Elektromágneses hullámok
|
|
|
- Sándor Balog
- 7 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Bevezetés a modern fizika fejezeteibe 2. (a) Elektromágneses hullámok Utolsó módosítás: október 3.
2 1 A Maxwell-egyenletek (1) (2) (3) (4) E: elektromos térerősség D: elektromos eltolás H: mágneses térerősség B: mágneses indukció j: elektromos áramsűrűség ρ: elektromos töltéssűrűség : (parciális) időderivált
3 2 Konstitutív (anyag-) egyenletek (1) (5) /differenciális Ohm-törvény/ (6) (7) σ: elektromos vezetőképesség ε: dielektromos állandó /permittivitás/ μ: mágneses permeabilitás
4 3 Konstitutív (anyag-) egyenletek (2) Továbbá: a vákuum permittivitása relatív permittivitás a vákuum permeabilitása relatív permeabilitás
5 4 A töltésmegmaradás törvénye (kontinuitási egyenlet) Az (1) és (3) egyenlet segítségével mutatható meg. Az (1) egyenlet divergenciáját véve és felhasználva, hogy bármely vektortérre adódik. A (3) egyenletet felhasználva kapjuk: Ez az elektromos töltés megmaradását kifejező kontinuitási egyenlet.
6 5 Az elektromágneses tér energiamérleg egyenlete (1) Az (1) egyenletet E-vel a (2) egyenletet H-val szorozva: adódik. A második egyenletből az elsőt kivonva kapjuk: A (6) és (7) konstitutív egyenleteket, valamint a azonosságot felhasználva, az egyenletet átrendezve
7 6 Az elektromágneses tér energiamérleg egyenlete (2) az energiamérleg egyenlet:
8 7 Az elektromágneses tér energiamérleg egyenlete egyes tagjainak fizikai jelentése Az elektromágneses tér energiasűrűsége: Az elektromágneses tér energiaáram-sűrűség vektora, a Poynting-vektor: A Joule-hő: Mivel a Joule-hő kifejezése mindig pozitív (vagy zérus), az energiamérlegbeli negatív előjellel mindig veszteséget jelent az elektromágneses tér számára!
9 8 A szabad elektromágneses tér hullámegyenlete (1) Elektromos töltésektől és áramoktól mentes tér (azaz a töltéssűrűséget és az áramsűrűséget zérusnak véve) Valamint vákuumbeli esetre szorítkozva
10 9 A szabad elektromágneses tér hullámegyenlete (2) Az (1) egyenlet időszerinti deriváltját, a (2) egyenlet rotációját véve: felhasználva a (6) és (7) konstitutív egyenletek valamint a azonosságot, kapjuk
11 10 A szabad elektromágneses tér hullámegyenlete (3) Ha a terjedés x tengely irányú: Ahonnan a vákuumban terjedő E sebessége:
12 11 A szabad elektromágneses tér hullámegyenlete (4) Az (1) egyenlet rotációját, a (2) egyenlet időszerinti deriváltját véve: felhasználva a (6) és (7) konstitutív egyenletek valamint a azonosságot, kapjuk
13 12 A szabad elektromágneses tér hullámegyenlete (5) Ha a terjedés x tengely irányú: Ahonnan a vákuumban terjedő H sebessége az E-hez hasonlóan: Hasonló egyenletek és ugyanaz a terjedési sebesség tartozik D-hez és B-hez is.
14 13 A hullámegyenlet síkhullám megoldásai, valamint az E és H vektorok iránya (1) Terjedjen a síkhullám az +n egységvektor irányába. A t 1 időpillanatban tekintsünk egy r 1 koordinátájú pontot a hullámfronton. Egy későbbi t 2 időpillanatban tekintsünk egy r 2 koordinátájú pontot az újabb hullámfronton. Ekkor a c sebességű terjedés mellett a két sík távolsága d:
15 14 A hullámegyenlet síkhullám megoldásai, valamint az E és H vektorok iránya (2) A két sík távolága az ábra szerint másképp is kifejezhető: Az előző két összefüggés összevetéséből: amiből általában:
16 15 A hullámegyenlet síkhullám megoldásai, valamint az E és H vektorok iránya (3) Síkhullám megoldások: Itt a előjel a +n irányú terjedéshez, a + előjel a n irányú terjedéshez tartozik.
17 16 A hullámegyenlet síkhullám megoldásai, valamint az E és H vektorok iránya (4) Tekintsük pl. a + irányú terjedést: Az argumentumot jelölve az idő deriváltak:
18 17 A hullámegyenlet síkhullám megoldásai, valamint az E és H vektorok iránya (5) Valamint a térbeli deriváltak: Ezekkel az (1) és (2) Maxwell-egyenletek:
19 18 A hullámegyenlet síkhullám megoldásai, valamint az E és H vektorok iránya (6) Az argumentum szerinti integrálás után: Az E, H és n vektorok jobbsodrású rendszert alkotnak!
20 19 A hullámegyenlet síkhullám megoldásai, valamint az E és H vektorok iránya (7) Hasonló levezetéssel a n irányban terjedő hullámokra: Egy formulával összefoglalva a irányban terjedő hullámokra: Az elektromágneses hullám transzverzális hullám!
21 20 A hullámegyenlet síkhullám megoldásai, valamint az E és H vektorok iránya (8) Az elektromágneses hullám transzverzális hullám!
22 21 A hullámegyenlet síkhullám megoldásai, valamint az E és H vektorok iránya (9) transzverzális mechanikai hullám a terjedés iránya elektromágneses hullám a terjedés iránya Az elektromágneses hullám transzverzális hullám!
23 22 Kocka alakú üregbe zárt elektromágneses hullám (1) Ideális elektromos vezetőből készült kocka alakú üregben a kialakuló teret a hullámegyenlet és a határfelületek együttesen határozzák meg. Az ideális vezetőn belül az E elektromos és H mágneses térerősségek zérus értékűek. Mivel a határfelületen az elektromos térerősség tangenciális, a mágneses térerősség normális komponense megy át folytonosan. így e komponenseknek az üreg falán zérusnak kell lenniük. (Ezt fogjuk a tárgyalás során kihasználni.) A kocka legyen úgy elhelyezve, hogy egyik csúcsa az origó, l hosszúságú élei az x, y és z tengelyekkel párhuzamosak.
24 23 Kocka alakú üregbe zárt elektromágneses hullám (2) A határfeltételeket kielégítő térerősség-komponensek: E = 0, ha y = 0 vagy y = l, z = 0 vagy z = l ; x H = 0, ha x = 0 vagy x = l x E = 0, ha x = 0 vagy x = l, z = 0 vagy z = l y H = 0, ha y = 0 vagy y = l y E = 0, ha x = 0 vagy x = l, y = 0 vagy y = l z H = 0, ha z = 0 vagy z = l z
25 24 Kocka alakú üregbe zárt elektromágneses hullám (3) A hullámegyenletet és a határfelületi feltételeket is kielégítő megoldás az E térerősség vektor komponenseire: Amplitúdó vektor: egész számok
26 25 Kocka alakú üregbe zárt elektromágneses hullám (4) A térerősség-komponensek ki kell elégítsék a összefüggést.
27 26 Kocka alakú üregbe zárt elektromágneses hullám (5) Az összefüggés minden x, y és z-re akkor állhat fenn, ha vagy másképp: Az számhármas két független síkhullám megoldást jelent!
28 27 Kocka alakú üregbe zárt elektromágneses hullám (6) A térerősség-komponenseket a hullámegyenletbe helyettesítve az amplitúdókra: Itt a kialakuló rezgések lehetséges frekvenciái.
29 28 Magnetron (1)
30 29 Magnetron (2) A frekvencia 2-3 GHz, a teljesítmény folyamatos üzemben általában 10 kw alatt van, de léteznek impulzusüzemben akár MW nagyságrendű berendezések is.
31 30 Az elektromágneses potenciálok (1) Az alapgondolat: az elektromágneses teret leíró E, D, H és B mennyiségek visszavezetése alapvetőbb térmennyiségekre. Egy tetszőleges vektortér esetén mindig igaz a azonosság. Így a (4) Maxwell-egyenlet esetén érdemes bevezetni egy A vektormennyiséget a definícióval. Az A vektor neve vektorpotenciál. Maxwell: az A vektorpotenciál matematikai segédmennyiség, semmilyen fizikai tartalma nincs.
32 31 Az elektromágneses potenciálok (2) Ekkor nyilvánvalóan teljesül a (4) egyenlet. A (2) egyenletbe történő helyettesítéssel Ebből a azonosság felhasználásával definiáljuk a Az A és skalárpotenciált. potenciálok megadása nem egyértelmű!
33 32 Az elektromágneses potenciálok (3) Az E és B vektorok potenciálokkal megadott alakjait az (1) egyenletbe helyettesítve adódik. Felhasználva, hogy kapjuk:
34 33 Az elektromágneses potenciálok (4) A potenciálok nem-egyértelműsége miatt lehetőség van egy matematikai kapcsolat definiálására. Ez itt most legyen a Lorenz-feltétel: Ekkor (*) amely összefüggés kapcsolatot teremt a mérhető j áramsűrűség és az absztrakt A vektorpotenciál között.
35 34 Az elektromágneses potenciálok (5) A (3) egyenletből kiindulva: A Lorenz-feltétel figyelembevételével: (**) Összefüggés áll elő a mérhető ρ töltéssűrűség és a között. skalárpotenciál
36 35 Az elektromágneses potenciálok (6) Zérus áramok és töltéssűrűségek mellett a két potenciálra tiszta hullámegyenletek állnak fenn:
37 36 Az elektromágneses potenciálok (7) A tér (ξ,η, ζ) koordinátákkal megadott pontjaiban áramok folynak és elektromos töltések helyezkednek el. Az (x,y,z) pontban a (*) és (**) egyenletek megoldásaként előáll a vektor- és skalárpotenciál: Itt r az (x,y,z) pont és a (ξ,η, ζ) pont közötti távolság. Mindkét potenciál az áramsűrűség és töltéssűrűség r/c idővel korábban felvett értékeitől függenek. Ezeket nevezik retardált megoldásoknak.
38 37 Kérdések (1) Írja fel a Maxwell-egyenleteket! Mi az egyenletek fizikai jelentése? Milyen mennyiségekkel kapcsolatosak és mit fejeznek ki a konstitutív (anyag-) egyenletek az elektrodinamikában? Mi a kontinuitási egyenlet(ek) fizikai jelentése? Milyen tagokból áll az egyenlet? Mely Maxwell-egyenletekből fejezhető ki a kontinuitási egyenlet. Milyen matematikai lépéseket kell tenni? Mely Maxwell-egyenletekből fejezhető ki az az elektromágneses tér energiamérleg egyenlete? Milyen matematikai lépéseket kell tenni? Milyen kifejezés írja le az elektromágneses tér energiasűrűségét? Mi a Poynting-vektor fizikai jelentése? Mi a Joule-hő kifejezése? Mit jelent az a fogalom, hogy szabad elektromágneses tér?
39 38 Kérdések (2) Mely Maxwell-egyenletekből fejezhető ki a szabad elektromágneses tér hullámegyenlete? Milyen matematikai lépéseket kell tenni? Milyen alakúak és milyen mennyiségekre adódtak hullámegyenletek? Mennyi a vákuumbeli fénysebesség? Milyen alakúak a síkhullám megoldások? Milyen kapcsolatban vannak egymással a terjedési irányt megadó n vektor, valamint az E elektromos és H mágneses térerősségek? Mit jelent a transzverzális elektromágneses hullám fogalma? Milyen elektromágneses tér alakulhat ki kocka alakú, ideális vezetőből készült falú üregben? Milyen frekvenciaértékek fordulhatnak elő? Hogyan működik a magnetron? Hogyan mérné meg a fény sebességét mikrohullámú sütővel?
40 39 Kérdések (3) Mely potenciálokat vezetjük be és mi a mérhető terekkel való matematikai kapcsolatuk? Hogyan néznek ki a Maxwell-egyenletek a potenciálokkal felírva? Miért lehet a Lorenz-feltételt kitűzni, és milyen egyszerűsítő szerepet játszik az elmélet kiépítésében? Milyen téregyenletek állnak fenn általában a skalár- és vektorpotenciálokra? Zérus áramok és elektromos töltések esetén milyen alakú egyenletek állnak fenn a skalár- és vektorpotenciálokra? (A ilyen színnel írt kérdések a mélyebben érdeklődők részére vannak. ) (folyt. köv.)
Az Ampère-Maxwell-féle gerjesztési törvény
Az Ampère-Maxwell-féle gerjesztési törvény Maxwell elméleti meggondolások alapján feltételezte, hogy a változó elektromos tér örvényes mágneses teret kelt (hasonlóan ahhoz ahogy a változó mágneses tér
Fizika 1 Elektrodinamika beugró/kis kérdések
Fizika 1 Elektrodinamika beugró/kis kérdések 1.) Írja fel a 4 Maxwell-egyenletet lokális (differenciális) alakban! rot = j+ D rot = B div B=0 div D=ρ : elektromos térerősség : mágneses térerősség D : elektromos
-2σ. 1. A végtelen kiterjedésű +σ és 2σ felületi töltéssűrűségű síklapok terében az ábrának megfelelően egy dipól helyezkedik el.
1. 2. 3. Mondat E1 E2 Össz Energetikai mérnöki alapszak Mérnöki fizika 2. ZH NÉV:.. 2018. május 15. Neptun kód:... g=10 m/s 2 ; ε 0 = 8.85 10 12 F/m; μ 0 = 4π 10 7 Vs/Am; c = 3 10 8 m/s Előadó: Márkus
Elektromágneses hullámok
Bevezetés a modern fizika fejezeteibe 2. (b) Elektromágneses hullámok Utolsó módosítás: 2016. szeptember 28. 1 Dipólsugárzás (1) Anyagi közeg jelenléte esetén a D vektor a polarizáció jelensége miatt módosul
Elektromágneses hullámok - Interferencia
Bevezetés a modern fizika fejezeteibe 2. (d) Elektromágneses hullámok - Interferencia Utolsó módosítás: 2012 október 18. 1 Interferencia (1) Mi történik két elektromágneses hullám találkozásakor? Az elektromágneses
Optika és Relativitáselmélet II. BsC fizikus hallgatóknak
Optika és Relativitáselmélet II. BsC fizikus hallgatóknak 2. Fényhullámok tulajdonságai Cserti József, jegyzet, ELTE, 2007. Az elektromágneses spektrum Látható spektrum (erre állt be a szemünk) UV: ultraibolya
Pótlap nem használható!
1. 2. 3. Mondat E1 E2 Össz Gépészmérnöki alapszak Mérnöki fizika 2. ZH NÉV:.. 2018. november 29. Neptun kód:... Pótlap nem használható! g=10 m/s 2 ; εε 0 = 8.85 10 12 F/m; μμ 0 = 4ππ 10 7 Vs/Am; cc = 3
Beugró kérdések. Elektrodinamika 2. vizsgához. Számítsa ki a gradienst, divergenciát és a skalár Laplace operátort henger koordinátákban!
Beugró kérdések Elektrodinamika 2. vizsgához. Görbült koordináták Henger koordináták: r=(ρ cos φ, ρ sin φ, z) Számítsa ki a gradienst, divergenciát és a skalár Laplace operátort henger koordinátákban!
Gépészmérnöki alapszak, Mérnöki fizika 2. ZH, december 05. Feladatok (maximum 3x6 pont=18 pont)
1. 2. 3. Mondat E1 E2 NÉV: Gépészmérnöki alapszak, Mérnöki fizika 2. ZH, 2017. december 05. Neptun kód: Aláírás: g=10 m/s 2 ; ε 0 = 8.85 10 12 F/m; μ 0 = 4π 10 7 Vs/Am; c = 3 10 8 m/s Előadó: Márkus /
Geometriai és hullámoptika. Utolsó módosítás: május 10..
Geometriai és hullámoptika Utolsó módosítás: 2016. május 10.. 1 Mi a fény? Részecske vagy hullám? Isaac Newton (1642-1727) Pierre de Fermat (1601-1665) Christiaan Huygens (1629-1695) Thomas Young (1773-1829)
EHA kód:...2009-2010-1f. As,
MŰSZAKI FIZIKA I. RMINB135/22/v/4 1. ZH A csoport Név:... Mérnök Informatikus EHA kód:...29-21-1f ε 1 As = 9 4π 9 Vm µ = 4π1 7 Vs Am 1) Két ± Q = 3µC nagyságú töltés közti távolság d = 2 cm. Határozza
Bevezetés a modern fizika fejezeteibe. 1. (b) Rugalmas hullámok. Utolsó módosítás: szeptember 28. Dr. Márkus Ferenc BME Fizika Tanszék
Bevezetés a modern fizika fejezeteibe 1. (b) Rugalmas hullámok Utolsó módosítás: 2012. szeptember 28. 1 Síkhullámok végtelen kiterjedésű, szilárd izotróp közegekben (1) longitudinális hullám transzverzális
A Maxwellegyenletek. Elektromágneses térjellemz k: E( r, t) és H( r, t) térer sségek, D( r, t) elektromos eltolás és B( r, t) mágneses indukció.
A Maxwellegyenletek Elektromágneses térjellemz k: E( r, t) és H( r, t) térer sségek, D( r, t) elektromos eltolás és B( r, t) mágneses indukció. Milyen általános, a konkrét szituációtól (pl. közeg anyagi
A mechanikai alaptörvények ismerete
A mechanikai alaptörvények ismerete Az oldalszám hivatkozások a Hudson-Nelson Útban a modern fizikához c. könyv megfelelő szakaszaira vonatkoznak. A Feladatgyűjtemény a Mérnöki fizika tárgy honlapjára
Elektro- és magnetosztatika, áramkörök
1. fejezet Elektro- és magnetosztatika, áramkörök Coulomb- és Gauss-törvény, szuperpozíció elve, stacionárius áram. Vezet k, szigetel k, dielektrikumok, kondenzátor, magnetosztatika. Stacionárius áram,
Az elektromágneses indukció jelensége
Az elektromágneses indukció jelensége Korábban láttuk, hogy az elektromos áram hatására mágneses tér keletkezik (Ampère-féle gerjesztési törvény) Kérdés, hogy vajon ez megfordítható-e, és a mágneses tér
Fizika 2 - Gyakorló feladatok
2015. június 19. ε o =8.85 10-12 AsV -1 m -1 μ o =4π10-7 VsA -1 m -1 e=1,6 10-19 C m e =9,11 10-31 kg m p =1,67 10-27 kg h=6,63 10-34 Js 1. Egy R sugarú gömbben -ρ állandó töltéssűrűség van. a. Határozza
AJÁNLOTT IRODALOM. A tárgy neve Meghirdető tanszék(csoport) Felelős oktató:
A tárgy neve Meghirdető tanszék(csoport) Felelős oktató: ELEKTROMÁGNESSÉG ÉS RELATIVITÁSELMÉLET SZTE TTK Elméleti Fizikai Tanszék Dr. Varga Zsuzsa Kredit 2 Heti óraszám 2 típus Számonkérés Teljesíthetőség
Mindkét oldal divergenciáját véve, és kihasználva a másik E térre vonatkozó egyenletet, Laplace-egyenletet kapunk:
1 / 6 A TételWiki wikiből 1 Coulomb- és Gauss-törvény, szuperpozíció elve, stacionárius áram. [1] 2 Vezetők, szigetelők, dielektrikumok, elektormos polarizáció, magnetosztatika. 2.1 Vezetők [3] 2.2 Dielektrikumok
MŰSZAKI FIZIKA II. Földtudományi mérnöki MSc mesterszak. 2017/18 II. félév TANTÁRGYI KOMMUNIKÁCIÓS DOSSZIÉ
MŰSZAKI FIZIKA II. Földtudományi mérnöki MSc mesterszak 2017/18 II. félév TANTÁRGYI KOMMUNIKÁCIÓS DOSSZIÉ Miskolci Egyetem Műszaki Földtudományi Kar Geofizikai és Térinformatikai Intézet A tantárgy adatlapja
Elektromágneses hullámok - Hullámoptika
Bevezetés a modern fizika fejezeteibe 2. (c) Elektromágneses hullámok - Hullámoptika Utolsó módosítás: 2015. január 17. 1 Az elektromágneses hullámok visszaverődési és törési törvényei (1) Kérdés: Mi történik
A kvantummechanika kísérleti előzményei A részecske hullám kettősségről
A kvantummechanika kísérleti előzményei A részecske hullám kettősségről Utolsó módosítás: 2016. május 4. 1 Előzmények Franck-Hertz-kísérlet (1) A Franck-Hertz-kísérlet vázlatos elrendezése: http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/frhz.html
Fizika 1 Elektrodinamika belépő kérdések
Fizika 1 Elektrodinamika belépő kérdések 1) Maxwell-egyenletek lokális (differenciális) alakja rot H = j+ D rot = B div B=0 div D=ρ H D : mágneses térerősség : elektromos megosztás B : mágneses indukció
3.1. ábra ábra
3. Gyakorlat 28C-41 A 28-15 ábrán két, azonos anyagból gyártott ellenállás látható. A véglapokat vezető 3.1. ábra. 28-15 ábra réteggel vonták be. Tételezzük fel, hogy az ellenállások belsejében az áramsűrűség
TARTALOMJEGYZÉK EL SZÓ... 13
TARTALOMJEGYZÉK EL SZÓ... 13 1. A TÖLTÉS ÉS ELEKTROMOS TERE... 15 1.1. Az elektromos töltés... 15 1.2. Az elektromos térer sség... 16 1.3. A feszültség... 18 1.4. A potenciál és a potenciálfüggvény...
2. (d) Hővezetési problémák II. főtétel - termoelektromosság
2. (d) Hővezetési problémák II. főtétel - termoelektromosság Utolsó módosítás: 2015. március 10. Kezdeti érték nélküli problémák (1) 1 A fél-végtelen közeg a Az x=0 pontban a tartományban helyezkedik el.
Fizika II minimumkérdések. A zárójelben lévő értékeket nem kötelező memorizálni, azok csak tájékoztató jellegűek.
izika II minimumkérdések zárójelben lévő értékeket nem kötelező memorizálni, azok csak tájékoztató jellegűek. 1. Coulomb erőtörvény: = kq r 2 e r (k = 9 10 9 m2 C 2 ) 2. Coulomb állandó és vákuum permittivitás
a terjedés és a zavar irányának viszonya szerint:
TÓTH A.: Hullámok (összefoglaló) Hullámtani összefoglaló A hullám fogalma és leírása A hullám valamilyen (mehanikai, elektromágneses, termikus, stb.) zavar térbeli tovaterjedése. Terjedésének mehanizmusa
Bevezetés a modern fizika fejezeteibe. 1.(a) Rugalmas hullámok. Utolsó módosítás: szeptember 28. Dr. Márkus Ferenc BME Fizika Tanszék
Bevezetés a modern fizika fejezeteibe 1.(a) Rugalmas hullámok Utolsó módosítás: 2012. szeptember 28. 1 A deformálható testek mozgása (1) A Helmholtz-féle kinematikai alaptétel: A deformálható test elegendően
Az elektromágneses tér energiája
Az elektromágneses tér energiája Az elektromos tér energiasűrűsége korábbról: Hasonlóképpen, a mágneses tér energiája: A tér egy adott pontjában az elektromos és mágneses terek együttes energiasűrűsége
Alkalmazás a makrókanónikus sokaságra: A fotongáz
Alkalmazás a makrókanónikus sokaságra: A fotongáz A fotonok az elektromágneses sugárzás hordozó részecskéi. Spinkvantumszámuk S=, tehát kvantumstatisztikai szempontból bozonok. Fotonoknak habár a spinkvantumszámuk,
Megjegyzés a villamos gép mágneses terét leíró kifejezéshez Comment on the Expression Describing the Magnetic Field of the Electrical Machine
Megjegyzés a villamos gép mágneses terét leíró kifejezéshez Comment on the Expression Describing the Magnetic Field of the Electrical Machine Dr. Tóth Ferenc, Dr. zabó Loránd 2 Miskolci Egyetem, Magyarország
1. fejezet. Gyakorlat C-41
1. fejezet Gyakorlat 3 1.1. 28C-41 A 1.1 ábrán két, azonos anyagból gyártott ellenállás látható. A véglapokat vezető réteggel vonták be. Tételezzük fel, hogy az ellenállások belsejében az áramsűrűség bármely,
Vezetők elektrosztatikus térben
Vezetők elektrosztatikus térben Vezető: a töltések szabadon elmozdulhatnak Ha a vezető belsejében a térerősség nem lenne nulla akkor áram folyna. Ha a felületen a térerősségnek lenne tangenciális (párhuzamos)
KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.
KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA II 8 VIII Elsőrendű DIFFERENCIÁLEGYENLETEk 1 Alapvető ÖSSZEFÜGGÉSEk Elsőrendű differenciálegyenlet általános és partikuláris megoldása Az vagy (1) elsőrendű differenciálegyenlet
MSC ELMÉLETI FIZIKA SZIGORLAT TÉTELEK. A-01. Tétel A KLASSZIKUS FIZIKA ÉS A NEMRELATIVISZTIKUS KVANTUMMECHANIKA ALAPEGYENLETEI.
MSC ELMÉLETI FIZIKA SZIGORLAT TÉTELEK A-01. Tétel A KLASSZIKUS FIZIKA ÉS A NEMRELATIVISZTIKUS KVANTUMMECHANIKA ALAPEGYENLETEI. A klasszikus mechanika elvei. A Newton axiómák. A Lagrange és a Hamilton formalizmus
Tantárgycím: Kísérleti Fizika II. (Elektrodinamika és Optika)
Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar TANTÁRGYI ADATLAP és tantárgyi követelmények 2006/07 Földtudományi Szak Kötelező tantárgy Tantárgycím: Kísérleti Fizika II. (Elektrodinamika és Optika)
a térerősség mindig az üreg falára merőleges, ezért a tér ott nem gömbszimmetrikus.
2. Gyakorlat 25A-0 Tekintsünk egy l0 cm sugarú üreges fémgömböt, amelyen +0 µc töltés van. Legyen a gömb középpontja a koordinátarendszer origójában. A gömb belsejében az x = 5 cm pontban legyen egy 3
Matematika A1a Analízis
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 Vektorok StKis, EIC 2019-02-12 Wettl Ferenc ALGEBRA
Matematika (mesterképzés)
Matematika (mesterképzés) Környezet- és Településmérnököknek Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 1 / 29 Lineáris tér,
Matematikai háttér. 3. Fejezet. A matematika hozzászoktatja a szemünket ahhoz, hogy tisztán és világosan lássa az igazságot.
3. Fejezet Matematikai háttér A matematika hozzászoktatja a szemünket ahhoz, hogy tisztán és világosan lássa az igazságot René Descartes Számtalan kiváló szakirodalom foglalkozik a különféle differenciálegyenletek
Elektromágneses hullámegyenlet
Elektromágneses hullámegyenlet Valódi töltésektől és vezetési áramoktól mentes szigetelőkre felírva az első két egyenletet: Az anyagegyenletek továbbá: Ezekből levezethetők a homogén hullámegyenletek a
Bevezetés a modern fizika fejezeteibe. Rugalmas hullámok. Utolsó módosítás: szeptember 28. Dr. Márkus Ferenc BME Fizika Tanszék
Bevezetés a modern fizika fejezeteibe 1. Rugalmas hullámok Utolsó módosítás: 2015. szeptember 28. 1 A deformálható testek mozgása (1) A Helmholtz-féle kinematikai alaptétel: A deformálható test elegendően
A teljes elektromágneses spektrum
A teljes elektromágneses spektrum Fizika 11. Rezgések és hullámok 2019. március 9. Fizika 11. (Rezgések és hullámok) A teljes elektromágneses spektrum 2019. március 9. 1 / 18 Tartalomjegyzék 1 A Maxwell-egyenletek
A Relativisztikus kvantummechanika alapjai
A Relativisztikus kvantummechanika alapjai January 25, 2005 A kvantummechanika Schrödinger egyenletének a felírása után azonnal kiderül, hogy ez az egyenlet nem relativisztikusan kovariáns. (Aránylag könnyen
Kinematika szeptember Vonatkoztatási rendszerek, koordinátarendszerek
Kinematika 2014. szeptember 28. 1. Vonatkoztatási rendszerek, koordinátarendszerek 1.1. Vonatkoztatási rendszerek A test mozgásának leírása kezdetén ki kell választani azt a viszonyítási rendszert, amelyből
A TételWiki wikiből. A Maxwell-egyenletek
1 / 6 A TételWiki wikiből 1 A Maxwell-egyenletek 2 Indukció 2.1 Nyugalmiindukció 2.2 Mozgásiindukció 2.3 Kölcsönös- és önindukció 3 Az elektromágneses tér makroszkópikus mennyiségei 3.1 Energia 3.2 Impulzus
Elektromágneses sugárzás
0-0 Elektromágneses sugárzás Maxwell-egyenletek források (töltések és áramok) hiányában rot H = 1 D c t rot E = 1 B c t div D = 0 div B = 0 valamint D=D( E) és B=B( H) anyagi összefüggések. Létezik nem-triviális
Kifejtendő kérdések június 13. Gyakorló feladatok
Kifejtendő kérdések 2016. június 13. Gyakorló feladatok 1. Adott egy egyenletes térfogati töltéssel rendelkező, R sugarú gömb, melynek felületén a potenciál U 0. Az elektromos potenciál definíciója (1p)
Fizika A2 Alapkérdések
Fizika A2 Alapkérdések Az elektromágnesség elméletében a vektorok és skalárok (számok) megkülönböztetése nagyon fontos. A következ szövegben a vektorokat a kézírásban is jól használható nyíllal jelöljük
Bevezetés a modern fizika fejezeteibe. 4. (e) Kvantummechanika. Utolsó módosítás: december 3. Dr. Márkus Ferenc BME Fizika Tanszék
Bevezetés a modern fizika fejezeteibe 4. (e) Kvantummechanika Utolsó módosítás: 2014. december 3. 1 A Klein-Gordon-egyenlet (1) A relativisztikus dinamikából a tömegnövekedésre és impulzusra vonatkozó
Az optika tudományterületei
Az optika tudományterületei Optika FIZIKA BSc, III/1. 1. / 17 Erdei Gábor Elektromágneses spektrum http://infothread.org/science/physics/electromagnetic%20spectrum.jpg Optika FIZIKA BSc, III/1. 2. / 17
Bevezetés a modern fizika fejezeteibe. 4. (a) Kvantummechanika. Utolsó módosítás: november 15. Dr. Márkus Ferenc BME Fizika Tanszék
Bevezetés a modern fizika fejezeteibe 4. (a) Kvantummechanika Utolsó módosítás: 2015. november 15. 1 Előzmények Az atomok színképe (1) A fehér fény komponensekre bontható: http://en.wikipedia.org/wiki/spectrum
Q 1 D Q 2 (D x) 2 (1.1)
. Gyakorlat 4B-9 Két pontszerű töltés az x tengelyen a következőképpen helyezkedik el: egy 3 µc töltés az origóban, és egy + µc töltés az x =, 5 m koordinátájú pontban van. Keressük meg azt a helyet, ahol
O ( 0, 0, 0 ) A ( 4, 0, 0 ) B ( 4, 3, 0 ) C ( 0, 3, 0 ) D ( 4, 0, 5 ) E ( 4, 3, 5 ) F ( 0, 3, 5 ) G ( 0, 0, 5 )
1. feladat Írjuk föl a következő vektorokat! AC, BF, BG, DF, BD, AG, GB Írjuk föl ezen vektorok egységvektorát is! a=3 m b= 4 m c= m Írjuk föl az egyes pontok koordinátáit: O ( 0, 0, 0 ) A ( 4, 0, 0 )
17. előadás: Vektorok a térben
17. előadás: Vektorok a térben Szabó Szilárd A vektor fogalma A mai előadásban n 1 tetszőleges egész szám lehet, de az egyszerűség kedvéért a képletek az n = 2 esetben szerepelnek. Vektorok: rendezett
Elektromos áramerősség
Elektromos áramerősség Két különböző potenciálon lévő fémet vezetővel összekötve töltések áramlanak amíg a potenciál ki nem egyenlítődik. Az elektromos áram iránya a pozitív töltéshordozók áramlási iránya.
Gyakorlat 30B-14. a F L = e E + ( e)v B képlet, a gravitációs erőt a (2.1) G = m e g (2.2)
2. Gyakorlat 30B-14 Az Egyenlítőnél, a földfelszín közelében a mágneses fluxussűrűség iránya északi, nagysága kb. 50µ T,az elektromos térerősség iránya lefelé mutat, nagysága; kb. 100 N/C. Számítsuk ki,
Matematika A2 vizsga mgeoldása június 4.
Matematika A vizsga mgeoldása 03. június.. (a (3 pont Definiálja az f(x, y függvény határértékét az (x 0, y 0 helyen! Megoldás: Legyen D R, f : D R. Legyen az f(x, y függvény értelmezve az (x 0, y 0 pont
Vektorgeometria (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Vektorgeometria (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. A térbeli irányított szakaszokat vektoroknak hívjuk. Két vektort egyenlőnek tekintünk, ha párhuzamos eltolással fedésbe hozhatók.
1. ábra. 24B-19 feladat
. gyakorlat.. Feladat: (HN 4B-9) A +Q töltés egy hosszúságú egyenes szakasz mentén oszlik el egyenletesen (ld.. ábra.). Számítsuk ki az E elektromos térerősséget a vonal. ábra. 4B-9 feladat irányában lévő,
Speciális relativitás
Bevezetés a modern fizika fejezeteibe 3. (a) Speciális relativitás Relativisztikus kinematika Utolsó módosítás: 2015. január 11.. 1 Egy egyszerű probléma (1) A K nyugvó vonatkoztatási rendszerben tekintsünk
9. évfolyam. Osztályozóvizsga tananyaga FIZIKA
9. évfolyam Osztályozóvizsga tananyaga A testek mozgása 1. Egyenes vonalú egyenletes mozgás 2. Változó mozgás: gyorsulás fogalma, szabadon eső test mozgása 3. Bolygók mozgása: Kepler törvények A Newtoni
sin x = cos x =? sin x = dx =? dx = cos x =? g) Adja meg a helyettesítéses integrálás szabályát határozott integrálokra vonatkozóan!
Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Analízis II Határozatlan integrálszámítás g) t = tg x 2 helyettesítés esetén mivel egyenlő sin x = cos x =? g) t = tg x 2 helyettesítés esetén
Egy sík és a koordinátasíkok metszésvonalainak meghatározása
1 Egy sík és a koordinátasíkok metszésvonalainak meghatározása Ehhez tekintsük az 1. ábrát! 1. ábra Itt az ( u, v, w ) tengelymetszeteivel adott S síkot látjuk, az Oxyz térbeli derékszögű koordináta -
Elektrodinamika. Írta: Dr. Noszticzius Zoltán, dr. Ván Péter és dr. Wittmann Marian vegyész- és biomérnök hallgatók számára 1/1
Elektrodinamika Írta: Dr. Noszticzius Zoltán, dr. án Péter és dr. Wittmann Marian vegyész- és biomérnök hallgatók számára Bevezetés középiskolában már részletesen megismerkedtünk az alapvető elektromos
A +Q töltés egy L hosszúságú egyenes szakasz mentén oszlik el egyenletesen (ld ábra ábra
. Gyakorlat 4B-9 A +Q töltés egy L hosszúságú egyenes szakasz mentén oszlik el egyenletesen (ld. 4-6 ábra.). Számítsuk ki az E elektromos térerősséget a vonal irányában lévő, annak.. ábra. 4-6 ábra végpontjától
Lineáris algebra mérnököknek
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Lineáris algebra mérnököknek BMETE93BG20 Vektorok a 2- és 3-dimenziós tér Kf87 2017-09-05
Sztehlo Gábor Evangélikus Óvoda, Általános Iskola és Gimnázium. Osztályozóvizsga témakörök 1. FÉLÉV. 9. osztály
Osztályozóvizsga témakörök 1. FÉLÉV 9. osztály I. Testek mozgása 1. Egyenes vonalú egyenletes mozgás 2. Változó mozgás; átlagsebesség, pillanatnyi sebesség 3. Gyorsulás 4. Szabadesés, szabadon eső test
Explicit hibabecslés Maxwell-egyenletek numerikus megoldásához
Explicit hibabecslés Maxwell-egyenletek numerikus megoldásához Izsák Ferenc 2007. szeptember 17. Explicit hibabecslés Maxwell-egyenletek numerikus megoldásához 1 Vázlat Bevezetés: a vizsgált egyenlet,
Szélsőérték feladatok megoldása
Szélsőérték feladatok megoldása A z = f (x,y) függvény lokális szélsőértékének meghatározása: A. Szükséges feltétel: f x (x,y) = 0 f y (x,y) = 0 egyenletrendszer megoldása, amire a továbbiakban az x =
Mondatkiegészítések június 6.
Mondatkiegészítések 2016. június 6. Az alábbi típusú mondatkiegészítések jelentik az elméleti feladatok egy részét. A tapasztalat szerint ezek megoldásához a tárgyi tudás mellett szükség van egyfajta rutinra.
Osztályozó vizsga anyagok. Fizika
Osztályozó vizsga anyagok Fizika 9. osztály Kinematika Mozgás és kölcsönhatás Az egyenes vonalú egyenletes mozgás leírása A sebesség fogalma, egységei A sebesség iránya Vektormennyiség fogalma Az egyenes
Keresztmetszet másodrendű nyomatékainak meghatározása
BUDAPEST MŰSZAK ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNY EGYETEM Keresztmetszet másodrendű nyomatékainak meghatározása Segédlet a Szilárdságtan c tárgy házi feladatához Készítette: Lehotzky Dávid Budapest, 205 február 28 ábra
ELEKTRO- MÁGNESES TEREK. Dr. Zombory László
ELEKTRO- MÁGNESES TEREK Dr. Zombory László DR. ZOMBORY LÁSZLÓ ELEKTROMÁGNESES TEREK Lektor: Dr. Veszely Gyula A kiadvány A Korszerû Mérnökért Alapítvány támogatásával készült, a Tankönyv, Szakkönyv, Jegyzet
Felvételi, 2018 szeptember - Alapképzés, fizika vizsga -
Sapientia Erdélyi Magyar Tudományegyetem Marosvásárhelyi Kar Felvételi, 2018 szeptember - Alapképzés, fizika vizsga - Minden tétel kötelező Hivatalból 10 pont jár Munkaidő 3 óra I Az alábbi kérdésekre
Matematika II. 1 sin xdx =, 1 cos xdx =, 1 + x 2 dx =
Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika II Határozatlan Integrálszámítás d) Adja meg az alábbi alapintegrálokat! x n 1 dx =, sin 2 x dx = d) Adja meg az alábbi alapintegrálokat!
Csillapított rezgés. a fékező erő miatt a mozgás energiája (mechanikai energia) disszipálódik. kváziperiódikus mozgás
Csillapított rezgés Csillapított rezgés: A valóságban a rezgések lassan vagy gyorsan, de csillapodnak. A rugalmas erőn kívül, még egy sebességgel arányos fékező erőt figyelembe véve: a fékező erő miatt
Elektromos alapjelenségek
Elektrosztatika Elektromos alapjelenségek Dörzselektromos jelenség: egymással szorosan érintkező, vagy egymáshoz dörzsölt testek a szétválasztásuk után vonzó, vagy taszító kölcsönhatást mutatnak. Ilyenkor
A gravitáció összetett erőtér
A gravitáció összetett erőtér /Az indukált gravitációs erőtér című írás (hu.scribd.com/doc/95337681/indukaltgravitacios-terer) 19. fejezetének bizonyítása az alábbiakban./ A gravitációs erőtér felbontható
Fizika 2 - Gyakorló feladatok
2016. május 9. ε o =8.85 10-12 AsV -1 m -1 μ o =4π10-7 VsA -1 m -1 e=1,6 10-19 C m e =9,11 10-31 kg m p =1,67 10-27 kg h=6,63 10-34 Js 1. Egy R sugarú gömbben -ρ állandó töltéssűrűség van. a. Határozza
A brachistochron probléma megoldása
A brachistochron probléma megoldása Adott a függőleges síkban két nem egy függőleges egyenesen fekvő P 0 és P 1 pont, amelyek közül a P 1 fekszik alacsonyabban. Azt a kérdést fogjuk vizsgálni. hogy van-e
1. Feladatok merev testek fizikájának tárgyköréből
1. Feladatok merev testek fizikájának tárgyköréből Forgatónyomaték, impulzusmomentum, impulzusmomentum tétel 1.1. Feladat: (HN 13B-7) Homogén tömör henger csúszás nélkül gördül le az α szög alatt hajló
Ütközések elemzése energia-impulzus diagramokkal II. A relativisztikus rakéta
Ütközések elemzése energia-impulzus diagramokkal II. A relativisztikus rakéta Bokor Nándor Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem, Fizika Tanszék 1111 Budapest, Budafoki u. 8. Ebben a cikkben olyan
Kirchhoff 2. törvénye (huroktörvény) szerint az áramkörben levő elektromotoros erők. E i = U j (3.1)
3. Gyakorlat 29A-34 Egy C kapacitású kondenzátort R ellenálláson keresztül sütünk ki. Mennyi idő alatt csökken a kondenzátor töltése a kezdeti érték 1/e 2 ed részére? Kirchhoff 2. törvénye (huroktörvény)
1 kérdés. Személyes kezdőlap Villamos Gelencsér Géza Simonyi teszt május 13. szombat Teszt feladatok 2017 Előzetes megtekintés
Személyes kezdőlap Villamos Gelencsér Géza Simonyi teszt 2017. május 13. szombat Teszt feladatok 2017 Előzetes megtekintés Kezdés ideje 2017. május 9., kedd, 16:54 Állapot Befejezte Befejezés dátuma 2017.
Budapesti Műszaki Főiskola, Neumann János Informatikai Kar. Vektorok. Fodor János
Budapesti Műszaki Főiskola, Neumann János Informatikai Kar Lineáris algebra 1. témakör Vektorok Fodor János Copyright c Fodor@bmf.hu Last Revision Date: 2006. szeptember 11. Version 1.1 Table of Contents
Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2011/2012 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) 2. forduló - megoldások. 1 pont Ekkor
Okta tási Hivatal Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 0/0 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA). forduló - megoldások. Az valós számra teljesül a 3 sin sin cos sin egyenlőség. Milyen értékeket
Normák, kondíciószám
Normák, kondíciószám A fizika numerikus módszerei I. mf1n1a06- mf1n2a06 Csabai István Lineáris egyenletrendszerek Nagyon sok probléma közvetlenül lineáris egyenletrendszer megoldásával kezelhetı Sok numerikus
Elektromágneses alapjelenségek
0-0 I. rész Elektromágneses alapjelenségek Thalész (i.e. 600 körül): gyapjúval dörzsölt borostyánk ('élektron') az apróbb tárgyakat magához vonzza, majd eltaszítja. Dörzsölés hatására a testek elektromos
Marcsa Dániel. III. éves Villamosmérnök B.Sc. hallgató. Konzulens: Dr. Kuczmann Miklós, Ph.D. egyetemi adjunktus
Stacionárius mágneses és örvényáramú tér szimulációja végeselem-módszerrel Írta: Marcsa Dániel III. éves Villamosmérnök B.Sc. hallgató (Automatizálási szakirány) Konzulens: Dr. Kuczmann Miklós, Ph.D. egyetemi
László István, Fizika A2 (Budapest, 2013) Előadás
László István, Fizika A (Budapest, 13) 1 14.A Maxwell-egenletek. Az elektromágneses hullámok Tartalmi kiemelés 1.Maxwell általánosította Ampère törvénét bevezetve az eltolási áramot. szerint ha a térben
Időben változó elektromos erőtér, az eltolási áram
őben változó elektromos erőtér, az olási áram Ha az ábrán látható, konenzátort tartalmazó áramkörbe iőben változó feszültségű áramforrást kapcsolunk, akkor az árammérő áramot mutat, annak ellenére, hogy
Gyakorlat anyag. Veszely. February 13, Figure 1: Koaxiális kábel
Gyakorlat anyag Veszely February 13, 2012 1 Koaxiális kábel d b a Figure 1: Koaxiális kábel A 1 ábrán látható koaxiális kábel adatai: a = 7,2 mm, b = 4a = 8,28 mm, d = 0,6 mm, ε r = 3,5; 10 4 tanδ = 80,
Mágnesesség. Mágneses tér gerjesztése: Az Ampère-féle gerjesztési törvény. j g I A. A zárt görbe által körülfogott áramok előjelezése
Mágnesesség... Mágneses tér gerjesztése: Az Ampère-féle gerjesztési törvény... A mágneses indukció-vektor bevezetése... A Lorentz-erő... 3 orgatónyomaték homogén mágneses mezőben nyugvó sík áramhurokra...
Klár Gergely 2010/2011. tavaszi félév
Számítógépes Grafika Klár Gergely tremere@elte.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2010/2011. tavaszi félév Tartalom Pont 1 Pont 2 3 4 5 Tartalom Pont Descartes-koordináták Homogén koordináták
Kérdések Fizika112. Mozgás leírása gyorsuló koordinátarendszerben, folyadékok mechanikája, hullámok, termodinamika, elektrosztatika
Kérdések Fizika112 Mozgás leírása gyorsuló koordinátarendszerben, folyadékok mechanikája, hullámok, termodinamika, elektrosztatika 1. Adjuk meg egy tömegpontra ható centrifugális erő nagyságát és irányát!
2. (b) Hővezetési problémák. Utolsó módosítás: február25. Dr. Márkus Ferenc BME Fizika Tanszék
2. (b) Hővezetési problémák Utolsó módosítás: 2013. február25. A változók szétválasztásának módszere (5) 1 Az Y(t)-re vonakozó megoldás: Így: A probléma megoldása n-re összegzés után: A peremfeltételeknek
Megoldás: A feltöltött R sugarú fémgömb felületén a térerősség és a potenciál pontosan akkora, mintha a teljes töltése a középpontjában lenne:
3. gyakorlat 3.. Feladat: (HN 27A-2) Becsüljük meg azt a legnagyo potenciált, amelyre egy 0 cm átmérőjű fémgömöt fel lehet tölteni, anélkül, hogy a térerősség értéke meghaladná a környező száraz levegő
Kondenzált anyagok fizikája 1. zárthelyi dolgozat
Név: Neptun-kód: Kondenzált anyagok fizikája 1. zárthelyi dolgozat 2015. november 5. 16 00 18 00 Fontosabb tudnivalók Ne felejtse el beírni a nevét és a Neptun-kódját a fenti üres mezőkbe. Minden feladat