mérlegegyenlet. ϕ - valamely SKALÁR additív (extenzív) mennyiség térfogati

Átírás

1 ϕ t + j ϕ = 0 mérlegegyenlet. ϕ - valamely SKALÁR additív (extenzív) mennyiség térfogati sűrűsége j ϕ - a ϕ-hez tartozó áramsűrűség j ϕ = vϕ + j rev + j irr vϕ - advekció j rev - egyéb reverzibilis áram j irr - irreverzibilis áram (entrópia növelő transzport jelenség) ϕ t + ij ϕ i = 0, Descartes-i bázisban Einstein-féle összegzési konvenció.

2 ξ vektoriális mennyiség térfogati sűrűsége ξ i ξ t + X = 0, ξ j t + ix ij = 0, vectoriális alak Descartes-i bázisban v ξ (v i ξ j ) - advekció X rev - egyéb reverzibilis áram X irr - irreverzibilis áram (entrópia növelő transzport jelenség)

3 Az Euler-egyenlet Tekintsünk a folyadék belsejében egy tartományt. p df = p dv. a térfogatra ható teljes erő. a folyadék egységnyi térfogatára p erő hat. A térfogatelem mozgásegyenlete : ahol és dv = v v dt + dx t x ρ dv dt + dy v y dv dt = v t v t + (v )v = 1 ρ = p. v + dz z = v dt + (dr )v t + (v )v. p. Euler egyenlet (1755)

4 Nehézségi erőtérben valamennyi térfogatelemre még ρg gravitációs erő hat. v + (v )v = p t ρ + g Nem vettünk figyelembe transzport jelensegeket: belső surlódás(viszkozitás) hődiffuzió anyagdiffuzió ideális folyadék.

5 dw = T ds + V dp, w a folyadék egységnyi tömegének entalpiája, V = 1/ρ fajlagos térfogat. vagy p/ρ = w. dw = V dp = 1 ρ dp, Vektoranaĺızisből: v t + (v )v = w. 1 2 v 2 = v ( v) + (v )v v t v 2 v ( v) = w csak a sebességet tartalmazza. v = (v v) t

6 Határfeltételek álló merev fal: a folyadék nem áramlik át a szilárd falon sebesség normális komponense a rögzített fal mentén eltűnik : v n = 0. mozgó merev fal: v n a felület sebességének megfelelő összetevőjével egyezik meg. két, egymással nem keveredő folyadék elválasztó felülete: a két oldalon - p 1 = p 2 - v 1n = v 2n Ideális hidrodinamika: öt mennyiség (v, p, ρ) öt egyenlet (Euler-egyenletek, kontinuitási egyenlet valamint a mozgás adiabatikus jellegét kifejező egyenlet).

7 Hidrosztatika Homogén gravitációs erőtérben v t Nyugvó folyadékra v = 0 + (v )v = p ρ + g p = ρg. a folyadék mechanikai egyensúlyának feltétele. Ha a ρ =állandó, g = (0, 0, g) p x = p y = 0, p z = ρg, p = ρgz + const. Ha a nyugvó, h magasságban elhelyezkedő, szabad felületére annak minden pontjában azonos, p 0 nagyságú nyomás hat: p = p 0 + ρg(h z).

8 Nagy folyadéktömeg esetén a folyadék ρ állandó, különösen a gázok esetén (pl. légkör). dφ = s dt + V dp Φ egységnyi tömegére vonatkozó termodinamikai potenciál. Legyen T =állandó (termikus egyensúly): dφ = V dp = 1 ρ dp. 1 ρ p helyettesíthető Φ Φ = g. g = (gz) (Φ + gz) = 0 Φ + gz = const; az összes mennyiség (T, ρ, p, Φ,...) csak a z magasságtól függ. Ha két egyenlő magasságban levő pont között például hőmérséklet-különbség lép fel, a mechanikai egyensúly lehetősége kizárt.

9 Nehézségi erő által összetartott igen nagy folyadéktömeg (csillag) egyensúlya. ϕ a nehézségi erőtér potenciálja. ϕ = 4 πgρ G a Newton-féle gravitációs állandó. A gravitációs tér térerősége ϕ, a ρ tömegre ható erő ρ ϕ. ( 1 p = ρ ϕ. ρ... ( ) 1 ρ ϕ = 4πGρ. Itt csak mechanikai egyensúlyról van szó. A teljes termikus egyensúly fennállását nem használtuk ki. Ha a test nem forog, az egyensúlyi alak gömb minden mennyiség gömbszimmetrikus. 1 r 2 d dr ( r 2 ρ ) dp = 4πGρ. dr

10 A Bernoulli-egyenlet Stacionárius áramlás v t = 0. v t v 2 v ( v) = w 1 2 v 2 v v = w. l... Az áramvonal v dx = dy = dz. v x v y v z Az áramvonalak időben állandók. Az érintő egységvektora l. w l = w, (v v) l = 0. l ( ) v 2 l 2 + w = 0 v 2 + w = const. egy áramvonal mentén 2 Bernoulli-egyenlet. Az állandó értéke minden áramvonal mentén

11 Nehézségi erőtérben g l = g dz dl ( ) v 2 l 2 + w + gz = 0 v w + gz = const

12 A cirkuláció megmaradása Γ = v dl a görbére vonatkozó (sebesség)cirkuláció. Kössünk egy zárt görbét a rajta elhelyezkedő részecskékhez a görbe időben változik. d v dl =? dt δ - koordináták szerinti deriválás, d - idő szerinti derivált dl = δr v δr. v = dr/dt d dt v dδr dt v δr = dv dt δr + v dδr dt. = vδ dr dt = vδv = δ v 2 2.

13 Teljes differenciál zárt görbére vett integrálja eltűnik d dv v δr = dt dt δr. Az integrál kiszámításához felhasználjuk a dv dt gyorsulásnak kifejezését : dv dt = w. A sokes-tétel alkalmazásával (tekintetbe véve, hogy w = 0) : dv dt δr = dv δf = 0. dt

14 Súrlódó folyadékok mozgásegyenletei t ρv i = P ik x k P ik az ideális impulzusáram-sűrűség tenzor. P ik = pδ ik + ρv i v k σ ik = σ ik + ρv i v k. Az itt szereplő σ ik = pδ ik + σ ik feszültségtenzor, σ ik viszkozitási feszültségtenzor. Belső súrlódás csak akkor lép fel, ha a folyadék különböző részei különböző sebességgel mozognak σ ik a sebességnek a koordináták szerinti deriváltjaitól függ. Kis gradiens esetén σ ik -nak v i v x k -tól való függés lineáris. i x k -töl független tagok nem szerepelhetnek σ ik = 0 ha v = const esetén el kell tűnniük. Ha a folyadék mint egész forog, akkor belső súrlódás nem léphet fel. v = Ω r v i + v k = 0 x k x i

15 ( σ ik = a vi + v ) k + b v l δ ik, x k x i x l ahol a és b függetlenek a sebességtől (csak izotróp folyadékokban igaz ahol a, b skalárok). ( σ ik = η vi + v k 2 ) x k x i 3 δ v l v l ik + ζδ ik x l x l. η > 0 és ζ > 0 belső súrlódási együtthatók ( ) vi ρ t + v v i k = p x k x i ( ) vi ρ t + v v i k = p + { ( vi η + + v k 2 x k x i x k x k x i 3 δ v l ik x l + ( ζ v ) l. x i x l η és ζ általában a nyomás és a hőmérséklet függvénye, de jó közeĺıtéssel állandók. )} +

16 σ ik x k ( 2 v i = η xk 2 = η 2 v i x 2 k + [ ] v ρ t + (v )v + v k 2 v l x i x k 3 x i x l ( ζ + η 3 v l x l v, ) + ζ x i v l x l = (1) ) x i v l x l. (2) 2 v i x 2 k v i. ( = p + η v + ζ + η ) ( v). 3 Navier Stokes-egyenlet. Ha a folyadék összenyomhatatlan v = 0 v t + (v )v = 1 ρ p + η ρ v. ( vi σ ik = pδ ik + η + v ) k. x k x i A belső súrlódást egyetlen állandó írja le (ún.dinamikai viszkozitás) ν = η/ρ kinematikai viszkozitás

17 v t + (v )v = 1 ρ p + η ρ v. Gázok dinamikai viszkozitása adott hőmérsékleten független a nyomástól. Rotáció operátort alkalmazva v = (v v) + ν v. t

18 A szilárd test felületével érintkező folyadék nem mozdul el, mintha oda lenne ragasztva. Tehát szilárd test mentén: v = 0. Mozgó felület esetében v a szilárd felület mozgássebességével egyezik meg.könnyen feĺırhatjuk a folyadékba merülő szilárd test felületére ható erő kifejezését.egy felületelemre ható erő az adott elemen átmenő impulzusáram. A df felületelemen átmenő impulzusáram : P ik df k = (ρv i v k σ ik )f k. Az egységnyi felületre ható P erő így adódik : P i = σ ik n k = pn i σ ik n k, mivel a felületen v = 0.Az első tag a szokásos folyadéknyomás, a második a felületre ható súrlódási erő. Hangsúlyoznunk kell, hogy az n vektor a folyadékfelület külső nortmális irányú egységvektora, azaz a szilárd test felületének belső normálisa.

19 Áramlás csövekben 1. Két párhuzamos egymáshoz képest h távolságra elhelyezkedő, állandó u Ox sebességgel mozgó síklap közé zárt folyadék n Oy. Minden mennyiség csak az y koordinátától függ. Stacionárius mozgás esetén (a Navier-Stokes egyenletből) dp dy = 0, p = const, v = ay + b Az y = 0, v = 0 és y = h, v = u A folyadék átlagsebessége v = 1 h v = y h u. h Az érintőirányú erő (azy = 0 síkban) : 0 d 2 v dy 2 = 0. v dy = 1 2 u. σ xy = η dv dy = ηu h.

20 2. Két rögzített, párhuzamos sík között nyomáskülönbség hatására végbemenő áramlás. A Navier Stokes-egyenletből 2 v y 2 = 1 p η x, p y = 0. Az első egyenlet jobb oldala csak x-től függ,bal oldala pedig csak y-tól mindkét oldal állandó. Tehát dp dx = const, v = 1 dp 2η dx y 2 + ay + b. v = 0, ha y = 0 vagy y = h v = 1 dp 2η dx [ h 2 4 ( y h ) ] 2. 2 a réteg közepén maximális parabola. Az átlagsebesség v = h2 p 12η x. A síkokra ható súrlódási erő: σ xy = η v y y=0 = h dp 2 dx

21 3. Tetszőleges (de végig azonos) keresztmetszetű csőben. v = (v(y, z), 0, 0) : p y = p z = 0, 2 v y v z 2 = 1 dp η dx. Ebből ismét dp p dx = const = l, p a cső végei közötti nyomáskülönbség, l a cső hossza. v = 0 határfeltétel, v = v(r). ( 1 d r dv ) = p r dr dr ηl. v = p 4ηl r 2 + a ln r + b a = 0 mert a sebesség minden pontban véges. v = 0, ha r = R b. v = p 4ηl (R2 r 2 ). A cső egy síkmetszetén időegység alatt átáramló Q folyadékmennyiség (hozam). Q = 2πρ R 0 rv dr = π p R 4 8νl

22 Hanghullámok Az összenyomható folyadék kis amplitúdójú rezgőmozgását hanghullámnak nevezzük. A hanghullám váltakozva sűrűsödést és ritkulást okoz a folyadék minden pontjában. Kis oszcillációk, kis v sebesség (v )v tag elhanyagolható. p = p 0 + p, ρ = ρ 0 + ρ ρ 0 és p 0 az egyensúlyi sűrűség és nyomás, (ρ ρ 0, p p 0 ). ρ t + ρv = 0 és ρ t + ρ 0 v = 0. v t + (v )v = p ρ v t + p ρ 0 = 0

23 v c (c a hangsebesség). Adiabatikus állapotváltozás ( ) p p = ρ ρ. s p ( ) p t + ρ 0 v = 0. ρ v = ϕ sebességpotenciál p = ρ ϕ t, 2 ϕ t 2 c2 ϕ = 0 egyenletet kapjuk;itt bevezettük a ( p ) c = ρ hullámegyenlet lineáris homogén másodrendű parciális differenciálegyenlet v, p, ρ is eleget tesznek a hullámegyenletnek. s

24 p = c 2 ρ v = cρ ρ. Az adiabatikus és az izotermikus kompresszibilitás kapcsolata ( ) p = c ( ) p p. ρ c v ρ Határozzuk meg a hangsebességet ideális gázban. Az állapotegyenlet: s pv = p ρ = RT µ, R a gázállandó, µ pedig a molekulasúly. c = γ RT µ, T ahol γ = cp c V. A hangsebesség gázokban nagyságrendileg megegyezik a molekulák hőmozgásának átlagsebességével. Adott hőmérsékleten c független a nyomástól.