Ellipszis perspektivikus képe 2. rész

Átírás

1 1 Ellipszis perspektivikus képe 2. rész Dolgozatunk 1. részében nem mentünk tovább a matematikai kifejtésben. Ezzel mintegy felhagytunk a belső összefüggések feltárásával. A jelen 2. részben megkíséreljük kihozni a témából, amit lehet, durva aránytévesztés nélkül. Az elvégzendő feladat: a kép - ellipszis jellemző adatainak számításos meghatározása. Ez történhet általában képletekkel, vagy konkrétan számszerűen. Kezdjük el, aztán meglátjuk, meddig jutunk el a felfedezésben! A kép - ellipszis egyenletének kanonikus alakra hozása Vizsgálatainkhoz az [ 1 ] munkát választottuk forrásként. A másodrendű görbék általános egyenlete az alábbi: ( 1 ) Ebből kanonikus alakhoz két koordináta - transzformációval juthatunk. Ehhez tekintsük az 1. ábrát is! 1. ábra forrása: [ 1 ] Az I. transzformáció egy párhuzamos eltolás, a II. transzformáció egy forgatás lesz. Ekkor: innen: I. transzformáció ( 2 / 1 )

2 2 ( 2 ) Most ( 2 ) - t ( 1 ) - be helyettesítve: elvégezve a kijelölt műveleteket: ( 3 ) ( 4 ) majd ( 3 ) és ( 4 ) - gyel: ezt x és y hatványai szerint rendezve: ( 5 ) bevezetve az ( 6 ) rövidítő jelölést, ( 5 ) és ( 6 ) - tal: Ha azt akarjuk, hogy a másodrendű görbe egyenletéből x és y eltűnjön, akkor kell, hogy ( 7 ) szerint: ( 8 / 1 ) ( 8 / 2 ) ( 7 ) Utóbbiakat átrendezve: ( 8 / 2 ) ( 8 / 2 ) Ez egy lineáris egyenletrendszer az x 0, y 0 ismeretlenekre, amit a Cramer - szabállyal oldunk meg:

3 3 ( 9 ) Hasonlóképpen: ( 10 ) Az ( x 0, y 0 ) koordinátákkal bíró O pont az eltolt ( és elforgatott ) k. r. - ek új kezdőpont - ja, az eredeti Oxy k. r. - ben megadva, az 1. ábra szerint is. Az I. transzformáció után a másodrendű görbe egyenlete ( 7 ), ( 8 / 1 ), ( 8 / 2 ) - vel: ( 11 ) II. transzformáció Az O x y k. r. - ben a görbe egyenlete még így is írható, ( 11 ) alapján: ( 12 ) Annak érdekében, hogy ( 12 ) - ből eltüntethessük az x y tagot, forgassuk el az x, y tengelykeresztet O körül egy φ szöggel ld. 1. ábra! A forgatási transzformáció egyenleteit a 2. ábra alapján írjuk fel. Eszerint a sík egy P pontjára, a P indexet elhagyva, r = OP - vel: 2. ábra

4 4 ( 13 ) Hasonlóan: ( 14 ) A fordított transzformáció teljesen hasonló úton járva: ( 15 ) ( 16 ) Minthogy most a ( 12 ) - beli x, y - t akarjuk kifejezni x, y - vel, ezért a ( 15 ) és ( 16 ) képleteket alkalmazzuk. Vagyis ( 12 ), ( 15 ) és ( 16 ) - tal: ( 12 ) elvégezve a kijelölt műveleteket az összeadandókban: ( 17 ) utóbbiakat ( 17 ) - be helyettesítve:

5 5 ( 18 ) Új jelölésekkel: Most ( 18 ) és ( 19 ) - cel: ( 19 / 1 ) ( 19 / 2 ) ( 19 / 3 ) ( 20 ) Ha azt akarjuk, hogy ( 20 ) - ból eltűnjön az x y tag, akkor kell, hogy B * = 0 legyen, azaz ( 19 / 2 ) - vel is: ( 21 / 1 ) innen: ( 21 ) A ( 21 ) - ből ( 22 ) szerint számítható φ* szöggel elforgatott O x y k. r. - ben a másodrendű görbe egyenlete ( 20 ) és ( 21 / 1 ) szerint: ( 23 ) Feltéve, hogy ( 24 ) ami az ellipszis esetét jelenti, a képellipszis egyenlete ( 23 ) - ból: ( 25 )

6 6 ezt összehasonlítva az ellipszis kanonikus egyenletével, kapjuk, hogy az ellipszis a* és b* fél tengely - adataira fennáll, hogy ( 26 ) A ( 25 ), ( 26 ) képletek felírásánál feltettük, hogy ( 27 ) Megjegyezzük, hogy [ 1 ] szerint: ha A = C, akkor ( 21 ) - ben cos( 2φ ) = 0. Ugyaninnen: mivel B 0, 2φ 0 és π, így φ 0 és π / 2 között meghatározott. ( Itt φ = φ* veendő! ) Ekkor megeshet, hogy a féltengelyek hosszaira b* > a*, ami vállalható ld. 3. ábra! 3. ábra forrása: [ 1 ] A szög értéke, amely megadja az elforgatott x tengely hajlását, még más úton is meghatározható. ( 21 / 1 ) szerint: a megoldó - képlettel: ( 28 )

7 7 ( 29 ) [ 2 ] szerint az új / elforgatott x tengely m irányhatározóját a ( 28 ) képlet adja meg. Most térjünk rá A * és C * meghatározására! ( 19 / 1 ) és ( 19 / 3 ) - mal: ( 30 ) és ( 31 ) összeadásával: Majd képezve az A * C * ( B *) 2 szorzatot azt kapjuk, hogy ( 30 ) ( 31 ) ( 32 ) ( 33 ) A ( 32 ) és ( 33 ) kifejezések a k. r. elforgatása során változatlanok maradnak: ezek invariáns mennyiségek. Kiszámításukat itt nem részleteztük; ( 30 ) és ( 31 ) alapján végzett hosszú, de nem bonyolult számítással adódnak ezek az eredmények. A * és C * meghatározása A és C ismeretében ( 32 ) és ( 33 ) alapján pl. a következőképpen történhet: ( 34 ) a megoldó - képlettel: ( 35 ) Most ( 34 ) és ( 35 ) - tel: ( 36 )

8 8 ( 35 ) és ( 36 ) összehasonlításából adódik, hogy ( 37 ) Ez azt mutatja, hogy a A * és C * maximális és minimális értékei megegyeznek, ám nem ugyanazon tengelyhez tartozóan. A négyzetgyök előtti ugyanazon a felső előjelhez tartozó mennyiségeket véve, ( 35 ) és ( 36 ) - tal: ( 38 ) ( 39 ) A ( 38 ) és ( 39 ) képletek is megegyeznek a [ 2 ] - beli megfelelőikkel. Most ( 26 ), ( 38 ), ( 39 ) - cel: ( 40 ) hasonlóan: ( 41 ) A ( 40 ) és ( 41 ) képletekből leolvasható, hogy ( 35 ) és ( 36 ) gyökjele előtti alsó előjelhez tartozó választással: ( 42 ) ( 43 )

9 9 A kép - ellipszis f( x, y ) = 0 egyenletének felírása A talált képletek alkalmazásához elő kell állítanunk kép - ellipszisünk ( 1 ) alakú egyenletét, majd azonosítanunk kell a benne szereplő állandókat. Az 1. rész 4. és 5. képletével a kép - ellipszis egy pontjának koordinátái, a K indexet elhagyva: ( 44 ) ( 45 ) Most kifejezzük ( 44 ) - ból és ( 45 ) - ből a b sin( t ) mennyiséget: ( 46 ) hasonlóan: ( 47 ) Majd ( 46 ) és ( 47 ) jobb oldalainak egyenlővé tételével: egyszerűsítve és rendezve: ( 48 ) Ezután ( 47 ) és ( 48 ) - cal: ( 49 ) négyzetre emeléssel és összeadással, tekintettel a ( 50 )

10 10 azonosságra is, kapjuk, hogy: ( 51 ) Rendezve: kifejtve: ( 52 ) Az ( 1 ) szerinti kifejezésnek megfelelően az állandók ( 52 ) - ben: ( k1 ) ( k2 ) ( k3 ) ( k4 ) ( k5 ) ( k6 ) Most ( 9 ) és ( k ) - val: ( 53 ) Hasonlóképpen ( 10 ) és ( k ) - val:

11 11 ( 54 ) Majd ( 28 ) - hoz: ( 55 ) ( 56 ) most ( 28 ), ( 55 ), ( 56 ) - tal: ( 57 ) Ezután ( 6 ), ( k ), ( 53 ), ( 54 ) - gyel:

12 12 ( 58 ) Most ( 12 ) és ( 58 ) szerint: ( 59 ) Ezután ( 38 ) és ( 39 ) - hez: ( 60 ) ( 61 ) Most ( 38 ), ( 56 ), ( 60 ), ( 61 ) szerint: ( 62 ) majd ( 39 ), ( 56 ), ( 60 ), ( 61 ) szerint:. ( 63 )

13 13 Ezután ( 26 ), ( 59 ), ( 62 ) és ( 63 ) - mal: ( 64 ) ( 65 ) Ezzel képlet formájában meghatároztuk a kép - ellipszis minden fontos adatát, a bemenő adatok függvényében. A kanonikus alakú kép - ellipszis előállítása Ehhez az adatok az 1. részből: a = 2 m, b = 1 m ; X C = 10 m, Y C = 10 m, Z C = 10 m. ( A ) Ezekkel: ( p1 ) ( p2 ) ( p 3 ) Most ( 53 ), ( A ) és ( p2 ) - vel: ( E1 )

14 14 Majd ( 54 ), ( A ) és ( p2 ) - vel: ( E2 ) Ezután ( 57 ), ( A ) és ( p ) - vel: az ehhez tarozó szög visszakereséssel: ( E3 ) Majd ( 64 ) és ( 65 ) - tel: ( E4 ) ( E5 )

15 15 Az eredeti és a kanonikus alakra hozott kép - ellipszisek együttes ábrázolása A végrehajtott transzformációk együttes alkalmazásával a kép - ellipszis egyenlete az eredeti Oxy k. r. - ben, a ( 2 / 1 ), ( 13 ) és ( 14 ) képletek együttes alkalmazásával: ( 66 ) ( 67 ) Ezekkel a kép - ellipszis ( 68 ) kanonikus egyenlete így írható át: ( 69 ) Az ( E ) eredményeket ( 69 ) - be helyettesítve megkapjuk a keresett számszerű implicit függvénykapcsolatot, melyet a 4. ábrán ábrázoltunk, az új k. r. - rel együtt. = ábra Most idemásoljuk az előző dolgozatban kapott kép - ellipszist is 5. ábra.

16 16 5. ábra Majd egymásra rajzoltuk a két görbét, ugyanazon k. r. - ben 6. ábra. 6. ábra A 6. ábrán csak egy görbét látunk, mert a piros elfedi a feketét.

17 17 Hogy mindkettőt megrajzoltuk, az a jobb felső sarokban felírt egyenleteikből látható. Ez azt jelenti, hogy a két görbe egybeesik. Megjegyzések: M1. Az ( 52 ) egyenletből kiolvasható, hogy ~ hiszen ellenkező estben nem látnánk rá a tárgy - ellipszisre, mert azzal egy síkban lenne a vetítési centrum; ~ hiszen ellenkező esetben, mellett a C centrum a tárgy - ellipszis fölött körözne, így a vetítősugarak függőlegesek, azaz az OYZ képsíkkal pár - huzamosak lennének, vagyis egy X P = X C, Y P =Y C tárgypontról nem keletkezhetne vetület. M2. ( 21 ), ( k ) és ( A ) szerint: (! ) innen: 065 ( ) ez a korábban kapott ( E3 ) szerinti φ 1 * - gal ilyen összefüggésben áll: Látjuk, hogy a ( 21 ) képlettel való munka nem annyira egyértelmű, mint a ( 28 ) - cal való. Még akkor sem, ha tudjuk, hogy valójában ( 70 ) Úgy tűnik, hogy valamilyen megállapodásra is szükség van / lehet a főtengelyek szögeinek egyértelművé tételéhez, vagy további számításokra. Ezeket elkerülendő inkább a ( 28 ) és ( 29 ) képleteket alkalmazzuk. M3. ( 28 ) és ( 29 ) - cel könnyen igazolható, hogy ( 71 ) vagyis hogy a főtengelyek egyenesei merőlegesek egymásra.

