Görbemodellezés. Interpoláció Approximáció

Átírás

1 Görbemodellezés Interpoláció Approximáció

2 Motiváció Mi okozhat problémát egy görbe megjelenítésekor? 1. A paraméteres alak segítségével történő megjelenítése nagyon bonyolult számításokat vehet igénybe. 2. Vagy nincs a görbének paraméteres alakja, csak tetszőlegesen sok pont számítható. 3. Módosítható-e a görbe utólag? (hogy szebb, vagy adott ponton áthaladó, vagy más feltételnek megfelelő görbét kapjunk) A célunk az, hogy úgy írjuk a le a görbéket, hogy kevés adatot tároljunk, könnyen számíthatók és utólag módosíthatók legyenek. Az egyszerű, gyors számíthatóság végett a gyakorlatban csak a polinomokat vesszük figyelembe. Kérdéses, hogy hányadfokú polinomokat használjunk a görbék előállítása során. Minél kisebb a polinom fokszáma, annál kevesebb művelettel számolhatók a helyettesítési értékek adott pontokban. Túl alacsony fokszámú polinomokat használva viszont bonyolultabb görbéket nem lehet előállítani. A síkbeli görbék modellezésére a másodfokú polinomok már elégségesek lehetnek, de általában harmadfokú polinomokat használunk a görbék leírására.

3 Interpoláció Adott pontokhoz olyan görbe keresése, amely áthalad az adott pontokon. A rögzített pontokat kontrollpontoknak (tartópontok, támpontok) hívjuk. A feladatnak végtelen sok megoldása létezik, ezek közül kell azt az interpolációs görbét kiválasztani, amely más feltételeknek is megfelel. Pl. szempont lehet a görbe hullámzása, vagy éppen ennek a minimálisra csökkentése. A kontrollpontokon kívül gyakran más adatok is ismertek lehetnek, pl. egy-egy pontban vagy akár mindegyikben ismert az érintővektor. Példák: Lagrange-féle interpolációs görbe Hermite-ívek

4 Approximáció Adott pontokhoz olyan görbe keresése, amely közelíti az adott pontokat. A rögzített pontokat kontrollpontoknak hívjuk. Ebben az esetben is végtelen sok megoldása van a feladatnak. A megoldások, abban különböznek egymástól, hogy egy-egy pont mennyire befolyásolja a görbe alakját. Vannak olyan pontok, melyeket az átlagosnál jobban közelít a görbe ( jobban vonzzák a görbét ), és vannak olyanok, melyeket kevésbé. Példák: Bézier görbe b-spline

5 Hermite-ív Adottak a P 0 és P 1 pontok és ezekben a görbe érintővektorai: e 0 és e 1. Egy harmadfokú görbét keresünk, amely a következő alakú (azaz a koordinátafüggvények a t paraméter harmadfokú polinomjai lesznek): s(t) a t a t a t a t 0, Ennek a görbének az első deriváltja minden pontban az érintővektort állítja elő. e 0 Az s(t)-t leíró egyenletben négy ismeretlen szerepel, és négy egyenletet tudunk felírni kezdeti feltételnek: e 1 A kezdeti feltételek analitikusan fogalmazzák meg azt a feltételt, hogy P 0 a kezdőpont e 0 érintővektorral, és P 1 a végpont e 1 érintővektorral.

6 Az érintővektor irányát változtatjuk: Hermite-ív A megoldás: s(t) (2p 2p e e )t ( 3p 3p 2e e )t e t p Melyet átrendezve látható, hogy az adatokból polinomok segítségével történik a kombinálás: s(t) (2t 3t 1)p ( 2t 3t )p (t 2t t)e (t t )e Az egyenletben szereplő együttható polinomokat Hermite-polinomoknak nevezzük. Jól látszik, hogy Hermite-ív alakját a megadott érintővektorok is befolyásolják, nemcsak az irányuk fontos, hanem rögzített irány esetén a hosszuk is. Az érintővektor hosszát változtatjuk rögzített irány mellett:

7 Bézier görbe Egymástól függetlenül, de kb egy időben fejlesztett ki a görbét Pierre Bézier (Renault művek, 1962) és Paul de Casteljou (Citroen, 1959). Adottak a P 0,, P n pontok (n+1 db), melyeket oly módon fogunk approximálni, hogy az elsőn és az utolsón átvezetjük a görbét, míg a közbenső pontokat fogjuk közelíteni. Felhasználási területek: A vektorgrafikában a szabadon alakítható sima görbék modellezésére használják. A képszerkesztő programok (pl. Adobe Photoshop, GIMP) a görbe vonalak rajzolásához egymáshoz kapcsolt Bézier görbék sorozatát használják. Ezeket a görbéket nem korlátozza a raszterképek felbontása és interaktívan alakíthatóak. A számítógépes animációban a mozgások vezérlésének eszközeként is használják. (pl. Adobe Flash, Adobe After Effects, Microsoft Expression Blend, Blender, Maya, Autodesk 3D Studio Max)

