A Maxwellegyenletek. Elektromágneses térjellemz k: E( r, t) és H( r, t) térer sségek, D( r, t) elektromos eltolás és B( r, t) mágneses indukció.
|
|
- Edit Sarolta Péterné
- 5 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 A Maxwellegyenletek Elektromágneses térjellemz k: E( r, t) és H( r, t) térer sségek, D( r, t) elektromos eltolás és B( r, t) mágneses indukció. Milyen általános, a konkrét szituációtól (pl. közeg anyagi összetétele) független összefüggések, 'téregyenletek' állnak fenn a térjellemz k között? Elektromágneses mez forrásai az elektromos töltések és áramok, melyek eloszlását a ρ( r, t) töltés- és J( r, t) árams r ségek jellemzik (nem függetlenek, összekapcsolja ket a lokális töltésmegmaradást kifejez kontinuitási egyenlet).
2 1 A KONTINUITÁSI EGYENLET 1 A kontinuitási egyenlet Tekintsünk egy ρ( r, t) s r ség folytonos töltéseloszlást, és jelölje J( r, t) az árams r ség vektorát. A lokális töltésmegmaradás következtében egy, az id során nem változó térbeli tartomány belsejében található Q(t) = ρ( r, t) d 3 r töltés id egység alatti megváltozása egyenl a határán id egység alatt áthaladó J( r, t) d s töltéssel (a negatív el jel J deníciójának következménye), azaz dq dt = ˆ ρ r d3 = J( r, t) d s
3 1 A KONTINUITÁSI EGYENLET Innen, a Gausstétel felhasználásával ˆ ˆ ρ r d3 = div J d 3 r tartomány tetsz leges integrandusok egyenl ek ρ + div J = 0 kontinuitási egyenlet Észrevétel. Kontinuitási egyenlet általános alakja ϱ A + div j A = σ A ahol ϱ A a térfogati és j A az árams r sége az A mennyiségnek, míg σ A jelöli annak forráss r ségét, azaz az egységnyi térfogatban egységnyi id alatt termel d mennyiségét (megmaradó mennyiségekre σ A zérus).
4 2 A MAXWELLEGYENLETEK 2 A Maxwellegyenletek Kvázi-stacionárius jelenségek alaptörvényei div D = 4πρ rot H = 4π c J Gausstörvény Ampèretörvény div B = 0 rot E = 1 c B mágneses Gausstörvény Faradaytörvény Ampèretörvény és kontinuitási egyenlet ρ = div J = c 4π div rot H = 0 miatt csak id ben állandó töltéss r ség esetén kompatibilis egymással.
5 2 A MAXWELLEGYENLETEK Maxwell felismerése: Ampèretörvény kiegészítése! Kontinuitási egyenlet következtében div ( rot H 4π c J ) = 4π c div J= 4π c ρ = 1 c (div D) =div ( 1 c D ) ezért rot H = 4π c J + 1 c D Korrekciós tag: eltolási áram (kvázi-stacionárius esetben elhanyagolható). Nem csak a mozgó töltések, de az id ben változó elektromos mez is lehet a mágneses mez forrása forrásoktól távol is létezhet elektromágneses mez (elektromágneses hullámok).
6 2 A MAXWELLEGYENLETEK ektoriális Maxwellegyenletek: rot H = 4π c J + 1 c rot E = 1 c Skaláris Maxwellegyenletek: B D Ampèretörvény Faradaytörvény div D = 4πρ div B = 0 elektromos Gausstörvény mágneses Gausstörvény Kompatibilitási feltétel ρ + div J = 0 kontinuitási egyenlet
7 2 A MAXWELLEGYENLETEK Források: ρ( r, t) skalár- és J( r, t) vektormez (nem függetlenek, összeköti ket a kontinuitási egyenlet). Ismeretlenek: H( r, t), E( r, t), B( r, t) és D( r, t) vektormez k, összesen 12 független vektorkomponenssel. Két vektoriális + két skaláris Maxwellegyenlet összesen = 8 egyenlet 12 ismeretlen függvény között (alulhatározott egyenletrendszer) egyértelm megoldáshoz szükség van a közeg tulajdonságait leíró D = D( E, H) B = B( E, H) anyagi összefüggések gyelembevételére.
8 2 A MAXWELLEGYENLETEK Marad 8 összefüggés 6 független vektorkomponens között (túlhatározott egyenletrendszer), de és ( ) div B ( B ) = div = c div rot E = 0 ( ) div D 4πρ ( D ) ρ = div 4π = div ( c rot H 4π J ) + 4πdiv J = 0 a kontinuitási egyenlet következtében skaláris Maxwell-egyenletek kezdeti feltételek szerepét játsszák (elég egyetlen pillanatban teljesülniük, hogy mindig teljesüljenek).
9 2 A MAXWELLEGYENLETEK A Maxwellegyenletek egy els rend lineáris parciális dierenciálegyenletrendszert alkotnak, ez az elektromágneses mez alaptörvényeinek lokális (pontról pontra teljesül ) alakja. Érvényességi feltétel: térjellemz k hely- és id függése sima (folytonosan dierenciálható), és az elektromágneses kölcsönhatás lokális, azaz a környezet hatása csak a vizsgált térrész határán jelentkezik ('közelhatás', ellentétben pl. a gravitációs er vel). Mér berendezések véges kiterjedés ek kísérletileg csak integrális összefüggések vizsgálhatók. Kapcsolat lokális és integrális megfogalmazás között: integráltételek.
10 2 A MAXWELLEGYENLETEK Alaptörvények integrális alakja S S H( r, t) d r = 4π c I + 1 ˆ d D( r, t) d s c dt S E( r, t) d r = 1 ˆ d B( r, t) d s c dt S D( r, t) d s = 4πQ B( r, t) d s = 0 ahol I a S felületen id egység alatt keresztülfolyó töltés mennyisége, míg Q a tartományban található teljes elektromos töltés.
11 2 A MAXWELLEGYENLETEK Különböz közegek határán térjellemz k nem folytonosak. Térjellemz k ugrását leíró illesztési feltételek az alaptörvények integrális alakjából (speciálisan választott S és révén). n ( H + H ) = 4π J c f n ( E + E ) = 0 n ( D + D ) = 4πη n ( B + B ) = 0
12 3 ELEKTROMÁGNESES POTENCIÁLOK 3 Elektromágneses potenciálok és mértékinvariancia Maxwell-egyenletek rot H = 4π c J + 1 c div D = 4πρ D Ampèretörvény Gausstörvény rot E = 1 c div B = 0 B Faradaytörvény mágneses Gausstörvény
13 3 ELEKTROMÁGNESES POTENCIÁLOK div B=0 mágneses Gauss-törvény következtében létezik olyan A( r, t) vektormez (vektorpotenciál), amelyre B( r, t) = rot A Innen, a Faradaytörvény alapján rot E = 1 c B = 1 c ( ) ( rot A = rot 1 c A ) vagyis ( rot E 1 + c A ) = 0 létezik olyan Φ( r, t) skalármez (skalárpotenciál), amellyel E( r, t) = grad Φ 1 c A
14 3 ELEKTROMÁGNESES POTENCIÁLOK Elektromágneses mez jellemzése Φ és A elektromágneses potenciálokkal. Mértékinvariancia: tetsz leges ψ( r, t) skalármez re Φ = Φ 1 ψ c A = A + grad ψ ugyanazt az elektromágneses mez t írják le, mint Φ és A! és E = grad Φ 1 ( A c = grad Φ 1 ) ψ c 1 c = grad Φ 1 c A = E ( A+ grad ψ ) B = rot A =rot ( A + grad ψ ) =rot A+rot grad ψ = B Elektromágneses potenciálok nem egyértelm ek!
15 3 ELEKTROMÁGNESES POTENCIÁLOK Észrevétel. Ha ψ( r, t) kielégíti a ψ α c 2 ψ 2 = div A α Φ parciális dierenciálegyenlet, ahol α tetsz leges konstans paraméter (ilyen ψ mindig létezik), akkor div A ( ) + α Φ =div A+grad ψ +α ( Φ 1 c mindig el írható a ψ ) =0 div A + α Φ = 0 Lorentzmértékl
16 4 ELEKTROMÁGNESES DUALITÁS 4 Elektromágneses dualitás Forrásmentes rot H = 1 D c rot E = 1 B c div D = 0 div B = 0 Maxwellegyenletek szimmetrikusak a térjellemz k E H D B cseréjére. Források asszimmetriája mágneses monopólusok hiánya miatt!
17 4 ELEKTROMÁGNESES DUALITÁS Szimmetria visszaállítható ktív mágneses töltések bevezetésével: rot H = 4π c J e + 1 c rot E = 4π c J m 1 c D B div D = 4πρ e div B = 4πρ m szimmetrizált egyenletek alakja nem változik E H Je J m D B ρ e ρ m csere során, ahol ρ m ( r, t) a mágneses töltéss r ség és J m ( r, t) a mágneses árams r ség.
18 4 ELEKTROMÁGNESES DUALITÁS Szimmetrizált egyenletek invariánsak a sokkal általánosabb E cos(ξ) E sin(ξ) H H sin(ξ) E + cos(ξ) H Je cos(ξ) J e sin(ξ) J m Jm sin(ξ) J e + cos(ξ) J m D cos(ξ) D sin(ξ) B B sin(ξ) D + cos(ξ) B ρ e cos(ξ) ρ e sin(ξ) ρ m ρ m sin(ξ) ρ e + cos(ξ) ρ m dualitási transzformációkra (ξ valós paraméter)! Ha minden elemi részecske (elektron, proton, stb.) mágneses és elektromos töltésének κ hányadosa ugyanakkora, akkor ρ m ( r, t) = κρ e ( r, t), és ξ = arctan(κ) paraméter dualitási transzformáció eltünteti ρ m -et és Jm -et Maxwell-egyenletek szokásos alakja. Kísérleti korlát: κ proton <
19 5 AZ ELEKTROMÁGNESES MEZŽ ENERGIAS R SÉGE 5 Az elektromágneses mez energias r sége Energiamegmaradás: különböz energiafajták (mechanikai, kémiai, termikus, elektromágneses, stb.) összege egy adott térbeli tartomány belsejében csak a határon keresztülfolyó energiamennyiséggel változhat meg. izsgáljunk egy ρ( r, t) s r ség folytonos töltéseloszlást vákuumban, amely egy küls elektromágneses mez ben v( r, t) sebességgel mozog. Nincs jelen anyagi közeg csak két energiafajta jöhet számításba: mechanikai (töltéshordozók kinetikus energiája) és elektromágneses. E = E kin + E em
20 5 AZ ELEKTROMÁGNESES MEZŽ ENERGIAS R SÉGE Egységnyi térfogatban található töltéshordozókra kifejtett er f = ρ E + ρ c v B Egységnyi térfogatban található töltéshordozókon t id alatt végzett munka W = f r = ρ { E + 1 c v B } v t = (ρ v) E t Töltésáramlás vákuumban tisztán konvektív, így ρ v = J konv = J, és ezért W = J E t Energiamegmaradás: töltéshordozók kinetikus energiájának megváltozása = elektromágneses mez által rajtuk végzett munka. E kin = ˆ ˆ W d 3 r = t J E d3 r
21 5 AZ ELEKTROMÁGNESES MEZŽ ENERGIAS R SÉGE kinetikus energia változási sebessége de kin dt = ˆ J( r, t) E( r, t) d3 r Az Ampèretörvény alapján J E = { c 4π rot H 1 4π felhasználva a D } E = c E rot 4π H 1 E 4π D = c H rot 4π E c 4π div ( E H) 1 E 4π E E rot H = H rot E div ( E H) vektoranalitikai összefüggést.
22 5 AZ ELEKTROMÁGNESES MEZŽ ENERGIAS R SÉGE A Faradaytörvényb l így c H rot 4π E = 1 H 4π B c J E = 4π div ( E H) 1 E 4π D 1 H 4π B Mivel vákuumban (vagy bármely más izotrop közegben) D és E, valamint B és H párhuzamos egymással, végül ahol és J E = u div S u = 1 8π ( E D + H B) S = c 4π E H energiamérleg
23 5 AZ ELEKTROMÁGNESES MEZŽ ENERGIAS R SÉGE Észrevétel. vákuumban u = E 2 + H 2 8π 0 és általában is belátható, hogy u nemnegatív. Tekintsünk egy olyan, az összes töltést tartalmazó tartományt melynek határán az elektromágneses mez elt nik. Mivel a belsejében található töltések nem hatnak kölcsön se mechanikailag, se elektromágnesesen a külvilággal (zárt rendszert alkotnak), ezért a -ben tárolt teljes E = E kin + E em energia megmarad: de em dt = de kin dt ˆ = ˆ J E d3 r = ( ) u + div S d 3 r
24 5 AZ ELEKTROMÁGNESES MEZŽ ENERGIAS R SÉGE A Gausstétel alapján ˆ div S d 3 r = S d s és a felületi integrál zérus, mivel a térer sségek elt nnek a határon de em = d ˆ u( r, t) d 3 r dt dt Egy id t l független tag erejéig u( r, t) d 3 r adja a -ben tárolt elektromágneses energiát u( r, t) az elektromágneses mez energias r sége! Tekintsünk most egy olyan tartományt, amely egyetlen töltést sem tartalmaz, és ezért a belsejében J = 0. Mivel, a fentiek alapján, u az elektromágneses energias r ség, ezért a -ben tárolt elektromágneses
25 5 AZ ELEKTROMÁGNESES MEZŽ ENERGIAS R SÉGE energia változási sebessége de em = d {ˆ } ˆ u( r, t) d 3 r = dt dt ˆ u r d3 = div S d 3 r = S d s De mivel belsejében nincsenek töltések, ezért az elektromágneses energia csak úgy változhat, ha energia áramlik át a határon S d s az id egység alatt -n átfolyó elektromágneses energia S = c 4π E H Poyntingvektor az elektromágneses mez energiaáram-s r sége.
26 5 AZ ELEKTROMÁGNESES MEZŽ ENERGIAS R SÉGE Teljes általánosságban, amikor mind konvektív, mind konduktív áramokat megengedünk, az energiamérleget integrálva -re de kin + de em + dt dt Jkonv E + u + div S = J kond E S d s = ˆ ( J kond E) d 3 r Baloldalon a mechanikai és elektromágneses energia változási sebességének, valamint a határon id egység alatt átáramló energiának az összege áll jobb oldali tag a fenti energiafajták képz dését vagy elt nését, más szóval azok disszipációját, a véletlen h mozgás kinetikus energiájává való átalakulását írja le (Joule-h ).
27 6 A FESZÜLTSÉGTENZOR 6 A Maxwell-féle feszültségtenzor és az impulzusmérleg Tekintsük a T = 1 { } E D + H B 1 { } E D + H B 1 4π 8π Maxwell-féle feszültségtenzort. A diadikus szorzatok divergenciájára vonatkozó általános összefüggések révén belátható, hogy vákuumban div T = 1 { (div E) 4π E E rot E + (div H) H H rot H }
28 6 A FESZÜLTSÉGTENZOR Figyelembe véve a rot H = 4π c J + 1 c rot E = 1 c H E div H = 0 div E = 4πρ vákuumbeli Maxwellegyenleteket, adódik a div T=ρ E + 1 E 4πc H 1 H c J 1 H 4πc E = f + g impulzusmérleg: itt f = ρ E + 1 c J H az egységnyi térfogatra ható Lorentzer, és g = 1 4πc E H
29 6 A FESZÜLTSÉGTENZOR izsgáljunk egy tartományt, amely az összes forrást töltéseket és áramokat tartalmazza, és amely el van szigetelve a környezett l (az elektromágneses mez elt nik a határán). A divergencia-tétel alapján ˆ f d3 r + d dt (ˆ ) g d 3 r = ˆ (div T) d 3 r = T d s = 0 mivel T zérus a határán. De F= f d3 r az elektromágneses mez által a -re kifejtett teljes er, vagyis az egységnyi id alatt az elektromágneses mez által a -beli forrásoknak átadott impulzus impulzusmegmaradás miatt g( r, t) d 3 r az elektromágneses mez impulzusa, így g az elektromágneses mez impulzuss r sége!
30 6 A FESZÜLTSÉGTENZOR Ha a mez nem t nik el határán, akkor a fentiek alapján T d s a -beli teljes (mechanikai + elektromágneses) impulzus a T tenzor az elektromágneses mez impulzusáram-s r sége. Elektromágneses impulzus kísérleti kimutatása: fénynyomás (pl. üstökösök csóvája). Észrevétel. A g impulzuss r ség és az S energiaáram-s r ség (Poynting vektor) közti g = 1 c 2 S összefüggés az elektromágneses kölcsönhatás végtelen hatótávolságával kapcsolatos.
31 7 TOÁBBI MEGMARADÁSI TÉTELEK 7 További megmaradási tételek Noethertétel: zikai rendszer szimmetriái megmaradó mennyiségek. id homogenitása tér homogenitása tér izotropiája mértékinvariancia energia impulzus impulzusmomentum töltés Elektromágneses mez impulzusmomentum-s r sége l = r g míg a forgatónyomaték-s r ség r f.
32 7 TOÁBBI MEGMARADÁSI TÉTELEK Izotrop közegben, az impulzusra vonatkozó mérlegegyenletb l l = div( r T) r f Az impulzusmomentum megmarad, és árams r sége r T. Sok más további megmaradó mennyiség, pl. az elektromágneses kiralitás, melynek s r sége χ = E rot E + H rot H és árams r sége X = E E + H H
Elektromágneses alapjelenségek
0-0 I. rész Elektromágneses alapjelenségek Thalész (i.e. 600 körül): gyapjúval dörzsölt borostyánk ('élektron') az apróbb tárgyakat magához vonzza, majd eltaszítja. Dörzsölés hatására a testek elektromos
RészletesebbenMágnesség. 1. Stacionárius áramok mágneses mezeje. Oersted (1820): áramvezet drót közelében a mágnest az áram irányára
1 STACIONÁRIUS ÁRAMOK MÁGNESES MEZEJE Mágnesség 1. Stacionárius áramok mágneses mezeje Oersted (1820): áramvezet drót közelében a mágnest az áram irányára mer legesen áll be elektromos töltések áramlása
RészletesebbenAlapjelenségek. 1. Elektromos töltések és kölcsönhatásaik. Thalész meggyelése: gyapjúval dörzsölt borostyánk magához vonz, illetve
1 ELEKTROMOS TÖLTÉSEK Alapjelenségek 1. Elektromos töltések és kölcsönhatásaik Thalész meggyelése: gyapjúval dörzsölt borostyánk magához vonz, illetve eltaszít apró, könny tárgyakat. Elektromos töltés:
RészletesebbenElektromágneses hullámok
Bevezetés a modern fizika fejezeteibe 2. (a) Elektromágneses hullámok Utolsó módosítás: 2015. október 3. 1 A Maxwell-egyenletek (1) (2) (3) (4) E: elektromos térerősség D: elektromos eltolás H: mágneses
RészletesebbenElektroszatika 0-0. Nyugvó töltések elektromos mezejének vizsgálata. nincs töltésáramlás, se konvektív, se konduktív ( j = 0)
0-0 Elektroszatika Nyugvó töltések elektromos mezejének vizsgálata. nincs töltésáramlás, se konvektív, se konduktív ( j = 0) térjellemz k nem változnak az id során (id deriváltak elt nnek) mágneses mez
RészletesebbenAz Ampère-Maxwell-féle gerjesztési törvény
Az Ampère-Maxwell-féle gerjesztési törvény Maxwell elméleti meggondolások alapján feltételezte, hogy a változó elektromos tér örvényes mágneses teret kelt (hasonlóan ahhoz ahogy a változó mágneses tér
RészletesebbenElektro- és magnetosztatika, áramkörök
1. fejezet Elektro- és magnetosztatika, áramkörök Coulomb- és Gauss-törvény, szuperpozíció elve, stacionárius áram. Vezet k, szigetel k, dielektrikumok, kondenzátor, magnetosztatika. Stacionárius áram,
RészletesebbenFizika 1 Elektrodinamika beugró/kis kérdések
Fizika 1 Elektrodinamika beugró/kis kérdések 1.) Írja fel a 4 Maxwell-egyenletet lokális (differenciális) alakban! rot = j+ D rot = B div B=0 div D=ρ : elektromos térerősség : mágneses térerősség D : elektromos
RészletesebbenFizika A2 Alapkérdések
Fizika A2 Alapkérdések Az elektromágnesség elméletében a vektorok és skalárok (számok) megkülönböztetése nagyon fontos. A következ szövegben a vektorokat a kézírásban is jól használható nyíllal jelöljük
RészletesebbenLagrange és Hamilton mechanika
Lagrange és 2010. október 17. Lagrange és Tartalom 1 Variáció Lagrange egyenlet Legendre transzformáció Hamilton egyenletek 2 3 Szimplektikus sokaság Hamilton mez Hamilton és Lagrange egyenletek ekvivalenciája
Részletesebben-2σ. 1. A végtelen kiterjedésű +σ és 2σ felületi töltéssűrűségű síklapok terében az ábrának megfelelően egy dipól helyezkedik el.
1. 2. 3. Mondat E1 E2 Össz Energetikai mérnöki alapszak Mérnöki fizika 2. ZH NÉV:.. 2018. május 15. Neptun kód:... g=10 m/s 2 ; ε 0 = 8.85 10 12 F/m; μ 0 = 4π 10 7 Vs/Am; c = 3 10 8 m/s Előadó: Márkus
RészletesebbenMágneses monopólusok?
1 Mágneses monopólusok? (Atomcsill 2015 február) Palla László ELTE Elméleti Fizikai Tanszék 2 Maxwell egyenletek potenciálok, mértéktranszformáció legegyszerűbb e.m. mezők A klasszikus e g rendszer A monopólus
RészletesebbenTARTALOMJEGYZÉK EL SZÓ... 13
TARTALOMJEGYZÉK EL SZÓ... 13 1. A TÖLTÉS ÉS ELEKTROMOS TERE... 15 1.1. Az elektromos töltés... 15 1.2. Az elektromos térer sség... 16 1.3. A feszültség... 18 1.4. A potenciál és a potenciálfüggvény...
RészletesebbenTárgymutató. dinamika, 5 dinamikai rendszer, 4 végtelen sok állapotú, dinamikai törvény, 5 dinamikai törvények, 12 divergencia,
Tárgymutató állapottér, 3 10, 107 általánosított impulzusok, 143 147 általánosított koordináták, 143 147 áramlás, 194 197 Arisztotelész mozgástörvényei, 71 77 bázisvektorok, 30 centrifugális erő, 142 ciklikus
RészletesebbenFizika A2 Alapkérdések
Fizika A2 Alapkérdések Összeállította: Dr. Pipek János, Dr. zunyogh László 20. február 5. Elektrosztatika Írja fel a légüres térben egymástól r távolságban elhelyezett Q és Q 2 pontszer pozitív töltések
RészletesebbenAlapjelenségek. 1. Elektromos töltések és kölcsönhatásaik. Thalész meggyelése: gyapjúval dörzsölt borostyánk magához vonz, illetve
1 ELEKTROMOS TÖLTÉSEK Alapjelenségek 1. Elektromos töltések és kölcsönhatásaik Thalész meggyelése: gyapjúval dörzsölt borostyánk magához vonz, illetve eltaszít apró, könny tárgyakat. Elektromos töltés:
RészletesebbenElektromágneses sugárzás
0-0 Elektromágneses sugárzás Maxwell-egyenletek források (töltések és áramok) hiányában rot H = 1 D c t rot E = 1 B c t div D = 0 div B = 0 valamint D=D( E) és B=B( H) anyagi összefüggések. Létezik nem-triviális
RészletesebbenFizika II minimumkérdések. A zárójelben lévő értékeket nem kötelező memorizálni, azok csak tájékoztató jellegűek.
izika II minimumkérdések zárójelben lévő értékeket nem kötelező memorizálni, azok csak tájékoztató jellegűek. 1. Coulomb erőtörvény: = kq r 2 e r (k = 9 10 9 m2 C 2 ) 2. Coulomb állandó és vákuum permittivitás
RészletesebbenElektromos áramerősség
Elektromos áramerősség Két különböző potenciálon lévő fémet vezetővel összekötve töltések áramlanak amíg a potenciál ki nem egyenlítődik. Az elektromos áram iránya a pozitív töltéshordozók áramlási iránya.
RészletesebbenAtomok és molekulák elektronszerkezete
Atomok és molekulák elektronszerkezete Szabad atomok és molekulák Schrödinger egyenlete Tekintsünk egy kvantummechanikai rendszert amely N n magból és N e elektronból áll. Koordinátáikat jelölje rendre
RészletesebbenVezetők elektrosztatikus térben
Vezetők elektrosztatikus térben Vezető: a töltések szabadon elmozdulhatnak Ha a vezető belsejében a térerősség nem lenne nulla akkor áram folyna. Ha a felületen a térerősségnek lenne tangenciális (párhuzamos)
Részletesebben1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények
1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények 1.1. Dierenciálhatóság 1.1. deníció. Legyen a z 0 pont az f(z) függvény értelmezési tartományának torlódási
RészletesebbenElektrodinamika. Maxwell egyenletek: Kontinuitási egyenlet: div n v =0. div E =4 div B =0. rot E = rot B=
Elektrodinamika Maxwell egyenletek: div E =4 div B =0 rot E = rot B= 1 B c t 1 E c t 4 c j Kontinuitási egyenlet: n t div n v =0 Vektoranalízis rot rot u=grad divu u rot grad =0 div rotu=0 udv= ud F V
RészletesebbenFizika 1 Elektrodinamika belépő kérdések
Fizika 1 Elektrodinamika belépő kérdések 1) Maxwell-egyenletek lokális (differenciális) alakja rot H = j+ D rot = B div B=0 div D=ρ H D : mágneses térerősség : elektromos megosztás B : mágneses indukció
RészletesebbenBevezetés a modern fizika fejezeteibe. 4. (e) Kvantummechanika. Utolsó módosítás: december 3. Dr. Márkus Ferenc BME Fizika Tanszék
Bevezetés a modern fizika fejezeteibe 4. (e) Kvantummechanika Utolsó módosítás: 2014. december 3. 1 A Klein-Gordon-egyenlet (1) A relativisztikus dinamikából a tömegnövekedésre és impulzusra vonatkozó
RészletesebbenLendület. Lendület (impulzus): A test tömegének és sebességének szorzata. vektormennyiség: iránya a sebesség vektor iránya.
Lendület Lendület (impulzus): A test tömegének és sebességének szorzata. vektormennyiség: iránya a sebesség vektor iránya. Lendülettétel: Az lendület erő hatására változik meg. Az eredő erő határozza meg
RészletesebbenIdegen atomok hatása a grafén vezet képességére
hatása a grafén vezet képességére Eötvös Loránd Tudományegyetem, Komplex Rendszerek Fizikája Tanszék Mahe Tisk'11 Vázlat 1 Kisérleti eredmények Kémiai szennyez k hatása a Fermi-energiára A vezet képesség
RészletesebbenStacionárius töltésáramlás
1 BEVEZETÉS Stacionárius töltésáramlás 1 Bevezetés Stacionárius (id független) konduktív töltésáramlást ('egyenáram') megengedve, de minden más id beli változást kizárva id független térjellemz k és J
RészletesebbenStacionárius töltésáramlás (egyenáramok)
0-0 Stacionárius töltésáramlás (egyenáramok) Id ben állandó konduktív áramok és elektromágneses térjellemz k. Mozgó töltések mágneses mez hatására eltérülnek mozgó töltések mágneses mez t keltenek. div
RészletesebbenVégeselem modellezés alapjai 1. óra
Végeselem modellezés alapjai. óra Gyenge alak, Tesztfüggvény, Lagrange-féle alakfüggvény, Stiness mátrix Kivonat Az óra célja, hogy megismertesse a végeselem módszer (FEM) alkalmazását egy egyszer probléma,
RészletesebbenKvantummechanika gyakorlat Beadandó feladatsor Határid : 4. heti gyakorlatok eleje
Kvantummechanika gyakorlat 015 1. Beadandó feladatsor Határid : 4. heti gyakorlatok eleje 1. Mutassuk meg, hogy A és B tetsz leges operátorokra igaz, hogy e B A e B = A + [B, A] + 1![ B, [B, A] ] +....
RészletesebbenA spin. November 28, 2006
A spin November 28, 2006 1 A spin a kvantummechanikában Az elektronnak és sok más kvantummechanikai részecskének is van egy saját impulzusnyomatéka amely független a mozgásállapottól. (Úgy is mondhatjuk,
RészletesebbenAbszolút folytonos valószín ségi változó (4. el adás)
Abszolút folytonos valószín ségi változó (4. el adás) Deníció (Abszolút folytonosság és s r ségfüggvény) Az X valószín ségi változó abszolút folytonos, ha van olyan f : R R függvény, melyre P(X t) = t
RészletesebbenAz elektromágneses tér energiája
Az elektromágneses tér energiája Az elektromos tér energiasűrűsége korábbról: Hasonlóképpen, a mágneses tér energiája: A tér egy adott pontjában az elektromos és mágneses terek együttes energiasűrűsége
RészletesebbenParciális dierenciálegyenletek
Parciális dierenciálegyenletek 2009. május 25. A félév lezárásaként néhány alap-deníciót és alap-példát szeretnék adni a Parciális Dierenciálegynletek (PDE) témaköréb l. Épp csak egy kis izelít t. Az alapfeladatok
RészletesebbenFizika. Fizika. Nyitray Gergely (PhD) PTE PMMIK február 13.
Fizika Nyitray Gergely (PhD) PTE PMMIK 017. február 13. A lejtő mint kényszer A lejtő egy ún. egyszerű gép. A következő problémában először a lejtőt rögzítjük, és egy m tömegű test súrlódás nélkül lecsúszik
RészletesebbenElektromágneses hullámok
Elektromágneses hullámok Maxwell-egyenletek töltések és áramok hiányában rot H = 1 D c t rot E = 1 B c t div E = 0 div H = 0 Energiát és impulzust (impulzusmomentumot, stb.) szállító nem-triviális megoldások
RészletesebbenÉgés és oltáselmélet I. (zárójelben a helyes válaszra adott pont)
Égés és oltáselmélet I. (zárójelben a helyes válaszra adott pont) 1. "Az olyan rendszereket, amelyek határfelülete a tömegáramokat megakadályozza,... rendszernek nevezzük" (1) 2. "Az olyan rendszereket,
RészletesebbenAZ ELEKTRON MÁGNESES MOMENTUMA. H mágneses erœtérben az m mágneses dipólmomentummal jellemzett testre M = m H forgatónyomaték hat.
AZ ELEKTRON MÁGNESES MOMENTUMA Mágneses dipólmomentum: m H mágneses erœtérben az m mágneses dipólmomentummal jellemzett testre M = m H forgatónyomaték hat. M = m H sinϕ (Elektromos töltés, q: monopólus
Részletesebben2. (d) Hővezetési problémák II. főtétel - termoelektromosság
2. (d) Hővezetési problémák II. főtétel - termoelektromosság Utolsó módosítás: 2015. március 10. Kezdeti érték nélküli problémák (1) 1 A fél-végtelen közeg a Az x=0 pontban a tartományban helyezkedik el.
RészletesebbenPótlap nem használható!
1. 2. 3. Mondat E1 E2 Össz Gépészmérnöki alapszak Mérnöki fizika 2. ZH NÉV:.. 2018. november 29. Neptun kód:... Pótlap nem használható! g=10 m/s 2 ; εε 0 = 8.85 10 12 F/m; μμ 0 = 4ππ 10 7 Vs/Am; cc = 3
RészletesebbenA TételWiki wikiből. A Maxwell-egyenletek
1 / 6 A TételWiki wikiből 1 A Maxwell-egyenletek 2 Indukció 2.1 Nyugalmiindukció 2.2 Mozgásiindukció 2.3 Kölcsönös- és önindukció 3 Az elektromágneses tér makroszkópikus mennyiségei 3.1 Energia 3.2 Impulzus
Részletesebbenhttp://www.nature.com 1) Magerő-sugár: a magközéppontból mért távolság, ameddig a magerők hatótávolsága terjed. Rutherford-szórásból határozható meg. R=1,4 x 10-13 A 1/3 cm Az atommag terének potenciálja
RészletesebbenSkalár: egyetlen számadattal (+ mértékegység) jellemezhető mennyiség. Azonos dimenziójú skalár mennyiségek - mértékegység-konverzió után -
1 ALAPFOGALMAK Vektoranalízis 1. Alapfogalmak Skalár: egyetlen számadattal (+ mértékegység) jellemezhető mennyiség. Azonos dimenziójú skalár mennyiségek - mértékegység-konverzió után - összehasonlíthatóak
RészletesebbenLássuk be, hogy nem lehet a három pontot úgy elhelyezni, hogy egy inerciarendszerben
Feladat: A háromtest probléma speciális megoldásai Arra vagyunk kiváncsiak, hogy a bolygó mozgásnak milyen egyszerű egyensúlyi megoldásai vannak három bolygó esetén. Az így felmerülő három-test probléma
RészletesebbenMegoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1
Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =
RészletesebbenA mechanikai alaptörvények ismerete
A mechanikai alaptörvények ismerete Az oldalszám hivatkozások a Hudson-Nelson Útban a modern fizikához c. könyv megfelelő szakaszaira vonatkoznak. A Feladatgyűjtemény a Mérnöki fizika tárgy honlapjára
RészletesebbenA +Q töltés egy L hosszúságú egyenes szakasz mentén oszlik el egyenletesen (ld ábra ábra
. Gyakorlat 4B-9 A +Q töltés egy L hosszúságú egyenes szakasz mentén oszlik el egyenletesen (ld. 4-6 ábra.). Számítsuk ki az E elektromos térerősséget a vonal irányában lévő, annak.. ábra. 4-6 ábra végpontjától
RészletesebbenFogalmi alapok Mérlegegyenletek
1. Fogalmi alapok Mérlegegyenletek Utolsó módosítás: 2013. február 11. A transzportfolyamatokról általában 1 A természetben lezajló folyamatok leírására szolgáló összefoglaló elmélet, amely attól függetlenül
RészletesebbenGyakorlat 30B-14. a F L = e E + ( e)v B képlet, a gravitációs erőt a (2.1) G = m e g (2.2)
2. Gyakorlat 30B-14 Az Egyenlítőnél, a földfelszín közelében a mágneses fluxussűrűség iránya északi, nagysága kb. 50µ T,az elektromos térerősség iránya lefelé mutat, nagysága; kb. 100 N/C. Számítsuk ki,
RészletesebbenVégeselem analízis. 1. el adás
Végeselem analízis 1. el adás Pere Balázs Széchenyi István Egyetem, Alkalmazott Mechanika Tanszék 2016. szeptember 7. Mi az a VégesElem Analízis (VEA)? Parciális dierenciálegyenletek (egyenletrendszerek)
Részletesebben{ } x x x y 1. MATEMATIKAI ÖSSZEFOGLALÓ. ( ) ( ) ( ) (a szorzás eredménye:vektor) 1.1. Vektorok közötti műveletek
1. MAEMAIKAI ÖSSZEFOGLALÓ 1.1. Vektorok közötti műveletek Azok a fizikai mennyiségek, melyeknek nagyságukon kívül irányuk is van, vektoroknak nevezzük. A vektort egyértelműen megadhatjuk a hosszával és
RészletesebbenVéletlen bolyongás. Márkus László március 17. Márkus László Véletlen bolyongás március / 31
Márkus László Véletlen bolyongás 2015. március 17. 1 / 31 Véletlen bolyongás Márkus László 2015. március 17. Modell Deníció Márkus László Véletlen bolyongás 2015. március 17. 2 / 31 Modell: Egy egyenesen
RészletesebbenOptika és Relativitáselmélet II. BsC fizikus hallgatóknak
Optika és Relativitáselmélet II. BsC fizikus hallgatóknak 2. Fényhullámok tulajdonságai Cserti József, jegyzet, ELTE, 2007. Az elektromágneses spektrum Látható spektrum (erre állt be a szemünk) UV: ultraibolya
Részletesebben1. ábra. 24B-19 feladat
. gyakorlat.. Feladat: (HN 4B-9) A +Q töltés egy hosszúságú egyenes szakasz mentén oszlik el egyenletesen (ld.. ábra.). Számítsuk ki az E elektromos térerősséget a vonal. ábra. 4B-9 feladat irányában lévő,
RészletesebbenELEKTROMOSAN TÖLTÖTT RÉSZECSKÉKET TARTALMAZÓ HOMOGÉN ÉS HETEROGÉN RENDSZEREK A TERMODINAMIKÁBAN
ELEKTOKÉMI ELEKTOMOSN TÖLTÖTT ÉSZECSKÉKET TTLMZÓ HOMOGÉN ÉS HETEOGÉN ENDSZEEK TEMODINMIKÁN Homogén vs. inhomogén rendszer: ha a rendszert jellemz fizikai mennyiségek értéke független vagy függ a helytl.
Részletesebbenmérlegegyenlet. ϕ - valamely SKALÁR additív (extenzív) mennyiség térfogati
ϕ t + j ϕ = 0 mérlegegyenlet. ϕ - valamely SKALÁR additív (extenzív) mennyiség térfogati sűrűsége j ϕ - a ϕ-hez tartozó áramsűrűség j ϕ = vϕ + j rev + j irr vϕ - advekció j rev - egyéb reverzibilis áram
RészletesebbenLászló István, Fizika A2 (Budapest, 2013) Előadás
László István, Fizika A (Budapest, 13) 1 14.A Maxwell-egenletek. Az elektromágneses hullámok Tartalmi kiemelés 1.Maxwell általánosította Ampère törvénét bevezetve az eltolási áramot. szerint ha a térben
RészletesebbenVéletlen jelenség: okok rendszere hozza létre - nem ismerhetjük mind, ezért sztochasztikus.
Valószín ségelméleti és matematikai statisztikai alapfogalmak összefoglalása (Kemény Sándor - Deák András: Mérések tervezése és eredményeik értékelése, kivonat) Véletlen jelenség: okok rendszere hozza
RészletesebbenBeugró kérdések. Elektrodinamika 2. vizsgához. Számítsa ki a gradienst, divergenciát és a skalár Laplace operátort henger koordinátákban!
Beugró kérdések Elektrodinamika 2. vizsgához. Görbült koordináták Henger koordináták: r=(ρ cos φ, ρ sin φ, z) Számítsa ki a gradienst, divergenciát és a skalár Laplace operátort henger koordinátákban!
RészletesebbenSEMMELWEIS EGYETEM. Biofizikai és Sugárbiológiai Intézet, Nanokémiai Kutatócsoport. Zrínyi Miklós
SEMMELWEIS EGYETEM Biofizikai és Sugárbiológiai Intézet, Nanokémiai Kutatósoport Transzportjelenségek az élő szervezetben I. Zrínyi Miklós egyetemi tanár, az MTA levelező tagja mikloszrinyi@gmail.om RENDSZER
Részletesebben9. évfolyam. Osztályozóvizsga tananyaga FIZIKA
9. évfolyam Osztályozóvizsga tananyaga A testek mozgása 1. Egyenes vonalú egyenletes mozgás 2. Változó mozgás: gyorsulás fogalma, szabadon eső test mozgása 3. Bolygók mozgása: Kepler törvények A Newtoni
RészletesebbenAz elméleti mechanika alapjai
Az elméleti mechanika alapjai Tömegpont, a továbbiakban részecske. A jelenségeket a háromdimenziós térben és időben játszódnak le: r helyzetvektor v dr dt ṙ, a dr dt r a részecske sebessége illetve gyorsulása.
Részletesebbena térerősség mindig az üreg falára merőleges, ezért a tér ott nem gömbszimmetrikus.
