Stacionárius töltésáramlás (egyenáramok)

Átírás

1 0-0 Stacionárius töltésáramlás (egyenáramok) Id ben állandó konduktív áramok és elektromágneses térjellemz k. Mozgó töltések mágneses mez hatására eltérülnek mozgó töltések mágneses mez t keltenek. div D = 4πρ div B = 0 rot E = 0 rot H = 4π c j Áramvonal: olyan görbe, melynek érint je minden pontban az áramlás irányába mutat = mozgó töltések trajektóriája (stacionér esetben). Áramcs : zárt görbén átmen áramvonalak összessége.

2 0-1 div j = 0 kontinuitási egyenlet (ρ id független) árams r ség normális komponense folytonosan változik közegek határán (töltésmegmaradás); áramcs minden keresztmetszetén azonos er sség áram folyik át. V: áramcs F 1 és F 2 keresztmetszetek által határolt darabja, P a palástja. Gauss-tétel alapján ˆ ˆ ˆ 0 = div j d 3 r = V j d f + F 1 Paláston j érint irányú P j d f =0. P ˆ j d f + j d f = I 1 I 2 F 2

3 0-2 ˆ j d f =I 1 az F 1 keresztmetszeten be F ˆ 1 j d f = I 2 az F 2 keresztmetszeten ki F 2 áramló töltés mennyisége (id egység alatt ). Szigetel be ágyazott vezet test felületén az árams r ség érint irányú vezet határa áramcs vezet test minden keresztmetszetén ugyanolyan nagyságú elektromos áram folyik keresztül.

4 1. ÁRAMFORRÁSOK Áramforrások Konduktív áramok energiadisszipáció (Joule-h ) stacionárius áramláshoz energiaforrás (áramforrás) szükséges. elektrokémiai (szárazelem: kis feszültség) optikai (napelem: alacsony feszültség, csak napos id ben) mechanikai (er m vek: egyenirányítás szükséges, sok veszteség) Seebeck-eektus, termoelem, piezoelektromosság,... El re megadott E lokalizált térer sség jellemzi ( 0 az áramforráson kívül). ) Általánosított Ohm-törvény: j=σ( E + E.

5 2. EGYENÁRAMOK ELEKTROMOS TERE Egyenáramok elektromos tere rot E= 0 miatt létezik Φ potenciálfüggvény, amelyre E = grad Φ. div j = 0 kontinuitási egyenlet + Ohm-törvény div ( σ E ) = div (σgrad Φ) Homogén izotrop vezet ben, az áramforráson kívül Φ = 0, ezért ρ = 0 (fémekben az elektronok pozitív ionok között haladnak, elektrolitokban egyenl arányban vannak jelen anionok és kationok). Potenciál meghatározása általában nehéz; drótvezet k (szigetel be ágyazott elhanyagolható keresztmetszet vezet ) esetén egyszer bb.

6 3. OHM-TÖRVÉNY Az Ohm-törvény és a Kirchho-törvények Egyenletes F keresztmetszet egyenes drótvezet esetén j=σ E párhuzamos a vezet tengelyével drót keresztmetszetei ekvipotenciális felületek, és mindegyiken azonos I = j F áram folyik keresztül. I = j F = σ E F = σf δφ l = δφ R ahol δφ az egymástól l távolságra lév keresztmetszetek potenciálkülönbsége, és R = l σf a vezet darab ellenállása (Ohm-törvény). Ellenállás gyakorlati egysége az Ohm (Ω).

7 3. OHM-TÖRVÉNY 0-6 Zárt vezet kör elektromotoros ereje (áramforrásokból) ˆ U = E d r Ohm törvénye zárt vezet körre: RI = U, ahol R a kör teljes ellenállása, U az elektromotoros ereje, és I a rajta átfolyó áram. Gyakori elektrotechnikai probléma: drótvezet kb l álló hálózatban adott az egyes körök elektromotoros ereje és a vezet szakaszok ellenállásai; határozzuk meg az egyes szakaszokon átfolyó áramot. Kirchho els törvénye: egy áramelágazási pontból kifolyó áramok el jeles összege zérus (töltésmegmaradás). n I k = k=1 n ˆ k=1 F k j d f = ˆ V div j d 3 r = 0

