2) A koordinátázott síkban adva van egy E ellipszis, melyet az x2

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "2) A koordinátázott síkban adva van egy E ellipszis, melyet az x2"

Átírás

1 1. feladatsor (Kúpszeletekre vonatkozó feladatok) Ha egy feladatban síkbeli koordinátákat alkalmazunk, akkor azok egy derékszög koordinátarendszerre vonatkoznak, melynek kezd pontja O és ortonormált alapvektorai i, j. Idézzük fel az ellipszis, a hiperbola és a parabola fogalmát, adjuk meg ezen alakzatok kanonikus egyenletét. 1) A síkban legyen adva egy C középpontú k kör és annak belsejében egy D pont. Tekintsük a sík összes olyan körét, amely áthalad Dn és érinti a k kört. Milyen alakzatot (vagy más szóval mértani helyet) képeznek ezen körök centrumai? 2) A koordinátázott síkban adva van egy E ellipszis, melyet az x2 a + y2 2 b = 1 2 egyenlet ír le (a > b > 0). Vegyük a síkban a t = u i + v j (u, v R) vektorral történ eltolást, amely E-t az E ellipszisbe képezi. Adjuk meg az E képellipszis egyenletét. 3) A koordináta-rendszerrel ellátott síkban vegyünk egy AB szakaszt, amelynek hossza a + b (a b > 0). Ezen a szakaszon vegyük azt a P pontot, amelyre fennáll AP = b és P B = a. Mozgassuk ezt a szakaszt a síkban oly módon, hogy az A végpont mindig az x tengelyre, a B pont pedig mindig az y tengelyre essen. Bizonyítsuk be, hogy a mozgatás során a szakasz P pontja egy ellipszist ír le. (Ellipszográf m ködési elve.) 4) Adva vannak egy ellipszis nagytengelyének A 1, A 2 végpontjai és az ellipszis egy további P pontja. Szerkesszük meg az ellipszis fókuszpontjait. (Elegend megadni a szerkesztés menetét. A megoldáshoz célszer kapcsolatot keresni az el z feladattal. ) 5) A koordináta-rendszerrel ellátott síkban adva van az x 2 + y 2 = a 2 egyenlet kör. Tekintsük a síkban azt a mer leges tengelyes anitást, amelynek tengelye az y = 0 egyenlet egyenes (vagyis az x tengely) és el jeles aránya λ (λ ±1). Igazoljuk, hogy az anitás a kört egy ellipszisbe képezi. 6) Mutassuk meg, hogy bármely ellipszist körbe lehet képezni egy megfelel an transzformációval. 7) Igazoljuk, hogy egy ellipszis bármely pontján pontosan egy olyan egyenes halad át, amelynek nincs további közös pontja az ellipszissel. 8) A síkban adva van egy C centrumú k kör és azon kívül egy D pont. Tekintsük a síkban az összes olyan kört, amely áthalad Dn és érinti a k kört. Milyen alakzatot (vagy más szóval mértani helyet) alkotnak ezen körök középpontjai? 9) A koordinátázott síkban vegyük azt a hiperbolát, melynek fókuszai az F 1 ( 3, 0), F 2 (3, 0) pontok és amelyik áthalad a P ( 5, 4) ponton. Adjuk meg a hiperbola kanonikus egyenletét. 10) A koordinátázott síkban tekintsük az x 2 y 2 = 1 egyenlettel leírt hiperbolát. Koordináta-geometriai eszközökkel igazoljuk, hogy a hiperbola A(1, 0) pontján három olyan egyenes megy át, amelynek nincs további közös pontja a hiperbolával.

2 2. feladatsor (Kúpszeletekre vonatkozó feladatok) 1) A koordinátázott síkban adva van egy parabola, melyet a x 2 2 p y = 0 egyenlet ír le (p 0). Tekintsük a síkban a t = u i + v j vektorral történ eltolást. Adjuk meg a parabola ezen eltolással nyert képének az egyenletét. 2) Vegyük az f(x) = 2x 2 +6x+13 összefüggéssel leírt valós polinomfüggvény grakonját a koordinátázott síkban. Adjuk meg ezen parabola fókuszának koordinátáit, továbbá a parabola vezéregyenesének egyenletét. 3) Egy σ síkban adva vannak A 1, B 1 és A 2, B 2 pontpárok. Hány olyan síkbeli hasonlósági transzformáció van, amely az A 1 pontot A 2 -be és a B 1 pontot B 2 -be képezi? 4) A síkban legyen adva két parabola. Igazoljuk, hogy pontosan két olyan síkbeli hasonlósági transzformáció van, amely az els parabolát a másodikba képezi. 5) Legyen adva a σ síkban egy ellipszis az ún. deniáló adataival, vagyis az F 1, F 2 fókuszpontjaival és a nagytengelyhosszával, melyet 2a jelöl. Vegyük σban ezen ellipszisnek egy Q küls pontját. Szerkesszük meg az ellipszis Qn átmen érint egyeneseit és azokon az érintési pontokat. (Az egyik megoldási terv: Ha az e érint átmegy a Q ponton, akkor F 1 nek az ere vonatkozó E tükörképe egyaránt rajta van a Q centrumú r = QF 1 sugarú körön és az F 2 centrumú vezérkörön.) 6) A σ síkban vegyük azt az ellipszist, amelyet az x y2 = 1 egyenlet ír le. Tekintsük 12 az ellipszis azon P (2, y) pontját, ahol y < 0. Határozzuk meg a P beli érint egyenes egyenletét. 7) A síkban legyen adva egy ellipszis, amelynek fókuszpontjai F 1 és F 2, a tengelypontjai pedig A 1 és A 2. Legyen P az ellipszis egy olyan pontja, amely nincs rajta az F 1, F 2 egyenesen. Tekintsük az F 1 F 2 P háromszöget. Bizonyítsuk be, hogy az F 1 F 2 P háromszögnek az F 1 P oldalhoz hozzáírt köre áthalad az A 1 tengelyponton. 8) Legyen adva a σ síkban egy hiperbola az ún. deniáló adataival, vagyis az F 1, F 2 fókuszpontjaival és a 2a valós tengelyhosszal. Vegyük σban ezen hiperbolának egy Q küls pontját, amely különbözik az O centrumtól. Szerkesszük meg a hiperbola Qn átmen érint egyeneseit és azokon az érintési pontokat. 9) Az el z feladatnak megfelel en szerkesszük meg a hiperbolának az O centrumon átmen érint egyeneseit és azokon az érintési pontokat. 10) Adva van az ellipszis egyik fókuszpontja, egy pontja és abban az érint, továbbá egy másik érint egyenes. Szerkesszük meg a másik fókuszt és a 2a nagytengelyhosszt. (Elegend vázlatosan megadni a szerkesztés menetét.) 11) Adva van az ellipszis egyik fókuszpontja, egy pontja és abban az érint, továbbá egy másik pont az ellipszisen. Szerkesszük meg a másik fókuszt és a 2a nagytengelyhosszt.