8 Bézier görbe Bézier módszere Paraméteres alakot állít elő az ún. Bernstein polinomokkal. (n+1) db pont esetén a polinom fokszáma n, és t lesz a a görbe paramétere: n B (t) t (1 t) i n i n i i n j 0 j Ez a polinom azt fogja megadni, hogy melyik approximálandó pont mennyire fog hatni a görbe alakjára. A görbe paraméteres alakja az adott kontrollpontok súlyozott összegeként áll elő: s(t) p B (t) t 0,1 n j

9 Bézier görbe Másodfokú Bézier görbe Egy másodfokú Bézier görbét három pont: a P 0, P 1, és P 2 definiál, és az s(t) függvény írja le: s(t) (1 t) P +2t(1 t)p +t P t 0, P 1 A három kontrollpont esetén a másodfokú Bézier-görbe már egy jól ismert síkgörbe, parabola lesz. P 0 P 2

10 Bézier görbe Egy harmadfokú Bézier görbét (egy síkban fekvő vagy térbeli elhelyezkedésű) négy pont: P 0, P 1, P 2 és P 3 definiál. A görbe parametrikus egyenlete: s(t) (1 t) P +3t(1 t) P +3t (1 t)p +t P t 0, P 1 P 2 P 0 P 3 Ha a harmadfokú Bézier-görbe kontrollpontjait nincsenek egy síkban, akkor a Bézier-görbe térgörbe lesz!

11 Bézier görbe A P 1 és P 2 bizonyos elhelyezkedése önmagát metsző vagy csúcsos görbét eredményezhet.

12 Bézier görbe Negyedfokú Bézier görbére néhány érdekes példa: P 1 P 2 P 2 P 3 P 0 =P 4 P 3 P 1 P 4 P 0 =P 5 Zárt görbe esetén elegendő, ha a kezdő- és végpont egybeesik. Ha azt szeretnénk, hogy a görbe sima legyen, akkor azt kell biztosítani, hogy a kezdő- és végpont egybeessen, és az első két pont és az utolsó két pont egy egyenesre essen.

13 Bézier görbe de Casteljau módszere Nem állítja elő a görbe paraméteres alakját, de rekurzív módon a görbe tetszőlegesen sok pontja könnyen megadható. A görbe paramétere ennek ellenére megjelenik az eljárásban. Ha pl a t=1/3 paraméterértékhez tartozó görbepontot szeretnénk meghatározni, akkor a kontrollpoligon minden élén meghatározzuk a harmadoló pontot (zöld pontok). Ezeket összekötve egy új poligon kapunk, az éleken ismét meghatározzuk a harmadoló pontokat (kék pontok). Az eljárást addig alkalmazzuk amíg már csak egy szakasz marad, és azon kell a harmadoló pontot keresni. Négy kontrollpont esetén három lépés után a leáll a rekurzió. Fontos: Minden esetben véges sok lépés után megkapjuk a keresett pontot.

14 Bézier görbe Másod-, harmad-, negyedfokú ív előállítása a de Casteljau eljárással:

15 Bézier görbe Tulajdonságok: 1. A Bézier-görbe az első és utolsó kontrollponton áthalad. 2. A Bézier-görbe a kontrollpontjai affin transzformációjával szemben invariáns. Ez következik a de Casteljau-féle előállításból. Ezen tulajdonságot kihasználva, a görbe affin transzformációja * esetén elég a kontrollpontokra végrehajtani a transzformációt, mivel a transzformált pontok által meghatározott Bézier-görbe megegyezik az eredeti görbe transzformáltjával. De projektív transzformációra (centrális vetítés) nézve nem invariáns! 3. A Bézier görbe a kontrollpontok konvex burkán belül halad. (Nem leng ki túlságosan.) * (Pl.:eltolás, elforgatás, tükrözés, skálázás, párhuzamos vetítés)

16 Bézier görbe 4. Szimmetrikus görbe abban az értelemben, hogy ha a kontrollpontokat fordított sorrendben adjuk meg, akkor ugyanazt az ívet kapjuk. 5. A kontrollpontok számának növekedése a görbe fokszámát is növeli, n+1 db pont esetén a fokszám n. Két kontrollponttal az általuk adott szakasz paraméterezhető. 6. Egy Bézier görbének egy egyenessel (térgörbe esetén síkkal) legfeljebb annyi közös pontja van, ahány pontban az egyenes (sík) a kontrollpoligont metszi. 7. A görbe egy kontrollpontját megváltoztatva a teljes görbe változik. (Csak globálisan változható!) 8. A kezdő- és a végpontban az érintők tartó egyenese a kontrollpoligon oldalai. (Ez az illesztéseket fogja segíteni.)

