Ismét egy érdekes mechanizmusról. Az interneten találkoztunk az [ 1 ] művel, benne az 1. ábrával.

Átírás

1 1 Ismét egy érdekes mechanizmusról Az interneten találkoztunk az [ 1 ] művel, benne az 1. ábrával. 1. ábra forrása: [ 1 ] Ennek a számú rajza egy szinuszos mechanizmust ábrázol. Ezzel korábban találkoztunk már; írtunk róla egy dolgozatunkban, melynek címe: Egy érdekes mechanizmusról. Ez úgy működik, hogy egy egyenes körhengert elmetsze - nek egy a keresztmetszetével β szöget bezáró síkkal, majd e ferde síkmetszethez ami egy ellipszis a forgástengelytől R sugárnyira nekitámasztanak egy érintkezőt, más néven emeltyűt. Ha a hengert γ szöggel elforgatják az ábrán vázolt kezdő helyzethez képest, akkor az emeltyű tengelyirányú elmozdulása w = R tgβ sinγ lesz. E képletben R és β ál - landók, γ változó, így ez az elrendezés valóban egy szinuszfüggvény szerint változó emel - tyű ~ elmozdulás - függvényt állít elő. Megjegyezzük, hogy a fent említett korábbi dolgozatunkban az elmozdulás függvénye más alakúra adódott, az eltérő kezdeti beállítás miatt.

2 2 Jelen dolgozatunkban feltesszük a kérdést: Hogyan alakul az emeltyű mozgástörvénye, ha a tengelye körül megforgatott test nem egyenes körhenger, hanem egy másfajta alkotógörbével bíró forgástest lesz? A válaszunkat alább részletezzük. Új ábrákat rajzolunk, az előzőekhez képest megváltoztatott jelölésekkel. Először ismételjük át az 1. ábrán látott esetet, amely a későbbiek egy fontos speciális esetét képezi! Ehhez tekintsük a 2. ábrát! 2. ábra Ezen nem jelöltük az emeltyűt. Úgy képzeljük, hogy az emeltyű végpontja végighalad a metszeti ellipszis P( φ ) pontjain, a φ szögváltozónak megfelelően. A P pont koordinátái, ha x P = OA, y P = AP v, z P = P v P : ( 1 ) Bevezetjük az AP = η P új koordinátát. Ekkor: ( 2 )

3 3 Most ( 1 ) és ( 2 ) vel: vagyis: ( 3 ) ami egy r és r / cosα féltengelyekkel bíró ellipszis kanonikus egyenlete. Ezek szerint az egyenes körhenger ferde metszetét ellipszis határolja amit persze eddig is tudtunk. A valóságban az emeltyű rendszerint csak z - menti mozgást végez, ezért alatta a hengert forgatják. Minthogy csak a henger és az emeltyű egymáshoz viszonyított helyzete érdekes, elvileg mindegy, hogy a hengert forgatjuk, vagy az emeltyűt ellipszispályán mozgatjuk. Ha úgy képzeljük, hogy a henger áll és az emeltyűt ellipszispályán mozgatjuk, akkor a 2. ábra esetén az emeltyű z - menti w elmozdulása: ( 4 ) Ha úgy képzeljük, hogy a henger ( 5 ) szögelfordulást végez, akkor a csak z - vel párhuzamos egyenes mentén mozgó emeltyű elmozdulása ismét ( 4 ) szerinti, hiszen egymáshoz képest ugyanúgy mozdulnak el, mint előbb. Azonban látni kell, hogy az ugyanazon relatív mozgásra vezető kétféle mozgástípus gépészeti / technikai megvalósítása között nagy lehet a különbség. Második lépésként áttérünk az egyenes vonalú alkotó esetéről a görbe vonalú alkotóval bíró forgástest esetére. Ehhez tekintsük a 3. ábrát is! Itt azt szemlélhetjük, hogy egy görbe alkotójú forgásfelületet elmetszettünk egy ferde síkkal. A felület egy tetszőleges P pontjának egyenletei: ( 6 ) A metszősík egyenlete: ( 7 ) A metszeti síkgörbe rajta van mindkét felületen, így egyenletei ( 6 ) és ( 7 ) - tel: ( 8 )

4 4 3. ábra Újraírva ( 8 ) - at ( 7 ) - tel is: Most ( 9 / 2 ) és ( 9 / 3 ) - ból, az indexet elhagyva: ( 9 ) ( 10 ) A ( 10 ) egyenlet z = z ( φ ) alakú megoldásának előállítása után az emeltyű z - irányú elmozdulása ( 11 ) szerint írható fel. Eredményeinket alkalmazzuk egy olyan forgástestre, melyek alkotója egy másodfokú parabola. Legyen a forgástest magassága m, a véglapok alapkörének sugara r, a hosszának közepén mért legnagyobb keresztmetszeti körének sugara R, a metszősík hajlása α: 3. ábra. A parabola szerint változó ρ ( z ) sugár egyenlete ekkor [ 2 ] : ( 12 ) Bevezetve az

5 5 ( 13 ) új jelölést, ( 12 ) és ( 13 ) - mal: ( 14 ) Most ( 10 ) és ( 14 ) szerint: kifejtve: ( 15 ) rendezve: tovább alakítva: a megoldó képlettel megoldva: ( 16 ) Ezután ( 13 ) és ( 16 ) tal: ( 17 ) Most döntenünk kell a négyzetgyök előtti előjelek kérdésében. Ehhez visszatérünk ( 15 ) - höz, melyből φ = 0 esetén z = 0, azaz határozott mennyiség adódik. Ezután ( 17 ) - be φ = 0 - t helyettesítve: ( 18 ) adódik. Ha a előjelet vesszük, akkor a tört értéke lesz. Ha a + előjelet választjuk, akkor a tört 0 / 0 határozatlan alakú kifejezés lesz, ami még lehet véges is. Ezért tehát ( 17 ) - ből: ( 19 ) végül ( 11 ) és ( 19 ) szerint:

6 6 ( 20 ) A ( 4 ) és a ( 20 ) összefüggések ábrázolásához adatokat veszünk fel. Adatok: r = 1 cm; R = 3 cm; m = 10 cm; α = 45. ( A ) Az eredmény - görbéket a 4. ábrán szemlélhetjük. 4. ábra Látjuk, hogy az R sugarú körhenger ( kék ) és az R legnagyobb és r legkisebb sugarú pa - raboloid ( piros ) metszeti görbéje mentén mozgó emeltyű kitérései hogyan viszonyulnak egymáshoz. Azt is látjuk, hogy a piros görbe φ = 0 környezetében is gond nélkül ábrázol - ható. Ennek magyarázata az, hogy ( 21 ) amint az a L Hospital - szabály alkalmazásával könnyen belátható [ 3 ] :

7 7 részletezve: ezekkel: Érdemes még megemlíteni az ( 22 ) esetet; ekkor ( 13 ) szerint a = 0, így ( 14 ) szerint ρ = R = r, ami az egyenes körhenger esete. Ekkor nem ( 17 ) - ből, hanem ( 15 ) - ből előáll ( 4 ). A ferde metszet határoló görbéjének egyenletei ( 9 ), ( 13 ), ( 14 ) és ( 19 ) szerint: ( 23 / 1 ) ( 23 / 2 ) ( 23 / 3 ) A forgásfelület fele az 5. ábrán, metszeti görbéje a 6. ábrán látható, axonometrikus ábrá - zolásban. Számszerű egyenleteik az ábrákról leolvashatóak.

8 8 5. ábra forrása: 6. ábra forrása: Most ábrázoljuk együtt a metszeti síkgörbéket, az ( A ) adatokkal ld.:7. ábra! A lila görbe a henger, a türkiz pedig a paraboloid síkmetszeti kontúrgörbéje.

9 9 7. ábra Ahogyan az a 7. ábra jobb felső sarkában esetleges nagyítás után olvasható, az ellip - szist implicit egyenletével, a másik görbét paraméteres egyenleteivel ábrázoltuk, a Graph szoftverrel. A paraméteres egyenletrendszer alakja ( 23 / 1 ) és ( 23 / 2 ) - vel: ( 24 ) Megjegyzések: M1. Bár ez a dolgozat egy sajátos bütykös mechanizmus működéséről szól(na), úgy tűnik, a matematikai részletek elfed(het)ik a lényeget. Ez nem a véletlen műve; ez van, ha az ember ilyesmire adja a fejét. Vagyis forgásfelületek metszetgörbéjének a meghatározására, meg hasonlókra. Persze, alkalmazhatnánk ( ábrázoló ) geometriai / grafikus módszereket is, ám az sem lenne sok tekintetben előnyös. Például a paraméterek minden egyes megvál - toztatása esetén újabb ábrá(ka)t kellene szerkeszteni. M2. A ( 10 ) egyenlet kulcsfontosságú szerepet játszik ebben a munkában.

10 10 Láttuk, hogy másodfokú parabola alkotógörbe esetén másodfokú algebrai egyenletet kellett megoldani a továbbhaladáshoz. Magasabb fokú algebrai, trigonometrikus, stb. egyenletek előállása esetén már lényegesen komolyabb számítási gondok léphetnek fel, az itteniekhez képest. M3. Ezután megrajzolunk két ábrát, ami eddig, menet közben még nem készült el. Először a parabola alkotógörbét és egyenletét részletezzük [ 2 ]. Ehhez tekintsük a 8. ábrát is! 8. ábra A parabola egyenlete itt: Ez úgy jött ki, hogy 1.) kiindultunk a parabola ( a ) ( b ) alakú egyenletéből, amelyből x = 0 esetén y( 0 ) = R adódik; 2.) alkalmazzuk az y( x = ± m /2 ) = r feltételt; ekkor ( b ) - vel:

11 11 tehát: ( c ) 3.) majd ( c ) - t ( b ) - be helyettesítve: ( d ) 4.) ezután ( A ) és ( d ) - vel ( a ) adódik. A korábbi számításokhoz itt x z, y ( x ) ρ( z ) változó - helyettesítések veendők. Másodszor tekintsük az elmetszett kétféle forgástest egy oldalnézetét ld.: 9. ábra! 9. ábra

12 12 Itt a piros metszősík élből nézve látszik. Megjelöltük a G és E szélső metszéspontokat, melyek távolsága megfelel a 7. ábráról is leolvasható ( 0,707 cm ½* 2 cm ) értéknek. M4. A 2. ábra előtt említettük, hogy hengeres test fontos speciális esete az általánosabb forgástesteknek; valóban: a = 0 esetén ( 12 ) szerint ρ = r = R. M5. Az 1. ábra bal oldali részén található szemléltető ábrán azt látjuk, hogy az emeltyű tengelye párhuzamos a henger tengelyével. Ez esetben az emeltyű ha azt ellipszis men - tén mozgónak is képzeljük felülnézetben egy állandó sugarú körön mozog. Más a helyzet a görbe alkotójú forgástesteknél, melyek metszetgörbéje felülnézetben már nem állandó sugarú kör, hiszen a forgástest keresztmetszeteinek sugara változik a test hossztengelye mentén. Emiatt az emeltyű végének a tapintóhegynek nem csak a for - gástest tengelyével párhuzamos, hanem arra merőleges tehát sugárirányú elmozdulást is kell tudnia végezni. Ennek a technikai megoldása már kissé bonyolultabb lehet, mint a forgástengellyel párhuzamos alkotó - egyenes esetében. M6. A sokféle mechanizmust bemutató [ 1, 4, 5 ] munkákban találtunk néhány ahhoz ha - sonlót, amilyenről itt beszéltünk. 10. ábra forrása: [ 4 ]

13 13 A 10. ábra bal oldali ábrarészén egy olyan térbeli bütykös mechanizmus vázlatrajzát szemlélhetjük, ahol az 1 kúp ( tehát egyenes alkotójú forgásfelület ) felületébe vájt ho - ronyba feszül bele a 3 emeltyű 2 tapintófeje. A kúp tengelye körüli forgó mozgása az emeltyű vezetékben történő lengő mozgását idézi elő. Az 1. és a 10. ábra megbeszélt mechanizmusai közti lényeges különbség ha jól látjuk az emeltyű elhelyezésében van. A 11. ábrán egy forgáshiperboloid felületen futó horonyban vezetik meg az emeltyűt. 11. ábra forrása: [ 5 ] M7. Feladatunk lényegi része: a forgásparaboloid ferde metszet - görbéjének előállítása. Fontos adalék, hogy parabolánkat nem a tengelye, hanem egy arra merőleges egyenes körül forgattuk meg. Ez azért lényeges, mert a másodrendű forgásfelületeket leginkább úgy származtatják, hogy a forgásfelület tengelyének a kúpszelet egyik tengelyét veszik. Ekkor kimutatják ld. pl.: [ 6 ]!, hogy A forgási paraboloidnak minden tengelyével nem parallel síkmetszete ellipszis. Egyszerűen fogalmazva úgy is mondhatjuk, hogy egy olyan hordó ferde síkmetszetét keressük, melynek dongái parabola alakúak. Ez a síkmetszet hasonlít az ellipszisre, de nem az, ahogyan ez az egyenleteiből is látszik. Ugyanis a ( 9 ) és ( 24 ) egyenletekkel: ( 25 ) innen pedig ( 3 ) mintájára: ( 26 )

14 14 adódik, ami nem lehet ellipszis egyenlete, mert M8. Az előző megjegyzésben említettük, hogy a forgási paraboloid nevet mintegy lefog - lalták már egy másik esetre; ezért az itteni forgásfelületet amellyel először [ 2 ] - ben találkoztunk, és amelynek nem adtak még nevet,elneveztük hordófelületnek. Az 5. ábra tehát egy ilyet mutat. Hasonlóan névtelen a 7. ábra türkiz színű görbéje. Úgy - e vicces, hogy egy ilyen fontos görbét sem neveztek még el? Tudjuk, hogy a forgáskúp mindenféle metszetgörbéje külön nevet kapott. Ez erről a forgástestről nem mondható el. Források: [ 1 ] Sz. N. Kozsevnyikov ~ Ja. I. Joszipenko ~ Ja. M. Raszkin: Mehanyizmü Szpravocsnoje poszobije 4. kiadás, Masinosztrojenyije, Moszkva, 1976., 314. o, 602. o. [ 2 ] Reiman István: Matematika Typotex, Budapest, 2011., 543. o. [ 3 ] I. N. Bronstejn ~ K. A. Szemengyajev: Matematikai zsebkönyv 2. kiadás, 1963., 345. o. [ 4 ] Sz. N. Kozsevnyikov ~ Ja. I. Joszipenko ~ Ja. M. Raszkin: Elementü mehanyizmov 2. kiadás, Oborongiz, Moszkva, 1956., 309., 334. o. [ 5 ] I. I. Artoboljevszkij: Mehanizmü v szovremennoj tyehnyike Tom IV., Nauka, Moszkva, 1975., 59. o. [ 6 ] Romsauer Lajos: Ábrázoló geometria 2. kötet 2. kiadás, Franklin - Társulat, Budapest, 1930., 202 ~ 209. o. Sződliget, Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár