Elektromágneses alapjelenségek

Átírás

1 0-0 I. rész Elektromágneses alapjelenségek Thalész (i.e. 600 körül): gyapjúval dörzsölt borostyánk ('élektron') az apróbb tárgyakat magához vonzza, majd eltaszítja. Dörzsölés hatására a testek elektromos töltésre tehetnek szert (dörzsölési elektromosság, pl. van der Graaf generátor). Elektromosan töltött testek vonzzák vagy taszítják egymást (befolyásolják egymás mozgását) kétféle (pozitív és negatív) töltés. Következmény: töltések kiegyenlít désére irányuló folyamatok. Kiegyenlítetlen töltések létének mikroszkopikus magyarázata: elemi részek - elektron, proton, stb. - saját elektromos töltéssel rendelkeznek(elemi töltés). Próbatöltés: pontszer nek tekinthet kicsiny töltés, melynek hatása a többi töltésre elhanyagolható, nem befolyásolja azok mozgásállapotát.

2 Töltéss r ség: egységnyi térfogatban (felületen) található töltésmennyiség: Q = ρ d 3 r. Wilcke és Aepinus, 1760 körül: eredetileg semleges fémdarabot küls töltések közelében két részre osztva elektromosan töltött részeket kapunk (elektromos megosztás); részek töltése azonos, de ellentétes el jel (vonzzák egymást). Mikroszkopikus magyarázat: a fémes kristályban az elektronok egy része szabadon elmozdulhat a küls er hatására (vezetési elektronok), míg a magok helyzete rögzített, így küls elektromos mez ben a töltéseloszlás már nem kiegyenlített. Elektromos töltések áramlása jellemezhet az árams r ség-vektorral, melynek iránya megegyezik az áramlás irányával, míg nagysága az áramlás irányára mer leges egységnyi felületen egységnyi id alatt átáramló töltésmennyiséget adja. Konduktív (mikroszkopikus) és konvektív (makroszkopikus) áramok; vezet k és szigetel k. Thalész (i.e. 600 körül): bizonyos vasércek (magnetit, akkori f lel he- 0-1

3 1. ELEKTROMOS TÉRJELLEMZŽK 0-2 lye a kisázsiai Magnesia városa) apró vasdarabokat képesek magukhoz vonzani és megtartani. Kínaiak (i.sz. 200 körül): mágnesezett vas darabkák bizonyos id után közelít leg az észeki irányba mutatnak (irányt. Európában a 12-ik század során jelenik meg) mágneses testekre forgatónyomaték hat a Föld felszínén. Oersted (1820): elektromos áram közelében az irányt elfordul elektromos áram mágneses mez t gerjeszt Ampère (1822): mikroszkopikus molekuláris köráramok felel sek a mágneses viselkedésért. 1. Elektromos térjellemz k Töltésekre hathatnak er k más töltések hiányában is; a töltésrendszer hatását valamely kiválasztott próbatöltésre az elektromágneses térrel, a próbatöltésre kifejtett er k segítségével írhatjuk le. Fizikai realitás (energiával, impulzussal bír, stb.), nemcsak matematikai segédeszköz.

4 1. ELEKTROMOS TÉRJELLEMZŽK 0-3 Tapasztalat: két különböz próbatöltésre egyazon helyen azonos irányú, de különböz nagyságú er k hatnak; az er k nagyságának hányadosa független a térbeli elhelyezkedést l, csak a próbatöltéseket jellemzi, azaz F 1 ( r) = α F 2 ( r), ahol α független a helyt l. Következmény: adott próbatöltésre ható er felbontható F = q E alakban, ahol q a próbatöltés nagyságát jellemzi, míg E az elektromos teret. E( r) vektormez elnevezése: elektromos térer sség, míg a q skalár a próbatest (elektromos) töltése. Kiterjedt, ρ( r) térfogati töltéss r séggel jellemezhet töltésrendszerre ható er F = ρ( r) E( r) d 3 r

