlóné MATEMATIKA a nyelvi előkészítő évfolyamok számára című könyv alapján állítottuk össze. I. Számok, műveletek számokkal.
Matematika felvételi feladatok bővített levezetése 2013 (8. osztályosoknak)
Matematika felvételi feladatok bővített levezetése 2013 (8. osztályosoknak) Erre a dokumentumra az Edemmester Gamer Blog kiadványokra vonatkozó szabályai érvényesek. 1. feladat: Határozd meg az a, b és
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Trigonometria
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Trigonometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
Számlakészítés a SPRINT programmal
Számlakészítés a SPRINT programmal A jelen dokumentáció leírás a 2016. január 1 után kiadott SPRINT programmal végezhető számlakészítéshez. A dokumentáció nem tartalmazza a SPRINT program telepítési módjait
Példa: 5 = = negatív egész kitevő esete: x =, ha x 0
Ha mást em moduk, szám alatt az alábbiakba, midig alós számot értük. Műeletek összeadás: Példa: ++5 tagok: amiket összeaduk, az előző éldába a, az és az 5 szorzás: Példa: 5 téezők: amiket összeszorzuk,
A NŐK GAZDASÁGI AKTIVITÁSA ÉS FOGLALKOZTATOTTSÁGA*
A NŐK GAZDASÁGI AKTIVITÁSA ÉS FOGLALKOZTATOTTSÁGA* NAGY GYULA A tanulmány a magyarországi gazdasági átalakulás nyomán a nők és a férfiak munkaerőpiaci részvételében és foglalkoztatottságában bekövetkezett
Budapest 2011. április
TÁMOP - 5.5.5/08/1 A diszkrimináció elleni küzdelem a társadalmi szemléletformálás és hatósági munka erősítése A férfiak és nők közötti jövedelemegyenlőtlenség és a nemi szegregáció a mai Magyarországon
MATEMATIKA Kiss Árpád Országos Közoktatási Szolgáltató Intézmény Vizsgafejlesztő Központ
MATEMATIKA Kiss Árpád Országos Közoktatási Szolgáltató Intézmény Vizsgafejlesztő Központ I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY Az érettségi követelményeit két szinten határozzuk meg: középszinten a
Trigonometria Megoldások. 1) Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán! (12 pont) Megoldás:
Trigonometria Megoldások ) Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán! cos + cos = sin ( pont) sin cos + = + = ( ) cos cos cos (+ pont) cos + cos = 0 A másodfokú egyenlet megoldóképletével
Háromszögek ismétlés Háromszög egyenlőtlenség(tétel a háromszög oldalairól.) Háromszög szögei (Belső, külső szögek fogalma és összegük) Háromszögek
2013. 11.19. Háromszögek ismétlés Háromszög egyenlőtlenség(tétel a háromszög oldalairól.) Háromszög szögei (Belső, külső szögek fogalma és összegük) Háromszögek csoportosítása szögeik szerint (hegyes-,
Elemzések a gazdasági és társadalompolitikai döntések előkészítéséhez 27. 2001. július. Budapest, 2002. április
Elemzések a gazdasági és társadalompolitikai döntések előkészítéséhez 27. 2001. július Budapest, 2002. április Az elemzés a Miniszterelnöki Hivatal megrendelésére készült. Készítette: Gábos András TÁRKI
Kinematika 2016. február 12.
Kinematika 2016. február 12. Kinematika feladatokat oldunk me, szamárháromszö helyett füvényvizsálattal. A szamárháromszöel az a baj, hoy a feladat meértése helyett valami szabály formális használatára
Minta 1. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI FELADATSOR. I. rész
1. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI FELADATSOR I. rész A feladatok megoldására 45 perc fordítható, az idő leteltével a munkát be kell fejeznie. A feladatok megoldási sorrendje tetszőleges. A feladatok megoldásához
Trigonometria Megoldások. 1) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( )
Trigonometria Megoldások Trigonometria - megoldások ) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( ) akkor a háromszög egyenlő szárú vagy derékszögű!
Elsôfokú egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek
Elsôfokú egyváltozós egyenletek 6 Elsôfokú egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek. Elsôfokú egyváltozós egyenletek 000. Érdemes egyes tagokat, illetve tényezôket alkalmasan csoportosítani, valamint
területi Budapesti Mozaik 13. Idősödő főváros
területi V. évfolyam 15. szám 211. március 9. 211/15 Összeállította: Központi Statisztikai Hivatal www.ksh.hu i Mozaik 13. Idősödő főváros A tartalomból 1 A népesség számának és korösszetételének alakulása
Próba érettségi feladatsor 2008. április 11. I. RÉSZ
Név: osztály: Próba érettségi feladatsor 2008 április 11 I RÉSZ Figyelem! A dolgozatot tollal írja; az ábrákat ceruzával is rajzolhatja A megoldást minden esetben a feladat szövege melletti keretbe írja!
