4. Felületek Forgásfelületek. Felületek 1. Legyen adott egy paramétersíkbeli T tartomány. A paramétersíkot az u és v koordinátatengelyekkel
|
|
- Tibor Nemes
- 5 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Felületek 1 4. Felületek Legyen adott egy paramétersíkbeli T tartomány. A paramétersíkot az u és v koordinátatengelyekkel adjuk meg. Ekkor egy F felületet az (u, v) r(u, v), (u, v) T kétváltozós vektor-vektor függvénnyel írhatunk le (Gauss-féle megadás). Rögzített u 0, illetve v 0 paraméterek esetén a felületen az v r(u 0, v), illetve az u r(u, v 0 ) paramétervonal adódik (1. ábra). v T z F r ( u,v) v 0 u 0 u x O r ( u,v ) 0 0 y 1. ábra. Felület megadása 4.1. Forgásfelületek Egy g (nem feltétlenül síkbeli) görbe egy adott t tengely körüli megforgatásával forgásfelületet kapunk. A forgásfelület tengelyre mer leges metszetei körök, melyek síkjai párhuzamosak. Paralelkör öknek nevezzük ket. A legkisebb sugarút torokkör nek, a legnagyobb sugarút egyenlít i kör nek hívjuk. A forgásfelület tengelyt tartalmazó metszetei a meridián görbék. Ha a t forgástengely egybeesik a z koordinátatengellyel és a g síkgörbe az xz síkban van, melynek egyenlete g(u) = x(u)i + z(u)k, u I, akkor a forgásfelület egyenlete (2. ábra): r(u, v) = x(u) cos(v)i + x(u) sin(v)j + z(u)k, u I, v [0, 2π]. A paramétervonalak a paralelkörök és a meridiángörbék. A forgástengellyel párhuzamos egyenes megforgatásával forgáshenger t, forgástengelyt metsz egyenes megforgatásával forgáskúpot, míg a forgástengellyel kítér helyzet egyenes megforgatásával egyköpeny forgáshiperboloidot (3. ábra) kapunk. Kör megforgatásával gömb vagy körgy r -felület, másnéven tórusz adódik. Ellipszis, parabola és hiperbola tengelyei körüli megforgatásával forgásellipszoidokat (4. ábra), forgásparaboloidot (5. ábra) és egyköpeny -, illetve kétköpeny forgáshiperboloidot kapunk.
2 2 Számítógépi geometria t g 2. ábra. Forgásfelület 3. ábra. Egyköpeny forgáshiperboloid 4.2. Csavarfelületek 4. ábra. Forgásellipszoidok Egy t = z forgástengely r sugarú hengerre írt csavargörbe egyenlete c(v) = r cos(v)i + r sin(v)j + pvk, v IR, ahol p a csavargörbe paramétere és egy menet (v [0, 2π]) esetén a görbe emelkedése p. Egy g görbe minden pontja azonos paraméter csavarmozgást végez, akkor a görbe által meghatározott felületet csavarfelületnek nevezzük. Egy xz koordinátasíkbeli g görbe, azaz
3 Felületek 3 5. ábra. Forgásparaboloid g(u) = x(u)i + z(u)k, u I esetén a csavarfelület egyenlete r(u, v) = x(u) cos(v)i + x(u) sin(v)j + (z(u) + pv)k, u [a, b], v IR. A csavarfelület egy menetét v [0, 2π] adja. Ha a g görbe egyenes, akkor a kapott csavarfelületet egyenesvonalú csavarfelületnek nevezzük. A 6. ábrán egy nyílt élesmenet egyenesvonalú csavarfelület egy menetét láthatjuk. 6. ábra. Egyenesvonalú csavarfelület 4.3. Hengerfelületek Egy adott g (nem feltétlenül síkbeli) (g(u)) vezérgörbe minden pontján át egy adott a iránnyal párhuzamos egyeneseket veszünk fel, akkor hengerfelületet kapunk (7. ábra). Egyenlete h(u, v) = g(u) + va, u [a, b], v IR Kúpfelületek Egy adott g (nem feltétlenül síkbeli) (g(u)) vezérgörbe minden pontját egyeneseket kötjük össze egy adott C (c) görbére nem illeszked csúcsponttal. Ekkor kúpfelületet
4 4 Számítógépi geometria a g kapunk (8. ábra), melynek egyenlete 7. ábra. Hengerfelület k(u, v) = g(u) + v(c g(u)), u [a, b], v IR. C g 8. ábra. Kúpfelület 4.5. Eltolási felületek Legyen adott egy a alapgörbe és annak egy P pontjának mozgása során leírt p pályagörbe. Ha az a alapgörbét végigtoljuk a p pályagörbén úgy, hogy a P pont mindig illeszkedjen a p pályagörbére, akkor eltolási felületet kapunk (9. ábra). Legyen a : u a(u), u I és p : v p(v), v J, az általuk meghatározott eltolási felület egyenlete: r(u, v) = a(u) + p(v), u I, v J. Ha két mer leges síkú, ellentétes tengelyirányú parabolát tekintünk alapgörbéknek, akkor egy nyeregfelületet (hiperbolikus paraboloidot) kapunk (10. ábra).