18 18 M4. Többször is utaltunk a 3. ábra furcsa állású ábrájára. Ez a furcsa állás azzal van ösz - szefüggésben, hogy az ún. főtengely - probléma megoldása tehát φ*, valamint a hozzá tartozó A *, C * meghatározása során egy szélsőérték - feladatot oldottunk meg. A me - chanikában pl. síkidomok másodrendű nyomatékainak tanulmányozásánál is találkoztunk ilyen problémával, a főtengelyek k. r. - ének és a fő másodrendű nyomatékok meghatáro - zása során. Szóval itt az ellipszis alakú síkidomnak az x tengelyre a legnagyobb a másodrendű nyomatéka. Az O centrumnak a keresztmetszet súlypontja felel meg. M5. A ( 27 ) képlet utáni idézet a példa megoldása után legalábbis véleményes. A főten - gelyek elhelyezkedésének részletes elemzésével a [ 3 ] mű is foglalkozik; innen vettük a 7. ábrát. 7. ábra forrása: [ 3 ] Itt x, y: a főtengelyek, melyek az x 1, y 1 tengely - rendszer α 0 szögű elforgatásával álltak elő. Az itteni jelölésekkel a ( 72 ) képlet érvényes. Ekkor a ( ) szerint: 065 Esetünkben A I x1, C I y1 > I x1, B I x1y1 > 0, így nálunk a 7. ábra első esete áll fenn. Viszont itt az x tengelyhez a minimális másodrendű nyomaték tartozik: I x = I min. Ez a 6. ábra szemléletének is megfelel. A ( 72 ) képlet jobb oldalán álló korlátozást jeleníti meg grafikusan a 8. ábra. 8. ábra forrása: [ 3 ]

19 19 Ugyanis [ 3 ] - ban így érvelnek: ~ ha akkor így ; ~ ha akkor így ~ ezek szerint elegendő az szögtartományt vizsgálni. ( A 8. ábrán helyett csak jel szerepel. ) M6. Az érdeklődő Olvasó figyelmébe ajánljuk, hogy nézzen utána az itt nem teljesen igazolt állításoknak; pl. azoknak, amelyek a ( 72 ) képlet után szerepelnek, az A, B és C mennyiségekre vonatkozóan. Erre szinte bármely szilárdságtannal foglakozó tankönyv alkalmas, így akár a kiváló [ 3 ] mű is. M7. A végén eszünkbe jutott, hogy talán érdekes lehet kiszámítani a kép - és a tárgy - ellipszis területének arányát: ( 73 ) Most ( 26 ) - tal: ( 74 ) majd ( 33 ) - mal: ( 75 ) ezután ( 74 ) és ( 75 ) - tel: ( 76 ) továbbá ( k ) - val: ( 77 ) így ( 59 ), ( 76 ) és ( 77 ) - tel:

20 20 ( 78 ) Most ( 73 ) és ( 78 ) - cal: tehát képletszerűen: ( 79 ) Számszerűen: ~ ( 79 ) és ( A ) - val: ( E6 / 1 ) ~ ( 73 ), ( E4 ), ( E5 ) és ( A ) - val: ( E6 / 2 ) Az ( E6 / 1 ) és ( E6 / 2 ) eredmények nagyfokú egyezése egyfajta ellenőrzést is adott képleteinkre. Ezek szerint a kép - ellipszis területe mintegy 1,5 % - kal nagyobb, mint a tárgy - ellipszisé. Érdekes fejlemény. Ahogyan az is, hogy ( 79 ) szerint k nem függ a - tól és X C - től, esetünkben.

21 21 Irodalom: [ 1 ] Rudolf Fueter: Analytische Geometrie der Ebene und des Raumes Springer Basel AG 1945., 136 ~ 142. o. [ 2 ] I. N. Bronstejn ~ K. A. Szemengyajev: Matematikai zsebkönyv 2. kiadás, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1963., 265. o. [ 3 ] I. A. Birger ~ R. R. Mavljutov: Szoprotyivlenyije matyerialov Moszkva, Nauka, 1986., 8. fejezet, 30. pont Sződliget, Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár