Stacionárius tengelyszimmetrikus terek a Kerr-Newman téridő

Átírás

1 1 / 32 Stacionárius tengelyszimmetrikus terek a Kerr-Newman téridő Fodor Gyula MTA KFKI Részecske- és Magfizikai Kutatóintézet Integrálhatóság Nyári Iskola Budapest, 2008 augusztus 25

2 Bevezetés 2 / 32 Forgó csillagok külső tere vagy forgó fekete lyukak Vákuum vagy elektrovákuum téridő Izolált forrás aszimptotikus síkság Fejlődés végállapota: stacionaritás és tengelyszimmetria Fekete lyuk: egyértelműen Kerr téridő Csillag külső tere: lehet Kerr, Tomimatsu-Sato, stb... Kerr quadrupólmomentuma túl kicsi

3 Történeti áttekintés 3 / általános relativitáselmélet 1916 Schwarzschild téridő Reissner-Nordström téridő töltött Schwarzschild 1916 belső Schwarzschild téridő összenyomhatatlan folyadék Chandrasekhar-határ fehér törpék tömege < 1.43 M 1939 Tolman-Oppenheimer-Volkoff határ neutroncsillagok tömege < 2 M 1958 Eddington-Finkelstein koorrdináták eseményhorizont 1962 Newman-Penrose tetrád/spinor formalizmus 1963 Kerr téridő 1965 Kerr-Newman téridő töltött Kerr 1967 Wheeler bevezeti a fekete lyuk kifejezést Hawking-Penrose szingularitás tételek Boyer-Lindquist, Carter maximális kiterjesztés

4 Elektrovákum téridő 4 / dimenziós sokaság, g ab metrika, A a négyes potenciál térerősség tenzor Einstein-egyenletek R ab 1 2 g abr = 2 F ab = a A b b A a ( F ac F c b 1 4 g abf cd F cd ) Maxwell-egyenletek b F ab = 0

5 Szimmetria-transzformációk 5 / 32 Legyen φ t diffeomorfizmusok egyparaméteres csoportja amelyet egy v a vektormező generál Egy T tenzormező Lie deriváltja ( φ ) L v T = lim t T T t 0 t Ha φ t egyparaméteres izometria csoport, azaz φ t g ab = g ab, akkor v a Killing vektor L v g ab = a v b + b v a = 0 Teljesen szimmetrikus tenzor K a1...a n = K (a1...a n) Killing tenzor, ha (b K a1...a n) = 0

6 Stacionárius téridő A téridő stacionárius, ha létezik σ t egyparaméteres izometriacsoport amelynek pályái időszerű görbék létezik időszerű Killing vektor ξ a sztatikus téridő: ξ a hiperfelületre merőleges Az ergoszférán belül az aszimptotikusan időszerű Killing vektor térszerűvé válik a horizonton kívül a forgási Killing vektorral vett lineáris kombinációja viszont időszerű marad lokális stacionaritás 6 / 32

7 Stacionárius vákuum téridő 7 / 32 Legyen f = ξ a ξ a Bevezetjük a rotáció vektort: ω a = ǫ abcd ξ b ξ c;d mivel ξ a ω a = 0 ez egy térszerű vektor A vákuum Einstein-egyenletekből következik, hogy ω [a,b] = 0 létezik egy ω függvény, hogy ω a = ω,a (Papapetrou, 1963) ekkor definiálható a komplex Ernst-potenciál: E = f + iω A ξ a stacionárius Killing vektor pályáin indukált h µν metrika és E meghatározza a téridő g ab metrikáját

8 Stacionárius elektrovákuum 8 / 32 Bevezetjük a komplex önadjungált térerősségtenzort F ab = F ab + i F ab, Fab = 1 2 ǫ abcdf cd Ha L ξ F ab = 0, definiálhatunk egy komplex Φ potenciált ξ a F ab = Φ,b az Ernst-potenciál ekkor a következőképpen definiálható (Harrison, Ernst, 1968) E,a = f,a + iω a 2 ΦΦ,a

9 Stacionárius elektrovákuum téregyenletek 9 / 32 A stacionárius Killing vektor pályáin definiálunk egy konform transzformált indukált metrikát h ab = fg ab + ξ a ξ b γ ab ξ b = 0 az ehhez tartozó kovariáns deriváltakat és görbületi tenzort használjuk a téregyenletek felírására (Harrison, 1968, Neugebauer, Kramer, 1969) f E = ( E + 2 Φ Φ ) E f Φ = ( E + 2 Φ Φ ) Φ R ab = 1 2f 2 ( E,(a + 2 ΦΦ,(a )(Ē,b) + 2Φ Φ,b) ) + 2 f Φ,(a Φ,b) ahol f = Re E + Φ Φ itt a változók h ik, E és Φ

