Wigner tétele kvantummechanikai szimmetriákról
|
|
|
- Dóra Katonané
- 5 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Szegedi Tudományegyetem, Bolyai Intézet és MTA-DE "Lendület" Funkcionálanalízis Kutatócsoport, Debreceni Egyetem Október 30. Elméleti Fizika Szeminárium
2 A tétel története
3 Wigner tétele Tétel Legyen H komplex Hilbert tér és jelölje S az egységvektorok halmazát. Legyen φ: S S olyan (nem feltétlen bijektív!) transzformáció, melyre a következ teljesül: u, v = φ( u), φ( v) ( u = v = 1). (WF)
4 Wigner tétele Tétel Legyen H komplex Hilbert tér és jelölje S az egységvektorok halmazát. Legyen φ: S S olyan (nem feltétlen bijektív!) transzformáció, melyre a következ teljesül: u, v = φ( u), φ( v) ( u = v = 1). (WF) Ekkor létezik egy olyan lineáris vagy antilineáris izometria W : H H és egy függvény τ : S T, hogy φ( u) = τ( u) W u ( u H).
5 Wigner bizonyítása nem volt matematikailag korrekt (1931).
6 Wigner bizonyítása nem volt matematikailag korrekt (1931). Az els matematikailag teljes bizonyítások: J. A. Lomont és P. Mendleson (1963). Bijektívre
7 Wigner bizonyítása nem volt matematikailag korrekt (1931). Az els matematikailag teljes bizonyítások: J. A. Lomont és P. Mendleson (1963). Bijektívre V. Bargmann (1964). Bijektívre Figure: Valentine Bargmann
8 U. Uhlhorn (1963)-ban Általánosítás (projektív geometria alaptétele), bijektívre! Figure: Ulf Uhlhorn
9 U. Uhlhorn (1963)-ban Általánosítás (projektív geometria alaptétele), bijektívre! Figure: Ulf Uhlhorn Ám ezek hosszú és nem könnyen átlátható bizonyítások.
10 Az els matematikailag kristálytiszta bizonyítás Molnár Lajos (1996) algebrai megközelítés. De nem elemi! Figure: Molnár Lajos
11 Gy ry M. (2004) Zorn lemmás megközelítés. Figure: Gy ry Máté
12 R. Simon et al. (2008) Csak a szeparábilis eset.
13 R. Simon et al. (2008) Csak a szeparábilis eset. A. Mouchet (2013) Felteszi, hogy φ kétszer deriválható, és hogy a tér szeparábilis.
14 Wigner tétel átfogalmazása Ha u = 1, akkor jelölje P[ u] azt az egy-rangú (önadjungált) projekciót, melynek képtere pontosan C u.
15 Wigner tétel átfogalmazása Ha u = 1, akkor jelölje P[ u] azt az egy-rangú (önadjungált) projekciót, melynek képtere pontosan C u. Legyen P 1 (H) az egy-rangú projekciók halmaza.
16 Wigner tétel átfogalmazása Ha u = 1, akkor jelölje P[ u] azt az egy-rangú (önadjungált) projekciót, melynek képtere pontosan C u. Legyen P 1 (H) az egy-rangú projekciók halmaza. Ekkor d g (P[ u], P[ v]) = P[ u] P[ v] = }{{} gap metrika
17 Wigner tétel átfogalmazása Ha u = 1, akkor jelölje P[ u] azt az egy-rangú (önadjungált) projekciót, melynek képtere pontosan C u. Legyen P 1 (H) az egy-rangú projekciók halmaza. Ekkor d g (P[ u], P[ v]) = P[ u] P[ v] = 1 u, v }{{} 2 = gap metrika
18 Wigner tétel átfogalmazása Ha u = 1, akkor jelölje P[ u] azt az egy-rangú (önadjungált) projekciót, melynek képtere pontosan C u. Legyen P 1 (H) az egy-rangú projekciók halmaza. Ekkor d g (P[ u], P[ v]) = P[ u] P[ v] = 1 u, v }{{} 2 = 1 Tr(P[ u]p[ v]. gap metrika
19 Wigner tétel átfogalmazása Ha u = 1, akkor jelölje P[ u] azt az egy-rangú (önadjungált) projekciót, melynek képtere pontosan C u. Legyen P 1 (H) az egy-rangú projekciók halmaza. Ekkor d g (P[ u], P[ v]) = P[ u] P[ v] = 1 u, v }{{} 2 = 1 Tr(P[ u]p[ v]. gap metrika Tétel Tekintsünk egy φ: P 1 P 1 izometriát. Ekkor létezik egy W : H H lineáris vagy antilineáris izometria, mellyel a következ teljesül: φ(p[ u]) = WP[ u]w = P[W u] ( u = 1).
20 Metrikus rezolvens halmazok (ami inspirálta a bizonyítást)
21 Legyen dim H = N N {ℵ 0 }, N > 1. Fixálunk egy ONB-t: { e j } N j=1. Legyen v j := v, e j a v vektor j-edik koordinátája.
22 Legyen dim H = N N {ℵ 0 }, N > 1. Fixálunk egy ONB-t: { e j } N j=1. Legyen v j := v, e j a v vektor j-edik koordinátája. Deníció Legyen (X, d) egy metrikus tér és D, R X. Azt monduk, hogy az R rezolválja D-t, ha bármely két x 1, x 2 D pont esetén, ha d(x 1, y) = d(x 2, y) teljesül minden y R pontra, akkor szükségképpen x 1 = x 2.
23 A halmaz s r P 1 -ben. D := {P[ v]: v j 0, j} P 1
24 A halmaz s r P 1 -ben. Lemma D := {P[ v]: v j 0, j} P 1 Legyen H egy szeparábilis Hilbert tér (véges vagy végtelen dimenziós). Ekkor a R = {P[ e j ]} N j=1 { P[ 1 2 ( e j e j+1 )], P[ 1 2 ( e j + i e j+1 )] } 1 j<n halmaz rezolválja D-t.
25 A halmaz s r P 1 -ben. Lemma D := {P[ v]: v j 0, j} P 1 Legyen H egy szeparábilis Hilbert tér (véges vagy végtelen dimenziós). Ekkor a R = {P[ e j ]} N j=1 { P[ 1 2 ( e j e j+1 )], P[ 1 2 ( e j + i e j+1 )] } 1 j<n halmaz rezolválja D-t. Bizonyítás....
26 A Wigner tétel bizonyítása a szeparábilis esetben
27 Bizonyítás. Legyen P[ f j ] = φ(p[ e j ]), ekkor { f j } N j=1 ONR. H := { f j } N j=1.
28 Bizonyítás. Legyen P[ f j ] = φ(p[ e j ]), ekkor { f j } N j=1 ONR. H := { f j } N j=1. Ha v S és φ(p[ v]) = P[ w], akkor (WF)-b l v j = w, f j ( j) adódik és a Parseval azonosság adja, hogy w H.
