Elektroszatika 0-0. Nyugvó töltések elektromos mezejének vizsgálata. nincs töltésáramlás, se konvektív, se konduktív ( j = 0)

Átírás

1 0-0 Elektroszatika Nyugvó töltések elektromos mezejének vizsgálata. nincs töltésáramlás, se konvektív, se konduktív ( j = 0) térjellemz k nem változnak az id során (id deriváltak elt nnek) mágneses mez t gyelmen kívül hagyjuk ( H= B= 0) Maxwell-egyenletek: div D = 4πρ rot E = 0 Anyagi összefüggés: D=ε E (kivéve elektrétek).

2 1. ELEKTROSZTATIKUS POTENCIÁL Elektrosztatikus potenciál rot E = 0 miatt létezik olyan Φ skalármez (elektrosztatikus potenciál ), hogy E = grad Φ Φ csak egy additív konstans erejéig van deniálva gyakran úgy normálhatjuk, hogy Φ( ) = 0. r2 Fizikai értelmezés: r 1 qe( r) d r = qφ( r 1 ) qφ( r 2 ) munkát kell végeznünk ahhoz, hogy egy q nagyságú ponttöltést a r 1 pontból a r 2 pontba vigyünk (nem függ az úttól: az er tér konzervatív ). Gauss-törvény(homogén, izotrop közeg) Poisson-egyenlet Φ= div grad Φ= div E= 1 ε div D= 4π ε ρ

3 2. PONTTÖLTÉS POTENCIÁLJA Ponttöltés potenciálja q nagyságú ponttöltés az origóban. Gömbszimmetrikus töltéseloszlás Φ( r) csak r -t l függ. (r, φ, ϑ) gömbi koordinátákban Φ = 2 Φ r r Φ r + 1 r 2 sin 2 ϑ ρ=0 az origón kívül, és Φ csak r-t l függ d 2 Φ dr r Φ( ) = 0 normálást kielégít megoldás 2 Φ φ r 2 2 Φ ϑ 2 + dφ dr = 0 cos ϑ r 2 sin ϑ Φ ϑ Φ = A r

4 2. PONTTÖLTÉS POTENCIÁLJA 0-3 V R : R > 0 sugarú gömb. V R -ben az összes töltés mennyisége q (R értékét l függetlenül) ˆ D d f = 4πq Másrészt V R D = εgrad Φ = εa r r 3 V R mentén D párhuzamos d f-fel, és nagysága q = 1 4π ˆ D = εa R 2, így V R D d f = εa 4πR 2 4πR2 = εa R-ben elhelyezked ponttöltés potenciálja Φ( r) = q ε r R

5 2. PONTTÖLTÉS POTENCIÁLJA 0-4 Töltést l mért távolsággal fordítva arányos! ( E = grad Φ = q r ) R ε r R Coulomb-törvény: nyugvó töltések között ható elektrosztatikus er arányos a töltések szorzatával, és fordítva arányos távolságuk négyzetével. Poisson-egyenlet lineáris általános megoldás ponttöltések szuperpoziciójából ( ) ( ) Φ( r) = 1 ˆ ρ R ˆ ε r R d 3 R 1 η R + ε r R d f Használatához szükséges ismerni az összes töltést (polarizációból és/vagy megosztásból származókat is). 3

6 3. PONTSZER DIPÓLUS ELEKTROSZTATIKUS TERE Pontszer dipólus elektrosztatikus tere q és q nagyságú ponttöltés, a a kett t összeköt vektor ( q-ból q-ba mutató): R a dipólus (középpontjának) helyvektora, p = q a a dipólmomentuma, és az egyes töltések helyvektorai. R ± = R ± a 2 A potenciál Φ( r) = q ε r R + q ε r R = q ε ( r R r R ) + r R + r R ( w 2 w + 2) = q ε w + w ( w + w + )

7 3. PONTSZER DIPÓLUS ELEKTROSZTATIKUS TERE 0-6 ahol w ± = r R ±. Másrészt ( w 2 w + 2 = w w w + w + =( w + w + ) ( w w + )=2 a r R ) A dipólustól nagy távolságra (ahol r R a ) w + w r R így Φ( r) = q ε ( 2 a r R ) 2 r R 3 = ( p r R ) ε r R 3 = 1 ε p grad 1 r R a sorfejtés vezet tagja ( a 0 határesetben a pontos kifejezést kapjuk). Az elektromos térer sség hengerszimmetrikus, és nagysága a távolság köbével fordítva arányos (dipólus az origóban) ( ) E( r) = grad Φ = 1 3 ( p r) r ε r 5 p r 3

8 3. PONTSZER DIPÓLUS ELEKTROSZTATIKUS TERE 0-7 pontszer dipólusok közötti er a távolságuk negyedik hatványával fordítva arányos. V korlátos térrészbe koncentrált töltéseloszlás, ρ( r) térfogati töltéss r - séggel ( ) Φ( r) = 1 ˆ ρ R ε V r R d 3 R Milyen a mez nagy távolságra a töltésekt l? r akkor van nagy távolságra V-t l, ha r R minden V-beli R pontra (origót válasszuk V belsejében). R r esetén Taylor-sorfejtés. 1 r R = 1 r + r r 3 R +

9 3. PONTSZER DIPÓLUS ELEKTROSZTATIKUS TERE 0-8 töltésrendszert l nagy távolságra Φ( r) = 1 ˆ 1 ( ) ˆ ε r ρ R d 3 R 1 + ε V V r ( ) r 3 ρ R Rd 3 R + = Q ε r + p r ε r 3 + multipól-kifejtés. Q = ( ) ( ) V ρ R d 3 R a töltésrendszer teljes töltése, p = V ρ R Rd 3 R a dipólmomentuma. Q 0 esetén nagy távolságból olyan, mintha összes töltés az origóban lenne: töltésrendszer ponttöltésként viselkedik. Q = 0 (töltéssemleges eloszlás) esetén dipólus tag dominál, feltéve, hogy p 0 (dipólus-közelítés). p = 0 esetén magasabb (kvadrupól, stb.) tagok megjelenése.

10 4. FOLYTONOS DIPÓLELOSZLÁSOK Folytonos dipóleloszlások Kett sréteg: olyan felületi dipóluseloszlás, ahol az elemi dipólmomentumok normális irányúak (felület két oldala ellentétes töltés ). Jellemzése ν( r) skaláris felületi dipólmomentum-s r séggel ( f felületelem dipólmomentuma p( r) = ν( r) f). Kett sréteg potenciálja az elemi dipólusok potenciáljainak összege Φ( r) = p i ( r ) ( )( R i i ε r R 3 = 1 ˆ ν R r ) R ε i r R 3 d f Potenciál nem folytonos, ugrása a kett sréteg mentén Φ + ( r) Φ ( r)=4πν( r) Elektrét: metastabil állapot, térfogati P( r) dipóleloszlással ( V térfogatú térrész dipólmomentuma p( r) = P( r) V ).

11 4. FOLYTONOS DIPÓLELOSZLÁSOK 0-10 A potenciál Φ( r) = i p i ( r R ) i ε r R 3 i = 1 ε ˆ ( r R ) r R ( ) P R 3 d 3 R Felhasználva az ( r R ) r R 3 P( r)= grad 1 r R P( r)= div P( r) r R + div P( r) r R azonosságot, azt kapjuk, hogy Φ( r) = 1 ε ˆ V div P ˆ r R d 3 R 1 + ε V P r R d f Olyan a potenciál, mintha div P térfogati és P felületi töltéss r ség keltené (polarizációs töltések ).

12 5. DIELEKTRIKUMOK POLARIZÁCIÓJA Dielektrikumok polarizációja Dielektrikumot küls er tér polarizálja, abban térfogati dipólmomentums r séget indukál. Termikus uktuációk (h mozgás) a polarizáció csökkenése irányában hatnak, a dipólusok irányainak véletlenszer vé tétele révén. Deformációs polarizáció (elektronpolarizáció): molekulák elektronfelh inek deformációja, miáltal dipólmomentum indukálódik; apoláros molekulák (pl. H 2, CH 4, stb.) esetén az egyetlen releváns jelenség, de minden esetben fellép. Orientációs polarizáció: poláros molekulák (pl. H 2 O, NH 3, stb.) momentumainak a küls tér irányába történ befordítása (h mérséklet és frekvencia függ ). Ritka gázok esetében domináns eektusok (molekuláris dipólusok nem hatnak kölcsön).

13 5. DIELEKTRIKUMOK POLARIZÁCIÓJA 0-12 S r ség növekedésével dipólusok közelednek polarizáció nagyobb, mint ha csak küls tér okozná (pl. folyadékok). Kristályos anyagok (pl. NaCl) esetén új mechanizmus: ionos polarizáció során ellentétes töltés ionok ellentétes irányban mozdulnak el. Elektrétekben állandó dipólmomentum-s r ség (termikus uktuációk ritkák a rácspontokban elhelyezked poláros molekulák momentumának átfordításához szükséges túl nagy energiaigény miatt). Ferroelektromos anyagokban (pl. bárium-titanát, kálium-dihidrogénfoszfát) er s dipól-dipól kölcsönhatás miatt makroszkopikus domének (minden elemi dipólus párhuzamos) makroszkopikus dipólmomentum. Magas h mérsékleten doméneken belüli momentum változás ritka domének momentumai egyszerre fordulnak nagy szuszceptibilitás. H mérséklet csökkenésével szuszceptibilitás növekszik a T c Curie-h mérsékletig (fordítva arányos T T c -vel), az alatt állandó dipólmomentums r ség.

14 5. DIELEKTRIKUMOK POLARIZÁCIÓJA 0-13 Homogén, izotrop közegben, D = ε E anyagi összefüggés esetén Poissonegyenlet megoldása Φ = Φ v + Φ d. Φ v vákuumbeli, míg Φ d a dielektrikum polarizációjából származó potenciáljárulék. miatt Φ d = Φ Φ v = 4πρ ε Φ d ( r) = 1 ε ε ˆ 4π (1 ε) 4πρ= ρ ε ( ) ρ R r R d 3 R Gauss-törvény következtében ezért ρ= 1 4π div D= ε 4π div E

15 5. DIELEKTRIKUMOK POLARIZÁCIÓJA 0-14 Φ d ( r) = 1 ε ˆ 4π = 1 ε ˆ 4π div E r R d 3 R ( ) E R div r R grad 1 r R E ( ) R d3 R adódik, felhasználva a div(φ v) = grad Φ v+φ div v azonosságot. Els tag integrálja zérus (végtelen távoli felületre vett integrál) ˆ Φ d ( r) = grad 1 r R P ( ) R d 3 R ahol P = ε 1 4π E polarizációs töltéss r ség ρ p = div P = 1 ε ε ρ. D = E + 4π P eltolási vektor teljesíti a div D = 4πρ Gauss-törvényt. Ponttöltések közötti er lecsökken polarizálható közegben (árnyékolás).

16 6. VEZETŽK ELEKTROSZTATIKUS TÉRBEN Vezet k elektrosztatikus térben Küls tér hatására vezet ben található szabad töltéshordozók elmozdulnak (konduktív áramok lépnek fel). Sztatikában nincsenek mozgó töltések elektromos térer sség zérus kell legyen vezet belsejében! Kontinuitási egyenlet + Ohm-törvény: ρ exponenciálisan csökken az id vel a vezet belsejében (töltések kiszorulnak a vezet felületére); felületi töltéseloszlás pont olyan, hogy leárnyékolja a küls (vezet n kívüli) elektrosztatikus teret. E = 0 miatt Φ potenciál konstans a vezet ben elektródák ekvipotenciális tartományok! grad Φ = 4π η mer leges a vezet felületére, ahol η a felületi töltéss - r ség (illesztési feltételb l, vezet körül vákuum).

17 6. VEZETŽK ELEKTROSZTATIKUS TÉRBEN 0-16 Töltött vezet gömb elektrosztatikus tere vákuumban Töltése Q, sugara R, a felületi töltéss r ség ( izotropia miatt egyenletes eloszlású) η = Q 4πR 2 Nincs kitüntetett irány Φ = Φ(r) (gömbi koordináták), a Poissonegyenlet Φ = d2 Φ dr dφ r dr = 0 Megoldása Φ = A + B r. Két tartomány: vezet gömb belseje (r < R) és külseje (r > R) esetén más-más megoldások. Bels tartományban a potenciál konstans (mert ekvipotenciális): Φ = A. Küls tartományban Φ elt nik a végtelenben Φ= B r.

18 6. VEZETŽK ELEKTROSZTATIKUS TÉRBEN 0-17 Két tartomány határán potenciál folytonos Φ(R)=A= B R, másrészt Q R 2 = 4πη = az illesztési feltételb l lim grad Φ lim grad Φ = B r R r R+ R 2 Φ( r) = E( r) = Q R Q r 0 Q r r 3 ha r < R ha r > R ha r < R ha r > R r > R esetén (küls tartomány) olyan a potenciál, mintha az egész töltés az origóban lenne.

19 6. VEZETŽK ELEKTROSZTATIKUS TÉRBEN 0-18 Ponttöltés tere földelt vezet sík közelében (tükrözési módszer) Földelt vezet féltért l d távolságra elhelyezked q nagyságú ponttöltés tere. Töltésmegosztás következtében felületi töltéss r ség indukálódik a vezet felületén (leárnyékolja a ponttöltés terét a vezet belsejében). Vezet felülete az xy-sík, ponttöltés a z-tengely mentén (d e z a helyvektora). Feltételek: 1. Φ = 0 Poisson-egyenlet a vezet n kívül; 2. Φ=0 a vezet belsejében és felületén, azaz Φ(x, y, 0)=0; 3. Gauss-törvény: D felületi integrálja a ponttöltést körülvev R < d sugarú gömbfelületre = 4πq.

