= e i1 e ik e j 1. tenzorok. A k = l = 0 speciális esetben e az R egységeleme. A. e q 1...q s. = e j 1...j l q 1...q s

Átírás

1 3. TENZORANALÍZIS Legyen V egy n-dimenziós vektortér, V a duális tere, T (k,l) V = V V V V a (k, l)-típusú tenzorok tere. Megállapodás szerint T (0,0) V = R (általában az alaptest). Ha e 1,..., e n V egy bázisa, akkor jelöljük e 1,..., e n -nel a duális bázist V -ban. Az e i V lineáris függvényt az e i (e j ) = δj i egyenlőségek definiálják. T (k,l) V -ben bázist alkotnak az e j 1...j l = e i1 e ik e j 1 e j l tenzorok. A k = l = 0 speciális esetben e az R egységeleme. A k,l=0 T (k,l) V direkt összeg egy asszociatívalgebra-struktúrával rendelkezik a tenzorszorzásra nézve, ahol a tenzorszorzást a bázisvektorokon az e j 1...j l e q 1...q s p 1...p r = e j 1...j l q 1...q s p 1...p r képlettel adjuk meg. Ha T = n i 1,...,i k,j 1,...,j l =1 T i 1...i k j 1...j l e j 1...j l egy (k, l)-típusú tenzor, akkor a T i 1...i k j 1...j l számokat a tenzor koordinátáinak, vagy komponenseinek nevezzük az e 1,..., e n bázisra vonatkozóan. 3-1: Határozzuk meg a T (k,l) V tenzortér dimenzióját. 3-2: Hogyan változnak meg egy tenzor koordinátái, ha az e 1,..., e n bázisról áttérünk egy f 1,..., f n bázisra, ahol f i = n j=1 aj i e j? Mutassuk meg, hogy ha (b j i ) az (aj i ) áttérésmátrix inverze, akkor n f i = b i je j, j=1 f j 1...j l = n p 1,...,p k,q 1,...,q l =1 a p 1 i 1... a p k i k b j 1 q1... b j k qk e q 1...q l p 1...p k. 3-3: Adjuk meg azokat a (2, 0) illetve (1, 1) típusú tenzorokat, melyek koordinátái nem függnek a bázis megválasztásától. 3-4: Akár egy (2, 0)-, akár egy (1, 1)-típusú tenzor egy adott bázisra vonatkoztatott koordinátáiból koordinátáiból össze lehet állítani egy n n-es mátrixot. Függ-e ennek a mátrixnak a nyoma illetve determinánsa a bázis választásától? 3-5: Egy (2, 0)- illetve egy (0, 2)-típusú tenzort nemelfajulónak nevezünk, ha valamely bázishoz tartozó koordinátáiból összerakott n n-es mátrix determinánsa nem nulla. Bizonyítsuk be, hogy a nemelfajultság nem függ a bázis választásától. 3-6: Legyen ξ egy nemelfajuló (2, 0)-típusú tenzor. Mutassuk meg, hogy létezik egyértelműen egy olyan η (0, 2)-típusú tenzor, melyre igaz, hogy bármely bázisban a ξ illetve η koordinátáiból összerakott n n-es mátrixok egymás inverzei. 3-7: Hogyan számolhatjuk ki két tenzor tenzorszorzatának koordinátáit? Két azonos dimenziós vektortér között mindig megadhatunk egy izomorfizmust úgy, választunk mindkét térben egy-egy bázist és azt a lineáris leképezést tekintjük, mely az egyik bázis vektorait bijektíven képezi a másik bázis vektoraira. Egy izomorfizmus akkor természetes, ha definíciójában nem használunk véletlenszerűen kiválasztott elemeket, pl. bázisokat, vagy ha használunk is, az izomorfizmus független a választástól. 3-8: Adjunk meg természetes izomorfizmusokat az alábbi vektorterek között:

2 (a) (V W ) = V W ; (b) Hom(V, W ) = V W, speciálisan End(V ) = T (1,1) V és Hom(V, V ) = T (0,2) V ; (c) (T (k,l) V ) = T (k,l) V = T (l,k) V ; (d) {V V R (k + l)-lineáris függvények = T (l,k) V ; (e) {V W k-lineáris leképezések W -be = T (0,k) V W ; (f) {V V k-lineáris leképezések V -be = T (1,k) V ; (g) Hom(T (k,l) V, T (p,q) V ) = T (l+p,k+q) V. Az {1,..., k halmaz S k permutációcsoportja reprezentálódik a T (0,k) V és T (k,0) V tenzortereken. A Φ : S k GL(T (k,0) V ), σ Φ σ reprezentációt a bázivektorokon így adjuk meg: Φ σ (e i1...i k ) e σ(i1 )...σ(i k ). Hasonlóan adható meg a reprezentáció a (0, k)-típusú tenzorokon. Egy T (k, 0)-típusú tenzort szimmetrikusnak nevezünk, ha Φ σ (T ) = T minden σ S k permutációra. T -t antiszimmetrikusnak, vagy alternálónak nevezzük, ha Φ σ (T ) = sgn(σ) T minden σ S k permutációra. 3-9: Mutassuk meg, hogy minden (2, 0)-típusú tenzor egyértelműen felbontható egy szimmetrikus és egy antiszimmetrikus tenzor összegére. 3-10: Határozzuk meg az alternáló tenzorok A k (V ) terének dimenzióját. 3-11: Határozzuk meg a szimmetrikus tenzorok S k (V ) terének dimenzióját. 3-12: Egy reprezentációelméleti kérdés: Hogyan bomlik fel a Φ : S k GL(T (k,0) V ) reprezentáció irreducibilis reprezentációk direkt összegére? 3-13: Definiáljuk a π k : T (k,0) A k (V ) lineáris leképezést a π k (T ) = σ S k sgn(σ)φ σ (T ) kélettel. Bizonyítsuk be, hogy az α k (v 1 v k ) = π k (v 1 v k ) képlettel egy természetes izomorfizmust adhatunk meg Λ k (V ) és A k (V ) között. 3-14: Legyen α k mint előbb, β k = α k k!. Az α = α 0 α n és a β = β 0 β n leképezések lineáris izomorfizmust adnak a n k=0 Λk (V ) Grassman-algebra és a A (V ) = n k=0 Ak (V ) vektortér között. A Grassman-algebra -szrozását ezekkel az izomorfizmusokkal átvihetjük az A (V ) térre. Legyenek az így kapott szorzások A (V )-n α illetve β. Bizonyítsuk be, hogy T 1 A k (V ) és T 2 A l (V ) esetén T 1 α T 2 = 1 k! l! π k+l(t 1 T 2 ) és T 1 β T 2 = 1 (k + l)! π k+l(t 1 T 2 ).

3 Mi általában az α izomorfizmussal fogjuk azonosítani a külső szorzatokat az alternáló tenzorokkal és T 1 α T 2 helyett egyszerűen T 1 T 2 -t írunk. 3-15: Adjunk meg egy természetes izomorfizmust. A k (V 1 V 2 ) = r+s=k A r (V 1 ) A s (V 2 ) 3-16: Minden (l, k)-típusú sima tenzormező az M sokaságon megad egy X(M) X(M) Ω 1 (M) Ω 1 (M) C (M) leképezést, mely minden változójában lineáris a C (M) felett. Bizonyítsuk be, hogy egy T : X(M) X(M) Ω 1 (M) Ω 1 (M) C (M) R felett (k + l)-lineáris leképezés pontosan akkor származik egy (l, k)-típusú tenzormezőből, ha az alábbi két ekvivalens feltétel közül az egyik teljesül: (a) T minden változójában lineáris C (M) felett is; (b) Ha X 1,..., X k, ˆX 1,..., ˆX k X(M) tetszőleges vektormezők, α 1,..., α l, ˆα 1,..., ˆα l Ω 1 (M) tetszőleges 1-formák, melyekre az X i mező a p M ponthoz ugyanazt a vektort rendeli hozzá, mint az ˆX i mező minden 1 i k-ra és az α j forma a p-hez ugyanazt a kovektort rendeli, mint az ˆα j 1-forma minden 1 j l-re, akkor a T (X 1,..., X k, α 1,..., α l ) függvény a p pontban ugyanazt az értéket veszi fel, mint a T ( ˆX 1,..., ˆX k, ˆα 1,..., ˆα l ) függvény. Más szóval, a T (X 1,..., X k, α 1,..., α l ) függvény p-ben felvett értéke csak az X 1,..., X k, α 1,..., α l mezők p-beli értékeitől függ. 3-17: Milyen típusú tenzormező (a) egy sima függvény egy sokaságon; (b) egy sima függvény differenciálja; (c) egy vektormező; (d) egy hiperfelület első és második alapformája; (e) egy hiperfelületen a Weingarten-leképezés-mező? Egy Riemann-metrika egy sima sokaságon egy sima szimmetrikus pozitív definit (0, 2)-típusú tenzormező. Egy ilyen tenzormező a sokaság minden p pontjára a T p M érintőtéren kijelöl egy pozitív definit szimmetrikus bilineáris formát, tehát egy skaláris szorzást, mellyel az érintőtér egy euklideszi vektortérré válik. Az R n euklideszi tér egy Riemann sokaság, metrikus tenzora az identikus (x 1,..., x n ) : R n R n koordinátarendszerre nézve g = n i=1 dxi dx i. 3-18: Számoljuk ki az euklideszi sík metrikus tenzorának komponenseit a poláris koordinátarendszerben. 3-19: Számoljuk ki az euklideszi tér metrikus tenzorának komponenseit

