Riemanngeometria 1 c. gyakorlat A Riemann-terekkel kapcsolatos fogalmak, jelölések

Átírás

1 A Riemann-terekkel kapcsolatos fogalmak, jelölések Az R m euklideszi tér természetes bázisának az e 1 = (1, 0,..., 0),..., e m = (0,..., 0, 1) vektorokból álló bázist mondjuk. Legyen M egy összefügg nyílt halmaz R m -ben. Vegyünk egy p M pontot. Az M tér p pontbeli érint terén a T p M = {(p, v) v R m } halmazt értjük, melyen természetes módon adódik egy vektortér-struktúra. A p-beli érint térnek egy természetes bázisát adják a (p, e 1 ),..., (p, e m ) vektorok. Amennyiben fennáll v = (v 1,..., v m ), akkor (p, v) = m i=1 v i (p, e i ) teljesül. Vegyünk egy f : M R függvényt, amely C -osztályú. A (p, v) érint vektornak az f függvényen nyert értéke a p-beli v irányú derivált, azaz (p, v)(f) = D v f(p) = m i=1 v i i f(p). M térbeli sima görbén egy C -osztályú σ : I M R m leképezést értünk. A görbe t I helyen vett érint vektora σ(t) = (σ(t), σ (t)), amely a σ(t) pontbeli T σ(t) M érint térnek az eleme. Legyenek adva a g ij : M R m R (i, j = 1,..., m) C -osztályú függvények, melyekre teljesülnek azon feltételek, hogy g ij = g ji és tetsz leges p M pontban a g ij (p) értékekb l képzett G(p) szimmetrikus mátrix összes balfels sarokmátrixának a determinánsa pozitív. Eszerint ha G(p)-t egy szimmetrikus bilineáris forma mátrixának tekintjük, akkor az a bilineáris forma pozitív denit. Tekintsük a C -osztályú G : M End(R m ) leképezést az m m-es valós mátrixok End(R m ) terébe. Ezen G függvényr l azt mondjuk, hogy egy Riemann-metrikát ad az M téren. A g ij valós függvényeket a Riemann-metrika komponensfüggvényeinek nevezzük. Deníció. Az (M, G) párt egy m-dimenziós Riemann-térnek mondjuk. A továbbiakban a p pontbeli (p, v) érint vektorra a v p jelölést is alkalmazzuk. A G Riemann-metrika a T p M (p M) érint téren meghatároz egy, G : T p M T p M R skaláris szorzatot, amelynél a (p, v) = v p és (p, w) = w p vektorok skaláris szorzata v p, w p G = m m i=1 j=1 g ij(p) v i w j. A p pontbeli v p érint vektor hossza (vagy más szóval normája) a v p = v p, v p G nemnegatív érték. Az (M, G) Riemann-térbeli σ : [a, b] M sima görbe ívhosszán az l(σ) = b σ(t) dt a számot értjük. Az (M, G) Riemann-térben valamely p, q pontok d G (p, q) távolságán a két pontot összeköt szakaszonként sima görbék ívhosszainak az inmumát értjük. Ha B egy Jordan-mérhet zárt tartomány M-ben akkor a V ol(b) = B det G(u1,..., u m ) du 1... du m számot mondjuk a B térfogatának. Amennyiben N egy nyílt összefügg halmaz R n -ben, akkor deniálható egy µ : M N sima leképezés és annak az érint leképezései az M pontjaiban. A σ görbe σ(t) érint vektorának a T µ érint leképezés szerinti képe a (µ σ) (t) = (µ(σ(t)), (µ σ) (t)) vektor. Ha vesszük a p pontbeli T p µ : T p M T µ(p) N érint leképezést, akkor annak a természetes bázisokra vonatkozó mátrixa éppen a Jµ(p) Jacobi-mátrix. Legyen M egy másik nyílt összefügg halmaz R m -ben, amelyen szintén adva van egy G Riemann-metrika. A µ : M M sima leképezést izometriának mondjuk, ha µ bijektív és tetsz leges v p, w p T p M érint vektorokra fennáll v p, w p G = T µ(v p ), T µ(w p ) G. Belátható, hogy a µ : M M sima bijektív leképezés pontosan akkor izometria, ha tetsz leges p M pontban teljesül a G(p) = (Jµ(p)) T G(µ(p)) Jµ(p) mátrixegyenlet.

2 1. feladatsor 1) Tekintsük azt a 2dimenziós (M, G) Riemannteret, ahol M = { (u, v) R 2 v > 0 } és a G metrika komponens függvényei g 11 (u, v) = v 2, g 12 (u, v) = 0, g 22 (u, v) = v 2. Vegyük az Mbeli p = (a, b) és q = (a, c) pontokat, ahol c > b > 0. Igazoljuk, hogy a p, q pontokat összeköt legrövidebb sima görbe pályája megegyezik a két pontot összeköt R 2 beli szakasszal, és adjuk meg annak ívhosszát. 2) Vegyük az el z feladatban szerepl Riemannteret. Az R 2 síkban tekintsük azokat az inverziókat, amelyek pólusai a v = 0 egyenlet egyenesre esnek. Bizonyítsuk be, hogy amennyiben az inverzióknak az M re való lesz kítéseit vesszük, akkor ezen leképezések izometriái az (M, G) Riemanntérnek. 3) Tekintsük az 1. feladatban leírt (M, G) Riemann-teret. Legyenek p 1 = (a 1, b 1 ) és p 2 = (a 2, b 2 ) olyan pontok Mben, hogy a 1 a 2. Vegyük azt a kört az R 2 síkban, amely áthalad a p 1, p 2 pontokon és centruma a v = 0 egyenlet egyenesen van. Ez a kör messe a v = 0 egyenlet egyenest a q 1 = (c 1, 0), q 2 = (c 2, 0) pontokban. Igazoljuk, hogy az (M, G) Riemann-térben a p 1, p 2 pontokat összeköt legrövidebb görbe ívhossza ln(p 1 p 2 q 1 q 2 ), ahol (p 1 p 2 q 1 q 2 ) a köri pontnégyes kett sviszonya. (A feladat alapján a két pont távolságára fennáll d G (p 1, p 2 ) = ln(p 1 p 2 q 1 q 2 ).) 4) Vegyük az M = { (u, v) R 2 u 2 + v 2 < 1 } 2dimenziós Riemannteret, amelynél a metrikát a g 11 (u, v) = g 22 (u, v) = (1 u 2 v 2 ) 2, g 12 (u, v) = 0 függvények adják meg. Igazoljuk, hogy a q = (0, 0) pontot a p = (a, 0) (0 < a < 1) ponttal összeköt legrövidebb görbe ívhossza d G (q, p) = arth (a) = 1 ( 1 + a ) 2 ln, továbbá számítsuk 1 a ki a B = { (u, v) R 2 u 2 +v 2 < a 2 } körlemez területét az (M, G) Riemanntérben. 5) Tekintsük azt az (M, G) Riemannteret, ahol M = { (u, v) R 2 v > 2 } és a G metrika komponensfüggvényei g 11 (u, v) = (v 2) 2, g 12 (u, v) = 0, g 22 (u, v) = (v 2) 2. Vegyük továbbá R 2 ben az N = { (u, v) R 2 u 2 + (v 1) 2 < 1 } teret. Legyen a µ : R 2 R 2 leképezés az u 2 + v 2 = 4 egyenlet körre vonatkozó inverzió, amely egymásba képezi az R 2 beli M és N tartományokat. Írjuk le az N téren azt a G Riemann-metrikát, amelyre nézve µ egy izometriát ad az (M, G) és (N, G) Riemannterek között. 6) Tekintsük az S 3 szférát mint részsokaságot az R 4 euklideszi térben. R 4 beli lineáris vektormez k alkalmazásával mutassuk meg, hogy a T S 3 érint nyaláb triviális (vagyis az S 3 szféra parallelizálható). Vegyük az S 7 szférát, mint R 8 beli részsokaságot. Igazoljuk, hogy a T S 7 érint nyaláb is parallelizálható. 7) Bizonyítsuk be, hogy tetsz leges (E, π, B, F ) vektornyalábon meg lehet adni egy lineáris konnexiót. 2