3 3. feladatsor (Kúpszeletekre vonatkozó szintetikus és analitikus feladatok.) 1) A koordinátázott síkban tekintsük azt a hiperbolát, melynek egyenlete x2 5 y2 4 = 1. Határozzuk meg a hiperbola Q(3, 4) ponton átmen érint egyeneseinek az egyenletét és az egyik érint n az érintési pontot. 2) Adva van a parabola fókuszpontja, egy pontja és abban az érint egyenes. Szerkesszük meg a parabola vezéregyenesét. 3) Adva van a parabola csúcspontbeli érint je és két további érint egyenese. Szerkesszük meg a parabola fókuszát és vezéregyenesét. 4) Adva van egy parabola a deniáló adataival, azaz az F fókuszponttal és a v vezéregyenessel. Vegyünk egy Q küls pontot. Szerkesszük meg a parabola Qn átmen érint it és azokon az érintési pontokat. (Legyen F az érintési pontok összeköt szakaszának felez pontja. Vegyük észre, hogy F Q párhuzamos a parabola tengelyével.) 5) Adva van egy parabola két pontja és azokban a parabola érint egyenesei. Szerkesszük meg a parabola deniáló adatait (vagyis a fókuszát és a vezéregyenesét). 6) A koordinátarendszerrel ellátott síkban vegyük azt a parabolát, amelyet az y 2 8x = 0 egyenlet ír le. Határozzuk meg a parabola azon érint inek az egyenletét, melyek átmennek a Q(5, 7) küls ponton. 7) Adva van egy ellipszis O centrumú f f köre, egyik e érint je és azon a P érintési pont. Szerkesszük meg az ellipszis fókuszpontjait. (Elég vázlatosan leírni a szerkesztést.) 8) A σ síkban adva van egy H hiperbola, melynek fókuszai F 1, F 2, továbbá tengelypontjai A 1, A 2. Vegyük azt a π síkot, amely tartalmazza az A 1, A 2 tengelyegyenest és mer leges a σ síkra. Milyen mértani helyet alkotnak a π síkban azon forgáskúpok csúcspontjai, melyeknek a σ síkkal vett metszete megegyezik a H hiperbolával? 9) A koordinátázott σ síkban tekintsük azt a hiperbolát, melynek egyenlete x2 a y2 2 b = 2 1. Vegyük az x2 a y2 = 0 2 egyenlettel leírt két egyenest, melyeket a hiperbola aszimptotáinak nevezünk. Igazoljuk, hogy bár ezen egyeneseknek nincs a hiperbolával közös b2 pontjuk, a hiperbolától mért távolságuk 0. (Utalás: Használjuk fel a hiperbola x = ±a cosh t, y = b sinh t, t R paraméteres el állítását.) 10) Adva van a hiperbola egyik fókuszpontja, az egyik aszimptotája és az egyik érint egyenese. Szerkesszük meg a másik fókuszt és a 2a valós tengelyhosszt. Utalás: A fókusznak az aszimptotára vonatkozó tükörképe is a vezérkörön van. 11)* A σ síkban adva van egy v egyenes és egy F (F / v) pont. Vegyünk egy ε (ε > 0) számot, és tekintsük az A = { P σ F P = ε d(v, P ) } alakzatot. Bizonyítsuk be, hogy az A alakzat ε < 1 esetén egy ellipszis, ε > 1 esetén pedig egy hiperbola.

4 4. feladatsor (Síkbeli koordináta-transzformációk.) Az a 11 x( 2 +2 a 12 x) y+a ( 22 ) y 2 +2 b 1 x+2( b 2 ) y+d = 0 (MFE) másodfokú egyenlet felírható a11 a az (x, y) 12 x x + 2 (b a 12 a 22 y 1, b 2 ) + d = 0 mátrixos alakban. Mint ismeretes, a y 2 2es A szimmetrikus mátrix meghatároz egy α : V σ V σ lineáris leképezést a síkbeli vektorok V σ terén. A f tengelytranszformációnál olyan új ortonormált i, j alapvektorokat veszünk, amelyek sajátvektorai az α lineáris leképezésnek. 1) A σ síkban legyen adva van két pont A és B. Legyen f az AB szakasz σbeli felez mer legese. Tekintsük a σ síkban az összes olyan kört, amely áthalad az A, B pontokon. Koordinátageometriai eszközökkel igazoljuk, hogy a körök f re mer leges átmér inek végpontjai egy hiperbolát alkotnak. 2) A síkon adva van egy (O, i, j) Descartesféle koordinátarendszer. Legyen a egy rögzített pozitív valós szám. Tekintsük a 2 x y a 2 = 0 egyenlettel leírt M másodrend görbét. Mutassuk meg, hogy ennek az x + y = 0 és x y = 0 egyenlet egyenesek a szimmetriatengelyei. Írjuk fel az M görbe egyenletét abban az új koordinátarendszerben, ahol ezek a szimmetriatengelyek a koordinátatengelyek. 3) Tekintsük azt a másodrend görbét, melynek egyenlete 8 x 2 12 xy + 17 y 2 80 = 0. Határozzuk meg a görbe kanonikus egyenletét és a szimmetriatengelyei irányába mutató i, j egységvektorokat. A kanonikus egyenlete alapján jellemezzük a görbét. 4) Tekintsük a síkban azt a két másodrend görbét, melyek egyenlete 13 x xy 3 y 2 75 = 0, illetve 9 x 2 6 xy + y 2 10 x 30 y = 0. Határozzuk meg a görbék kanonikus egyenletét, és ez alapján jellemezzük ket. 5) Mutassuk meg, hogy amennyiben igaz b 1 = 0 és b 2 = 0, akkor az (MFE) egyenlettel leírt másodrend görbének az O kezd pont szimmetriacentruma. 6) Tekintsünk egy másodrend görbét, melyet az (MFE) egyenlet ír le. Legyenek t 1 és t 2 olyan valós számok, melyekkel fennállnak az a 11 t 1 + a 12 t 2 + b 1 = 0 és a 12 t 1 + a 22 t 2 + b 2 = 0 egyenl ségek. Bizonyítsuk be, hogy a Q(t 1, t 2 ) pont szimmetriaközéppontja (más szóval centruma) az adott másodrend görbének. 7) Vegyük azt a másodrend görbét, amelyet a 3x 2 2xy + 3y 2 24x + 24y + 40 = 0 egyenlet ír le. Számítsuk ki ezen másodrend görbe Q centrumának koordinátáit az eredeti koordinátarendszerben, továbbá határozzuk meg a kanonikus egyenletet. Utalás: El bb toljuk el a kezd pontot a Q centrumba, ezt követ en módosítsuk az élvektorokat. 8) Tekintsük a koordinátázott síkon azt a másodrend görbét, melynek egyenlete 4x 2 + 6xy 4y x 52y 19 = 0. Határozzuk meg ezen másodrend görbe Q (t 1, t 2 ) centrumának a koordinátáit és a görbe egyenletét a (Q, i, j) koordináta rendszerben, továbbá adjuk meg a görbe kanonikus egyenletét.

5 5. feladatsor (Síkbeli homogén koordináták. Desargues tétele.) A σ euklideszi sík ideális pontokkal történ kib vítésével nyerjük a σ projektív síkot. Ismeretes, hogy amennyiben a σ síkon adott egy (O, i, j) derékszög koordináta-rendszer, akkor az a σ projektív síkon egy homogén koordinátázást határoz meg. Ha egy σ-beli e egyenes párhuzamos a v = v 1 i + v 1 j vektorral, akkor a hozzárendelt I e ideális pont homogén koordinátái a [λ v 1, λ v 2, λ] (λ R, λ 0) számhármasok. 1) A koordinátázott X euklideszi térben tekintsük azt a K forgáskúpot, melynek centruma a C(3, 0, 5) pont, tengelyének paraméteres egyenletrendszere x = 3 + t, y = 2t, z = 5 2t, továbbá félnyílásszöge ϕ = 30. Írjuk le a K forgáskúpot egy másodfokú egyenlettel. (Egy P (x, y, z) pont akkor van rajta a forgáskúpon, ha a CP vektor 30 -os szöget zár be a kúp tengelyével.) Döntsük el, hogy milyen görbét metsz ki a z = 0 egyenlet koordinátasík a kúpból? 2) Adva van az X projektív térben két kitér egyenes a és b, továbbá egy P pont, amely nincs rajta egyik egyenesen sem. Bizonyítsuk be, hogy van egy olyan h egyenes, amely áthalad a P ponton és metszi az a, b egyeneseket. Igaz-e a fenti kijelentés az X euklideszi térben is? 3) Adva van két számhármas [2, 4, 1 3t] és [3, 6, 4t], melyek egyazon pont homogén koordinátái a koodinátázott σ projektív síkon. Adjuk meg t paraméter értékét. 4) A koordinátázott σ síkon tekintsük azt a két egyenest, melyek egyenlete 5x 6y 3 = 0 és x 4y + 5 = 0. Az σ projektív síkon az egyenesekhez rendelt homogén koordinátákat alkalmazva számítsuk ki a két egyenes metszéspontjának koordinátáit. Adjuk meg továbbá az egyenesekhez rendelt ideális pontok homogén koordinátáit. 5) Az σ projektív síkon homogén koordinátáikkal adva vannak az A[6, 9, 3] és B[3, 5, 0] pontok. Határozzuk meg az A, B pontokra illeszked projektív egyenes homogén koordinátáit. 6) A σ euklideszi síkon egy S centrumú középpontos hasonlóság az ABC háromszöget az A B C háromszögbe képezi. A σ projektív síkon hol van a két háromszög perspektivitásának a tengelye? 7) A σ euklideszi síkon egy ϕ tengelyes anitás az ABC háromszöget az A B C háromszögbe képezi. A σ projektív síkon hol van a két háromszög perspektivitásának a centruma? El fordulhat-e az, hogy a centrum rajta van a tengelyen? 8) A σ projektív síkon adva van két egyenes a és b, amelyek az M pontban metszik egymást. A sík egy S (S / a, S / b) pontján átmen p, q, r egyenesek az el bbi két egyenest az A = p a, D = p b, E = q a, B = q b, C = r a, F = r b pontokban metszik. Tekintsük az X = AB DE, Y = BC EF, Z = CD F A metszéspontokat. A Desargues-tétel alkalmazásával bizonyítsuk be, hogy az X, Y, Z és M pontok kollineárisak.

6 6. feladatsor (Pontnégyes és sugárnégyes kett sviszonya.) A σ síkon vegyünk olyan egymástól különböz a, b, c, d egyeneseket, amelyek egyazon S pontra illeszkednek. A sík és az egyenesek irányítását felhasználva a sugárnégyes kett sviszonyán az (a b c d) = : valós számot értjük. sin(a, c) sin(a, d) sin(c, b) sin(d, b) 1) A koordináta-rendszerrel ellátott σ síkon adva vannak az egyazon g egyenesre es A(0, 2), B(3, y B ) és C(1, 5) pontok. Határozzuk meg a g egyenes azon D pontjának koordinátáit, amelyre fennáll (ABCD) = ) Egy szabályos hatszög csúcsai legyenek sorrendben A, B, C, D, E és F. Vegyük az a = A, E, b = B, E, c = C, E és d = D, E egyeneseket. Határozzuk meg az (a b c d) kett sviszony értékét. 3) Vegyünk egy olyan ABC háromszöget, amelyre fennáll γ = 135. A γ szöget harmadoló h 1, h 2 egyenesek messék el az AB oldalt a C 1, C 2 pontokban (ACC 1 = 45 ). Számítsuk ki az (A C 1 C 2 B) kett sviszony értékét. 4) A σ síkon tekintsünk egy k kört és annak négy rögzített pontját, melyek legyenek A, B, C és D. Vegyünk a k körön egy további S pontot, és az a = S, A, b = S, B, c = S, C, d = S, D egyeneseket. Bizonyítsuk be, hogy az (a b c d) kett sviszony értéke nem függ az S pont megválasztásától. (Az (a b c d) számot mondjuk az A, B, C, D köri pontnégyes kett sviszonyának. Jelölés: (A B C D) k.) 5) A síkban adva van egy g egyenes és azon olyan A, B, C pontok, hogy C nincs rajta az AB szakaszon. Csak vonalzót (és síkbeli segédpontokat) alkalmazva szerkesszük meg a g egyenes azon D pontját, amelyre fennáll (A B C D) = 1. 6) A síkban adva van egy g egyenes és azon az A, B pontok, továbbá egy a g-vel párhuzamos h egyenes. Csak vonalzót (és síkbeli segédpontokat) alkalmazva szerkesszük meg az AB szakasz felez pontját. 7) A σ síkon tekintsünk egy k kört és annak négy rögzített érint jét, melyek legyenek a, b, c és d. Vegyünk a k körhöz egy további e érint egyenest, amely az a, b, c, d érint ket az A, B, C, D pontokban metszik. Bizonyítsuk be, hogy az (A B C D) kett sviszony értéke nem függ az e érint megválasztásától. 8) A koordinátázott σ projektív síkon adva vannak az A[4, 1, 2], B[1, 2, 3], C[4, 6, x 3 ], D[3, 1, 1] kollineáris pontok. Számítsuk ki a pontnégyes kett sviszonyát a pontok meghatározó vektorainak alkalmazásával. 9) A σ euklideszi síkon adva vannak az egyazon S pontra illeszked a, b, c egyenesek, amelyek egyenlete x y 1 = 0, x + 2y 7 = 0 és 2x 5y + C 3 = 0. Határozzuk meg annak az S ponton átmen d egyenesnek az egyenletét, amellyel a sugárnégyes kett sviszonyára fennáll (a b c d) = 1 4.

7 7. feladatsor (Kollineációk a projektív síkon.) A σ euklideszi síknak egy (O, i, j) derékszög koordináta-rendszerét alkalmazva a σ projektív sík pontjaihoz homogén koordinátákat rendelünk. Mint ismeretes, bármely σbeli κ kollineációhoz van olyan ξ : V V lineáris izomor- zmus a szabad vektorok V terén, hogy a ξ éppen a κ kollineációt indukálja. A ξnek a Vbeli i, j, k ortonormált bázisra vonatkozó mátrixa legyen a 3 3as M mátrix, amely invertálható. Emiatt a homogén pontkoordinátákra nézve egy κ kollináció az x 1 m 11 m 12 m 13 x 2 = λ m 21 m 22 m 23 x 3 m 31 m 32 m 33 x 1 x 2 x 3 (λ R, λ 0) mátrixegyenlettel írható le. 1) Tekintsünk egy κ centrálistengelyes kollineációt, amelynek C a centruma és t a tengelye (C / t). Vegyünk egy σbeli P pontot (P C, P / t) és annak P = κ(p ) képét. A p = C, P egyenesnek a t tengellyel vett metszéspontja legyen T p. Mutassuk be, hogy a (C T p P P ) kett sviszony értéke nem függ a P pont megválasztásától. Ezt a c(κ) = (C T p P P ) számot a κ karakterisztikus kett sviszonyának nevezzük. 2) Legyen adva a σ euklideszi síkon egy τ : σ σ tengelyes tükrözés. Tekintsük a τ projektív lezárásával nyert τ kollineációt a σ síkon. Mutassuk meg, hogy a τ kollineációnak van centruma is, és adjuk meg a τ karakterisztikus kett sviszonyát. 3) Legyen adva a σ euklideszi síkon egy ϕ : σ σ csúsztatva tükrözés. Tekintsük a ϕ projektív lezárásával nyert ϕ kollineációt a σ projektív síkon. Hány xpontja van a ϕ kollineációnak és mely pontok lesznek ezek? 4) Mint ismeretes, tetsz leges κ kollineációnak (számszorzótól eltekintve egyértelm en) megfelel egy 3 3as M mátrix, amely az x = λ Mx egyenlet formájában írja le κt az x = (x 1, x 2, x 3 ) T homogén pontkoordinátákra nézve. Lineáris algebrai ismeretek alapján igazoljuk, hogy bármely κ kollineációnak van legalább egy xpontja. 5) Tekintsük azt a κ : σ σ kollineációt, amelyet a homogén pontkoordinátákra nézve az x x 1 x 2 = λ x 2 (λ R, λ 0) x x 3 mátrixegyenlet ír le. Igazoljuk, hogy κ egy centrálistengelyes kollineáció. Határozzuk meg a centrum és a tengely homogén koordinátáit. 6) Határozzuk meg az el z feladatban szerepl κ centrálistengelyes kollineáció karakterisztikus kett sviszonyát. Jellemezzük a κ 2 = κ κ kollineációt.

8 Két centrális vetítés szorzata, mint centrális-tengelyes kollineáció a projektív síkon Egy κ : σ σ projektív transzformációnál a σ sík egy t egyenesét a κ tengelyének mondunk, ha κ xen hagyja a t egyenes összes pontját. A σ sík egy C pontját a κ kollineáció centrumának nevezünk, ha κ xen hagyja a C-re illeszked összes egyenest. Centrális-tengelyes kollineációt az alábbi módon lehet konstruálni. A projektív térben vegyük a σ és ϱ projektív síkokat, továbbá olyan K 1, K 2 pontokat, amelyek nincsenek rajta a σ, ϱ síkokon. Vetítsük rá K 1 centrumból a σ projektív síkot a ϱ síkra. Ez a centrális vetítés egy egyenestartó bijektív leképezést ad, melyet jelöljön µ 1 : σ ϱ. (Az ábrán egy σ-beli P pont vetületét P v jelöli.) Ezt követ en vetítsük rá a ϱ síkot a σ síkra a K 2 vetítési centrumból. Ily módon egy másik µ 2 : ϱ σ bijektív leképezést nyerünk. Világos, hogy az egyenestartó µ 1, µ 2 leképezések κ = µ 2 µ 1 szorzata egy kollineációt ad a σ projektív síkon. (Az ábrán P jelöli a σ-beli P pont κ szerinti képét.) A κ : σ σ kollineáció xen hagyja a σ és ϱ síkok t metszésvonalának az összes pontját. Azonban κ nemcsak a t = σ ρ egyenes pontjait hagyja xen, hanem a K 1, K 2 egyenes σ síkkal vett C metszéspontját is. Látható továbbá, hogy bármely C-n átmen σ-beli egyenes képe önmaga. Ezek szerint a κ = µ 2 µ 1 leképezés egy centrális-tengelyes kollineáció a C centrummal és a t tengellyel. 1. ábra. Két centrális vetítés szorzataként nyert kollineáció a σ projektív síkon.