17 Bézier görbe Mi lehet a teendő, ha sok kontrollpontunk van, de nem akarunk magas fokszámú görbével dolgozni? Alacsonyabb fokszámú ívek illesztése Kapcsolódó görbeívek használata igen gyakori a modellezésben. Ilyen esetekben a csatlakozásnál megadjuk a folytonosság mértékét. A nulladrendű C 0 folytonossághoz elegendő, ha a csatlakozáskor keletkező görbe megrajzolható anélkül, hogy a ceruzánkat felemelnénk. A mi esetünkben ez akkor teljesül, ha az első görbe végpontja megegyezik a második görbe kezdőpontjával. Az elsőrendű C 1 folytonossághoz az érintővektoroknak kell megegyezniük, amely azt jelenti, hogy a csatlakozási pontban az első deriváltaknak egyenlők. Ennél gyengébb feltétel, ha a csatlakozási pontokban azt követeljük meg, hogy az érintő egyenesek essenek egybe. Ekkor az első deriváltak egy konstansszorzóban térnek el egymástól. (Geometriai folytonosság)

18 Bézier görbe A másodrendű C 2 folytonossághoz a fenti feltételeken kívül teljesülnie kell, hogy csatlakozási pontban a második deriváltak is megegyezzenek. Ennek az a következménye, hogy a csatlakozási pontokban a görbületek is megegyeznek. A görbe paraméteres megadása nem más, mint egy út/idő függvény. Ennek az első deriváltja a sebességvektort, míg a második deriváltja a gyorsulásvektort adja. A gyakorlatban C 2 folytonosságú kapcsolat elégséges, pl. animáció esetén a mozgó kamera által készített felvétel akkor lesz valósághű, ha a kapcsolódási pontokban nem gyorsul/lassul a görbe bejárása. (Ellenkező esetben szaggatott felvételt kapunk.) Ezt fejezi ki a C 2 folytonosság feltétele, hogy a második deriváltak is egyezzenek meg.

19 Bézier-ívek néhány alkalmazása Betűtípusok tervezése (körvonal-alapú tervezés) Egy szabadkézi rajz, vagy másolat alapján a körvonalat görbével közelítik, majd a kapott csatlakozó görbéket még utólag módosítják. Az utómunka során kontrollpontokat vehetnek ki, módosíthatják azok helyét, de bizonyos pontokban az érintő állása, hossza is változhat több kontrollpont együttes változtatásával. A görbék által határolt terület kitöltésével megszületik az új betű.

20 Bézier-ívek néhány alkalmazása Betűtípusok tervezése (középgörbe-alapú tervezés) Ebben az esetben azt kell lemodellezni, mintha egy tollal írtuk volna a betűt. A toll hegye pl. ferdén vágott, a lappal ellipszisben találkozik, és a toll végig megőrzi ezt az állását. Ekkor az ellipszist a középpontjánál fogva mozgatjuk egy görbén, és olyan görbét kell keresni, amely az ellipszis felvett helyzeteivel végig érintkezik. Körvonal-alapú Középgörbe-alapú

21 Bézier-ívek néhány alkalmazása Minták tervezése (körvonal-alapú tervezés) Egy szabadkézi rajz, vagy másolat (esetleg fénykép) alapján a körvonalat görbével közelítik, majd a kapott csatlakozó görbéket még utólag módosítják. A görbék által határolt terület kitöltésével megszületik a minta.

22 Bézier-ívek néhány alkalmazása Modern képek A művészek egy része szereti használni a modern technikát. Sokszor kihagyva a kézi rajzolással történő alkotást, azonnal géppel készül az alkotás. (

23 Bézier-ívek néhány alkalmazása Textilről web-oldalra Egy bordűrös textil adta az inspirációt egy web-oldalon megjelenő ismétlődő mintához. Elég volt egy tökéletesnek nem mondható fénykép, melyről nagyon sok pont megadásával lett definiálva a minta.

24 Bézier-ívek néhány alkalmazása Általános fejmodell módosítása fényképek alapján Az általános fejmodell körvonala eltér a fényképen látható fejformától. A fényképen a fejformát Béziergörbével adták meg (zöld görbe), majd ehhez deformálták az általános modell körvonalát (piros görbe).