3 2. feladatsor 1) Az M összefügg sokaságon legyen adva egy kovariáns deriválás. Vegyünk egy σ : [0, b] M sima görbét. Mutassuk meg, hogy a σ mentén vett P σ párhuzamos eltolás egy lineáris izomorzmust ad a T σ(0) M és T σ(b) M érint terek között. 2) Valamely p M pontot véve jelölje F (M, p) az olyan σ : [0, 1] M szakaszonként sima görbék halmazát, ahol σ(0) = σ(1) = p. Igazoljuk, hogy a T p M érint tér P σ (σ F (M, p)) endomorzmusai egy csoportot alkotnak, melyet most H p (M, ) val jelölünk. Mutassuk meg, hogy tetsz leges p, q M pontok esetén a H p (M, ) és H q (M, ) holonómia csoportok izomorfak. 3) A lineáris konnexióval ellátott M sokaságon legyen adott egy σ : I M sima reguláris görbe. Tekintsünk egy Y X(σ) vektormez t a σ mentén és rögzítsünk egy a I paraméterértéket. Jelölje Z τ (τ I) azt a σmenti párhuzamos vektormez t, amelyre igaz Z τ (τ) = Y (τ). Bizonyítsuk be, hogy az Y a helyen vett kovariáns deriváltjára fennáll Y (a) = σ Z t (a) Y (a) d (a)y = lim. du t a t a 4) Az M sokaságon vett lineáris konnexió legyen torziómentes. A sokaság egy p pontjában tekintsünk egy (U, ξ) normális koordináta-rendszert. Igazoljuk, hogy ekkor a térképezéshez tartozó Christoel-szimbólumok p-beli értékére teljesül Γ k i j(p) = 0 (i, j, k = 1,... m). 5) Tekintsük R 2 -ben az M = { (u, v R 2 v > 0 } nyílt félsíkot. Ezen a sokaságon vegyük azt a torziómentes kovariáns deriválást, amelynél a nem elt n Christoelszimbólumok a következ k: Γ 2 1 1(u, v) = 1 v, Γ 1 1 2(u, v) = 1 v, Γ 2 2 2(u, v) = 1 v. Vegyük a σ(t) = (t, 1) kifejezéssel leírt σ : R M sima görbét. Határozzuk meg σ mentén azt a párhuzamos Y vektormez t, amelyre igaz Y (0) = (0, 1). v 6) Legyen (U, ξ) egy térképe az (M, ) sokaságnak, és alkalmazzuk az X i = jelölést. x i Vegyük azokat az Ri l j k F(U) függvényeket, melyekkel R(X i, X j )X k = m l=1 Rl i j k X l (i, j, k = 1,..., m) teljesül. Fejezzük ki az R görbületi tenzor ezen Ri l j k komponensfüggvényeit nak az (U, ξ) térképre vonatkozó Christoelféle szimbólumaiból. 7)* Az M sokaságon legyen adott egy olyan lineáris konnexió, amelynek görbületi tenzora elt nik (azaz R = 0). Bizonyítsuk be, hogy ekkor tetsz leges v T p M (p M) érint vektor esetén a p pontnak valamely U nyílt környezetén megadható egy olyan Y X(U) vektormez, amelyre teljesül Y = 0 és Y (p) = v. 3

4 3. feladatsor 1) Az M sokaságon tekintsünk egy g Riemannmetrikát és a neki megfelel Levi- Civita kovariáns deriválást. Vegyünk egy pozitív f F(M) függvényt. Legyen g az a Riemann metrika, amelynél fennáll g = f 2 g, és az ennek megfelel Levi-Civita lineáris konnexiót jelölje. Tekintsük a két kovariáns deriválás P különbségtenzorát, amelyet a P (X, Y ) = X Y X Y egyenlet ír le tetsz leges X, Y X(M) vektormez kre. Adjunk egy egzakt kifejezést a P tenzorra a g metrika és az f függvény alkalmazásával. 2) Az M dierenciálható sokaságon legyen adott egy Y vektormez, amely nem t nik el a p M pontban. Bizonyítsuk be, hogy ekkor van olyan ξ térképezés a p pont valamely U nyílt környezetén, amelynél az els bázisvektormez vel fennáll x = Y U. 1 3) Tekintsük az R 2 euklideszi síkon az Y = u 1 u + 1 u2 és Z = u2 u2 u + 1 u1 u 2 vektormez ket. Írjuk le az Y és Z vektormez k maximális folyamát, azaz az általuk generált R 2 beli 1paraméteres transzformációcsoportot. 4) Az M dierenciálható sokaságon legyenek adva az Y, Z vektormez k. Egy p pont egy megfelel U környezetén legyen φ : ( ε, ε) U M az Y mez egy lokális folyama, és ennek a t ( ε, ε) pillanatbeli stádiumát jelölje ϕ t. Igazoljuk, hogy a két mez 1( Lie-zárójelének pbeli értékére fennáll [Y, Z] p = lim T ϕ t (Z(ϕ t (p))) Z(p) ). t 0 t 5) Legyen G egy olyan összefügg Lie-csoport, amelyen megadható egy, biinvariáns Riemann-metrika. Eszerint tetsz leges h G esetén az L h, R h : G G eltolások egyaránt izometriák. Bizonyítsuk be, hogy ekkor tetsz leges X, Y, Z L(G) balinvariáns vektormez kre teljesül [X, Y ], Z + Y, [X, Z] = 0. (Egy X mez akkor balinvariáns, ha igaz T L h X = X L h, h G.) 6) Legyen G egy olyan összefügg Lie-csoport, amelyen megadható egy, biinvariáns Riemann-metrika. Tekintsük a metrikából nyert Levi-Civita lineáris konnexiót a G sokaságon. Igazoljuk, hogy tetsz leges X, Y L(G) balinvariáns vektormez kre fennáll X Y = 1 [X, Y ]. Mutassuk meg, hogy a G Lie-csoporthoz tartozó exponenciális leképezés a T e G érint téren megegyezik a kovariáns deriválás exponenciális 2 leképezésével. 7) Tekintsük R m -ben az M = { (v 1,..., v m ) R m v m > 0 } nyílt félteret. Ezen a sokaságon vegyük a természetes térképezést, amelynek koordináta-függyvényei u 1,..., u m. Legyen g az a Riemann-metrika, amelynél a (térképezéshez tartozó) komponens 1 függvényekre teljesül g ij = δ ij (u m ), vagyis g 1 ij(v 2 1,..., v m ) = δ ij (v m ). Igazoljuk, 2 hogy a görbületi tenzorra bármely X, Y, Z X(M) vektormez k esetén fennáll R(X, Y )Z = g(x, Z) Y g(y, Z) X. 4

5 4. feladatsor 1) Legyen adva egy olyan G összefügg Lie-csoport, amelyen megadható egy, biinvariáns Riemann-metrika. Vegyük a metrikából nyert Levi-Civita lineáris konnexiót a G sokaságon. Igazoljuk, hogy a görbületi tenzorra tetsz leges [ ] X, Y, Z L(G) balinvariáns vektormez kkel fennáll R(X, Y )Z = 1 4 [X, Y ], Z. Mutassuk meg azt is, hogy a G Riemann-sokaságon a (síkállásokhoz tartozó) szekcionális görbületek nem-negatívak. 2) Legyen adott egy 3-dimenziós összefügg M Einstein-sokaság. Eszerint a Ricci tenzor és a metrikus tenzor között fennáll a Ric = λ g összefüggés egy λ F(M) függvénnyel. Igazoljuk, hogy az M sokaság konstans görbület. 3) Az R m+1 euklideszi térben vegyük 1 sugarú S m szférát, és tekintsük a szférán az indukált Riemann-metrikát. Bizonyítsuk be, hogy ekkor S m egy konstans görbület tér, és a konstans szekcionális görbület értéke 1. 