9 8. feladatsor (Másodrend görbék a projektív síkon.) A derékszög koordinátarendszerrel ellátott σ síkon legyen adva van egy M másodrend görbe, melyet az a 11 x a 12 x y + a 22 y b 1 x + 2 b 2 y + d = 0 egyenlet ír le. Vegyük a σ = σ i σ projektív síkon a megfelel homogén koordinátákat. Ekkor az a 11 x a 12 x 1 x 2 + a 22 x b 1 x 1 x b 2 x 2 x 3 + d x 2 3 = 0 egyenlettel meghatározott σbeli M alakzatot az M projektív lezárásának mondjuk. 1) A σ síkban vegyük a x2 25 y2 1 = 0 egyenlettel leírt hiperbolát. Határozzuk meg a 4 hiperbola projektív lezárásával nyert σbeli görbe homogén koordinátás egyenletét és ideális pontjainak a koordinátáit. 2) A σ síkban tekintsük a (x + 3) 2 6y = 0 egyenlettel leírt parabolát. Határozzuk meg a parabola projektív lezárásával nyert σbeli görbe homogén koordinátás egyenletét és ideális pontjának a koordinátáit. 3) A σ projektív síkon legyen adva öt pont a homogén koordinátáival. Az öt pont általános helyzet, azaz közülük bármely három nincs egy egyenesen. Azon közönséges kúpszelet egyenletét akarjuk meghatározni, amely tartalmazza mind az öt pontot. Jelölje A, B, C, D, P az adott pontokat. Vegyük a g 1 = A, B, h 1 = C, D és g 2 = A, D, h 2 = B, C egyeneseket. Tekintsük az N 1 = g 1 h 1 és N 2 = g 2 h 2 elfajuló másodrend görbéket, ezeket írják le az x T Ax = 0 és x T Bx = 0 egyenletek. Vegyük P nek egy z T = (z 1, z 2, z 3 ) homogén koordinátahármasát és az α = z T Az, β = z T Bz számokat, melyek különböznek 0tól. Igazoljuk, hogy az x T (βa αb)x = 0 egyenlettel leírt másodrend görbe mind az öt ponton áthalad. 4) A σ euklideszi síkon vegyük a koordinátáikkal meghatározott A( 1, 1), B( 1, 1), C(2, 0), D(1, 1) és P (1, 2) pontokat. Az el z feladatnak megfelel en határozzuk meg azon másodrend görbe egyenletét, amely mind az öt ponton áthalad. Ha a σbeli homogén koordinátákat alkalmazzuk, az (x 1 + x 3 )(x 1 + x 2 2x 3 ) = 0 egyenlet írja le az N 1 et, és a z T = (1, 2, 1) választás esetén α = 6 adódik. 5) Vegyük a σ projektív síkon azt az M másodrend görbét, amelynek egyenlete 5 (x 1 ) 2 4 x 1 x 2 +2 (x 2 ) 2 +8 x 1 x 3 3 (x 3 ) 2 = 0. Vegyük észre, hogy a P [ 1, 1, 1] pont rajta van a görbén. Mutassuk meg, hogy M egy közönséges projektív kúpszelet. 6) Tekintsük az el z feladatban szerepl M közönséges projektív kúpszeletet. Határozzuk meg a Q[1, 2, 0] pontnak az Mre vonatkozó polárisát, továbbá a P [ 1, 1, 1] pontbeli érint egyenest. 7) A σ euklideszi síkon tekintsük azt az M hiperbolát, amelynek egyenlete 2x 2 6xy y 2 +22y 21 = 0. Tekintsük az M hiperbola M projektív lezárását a σ síkon. Határozzuk meg az M projektív kúpszelet azon érint it, amelyek áthaladnak az x 2 x 3 = 0 egyenlet egyenes Mre vonatkozó pólusán. Projektív geometriai eszközökkel határozzuk meg az M hiperbola centrumának a koordinátáit a σ síkon.

Analitikus geometria c. gyakorlat

Analitikus geometria c. gyakorlat matematikatanári szak (2016/2017-es tanév, 1. félév) 1. feladatsor (M veletek vektorokkal) 1) Az a vektor hossza kétszerese a b vektor hosszának. Mekkora a két vektor szöge, ha az a b vektor mer leges

Részletesebben

Analitikus térgeometria

Analitikus térgeometria 5. fejezet Analitikus térgeometria Kezd és végpontjuk koordinátáival adott vektorok D 5.1 A koordináta-rendszer O kezd pontjából a P pontba mutató OP kötött vektort a P pont helyvektorának nevezzük. T

Részletesebben

Bevezetés az elméleti zikába

Bevezetés az elméleti zikába Bevezetés az elméleti zikába egyetemi jegyzet Kúpszeletek Lázár Zsolt, Lázár József Babe³Bolyai Tudományegyetem Fizika Kar 2011 TARTALOMJEGYZÉK 6 TARTALOMJEGYZÉK Azokat a görbéket, amelyeknek egyenlete

Részletesebben

Koordináta-geometria feladatok (emelt szint)

Koordináta-geometria feladatok (emelt szint) Koordináta-geometria feladatok (emelt szint) 1. (ESZÉV Minta (2) 2004.05/7) Egy ABC háromszögben CAB = 30, az ACB = 45. A háromszög két csúcsának koordinátái: A(2; 2) és C(4; 2). Határozza meg a harmadik

Részletesebben

Dierenciálgeometria és nemeuklideszi geometriák c. gyakorlat

Dierenciálgeometria és nemeuklideszi geometriák c. gyakorlat matematikatanári szak (2017/18as tanév, 1. félév) 1. feladatsor (Másodrend görbék a projektív síkon. Konjugált pontok.) A koordinátageometriai feladatoknál feltesszük, hogy a σ euklideszi sík egy derékszög

Részletesebben

Szerkesztések a Cayley-Klein-féle körmodellben

Szerkesztések a Cayley-Klein-féle körmodellben Eötvös Lóránd Tudományegyetem Természettudományi kar Szerkesztések a Cayley-Klein-féle körmodellben Szakdolgozat Készítette: Szántó Rita Matematika BSc, Tanári szakirány Témavezet : Dr. Verhóczki László

Részletesebben

Koordinátageometriai gyakorló feladatok I ( vektorok )

Koordinátageometriai gyakorló feladatok I ( vektorok ) Koordinátageometriai gyakorló feladatok I ( vektorok./ Határozd meg az AB szakasznak azt a pontját, amely a szakaszt : ha A ( ; és a B ( ; 8!./ Adott az A ( 3 ; 5 és a ( ; 6 B pont. Számítsd ki az AB vektor

Részletesebben

PROJEKTÍV GEOMETRIAI PÉLDATÁR

PROJEKTÍV GEOMETRIAI PÉLDATÁR Papp Ildikó PROJEKTÍV GEOMETRIAI PÉLDATÁR mobidiák könyvtár Papp Ildikó PROJEKTÍV GEOMETRIAI PÉLDATÁR mobidiák könyvtár SOROZATSZERKESZTÖ Fazekas István Papp Ildikó PROJEKTÍV GEOMETRIAI PÉLDATÁR Első kiadás

Részletesebben

Elemi matematika 3 c. gyakorlat

Elemi matematika 3 c. gyakorlat 1. feladatsor (Szintetikus síkgeometriai feladatok.) 1) Adva van egy sokszög, amelynek hatszor annyi átlója van, mint oldala. Határozzuk meg a sokszög oldalszámát. ) Igazoljuk, hogy egy háromszög súlyvonalainak

Részletesebben

Verhóczki László. Projektív Geometria

Verhóczki László. Projektív Geometria Verhóczki László Projektív Geometria ELTE TTK Matematikai Intézet Geometriai Tanszék Budapest, 2010 1) A projektív tér értelmezése. A projektív sík koordinátázása A projekció szó vetítést jelent. A térbeli

Részletesebben

Feladatok az 1. Geometria gyakorlathoz Geometria 1 haladó szint (2011/2012 es tanév, 2. félév)

Feladatok az 1. Geometria gyakorlathoz Geometria 1 haladó szint (2011/2012 es tanév, 2. félév) Feladatok az 1. Geometria gyakorlathoz 1) Az euklideszi síkon adva van két egyenlő sugarú kör k 1 és k 2, amelyek az M, N pontokban metszik egymást. Jelölje r a két kör sugarát. Az M ponttal, mint centrummal,