LINEÁRIS ALGEBRA PÉLDATÁR MÉRNÖK INFORMATIKUSOKNAK
Írta: LEITOLD ADRIEN LINEÁRIS ALGEBRA PÉLDATÁR MÉRNÖK INFORMATIKUSOKNAK Egyetemi tananyag COPYRIGHT: Dr. Leitold Adrien Pannon Egyetem Műszaki Informatika Kar Matematika Tanszék LEKTORÁLTA: Dr. Buzáné
Elektromágneses terek gyakorlat - 6. alkalom
Elektromágneses terek gyakorlat - 6. alkalom Távvezetékek és síkhullám Reichardt András 2015. április 23. ra (evt/hvt/bme) Emt2015 6. alkalom 2015.04.23 1 / 60 1 Távvezeték
TERÜLETI MÉRÉSÜGYI ÉS MŰSZAKI BIZTONSÁGI HATÓSÁG. u. hsz.: hrsz.: Tanúsítás (gyártási engedély) száma: Besorolási nyomás (bar):
TERÜLETI MÉRÉSÜGYI ÉS MŰSZAKI BIZTONSÁGI HATÓSÁG MAGYAR KERESKEDELMI ENGEDÉLYEZÉSI HIVATAL......................................... Nyomástartó berendezés bejelentőés nyilvántartó lap BNy Adatszolgáltató
KÖZLEKEDÉSI ALAPISMERETEK (KÖZLEKEDÉSTECHNIKA)
ÉRETTSÉGI VIZSGA 2016. május 18. KÖZLEKEDÉSI ALAPISMERETEK (KÖZLEKEDÉSTECHNIKA) KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2016. május 18. 8:00 Az írásbeli vizsga időtartama: 180 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati
S T A T I K A. Az összeállításban közremûködtek: Dr. Elter Pálné Dr. Kocsis Lászlo Dr. Ágoston György Molnár Zsolt
S T A T I K A Ez az anyag az "Alapítvány a Magyar Felsôoktatásért és Kutatásért" és a "Gépészmérnök Képzésért Alapítvány" támogatásával készült a Mûszaki Mechanikai Tanszéken kísérleti jelleggel, hogy
Az 5-2. ábra két folyamatos jel (A és B) azonos gyakoriságú mintavételezését mutatja. 5-2. ábra
Az analóg folyamatjeleken - mielőtt azok további feldolgozás (hasznosítás) céljából bekerülnének a rendszer adatbázisába - az alábbi műveleteket kell elvégezni: mintavételezés, átkódolás, méréskorrekció,
MUNKAERŐ-PIACI ESÉLYEK, MUNKAERŐ-PIACI STRATÉGIÁK 1
GYÖRGYI ZOLTÁN MUNKAERŐ-PIACI ESÉLYEK, MUNKAERŐ-PIACI STRATÉGIÁK 1 Bevezetés Átfogó statisztikai adatok nem csak azt jelzik, hogy a diplomával rendelkezők viszonylag könynyen el tudnak helyezkedni, s jövedelmük
MATEMATIKA KOMPETENCIATERÜLET A
MATEMATIKA KOMPETENCIATERÜLET A Matematika 7. évfolyam TANULÓI MUNKAFÜZET 2. félév A kiadvány KHF/4002-17/2008 engedélyszámon 2008. 08. 18. időponttól tankönyvi engedélyt kapott Educatio Kht. Kompetenciafejlesztő
MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ
Matematika középszint 161 ÉRETTSÉGI VIZSGA 016. május. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fontos tudnivalók Formai előírások:
Roncsolás-mentes diagnosztika
PTE Pollack Mihály Műszaki és Informatikai Kar 7624 Pécs, Boszorkány út 2. Roncsolás-mentes diagnosztika Építő- és építészmérnök MSc hallgatók részére Az anyagot összeállította: Balogh Tamás e. tanársegéd
ÉPÍTÉSZETI ÉS ÉPÍTÉSI ALAPISMERETEK
ÉRETTSÉGI VIZSGA 2012. május 25. ÉPÍTÉSZETI ÉS ÉPÍTÉSI ALAPISMERETEK EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2012. május 25. 8:00 Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati NEMZETI
DEM 28 TLX Turbo elektromos csavarozógép kezelési utasítás
DEM 28 TLX Turbo elektromos csavarozógép kezelési utasítás A csavarozógép a lágy és kemény csavarozási kötésekre különbözőképp reagál. Az érvényes a lágy és kemény csavarozásra egymás között is, mivel
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2009. október 20. EMELT SZINT
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 009. október 0. EMELT SZINT ) Oldja meg az alábbi egyenleteket! a), ahol és b) log 0,5 0,5 7 6 log log 0 I., ahol és (4 pont) (7 pont) log 0,5 a) Az 0,5 egyenletben a hatványozás megfelelő
Érettségi feladatok: Egyenletek, egyenlőtlenségek 1 / 6. 2005. május 29. 13. a) Melyik (x; y) valós számpár megoldása az alábbi egyenletrendszernek?