8 3. OHM-TÖRVÉNY 0-7 V: elágazási pontot tartalmazó kicsiny gömb, melyb l a vezetékdarabok az F 1,..., F n keresztmetszeteket vágják ki. Kirchho második törvénye: egy olyan zárt körben, melyben az R k ellenállású és U k elektromotoros erej szakaszon I k áram folyik keresztül R k I k = k k U k Ha ugyanis a megfelel szakasz végpontjainak potenciálkülönbsége δφ k, akkor Ohm törvénye szerint R k I k = δφ k + U k Összegezve a vezet szakaszokra, zárt kör mentén a potenciálkülönbségek összege zérus (rot E = 0 miatt). Több lineáris egyenlet, mint ahány ismeretlen (de nem függetlenek).

9 4. JOULELENZ-TÖRVÉNY Egyenáramok h hatása: a JouleLenz-törvény Tapasztalat: vezet ben folyó áram hatására h fejl dik. Energiamérleg disszipatív tagja (Joule-h ) ˆ V ˆ j kond E d 3 r = V j 2 σ d3 r JouleLenz-törvény: állandó F keresztmetszet, l hosszúságú, I áram által átjárt homogén drótvezet esetén az id egység alatt termelt h j 2 F l σ = I2 l σf = I2 R

10 5. ELEKTROLITOK Folyadékok vezet képessége Els fajú (fémes) vezet k: pozitív fémionok kristályrácsának terében kvázi szabadon mozgó elektrongáz. Másodfajú vezet k (elektrolitok): sók és savak vizes oldatában pozitív és negatív ionok rendezett mozgása. Ion: elektromosan töltött atom vagy atomcsoport. Elektrolitikus disszociáció: oldott anyag molekulái pozitív és negatív ionokra esnek szét a h mozgás és a poláros molekulák kölcsönhatása eredményeként. Rekombináció: különböz töltés ionok semleges molekulává egyesülnek (dinamikus egyensúlyban a disszociációval). Gyenge (híg) oldatokban gyakorlatilag minden molekula disszociált, nagy

11 5. ELEKTROLITOK 0-10 koncentráció esetén a disszociált molekulák száma az összes molekula számának négyzetgyökével arányos. Másodfajú vezet kben az elektromos áramot elektrolízis kíséri, szemben az els fajú vezet kkel (elektrolízis: elektródákon kiválnak az oldat alkotóelemei vagy másodlagos reakciók termékei). Elektródák: anód (pozitív) és katód (negatív). Pozitív töltés kationok (fémek és hidrogén ionjai) a katód felé, negatív töltés anionok (savgyökök és hidroxilionok) az anód felé mozognak. Faraday törvényei az elektrolízisr l: I. az elektródon kiváló anyag tömege arányos az elektroliton áthaladó töltés nagyságával (arányossági tényez = elektrokémiai egyenérték). II. elemek elektrokémiai egyenértéke egyenesen arányos atomsúlyukkal, és fordítva arányos vegyértékükkel.

12 6. GÁZOK VEZETŽKÉPESSÉGE Gázok vezet képessége Gázokban elektromosan semleges atomok és molekulák normál körülmények között szigetel k. Ionizáció: elektronok leszakadása a gázmolekulákról ionizáló sugárzás, ütközések, h mozgás, stb. következtében. Ionizált gáz (pl. plazma: ionoszféra, csillagok és csillagközi felh k anyaga) jó vezet. Térfogati (elektronok ütközése gázmolekulákkal) és felületi (katódra becsapódó pozitív ionok elektronokat löknek ki) ionizáció. Önálló gázkisülés: küls ionizáló hatás megsz nte után is fennmarad. Paschen-törvény: átütési feszültség a nyomás és az elektródák távolságának a szorzatától függ. Kis nyomáson ködfénykisülés, magasabb nyomáson korona- (St. Elmo), nyaláb-, szikra- (villám) és ívkisülés.