Részletesebben

Síkbeli egyenesek. 2. Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg

Síkbeli egyenesek. 2. Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg Analitikus mértan 3. FELADATLAP Síkbeli egyenesek 1. Írjuk fel annak az egyenesnek a paraméteres egyenleteit, amely (i) áthalad az M 0 (1, 2) ponton és párhuzamos a a(3, 1) vektorral; (ii) áthalad az origón

Részletesebben

Koordináta-geometria feladatok (középszint)

Koordináta-geometria feladatok (középszint) Koordináta-geometria feladatok (középszint) 1. (KSZÉV Minta (1) 2004.05/I/4) Adott az A(2; 5) és B(1; 3) pont. Adja meg az AB szakasz felezőpontjának koordinátáit! 2. (KSZÉV Minta (2) 2004.05/I/7) Egy

Részletesebben

9. Írjuk fel annak a síknak az egyenletét, amely átmegy az M 0(1, 2, 3) ponton és. egyenessel;

9. Írjuk fel annak a síknak az egyenletét, amely átmegy az M 0(1, 2, 3) ponton és. egyenessel; Síkok és egyenesek FELADATLAP Írjuk fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely átmegy az M 0(,, ) ponton és a) az M(,, 0) ponton; b) párhuzamos a d(,, 5) vektorral; c) merőleges a x y + z 0 = 0 síkra;

Részletesebben

Síkbeli egyenesek Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg

Síkbeli egyenesek Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg Analitikus mértan 5. FELADATLAP Síkbeli egyenesek 5.1. Írjuk fel annak az egyenesnek a paraméteres egyenleteit, amely (i) áthalad az M 0 (1, 2) ponton és párhuzamos a a(3, 1) vektorral; (ii) áthalad az

Részletesebben

Koordinátageometria. M veletek vektorokkal grakusan. Szent István Egyetem Gépészmérnöki Kar Matematika Tanszék 1

Koordinátageometria. M veletek vektorokkal grakusan. Szent István Egyetem Gépészmérnöki Kar Matematika Tanszék 1 Szent István Egyetem Gépészmérnöki Kar Matematika Tanszék 1 Koordinátageometria M veletek vektorokkal grakusan 1. Az ABCD négyzet oldalvektorai közül a = AB és b = BC. Adja meg az AC és BD vektorokat a

Részletesebben

Térbeli transzformációk, a tér leképezése síkra

Térbeli transzformációk, a tér leképezése síkra Térbeli transzformációk, a tér leképezése síkra Homogén koordináták bevezetése térben A tér minden P pontjához kölcsönösen egyértelműen egy valós (x, y, z) számhármast rendeltünk hozzá. (Descartes-féle

Részletesebben

Másodrendű görbék a projektív síkon. Matematika BSc Szakdolgozat

Másodrendű görbék a projektív síkon. Matematika BSc Szakdolgozat Másodrendű görbék a projektív síkon Matematika BSc Szakdolgozat Írta: Deli Anikó Matematika BSc, tanári szakirány Témavezető: Dr. Verhóczki László egyetemi docens Matematikai Intézet, Geometriai Tanszék

Részletesebben

Lin.Alg.Zh.1 feladatok

Lin.Alg.Zh.1 feladatok Lin.Alg.Zh. feladatok 0.. d vektorok Adott három vektor ā (0 b ( c (0 az R Euklideszi vektortérben egy ortonormált bázisban.. Mennyi az ā b skalárszorzat? ā b 0 + + 8. Mennyi az n ā b vektoriális szorzat?

Részletesebben

8. előadás. Kúpszeletek

8. előadás. Kúpszeletek 8. előadás Kúpszeletek Kör A k kört egyértelműen meghatározza C(a,b) középpontja és r sugara. A P pont pontosan akkor van k-n, ha CP=r. Vektoregyenlet: p-c = r. Koordinátás egyenlet: (X-a)2 + (Y-b)2 =

Részletesebben

Az egyenes és a sík analitikus geometriája

Az egyenes és a sík analitikus geometriája Az egyenes és a sík analitikus geometriája Az egyenes a kétdimenziós koordinátarendszerben A kétdimenziós koordinátarendszerben az egyenest egy n(a, B) normálvektorával és egy r 0 helyvektorú P(x 0,y 0

Részletesebben

An transzformációk a síkban

An transzformációk a síkban Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi kar An transzformációk a síkban Szakdolgozat Készítette: Órai Szilvia Matematika BSc, Tanári szakirány Témavezet : Dr. Verhóczki László Egyetemi docens,

Részletesebben

Lin.Alg.Zh.1 feladatok

Lin.Alg.Zh.1 feladatok LinAlgZh1 feladatok 01 3d vektorok Adott három vektor ā = (0 2 4) b = (1 1 4) c = (0 2 4) az R 3 Euklideszi vektortérben egy ortonormált bázisban 1 Mennyi az ā b skalárszorzat? 2 Mennyi az n = ā b vektoriális

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások Megoldások 1. Írd fel a K (0; 2) középpontú 7 sugarú kör egyenletét! A keresett kör egyenletét felírhatjuk a képletbe való behelyettesítéssel: x 2 + (y + 2) 2 = 49. 2. Írd fel annak a körnek az egyenletét,

Részletesebben

9. előadás. Térbeli koordinátageometria

9. előadás. Térbeli koordinátageometria 9. előadás Térbeli koordinátageometria Koordinátageometria a térben Descartes-féle koordinátarendszerben dolgozunk. A legegyszerűbb alakzatokat fogjuk vizsgálni. Az ezeket leíró egyenletek első-, vagy

Részletesebben

Érettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve / 5

Érettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve / 5 Érettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve 2005-2013 1/ 5 Vektorok 2005. május 28./12. Adottak az a (4; 3) és b ( 2; 1) vektorok. a) Adja meg az a hosszát! b) Számítsa ki az a + b koordinátáit!

Részletesebben

Feladatok Elemi matematika IV. kurzushoz

Feladatok Elemi matematika IV. kurzushoz Feladatok Elemi matematika IV. kurzushoz 1. gyakorlat (2012. február 6.), Síkizometriák 1.1. gyakorlat. Milyen síkizometria két (a) egymással párhuzamos (b) egymást α szögben metsz egyenesre vett tengelyes

Részletesebben

Érettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5

Érettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5 Érettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5 2003. Próba/ 13. Adott egy háromszög három csúcspontja a koordinátáival: A( 4; 4), B(4; 4) és C( 4; 8). Számítsa ki a C csúcsból induló súlyvonal és az A csúcsból

Részletesebben

= Y y 0. = Z z 0. u 1. = Z z 1 z 2 z 1. = Y y 1 y 2 y 1

= Y y 0. = Z z 0. u 1. = Z z 1 z 2 z 1. = Y y 1 y 2 y 1 Egyenes és sík a térben Elméleti áttekintés Az egyenes paraméteres egyenlete: X = u 1 λ + x 0 Y = u λ + y 0, Z = u λ + z 0 ahol a λ egy valós paraméter Az u = (u 1, u, u ) az egyenes irányvektora és P

Részletesebben

Koordináta geometria III.

Koordináta geometria III. Koordináta geometria III. TÉTEL: A P (x; y) pont akkor és csak akkor illeszkedik a K (u; v) középpontú r sugarú körre (körvonalra), ha (x u) 2 + (y v) 2 = r 2. Ez az összefüggés a K (u; v) középpontú r

Részletesebben

20. tétel A kör és a parabola a koordinátasíkon, egyenessel való kölcsönös helyzetük. Másodfokú egyenlőtlenségek.