2. Gyakorlat 25A-0 Tekintsünk egy l0 cm sugarú üreges fémgömböt, amelyen +0 µc töltés van. Legyen a gömb középpontja a koordinátarendszer origójában. A gömb belsejében az x = 5 cm pontban legyen egy 3
RészletesebbenFIZIKA II. Dr. Rácz Ervin. egyetemi docens
FIZIKA II. Dr. Rácz Ervin egyetemi docens Fontos tudnivalók e-mail: racz.ervin@kvk.uni-obuda.hu web: http://uni-obuda.hu/users/racz.ervin/index.htm Iroda: Bécsi út, C. épület, 124. szoba Fizika II. - ismertetés
Részletesebben0,424 0,576. f) P (X 2 = 3) g) P (X 3 = 1) h) P (X 4 = 1 vagy 2 X 2 = 2) i) P (X 7 = 3, X 4 = 1, X 2 = 2 X 0 = 2) j) P (X 7 = 3, X 4 = 1, X 2 = 2)
Legyen adott a P átmenetvalószín ség mátrix és a ϕ 0 kezdeti eloszlás Kérdés, hogy miként lehetne meghatározni az egyes állapotokban való tartózkodás valószín ségét az n-edik lépés múlva Deniáljuk az n-lépéses
RészletesebbenMateFIZIKA: Pörgés, forgás, csavarodás (Vektorok és axiálvektorok a fizikában)
MateFIZIKA: Pörgés, forgás, csavarodás (Vektorok és axiálvektorok a fizikában) Tasnádi Tamás 1 2015. április 17. 1 BME, Mat. Int., Analízis Tsz. Tartalom Vektorok és axiálvektorok Forgómozgás, pörgettyűk
RészletesebbenMatematika (mesterképzés)
Matematika (mesterképzés) Környezet- és Településmérnököknek Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 1 / 29 Lineáris tér,
Részletesebbenazonos sikban fekszik. A vezetőhurok ellenállása 2 Ω. Számítsuk ki a hurok teljes 4.1. ábra ábra
4. Gyakorlat 31B-9 A 31-15 ábrán látható, téglalap alakú vezetőhurok és a hosszúságú, egyenes vezető azonos sikban fekszik. A vezetőhurok ellenállása 2 Ω. Számítsuk ki a hurok teljes 4.1. ábra. 31-15 ábra
Részletesebben2015/16/1 Kvantummechanika B 2.ZH
2015/16/1 Kvantummechanika B 2.ZH 2015. december 10. Információk 0. A ZH ideje minimum 90 perc, maximum 180 perc. 1. Az összesen elérhet pontszám 270 pont. 2. A jeles érdemjegy eléréséhez nem szükséges
Részletesebben1. Példa. A gamma függvény és a Fubini-tétel.
. Példa. A gamma függvény és a Fubini-tétel.. Az x exp x + t )) függvény az x, t tartományon folytonos, és nem negatív, ezért alkalmazható rá a Fubini-tétel. I x exp x + t )) dxdt + t dt π 4. [ exp x +
RészletesebbenExplicit hibabecslés Maxwell-egyenletek numerikus megoldásához
Explicit hibabecslés Maxwell-egyenletek numerikus megoldásához Izsák Ferenc 2007. szeptember 17. Explicit hibabecslés Maxwell-egyenletek numerikus megoldásához 1 Vázlat Bevezetés: a vizsgált egyenlet,
RészletesebbenTermodinamika (Hőtan)
Termodinamika (Hőtan) Termodinamika A hőtan nagyszámú részecskéből (pl. gázmolekulából) álló makroszkópikus rendszerekkel foglalkozik. A nagy számok miatt érdemes a mólt bevezetni, ami egy Avogadro-számnyi
RészletesebbenModellek és Algoritmusok - 2.ZH Elmélet
Modellek és Algoritmusok - 2.ZH Elmélet Ha hibát elírást találsz kérlek jelezd: sellei_m@hotmail.com A fríss/javított változat elérhet : people.inf.elte.hu/semsaai/modalg/ 2.ZH Számonkérés: 3.EA-tól(DE-ek)
RészletesebbenMatematika II. 1 sin xdx =, 1 cos xdx =, 1 + x 2 dx =
Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika II Határozatlan Integrálszámítás d) Adja meg az alábbi alapintegrálokat! x n 1 dx =, sin 2 x dx = d) Adja meg az alábbi alapintegrálokat!
RészletesebbenKirchhoff 2. törvénye (huroktörvény) szerint az áramkörben levő elektromotoros erők. E i = U j (3.1)
3. Gyakorlat 29A-34 Egy C kapacitású kondenzátort R ellenálláson keresztül sütünk ki. Mennyi idő alatt csökken a kondenzátor töltése a kezdeti érték 1/e 2 ed részére? Kirchhoff 2. törvénye (huroktörvény)
RészletesebbenA teljes elektromágneses spektrum
A teljes elektromágneses spektrum Fizika 11. Rezgések és hullámok 2019. március 9. Fizika 11. (Rezgések és hullámok) A teljes elektromágneses spektrum 2019. március 9. 1 / 18 Tartalomjegyzék 1 A Maxwell-egyenletek
Részletesebben5. házi feladat. AB, CD kitér élpárra történ tükrözések: Az ered transzformáció: mivel az origó xpont, így nincs szükség homogénkoordinátás
5. házi feladat 1.feladat A csúcsok: A = (0, 1, 1) T, B = (0, 1, 1) T, C = (1, 0, 0) T, D = ( 1, 0, 0) T AB, CD kitér élpárra történ tükrözések: 1 0 0 T AB = 0 1 0, elotlási rész:(i T AB )A = (0, 0, )
Részletesebbensin x = cos x =? sin x = dx =? dx = cos x =? g) Adja meg a helyettesítéses integrálás szabályát határozott integrálokra vonatkozóan!
Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Analízis II Határozatlan integrálszámítás g) t = tg x 2 helyettesítés esetén mivel egyenlő sin x = cos x =? g) t = tg x 2 helyettesítés esetén
RészletesebbenElektromos alapjelenségek
Elektrosztatika Elektromos alapjelenségek Dörzselektromos jelenség: egymással szorosan érintkező, vagy egymáshoz dörzsölt testek a szétválasztásuk után vonzó, vagy taszító kölcsönhatást mutatnak. Ilyenkor
RészletesebbenGeometriai és hullámoptika. Utolsó módosítás: május 10..