10 Tengelyszimmetrikus téridő 10 / 32 A téridő tengelyszimmetrikus, ha létezik χ φ egyparaméteres izometriacsoport amelynek pályái zárt térszerű görbék léteznek fixpontjai χ φ -nek szimmetriatengely A szimmetriát ψ a térszerű Killing vektor generálja Aszimptotikus síkság esetén a tengely létezése garantált

11 Stacionárius és tengelyszimmetrikus téridő 11 / 32 Ha a téridő stacionárius és tengelyszimmetrikus, belátható, hogy választható σ t és χ φ úgy, hogy hatásuk felcserélhető: σ t χ φ = χ φ σ t (Carter, 1970, Szabados, 1987) Killing vektorok kommutálnak [ξ, ψ] = 0 Választhatunk illesztett koordinátákat, x a = (t,φ, x 2, x 3 ) ξ a = ( ) a ( ) a, ψ a = t φ hogy a g ab komponensek ne függjenek t-től és φ-től Tétel: Elektrovákuum téridőben a ξ a -ra és ψ a -ra merőleges kétdimenziós síkok integrálhatóak (egy felületsereg érintői) (Papapetrou, 1966, Kundt, Trümper, 1966) Bizonyítás: Frobenius tétel alkalmazása

12 Stacionárius és tengelyszimmetrikus tér metrikája x a = (t,φ, x 2, x 3 ) (Lewis, 1932, Papapetrou, 1953) g ab = f W 0 0 W X f h f h 23 f h 23 1 f h 33 ahol f, W, X, h 22, h 23 és h 33 csak x 2 és x 3 -tól függenek t t φ φ invariancia X helyett vezessük be a ρ függvényt: ρ 2 = fx + W 2 X = 1 f (ρ2 W 2 ) legyen x 2 = ρ legyen x 3 z a konstans ρ vonalakra merőleges koordináta z z = f(z) szabadság marad 12 / 32

13 Weyl kanonikus koordináták 13 / 32 új függvény: W helyett ω = W/f ds 2 = f (dt ω dφ) f [ρ 2 dφ 2 + e 2γ ( dρ 2 + Λdz 2)] ahol f, ω, γ és Λ a ρ és z koordináták függvénye Elektrovákuum téridőben, Ta a = 0 miatt Λ ρ = 0 z átskálázható hogy Λ = 1 legyen Weyl kanonikus koordináták: ds 2 = f (dt ω dφ) f [ρ 2 dφ 2 + e 2γ ( dρ 2 + dz 2)]

14 Stacionárius és tengelyszimmetrikus téregyenletek ds 2 = f (dt ω dφ) [ρ ( 2 dφ 2 + e 2γ dρ 2 + dz 2)] f a stacionárius Killing pályákon indukált konform metrika ρ h ij = fg ij + ξ i ξ j = 0 e 2γ e 2γ az Ernst egyenletekből kiesik a γ függvény (Re E + Φ Φ) E = ( E + 2 Φ Φ ) E (Re E + Φ Φ) Φ = ( E + 2 Φ Φ ) Φ sík háttéren felírt egyenletként értelmezhetők vákuum esetén: Re E E = E E (Ernst,1968) 14 / 32

15 Kerr-Newman téridő (1963, 1965) 15 / 32 Boyer-Lindquist koordináták: (t, φ, r, θ) ( ) ds 2 a 2 sin 2 θ = dt 2 2a sin2 θ ( r 2 + a 2 ) dt dφ Σ Σ [ ] (r 2 + a 2 ) 2 a 2 sin 2 θ + sin 2 θdφ 2 + Σ Σ dr 2 + Σdθ 2 A ahol = Qr Σ ( ) dt a sin 2 θ dφ + P cosθ [ ] a dt (r 2 + a 2 )dφ Σ Σ = r 2 + a 2 cos 2 θ = r 2 + a 2 + e 2 2Mr konstansok: M, a és e = Q 2 + P 2

16 Kerr-Newman téridő kicsit átcsoportosítva 16 / 32 Boyer-Lindquist koordináták: (t, φ, r, θ) ds 2 A ahol = Σ [ ] 2 dt a sin 2 sin 2 θ [ ] 2 θdφ + (r 2 + a 2 )dφ adt Σ + Σ dr 2 + Σdθ 2 = Qr Σ ( ) dt a sin 2 θ dφ + P cosθ [ ] a dt (r 2 + a 2 )dφ Σ Σ = r 2 + a 2 cos 2 θ = r 2 + a 2 + e 2 2Mr konstansok: M, a és e = Q 2 + P 2

17 A Kerr-Newman téridő Ernst potenciálja (P=0) 17 / 32 E = 1 2M r ia cosθ, Φ = e r ia cosθ áttérés (r, θ) Boyer-Lindquist koordinátákról (ρ, z) hengerkordinátákra ρ = sin θ, z = (r m) cosθ ahol = r 2 + a 2 + e 2 2Mr

18 A Kerr téridő Ernst potenciálja 18 / 32 Bevezetünk egy transzformált Ernst potenciált ξ = 1 E 1 + E ekkor a Kerr téridőre (Ernst, 1968) ξ = 1 px iqy, p2 + q 2 = 1, a = Mq Az áttérés (x, y) lapult szferoidális kordinátákról (ρ, z) hengerkoordinátákra ρ 2 = σ 2 (x 2 1)(1 y 2 ), z = xy ahol σ egy konstans (Kerr esetén σ = Mp)

19 Tomimatsu-Sato téridők (1972) Ernst-potenciál tört-polinom alakú lapult szferoidális kordinátákban ξ = β α paraméterek: p 2 + q 2 = 1 és δ pozitív egész δ = 1: α = px iqy, β = 1 (Kerr) δ = 2: α = p 2 (x 4 1) 2ipqxy(x 2 y 2 ) + q 2 (y 4 1) β = 2px(x 2 1) 2iqy(1 y 2 ) δ = 3: / 32

20 Tetrádok 20 / 32 Ortonormált tetrád {E a } = {E α, t}, E α E β = δ αβ, t t = 1, E α t = 0 Komplex null-tetrád (Newman-Penrose,1962) {e a } = (m, m, l, k), k l = 1, m m = 1, többi 0 kapcsolat 2 m = E1 i E 2, 2 l = E4 E 3, 2 m = E 1 + i E 2 2 k = E4 + E 3

21 A görbületi tenzor felbontása 21 / 32 R abcd = C abcd + E abcd + G abcd ahol E abcd = 1 2 (g acs bd + g bd S ac g ad S bc g bc S ad ) G abcd = 1 12 R (g acg bd g ad g bc ) S ab = R ab 1 4 Rg ab C abcd Weyl tenzor, spurmentes: C a bad = 0

22 A Weyl tenzor komplex null-tetrád komponensei 22 / 32 Ψ 0 = C abcd k a m b k c m d, Ψ 3 = C abcd k a l b m c l d Ψ 1 = C abcd k a l b k c m d, Ψ 4 = C abcd m a l b m c l d Ψ 2 = C abcd k a m b m c l d Ψ 0 változása l vektor körüli komplex null-forgatásokra Ψ 0 = Ψ 0 + 4EΨ 1 + 6E 2 ψ 2 + 4E 3 Ψ 3 + E 4 Ψ 4 ahol az E komplex szám megválasztásával k az l vektoron kívül bármely valós null-vektorba átvihető

23 A Petrov osztályozás 23 / 32 A Wely tenzor k principális null-irányait keressük (Petrov, 1954, Penrose, 1960) k [e C a]bc[d k f] k b k c = 0 Ψ 0 C abcd k a m b k c m d = 0 ez egy l körüli komplex null-forgatással érhető el Ψ 0 + 4EΨ 1 + 6E 2 ψ 2 + 4E 3 Ψ 3 + E 4 Ψ 4 = 0 a negyedfokú egyenlet többszörös gyökei többszörös sajátirányoknak felelnek meg A többszörös gyökök száma szerint kerülnek különböző Petrov osztályokba a téridők

24 Algebrailag speciális téridők 24 / 32 Ha van többszörös sajátirány, akkor a téridő algebrailag speciális (1, 1, 1, 1) Petrov I (2, 2) Petrov D (2, 1, 1) Petrov II (3, 1) Petrov III (4) Petrov N A Kerr-Newman téridő Petrov D osztályú Ismert az általános Petrov D Einstein-Maxwell megoldás kozmológiai konstanssal (Debever, Garcia, ) a kozmológiai konstanson kívül 6 paraméter (tömeg, NUT, forgás, gyorsulás, elektromos és mágneses töltés)

25 A Kerr-Newman téridő principális null-irányai 25 / 32 két ismételt sajátirány Petrov D ahol l a = ( r 2 + a 2 ) ( ) a + a ( ) a ( + t φ r n a = r 2 + a 2 2Σ ( ) a + a ( t 2Σ φ Σ = r 2 + a 2 cos 2 θ = r 2 + a 2 + e 2 2Mr ) a 2Σ ) a ( r ) a Killing tenzor: K ab = 2Σl (a n b) + r 2 g ab, (a K bc) = 0