13 7. LÉGKÖRI ELEKTROMOSSÁG Légköri elektromosság Térer sség a Föld felszínének közelében: 100 V/m, lefelé irányul (nem érezzük, mert testünk földelt elektrolit, ezért ekvipotenciális). Potenciálkülönbség felszín és fels légkör (50 km) között kb. 400 kv. Leveg jó szigetel, de nagy magasságban (ionoszféra) jó vezet ionizált atomok jelenléte miatt (ionizáció n a magassággal nem a radioaktivitásból, hanem a kozmikus sugárzásból származik). Árams r ség kb A/m 2, teljes áram 1800 A fél óra alatt kiegyenlít dnének a töltések, ha nem lenne állandó utánpótlás. Áramer sség napi ingadozása ±15% (egyidej, mert ionoszférában nagy vezet képesség); csúcsa egybeesik zivatartevékenység csúcsával. Kb. 300 zivatar naponta (egész Földön): villámlás negatív töltéseket

14 7. LÉGKÖRI ELEKTROMOSSÁG 0-13 szállít a felszínre. Egy-egy villám kb C töltést szállít, és kb. 5 s kell a felh újratöltéséhez az áramer sség 4 A. Zivatarfelh teteje (6-7 km) pozitív, alja (3-4 km) negatív (töltés eredete: légáramlatok + vízcseppek és jégdarabok). Felh aljának potenciálja felszínhez viszonyítva MV ívkisülés. El villám: szakaszosan közelíti meg a felszínt, negatív töltéseket hordozva kialakítja a kisülési csatornát. Felszín elérése után negatív töltések robbanásszer en kitódulnak f villám (fény- és hangjelenség, felfelé halad, áramer sség csúcsértéke kb. 10 ka). Ezután sötét villám-f villám sorozatok (néha akár 50) gyors egymásutánban. Kb. 100 m magasság elérésekor kisülés indul a talajból, ezért gyakoribb a becsapódás magas és hegyes tárgyakba (villámhárító).

15 8. BIOTSAVART-TÖRVÉNY Egyenáramok mágneses tere: a BiotSavarttörvény Oersted: áramtól átfolyt vezet körül az áram irányára mer leges mágneses tér alakul ki. rot H = 4π c j div B=0 miatt létezik olyan A vektormez (vektorpotenciál), hogy B = rot A Homogén izotrop közegben 4πµ c j = rot rot A = grad div A A

16 8. BIOTSAVART-TÖRVÉNY 0-15 Mértékinvariancia: A nincs egyértelm en meghatározva, hozzáadható egy tetsz leges ψ( r) skalárfüggvény gradiense: A = A+grad ψ ugyanazt a B-t adja, mint A. Kiköthetjük div A= 0 mértékfeltételt, így a vektoriális Poisson-egyenlet adódik. A = 4πµ c j Elektrosztatikai analógia alapján (inhomogén közegben nem érvényes) A( r) = µ c ˆ j ( R ) r R d 3 R H= 1 µ rot A nem függ µ-t l, szemben B-vel.

17 8. BIOTSAVART-TÖRVÉNY 0-16 Drótvezet esetén j( r) d 3 r = Id r, ezért A( r) = µi c ˆ dr r R BiotSavart-törvény: H( r) = I c ˆ ( r R ) dr r R 3 Példa: végtelen hosszú egyenes vezet mágneses tere. Vezessünk be hengerkoordinátákat (z-tengely párhuzamos a vezet vel): r(ρ, φ, z)=ρ cos φ e x + ρ sin φ e y + z e z és R(u)=u ez

18 8. BIOTSAVART-TÖRVÉNY 0-17 d R = e z du és ( r R ) d R = ρ e φ du. H( r) = I c e φ ˆ du ( ρ 2 + (u z) 2) 3/2 = 2I cρ e φ H iránya azimutális, nagysága fordítva arányos a vezet t l mért ρ távolsággal. Alternatív megoldás: hengerszimmetria miatt H nagysága csak a vezet t l mért ρ távolságtól függhet, és H-nak nem lehet sem sugárirányú (div H = 0 miatt), sem vezet vel párhuzamos (rot H = 4π j c miatt) komponense H(ρ, φ, z) = h(ρ) e φ Ampère-törvény szerint, a vezet t koncentrikusan körülölel, arra mer -

19 8. BIOTSAVART-TÖRVÉNY 0-18 leges síkban fekv ρ sugarú kör mentén integrálva 4π c I(ρ) = ˆ ˆ H( r) d r = h(ρ) e φ ρ e φ dφ = 2πρh(ρ) ahol I(ρ) a ρ sugarú keresztmetszeten átfolyó áram. Innen h(ρ) = 2I(ρ) cρ Ha a kör keresztmetszet, R sugarú vezet ben az árameloszlás egyenletes, akkor Iρ 2 R 2 I(ρ)= I 0<ρ<R ρ R és H(ρ) = 2Iρ cr 2 2I cρ 0<ρ<R ρ R

20 9. ANYAGOK MÁGNESES TULAJDONSÁGAI Anyagok mágneses tulajdonságai Vákuumban B = H, általában B = H + 4π M, ahol M a mágneses polarizáció vektora (közeg mágneses momentums r sége). H küls mágneses mez jelenlétében általában B = µ H és M = κ mh lineáris összefüggések (µ a közeg mágneses permeabilitása, κ m = µ 1 4π a mágneses szuszceptibilitás). Permanens mágnes belsejében M 0, a küls mez t l függetlenül. Ampère: molekuláris köráramok. Jó kvalitatív magyarázat, de kvantitatív jóslásra alkalmatlan. Modern magyarázat: mikroszkopikus összetev k (atomok és molekulák) momentumai kvantumos eredet ek, ezek ered je M. Küls tér ezen momentumokat rendezi egy irányba (ellentétes folyamat h mozgásból), illetve új momentumokat indukál.

21 9. ANYAGOK MÁGNESES TULAJDONSÁGAI 0-20 Diamágneses polarizáció: mágneses momentummal nem rendelkez atomokban (molekulákban) küls térrel ellentétes (Lenz-szabály) irányú momentum indukálódik, azaz κ m <0 és µ<1. Minden esetben jelentkezik, de hatása viszonylag kicsi. Nem h mérsékletfügg (kivéve anomális diamágneseknél). Diamágneses anyagok: nemesgázok, Zn, Au, Hg, Si, szerves vegyületek (κ m 10 8 ), grat, Bi, Sb (anomális diamágnesek, κ m 10 5 ), szupravezet k (µ = 0 és κ m = 1 /4π, tökéletes diamágnesek). Paramágneses polarizáció: atomok (molekulák) meglév mágneses momentumai beállnak a küls tér irányába (κ m >0, azaz µ>1), annak hiányában h mozgás miatt kioltják egymást h mérsékletfüggés (Curie-Weisstörvény). Hatása jóval nagyobb a diamágneses polarizációnál és azzal ellentétes irányú. Fémek esetében elektrongáz paramágneses járuléka (nem h mérsékletfügg ).

22 9. ANYAGOK MÁGNESES TULAJDONSÁGAI 0-21 Paramágneses anyagok: platinacsoport elemei, vascsoport elemeinek sói, H 2, O 2, alkálifémek (h mérséklet-független κ m 10 8 ), stb. Ferromágneses polarizáció: makroszkopikus kiterjedés ( cm) domének rendez dése a mez irányába, az egyes doméneken belül a mikroszkopikus momentumok párhuzamosak a kölcsönhatásuk er ssége miatt (nagy ered mágneses momentum). Nagyon magas szuszceptibilitás, h mérsékletfügg (paramágneses átmenet a Curie-h mérsékleten). Hiszterézis (mágnesezettség függ az el élett l, nem csak a küls mez er sségét l), remanencia (permanens polarizáció fennmaradása küls térer sség elt nésekor). Ferromágneses anyagok: vascsoport elemei (Fe, Co, Ni), mágneses vegyületek,... Antiferromágneses anyagok, ferritek, stb.

23 9. ANYAGOK MÁGNESES TULAJDONSÁGAI 0-22

24 10. TENGERI KÁBEL Energiaáramlás elektromos vezetékben Végtelen hosszú, R 1 sugarú, kör keresztmetszet, egyenes vezet, amelyet vele koncentrikus R 2 > R 1 sugarú hengeres szigetel réteg vesz körül, a tér többi részét vezet közeg tölti ki (tengeri kábel). A vezet n I er sség áram folyik keresztül, a töltés a küls közegen át áramlik vissza. Hengerkoordinátákban (z-tengely a vezet középvonala) a mágneses tér azimutális (párhuzamos e φ -vel), és nagysága H(ρ, φ, z) = 2Iρ cr1 2 2I cρ 0<ρ<R 1 ρ R 1 mert az árams r ség elt nik a végtelen küls közegben.

25 10. TENGERI KÁBEL 0-24 Vezet belsejében az elektromos térer sség E = 1 σ j = I πr 2 1 σ e z A küls közegben E = 0 (mivel ott j = 0). Szigetel burokban E = grad Φ és Φ = 0 (nincsenek térfogati töltések). Illesztési feltételek: E tangenciális komponense folytonosan változik Φ z = E z = I πr1 2 σ ρ=r 1 0 ρ=r 2 Hengerszimmetria miatt Φ nem függ φ-t l, és az illesztési feltétel szerint

26 10. TENGERI KÁBEL 0-25 E z = Φ z független z-t l alakú. Φ = 1 ρ Φ(ρ, φ, z) = f(ρ)z ( ρ Φ ) ρ ρ Poisson-egyenletbe behelyettesítve ( ρ f(ρ) ) ρ ρ + 1 ρ 2 2 Φ φ Φ z 2 = 0 = 0 aminek megoldása f(ρ) = A log ρ + B

27 10. TENGERI KÁBEL 0-26 A és B integrációs állandók illesztési feltételekb l ( ) Φ = f(r 1 ) = I z ρ=r 1 πr1 2σ és ( ) Φ = f(r 2 ) = 0 z ρ=r 2 Innen A = I πr 2 1 σ log R 1 R 2 B = I log R 2 πr 2 1 σ log R 1 R 2 és Φ(ρ, φ, z) = Iz πr 2 1 σ log ρ log R 2 log R 1 log R 2

28 10. TENGERI KÁBEL 0-27 Szigetel burokban az elektromos térer sség radiális komponense E ρ = Φ ρ = Iz πr 2 1 σ log R 1 R 2 ρ Vezet belsejében az energia árams r sége (Poynting-vektor) S = I 2 ρ 2π 2 σr1 4 e z e φ = I2 ρ 2π 2 σr1 4 e ρ Radiális irányú nem a vezet szállítja az energiát! ρ<r 1 sugarú, l hosszúságú hengerfelület belsejébe id egységenként beáramló energia ˆ S d f = I 2 l πρ 2 σ ( ρ R 1 ) 4 = I(ρ) 2 R(ρ)

29 10. TENGERI KÁBEL 0-28 ahol R(ρ) = l πρ 2 σ és ( ) 2 ρ I(ρ) = I R 1 a vizsgált vezet darab ellenállása, ill. a rajta átfolyó áram er ssége. Energiaáram a Joule-h t fedezi. A szigetel burokban E = E z e z + E ρ e ρ, ezért S = c 4π 2I cρ {E z(ρ, z) e z e φ + E ρ (ρ, z) e ρ e φ } = I 2πρ {E ρ(ρ, z) e z E z (ρ, z) e ρ } Els tag a kábel menti energiaáramlás (szigetel rétegben megy végbe), második tag a vezet be beáramló, ott disszipálódó energiát fedezi.

30 10. TENGERI KÁBEL 0-29 A szigetel b l a vezet l hosszúságú szakaszába átáramló energia ˆ S d f = ˆ l 0 ˆ 2π 0 I 2πR 1 E z (R 1, z) e ρ e ρ R 1 dφdz I = 2πR 1 l E z (R 1, z) = 2πR 1 I2 l πr 2 1 σ = I2 R ahol R = a vizsgált vezet szakasz ellenállása. l πr 2 1 σ Töltésáramlás irányára mer leges keresztmetszeten egységnyi id alatt átáramló energia

31 10. TENGERI KÁBEL 0-30 ˆ S d f = ˆ R2 R 1 ˆ 2π 0 I 2πρ E ρ(ρ, z) ρdρdφ = I 2 z πr1 2σ log R log R 2 = 1 R R 1 2 I2 z πr 2 1 σ = IδΦ Teljesítmény = áramer sség potenciálkülönbség! Fogyasztóhoz az energia a kábel szigetel burkában jut el, nem a vezet belsejében, az csak az áramlás irányát határozza meg, illetve a töltéshordozók mozgását teszi lehet vé!