20 6. VEZETŽK ELEKTROSZTATIKUS TÉRBEN 0-19 Képzeljünk el egy q nagyságú virtuális töltést a sík túloldalán d távolságra, a d e z helyvektorú pontban (tükörtöltés). Valódi és virtuális ponttöltések potenciáljainak szuperpozíciója Φ(x, y, z) = q 1 1 ε x 2 + y 2 + (z d) 2 x 2 + y 2 + (z + d) 2 1. Poisson-egyenlet teljesül z > 0-ra (mindkét tag teljesíti); 2. Φ(x, y, 0) = 0 peremfeltétel teljesül; 3. tükörtöltés az z = 0 sík túloldalán Gauss-törvény teljesül. q 1 1 ha z >0 Φ(x, y, z)= ε x 2 +y 2 +(z d) 2 x 2 +y 2 +(z+d) 2 0 ha z <0

21 6. VEZETŽK ELEKTROSZTATIKUS TÉRBEN 0-20 Elektromos térer sség: E= grad Φ= q r d e z ε (x 2 + y 2 + (z d) 2) 3/2 r + d e z (x 2 + y 2 + (z + d) 2) 3/2 Az xy-sík mentén (a z > 0 féltérb l közelítve) E(x, y, 0)= 2q ε d e z (x 2 + y 2 + d 2 ) 3 /2 Innen az illesztési feltétel miatt η(x, y) = qd 2π e z (x 2 + y 2 + d 2 ) 3 /2 A felületen indukált töltés (a végtelenb l áramlik be a földelés miatt) Q = ˆ z=0 + η d f = η(x, y) dxdy = q

22 7. KONDENZÁTOR KAPACITÁSA Kondenzátor kapacitása Kondenzátor: töltött elektródák szigetel vel (esetleg vákuum) elválasztva (fontos az elektrotechnikában). Elektromos töltés tárolására alkalmas (de lassan kisül). Fajtái: sík, henger, gömb, stb. Kapacitás: töltés és potenciálkülönbség hányadosa C = Q Φ + Φ Síkkondenzátor: két nagyméret ('végtelen'), egymással párhuzamos síklap azonos nagyságú, de ellentétes el jel felületi töltéssel. Elektródák legyenek az x = d 2 és x = d 2 felületi töltéss r séggel. síkok, η és +η egyenletes Φ csak x-t l függ, és kondenzátoron kívül (x< d 2 és x> d 2 ) nem észlelni

23 7. KONDENZÁTOR KAPACITÁSA 0-22 töltést potenciál konstans Φ(x, y, z) = { Φ x< d 2 Φ + x> d 2 d 2 <x< d 2 tartományban Poisson-egyenlet megoldása Φ(x,y,z)=Ax+B. Nincs kett sréteg Φ folytonos az elektródáknál ( Φ ± = Φ ± d ) = ±A d B εe x ugrása x=± d 2 -nél ±4πη, ezért εa = 4πη és Φ + Φ = 2A d 2 = 4πηd ε Véges síkkondenzátor esetén C = εf távolságuk. 4πd, ahol F a lemezek felülete és d a Gömbkondenzátor: C = εr 1R 2 R 2 R 1, ahol R 1 ill. R 2 a bels (küls ) sugár.

24 8. ELEKTROSZTATIKUS ENERGIA Elektrosztatikus tér energiája; Thomson tétele Homogén izotrop szigetel tölti ki a V térrészt, amelyet Q 1, Q 2,..., Q n töltés és Φ 1, Φ 2,..., Φ n potenciálú F 1,..., F n vezet elektródák határolnak. ˆ E E = D 8π d3 r = 1 ˆ grad Φ 8π D d 3 r Felhasználva, hogy D grad Φ = div V V ( ΦD ) Φdiv D és div D = 4πρ E = 1 8π ˆ V { div ( ΦD ) } 4πΦρ d 3 r = 1 2 ˆ V Φρ d 3 r 1 8π ˆ V Φ D d f

25 8. ELEKTROSZTATIKUS ENERGIA 0-24 Φ állandó az egyes elektródák mentén ˆ ˆ ΦD d f = Φ k D d f = Φk ( 4πQ k ) F k F k Mivel V = F F n, így E = 1 ˆ Φρ d 3 r V 2 n Φ k Q k k=1 Thomson tétele: amennyiben ismert a közeg dielektromos állandója, a térfogati töltéss r ség és a közeget határoló vezet elektródák töltései, akkor az elektrosztatikai feladat megoldása egyértelm, és a Maxwellegyenleteknek a peremfeltételeket kielégít megoldásai közül a minimális energiájú.