5 Felületek 5 a p P 9. ábra. Eltolási felület 4.6. Vonalfelületek 10. ábra. Eltolási felületként el állított nyeregfelület Azokat a felületeket, melyeket egyenesek alkotnak (a felület bármely pontján át halad egy, a felülethez tartozó egyenes) vonalfelületeknek nevezzük. Az egyeneseket a felület alkotóinak hívjuk. Az eddig bemutatott felületek közül vonalfelület a henger- és kúpfelület, továbbá a forgáshenger, a forgáskúp, az egyköpeny forgáshiperboloid és az egyenesvonalú csavarfelület. Két görbe által meghatározott vonalfelület egyenletét a következ képpen adhatjuk meg. Adottak a g 1 (u) és g 2 (u), u I (1) térgörbék. Ekkor az azonos paraméter érték pontjaira egy-egy egyenes illesztésével a kapott vonalfelület egyenletét s(u, v) = (1 v)g 1 (u) + vg 2 (u), u I, v IR (2) alakban írjuk le. Az u = constans paramétervonalak az egyenesek. A 11. ábrán a vonalfelület két alapgörbéje közötti részét láthatjuk. További nevezetes vonalfelület egy másodrend görbe és egy egyenes által meghatározott konoid (az alkotók egy síkkal párhuzamosak) (12. ábra), két kitér egyenes által meghatározott nyeregfelület (13. ábra), amely megegyezik a 10. ábrán bemutatottal.
6 6 Számítógépi geometria g1 ( u) g2 ( u) 11. ábra. Vonalfelület 12. ábra. Körkonoid 4.7. Coonsfoltok 13. ábra. Nyeregfelület Ha a (2) egyenlettel megadott vonalfelület esetén az alapgörbék paramétertartománya véges, azaz I = [a, b] és csak a közöttük lev felületrészt tekintjük, azaz v [0, 1], akkor a vonalfelület darabot felületfoltnak nevezzük. A 11. ábrán bemutatott vonalfelület csak egy felületfolt. Négy, páronkén közös végponttal rendelkez görbére is illeszthetünk felületfoltot, ezt nevezzük Coonsfoltnak. Legyenek adottak a 14. ábra alapján az a 1 (u), a 2 (u) és b 1 (v), b 2 (v), u, v [0, 1] egymást páronként metsz görbepárok. A "szemben" lev görbékre illesszünk egy-egy vonalfelület-foltot (15. ábra). Ezek a a szembenfekv görbéket interpolálják, de a másik két határoló görbén nem haladnak át. l a (u, v) = (1 v)a 1 (u) + va 2 (u) l b (u, v) = (1 u)b 1 (v) + ub 2 (v)
7 Felületek 7 a2 ( u) b2 ( v) b1( v) a1( u) 14. ábra. A bilineárisan súlyozott Coons-felület alapgörbéi Majd írjunk fel egy felületfoltot a négy metszéspontra. Vegyük a metszéspontok bilineáris interpolációját, ekkor az l ab (u, v) = ( 1 u u ) ( ) ( ) a 1 (0) a 1 (1) 1 v a 2 (0) a 2 (1) v felületet kapjuk, amely a négy metszéspontra illeszked nyeregfelület (16. ábra). Ekkor a négy határoló görbére illeszked bilineárisan súlyozott Coons-foltot (17. ábra) a következ alakban kapjuk: c(u, v) = l a (u, v) + l b (u, v) l ab (u, v). A felületfoltok minden változata és általánosítása a fent említett alapötletre épül. Az összetett felületeket felületfoltokból rakhatjuk össze, ügyelve a "jó" csatlakozásokra. Ez általában csak a Coons-foltok általánosításaival (Hermite-féle bikubikus folt, Gordonfelületek,...) érhet k el. a2 ( u) b2 ( v) a1( u) b1( v) 15. ábra. l a (u, v) és l b (u, v) vonalfelületek
8 8 Számítógépi geometria a 2(1) a 2(0) a 1(1) a 1(0) 16. ábra. Az l ab (u, v) nyeregfelület 17. ábra. Bilineárisan súlyozott Coons-felület
9 Felületek Bézierfelületek A Béziergörbe analógiájára a Bernsteinpolinomok segítségével felületet is tudunk deniálni. Legyenek adottak a P ij kontrollpontok a p ij helyvektorokkal (i = 0, 1,..., n, j = 0, 1,..., m). A szomszédos kontrollpontokat összeköt szakaszokat kontrollhálónak nevezzük. A kontrollpontokat approximáló b(u, v) Bézierfelületet, pedig a B l k Bernstein polinomok felhasználásával a következ alakban adhatjuk meg: b(u, v) = n m Bi n (u)bj m (v)p ij. (3) i=0 j=0 Ha egy Béziérgörbét úgy mozgatunk, hogy kontrollpontjai szintén Béziergörbéken mozognak, akkor a Bézierfelületet kapjuk, melyet (3) alakban írhatunk fel. A felület u = u 0 és v = v 0 paramétervonalai Bézier-görbék. A kontrollháló bármely kontrollpontjának változtatásával globálisan változik a felület. 18. ábra. Kontollháló és Bézier-felület 19. ábra. Bézier-felület
10 10 Számítógépi geometria 4.9. B-spline felületek A B-spline felületet a Bézierfelületek analógiájára a B-spline görbe alapfüggvényeib l a következ alakban adhatjuk meg. s(u, v) = i Ni k (u)nj(v)p l ij j A kontrollpontok változása csak lokálisan változtatja a felület alakját NURBS felületek Az Bézier és a B-spline felületetek származtatásával analóg módon, ha egy NURBS görbét mozgatunk, úgy hogy a kontrollpontjai is NURBS görbéken mozognak, akkor egy racionális, nem uniform B-spline felületet, egy NURBS felületet kapunk. A NURBS felületek is átörökli a NURBS görbék jellemz it, a w ij súlyok változtatásával viszonylag nagy rugalmassággal módosíthatjuk a felületek alakjait.
Számítógépes geometria (mester kurzus) III
2010 sz, Debreceni Egyetem Felületek A felület megadása implicit: F : R 3 R, F (x, y, z) = 0 Euler-Monge: f : [a, b] [c, d] R, z = f (x, y) paraméteres: r : [a, b] [c, d] R 3 trianguláris háló direkt megadása
RészletesebbenGörbe- és felületmodellezés. Szplájnok Felületmodellezés
Görbe- és felületmodellezés Szplájnok Felületmodellezés Spline (szplájn) Spline: Szakaszosan, parametrikus polinomokkal leírt görbe A spline nevét arról a rugalmasan hajlítható vonalzóról kapta, melyet
RészletesebbenDierenciálgeometria feladatsor
Dierenciálgeometria feladatsor 1. Görbék paraméterezése 1. Határozzuk meg az alábbi ponthalmazok egy paraméteres el állítását: a a, b középpontú, r sugarú kör a síkban; b y = mx + b egyenlettel leírt egyenes
Részletesebben9. előadás. Térbeli koordinátageometria
9. előadás Térbeli koordinátageometria Koordinátageometria a térben Descartes-féle koordinátarendszerben dolgozunk. A legegyszerűbb alakzatokat fogjuk vizsgálni. Az ezeket leíró egyenletek első-, vagy
RészletesebbenLengyelné Dr. Szilágyi Szilvia április 7.
ME, Anaĺızis Tanszék 2010. április 7. , alapfogalmak 2.1. Definíció A H 1, H 2,..., H n R (ahol n 2 egész szám) nemüres valós számhalmazok H 1 H 2... H n Descartes-szorzatán a következő halmazt értjük:
RészletesebbenANALÍZIS II. Példatár
ANALÍZIS II. Példatár Többszörös integrálok 3. április 8. . fejezet Feladatok 3 4.. Kett s integrálok Számítsa ki az alábbi integrálokat:...3. π 4 sinx.. (x + y) dx dy (x + y) dy dx.4. 5 3 y (5x y y 3
RészletesebbenDierenciálgeometria és nemeuklideszi geometriák c. gyakorlat
matematikatanári szak (2017/18as tanév, 1. félév) 1. feladatsor (Másodrend görbék a projektív síkon. Konjugált pontok.) A koordinátageometriai feladatoknál feltesszük, hogy a σ euklideszi sík egy derékszög
RészletesebbenA bifiláris felfüggesztésű rúd mozgásáról
1 A bifiláris felfüggesztésű rúd mozgásáról A végein fonállal felfüggesztett egyenes rúd részleges erőtani vizsgálatát mutattuk be egy korábbi dolgozatunkban, melynek címe: Forgatónyomaték mérése - I.
RészletesebbenFelületek differenciálgeometriai vizsgálata
Felületek differenciálgeometriai vizsgálata Felületek differenciálgeometriai értelemben Felület: Olyan alakzat, amely előállítható az (u,v) sík egy összefüggő tartományán értelmezett r(u,v) kétparaméteres
RészletesebbenBevezetés az elméleti zikába
Bevezetés az elméleti zikába egyetemi jegyzet Kúpszeletek Lázár Zsolt, Lázár József Babe³Bolyai Tudományegyetem Fizika Kar 2011 TARTALOMJEGYZÉK 6 TARTALOMJEGYZÉK Azokat a görbéket, amelyeknek egyenlete
Részletesebbenx = cos αx sin αy y = sin αx + cos αy 2. Mi a X/Y/Z tengely körüli forgatás transzformációs mátrixa 3D-ben?
. Mi az (x, y) koordinátákkal megadott pont elforgatás uténi két koordinátája, ha α szöggel forgatunk az origó körül? x = cos αx sin αy y = sin αx + cos αy 2. Mi a X/Y/Z tengely körüli forgatás transzformációs
RészletesebbenCAD technikák A számítógépes tervezés geometriai alapjai: görbék típusai, matematikai leírás, manipulációk görbékkel.
A számítógépes tervezés geometriai alapjai: görbék típusai, matematikai leírás, manipulációk görbékkel. III. előadás 2008. február 25. Függvények görbék leírására Egyszerű függvények: analitikus görbék
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 19 XIX A HATÁROZOTT INTEGRÁL ALkALmAZÁSAI 1 TERÜLET ÉS ÍVHOSSZ SZÁmÍTÁSA Területszámítás Ha f az [a,b] intervallumon nemnegatív, folytonos függvény, akkor az görbe, az x tengely,
RészletesebbenIV. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Feladatok november
IV. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Feladatok 9. november Határozatlan integrálás Elemi függvények integrálja 4.5. 4.6. 3 4.7. ( ) 4.8. ( ) 4.9. + 4 4.. ( + )( + ) 4.4. + ( + ) 4.5. 4.6. 6 5 + 5 ln + 4.8. cos cos sin
RészletesebbenÉszrevételek a forgásfelületek síkmetszeteivel kapcsolatban. Bevezetés
1 Észrevételek a forgásfelületek síkmetszeteivel kapcsolatban Bevezetés Előző dolgozatainkban melyek jelölése és címe: ~ ED - 1: Ismét egy érdekes mechanizmusról; ~ ED - 2: A hordófelület síkmetszeteiről
Részletesebben2014/2015. tavaszi félév
Hajder L. és Valasek G. hajder.levente@sztaki.mta.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2014/2015. tavaszi félév Tartalom Geometria modellezés 1 Geometria modellezés 2 Geometria modellezés
RészletesebbenFeladatsor A differenciálgeometria alapja c. kurzus gyakorlatához
Feladatsor A differenciálgeometria alapja c. kurzus gyakorlatához Dr. Nagy Gábor, Geometria Tanszék 2010. szeptember 16. Görbék paraméterezése 1. feladat. (A) Bizonyítsuk be a vektoriális szorzatra vonatkozó
RészletesebbenGeometriai alapok Felületek
Geometriai alapok Felületek Geometriai alapok Felületek matematikai definíciója A háromdimenziós tér egy altere Függvénnyel rögzítjük a pontok helyét Parabolavezérgörbéjű donga 4 f z x + a C Elliptikus
Részletesebbensin x = cos x =? sin x = dx =? dx = cos x =? g) Adja meg a helyettesítéses integrálás szabályát határozott integrálokra vonatkozóan!
Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Analízis II Határozatlan integrálszámítás g) t = tg x 2 helyettesítés esetén mivel egyenlő sin x = cos x =? g) t = tg x 2 helyettesítés esetén
RészletesebbenEgy matematika jegyzetről mérnökhallgatóknak About a math textbook for engineering students
Egy matematika jegyzetről mérnökhallgatóknak About a math textbook for engineering students A. VARGA Debreceni Egyetem, Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék, vargaa@eng.unideb.hu Absztrakt. Mennyire
RészletesebbenMatematika II. 1 sin xdx =, 1 cos xdx =, 1 + x 2 dx =
Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika II Határozatlan Integrálszámítás d) Adja meg az alábbi alapintegrálokat! x n 1 dx =, sin 2 x dx = d) Adja meg az alábbi alapintegrálokat!
RészletesebbenAz egyköpenyű forgáshiperboloid síkmetszeteiről
1 Az egyköpenyű forgáshiperboloid síkmetszeteiről Egyik előző dolgozatunkban melynek címe: Ismét egy érdekes mechanizmusról arról elmélkedtünk, hogy ha a forgáshenger ferde síkmetszete ( ellipszis ) mentén
RészletesebbenVIK A3 Matematika, Gyakorlati anyag 2.
VIK A3 Matematika, Gyakorlati anyag 2. 208. november Sorok. Konvergensek-e az alábbi sorok? Ha igen, adjuk meg a határértéküket! n(n+3) n(n+)(n+2) 9n 2 3n 2 ( n + 2 2 n + + n) 2n+ n 2 (n+) 2 (f) ( 3) k+2
RészletesebbenKoordinátarendszerek
Koordinátarendszerek KO 1 Koordinátarendszerek Ponthalmazok előállításai Koordinátarendszerek KO Két gyakran alkalmazott síkbeli koordinátarendszer Derékszögű (Descartes féle) koordinátarendszer Síkbeli
RészletesebbenGeometriai modellezés. Szécsi László
Geometriai modellezés Szécsi László Adatáramlás vezérlés Animáció világleírás Modellezés kamera Virtuális világ kép Képszintézis A modellezés részfeladatai Geometria megadása [1. előadás] pont, görbe,
RészletesebbenA hordófelület síkmetszeteiről
1 A hordófelület síkmetszeteiről Előző dolgozatunkban melynek címe: Ismét egy érdekes mechanizmusról azon hiányérzetünknek adtunk hangot, hogy a hordószerű test görbe felülete nem kapott nevet. Itt elneveztük
RészletesebbenHajder Levente 2018/2019. II. félév
Hajder Levente hajder@inf.elte.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2018/2019. II. félév Tartalom 1 2 Törtvonal Felületi folytonosságok B-spline Spline variánsok Felosztott (subdivision) görbék
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA II 7 VII VEkTORANALÍZIS 1 ELmÉLETI ALAPOk Az u függvényt skalár-vektor függvénynek nevezzük, ha értelmezési tartománya a háromdimenziós tér vektorainak halmaza, a függvényértékek
RészletesebbenAz f ( xy, ) függvény y változó szerinti primitív függvénye G( x, f xydy= Gxy + C. Kétváltozós függvény integrálszámítása. Primitívfüggvény.
Tartalomjegyzék Kétváltozós függvény integrálszámítása... Primitívfüggvény... Kettősintegrál... A kettősintegrál téglalap tartományon... A kettősintegrál létezésének szükséges feltétele... 3 Illusztráció...
Részletesebben(a b)(c d)(e f) = (a b)[(c d) (e f)] = = (a b)[e(cdf) f(cde)] = (abe)(cdf) (abf)(cde)
2. házi feladat 1.feladat a b)c d)e f) = a b)[c d) e f)] = = a b)[ecdf) fcde)] = abe)cdf) abf)cde) 2.feladat a) Legyen a két adott pontunk helyzete A = 0, 0), B = 1, 0), továbbá legyen a távolságok aránya
Részletesebben3. Nevezetes ponthalmazok a síkban és a térben
3. Nevezetes ponthalmazok a síkban és a térben 1. 1. Alapfogalmak 2. Nevezetes sík- és térbeli alakzatok, definícióik 3. Thalész-tétel 4. Gyakorlati alkalmazás Pont: alapfogalom, nem definiáljuk Egyenes:
Részletesebben3. Görbe modellezés. Görbe modellezés 1
Görbe modellezés. Görbe modellezés A geometriai alakzatok modellezése során számos olyan feladat adódik, melyben megadott pontokra megadott sorrendben, görbéket kell illeszteni, vagy egy grakus tervez
RészletesebbenIsmét egy érdekes mechanizmusról. Az interneten találkoztunk az [ 1 ] művel, benne az 1. ábrával.
1 Ismét egy érdekes mechanizmusról Az interneten találkoztunk az [ 1 ] művel, benne az 1. ábrával. 1. ábra forrása: [ 1 ] Ennek a 10. 47. számú rajza egy szinuszos mechanizmust ábrázol. Ezzel korábban
RészletesebbenSíkgörbék. 1. Készítsünk elfogadható ábrát a G: t frac(1/t) leképezés gráfjáról. (frac a törtrész függvény, ez a Maple függvénynév is.
Síkgörbék 1. Készítsünk elfogadható ábrát a G: t frac(1/t) leképezés gráfjáról. (frac a törtrész függvény, ez a Maple függvénynév is.) 2. (n szirmú virág.) Legyen r(t) = sin(nt), (0 t 2π). Ábrázoljuk polár
Részletesebben20. tétel A kör és a parabola a koordinátasíkon, egyenessel való kölcsönös helyzetük. Másodfokú egyenlőtlenségek.
. tétel A kör és a parabola a koordinátasíkon, egyenessel való kölcsönös helyzetük. Másodfokú egyenlőtlenségek. Először megadom a síkbeli definíciójukat, mert ez alapján vezetjük le az egyenletüket. Alakzat
RészletesebbenSerret-Frenet képletek
Serret-Frenet képletek Vizsgáljuk meg az e n normális- és e b binormális egységvektorok változását. e n = αe t + βe n + γe b, e t e n e n = 1 e n e n = 0 β = 0 e n e t = e n e t illetve a α = 1/R. Ugyanakkor
RészletesebbenTerületszámítás Ívhossz számítás Térfogat számítás Felszínszámítás. Integrálszámítás 4. Filip Ferdinánd
Integrálszámítás 4. Filip Ferdinánd filip.ferdinand@bgk.uni-obuda.hu siva.banki.hu/jegyzetek 2015 november 30. Filip Ferdinánd 2015 november 30. Integrálszámítás 4. 1 / 12 Az el adás vázlata Területszámítás
RészletesebbenGörbemodellezés. Interpoláció Approximáció
Görbemodellezés Interpoláció Approximáció Motiváció Mi okozhat problémát egy görbe megjelenítésekor? 1. A paraméteres alak segítségével történő megjelenítése nagyon bonyolult számításokat vehet igénybe.
RészletesebbenA LECSÚSZÓ KÖR ÁBRÁZOLÓ GEOMETRIÁJA. Írta: Hajdu Endre
A LECSÚSZÓ KÖR ÁBRÁZOLÓ GEOMETRIÁJA Írta: Hajdu Endre Geometriai, kinematikai tankönyvekben gyakran találkozhatunk annak az AB szakasznak a példájával, melynek végpontjai egy derékszöget bezáró egyenes
Részletesebben8. előadás. Kúpszeletek
8. előadás Kúpszeletek Kör A k kört egyértelműen meghatározza C(a,b) középpontja és r sugara. A P pont pontosan akkor van k-n, ha CP=r. Vektoregyenlet: p-c = r. Koordinátás egyenlet: (X-a)2 + (Y-b)2 =
Részletesebben25 i, = i, z 1. (x y) + 2i xy 6.1
6 Komplex számok megoldások Lásd ábra z = + i, z = + i, z = i, z = i z = 7i, z = + 5i, z = 5i, z = i, z 5 = 9, z 6 = 0 Teljes indukcióval 5 Teljes indukcióval 6 Az el z feladatból következik z = z = =
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.
KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA II 6 VI TÉRGÖRbÉk 1 Alapvető ÖSSZEFÜGGÉSEk A térgörbe (1) alakú egyenletével írható le Ez a vektoregyenlet egyenértékű az (2) skaláris egyenletrendszerrel A térgörbe három nevezetes
Részletesebben3. tétel Térelemek távolsága és szöge. Nevezetes ponthalmazok a síkon és a térben.
3. tétel Térelemek távolsága és szöge. Nevezetes ponthalmazok a síkon és a térben. TÁVOLSÁG Általános definíció: két alakzat távolsága a két alakzat pontjai között húzható legrövidebb szakasz hosszaa távolság
Részletesebben2012. október 9 és 11. Dr. Vincze Szilvia
2012. október 9 és 11. Dr. Vincze Szilvia Egyváltozós valós függvények nevezetes osztályai I. Algebrai függvények Racionális egész függvények (polinomok) Racionális törtfüggvények Irracionális függvények
RészletesebbenKoordináta-geometria feladatok (emelt szint)
Koordináta-geometria feladatok (emelt szint) 1. (ESZÉV Minta (2) 2004.05/7) Egy ABC háromszögben CAB = 30, az ACB = 45. A háromszög két csúcsának koordinátái: A(2; 2) és C(4; 2). Határozza meg a harmadik
RészletesebbenAnalízis III. gyakorlat október
Vektoranalízis Analízis III. gyakorlat 216. október Gyakorló feladatok és korábbi zh feladatok V1. Igazolja az alábbi "szorzat deriválási" szabályt: div(ff) = F, f + f div(f). V2. Legyen f : IR 3 IR kétszer
RészletesebbenGÖRBÉK ÉS FELÜLETEK ILLESZTÉSE KÉNYSZEREKKEL II.
GÖRBÉK ÉS FELÜLETEK ILLESZTÉSE KÉNYSZEREKKEL II. Érdekességek a geometriai modellezésben Kovács István MIRŐL LESZ SZÓ? Kényszerek automatikus felismerése 1. Lokális kényszerek (merőlegesség, párhuzamosság,
RészletesebbenEGY ABLAK - GEOMETRIAI PROBLÉMA
EGY ABLAK - GEOMETRIAI PROBLÉMA Írta: Hajdu Endre A számítógépemhez tartozó két hangfal egy-egy négyzet keresztmetszetű hasáb hely - szűke miatt az ablakpárkányon van elhelyezve (. ábra).. ábra Hogy az
RészletesebbenKétváltozós függvények ábrázolása síkmetszetek képzése által
Kétváltozós függvének ábrázolása síkmetszetek képzése által ) Ábrázoljuk a z + felületet! Az [,] síkkal párhuzamos síkokkal z c) képzett metszetek körök: + c, tehát a felület z tengelű forgásfelület; Az
RészletesebbenMatematika III előadás
Matematika III. - 2. előadás Vinczéné Varga Adrienn Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Előadáskövető fóliák Vinczéné Varga Adrienn (DE-MK) Matematika III. 2016/2017/I 1 / 23 paramétervonalak,
RészletesebbenA kör és ellipszis csavarmozgása során keletkező felületekről
1 A kör és ellipszis csavarmozgása során keletkező felületekről Előző dolgozatunkban melynek címe: Megint a két csavarfelületről levezettük a cím - beli körös felület - család paraméteres egyenletrendszerét,
RészletesebbenVetülettani és térképészeti alapismeretek
Vetülettani és térképészeti alapismeretek A geodéziában - mint ismeretes - a földalak első megközelítője a geoid. Geoidnak nevezzük a nehézségi erőtér potenciáljának azt a szintfelületét, amelynek potenciálértéke
RészletesebbenGÖRBE- ÉS FELÜLETMODELLEZÉS VEGYES TÍPUSÚ SPLINE-FÜGGVÉNYEKKEL Ph.D dolgozat tézisei
GÖRBE- ÉS FELÜLETMODELLEZÉS VEGYES TÍPUSÚ SPLINE-FÜGGVÉNYEKKEL Ph.D dolgozat tézisei PETHŐNÉ VENDEL TERÉZIA TÉMAVEZETŐ: NAGYNÉ DR. SZILVÁSI MÁRTA BUDAPESTI MŰSZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM TERMÉSZETTUDOMÁNYI
RészletesebbenÁBRÁZOLÓ GEOMETRIA 2.
ÁBRÁZOLÓ GEOMETRIA 2. 3. rajz 3. feladat (2013/14. tavasz) Ábrázolja egy 3,60 m szintkülönbség áthidalására szolgáló, orsótér nélküli, 2,00 m átmérőjű csavarhengeren belüli csigalépcső (jobbra csavarodó,
RészletesebbenAz egyenes ellipszishenger ferde síkmetszeteiről
1 Az egyenes ellipszishenger ferde síkmetszeteiről Vegyünk egy a és b féltengelyekkel bíró ellipszist a vezérgörbét, majd az ellipszis O centrumában állítsunk merőlegest az ellipszis síkjára. Ez a merőleges
RészletesebbenAnalitikus térgeometria
Analitikus térgeometria Wettl Ferenc el adása alapján 2015.09.21. Wettl Ferenc el adása alapján Analitikus térgeometria 2015.09.21. 1 / 23 Tartalom 1 Egyenes és sík egyenlete Egyenes Sík 2 Alakzatok közös
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 14 XIV NEVEZETES GÖRbÉk 1 AZ EGYEnES EGYEnLETE A és pontokon átmenő egyenes egyenlete: (1), Az hányados neve iránytényező (iránytangens, meredekség) A ponton átmenő, m iránytangensű
RészletesebbenSzámítógépes Grafika SZIE YMÉK
Számítógépes Grafika SZIE YMÉK Analóg - digitális Analóg: a jel értelmezési tartománya (idő), és az értékkészletes is folytonos (pl. hang, fény) Diszkrét idejű: az értelmezési tartomány diszkrét (pl. a
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 16 XVI A DIFFERENCIÁLSZÁmÍTÁS ALkALmAZÁSAI 1 Érintő ÉS NORmÁLIS EGYENES, L HOSPITAL-SZAbÁLY Az görbe abszcisszájú pontjához tartozó érintőjének egyenlete (1), normálisának egyenlete
RészletesebbenA Cassini - görbékről
A Cassini - görbékről Giovanni Domenico Cassini, a 17-18 században élt olasz származású francia csillagász neve egyebek mellett a róla elnevezett görbékről is ismert lehet; ilyeneket mutat az 1 ábra is
Részletesebben2) A koordinátázott síkban adva van egy E ellipszis, melyet az x2
1. feladatsor (Kúpszeletekre vonatkozó feladatok) Ha egy feladatban síkbeli koordinátákat alkalmazunk, akkor azok egy derékszög koordinátarendszerre vonatkoznak, melynek kezd pontja O és ortonormált alapvektorai
RészletesebbenA rektellipszis csavarmozgása során keletkező felületről
1 A rektellipszis csavarmozgása során keletkező felületről Előző dolgozatunkban melynek címe: A kör és ellipszis csavarmozgása során keletkező felületekről felírtuk az általánosabb helyzetű ellipszis mint
RészletesebbenA térképen ábrázolt vonal: - sík felület egyenese? - sík felület görbéje? - görbült felület egyenese ( geodetikus )? - görbült felület görbéje?
Előzetes megjegyzés: 1. Az időt nyugodtan mérhetjük méterben. ct [s ] = t [m ] A film kétórás volt. = A film 2.16 milliárd kilométernyi ideig tartott. 2. A tömeget is nyugodtan mérhetjük méterben! GM [kg]
RészletesebbenA térképen ábrázolt vonal: - sík felület egyenese? - sík felület görbéje? - görbült felület egyenese ( geodetikus )? - görbült felület görbéje?
Előzetes megjegyzés: 1. Az időt nyugodtan mérhetjük méterben. ct [s ] = t [m ] A film kétórás volt. = A film 2.16 milliárd kilométernyi ideig tartott. 2. A tömeget is nyugodtan mérhetjük méterben! GM [kg]
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria III.
Geometria III. DEFINÍCIÓ: (Vektor) Az egyenlő hosszúságú és egyirányú irányított szakaszoknak a halmazát vektornak nevezzük. Jele: v. DEFINÍCIÓ: (Geometriai transzformáció) Geometriai transzformációnak
RészletesebbenForgáshenger normálisának és érintősíkjának megszerkesztése II/1
Forgáshenger normálisának és érintősíkjának megszerkesztése II/1 Adott egy forgáshenger: t főegyenes tengelye két vetületi képével t: 0, 110,170-től jobb felső sarokig egy felületi pontjának második vetületi
RészletesebbenValasek Gábor tavaszi félév
Valasek Gábor valasek@inf.elte.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2016-2017 tavaszi félév Tartalom Áttekintés Pont/* metszés Görbe/* metszés Felület/felület metszés Áttekintés Tartalom Áttekintés
RészletesebbenJegyzet tervezet Összeállította: Dr. Boza Pál fıiskolai tanár 2009
Tartalomjegyzék 1. Alkatrészek dokumentálása számítástechnikai eszközökkel... 3 1.1. Az alkatrészt leíró geometriai modellek... 3 1.2. Síkbeli geometriai alakzatok leírása... 5 1.3. Felületek leírása...