26 A Kerr-Newman metrika Kerr-Schild alakja g ab = η ab 2Sk a k b ahol η ab sík és η ab k a k b = g ab k a k b = 0 a metrika: [ ds 2 = dx 2 + dy 2 + dz 2 dt 2 + 2Mr 3 e 2 r 2 r 4 + a 2 z 2 dt + z r dz a térerősség tenzor + r a r 2 + a2(xdx + ydy) r 2 + a2(xdy ydx) (F xt if yz, F yt if zx, F zt if xy ) = ] 2 er 3 (r 2 + iaz) 3(x, y, z + ia) ahol x 2 + y 2 r 2 + a 2 + z2 r 2 = 1 26 / 32

27 A Kerr metrika aszimptotikus alakja 27 / 32 ds 2 ahool r 2 = x 2 + y 2 + z 2 M a tömeg = dx 2 + dy 2 + dz 2 dt 2 + 2M (dt 2 + dr 2 ) r 4Ma ( ) 1 r 3 (xdy ydx)dt + O r 3 J = (0, 0, Ma) az impulzusmomentum vektor

28 Paraméterek a Kerr-Newman metrikában 28 / 32 ξ a stacionárius és ψ a forgási Killing vektor válasszunk egy távoli S gömbfelületet π 1 16π S ǫ abcdf cd = 4πe S ǫ abcd c ξ d = M S ǫ abcd c ψ d = Ma elektromos töltés tömeg impulzusmomentum

29 Aszimptotikusan sík téridők 29 / 32 A ξ a stacionárius Killing vektor pályái definiálnak egy M háromdimenziós sokaságot, és rajta egy konform transzformált indukált metrikát, h ab = fg ab + ξ a ξ b (M, h ik ) sokaság aszimptotikusan sík, ha létezik ( M, h ik ) 1 M = M Λ, ahol Λ a térbeli végtelennek megfelelő pont 2 hik = Ω 2 h ik, ahol Ω C 2 függvény M-n 3 Ω-ra teljesül, hogy Ω Λ = 0, Di Ω Λ = 0, D i Dk Ω Λ = 2 h ik Λ, ahol D i a h ik -hoz tartozó deriváló operátor (Penrose, 1965, Geroch, 1970)

30 Multipólus-momentumok 30 / 32 Ernst potenciálok konform transzformációja ξ = 1 E 1 + E, ξ = Ω 1/2 ξ, q = Φ(1 + ξ), q = Ω 1/2 q Definiáljuk az alábbi tenzormezőket az (Geroch 1970, Hansen 1974) M sokaságon P (0) = ξ vagy q P (1) i = D i P (0) P (n+1) i 1 i 2...i n+1. = C [ D in+1 P (n) i 1...i n 1 ] 2 n(2n 1) R i1 i 2 P (n 1) i 3...i n+1 ahol C a szimmetrikus spurmentes rész képzését jelenti, D i a h ik -nak megfelelő kovariáns deriválás, R ij a h ik -hoz tartozó Ricci-tenzor.

31 Multipólus-momentumok (2) 31 / 32 A multipólus-momentum tenzorok a P (n) i 1...i n tenzormezőknek a Λ pontban felvett értékei M (n) i 1...i n = P (n) i 1...i n Λ valós rész tömeg, képzetes rész forgási momentumok Tengelyszimmetrikus tér esetén legyen n a a tengely irányú egységvektor a Λ pontban a momentumtenzorok konstans szorzótól eltekintve C [ n i 1...n in] Λ alakúak Skalár momentumok P n = 1 n! M(n) i 1...i n n i 1...n in Kerr-Newman téridő: P n = M(ia) n, Q n = e(ia) n

32 Unicitás tételek 32 / 32 Stacionárius fekete lyuk horizontja S 2 topológiájú (Hawking, 1972, Hawking, Ellis 1973, Chrusciel, Wald, 1994) stacionárius (elektro)vákuum téridő: ha van ergoszféra akkor tengelyszimmetrikus ha nincs ergoszféra akkor sztatikus (Lichnerovitz, 1955, Hawking, Ellis 1973, Hajicek, 1973 Müller zum Hagen, 1970, Carter, 1973) sztatikus vákuum: Schwarzschild téridő (Israel, 1967, Müller zum Hagen, Robinson, Seifert, 1973, Robinson, 1977) sztatikus elektrovákuum: Reissner-Nordström (Israel, 1968) tengelyszimmetrikus stacionárius (elektro)vákuum: Kerr-Newman téridő (Carter, 1971, Robinson 1975, Mazur, 1982, Bunting)