20. tétel A kör és a parabola a koordinátasíkon, egyenessel való kölcsönös helyzetük. Másodfokú egyenlőtlenségek. . tétel A kör és a parabola a koordinátasíkon, egyenessel való kölcsönös helyzetük. Másodfokú egyenlőtlenségek. Először megadom a síkbeli definíciójukat, mert ez alapján vezetjük le az egyenletüket. Alakzat

Részletesebben

A bolygók mozgására vonatkozó Kepler-törvények igazolása

A bolygók mozgására vonatkozó Kepler-törvények igazolása A bolygók mozgására vonatkozó Kepler-törvények igazolása Geometriai alapok. A kúpszeletek polárkoordinátás egyenlete A síkbeli másodrend görbék közül az ellipszist, a hiperbolát és a parabolát mondjuk

Részletesebben

Dierenciálgeometria feladatsor

Dierenciálgeometria feladatsor Dierenciálgeometria feladatsor 1. Görbék paraméterezése 1. Határozzuk meg az alábbi ponthalmazok egy paraméteres el állítását: a a, b középpontú, r sugarú kör a síkban; b y = mx + b egyenlettel leírt egyenes

Részletesebben

Vektorok. Wettl Ferenc október 20. Wettl Ferenc Vektorok október / 36

Vektorok. Wettl Ferenc október 20. Wettl Ferenc Vektorok október / 36 Vektorok Wettl Ferenc 2014. október 20. Wettl Ferenc Vektorok 2014. október 20. 1 / 36 Tartalom 1 Vektorok a 2- és 3-dimenziós térben 2 Távolság, szög, orientáció 3 Vektorok koordinátás alakban 4 Összefoglalás

Részletesebben

3 m ; a víz sodráé sec. Bizonyítsuk be, hogy a legnagyobb szöge 120 0 -os! α =. 4cos 2

3 m ; a víz sodráé sec. Bizonyítsuk be, hogy a legnagyobb szöge 120 0 -os! α =. 4cos 2 3... Egyenes szíjhatás esetén milyen hosszú szíj szükséges 50 cmes és 6 cm-es sugarú tárcsák összekapcsolásához, ha a tárcsák tengelyeinek távolsága 335 cm? 3... Csónakkal akarunk a folyó túlsó partjára

Részletesebben

Geometria II gyakorlatok

Geometria II gyakorlatok Geometria II gyakorlatok Kovács Zoltán Copyright c 2011 Last Revision Date: 2012. május 8. kovacsz@nyf.hu Technikai útmutató a jegyzet használatához A jegyzet képernyőbarát technikával készült, a megjelenés

Részletesebben

Koordinátageometria. , azaz ( ) a B halmazt pontosan azok a pontok alkotják, amelynek koordinátáira:

Koordinátageometria. , azaz ( ) a B halmazt pontosan azok a pontok alkotják, amelynek koordinátáira: 005-0XX Emelt szint Koordinátageometria 1) a) Egy derékszögű háromszög egyik oldalegyenese valamelyik koordinátatengely, egy másik oldalegyenesének egyenlete x + y = 10, egyik csúcsa az origó. Hány ilyen

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 14 XIV NEVEZETES GÖRbÉk 1 AZ EGYEnES EGYEnLETE A és pontokon átmenő egyenes egyenlete: (1), Az hányados neve iránytényező (iránytangens, meredekség) A ponton átmenő, m iránytangensű

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Koordinátageometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Koordinátageometria 1) MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Koordinátageometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Vektorok összeadása, kivonása, szorzás számmal, koordináták

Vektorok összeadása, kivonása, szorzás számmal, koordináták Vektorok összeadása, kivonása, szorzás számmal, koordináták 1. Mik lesznek a P (3, 4, 8) pont C (3, 7, 2) pontra vonatkozó tükörképének a koordinátái? 2. Egy szabályos hatszög középpontja K (4, 1, 4),

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások Megoldások 1. Határozd meg a szakasz hosszát, ha a végpontok koordinátái: A ( 1; ) és B (5; )! A szakasz hosszához számítsuk ki a két pont távolságát: d AB = AB = (5 ( 1)) + ( ) = 6 + 1 = 7 6,08.. Határozd

Részletesebben

Analitikus térgeometria

Analitikus térgeometria Analitikus térgeometria Wettl Ferenc el adása alapján 2015.09.21. Wettl Ferenc el adása alapján Analitikus térgeometria 2015.09.21. 1 / 23 Tartalom 1 Egyenes és sík egyenlete Egyenes Sík 2 Alakzatok közös

Részletesebben

Feladatgyűjtemény Geometria I. kurzushoz

Feladatgyűjtemény Geometria I. kurzushoz Feladatgyűjtemény Geometria I. kurzushoz Vígh Viktor 1. Térelemek kölcsönös helyzete, illeszkedés 1.1. gyakorlat. Bizonyítsuk be, hogy ha három sík közül bármely kettő egy egyenesben metszi egymást, és

Részletesebben

25 i, = i, z 1. (x y) + 2i xy 6.1

25 i, = i, z 1. (x y) + 2i xy 6.1 6 Komplex számok megoldások Lásd ábra z = + i, z = + i, z = i, z = i z = 7i, z = + 5i, z = 5i, z = i, z 5 = 9, z 6 = 0 Teljes indukcióval 5 Teljes indukcióval 6 Az el z feladatból következik z = z = =

Részletesebben

VEKTOROK. 1. B Legyen a( 3; 2; 4), b( 2; 1; 2), c(3; 4; 5), d(8; 5; 7). (a) 2a 4c + 6d [(30; 10; 30)]

VEKTOROK. 1. B Legyen a( 3; 2; 4), b( 2; 1; 2), c(3; 4; 5), d(8; 5; 7). (a) 2a 4c + 6d [(30; 10; 30)] Bodó Beáta 1 VEKTOROK 1. B Legyen a( ; 2; 4), b( 2; 1; 2), c(; 4; 5), d(8; 5; 7). (a) 2a 4c + 6d [(0; 10; 0)] (b) c + b 7a [(18; 15; 29)] (c) 2d c + b [ (5; ; ) = 6, 56] (d) 4a + 8b 7c [ ( 49; 44; 5) =

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások Megoldások 1. Tekintsük az alábbi szabályos hatszögben a következő vektorokat: a = AB és b = AF. Add meg az FO, DC, AO, AC, BE, FB, CE, DF vektorok koordinátáit az (a ; b ) koordinátarendszerben! Alkalmazzuk

Részletesebben

Vektoralgebra. 4. fejezet. Vektorok összeadása, kivonása és számmal szorzása. Feladatok

Vektoralgebra. 4. fejezet. Vektorok összeadása, kivonása és számmal szorzása. Feladatok 4. fejezet Vektoralgebra Vektorok összeadása, kivonása és számmal szorzása T 4.1 (Háromszögegyenl tlenség) Minden a, b vektorpárra a + b a + b. T 4.2 (Paralelogrammaszabály) Ha az a és b vektor különböz

Részletesebben

λ 1 u 1 + λ 2 v 1 + λ 3 w 1 = 0 λ 1 u 2 + λ 2 v 2 + λ 3 w 2 = 0 λ 1 u 3 + λ 2 v 3 + λ 3 w 3 = 0

λ 1 u 1 + λ 2 v 1 + λ 3 w 1 = 0 λ 1 u 2 + λ 2 v 2 + λ 3 w 2 = 0 λ 1 u 3 + λ 2 v 3 + λ 3 w 3 = 0 Vektorok a térben Egy (v 1,v 2,v 3 ) valós számokból álló hármast vektornak nevezzünk a térben (R 3 -ban). Használni fogjuk a v = (v 1,v 2,v 3 ) jelölést. A v 1,v 2,v 3 -at a v vektor komponenseinek nevezzük.

Részletesebben

3. tétel Térelemek távolsága és szöge. Nevezetes ponthalmazok a síkon és a térben.

3. tétel Térelemek távolsága és szöge. Nevezetes ponthalmazok a síkon és a térben. 3. tétel Térelemek távolsága és szöge. Nevezetes ponthalmazok a síkon és a térben. TÁVOLSÁG Általános definíció: két alakzat távolsága a két alakzat pontjai között húzható legrövidebb szakasz hosszaa távolság

Részletesebben

5. házi feladat. AB, CD kitér élpárra történ tükrözések: Az ered transzformáció: mivel az origó xpont, így nincs szükség homogénkoordinátás

5. házi feladat. AB, CD kitér élpárra történ tükrözések: Az ered transzformáció: mivel az origó xpont, így nincs szükség homogénkoordinátás 5. házi feladat 1.feladat A csúcsok: A = (0, 1, 1) T, B = (0, 1, 1) T, C = (1, 0, 0) T, D = ( 1, 0, 0) T AB, CD kitér élpárra történ tükrözések: 1 0 0 T AB = 0 1 0, elotlási rész:(i T AB )A = (0, 0, )

Részletesebben

Riemanngeometria 1 c. gyakorlat A Riemann-terekkel kapcsolatos fogalmak, jelölések

Riemanngeometria 1 c. gyakorlat A Riemann-terekkel kapcsolatos fogalmak, jelölések A Riemann-terekkel kapcsolatos fogalmak, jelölések Az R m euklideszi tér természetes bázisának az e 1 = (1, 0,..., 0),..., e m = (0,..., 0, 1) vektorokból álló bázist mondjuk. Legyen M egy összefügg nyílt

Részletesebben

Vektoralgebra feladatlap 2018 január 20.