Részletesebben= Y y 0. = Z z 0. u 1. = Z z 1 z 2 z 1. = Y y 1 y 2 y 1
Egyenes és sík a térben Elméleti áttekintés Az egyenes paraméteres egyenlete: X = u 1 λ + x 0 Y = u λ + y 0, Z = u λ + z 0 ahol a λ egy valós paraméter Az u = (u 1, u, u ) az egyenes irányvektora és P
RészletesebbenIntegrálszámítás (Gyakorló feladatok)
Integrálszámítás (Gyakorló feladatok). Határozatlan integrál. Alapintegrálok F. Számítsa ki az alábbi határozatlan integrálokat! a) (x x + ) b) (6x x + 5) c) (x + x + x ) d) ( x + x x e) ( ) + e x ) f)
RészletesebbenKinematikus geometria. Strommer: Ábrázoló geometria 469. o. Petrich: Ábrázoló geometria o. Dr. Vaskó Lászlóné: Ábrázoló geometria o.
Kinematikus geometria Strommer: Ábrázoló geometria 469. o. Petrich: Ábrázoló geometria 28-30. o. Dr. Vaskó Lászlóné: Ábrázoló geometria 263-30. o. Az olyan geometriai alakzatokat, melyek pontjainak egymástól
RészletesebbenGörbék és felületek modellezése Juhász, Imre
Görbék és felületek modellezése Juhász, Imre Görbék és felületek modellezése Juhász, Imre Miskolci Egyetem Kelet-Magyarországi Informatika Tananyag Tárház Kivonat Nemzeti Fejlesztési Ügynökség http://ujszechenyiterv.gov.hu/
Részletesebben0, különben. 9. Függvények
9. Függvények 9.. Ábrázolja a megadott függvényeket, és vizsgálja meg a függvények korlátosságát, monotonitását, konveitását, paritását, előjelét, zérushelyeit, periodicitását és határozza meg a valós
RészletesebbenMatematikai analízis II.
Matematikai analízis II. Feladatgyűjtemény GEMAN6-B Gazdaságinformatikus, Programtervező informatikus és Mérnökinformatikus hallgatók részére Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia 6 . feladatlap Implicit függvények
Részletesebben10. Differenciálszámítás
0. Differenciálszámítás 0. Vázolja a következő függvények, és határozza meg az értelmezési tartomány azon pontjait, ahol nem differenciálhatóak: a, f() = - b, f()= sin c, f() = sin d, f () = + e, f() =
RészletesebbenGyakorló feladatok. Agbeko Kwami Nutefe és Nagy Noémi
Gyakorló feladatok Agbeko Kwami Nutefe és Nagy Noémi 25 Tartalomjegyzék. Klasszikus hibaszámítás 3 2. Lineáris egyenletrendszerek 3 3. Interpoláció 4 4. Sajátérték, sajátvektor 6 5. Lineáris és nemlineáris
RészletesebbenCsavarokról és rokon témákról
Csavarokról és rokon témákról A Gépészeti alapismeretek tantárgy tanítása / tanulása során megbeszéljük a csavarvonal és a csavarmenet származtatását, például mozgásgeometriai alapon. Azonban ez talán
Részletesebben1. Bevezetés. 2. Felületek megadása térben. A fenti kúp egy z tengellyel rendelkező. ismerhető fel, hogy. 1. definíció. Legyen D R n.
1. Többváltozós függvények 1. Bevezetés Ennek a fejezetnek a célja a kétváltozós függvények vizsgálata, ami során a 3-dimenziós felületeket szeretnénénk megérteni. 1. definíció. Legyen D R n. Ekkor az
RészletesebbenKINEMATIKAI ÁBRÁZOLÓ GEOMETRIA
KINEMATIKAI ÁBRÁZOLÓ GEOMETRIA HAJDU ENDRE ELŐSZÓ Ez a dolgozat egy kinematikával ötvözött ábrázoló geometria kidolgozásának lehetőségét ( talán indokoltságát is) kíséreli meg igazolni. Elsősorban a kinematikai
RészletesebbenDEBRECENI EGYETEM TERMÉSZETTUDOMÁNYI KAR INFORMATIKA INTÉZET ÁTHATÁSSZERKESZTÉS. Készítette: Pék Johanna ábrázoló geometria matematika
DEBRECENI EGYETEM TERMÉSZETTUDOMÁNYI KAR INFORMATIKA INTÉZET ÁTHATÁSSZERKESZTÉS Készítette: Pék Johanna ábrázoló geometria matematika Témavezetı: Papp Ildikó Debrecen, 2004. május Ezúton szeretnék köszönetet
RészletesebbenAz egyenes és a sík analitikus geometriája
Az egyenes és a sík analitikus geometriája Az egyenes a kétdimenziós koordinátarendszerben A kétdimenziós koordinátarendszerben az egyenest egy n(a, B) normálvektorával és egy r 0 helyvektorú P(x 0,y 0
RészletesebbenMatematika 11 Koordináta geometria. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < szeptember 27.
Matematika 11 Koordináta geometria Juhász László matematika és fizika szakos középiskolai tanár > o < 2015. szeptember 27. copyright: c Juhász László Ennek a könyvnek a használatát szerzői jog védi. A
RészletesebbenSzendrői Balázs: Algebrai síkgörbék, szerkesztette: Ádám Liliána, Ódor Gergő, Lajos Mátyás
Algebrai síkgörbék Algebrai síkgörbéknek az olyan görbéket nevezzük, amelyek pontjai egy kétváltozós polinommal jellemezhetők. Ilyenek az egyenesek (ezek az elsőfokú síkgörbék). Másodfokú síkgörbék: pl.