Geometriai és hullámoptika Utolsó módosítás: 2016. május 10.. 1 Mi a fény? Részecske vagy hullám? Isaac Newton (1642-1727) Pierre de Fermat (1601-1665) Christiaan Huygens (1629-1695) Thomas Young (1773-1829)
RészletesebbenA kvantummechanika kísérleti előzményei A részecske hullám kettősségről
A kvantummechanika kísérleti előzményei A részecske hullám kettősségről Utolsó módosítás: 2016. május 4. 1 Előzmények Franck-Hertz-kísérlet (1) A Franck-Hertz-kísérlet vázlatos elrendezése: http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/frhz.html
RészletesebbenAlkalmazás a makrókanónikus sokaságra: A fotongáz
Alkalmazás a makrókanónikus sokaságra: A fotongáz A fotonok az elektromágneses sugárzás hordozó részecskéi. Spinkvantumszámuk S=, tehát kvantumstatisztikai szempontból bozonok. Fotonoknak habár a spinkvantumszámuk,
RészletesebbenHatározott integrál és alkalmazásai
Határozott integrál és alkalmazásai 5. május 5.. Alapfeladatok. Feladat: + d = Megoldás: Egy határozott integrál kiszámolása a feladat. Ilyenkor a Newton-Leibniz-tételt használhatjuk, mely azt mondja ki,
RészletesebbenA Hamilton-Jacobi-egyenlet
A Hamilton-Jacobi-egyenlet Ha sikerül olyan kanonikus transzformációt találnunk, amely a Hamilton-függvényt zérusra transzformálja akkor valamennyi új koordináta és impulzus állandó lesz: H 0 Q k = H P
RészletesebbenA munkavégzés a rendszer és a környezete közötti energiacserének a D hőátadástól eltérő valamennyi más formája.
11. Transzportfolyamatok termodinamikai vonatkozásai 1 Melyik állítás HMIS a felsoroltak közül? mechanikában minden súrlódásmentes folyamat irreverzibilis. disszipatív folyamatok irreverzibilisek. hőmennyiség
Részletesebben3. (b) Kereszthatások. Utolsó módosítás: április 1. Dr. Márkus Ferenc BME Fizika Tanszék
3. (b) Kereszthatások Utolsó módosítás: 2013. április 1. Vezetési együtthatók fémekben (1) 1 Az elektrongáz hővezetési együtthatója A levezetésben alkalmazott feltételek: 1. Minden elektron ugyanazzal
RészletesebbenAz optika tudományterületei
Az optika tudományterületei Optika FIZIKA BSc, III/1. 1. / 17 Erdei Gábor Elektromágneses spektrum http://infothread.org/science/physics/electromagnetic%20spectrum.jpg Optika FIZIKA BSc, III/1. 2. / 17
RészletesebbenAnalitikus térgeometria
Analitikus térgeometria Wettl Ferenc el adása alapján 2015.09.21. Wettl Ferenc el adása alapján Analitikus térgeometria 2015.09.21. 1 / 23 Tartalom 1 Egyenes és sík egyenlete Egyenes Sík 2 Alakzatok közös
RészletesebbenVektorok. Wettl Ferenc október 20. Wettl Ferenc Vektorok október / 36
Vektorok Wettl Ferenc 2014. október 20. Wettl Ferenc Vektorok 2014. október 20. 1 / 36 Tartalom 1 Vektorok a 2- és 3-dimenziós térben 2 Távolság, szög, orientáció 3 Vektorok koordinátás alakban 4 Összefoglalás
RészletesebbenMágneses erőtér. Ahol az áramtól átjárt vezetőre (vagy mágnestűre) erő hat. A villamos forgógépek mutatós műszerek működésének alapja
Mágneses erőtér Ahol az áramtól átjárt vezetőre (vagy mágnestűre) erő hat A villamos forgógépek mutatós műszerek működésének alapja Magnetosztatikai mező: nyugvó állandó mágnesek és egyenáramok időben
RészletesebbenDifferenciálegyenletek numerikus integrálása április 9.
Differenciálegyenletek numerikus integrálása 2018. április 9. Differenciálegyenletek Olyan egyenletek, ahol a megoldást függvény alakjában keressük az egyenletben a függvény és deriváltjai szerepelnek
RészletesebbenAz alábbi fogalmak és törvények jelentését/értelmezését/matematikai alakját (megfelelő mélységben) ismerni kell: Newtoni mechanika
Az alábbi fogalmak és törvények jelentését/értelmezését/matematikai alakját (megfelelő mélységben) ismerni kell: Newtoni mechanika 1. előadás Vonatkoztatási rendszer Hely-idő-tömeg standardok 3-dimenziós
RészletesebbenAxion sötét anyag. Katz Sándor. ELTE Elméleti Fizikai Tanszék
Az axion mint sötét anyag ELTE Elméleti Fizikai Tanszék Borsányi Sz., Fodor Z., J. Günther, K-H. Kampert, T. Kawanai, Kovács T., S.W. Mages, Pásztor A., Pittler F., J. Redondo, A. Ringwald, Szabó K. Nature
RészletesebbenLineáris leképezések. Wettl Ferenc március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések március 9. 1 / 31
Lineáris leképezések Wettl Ferenc 2015. március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések 2015. március 9. 1 / 31 Tartalom 1 Mátrixleképezés, lineáris leképezés 2 Alkalmazás: dierenciálhatóság 3 2- és 3-dimenziós
RészletesebbenIdőben állandó mágneses mező jellemzése
Időben állandó mágneses mező jellemzése Mágneses erőhatás Mágneses alapjelenségek A mágnesek egymásra és a vastárgyakra erőhatást fejtenek ki. vonzó és taszító erő Mágneses pólusok északi pólus: a mágnestű
RészletesebbenAz elektromágneses indukció jelensége
Az elektromágneses indukció jelensége Korábban láttuk, hogy az elektromos áram hatására mágneses tér keletkezik (Ampère-féle gerjesztési törvény) Kérdés, hogy vajon ez megfordítható-e, és a mágneses tér
Részletesebben1. Folytonosság. 1. (A) Igaz-e, hogy ha D(f) = R, f folytonos és periodikus, akkor f korlátos és van maximuma és minimuma?
. Folytonosság. (A) Igaz-e, hogy ha D(f) = R, f folytonos és periodikus, akkor f korlátos és van maimuma és minimuma?. (A) Tudunk példát adni olyan függvényekre, melyek megegyeznek inverzükkel? Ha igen,
RészletesebbenGépészmérnöki alapszak, Mérnöki fizika 2. ZH, december 05. Feladatok (maximum 3x6 pont=18 pont)
1. 2. 3. Mondat E1 E2 NÉV: Gépészmérnöki alapszak, Mérnöki fizika 2. ZH, 2017. december 05. Neptun kód: Aláírás: g=10 m/s 2 ; ε 0 = 8.85 10 12 F/m; μ 0 = 4π 10 7 Vs/Am; c = 3 10 8 m/s Előadó: Márkus /
RészletesebbenUtolsó el adás. Wettl Ferenc BME Algebra Tanszék, Wettl Ferenc (BME) Utolsó el adás / 20
Utolsó el adás Wettl Ferenc BME Algebra Tanszék, http://www.math.bme.hu/~wettl 2013-12-09 Wettl Ferenc (BME) Utolsó el adás 2013-12-09 1 / 20 1 Dierenciálegyenletek megoldhatóságának elmélete 2 Parciális
Részletesebben