Érettségi feladatok: Egyenletek, egyenlőtlenségek 1 / 6 Elsőfokú 2005. május 28. 1. Mely x valós számokra igaz, hogy x 7? 13. a) Oldja meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán! x 1 2x 4 2 5 2005.
KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 11 XI LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREk 1 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZER A lineáris egyenletrendszer általános alakja: (1) Ugyanez mátrix alakban: (2), ahol x az ismeretleneket tartalmazó
Feladatok MATEMATIKÁBÓL
Feladatok MATEMATIKÁBÓL a 1. évfolyam számára III. 1. Számítsuk ki a következő hatványok értékét! a) b) 7 c) 5 d) 5 1 e) 6 1 6 f) ( 81 16 ) g) 0,00001 5. Írjuk fel gyökjelekkel a következő hatványokat!
EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA
ÉRETTSÉGI VIZSGA 2016. május 17. FIZIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2016. május 17. 8:00 Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fizika
Egy kétszeresen aszimmetrikus kontytető főbb geometriai adatainak meghatározásáról
1 Egy kétszeresen aszimmetrikus kontytető főbb geometriai adatainak meghatározásáról Korábban már több egyszerűbb tető - alak geometriáját leírtuk. Most egy kicsit nehezebb feladat megoldását tűzzük ki
Lehet vagy nem? Konstrukciók és lehetetlenségi bizonyítások Dr. Katz Sándor, Bonyhád
Dr. Katz Sándor: Lehet vagy nem? Lehet vagy nem? Konstrukciók és lehetetlenségi bizonyítások Dr. Katz Sándor, Bonyhád A kreativitás fejlesztésének legközvetlenebb módja a konstrukciós feladatok megoldása.
Minta 2. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI FELADATSOR
2. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI FELADATSOR A feladatok megoldására 240 perc fordítható, az idő leteltével a munkát be kell fejeznie. A feladatok megoldási sorrendje tetszőleges. A II. részben kitűzött
Az aperturaantennák és méréstechnikájuk
Az aperturaantennák és méréstechnikájuk (tanulmány) Szerzők: Nagy Lajos Lénárt Ferenc Bajusz Sándor Pető Tamás Az aperturaantennák és méréstechnikájuk A vezetékmentes hírközlés, távközlés és távmérés egyik
9. Trigonometria. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! Megoldás:
9. Trigonometria I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! x = cos 150 ; y = sin 5 ; z = tg ( 60 ) (A) z < x < y (B) x < y < z (C) y < x < z (D) z < y
MUNKAANYAG. Földi László. Szögmérések, külső- és belső kúpos felületek mérése. A követelménymodul megnevezése:
Földi László Szögmérések, külső- és belső kúpos felületek mérése A követelménymodul megnevezése: Általános anyagvizsgálatok és geometriai mérések A követelménymodul száma: 0225-06 A tartalomelem azonosító
A.26. Hagyományos és korszerű tervezési eljárások
A.26. Hagyományos és korszerű tervezési eljárások A.26.1. Hagyományos tervezési eljárások A.26.1.1. Csuklós és merev kapcsolatú keretek tervezése Napjainkig a magasépítési tartószerkezetek tervezése a
Síkban polarizált hullámok síkban polarizált lineárisan polarizált Síkban polarizált hullámok szuperpozíciója cirkulárisan polarizált
Síkban polarizált hullámok Tekintsünk egy z-tengely irányában haladó fénysugarat. Ha a tér egy adott pontjában az idő függvényeként figyeljük az elektromos (ill. mágneses) térerősség vektorokat, akkor
Az analízis néhány alkalmazása
Az analízis néhány alkalmazása SZAKDOLGOZAT Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi kar Szerz : Fodor Péter Szak: Matematika Bsc Szakirány: Matematikai elemz Témavezet : Sikolya Eszter, adjunktus
MATEMATIKA FELZÁRKÓZTATÓ TANFOLYAM
MATEMATIKA FELZÁRKÓZTATÓ TANFOLYAM Felhsznált segédletek, példtárk:. Nemzetközi Elıkészítı Int. NEI. Összefoglló feldtgőjtemén ÖF. Szécheni István Fıiskol Távokt. SzIT. Mőszki Fıiskol Példtár MFP Szent