Egy kétszeresen aszimmetrikus kontytető főbb geometriai adatainak meghatározásáról

Méret: px

Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Egy kétszeresen aszimmetrikus kontytető főbb geometriai adatainak meghatározásáról"

Mihály Orosz
9 évvel ezelőtt
Látták:

1 1 Egy kétszeresen aszimmetrikus kontytető főbb geometriai adatainak meghatározásáról Korábban már több egyszerűbb tető - alak geometriáját leírtuk. Most egy kicsit nehezebb feladat megoldását tűzzük ki célul magunk elé. A címben jelzett kétszeres aszimmetriát úgy értjük, hogy a kétszeres szimmetriával bíró alaprajzú téglalap ereszkörvonal ~ rajzú tető síkjai mind eltérő hajlásúak lehetnek. A feladat: a jellemző hosszak, szögek, felszín és térfogat megadása, képletekkel. A tetőre adott: a, b ; α 1, α 2, β 1, β 2. Először rajzoljuk meg a nézeti képeket ld.: 1. ábra! 1. ábra Ezen az ereszvonalakat kék, az ereszsíkból kiemelkedő többi vonalat pirossal rajzoltuk meg. Itt feltüntettünk néhány hossz - és szög - adatot is, melyekre a számítások, illetve az alkalmazások során szükségünk lehet. Például: ~ a C kontycsúcsba becsatlakozó konty - szarufa ( ha van ilyen ) tengelyvonala a függőlegessel δ 1 nagyságú szöget zár be; ~ a nyereg - rész szarufáinak tengelyvonalai a taréjnál γ szöget zárnak be egymással.

A címben jelzett kétszeres aszimmetriát úgy értjük, hogy a kétszeres szimmetriával bíró alaprajzú téglalap ereszkörvonal ~ rajzú tető síkjai mind eltérő hajlásúak lehetnek.

2 2 Az 1. ábra síkbeli viszonyai alapján közvetlenül felírhatjuk az alábbi összefüggéseket: ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) Az ereszsarkoknál berajzolt szögekre fennállnak az alábbiak: Részletezve egy darabig: ( 4 ) ( 5 ) ( 6 ) ( 7 ) ( 8 ) ( 9 ) A nézeti képek alapján írhatjuk, hogy ( 10 ) ( 11 ) ( 12 ) ( 13 ) Most ( 10 ) és ( 11 ) szerint: ( 14 ) Felhasználva, hogy az 1. ábra szerint ( 14 ) és ( 15 ) - tel: innen: ( 15 ) ( 16 ) Majd ( 14 ) és ( 16 ) - tal: ( 17 )

ereszsarkoknál berajzolt szögekre fennállnak az alábbiak: Részletezve egy darabig: ( 4 ) ( 5 ) ( 6 ) ( 7 ) ( 8 )

3 3 Ezután ( 14 ) és ( 16 ) szerint: ( 18 ) Most ( 12 ), ( 13 ) és ( 18 ) - cal: ( 19 ) ( 20 ) A taréj t hossza az 1. ábra szerint: ( 21 ) majd ( 19 ), ( 20 ) és ( 21 ) - gyel:. ( 22 ) Majd ( 8 ), ( 10 ) és ( 12 ) szerint: ( 23 ) Hasonlóan ( 9 ), ( 11 ), ( 12 ) - vel: ( 24 ) Ismét az 1. ábra felülnézeti képével: majd ( 23 ), ( 24 ) és ( 25 ) szerint: ( 25 ) ( 26 ) A teljesen hasonlóan nyerhető további képletek levezetését pl. ψ 2 ~ ét nem részletez - zük. A térbeli helyzetet a 2. ábrán szemléltetjük.

( 22 ) Majd ( 8 ), ( 10 ) és ( 12 ) szerint: ( 23 ) Hasonlóan ( 9 ), ( 11 ), ( 12 ) - vel: ( 24 ) Ismét az 1.

4 4 2. ábra Ez alapján: ( 27 ) ( 28 ) Továbbá: ( 29 ) Hasonlóan: ( 30 ) Ugyanígy: ( 31 ) Hasonlóan: ( 32 )

5 5 Majd az ABC háromszögből: Másképpen eljárva: ( 33 ) ( 34 ) ( 35 ) Most ( 33 ), ( 34 ) és ( 35 ) - tel: ( 36 ) Majd ( 27 ), ( 28 ), ( 29 ) és ( 30 ) - ból: és ( 37 ) ( 38 ) Az élszarufák h hosszára például írhatjuk, hogy: ( 39 ) A tető felszínét úgy határozzuk meg, hogy összegezzük a két háromszög és a két trapéz alakú tetősíkidom területét. Képlettel: ( 40 ) Részletezve: ( 41 ) ( 42 ) Most ( 40 ), ( 41 ) és ( 42 ) - vel: ( 43 )