4 (a) a hengerkoordináták rendszerében; (b) a szférikus koordináta-rendszerben. 3-20: Egy R n -beli hiperfelület első alapformája egy metrikus tenzor. Számoljuk ki az S 2 gömb metrikus tenzorának komponenseit (a) a szférikus koordinátarendszerben; (b) a sztereografikus projekció által definiált S 2 \{(0, 0, 1) R 2 lokális koordináta-rendszerben. Egy (M, g) Riemann-sokaságon értelmezett f sima függvény gradiensét két lépésben képezzük. Először vesszük az f differenciálját, mely egy df Ω 1 (M) 1-forma. Mivel g egy nemelfajuló (0, 2)-típusú tenzor, megad egy izomorfizmust a vektormezők és 1-formák között. grad f az a vektormező, mely ennél az izomorfizmusnál a df 1-formának felel meg. Explicitebben, grad f az a vektormező, melyre fennáll a azonosság minden X X(M) vektormezőre. g(grad f, X) = grad f, X = df(x) = Xf 3-21: Hogyan írható fel egy, a síkon értelmezett függvény gradiense polárkoordinátákkal, ha a függvény a polárkoordináták f(r, ϕ) függvényeként van megadva? 3-22: Hogyan írható fel egy függvény gradiense (a) hengerkoordinátákkal; (b) szférikus koordinátákkal. 3-23: Határozzuk meg az f = ln x 2 + y 2 + z 2 függvény gradiensét. 3-24: Vezessük le az alábbi, tetszőleges Riemann-sokaságon érvényes formulákat az f és g függvényekre: (a) grad(λf) = λ grad f, ahol λ egy konstans; (b) grad(f ± g) = grad f ± grad g; (c) grad(fg) = f grad g + g grad f; (d) grad(f/g) = g grad f f grad g g 2, g 0; (e) grad(f g) = (f g) grad g. 3-25: Legyenek u 1,..., u k C, f C (R k ) sima függvények, ˆf = f (u 1,..., u k ). Mutassuk meg, hogy grad ˆf = n i=1 if (u 1,..., u k ) grad u i. 3-26: Írjunk fel egy tetszőleges Riemann-sokaságban érvényes formulát egy függvénynek a gradiense irányában vett deriváltjára. Bizonyítsuk be, hogy ha γ : (a, b) M egy függvény gradiens mezőjének egy integrálgörbéje, és vannak olyan t 1 t 2 (a, b) számok, melyekre γ(t 1 ) = γ(t 2 ), akkor γ konstans.

5 3-27: Legyen p az M Riemann-sokaság egy pontja, f egy sima függvény M-en. Határozzunk meg azt az X p T p M egységvektort, melyre az X p (f) derivált a lehető legnagyobb, vagyis az f függvény leggyorsabb növekedésének irányát a p pontban. Egy : X(M) X(M) X(M), (X, Y ) X Y leképezést konnexiónak nevezünk, ha tetszőleges X, Y vektormezőre és bármely f sima függvényre fx Y = f X Y, és X (fy ) = X(f)Y + f X Y. 3-28: Bizonyítsuk be, hogy a konnexiók nem (1, 2)-típusú tenzormezők, de bármely két konnexió különbsége az. Bizonyítsuk be, hogy egy konnexió és egy tetszőleges (1, 2)-típusú tenzormező összege egy konnexió. 3-29: Bizonyítsuk be, hogy ha egy konnexió, akkor a T (X, Y ) = X Y Y X [X, Y ] képlet egy (1, 2)-típusú tenzormezőt definiál. (T a torziótenzor.) 3-30: Bizonyítsuk be, hogy ha egy konnexió, akkor az R(X, Y, Z) = X Y Z Y X Z [X,Y ] Z képlet egy (1, 3)-típusú tenzormezőt definiál. (R a görbületi tenzor.) 3-31: Bizonyítsuk be az L X Lie-deriválásra az alábbi azonosságokat: (a) L X (T 1 T 2 ) = L X (T 1 ) T 2 + T 1 L X (T 2 ); (b) L X (f) = Xf, ha f C (M); (c) L X (Y ) = [X, Y ], ha Y X(M); (d) L X (α)(y ) = X(α(Y )) α([x, Y ]), ha α Ω 1 (M), Y X(M); (e) L X (ω 1 ω 2 ) = L X (ω 1 ) ω 2 + ω 1 L X (ω 2 ), ha ω 1, ω 2 differenciálformák; (f) L X = d ι X + ι X d a differenciálformák terén (Cartan-formula); (g) [L X, L Y ] = L [X,Y ] ; (h) L X+Y = L X + L Y. 3-32: Legyen T egy tenzormező, X egy vektormező, Φ t (t R) az X által generált folyam. Bizonyítsuk be, hogy annak szükséges és elégséges feltétele, hogy minden t R-re Φ t (T ) = T teljesüljön az, hogy L X (T ) = 0 legyen. Ilyenkor azt mondjuk, hogy X a T tenzort invariánsan hagyja. 3-33: Bizonyítsuk be, hogy ha T egy adott tenzormező, akkor a T -t invariánsan hagyó vektormezők halmaza, azaz a {X X(M) L X T = 0 halmaz egy Lie-algebrát alkot. 3-34: Egy Riemann-sokaság metrikus tenzorát invariánsan hagyó vektormezőket Killing-mezőknek hívjuk. Írjuk le az euklideszi tér Killing-mezőit. 3-35: Bizonyítsuk be, hogy az ω Ω k (M) és ω 2 Ω l (M) differenciálformákra teljesülnek az alábbi azonosságok:

6 (a) ω 1 ω 2 = ( 1) kl ω 2 ω 1 ; (b) d(ω 1 ω 2 ) = d(ω 1 ) ω 2 + ( 1) k ω 1 d(ω 2 ); (c) ι X (ω 1 ω 2 ) = ι X (ω 1 ) ω 2 + ( 1) k ω 1 ι X (ω 2 ). 3-36: Bizonyítsuk be, hogy differenciálformák terén L X d = d L X, és [L X, ι Y ] = ι [X,Y ]. 3-37: Bizonyítsuk be, hogy minden f : M N sima leképezés indukál egy f : HDR (N) HDR (M) gyűrűhomomorfizmust. 3-38: Bizonyítsuk be, hogy ha az f, g : M N sima leképezések simán homotópak, akkor a de Rham-kohomológiagyűrűk közt ugyanazt a homomorfizmust indukálják. 3-39: Bizonyítsuk be, hogy R n -en minden legalább elsőfokú zárt differenciálforma egzakt. (Poincaré-lemma.) 3-40: Tekintsük az α = (x 2 + 7y)dx + ( x + y sin y 2 )dy 1-formát a síkon és integráljuk az ABC háromszög határán a megadott körüljárás szerint, ahol A = (0, 0), B = (1, 0), C = (0, 2). 3-41: Legyen α = (2x + cos(xy))dx + (x cos(xy))dy egy 1-forma a síkon. Bizonyítsuk be, hogy α zárt. Mutassuk meg azt is, hogy α egzakt expliciten megadva egy olyan f sima függvényt, melyre α = df. Mennyi az α integrálja az előző feladatban megadott ABC cikluson? 3-42: Legyen α = 1 xdy ydx 2π x 2 + y 2. Bizonyítsuk be, hogy α zárt. Számoljuk ki α integrálját az S 1 egységkörön (a pozitív körüljárással). Miért következik a kapott eredményekből, hogy α nem egzakt? 3-43: Számoljuk ki az S 1 körvonal de Rham-féle kohomológiagyűrűjét. 3-44: Számoljuk ki az S n gömb de Rham-féle kohomológiagyűrűjét. 3-45: Bizonyítsuk be, hogy HDR (M N) = HDR (M) H DR (N). (Künneth-formula.) 3-46: Mi a topológiai jelentése HDR 0 (M) dimenziójának? 3-47: Legyen k n = dim M, és legyenek ω 1,..., ω k 1-formák M-en, melyek pontonként lineárisan függetlenek. Legyenek θ 1,..., θ k olyan 1-formák M-en, melyekre k θ i ω i = 0. Bizonyítsuk be, hogy léteznek olyan A ij = A ji sima függvények M-en, hogy (Cartan-lemma.) i=1 θ i = k A ij ω i. i=1 3-48: Tekintsünk egy D altérdisztribúciót M-en. Azt mondjuk, hogy egy ω k-forma anullálja a disztibúciót, ha ω p (v 1,..., v k ) = 0 valahányszor p M és v 1,..., v k D p. Jelöljük I(D)-vel a D-t anulláló differenciálformák ideálját. Bizonyítsuk be, hogy a D disztribúció pontosan akkor involutív (integrálható), ha I(D) zárt a külső differenciálásra, azaz ω I(D) esetén dω I(D).