4) Az (N, g) befoglaló Riemann-sokaságban legyen adott két olyan részsokaság M 1 és M 2, amelyek érintkeznek egy γ : I N görbe mentén, azaz tetsz leges t I esetén fennáll T γ(t) M 1 = T γ(t) M 2. Legyenek Z 1 : I T M 1 és Z 2 : I T M 2 olyan párhuzamos vektormez k γ mentén az M 1, M 2 sokaságokhoz, melyekre valamely t 0 I helyen fennáll Z 1 (t 0 ) = Z 2 (t 0 ). Igazoljuk, hogy ekkor teljesül Z 1 = Z 2. 5) Az R 3 -beli r sugarú S gömbfelületen vegyünk egy ϱ (ϱ r) sugarú gömbi kört. Egy gömbi érint vektort toljunk el párhuzamosan ezen kör mentén. Vegyük a kiindulási vektor és az eltolással nyert vektor hajlásszögét. Milyen összefüggés áll fenn ezen szög és a gömbi kör által határolt gömbsüveg felszíne között? 6)* Legyen adva egy biinvariáns Riemann-metrikával ellátott G összefügg Lie-csoport. Bizonyítsuk be, hogy ekkor G egy szimmetrikus Riemann-tér. (Egy összefügg M Riemann-sokaságot akkor mondunk szimmetrikus térnek, ha tetsz leges p M ponthoz van olyan s p : M M involutív izometria, amelynek a p egy izolált xpontja.) 7)* Legyen adott egy M Riemann-sokaság az, metrikával. Igazoljuk, hogy tetsz leges p pontnak egy megfelel U nyílt környezetén megadhatóak olyan ortonormált Z 1,..., Z m vektormez k, amelyekre fennáll Zi (p)z j = 0 (i, j = 1,..., m). 8)* Legyen adott egy olyan m-dimenziós összefügg M Einstein-sokaság, ahol m 4. Mint ismeretes, a Ricci tenzor és a metrikus tenzor között teljesül a Ric = λ g összefüggés egy λ F(M) függvénnyel. Igazoljuk, hogy a λ függvény konstans. 5

6 5. feladatsor 1) Legyen adott egy M Riemannsokaság, amelynek szekcionális görbülete állandó. Jelölje κ a konstans görbületet. Vegyünk egy olyan γ : I M normális geodetikust, ahol 0 I. Írjuk le azon Z Jacobi-mez ket a γ mentén, melyekre fennáll Z (0) = 0. 2) Legyen adva egy olyan összefügg M Riemann-sokaság, amelynek a szekcionális görbületei nempozitívak. Igazoljuk, hogy bármely p M pontot is vesszük, annak T p M érint terében nincs konjugált pont. 3) Legyen adott egy olyan M Riemannsokaság, amelynek görbületi tenzora párhuzamos, azaz fennáll R = 0. Vegyünk egy γ : I M reguláris geodetikust. A γ(t 0 ) = p pontbeli e T p M vektor legyen egy sajátvektora az R γ(t0 ) : T p M T p M Jacobioperátornak a λ sajátértékkel. Tekintsük azt a E párhuzamos vektormez t γ mentén, amelyre fennáll E(t 0 ) = e. Igazoljuk, hogy ekkor teljesül R(E(t), γ(t)) γ(t) = λ E(t) tetsz leges t I helyen. 4)* Az R n (n 3) téren vegyük azt a g szemiriemannmetrikát, amelynek az (R n, id) térképre vonatkozó konstans komponensfüggvényei a következ k: g ii = 1 (i = 1,..., n 1), g nn = 1, továbbá g kl = 0 amennyiben k l. Tekintsük R n ben az M = { (x 1,..., x n ) R n n 1 i=1 (x i) 2 (x n ) = 0, x n > 0 } részsokaságot és a megfelel ι : M R n injekciót. Mutassuk meg, hogy a g = ι g tenzormez egy Riemann-metrikát ad az M en. Bizonyítsuk be, hogy az (M, g) Riemannsokaság szekcionális görbülete állandó és ennek értéke 1. 