29 Bizonyítás. Legyen P[ f j ] = φ(p[ e j ]), ekkor { f j } N j=1 ONR. H := { f j } N j=1. Ha v S és φ(p[ v]) = P[ w], akkor (WF)-b l v j = w, f j ( j) adódik és a Parseval azonosság adja, hogy w H. Ezért ha deniáljuk az alábbi lineáris izometriát: és a V : H H, V e j = f j (j N N ), φ 1 ( ) = V φ( )V leképezést könnyen látható, hogy a φ 1 ( ) is teljesíti (WF)-t.
30 Bizonyítás. Legyen P[ f j ] = φ(p[ e j ]), ekkor { f j } N j=1 ONR. H := { f j } N j=1. Ha v S és φ(p[ v]) = P[ w], akkor (WF)-b l v j = w, f j ( j) adódik és a Parseval azonosság adja, hogy w H. Ezért ha deniáljuk az alábbi lineáris izometriát: és a V : H H, V e j = f j (j N N ), φ 1 ( ) = V φ( )V leképezést könnyen látható, hogy a φ 1 ( ) is teljesíti (WF)-t. S t φ 1 (P[ e j ]) = V P[ f j ]V = P[V fj ] = P[ e j ] (j N N ).
31 Újra (WF)-miatt ( φ 1 P[1/ 2 ( ej e j+1 )] ) = P[1/ 2 ( e j δ j+1 e j+1 )] ( φ 1 P[1/ 2 ( ej + i e j+1 )] ) = P[1/ 2 ( e j ε j+1 e j+1 )] ahol δ j+1 = ε j+1 = 1 (1 j < N).
32 Újra (WF)-miatt φ 1 ( P[1/ 2 ( ej e j+1 )] ) = P[1/ 2 ( e j δ j+1 e j+1 )] φ 1 ( P[1/ 2 ( ej + i e j+1 )] ) = P[1/ 2 ( e j ε j+1 e j+1 )] ahol δ j+1 = ε j+1 = 1 (1 j < N). Ezért 2 = 1 + δj+1 ε j+1, melyb l δ j+1 = ±iε j+1 (j < N) adódik a koszínusz tétel segítségével.
33 Újra (WF)-miatt φ 1 ( P[1/ 2 ( ej e j+1 )] ) = P[1/ 2 ( e j δ j+1 e j+1 )] φ 1 ( P[1/ 2 ( ej + i e j+1 )] ) = P[1/ 2 ( e j ε j+1 e j+1 )] ahol δ j+1 = ε j+1 = 1 (1 j < N). Ezért 2 = 1 + δj+1 ε j+1, melyb l δ j+1 = ±iε j+1 (j < N) adódik a koszínusz tétel segítségével. 1 Ha ε 2 = iδ 2, akkor U legyen az az unitér operátor, melyre k U e 1 = e 1, U e k = e k (k > 1). j=2 δ j
34 Újra (WF)-miatt φ 1 ( P[1/ 2 ( ej e j+1 )] ) = P[1/ 2 ( e j δ j+1 e j+1 )] φ 1 ( P[1/ 2 ( ej + i e j+1 )] ) = P[1/ 2 ( e j ε j+1 e j+1 )] ahol δ j+1 = ε j+1 = 1 (1 j < N). Ezért 2 = 1 + δj+1 ε j+1, melyb l δ j+1 = ±iε j+1 (j < N) adódik a koszínusz tétel segítségével. 1 Ha ε 2 = iδ 2, akkor U legyen az az unitér operátor, melyre k U e 1 = e 1, U e k = e k (k > 1). 2 Ha ε 2 = iδ 2, akkor legyen U a fenti egyenl ségekkel deniált antiunitér operátor. j=2 δ j
35 A φ 2 ( ) := U φ 1 ( )U leképezés is megfelel (WF)-nek. S t: φ 2 (P[ e j ]) = P[ e j ] ( j) = φ 2 (D) D, φ 2 (P[1/ 2 ( e j e j+1 )]) = P[1/ 2 ( e j e j+1 )] ( j), φ 2 (P[1/ 2 ( e 1 + i e 2 )]) = P[1/ 2 ( e 1 + i e 2 )]
36 A φ 2 ( ) := U φ 1 ( )U leképezés is megfelel (WF)-nek. S t: φ 2 (P[ e j ]) = P[ e j ] ( j) = φ 2 (D) D, φ 2 (P[1/ 2 ( e j e j+1 )]) = P[1/ 2 ( e j e j+1 )] ( j), φ 2 (P[1/ 2 ( e 1 + i e 2 )]) = P[1/ 2 ( e 1 + i e 2 )] xen maradnak φ 2 -vel. Az alábbiak is igazak: φ 2 (P[1/ 2 ( e j + i e j+1 )]) = P[1/ 2 ( e j ± i e j+1 )] (1 < j < N).
37 A φ 2 ( ) := U φ 1 ( )U leképezés is megfelel (WF)-nek. S t: φ 2 (P[ e j ]) = P[ e j ] ( j) = φ 2 (D) D, φ 2 (P[1/ 2 ( e j e j+1 )]) = P[1/ 2 ( e j e j+1 )] ( j), φ 2 (P[1/ 2 ( e 1 + i e 2 )]) = P[1/ 2 ( e 1 + i e 2 )] xen maradnak φ 2 -vel. Az alábbiak is igazak: φ 2 (P[1/ 2 ( e j + i e j+1 )]) = P[1/ 2 ( e j ± i e j+1 )] (1 < j < N). Tfh. létezik olyan N > j > 1, melyre φ 2 (P[1/ 2 ( e j + i e j+1 )]) = P[1/ 2 ( e j i e j+1 )]. Fth. ez a j az els ilyen index.
38 Állítás. Ekkor φ 2 (P[v j 1 e j 1 + t e j + v j+1 e j+1 ]) = P[v j 1 e j 1 + t e j + v j+1 e j+1 ] teljesül minden t > 0, v j 1 0, v j+1 0, v j t 2 + v j+1 2 = 1 esetén.
39 Állítás. Ekkor φ 2 (P[v j 1 e j 1 + t e j + v j+1 e j+1 ]) = P[v j 1 e j 1 + t e j + v j+1 e j+1 ] teljesül minden t > 0, v j 1 0, v j+1 0, v j t 2 + v j+1 2 = 1 esetén. Állítás bizonyítása....
40 Állítás. Ekkor φ 2 (P[v j 1 e j 1 + t e j + v j+1 e j+1 ]) = P[v j 1 e j 1 + t e j + v j+1 e j+1 ] teljesül minden t > 0, v j 1 0, v j+1 0, v j t 2 + v j+1 2 = 1 esetén. Állítás bizonyítása.... Végül legyen x = 1 2 e j e j e j+1, y = i 2 e j e j + i 2 e j+1.
41 Állítás. Ekkor φ 2 (P[v j 1 e j 1 + t e j + v j+1 e j+1 ]) = P[v j 1 e j 1 + t e j + v j+1 e j+1 ] teljesül minden t > 0, v j 1 0, v j+1 0, v j t 2 + v j+1 2 = 1 esetén. Állítás bizonyítása.... Végül legyen x = 1 2 e j e j e j+1, y = i 2 e j e j + i 2 e j+1. A fenti Állítás és (WF) implikálja, hogy 2/4 = i/4 + 1/4 i/2 = i/4 + 1/4 + i/2 = 10/4, ami nyilván nem igaz.
42 Állítás. Ekkor φ 2 (P[v j 1 e j 1 + t e j + v j+1 e j+1 ]) = P[v j 1 e j 1 + t e j + v j+1 e j+1 ] teljesül minden t > 0, v j 1 0, v j+1 0, v j t 2 + v j+1 2 = 1 esetén. Állítás bizonyítása.... Végül legyen x = 1 2 e j e j e j+1, y = i 2 e j e j + i 2 e j+1. A fenti Állítás és (WF) implikálja, hogy 2/4 = i/4 + 1/4 i/2 = i/4 + 1/4 + i/2 = 10/4, ami nyilván nem igaz. Tehát φ 2 -nek identikusan kell hatni az R-en, s így a P 1 -n is. Következésképpen φ a várt alakú.
43 Bizonyítás a nem szeparábilis esetben
44 Bizonyítás. Az alábbi módon indexelünk egy ONB-t: { e 1, e 2 } { e ϑ,j : ϑ Θ, j N, j 3}. Ha j {1, 2} akkor e ϑ,j := e j.
45 Bizonyítás. Az alábbi módon indexelünk egy ONB-t: { e 1, e 2 } { e ϑ,j : ϑ Θ, j N, j 3}. Ha j {1, 2} akkor e ϑ,j := e j. Bevezetve egy φ 1 új transzformációt kapjuk, hogy φ 1 (P[ e ϑ,j ]) = P[ e ϑ,j ] (ϑ Θ, j N)
46 Bizonyítás. Az alábbi módon indexelünk egy ONB-t: { e 1, e 2 } { e ϑ,j : ϑ Θ, j N, j 3}. Ha j {1, 2} akkor e ϑ,j := e j. Bevezetve egy φ 1 új transzformációt kapjuk, hogy φ 1 (P[ e ϑ,j ]) = P[ e ϑ,j ] (ϑ Θ, j N) Legyen K ϑ = { e ϑ,1, e ϑ,2, e ϑ,3, e ϑ,4,... }. A φ 1 P 1 (K ϑ ) megszorítás kielégíti (WF)-t a K ϑ altéren. A szeparábilis esetben látott módon választható egy U ϑ diagonális unitér vagy antiunitér operator, mely segítségével φ 1 áttranszformálható φ 2 -vé úgy, hogy φ 2 P 1 (K ϑ ) az identikus leképezés legyen.
47 Bizonyítás. Az alábbi módon indexelünk egy ONB-t: { e 1, e 2 } { e ϑ,j : ϑ Θ, j N, j 3}. Ha j {1, 2} akkor e ϑ,j := e j. Bevezetve egy φ 1 új transzformációt kapjuk, hogy Legyen φ 1 (P[ e ϑ,j ]) = P[ e ϑ,j ] (ϑ Θ, j N) K ϑ = { e ϑ,1, e ϑ,2, e ϑ,3, e ϑ,4,... }. A φ 1 P 1 (K ϑ ) megszorítás kielégíti (WF)-t a K ϑ altéren. A szeparábilis esetben látott módon választható egy U ϑ diagonális unitér vagy antiunitér operator, mely segítségével φ 1 áttranszformálható φ 2 -vé úgy, hogy φ 2 P 1 (K ϑ ) az identikus leképezés legyen. Vegyük észre, hogy minden U ϑ unitér vagy minden U ϑ antiunitér.
48 Ezért úgy transzformálható φ 2 -be a φ 1, hogy φ 2 P 1 (K ϑ ) Id P 1 (K ϑ ) (ϑ Θ).
49 Ezért úgy transzformálható φ 2 -be a φ 1, hogy φ 2 P 1 (K ϑ ) Id P 1 (K ϑ ) (ϑ Θ). Állítás. φ 2 Id.
50 Ezért úgy transzformálható φ 2 -be a φ 1, hogy φ 2 P 1 (K ϑ ) Id P 1 (K ϑ ) (ϑ Θ). Állítás. φ 2 Id. Állítás bizonyítás. Tekintünk egy olyan P[ v] P 1 projekciót, melyre v 1 0. Ezen projekciók halmaza s r P 1 -ben.
51 Ezért úgy transzformálható φ 2 -be a φ 1, hogy φ 2 P 1 (K ϑ ) Id P 1 (K ϑ ) (ϑ Θ). Állítás. φ 2 Id. Állítás bizonyítás. Tekintünk egy olyan P[ v] P 1 projekciót, melyre v 1 0. Ezen projekciók halmaza s r P 1 -ben. Legyen P[ w] := φ 2 (P[ v]), v ϑ := v, e ϑ,j e ϑ,j, w ϑ := w, e ϑ,j e ϑ,j. j=1 j=1
52 Ezért úgy transzformálható φ 2 -be a φ 1, hogy φ 2 P 1 (K ϑ ) Id P 1 (K ϑ ) (ϑ Θ). Állítás. φ 2 Id. Állítás bizonyítás. Tekintünk egy olyan P[ v] P 1 projekciót, melyre v 1 0. Ezen projekciók halmaza s r P 1 -ben. Legyen P[ w] := φ 2 (P[ v]), v ϑ := v, e ϑ,j e ϑ,j, w ϑ := w, e ϑ,j e ϑ,j. Az (WF)-b l a és j=1 v ϑ,j = w ϑ,j (ϑ Θ, j N) v, v ϑ = w, v ϑ (ϑ Θ) adódnak j=1
53 Mivel v ϑ,j 2 = v, v ϑ = w, v ϑ = j=1 ahol w ϑ,j = v ϑ,j exp(it ϑ,j ) és t ϑ,j [0, 2π[. v ϑ,j 2 exp(it ϑ,j ), j=1
54 Mivel v ϑ,j 2 = v, v ϑ = w, v ϑ = j=1 v ϑ,j 2 exp(it ϑ,j ), ahol w ϑ,j = v ϑ,j exp(it ϑ,j ) és t ϑ,j [0, 2π[. Látható, hogy létezik egy t ϑ [0, 2π[ szám úgy, hogy j=1 w ϑ = exp(it ϑ ) v ϑ (ϑ Θ).
55 Mivel v ϑ,j 2 = v, v ϑ = w, v ϑ = j=1 v ϑ,j 2 exp(it ϑ,j ), ahol w ϑ,j = v ϑ,j exp(it ϑ,j ) és t ϑ,j [0, 2π[. Látható, hogy létezik egy t ϑ [0, 2π[ szám úgy, hogy j=1 w ϑ = exp(it ϑ ) v ϑ (ϑ Θ). Tekintve a fenti egyenl ségben az els koordinátákat kapjuk, hogy v = exp(it) w teljesül valamely t [0, 2π[ számmal.
Funkcionálanalízis. n=1. n=1. x n y n. n=1
Funkcionálanalízis 2011/12 tavaszi félév - 2. előadás 1.4. Lényeges alap-terek, példák Sorozat terek (Folytatás.) C: konvergens sorozatok tere. A tér pontjai sorozatok: x = (x n ). Ezen belül C 0 a nullsorozatok
Miért fontos számunkra az előző gyakorlaton tárgyalt lineáris algebrai ismeretek
Az november 23-i szeminárium témája Rövid összefoglaló Miért fontos számunkra az előző gyakorlaton tárgyalt lineáris algebrai ismeretek felfrissítése? Tekintsünk ξ 1,..., ξ k valószínűségi változókat,
DiMat II Végtelen halmazok
DiMat II Végtelen halmazok Czirbusz Sándor 2014. február 16. 1. fejezet A kiválasztási axióma. Ismétlés. 1. Deníció (Kiválasztási függvény) Legyen {X i, i I} nemüres halmazok egy indexelt családja. Egy
[17] L. Molnár, Linear maps on matrices preserving commutativity up to a factor, Linear Multilinear Algebra, megjelenés alatt.
![[17] L. Molnár, Linear maps on matrices preserving commutativity up to a factor, Linear Multilinear Algebra, megjelenés alatt.](/thumbs/98/138934152.jpg "[17] L. Molnár, Linear maps on matrices preserving commutativity up to a factor, Linear Multilinear Algebra, megjelenés alatt.")
Beszámoló a T46023 pályázat zárójelentéséhez A projekt során megőrzési transzformációk szerkezetének a leírásával foglalkoztunk elsősorban kvantumstruktúrákon. Megőrzési transzformációkkal kapcsolatos
Analízis. 1. fejezet Normált-, Banach- és Hilbert-terek. 1. Definíció. (K n,, ) vektortér, ha X, Y, Z K n és a, b K esetén
1. fejezet Analízis 1.1. Normált-, Banach- és Hilbert-terek. Zártés teljes ortonormált rendszer. Fourier-sor. Riesz-Fischer tétel Hilbert-térben. Szeparábilis Hilbert terek izomorfiája. 1.1.1. Normált-,
Lagrange és Hamilton mechanika
Lagrange és 2010. október 17. Lagrange és Tartalom 1 Variáció Lagrange egyenlet Legendre transzformáció Hamilton egyenletek 2 3 Szimplektikus sokaság Hamilton mez Hamilton és Lagrange egyenletek ekvivalenciája
azonosságot minden 1 i, l n, 1 j k, indexre teljesítő együtthatókkal, amelyekre érvényes a = c (j) i,l l,i
A Cochran Fisher tételről A matematikai statisztika egyik fontos eredménye a Cochran Fisher tétel, amely a variancia analízisben játszik fontos szerepet. Ugyanakkor ez a tétel lényegét tekintve valójában
Lineáris leképezések. Wettl Ferenc március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések március 9. 1 / 31
Lineáris leképezések Wettl Ferenc 2015. március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések 2015. március 9. 1 / 31 Tartalom 1 Mátrixleképezés, lineáris leképezés 2 Alkalmazás: dierenciálhatóság 3 2- és 3-dimenziós
Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján
Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján Számsorozatok, vektorsorozatok konvergenciája Def.: Számsorozatok értelmezése:
1. Házi feladat. Határidő: I. Legyen f : R R, f(x) = x 2, valamint. d : R + 0 R+ 0
I. Legyen f : R R, f(x) = 1 1 + x 2, valamint 1. Házi feladat d : R + 0 R+ 0 R (x, y) f(x) f(y). 1. Igazoljuk, hogy (R + 0, d) metrikus tér. 2. Adjuk meg az x {0, 3} pontok és r {1, 2} esetén a B r (x)
Vektorterek. Wettl Ferenc február 17. Wettl Ferenc Vektorterek február / 27
Vektorterek Wettl Ferenc 2015. február 17. Wettl Ferenc Vektorterek 2015. február 17. 1 / 27 Tartalom 1 Egyenletrendszerek 2 Algebrai struktúrák 3 Vektortér 4 Bázis, dimenzió 5 Valós mátrixok és egyenletrendszerek
Funkcionálanalízis. Gyakorló feladatok március 22. Metrikus tér, normált tér és skalárszorzat tér
Funkcionálanalízis Gyakorló feladatok 2017 március 22 Metrikus tér, normált tér és skalárszorzat tér N1 Metrikát deniálnak-e R-en az alábbi függvények: (a) d(x, y) = x y (b) d(x, y) = x y (c) d(x, y) =
Skalárszorzat, norma, szög, távolság. Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2005.
1 Diszkrét matematika II., 4. el adás Skalárszorzat, norma, szög, távolság Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2005. március 1 A téma jelent sége
Fraktálok. Kontrakciók Affin leképezések. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék. TARTALOMJEGYZÉK Kontrakciók Affin transzformációk
Fraktálok Kontrakciók Affin leképezések Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék TARTALOMJEGYZÉK 1 of 71 A Lipschitz tulajdonság ÁTMÉRŐ, PONT ÉS HALMAZ TÁVOLSÁGA Definíció Az (S, ρ) metrikus tér
= e i1 e ik e j 1. tenzorok. A k = l = 0 speciális esetben e az R egységeleme. A. e q 1...q s. = e j 1...j l q 1...q s
3. TENZORANALÍZIS Legyen V egy n-dimenziós vektortér, V a duális tere, T (k,l) V = V V V V a (k, l)-típusú tenzorok tere. Megállapodás szerint T (0,0) V = R (általában az alaptest). Ha e 1,..., e n V egy
Szinguláris értékek. Wettl Ferenc április 3. Wettl Ferenc Szinguláris értékek április 3. 1 / 28
Szinguláris értékek Wettl Ferenc 2015. április 3. Wettl Ferenc Szinguláris értékek 2015. április 3. 1 / 28 Tartalom 1 Szinguláris érték 2 Alkalmazások 3 Norma 4 Mátrixnorma Wettl Ferenc Szinguláris értékek
MBNK12: Permutációk (el adásvázlat, április 11.) Maróti Miklós
MBNK12: Permutációk el adásvázlat 2016 április 11 Maróti Miklós 1 Deníció Az A halmaz permutációin a π : A A bijektív leképezéseket értjünk Tetsz leges n pozitív egészre az {1 n} halmaz összes permutációinak
Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:
Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x
Permutációk véges halmazon (el adásvázlat, február 12.)
Permutációk véges halmazon el adásvázlat 2008 február 12 Maróti Miklós Ennek az el adásnak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudni: ismétlés nélküli variáció leképezés indulási és érkezési halmaz
Ortogonalizáció. Wettl Ferenc Wettl Ferenc Ortogonalizáció / 41
Ortogonalizáció Wettl Ferenc 2016-03-22 Wettl Ferenc Ortogonalizáció 2016-03-22 1 / 41 Tartalom 1 Ortonormált bázis 2 Ortogonális mátrix 3 Ortogonalizáció 4 QR-felbontás 5 Komplex skaláris szorzás 6 Diszkrét
HALMAZELMÉLET feladatsor 1.
HALMAZELMÉLET feladatsor 1. Egy (H,, ) algebrai struktúra háló, ha (H, ) és (H, ) kommutatív félcsoport, és teljesül az ún. elnyelési tulajdonság: A, B H: A (A B) = A, A (A B) = A. A (H,, ) háló korlátos,
Vektorok. Wettl Ferenc október 20. Wettl Ferenc Vektorok október / 36
Vektorok Wettl Ferenc 2014. október 20. Wettl Ferenc Vektorok 2014. október 20. 1 / 36 Tartalom 1 Vektorok a 2- és 3-dimenziós térben 2 Távolság, szög, orientáció 3 Vektorok koordinátás alakban 4 Összefoglalás
Felügyelt önálló tanulás - Analízis III.
Felügyelt önálló tanulás - Analízis III Kormos Máté Differenciálható sokaságok Sokaságok Röviden, sokaságoknak nevezzük azokat az objektumokat, amelyek egy n dimenziós térben lokálisan k dimenziósak Definíció:
Alkalmazott algebra - SVD
Alkalmazott algebra - SVD Ivanyos Gábor 20 sz Poz. szemidenit mátrixok spektrálfelbontásának általánosítása nem feltétlenül négyzetes mátrixokra LSI - mögöttes szemantikájú indexelés "Közelít " webkeresés
Önadjungált és lényegében önadjungált operátorok
Molnár András Önadjungált és lényegében önadjungált operátorok Szakdolgozat Témavezet : Tarcsay Zsigmond adjunktus Eötvös Loránd Tudományegyetem, Természettudományi Kar 2016 Tartalomjegyzék 1. Bevezetés
Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens
Skaláris szorzat az R n vektortérben Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. 1 Vektorok skaláris szorzata Két R n -beli vektor skaláris szorzata: Legyen a = (a 1,a 2,,a n ) és b
Konvex optimalizálás feladatok
(1. gyakorlat, 2014. szeptember 16.) 1. Feladat. Mutassuk meg, hogy az f : R R, f(x) := x 2 függvény konvex (a másodrend derivált segítségével, illetve deníció szerint is)! 2. Feladat. Mutassuk meg, hogy
Szinguláris értékek. Wettl Ferenc április 12. Wettl Ferenc Szinguláris értékek április / 35
Szinguláris értékek Wettl Ferenc 2016. április 12. Wettl Ferenc Szinguláris értékek 2016. április 12. 1 / 35 Tartalom 1 Szinguláris érték 2 Norma 3 Mátrixnorma 4 Alkalmazások Wettl Ferenc Szinguláris értékek
Komplex számok. Wettl Ferenc előadása alapján Wettl Ferenc előadása alapján Komplex számok / 18
Komplex számok Wettl Ferenc előadása alapján 2015.09.23. Wettl Ferenc előadása alapján Komplex számok 2015.09.23. 1 / 18 Tartalom 1 Számok A számfogalom bővülése 2 Algebrai alak Trigonometrikus alak Egységgyökök
Határozatlansági relációk származtatása az
az állapottér BME TTK Matematikus MSc. 1. évf. 2012. november 14. Vázlat: Történeti áttekintés Nemkommutatív (kvantum) valószín ségelmélet Az állapottér geometriája: Az állapottér mint Riemann-sokaság
Bevezetés a görbe vonalú geometriába
Bevezetés a görbe vonalú geometriába Metrikus tenzor, Christoffel-szimbólum, kovariáns derivált, párhuzamos eltolás, geodetikus Pr hle Zsóa A klasszikus térelmélet elemei (szeminárium) 2012. október 1.
Operátorkiterjesztések Hilbert-téren
Tarcsay Zsigmond Operátorkiterjesztések Hilbert-téren Szakdolgozat Témavezet : Sebestyén Zoltán egyetemi tanár Eötvös Loránd Tudományegyetem, Természettudományi Kar 2008 Tartalomjegyzék 1. Bevezetés 3
LINEÁRIS ALGEBRA. matematika alapszak. Euklideszi terek. SZTE Bolyai Intézet, őszi félév. Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40
LINEÁRIS ALGEBRA matematika alapszak SZTE Bolyai Intézet, 2016-17. őszi félév Euklideszi terek Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40 Euklideszi tér Emlékeztető: A standard belső szorzás és standard
Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz
Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Gazdasági matematika II tárgy gyakorlataihoz a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottnak tekintjük a nehezebb
17. előadás: Vektorok a térben
17. előadás: Vektorok a térben Szabó Szilárd A vektor fogalma A mai előadásban n 1 tetszőleges egész szám lehet, de az egyszerűség kedvéért a képletek az n = 2 esetben szerepelnek. Vektorok: rendezett
1.1. Vektorok és operátorok mátrix formában
1. Reprezentáció elmélet 1.1. Vektorok és operátorok mátrix formában A vektorok és az operátorok mátrixok formájában is felírhatók. A végtelen dimenziós ket vektoroknak végtelen sok sort tartalmazó oszlopmátrix
Vektorterek. =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott
Vektorterek =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott 40. Alteret alkotnak-e a valós R 5 vektortérben a megadott részhalmazok? Ha igen, akkor hány dimenziósak? (a) L = { (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) x 1 = x 5,
Lineáris leképezések (előadásvázlat, szeptember 28.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla
Lineáris leképezések (előadásvázlat, 2012. szeptember 28.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Ennek az előadásnak a megértéséhez a következő fogalmakat kell tudni: homogén lineáris egyenletrendszer és
Formális nyelvek - 9.
Formális nyelvek - 9. Csuhaj Varjú Erzsébet Algoritmusok és Alkalmazásaik Tanszék Informatikai Kar Eötvös Loránd Tudományegyetem H-1117 Budapest Pázmány Péter sétány 1/c E-mail: csuhaj@inf.elte.hu 1 Véges
1. Generátorrendszer. Házi feladat (fizikából tudjuk) Ha v és w nem párhuzamos síkvektorok, akkor generátorrendszert alkotnak a sík vektorainak
1. Generátorrendszer Generátorrendszer. Tétel (Freud, 4.3.4. Tétel) Legyen V vektortér a T test fölött és v 1,v 2,...,v m V. Ekkor a λ 1 v 1 + λ 2 v 2 +... + λ m v m alakú vektorok, ahol λ 1,λ 2,...,λ
1. Bázistranszformáció
1. Bázistranszformáció Transzformáció mátrixa új bázisban A bázistranszformáció képlete (Freud, 5.8.1. Tétel) Legyenek b és d bázisok V -ben, ] v V és A Hom(V). Jelölje S = [[d 1 ] b,...,[d n ] b T n n
Modellek és Algoritmusok - 2.ZH Elmélet
Modellek és Algoritmusok - 2.ZH Elmélet Ha hibát elírást találsz kérlek jelezd: sellei_m@hotmail.com A fríss/javított változat elérhet : people.inf.elte.hu/semsaai/modalg/ 2.ZH Számonkérés: 3.EA-tól(DE-ek)
1. Absztrakt terek 1. (x, y) x + y X és (λ, x) λx X. műveletek értelmezve vannak, és amelyekre teljesülnek a következő axiómák:
1. Absztrakt terek 1 1. Absztrakt terek 1.1. Lineáris terek 1.1. Definíció. Az X halmazt lineáris térnek vagy vektortérnek nevezzük a valós számtest (komplex számtest) felett, ha bármely x, y X elemekre
Riemanngeometria 1 c. gyakorlat A Riemann-terekkel kapcsolatos fogalmak, jelölések
A Riemann-terekkel kapcsolatos fogalmak, jelölések Az R m euklideszi tér természetes bázisának az e 1 = (1, 0,..., 0),..., e m = (0,..., 0, 1) vektorokból álló bázist mondjuk. Legyen M egy összefügg nyílt
Kevert állapoti anholonómiák vizsgálata
Kevert állapoti anholonómiák vizsgálata Bucz Gábor Témavezet : Dr. Fehér László Dr. Lévay Péter Szeged, 2015.04.23. Bucz Gábor Kevert állapoti anholonómiák vizsgálata Szeged, 2015.04.23. 1 / 27 Tartalom
Diszkrét matematika 1.
Diszkrét matematika 1. Nagy Gábor nagy@compalg.inf.elte.hu nagygabr@gmail.com ELTE IK Komputeralgebra Tanszék 014. ősz 014-15 őszi félév Gyakorlat: 1. ZH tervezett időpontja: október 1.,. ZH tervezett
Differenciálgeometria
Differenciálgeometria Előadás jegyzetek BME 3. félév Dr. Szabó Szilárd Kivonat. Ezek a jegyzetek a 2007. I. félévben, a Budapesti Műszaki Egyetemen tartott Differenciálgeometria kurzusomhoz készültek.
FELVÉTELI VIZSGA, július 21. Írásbeli próba MATEMATIKÁBÓL A. RÉSZ
BABE -BOLYAI TUDOMÁNYEGYETEM, KOLOZSVÁR MATEMATIKA ÉS INFORMATIKA KAR FELVÉTELI VIZSGA, 9. július. Írásbeli próba MATEMATIKÁBÓL FONTOS MEGJEGYZÉS: ) Az A. részben megjelen feleletválasztós feladatok esetén
Az impulzusnyomatékok általános elmélete
Az impulzusnyomatékok általános elmélete November 27, 2006 Az elemi kvantummechanika keretében tárgyaltuk már az impulzusnyomatékot. A továbbiakban általánosítjuk az impulzusnyomaték fogalmát a kvantummechanikában
1.9. B - SPLINEOK B - SPLINEOK EGZISZTENCIÁJA. numerikus analízis ii. 34. [ a, b] - n legfeljebb n darab gyöke lehet. = r (m 1) n = r m + n 1
![1.9. B - SPLINEOK B - SPLINEOK EGZISZTENCIÁJA. numerikus analízis ii. 34. [ a, b] - n legfeljebb n darab gyöke lehet. = r (m 1) n = r m + n 1](/thumbs/88/116339870.jpg "1.9. B - SPLINEOK B - SPLINEOK EGZISZTENCIÁJA. numerikus analízis ii. 34. [ a, b] - n legfeljebb n darab gyöke lehet. = r (m 1) n = r m + n 1")
numerikus analízis ii 34 Ezért [ a, b] - n legfeljebb n darab gyöke lehet = r (m 1) n = r m + n 1 19 B - SPLINEOK VOLT: Ω n véges felosztás S n (Ω n ) véges dimenziós altér A bázis az úgynevezett egyoldalú
Iván Szabolcs október 6.
Automaták irányítása II. Iván Szabolcs 2009. október 6. Tartalom 1 Alapfogalmak (ismét) 2 Egy kiterjesztés és egy ellenpélda 3 Pozitív részeredmények 4 A Road Coloring Problem Véges automaták Automata
T obbv altoz os f uggv enyek integr alja. 3. r esz aprilis 19.
Többváltozós függvények integrálja. 3. rész. 2018. április 19. Kettős integrál Kettős integrál téglalap alakú tartományon. Ismétlés Ha = [a, b] [c, d] téglalap-tartomány, f : I integrálható függvény, akkor
Reciprocitás - kvantumos és hullámjelenségek egy szimmetriája
Reciprocitás - kvantumos és hullámjelenségek egy szimmetriája Fülöp Tamás + Deák László MTA Wigner FK RMI MTA Wigner FK RMI, Budapest, 2012.06.22 Mi a reciprocitás? A fénysugár útja megfordítható G. Stokes,
Diszkrét matematika 1. estis képzés
Diszkrét matematika 1. estis képzés 2019. tavasz 1. Diszkrét matematika 1. estis képzés 5. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján
Diszkrét Matematika II.
Bácsó Sándor Diszkrét Matematika II. mobidiák könyvtár Bácsó Sándor Diszkrét Matematika II. mobidiák könyvtár SOROZATSZERKESZTŐ Fazekas István Bácsó Sándor Diszkrét Matematika II. egyetemi jegyzet mobidiák
Kvantumszimmetriák. Böhm Gabriella. Szeged. Wigner Fizikai Kutatóközpont, Budapest november 16.
Kvantumszimmetriák Böhm Gabriella Wigner Fizikai Kutatóközpont, Budapest Szeged 2017. november 16. Kvantumszimmetriák I. A kvantumtérelmélet axiomatikus megközelítése II. A DHR-kategória III. Szimmetria
Matematika alapjai; Feladatok
Matematika alapjai; Feladatok 1. Hét 1. Tekintsük a,, \ műveleteket. Melyek lesznek a.) kommutativok b.) asszociativak c.) disztributívak-e a, műveletek? Melyik melyikre? 2. Fejezzük ki a műveletet a \
Matematika szigorlat június 17. Neptun kód:
Név Matematika szigorlat 014. június 17. Neptun kód: 1.. 3. 4. 5. Elm. Fel. Össz. Oszt. Az eredményes szigorlat feltétele elméletből legalább 0 pont, feladatokból pedig legalább 30 pont elérése. A szigorlat
MM CSOPORTELMÉLET GYAKORLAT ( )
MM4122-1 CSOPORTELMÉLET GYAKORLAT (2008.12.01.) 1. Ismétlés szeptember 1.szeptember 8. 1.1. Feladat. Döntse el, hogy az alábbi állítások közül melyek igazak és melyek (1) Az A 6 csoportnak van 6-odrend
Alkalmazott algebra - skalárszorzat
Alkalmazott algebra - skalárszorzat Ivanyos Gábor 2011 sz Skalárszorzat Skalárszorzat Ebben a részben: a standard skalárszorzat: u T v = n µ i ν i i=1 és a kapcsolódó lineáris algebra absztrakt tárgyalással
Mer legesség. Wettl Ferenc 2015-03-13. Wettl Ferenc Mer legesség 2015-03-13 1 / 40
Mer legesség Wettl Ferenc 2015-03-13 Wettl Ferenc Mer legesség 2015-03-13 1 / 40 Tartalom 1 Pszeudoinverz 2 Ortonormált bázis ortogonális mátrix 3 Komplex és véges test feletti terek 4 Diszkrét Fourier-transzformált
Leképezések. Leképezések tulajdonságai. Számosságok.
Leképezések Leképezések tulajdonságai. Számosságok. 1. Leképezések tulajdonságai A továbbiakban legyen A és B két tetszőleges halmaz. Idézzünk fel néhány definíciót. 1. Definíció (Emlékeztető). Relációknak
1 A kvantummechanika posztulátumai
A kvantummechanika posztulátumai October 29, 2006 A kvantummechanika posztulátumai Célunk felépíteni a kvantummechanikát posztulátumok segítségével úgy ahogy az elemi hullámmechanika során eljártunk. Arra
Diszkrét Matematika. zöld könyv ): XIII. fejezet: 1583, 1587, 1588, 1590, Matematikai feladatgyűjtemény II. (
FELADATOK A LEKÉPEZÉSEK, PERMUTÁCIÓK TÉMAKÖRHÖZ Diszkrét Matematika 4. LEKÉPEZÉSEK Értelmezési tartomány és értékkészlet meghatározása : Összefoglaló feladatgyűjtemény matematikából ( zöld könyv ): XIII.
January 16, ψ( r, t) ψ( r, t) = 1 (1) ( ψ ( r,
Közelítő módszerek January 16, 27 1 A variációs módszer A variációs módszer szintén egy analitikus közelítő módszer. Olyan esetekben alkalmazzuk mikor ismert az analitikus alak amelyben keressük a sajátfüggvényt,
Itt és a továbbiakban a számhalmazokra az alábbi jelöléseket használjuk:
1. Halmazok, relációk, függvények 1.A. Halmazok A halmaz bizonyos jól meghatározott dolgok (tárgyak, fogalmak), a halmaz elemeinek az összessége. Azt, hogy az a elem hozzátartozik az A halmazhoz így jelöljük:
Fraktálok. Hausdorff távolság. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék március 14.
Fraktálok Hausdorff távolság Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék 2015. március 14. TARTALOMJEGYZÉK 1 of 36 Halmazok távolsága ELSŐ MEGKÖZELÍTÉS Legyen (S, ρ) egy metrikus tér, A, B S, valamint
Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. estis képzés 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. estis képzés 2. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján
Direkt limesz, inverz limesz, végtelen Galois-bővítések
Direkt esz, inverz esz, végtelen Galois-bővítések Az alábbi jegyzetben a direkt eszt, az inverz eszt, testek algebrai lezártjának létezését, ill. a végtelen Galois-csoportokat tekintjük át. Nem minden
Lineáris algebra és a rang fogalma (el adásvázlat, szeptember 29.) Maróti Miklós
Lineáris algebra és a rang fogalma (el adásvázlat, 2010. szeptember 29.) Maróti Miklós Ennek az el adásnak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudni: (1) A mátrixalgebrával kapcsolatban: számtest
Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 016. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 1. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
differenciálegyenletek
Állandó együtthatójú lineáris homogén differenciálegyenletek L[y] = y (n) + a 1y (n 1) + + a ny = 0 a i R (1) a valós, állandó együtthatójú lineáris homogén n-ed rendű differenciálegyenlet Megoldását y
ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK
ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2014. május 15. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így
Diszkrét Matematika MSc hallgatók számára. 4. Előadás
Diszkrét Matematika MSc hallgatók számára 4. Előadás Előadó: Hajnal Péter Jegyzetelő: Szarvák Gábor 2012. február 28. Emlékeztető. A primál feladat optimális értékét p -gal, a feladat optimális értékét
Lineáris különböz ségek
Ivanyos Gábor MTA SZTAKI 2010 december 13 A feladat Titok: u = (µ 1,..., µ n ) n dimenziós vektor Z n 3 -b l Z 3 = az egész számok modulo 3 Gombnyomásra kapunk: véletlen v i = (a i1,..., a in ) vektorokat,
Saj at ert ek-probl em ak febru ar 26.
Sajátérték-problémák 2018. február 26. Az alapfeladat Adott a következő egyenlet: Av = λv, (1) ahol A egy ismert mátrix v ismeretlen, nem zérus vektor λ ismeretlen szám Azok a v, λ kombinációk, amikre
1. feladat Az egyensúly algoritmus viselkedése: Tekintsük a kétdimenziós Euklideszi teret, mint metrikus teret. A pontok
1. feladat Az egyensúly algoritmus viselkedése: Tekintsük a kétdimenziós Euklideszi teret, mint metrikus teret. A pontok (x, y) valós számpárokból állnak, két (a, b) és (c, d) pontnak a távolsága (a c)
Steven Weinberg: Mi történik egy kvantummechanikai mérés során?
QM és CP Weinberg válasz Steven Weinberg: Mi történik egy kvantummechanikai mérés során? (magyar hangja Vecsernyés Péter) Wigner FK, Budapest CICO, Szeged 2016.01.01. Kivonat QM és CP Weinberg válasz A
Abszolút folytonos valószín ségi változó (4. el adás)
Abszolút folytonos valószín ségi változó (4. el adás) Deníció (Abszolút folytonosság és s r ségfüggvény) Az X valószín ségi változó abszolút folytonos, ha van olyan f : R R függvény, melyre P(X t) = t
1. FELADATSOR. x = u + v 2, y = v + z 2, z = z. u y + z. u x + y. v x + y. v y + z. w x + y. w y + z
1. FELADATSOR 1-0: Írjuk le az R3 euklideszi tér Riemann-metrikáját az u, v, z koordináták használatával, ahol x = u + v, y = v + z, z = z. Megoldás. (L. Gy.) 1. változat: Az eredeti metrika a x, x x,
2. Reprezentáció-függvények, Erdős-Fuchs tétel
2. Reprezentáció-függvények, Erdős-Fuchs tétel A kör-probléma a következőképpen is megközelíthető: Jelölje S a négyzetszámok halmazát. Jelölje r S (n) azt az értéket, ahány féleképpen n felírható két pozitív
Parciális dierenciálegyenletek
Parciális dierenciálegyenletek 2009. május 25. A félév lezárásaként néhány alap-deníciót és alap-példát szeretnék adni a Parciális Dierenciálegynletek (PDE) témaköréb l. Épp csak egy kis izelít t. Az alapfeladatok
1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények
1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények 1.1. Dierenciálhatóság 1.1. deníció. Legyen a z 0 pont az f(z) függvény értelmezési tartományának torlódási
Diszkrét matematika 2.C szakirány
Diszkrét matematika 2.C szakirány 2017. tavasz 1. Diszkrét matematika 2.C szakirány 4. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék 2017.
Modern differenciálgeometria Sokaságok és a Riemann-geometria elemei Szilasi József
Modern differenciálgeometria Sokaságok és a Riemann-geometria elemei Szilasi József DE, Matematikai Intézet 2015-16. 2. félév Tartalomjegyzék Panoráma 0 Jelölések, megállapodások, előismeretek 1 Sima sokaságok
1. Példa. A gamma függvény és a Fubini-tétel.
. Példa. A gamma függvény és a Fubini-tétel.. Az x exp x + t )) függvény az x, t tartományon folytonos, és nem negatív, ezért alkalmazható rá a Fubini-tétel. I x exp x + t )) dxdt + t dt π 4. [ exp x +
1. tétel - Gráfok alapfogalmai
1. tétel - Gráfok alapfogalmai 1. irányítatlan gráf fogalma A G (irányítatlan) gráf egy (Φ, E, V) hátmas, ahol E az élek halmaza, V a csúcsok (pontok) halmaza, Φ: E {V-beli rendezetlen párok} illeszkedési
Határérték. Wettl Ferenc el adása alapján és Wettl Ferenc el adása alapján Határérték és
2015.09.28. és 2015.09.30. 2015.09.28. és 2015.09.30. 1 / Tartalom 1 A valós függvén fogalma 2 A határérték fogalma a végtelenben véges pontban Végtelen határértékek 3 A határértékek kiszámítása A rend
Eötvös Loránd Tudományegyetem
Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Matematikai Intézet Az n-dimenziós hiperbolikus tér izometria csoportjának konjugált osztályai SZAKDOLGOZAT Szerző Harsányi Tamás Témavezető: Szeghy
Diszkrét matematika 2. estis képzés
Diszkrét matematika 2. estis képzés 2018. tavasz 1. Diszkrét matematika 2. estis képzés 4-6. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
Vektorterek. Több esetben találkozhattunk olyan struktúrával, ahol az. szabadvektorok esetében, vagy a függvények körében, vagy a. vektortér fogalma.
Vektorterek Több esetben találkozhattunk olyan struktúrával, ahol az összeadás és a (valós) számmal való szorzás értelmezett, pl. a szabadvektorok esetében, vagy a függvények körében, vagy a mátrixok esetében.
minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének mondjuk, f(x 0 )-at pedig az (abszolút) maximumértékének.
Függvények határértéke és folytonossága Egy f: D R R függvényt korlátosnak nevezünk, ha a függvényértékek halmaza korlátos. Ha f(x) f(x 0 ) teljesül minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének
ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK
ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2014. március 17. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így
0,424 0,576. f) P (X 2 = 3) g) P (X 3 = 1) h) P (X 4 = 1 vagy 2 X 2 = 2) i) P (X 7 = 3, X 4 = 1, X 2 = 2 X 0 = 2) j) P (X 7 = 3, X 4 = 1, X 2 = 2)
Legyen adott a P átmenetvalószín ség mátrix és a ϕ 0 kezdeti eloszlás Kérdés, hogy miként lehetne meghatározni az egyes állapotokban való tartózkodás valószín ségét az n-edik lépés múlva Deniáljuk az n-lépéses
Geometria II gyakorlatok
Geometria II gyakorlatok Kovács Zoltán Copyright c 2011 Last Revision Date: 2012. május 8. kovacsz@nyf.hu Technikai útmutató a jegyzet használatához A jegyzet képernyőbarát technikával készült, a megjelenés
Minden x > 0 és y 0 valós számpárhoz létezik olyan n természetes szám, hogy y nx.
1. Archimedesz tétele. Minden x > 0 és y 0 valós számpárhoz létezik olyan n természetes szám, hogy y nx. Legyen y > 0, nx > y akkor és csak akkor ha n > b/a. Ekkor elég megmutatni, hogy létezik minden
Sajátértékek és sajátvektorok. mf1n1a06- mf1n2a06 Csabai István
Sajátértékek és sajátvektorok A fizika numerikus módszerei I. mf1n1a06- mf1n2a06 Csabai István Lineáris transzformáció Vektorok lineáris transzformációja: általános esetben az x vektor iránya és nagysága
Diszkrét matematika 2.
Diszkrét matematika 2. 2018. március 9. 1. Diszkrét matematika 2. 4. előadás Fancsali Szabolcs Levente nudniq@cs.elte.hu www.cs.elte.hu/ nudniq Komputeralgebra Tanszék 2018. március 9. Gráfelmélet Diszkrét
Itô-formula. A sztochasztikus folyamatok egyik legfontosabb formulája. Medvegyev Péter Matematika tanszék
Itô-formula A sztochasztikus folyamatok egyik legfontosabb formulája Medvegyev Péter Matematika tanszék 2008 Medvegyev (Corvinus Egyetem) Itô-formula 2008 1 / 39 Az Itô-formula Theorem Ha F kétszer folytonosan