Vektoralgebra feladatlap 2018 január 20. 1. Adott az ABCD tetraéder, határozzuk meg: a) AB + BD + DC b) AD + CB + DC c) AB + BC + DA + CD Vektoralgebra feladatlap 018 január 0.. Adott az ABCD tetraéder. Igazoljuk, hogy AD + BC = BD + AC, majd

Részletesebben

Koordinátageometria Megoldások

Koordinátageometria Megoldások 005-0XX Középszint Koordinátageometria Megoldások 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 + 4 + 1 3 F ; = F ;1 ) Egy kör sugarának

Részletesebben

A keresett kör középpontja Ku ( ; v, ) a sugara r = 1. Az adott kör középpontjának koordinátái: K1( 4; 2)

A keresett kör középpontja Ku ( ; v, ) a sugara r = 1. Az adott kör középpontjának koordinátái: K1( 4; 2) 55 A kör 87 8 A keresett kör középpontja Ku ( ; v, ) a sugara r = Az adott kör középpontjának koordinátái: K( ; ) és a sugara r =, az adott pont P(; ) Ekkor KP = és KK = () ( u ) + ( v ) =, () ( u ) +

Részletesebben

Geometria 1 összefoglalás o konvex szögek

Geometria 1 összefoglalás o konvex szögek Geometria 1 összefoglalás Alapfogalmak: a pont, az egyenes és a sík Axiómák: 1. Bármely 2 pontra illeszkedik egy és csak egy egyenes. 2. Három nem egy egyenesre eső pontra illeszkedik egy és csak egy sík.

Részletesebben

, D(-1; 1). A B csúcs koordinátáit az y = + -. A trapéz BD

, D(-1; 1). A B csúcs koordinátáit az y = + -. A trapéz BD Kör és egyenes kölcsönös helyzete Kör érintôje 7 9 A húr hossza: egység 9 A ( ) ponton átmenô legrövidebb húr merôleges a K szakaszra, ahol K az adott kör középpontja, feltéve, hogy a kör belsejében van

Részletesebben

Projektív geometria. matematika tanár szakos előadás és gyakorlat. Nagy Gábor Péter. 2016/2017-os tanév II. féléve

Projektív geometria. matematika tanár szakos előadás és gyakorlat. Nagy Gábor Péter. 2016/2017-os tanév II. féléve Projektív geometria matematika tanár szakos előadás és gyakorlat Nagy Gábor Péter Szegedi Tudományegyetem Bolyai Intézet, Geometria Tanszék 2016/2017-os tanév II. féléve 1 / 98 Tagolás 1 Vektorok, mátrixok,

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

Geometria II gyakorlatok

Geometria II gyakorlatok Geometria II gyakorlatok Kovács Zoltán Copyright c 2011 Last Revision Date: 2011. november 29. kovacsz@nyf.hu Technikai útmutató a jegyzet használatához A jegyzet képernyőbarát technikával készült, a megjelenés

Részletesebben

Koordináta - geometria I.

Koordináta - geometria I. Koordináta - geometria I A koordináta geometria témaköre geometriai problémákat old meg algebrai módszerekkel úgy, hogy a geometriai fogalmaknak algebrai fogalmakat feleltet meg: a pontokat, vektorokat

Részletesebben

Függvényhatárérték és folytonosság

Függvényhatárérték és folytonosság 8. fejezet Függvényhatárérték és folytonosság Valós függvények és szemléltetésük D 8. n-változós valós függvényen (n N + ) olyan f függvényt értünk amelynek értelmezési tartománya (Dom f ) az R n halmaznak

Részletesebben

Trigonometrikus összefüggések a Cayley-Klein-modellben

Trigonometrikus összefüggések a Cayley-Klein-modellben Trigonometrikus összefüggések a Cayley-Klein-modellben Matematika BSc Szakdolgozat Készítette: Csákberényi-Nagy Erzsébet Matematika BSc, tanári szakirány Témavezető: Dr. Verhóczki László, egyetemi docens

Részletesebben

Feladatok a májusi emelt szintű matematika érettségi példáihoz Hraskó András

Feladatok a májusi emelt szintű matematika érettségi példáihoz Hraskó András Feladatok a 2010. májusi emelt szintű matematika érettségi példáihoz Hraskó András 1. Halmazok, halmazműveletek, halmazok számossága, halmazműveletek és logikai műveletek kapcsolata. HA.1.1. Adott a síkon

Részletesebben

Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport

Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport 1. Egy egyenesre esnek-e az A (2, 5, 1), B (5, 17, 7) és C (3, 9, 3) pontok? 5 pont Megoldás: Nem, mert AB (3, 12,

Részletesebben

15. Koordinátageometria

15. Koordinátageometria I. Elméleti összefoglaló Koordinátákkal adott vektorok 15. Koordinátageometria Ha a(a ; a ) és b(b ; b ) a sík két vektora, λ valós szám, akkor az a vektor hossza: a = a + a a két vektor összege : a +

Részletesebben

Transzformáció a főtengelyekre és a nem főtengelyekre vonatkoztatott. Az ellipszis a sík azon pontjainak mértani helye, amelyeknek két adott pontól

Transzformáció a főtengelyekre és a nem főtengelyekre vonatkoztatott. Az ellipszis a sík azon pontjainak mértani helye, amelyeknek két adott pontól Ellipsis.tex, February 9, 01 Az ellipszis Az ellipszis leírása Az ellipszis szerkesztése és tulajdonságai Az ellipszis kanonikus egyenlete A kör vetülete ellipszis Az ellipszis polárkoordinátás egyenlete

Részletesebben

Nagy András. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 2010.

Nagy András. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 2010. Nagy András Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 010. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 1) Döntsd el, hogy a P pont illeszkedik-e az e egyenesre

Részletesebben

Geometriai példatár 2.

Geometriai példatár 2. Geometriai példatár 2 Metrikus feladatok Baboss, Csaba, Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar Szabó, Gábor, Nyugat-Magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar Geometriai példatár 2: Metrikus feladatok

Részletesebben

2. ELŐADÁS. Transzformációk Egyszerű alakzatok

2. ELŐADÁS. Transzformációk Egyszerű alakzatok 2. ELŐADÁS Transzformációk Egyszerű alakzatok Eltolás A tér bármely P és P pontpárjához pontosan egy olyan eltolás létezik, amely P-t P -be viszi. Bármely eltolás tetszőleges egyenest vele párhuzamos egyenesbe

Részletesebben

EGYBEVÁGÓSÁGI TRANSZFORMÁCIÓK TENGELYES TÜKRÖZÉS

EGYBEVÁGÓSÁGI TRANSZFORMÁCIÓK TENGELYES TÜKRÖZÉS GEOMETRIA 1. Az A, B, C egy egyenes pontjai (ebben a sorrendben), AB szakasz 5 cm, BC szakasz 17 cm. F 1 az AB szakasz, F 2 a BC szakasz felezőpontja. Mekkora az F 1 F 2 szakasz? 2. Az AB és CD szakaszok

Részletesebben

Ferde kúp ellipszis metszete

Ferde kúp ellipszis metszete Ferde kúp ellipszis metszete A ferde kúp az első képsíkon lévő vezérkörével és az M csúcsponttal van megadva. Ha a kúpból ellipszist szeretnénk metszeni, akkor a metsző síknak minden alkotót végesben kell

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. Koordináta-geometria és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 4

Részletesebben

5. Analitikus térgeometria (megoldások) AC = [2, 3, 6], (z + 5) 2 következik. Innen z = 5 3. A keresett BA BC = [3, 2, 8],

5. Analitikus térgeometria (megoldások) AC = [2, 3, 6], (z + 5) 2 következik. Innen z = 5 3. A keresett BA BC = [3, 2, 8], (megoldások) 1. Alkalmazzuk a T 5. tételt: AB = [ 1, +, 0+] = [1, 1, ], AC = [,, 6], AD = [,, 9].. A P pontnak az origótól mért távolsága az OP helyvektor hosszával egyenl. OA = 4 + ( ) + ( 4) = 6, OB

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria III.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria III. Geometria III. DEFINÍCIÓ: (Vektor) Az egyenlő hosszúságú és egyirányú irányított szakaszoknak a halmazát vektornak nevezzük. Jele: v. DEFINÍCIÓ: (Geometriai transzformáció) Geometriai transzformációnak

Részletesebben

Térbeli geometriai transzformációk analitikus leírása

Térbeli geometriai transzformációk analitikus leírása Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Térbeli geometriai transzformációk analitikus leírása Szakdolgozat Készítette: Témavezeto : Fodor Edina Verhóczki László Matematika BSc, Tanári szakirány

Részletesebben

Vektorgeometria (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Vektorgeometria (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Vektorgeometria (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. A térbeli irányított szakaszokat vektoroknak hívjuk. Két vektort egyenlőnek tekintünk, ha párhuzamos eltolással fedésbe hozhatók.