Részletesebben2 (j) f(x) dx = 1 arcsin(3x 2) + C. (d) A x + Bx + C 5x (2x 2 + 7) + Hx + I. 2 2x F x + G. x
I feladatsor Határozza meg az alábbi függvények határozatlan integrálját: a fx dx = x arctg + C b fx dx = arctgx + C c fx dx = 5/x 4 arctg 5 x + C d fx dx = arctg + C 5/ e fx dx = x + arctg + C f fx dx
RészletesebbenFüggvényhatárérték és folytonosság
8. fejezet Függvényhatárérték és folytonosság Valós függvények és szemléltetésük D 8. n-változós valós függvényen (n N + ) olyan f függvényt értünk amelynek értelmezési tartománya (Dom f ) az R n halmaznak
RészletesebbenKoordinátageometriai gyakorló feladatok I ( vektorok )
Koordinátageometriai gyakorló feladatok I ( vektorok./ Határozd meg az AB szakasznak azt a pontját, amely a szakaszt : ha A ( ; és a B ( ; 8!./ Adott az A ( 3 ; 5 és a ( ; 6 B pont. Számítsd ki az AB vektor
RészletesebbenÉPÍTŐMÉRNÖKI ÁBRÁZOLÁS
SEGÉDLET AZ ÉPÍTŐMÉRNÖKI ÁBRÁZOLÁS TANTÁRGYHOZ II. RÉSZ 2014. 1 Bevezetés 2011-ben az Építőmérnöki ábrázolás tantárgy előadási és gyakorlati tananyaga bővítésre került. Jelen jegyzet a 2006-ban Nika Endre,
RészletesebbenMatematika szóbeli érettségi témakörök 2016/2017-es tanév őszi vizsgaidőszak
Matematika szóbeli érettségi témakörök 2016/2017-es tanév őszi vizsgaidőszak Halmazok Halmazok egyenlősége Részhalmaz, valódi részhalmaz Üres halmaz Véges és végtelen halmaz Halmazműveletek (unió, metszet,
Részletesebben3D Számítógépes Geometria II.
3D Számítógépes Geometria II. 1. Bevezetés http://cg.iit.bme.hu/portal/3dgeo2 https://www.vik.bme.hu/kepzes/targyak/viiiav16 Dr. Várady Tamás, Dr. Salvi Péter BME, Villamosmérnöki és Informatikai Kar Irányítástechnika
RészletesebbenKOORDINÁTA-GEOMETRIA
XIV. Témakör: feladatok 1 Huszk@ Jenő XIV.TÉMAKÖR Téma A pont koordinátageometriája A kör koordinátageometriája KOORDINÁTA-GEOMETRIA A projekt típus ú feladatok tartalmi szintézise A feladat sorszáma Oldal
RészletesebbenKlár Gergely 2010/2011. tavaszi félév
Számítógépes Grafika Klár Gergely tremere@elte.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2010/2011. tavaszi félév Tartalom Pont 1 Pont 2 3 4 5 Tartalom Pont Descartes-koordináták Homogén koordináták
RészletesebbenKoordináta-geometria feladatok (középszint)
Koordináta-geometria feladatok (középszint) 1. (KSZÉV Minta (1) 2004.05/I/4) Adott az A(2; 5) és B(1; 3) pont. Adja meg az AB szakasz felezőpontjának koordinátáit! 2. (KSZÉV Minta (2) 2004.05/I/7) Egy
RészletesebbenMegoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1
Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =
RészletesebbenMATEMATIKA HETI 5 ÓRA
EURÓPAI ÉRETTSÉGI 2008 MATEMATIKA HETI 5 ÓRA IDŐPONT : 2008. június 5 (reggel) A VIZSGA IDŐTARTAMA: 4 óra (240 perc) MEGENGEDETT ESZKÖZÖK: Európai képletgyűjtemény Nem programozható, nem grafikus számológép
RészletesebbenKoordináta-geometria. Fogalom. Jelölés. Tulajdonságok, definíciók
Koordináta-geometria Fogalom Ezen a helyen találkozik össze a számtan és a mértan. Körök, egyenesek, háromszögek és más egyéb alakzatok, de nem szerkesztenünk kell, vagy méricskélni, hanem számolni, viszont
RészletesebbenNéhány felületről. Az [ 1 ] munkában találtuk az 1. ábrát. 1. ábra
1 Az [ 1 ] munkában találtuk az 1. ábrát. Néhány felületről 1. ábra Itt három vonalfelületet látunk: egyenes körhengert, egyenes ( fél ) körkúpot és egyköpe - nyű forgáshiperboloidot. A vonalfelületet
RészletesebbenGeometria 1 összefoglalás o konvex szögek
Geometria 1 összefoglalás Alapfogalmak: a pont, az egyenes és a sík Axiómák: 1. Bármely 2 pontra illeszkedik egy és csak egy egyenes. 2. Három nem egy egyenesre eső pontra illeszkedik egy és csak egy sík.
RészletesebbenAnalitikus térgeometria
5. fejezet Analitikus térgeometria Kezd és végpontjuk koordinátáival adott vektorok D 5.1 A koordináta-rendszer O kezd pontjából a P pontba mutató OP kötött vektort a P pont helyvektorának nevezzük. T
Részletesebben3 m ; a víz sodráé sec. Bizonyítsuk be, hogy a legnagyobb szöge 120 0 -os! α =. 4cos 2
3... Egyenes szíjhatás esetén milyen hosszú szíj szükséges 50 cmes és 6 cm-es sugarú tárcsák összekapcsolásához, ha a tárcsák tengelyeinek távolsága 335 cm? 3... Csónakkal akarunk a folyó túlsó partjára
RészletesebbenA dinamikus geometriai rendszerek használatának egy lehetséges területe
Fejezetek a matematika tanításából A dinamikus geometriai rendszerek használatának egy lehetséges területe Készítette: Harsányi Sándor V. matematika-informatika szakos hallgató Porcsalma, 2004. december
Részletesebben