írhatjuk, hogy: ( 39 ) A tető felszínét úgy határozzuk meg, hogy összegezzük a két háromszög és a két trapéz

6 6 Figyelembe véve, hogy ( 44 ) a ( 43 ) és ( 44 ) képletekkel kapjuk, hogy ( 45 ) Most a ( 10 ), ( 11 ), ( 12 ), ( 13 ) és ( 45 ) képletek szerint: innen: ( 46 ) Majd ( 18 ), ( 22 ) és ( 46 ) - tal: átalakítva: A ( 47 ) képlettel számíthatjuk ki a tető felszínét. ( 47 ) Két speciális eset: S1.) ( * ) Ekkor ( 47 ) és ( * ) - gal: tehát ( 48 ) S2.) ( ** ) Most ( 48 ) és (** ) - gal:

) - tal: átalakítva: A ( 47 ) képlettel számíthatjuk ki a tető felszínét.

7 7 ( 49 ) Ez egy jól ismert eredmény. Most rátérünk a tető térfogatának, pontosabban az ereszsík és a tetősíkok közbezárt térfogatának meghatározására. Ehhez tekintsük a 3. ábrát is! 3. ábra Eszerint a teljes tetőtérfogatot úgy is meghatározhatjuk, hogy a b magasságú hasáb térfo - gatából levonjuk a b 1 és b 2 magasságú tetraéderek ( háromoldalú / négylapú gúlák ) térfo - gatát. Képlettel: ( 50 ) Részletezve: ( 51 ) ( 52 ) Most ( 50 ), ( 51 ) és ( 52 ) - vel:

8 8 Majd ( 18 ), ( 22 ) és ( 53 ) szerint: ( 53 ) ( 54 ) Az ( 54 ) képlettel számíthatjuk ki a tető közbezárt térfogatát. Két speciális eset: S1.) ( * ) Ekkor ( 54 ) és ( * ) - gal: ( 55 ) S2.) ( ** ) Ekkor ( 55 ) és ( ** ) - gal: ( 56 ) Most ott tartunk, hogy a fontosabb összefüggések többségét felírtuk, a tető adott paramé - terei függvényében. Megeshet, hogy ezeken felül még másokra is szükség lehet; azokat a fentiek segítségével állíthatjuk elő. Esetleg más módon. Lássunk erre is egy példát [ 1 ]! Ehhez tekintsük a 4. ábrát is! 4. ábra forrása: [ 1 ]

) ( ** ) Ekkor ( 55 ) és ( ** ) - gal: ( 56 ) Most ott tartunk, hogy a fontosabb összefüggések többségét felírtuk, a tető adott paramé -

9 9 Ezt a hivatkozott könyv Szög merőleges vetülete c. fejezetében találhatjuk. Eszerint az ABC ferde síkú háromszög C csúcsánál lévő φ szöge ψ merőleges vetületé - nek nagyságát kívánjuk meghatározni, számítással. Ehhez az ismert tételt használjuk fel, miszerint ( 57 ) itt ω a ferde sík és a vízszintes sík hajlásszöge. A 4. ábra és ( 57 ) alapján eljárva: ezekkel: mivel Átrendezve: innen: ( 58 ) Az ( 58 ) képlet megfelelője a 2. ábra jelöléseivel, például: ( 59 ) Látjuk, hogy nem biztos, hogy jobban járunk ezzel a képlet - alakkal, mint a fentiekkel. Igaz, ez ízlés dolga is. A részletek kifejtését most már az Olvasóra bízzuk. Megjegyzések: M1. Az aszimmetrikus nyeregtető esetét már megtárgyaltuk egy korábbi dolgozatunkban, melynek címe: Az aszimmetrikus nyeregtető alapösszefüggéseiről. M2. A szimmetrikus kontytető esetét is megtárgyaltuk már egy korábbi dolgozatunkban, melynek címe: A szimmetrikus kontytető adatai közötti összefüggésekről. M3. Megeshet, hogy ugyanazon eredmények a különböző dolgozatainkban más alakban jelennek meg. Ez normális. M4. Mielőtt nekilátnánk a képletek alkalmazásának, győződjünk meg róla, hogy a tényleges geometriai helyzet egyezik - e az itteni ábrák szerintivel! Ezzel kapcsolatban lásd egy korábbi dolgozatunkat is, melynek címe: A kontyolt nyeregtető - alak változása, a tetőhajlás függvényében!

Ehhez az ismert tételt használjuk fel, miszerint ( 57 ) itt ω a ferde sík és a vízszintes sík hajlásszöge. A 4.