Részletesebben

Transzformációk síkon, térben

Transzformációk síkon, térben Transzformációk síkon, térben Leképezés, transzformáció Leképezés: Ha egy A ponttér pontjaihoz egy másik B ponttér pontjait kölcsönösen egyértelműen rendeljük hozzá, akkor ezt a hozzárendelést leképezésnek

Részletesebben

A tér lineáris leképezései síkra

A tér lineáris leképezései síkra A tér lineáris leképezései síkra Az ábrázoló geometria célja: A háromdimenziós térben elhelyezkedő alakzatok helyzeti és metrikus viszonyainak egyértelmű és egyértelműen rekonstruálható módon történő ábrázolása

Részletesebben

KIDOLGOZÁSA - MATEMATIKA SZAK - 1. Analitikus mértan térben 2

KIDOLGOZÁSA - MATEMATIKA SZAK - 1. Analitikus mértan térben 2 ANALITIKUS MÉRTANBÓL KITŰZÖTT ÁLLAMVIZSGA TÉTELEK KIDOLGOZÁSA - MATEMATIKA SZAK - Tartalomjegyzék 1. Analitikus mértan térben 1.1. Térbeli egyenesek egyenletei Descartes-féle koordináta rendszerhez viszonyítva.........

Részletesebben

5 1 6 (2x3 + 4) 7. 4 ( ctg(4x + 2)) + c = 3 4 ctg(4x + 2) + c ] 12 (2x6 + 9) 20 ln(5x4 + 17) + c ch(8x) 20 ln 5x c = 11

5 1 6 (2x3 + 4) 7. 4 ( ctg(4x + 2)) + c = 3 4 ctg(4x + 2) + c ] 12 (2x6 + 9) 20 ln(5x4 + 17) + c ch(8x) 20 ln 5x c = 11 Bodó Beáta ISMÉTLÉS. ch(6 d.. 4.. 6. 7. 8. 9..... 4.. e (8 d ch (9 + 7 d ( + 4 6 d 7 8 + d sin (4 + d cos sin d 7 ( 6 + 9 4 d INTEGRÁLSZÁMÍTÁS 7 6 sh(6 + c 8 e(8 + c 9 th(9 + 7 + c 6 ( + 4 7 + c = 7 4

Részletesebben

Lehet hogy igaz, de nem biztos. Biztosan igaz. Lehetetlen. A paralelogrammának van szimmetria-középpontja. b) A trapéznak két szimmetriatengelye van.

Lehet hogy igaz, de nem biztos. Biztosan igaz. Lehetetlen. A paralelogrammának van szimmetria-középpontja. b) A trapéznak két szimmetriatengelye van. Geometria, sokszögek, szögek, -, 2004_01/5 Lili rajzolt néhány síkidomot: egy háromszöget, egy deltoidot, egy paralelogrammát és egy trapézt. A következő állítások ezekre vonatkoznak. Tegyél * jelet a

Részletesebben

KOORDINÁTA-GEOMETRIA

KOORDINÁTA-GEOMETRIA XIV. Témakör: feladatok 1 Huszk@ Jenő XIV.TÉMAKÖR Téma A pont koordinátageometriája A kör koordinátageometriája KOORDINÁTA-GEOMETRIA A projekt típus ú feladatok tartalmi szintézise A feladat sorszáma Oldal

Részletesebben

Feladatok mindenhonnan

Feladatok mindenhonnan Feladatok mindenhonnan 1. Feladat. Legyenek egy S szabályos 13-szög csúcsai A 1, A 2,..., A 1 3, és N pedig az A 1, A 2, A 5, A 7 négyszög. Vizsgáljuk meg, hogy a következő struktúra az affin sík illeszkedési

Részletesebben

A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny második forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató

A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny második forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató Oktatási Hivatal A 0/04 tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi erseny második forduló MATEMATIKA I KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató A 57 olyan háromjegyű szám, amelynek számjegyei

Részletesebben

I. feladatsor. 9x x x 2 6x x 9x. 12x 9x2 3. 9x 2 + x. x(x + 3) 50 (d) f(x) = 8x + 4 x(x 2 25)

I. feladatsor. 9x x x 2 6x x 9x. 12x 9x2 3. 9x 2 + x. x(x + 3) 50 (d) f(x) = 8x + 4 x(x 2 25) I. feladatsor () Határozza meg az alábbi függvények határozatlan integrálját: (a) f(x) = (b) f(x) = x + 4 9x + (c) f(x) = (d) f(x) = 6x + 5 5x + f(x) = (f) f(x) = x + x + 5 x 6x + (g) f(x) = (h) f(x) =

Részletesebben

Matematika (mesterképzés)

Matematika (mesterképzés) Matematika (mesterképzés) Környezet- és Településmérnököknek Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 1 / 29 Lineáris tér,

Részletesebben

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens Skaláris szorzat az R n vektortérben Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. 1 Vektorok skaláris szorzata Két R n -beli vektor skaláris szorzata: Legyen a = (a 1,a 2,,a n ) és b

Részletesebben

egyenletrendszert. Az egyenlő együtthatók módszerét alkalmazhatjuk. sin 2 x = 1 és cosy = 0.

egyenletrendszert. Az egyenlő együtthatók módszerét alkalmazhatjuk. sin 2 x = 1 és cosy = 0. Magyar Ifjúság. X. TRIGONOMETRIKUS FÜGGVÉNYEK A trigonometrikus egyenletrendszerek megoldása során kísérletezhetünk új változók bevezetésével, azonosságok alkalmazásával, helyettesítő módszerrel vagy más,

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Vektorok I.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Vektorok I. Vektorok I. DEFINÍCIÓ: (Vektor) Az egyenlő hosszúságú és egyirányú irányított (kezdő és végponttal rendelkező) szakaszoknak a halmazát vektornak nevezzük. Jele: v ; v; AB (ahol A a vektor kezdőpontja,

Részletesebben

Geometria jegyzetvázlatok levelező tagozatos kiegészítő matematika tanár szakos hallgatóknak

Geometria jegyzetvázlatok levelező tagozatos kiegészítő matematika tanár szakos hallgatóknak Geometria jegyzetvázlatok levelező tagozatos kiegészítő matematika tanár szakos hallgatóknak Nagy Gábor Péter 2006. szeptember 1. Tartalomjegyzék 1. Projektív geometria 3 1.1. Projektív pontok és egyenesek

Részletesebben

A kör. A kör egyenlete

A kör. A kör egyenlete A kör egyenlete A kör A kör egyenlete 8 a) x + y 6 b) x + y c) 6x + 6y d) x + y 9 8 a) x + y 6 + 9 b) x + y c) x + y a + b 8 a) (x - ) + (y - ) 9, rendezve x + y - 8x - y + b) x + y - 6x - 6y + c) x +

Részletesebben

Lineáris leképezések. Wettl Ferenc március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések március 9. 1 / 31

Lineáris leképezések. Wettl Ferenc március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések március 9. 1 / 31 Lineáris leképezések Wettl Ferenc 2015. március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések 2015. március 9. 1 / 31 Tartalom 1 Mátrixleképezés, lineáris leképezés 2 Alkalmazás: dierenciálhatóság 3 2- és 3-dimenziós

Részletesebben

Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Polárkoordinátás és paraméteres megadású görbék. oktatási segédanyag

Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Polárkoordinátás és paraméteres megadású görbék. oktatási segédanyag Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR Polárkoordinátás és paraméteres megadású görbék oktatási segédanyag Összeállította: Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia Miskolc, 01. Köszönetnyilvánítás Az

Részletesebben

MATEMATIKA HETI 5 ÓRA

MATEMATIKA HETI 5 ÓRA EURÓPAI ÉRETTSÉGI 2008 MATEMATIKA HETI 5 ÓRA IDŐPONT : 2008. június 5 (reggel) A VIZSGA IDŐTARTAMA: 4 óra (240 perc) MEGENGEDETT ESZKÖZÖK: Európai képletgyűjtemény Nem programozható, nem grafikus számológép

Részletesebben

Számítógépes geometria

Számítógépes geometria 2011 sz A grakus szállítószalag terv a geometriai (matematikai) modell megalkotása modelltranszformáció (3D 3D) vetítés (3D 2D) képtranszformáció (2D 2D)... raszterizáció A grakus szállítószalag: koncepció

Részletesebben