5 1. ELEKTROMOS TÉRJELLEMZŽK 0-4 ahol az integrálás a test egész térfogatára értend. Dipólus nak nevezzük a két azonos nagyságú, de ellentétes el jel, egymáshoz közeli töltésb l álló rendszert (töltéssemleges, küls er k stabilizálják). Pontszer határesetben jellemezhet a p = q a dipólmomentum-vektorral, ahol q a töltések nagysága, míg a az ket összeköt vektor. Amennyiben r jelöli a két töltést összeköt szakasz felez pontjának helyvektorát, míg r ± = r± 1 /2 a az egyes töltésekét, akkor a dipólusra ható er F = q E( r + ) q E( r ). A pontszer határesetben a r, ezért els rendben sorba fejtve ( F x = q E x ( r) + a 2 grad E x E x ( r) ( a) ) grad E x = p grad E x, 2 és hasonló kifejezés adódik az er többi Descartes-komponensére is.

6 1. ELEKTROMOS TÉRJELLEMZŽK 0-5 A fentiek alapján homogén elektromos mez ben nem hat er a dipólusra, ellenben hat rá forgatónyomaték, melynek kifejezése (a dipólus középpontjára vonatkoztatva) M = ( r + r) q E( r + ) + ( r r) ( q) E( r ) = q a 2 E( r) + ( q) ( a) 2 E( r) = p E( r), a sorfejtés legalacsonyabb el nem t n rendjében. Ennek alapján az elektromos mez mindaddig forgatja a dipólust, míg annak dipólmomentuma párhuzamos nem lesz a térer sség adott pontbeli irányával. Tapasztalat: elektromos megosztás során keletkez töltések nagysága arányos az elválasztó felület nagyságával, és függ annak irányától. Következmény: megosztás során keletkez töltés Q = D d f alakú, ha az elválasztó felület elég kicsiny; itt D az elektromos mez megosztási képességét jellemz eltolási vektor.

7 2. MÁGNESES TÉRJELLEMZŽK 0-6 E és D együtt teljes mértékben jellemzik az elektromos teret. 2. Mágneses térjellemz k Alapvet tapasztalat: mágnest elfordul mágneses térben, illetve mozgó töltések (elektromos áram) eltérülnek. Tapasztalat: különböz mágnest kre ható forgatónyomatékok a tér egyazon pontjában azonos irányúak, de különböz nagyságúak; nagyságuk aránya a helyt l független, de függ a mágnest irányától (bizonyos irányokban zérus, bizonyosakban pedig maximális). Következmény: adott mágnest re ható forgatónyomaték felírható m H alakban, ahol m csak a mágnest jellemz je (mágneses momentum), míg H a mágneses mez t jellemz mágneses térer sség vektora.

8 2. MÁGNESES TÉRJELLEMZŽK 0-7 Tapasztalat: mágneses mez ben mozgó elektromos töltésre er hat, amelynek nagysága arányos a töltés nagyságával és sebességével, míg iránya mer leges ez utóbbira, de egyébként csak a térbeli helyzett l függ. Következmény: mozgó elektromos töltésre ható er F = q c v B alakú, ahol q és v a próbatöltés nagysága és sebessége, c m/s a fénysebesség, míg B a mágneses mez t jellemz mágneses indukció vektora. Faraday, 1831: id ben változó mágneses tér elektromos teret kelt (elektromágneses indukció). H és B együtt teljes mértékben jellemzik a mágneses mez t. Gyakran B = µ H

9 2. MÁGNESES TÉRJELLEMZŽK 0-8 lineáris kapcsolat, ahol µ a közeget jellemz mennyiség (mágneses permeabilitás); vákuumban µ = 1, azaz B = H. Általában B = H + 4π M, ahol M a küls mágneses tér által a közegben indukált mágneses dipólusok s r sége.

10 3. A MAXWELL-EGYENLETEK A Maxwell-egyenletek Elektromágneses térjellemz k közötti alapvet összefüggések, amelyek minden körülmények között teljesülnek. Szokásos megfogalmazásban (els rend, lineáris) parciális dierenciálegyenlet-rendszert alkotnak. Konkrét meggyeléseken alapulnak, ezért eredend en véges kiterjedés tartományokra vonatkoznak (integrális alak). Térjellemz k lassú, folytonos változása makroszkopikus tartományokban (közelhatás) lehetséges lokális, pontonkénti leírás. Maxwell-egyenletek dierenciális alakjának származtatása integráltételek alkalmazásával. Jelölések: F egy felület, F annak határoló görbéje, c a fénysebesség, míg V a V zárt felület által határolt térrész.

11 3. A MAXWELL-EGYENLETEK 0-10 A Gauss-törvény V D d f = 4πQ ahol Q jelöli a V zárt felület által határolt V térrészben foglalt teljes töltés mennyiségét. A töltések a D eltolási vektort gerjesztik, amely ezek szerint nem függ a közeg milyenségét l. Mivel Q = V ρ d3 r, ahol ρ a térfogati töltéss r ség, és a Gauss-tétel szerint D d f = div D d 3 r ezért a dierenciális alak V V div D = 4πρ

12 3. A MAXWELL-EGYENLETEK 0-11 A mágneses Gauss-törvény A tapasztalat szerint nincsenek önálló mágneses töltések (monopólus ok), ezért a mágneses indukciónak nincs forrása, azaz egy adott térrész határára vett integrálja elt nik (vesd össze a Gauss-törvénnyel): V bármely V térrészre (integrális alak). A Gauss-tétel miatt ezért V B d f = B d f = 0 V div B = 0 div B d 3 r

13 3. A MAXWELL-EGYENLETEK 0-12 Az Ampère-törvény Oersted (1820): mozgó töltések mágneses mez t keltenek. H( r) d r = 4π j( r) d F c f + 1 ( ) d D( r) d F c dt f F Stokestétel: H( r) d r = F F rot H d f ( F id ben állandó d dt D( r) d ) f = D F F t d f ( rot H 4π c j 1 ) D d c t f = 0 Az F felületet egy pontra összehúzva: F rot H = 4π c j + 1 c D t Jobb oldal második tagja (Maxwell): eltolási áram!

14 3. A MAXWELL-EGYENLETEK 0-13 A Faraday-törvény Id ben változó mágneses mez örvényes elektromos mez t gerjeszt (mágneses uxus változási sebessége arányos a gerjesztett elektromos mez cirkulációjával). F E d r = 1 c d dt ( F ) B d f Id ben nem változó felület esetén, a Stokestételt felhasználva ( rot E + 1 ) B d c t f = 0 F Az F felületet egy pontra zsugorítva kapjuk, hogy rot E = 1 c B t

15 4. KONTINUITÁSI EGYENLET A kontinuitási egyenlet és a töltésmegmaradás Maxwell-egyenletekben az E, H, D és B elektromágneses térjellemz k az ismeretlenek, míg ρ és j az (elvileg) ismert forrásai az elektromágneses mez nek, melyek a peremfeltételekkel közösen meghatározzák azt. Maxwell-egyenletek alapján ( ρ t = 1 4π t div D 1 = div 4π D ) t = div ( c 4π rot H ) j = div j Valós zikai szituációban ρ és j nem független, ki kell hogy elégítsék a kontinuitási egyenletet. ρ t + div j = 0

16 4. KONTINUITÁSI EGYENLET 0-15 V egy id ben nem változó térrész, Q= V ρ( r) d3 r a térrészben található teljes töltés mennyisége. Kontinuitási egyenlet + Gauss-tétel dq dt = d dt ( V ) ρ( r) d 3 r = V ρ t d3 r = ( div j) d 3 r = V V j( r) d f Itt V j( r) d f a V térrész határán id egység alatt kiáramló töltés mennyisége. Adott térfogatban található töltés megváltozása egyenl a térrészt határoló felületen átfolyó töltés mennyiségével: lokális töltésmegmaradás.

17 5. ANYAGI ÖSSZEFÜGGÉSEK Anyagi összefüggések A Maxwell-egyenletek rendszere skaláris vektoriális div D = 4πρ div B = 0 rot E = 1 c B t rot H = 4π c j + 1 c D t 8 egyenlet 12 ismeretlen függvényre közegre jellemz anyagi összefüggések ismerete szükséges a megoldásukhoz. Vákuumban D = E és B = H. Általában D = E + 4π P és B = H + 4π M. P a közeg polarizációs vektora, míg M a közeg mágnesezettsége.

18 5. ANYAGI ÖSSZEFÜGGÉSEK 0-17 Mikroszkopikus eredet Küls elektromos mez hiányában a közeget alkotó mikroszkopikus töltések (atommagok és elektronok) általában semlegesítik egymást makroszkopikus méretekben (kivéve ionizált közegek). Küls mez hatására új er egyensúly alakul ki, töltések relatív helyzete megváltozik, a közeg polarizálódik. P polarizációs vektor ral jellemzett dipólmomentum-s r ség indukálódik a közegben. Mivel vákuumban nincs polarizálható közeg, ezért ott P= 0. Küls tér hiányában általában nem lép fel polarizáció (kivételt képeznek az elektrétek), azaz P = 0 ha E = 0, ezért nem túl er s mez k esetén jó közelítéssel P=χ E lineáris kapcsolat (kivéve lézerek, stb.), ahol χ a közeg (elektromos) szuszceptibilitása.

19 5. ANYAGI ÖSSZEFÜGGÉSEK 0-18 Fentiek alapján D = ε E ahol ε = 1+4πχ a közeget jellemz mennyiség, a permittivitás vagy dielektromos állandó (vákuumban ε = 1). Hasonló meggondolásból M = χm H és B = µ H ahol χ m a közeg mágneses szuszceptibilitása, míg µ=1+4πχ m a permeabilitása (kivétel: permanens mágnesek ). Izotrop közegben az anyagi állandók skalárok, míg anizotrop közegben (kristályok) tenzorok. Fentiek gyelembe vételével 8 egyenletet kapunk 6 ismeretlenre (túlhatározott rendszer). De: két skalár egyenlet mindig teljesül, ha egy adott kezdeti id pontban teljesülnek kezdeti feltételek szerepét játsszák.

20 6. VEZETŽK ÉS SZIGETELŽK Vezet k és szigetel k Szigetel közegben (dielektrikum) nincsenek szabad mikroszkopikus töltéshordozók, ezért nem folynak bennük konduktív áramok (legfeljebb nagyon rövid ideig) j kond = 0 Ha nincs makroszkopikus töltésáramlás (konvektív áram), akkor a kontinuitási egyenlet alapján ρ t = 0, azaz ρ id ben állandó. Vezet ben a mikroszkopikus töltések szabadon áramolhatnak küls elektromos tér hatására, így kialakulhatnak konduktív áramok. Nem túl nagy térer sség esetén lineáris közelítés (Ohm-törvény) j kond = σ E, ahol σ a vezet t jellemz skalár- (kristályokban tenzor-)mennyiség, a közeg vezet képesség e; szigetel k köztük a vákuum vezet képessége zérus.

21 6. VEZETŽK ÉS SZIGETELŽK 0-20 D = ε E lineáris anyagi összefüggés + Ohm-törvény + kontinuitási egyenlet homogén, izotrop vezet belsejében ρ ( t = div j = div σe ) = σ ε div D = 4πσ ε ρ amib l ρ( r, t) = ρ( r, 0) exp ( t ) t r t r = ε 4πσ a relaxációs id (értéke réz esetén kb s) Vezet k belsejében exponenciális gyorsasággal csökken a töltéss r ség. A töltések a vezet belsejéb l gyakorlatilag azonnal kiszorulnak a vezet felületére, és úgy oszlanak ott el, hogy a vezet belsejében leárnyékolják a teret, ott E = 0 legyen (Faraday-ketrec elve).

22 7. ILLESZTÉSI FELTÉTELEK Illesztési feltételek közegek határán Adott közeg belsejében a térjellemz k folytonosan változnak, de két különböz közeg határán egyesek ugrást szenvedhetnek. Ha minden térjellemz folytonosan változna, akkor mindkét közegben ugyanazon anyagi összefüggések teljesülnének. Érintkezési felületen töltések halmozódhatnak fel, illetve áramolhatnak annak mentén (felületi töltések és áramok kialakulása). Határfelület egy adott pontjában a térjellemz k értéke attól függ, hogy a felület melyik oldalán (melyik közegben) vizsgáljuk. Térjellemz k ugrásának jellemzése a Maxwell-egyenletek integrális alakjából származtatott illesztési feltételek segítségével. X 1 illetve X 2 az X térjellemz értéke a határfelület egy pontjában attól függ en, hogy melyik térrészb l közelítjük meg a határfelületet. X vektormennyiség normális és tangenciális komponensei: X n = X n és X t = X X n n, ahol n a felület normális egységvektora.

23 7. ILLESZTÉSI FELTÉTELEK 0-22 Az eltolási vektor és a mágneses indukció vektorának illesztési feltétele Tekintsük a határfelület egy F darabját, és jelölje V határfelületet mer legesen metsz, mindkét közegbe h távolságra benyúló, F alapú hengeres testet F 1 és F 2 a hengerfelület alap és fed lapja, míg P a palástja. Q jelöli a V térrészben található összes töltést. Gauss-törvény szerint 4πQ = D d f = V P D d f + F 1 D d f + F 2 D d f A hengert a felületre lapítva (h 0 határeset) a P palástra vett integrál nullához tart (mert felülettel arányos), D d f 0 P

24 7. ILLESZTÉSI FELTÉTELEK 0-23 míg D d f D 1 d f F 1 D d f F D 2 d f F 2 F mert a d f felületelem a V küls normálisának irányába mutat. ( 4πQ = D2 D ) 1 d f F Ahogy a henger magassága nullához tart, a belsejében elhelyezked töltések a határfelületre koncentrálódnak Q= η( r) n( r) d f F ahol η( r) a felületi töltéss r ség, míg n( r) a határfelület r pontbeli normálisa.

25 7. ILLESZTÉSI FELTÉTELEK 0-24 Fentiek szerint a határfelület bármely F darabjára F ( D2 D 1 4πη n) d f =0 Az F felületet egy pontra összehúzva (mivel d f párhuzamos az n normális egységvektorral) n D 2 n D 1 =4πη Eltolási vektor normális komponensének ugrása a felületi töltéss r séget adja (4π szorzó erejéig). Mivel nincsenek mágneses töltések, ezért hasonló gondolatmenettel a mágneses Gauss-törvényb l n B 2 = n B 1 A mágneses indukció vektor normális komponense folytonos.

26 7. ILLESZTÉSI FELTÉTELEK 0-25 A mágneses és az elektromos térer sségek illesztési feltétele F egy h magasságú, a határfelületet mer legesen metsz téglalap, melynek alsó oldala L 1, fels oldala L 2, és metszete a határfelülettel L. Az Ampère-törvény szerint H d r = 4π c I F + 1 c F ahol I F az F téglalapon átfolyó áram. A téglalapot összenyomva a felületre (h 0) D t d f 0 F F D t d f, mivel az integrál a téglalap területével arányos, és mivel az érintett oldalak hossza szintúgy elt nik, ezért F L 1 L 2 H d r 0

27 7. ILLESZTÉSI FELTÉTELEK 0-26 Innen H d r = F L 2 H d r+ L 1 H d r+ F L 1 L 2 gyelembe véve az irányítást F körbejárásánál. H d r L ( H2 H 1 ) d r L mentén d r érint irányú (tangenciális), így amennyiben az L görbét egy r pontra húzzuk össze, a limesben ( H d r H2 ( r) H ) 1 ( r) t F ahol t jelöli az L érint vektorát az r pontban, míg L az L hossza. Fenti gondolatmenet tetsz leges, a határfelület belsejében haladó L görbére alkalmazható fenti összefüggés igaz bármely t érint irányú ( n normálisra mer leges) vektorra. Végül h 0 esetén I F a határfelület belsejében, az L-re mer leges irányban id egység alatt átáramló töltés mennyisége (felületi áramer sség), azaz I F = (i f ( r) n( r)) d r L

28 7. ILLESZTÉSI FELTÉTELEK 0-27 ahol i f a felületi árams r ség (a felület mentén, az áramlás irányára mer leges egységnyi hosszú szakaszon id egység alatt átáramló töltés), és n a felület normális egységvektora. Következésképpen ( H 2 ( r) H 1 ( r) 4π ) c i f ( r) n( r) t = 0 minden n-re mer leges t vektor esetén. Innen ( H2 ( r) H 1 ( r)) t = 4π c i f ( r) n( r) Mivel nincsenek mágneses áramok, ezért hasonló gondolatmenet alapján E 2 ( r) t = E 1 ( r) t Az elektromos térer sség tangenciális és a mágneses indukció normális komponense folytonosan változik két közeg határán.

29 8. EM MEZŽ ENERGIÁJA Az elektromágneses mez energiája és a Poyntingvektor ρ( r) töltéss r séggel jellemzett töltött test(ek) mozgása elektromágneses mez hatására vákuumban, más er forrásoktól távol. EM mez hiányában szabad mozgás: impulzus, energia (kinetikus), impulzusmomentum megmarad. EM mez er t gyakorol a testre sebessége megváltozik impulzusa, kinetikus energiája, stb. megváltozik. Lokális energiamegmaradás: adott térrészben fellelhet összes energiafajta összege csak úgy változhat, ha energia áramlik át a határon. Közeg hiányában csak EM mez energiája kompenzálhatja kinetikus energia változását (hasonlóan impulzusra és impulzusmomentumra) EM mez az anyag egyik megjelenési formája: bár nem áthatolhatatlan, de rendelkezik az alapvet attribútumokkal (energia, impulzus, impulzusmomentum), közegt l függetlenül.

30 8. EM MEZŽ ENERGIÁJA 0-29 EM mez folytonos változása energia (impulzus, impulzusmomentum) folytonos eloszlása térfogati energias r ség. ( r középpontú egységnyi térfogatra ható er ρ( r) E( r) + 1 c v( r) B( r) ) Egységnyi id alatt végzett munka = ρ E v Kinetikus energia megváltozása = testen végzett munka dk dt = ρ( r) E( r) v( r) d 3 r V V: a töltéseloszlást és az EM mez t végig magában foglaló térrész. Energiamegmaradás (izolált rendszer): de em = dk dt dt E em nem függhet a vizsgált test tulajdonságaitól, csak a térjellemz kt l! Vákuumban nincsenek konduktív áramok ( j= j konv =ρ v) dk dt = E j d 3 r V

31 8. EM MEZŽ ENERGIÁJA 0-30 Ampère- és Faraday-törvények szerint ezért E j = 1 4π ( 1 E 4π D t c E 4π rot H = E j 1 H 4π B t + c H 4π rot E = 0 E D t + H B t ( = 1 4π ) + c 4π E D t + H B t kihasználva, hogy H rot E E rot H = div Mivel vákuumban D= E és B= H, végül ( H rot E E rot H ) ) + c 4π div ( E H ) ( E H ). E j = w t + div S energiamérleg

32 8. EM MEZŽ ENERGIÁJA 0-31 ahol és w = 1 8π S elnevezése: Poynting-vektor. S = c 4π E H ( D E + B H ) V-re integrálva, és felhasználva, hogy div S d 3 r = V V S d f = 0 mivel V határán E és H (és így S is) elt nik: ( ) ( ) d w w( r) d 3 r = dt t +div S d 3 r= V V V E j d 3 r= dk dt w( r) az EM mez energias r sége, és E em = V w( r) d3 r a V térrészben található EM energia.

33 8. EM MEZŽ ENERGIÁJA 0-32 Ha a V térrészen kívül is van EM mez (de nincsenek töltések), akkor bels és küls mez kölcsönhatása miatt energiaáram: d(k +E em ) dt = V S d f S az energiaáram-s r ség vektora (iránya párhuzamos az energiaáram irányával, nagysága az egységnyi id alatt az irányára mer leges egységnyi felületen átáramló energia mennyisége). Anyagi közegben d(k +E em ) dt = V S d f V E j kond d 3 r Joule-h : E j kond disszipatív tag (em energia termikus energia). Csak az összenergia (mechanikai + elektromágneses + termikus) marad meg, az egyes energiafajták átalakulhatnak egymásba. Impulzuss r ség = 1 c 2 S (fénynyomás).