10 10 M5. Egy további fontos és érdekes speciális eset az alábbi. S3.) ( *** ) Ez a téglalap alapú gúla ( sátor / torony ) alakú tető esete 5. ábra. 5. ábra Ekkor a felszínt és a térfogatot úgy számítjuk, hogy visszatérünk a ( 46 ) és az ( 53 ) képletekhez, melyekben érvényesítjük ( *** ) - ot. Kiírva: ( 60 ) ( 61 ) Ebben az esetben ~ ( 10 ) és ( 11 ) szerint fennáll, hogy ~ ( *** ) miatt és ( 12 ), ( 13 ) szerint is fennáll, hogy ( 62 ) ( 63 ) Most ( 62 ) és ( 63 ) - ból: ( 64 )

11 11 ( 64 ) szerint írhatjuk, hogy ( 65 ) a ( 65 ) kapcsolat azt fejezi ki, hogy a 6 darab bemenő adat közül már csak 5 darab független, hiszen köztük fennáll a ( *** ) feltétel. A felírható sok képlet - alak közül mi itt az alábbiakat választjuk. Most ( 60 ) és ( 64 ) - gyel: tovább alakítva: most m - nek ( 64 ) szerinti egyik alakját felhasználva: ( 66 ) tovább alakítva kapunk egy lehetséges képlet - alakot: ( 67 ) Specializációk: S 3 / 1.) ( **** ) Most ( 67 ) és ( **** ) szerint: ( 68 ) S 3 / 2.) ( ***** ) Most ( 68 ) és ( ***** ) szerint:

Most ( 60 ) és ( 64 ) - gyel: tovább alakítva: most m - nek ( 64 ) szerinti egyik alakját felhasználva: ( 66 ) tovább alakítva kapunk

12 12 ( 69 ) ismert eredmény adódik. Ezután foglalkozzunk a térfogat - számító képletekkel! Most ( 61 ), ( 62 ), ( 63 ) - mal: ( 70 ) egy másik alakban ( 62 ) és ( 70 ) szerint: ( 71 ) Specializációk: S 3 / 1.) ( **** ) Most ( 71 ) és ( **** ) szerint: ( 72 ) S 3 / 2.) ( ***** ) Most (72) és ( ***** ) szerint: ( 73 ) M6. A számítások során felhasznált, ismertnek tekintett alapképletek például: a gúla térfogat - képlete megtalálhatóak a matematikai kézikönyvekben; lásd pl.: [ 2 ], [ 3 ]! Ezeket érdemes időnként átismételni, akár a levezetésüket is.

) ( **** ) Most ( 71 ) és ( **** ) szerint: ( 72 ) S 3 / 2.) ( ***** ) Most (72) és ( ***** ) szerint: ( 73 ) M6.

13 13 M7. Az itt közölt képletek egyesek számára szörnyűnek tűnhetnek. Ne feledjük, hogy az volt a célunk, hogy a keresett mennyiségeket közvetlenül az adottakkal, ne pedig közbenső mennyiségekkel fejezzük ki. Például a ( 61 ) képlet igen egyszerű, a belőle előálló ( 71 ) már nem annyira. M8. A tetőépítési gyakorlat számára a hossz -, a szög - és a felszín - számító képletek a fontosabbak. A térfogatszámító összefüggések a belsőépítészeti, épületgépészeti, hőtech - nikai feladatok megoldásával foglalkozó szakemberek számára lehetnek hasznosak. Meglehet, hogy saját szakmájuk irodalmában ők sem találják meg gyorsan a szükséges képleteket. Ez a helyzet a magyar ács szakmai irodalommal is, ami szinte nem is létezik. Irodalom: [ 1 ] Ja. P. Ponarin: Elementarnaja geometrija, Tom 2. Moszkva, Izdatyelsztvo MCNMO, [ 2 ] I. N. Bronstejn ~ K. A. Szemengyajev: Matematikai zsebkönyv több kiadásban, Műszaki Könyvkiadó, Budapest [ 3 ] Reiman István: Matematika Typotex, Budapest, Sződliget, Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár

Például a ( 61 ) képlet igen egyszerű, a belőle előálló ( 71 ) már nem annyira. M8. A tetőépítési gyakorlat számára a hossz -, a szög - és a felszín - számító képletek a fontosabbak.

Hasonló dokumentumok

Tető nem állandó hajlású szarufákkal

1 Tető nem állandó hajlású szarufákkal Már korábbi dolgozatainkban is szó volt a címbeli témáról. Most azért vettük újra elő, mert szép és érdekes ábrákat találtunk az interneten, ezzel kapcsolatban, és