5)* Az R m+1 euklideszi térben legyen adott egy M sima elemi hiperfelület az r : D R m+1 paraméterezéssel. Vegyük ezen az euklideszi tért l örökölt Riemannmetrikát. Egy p M pontbeli T p M érint térben vegyünk egy olyan v 1,..., v m ortonormált bázist, amelynek elemei a Weingarten-leképzezésnek sajátvektorai, és a megfelel f görbületek legyenek κ 1,..., κ m. Igazoljuk, hogy a v i, v j (i j) vektorokkal meghatározott síkállás szekcionális görbületére fennáll K(v i, v j ) = κ i κ j. 6)* Legyen adott egy olyan M összefügg Riemann sokaság, amelynek a görbületi tenzora párhuzamos, azaz fennáll R = 0. Bizonyítsuk be, hogy ekkor az M egy lokálisan szimmetrikus tér. 7)* Tekintsünk egy R 3 beli M sima elemi felületet és annak egy p pontját. Egy r > 0 értéknél a B r (p) = { q M d M (p, q) r } ponthalmazt a p középpontú r sugarú felületi körlemeznek mondjuk és ennek felszínét most A(B r (p))vel jelöljük. Bizonyítsuk be, hogy a felület pbeli K p Gaussgörbületére fennáll r 2 π A(B r (p)) K p = 12 lim. r 0 r 4 π 6

7 6. feladatsor 1) Legyen adva egy olyan G összefügg Lie-csoport, amelyen megadható egy, biinvariáns Riemann-metrika. Vegyük a metrikából nyert Levi-Civita lineáris konnexiót a G sokaságon. Igazoljuk, hogy az R görbületi tenzor párhuzamos, azaz fennáll R = 0. 2) Legyen adott egy M Riemann-sokaság, amelyen, jelöli a metrikus tenzort. Vegyünk egy γ : [0, β] M geodetikust, ahol γ(0) = p és γ(0) = v. Tekintsük γ mentén azt a J : [0, β] T M Jacobi-mez t, amelyre fennáll J(0) = 0 és J (0) = w valamely w T p M egységvektorral ( w = 1). Vegyük az f(t) = J(t), J(t) összefüggéssel értelmezett f függvényt. Igazoljuk, hogy az f-nek a 0 helyen vett deriváltjaira fennállnak az alábbi egyenl ségek: f (0) = 0, f (0) = 2, f (0) = 0, f (4) (0) = 8 R(w, v)v, w. 3) Az el z feladatban szerepl J Jacobi-mez t felhasználva vegyük a h(t) = J(t) kifejezéssel deniált h : [0, β] R függvényt. Bizonyítsuk be, hogy a h függvény deriváltjaira fennállnak az alábbi egyenl ségek: h (0) = 1, h (0) = 0, h (0) = R(w, v)v, w. 4)* Az összefügg M Riemann-sokaságon legyen adva egy γ : [0, β] M geodetikus. Tekintsünk γ mentén egy olyan J Jacobi-mez t, amelyre fennáll J(0) 0. Igazoljuk, hogy megadható a γ-nak egy olyan µ : [0, β] ( ε, ε) M geodetikus variációja, amelynél az Y = T µ D 2 vektormez re teljesül Y γ = J. 5)* Legyen adott egy M összefügg Riemann-sokaság, amelyen, jelöli a metrikus tenzort. Tekintsük a Levi-Civita kovariáns deriválásnak megfelel K : T (T M) T M konnexió leképezést és az S X(T M) spray-mez t. A T M érint nyalábon vegyük azt a g Riemann-metrikát, amelyre tetsz leges X, Ỹ X(T M) vektormez k esetén fennáll g( X, Ỹ ) = T π X, T π Ỹ + K X, K Ỹ. Bizonyítsuk be, hogy ekkor az S spray-mez integrálgörbéi a T M Riemann-sokaságnak geodetikus görbéi. 7