A +Q töltés egy L hosszúságú egyenes szakasz mentén oszlik el egyenletesen (ld ábra ábra

Átírás

1 . Gyakorlat 4B-9 A +Q töltés egy L hosszúságú egyenes szakasz mentén oszlik el egyenletesen (ld. 4-6 ábra.). Számítsuk ki az E elektromos térerősséget a vonal irányában lévő, annak.. ábra. 4-6 ábra végpontjától d távolságra lévő P pontban! Mivel a P pont a szakasz meghosszabbításában van és a szakasz töltése pozitív a térerősség vektora a szakasztól el mutat. Válasszuk a koordinátarendszerünket úgy, hogy a szakasz az x tengelyén feküdjön és a P pont legyen az origóban! Osszuk fel a szakaszt kis dx hosszúságú darabokra! Egy ilyen darab töltése dq = dx Q. A teljes térerősség ezen L kis dx szakaszok térerősségeinek összegével közelíthető ami integrállá válik, amennyiben dx 0. A P ponttól x távolságban levő szakasz darabtól származó térerősség nagysága: de(x) = dq x = dx Q L x (.)

2 A teljes térerősség x=d+l E(x) x=d E(x) = Q 4 L π ε 0 = Q 4 L π ε 0 Q dx L x = Q 4 L π ε 0 x=d+l dx x=d x ] x+l [ x d = Q 4 L π ε 0 x=d+l x=d dx x ( d + L + ) = Q ( d 4 L π ε 0 L d(d + L) ) E(x) = Q 4 π ε 0 d(d + L) (.) 4B-0 Egy vékony, nem vezető rudat a 4-7 ábrán vázolt módon meghajlítunk úgy, hogy az egy R sugarú kör íve legyen, mely e kör középpontjából 0 o szög alatt látszik. Legyen.. ábra. 4-7 ábra e hajlított rúdon egyenletes pozitív λ töltéssűrűség. Számítsuk ki az E elektromos tér térerősséget a kör O középpontjában. (Útmutatás: számítsuk ki a dl = Rdθ hosszúságú szakasz dq töltésétől származó de térerősséget. Használjuk ki a rendszer szimmetriatulajdonságát a θ = θ 0 és θ = +θ 0 közötti integrál kiszámításakor.) Osszuk fel a körívet egyenlő dl hosszúságú kis darabokra! A körív középpontjában minden ilyen kis darab térerőssége ugyanakkora: de = λ dl R = λ R dθ = λ dθ R R (.3)

3 nagyságú és az O pontból a körívvel ellentétes irányba mutat. Mivel a vízszintes tengelyre szimmetrikusan, θ és θ szögben elhelyezkedő szakaszoktól származó térerősség nagysága ugyanakkora, és irányuk a vízszintes tengelyre szimmetrikus ezek függőleges komponensei kiejtik egymást: vízszintes komponenseik nagysága pedig összeadódik, az.3. ábra. Az eredő térerősség kiszámításához eredő térerősség kiszámításához elegendő a pozitív θ értékekre, vagyis fél körívre összegezni a de θ térerősségek vízszintes komponensének kétszeresét, azaz de θ cos θ-t. A dl 0 határesetben egy integrált kapunk: azaz θ0 λ E = cos θ dθ = 0 R λ = R [sin θ]θ 0 0 (.4) E = λ πε 0 R sinθ o (.5) 4C-6 Két (fix helyzetű) +Q nagyságú ponttöltés egymástól d távolságra helyezkedik el. Egy harmadik, pozitív q töltést a két előbbi töltést összekötő egyenes mentén mozgatunk. a) Mutassuk meg, hogy ha a q töltést egyensúlyi helyzetéből kissé (x távolságnyira, x d) kimozdítjuk, akkor közelítőleg egyszerű harmonikus rezgő mozgást végez. b) Számítsuk ki az ehhez a mozgáshoz rendelhető k rugóállandót. 3

4 Legyen mindegyik töltés az x tengelyen! Ekkor a q töltés által érzékelt térerősség is x irányú. Mivel mindegyik töltés azonos előjelű a q töltésre a két Q töltéstől ható erők ellentétes irányúak: F bal oldali Qtol = Q q rbal oldali Qtol F jobb oldaliqtol = Q q rjobb oldaliqtol q egyensúlyi helyzete a két +Q töltés között éppen féluton van, ahol a két erő kiegyenlíti egymást. Térítsük ki a q töltést egyensúlyi helyzetétől pozítív irányba. Ekkor a rá ható erők eredője már nem lesz 0, hanem : F = F bal oldali Qtol + F jobb oldali Qtol = [ ] Q q ( d + x) ( Q q d x) (.6) Ha x d, akkor x d is igaz. Legyen d = L! Ekkor d képletben közelíthetőek a következő módon: = L és a nevezők az előző (L ± x) = L (Ez konkrét példákon is ellenőrizhető ) ( ± x L ) L ( ± x ) L ( L x ) L Egy példa: legyen d = 0, vagyis L = 5 és x = 0,0. Ekkor L L = 0, (L + x) ( + x ) = 0, L ( x ) = 0, L 4

5 Tehát F Q q L ( ( x L ) ( + x L ) ) = = Q q L 4 x L = = Q q 4 d 8 x d F = 8 Q q πε 0 x d 3 (.7) Mint látjuk, amennyiben a kitérés sokkal kisebb, mint d, az erő ellentétes irányú és arányos a kitéréssel vagyis valóban harmonikus rezgőmozgásról van szó amelynek rugóállandója 4C-9 k = 8 Q q d 3 πε 0 (.8) Miként az a 4C-9 ábrán látható, egy elektron, amelynek az x o = 0 helyen v o = 0 6 m/s a kezdősebessége, az x tengely pozitív irányában halad olyan tértartományban, ahol az elektromos térerősséget az E x = (4V/m) ( x) függvény adja meg (az x távolságot méterben kell megadni). Számítsuk ki azt a távolságot, ahol az elektron sebessége (legalábbis egy pillanatra) zérussá válik..4. ábra

6 Energiamegmaradás alapján az elektrosztatikus tér helytől függő potenciálja Φ(x) = E(x)dx = 4 ( x) dx = 4 (x + 500x ) (.9) Az elektron helyfüggő potenciális energiája ebben a térben (az eletron töltése negatív) E pot = e Φ(x) = 4 e (x x ) (.0) Az elektron abban az x koordinátájú pontban áll meg amikor minden kinetikus energiáját elveszti. Az elektron potenciális energiájának megváltozása x = x x o úton tehát egyenlő a kezdeti kinetikus energiájával: E pot = E kin,kezdeti E pot = E pot (x) E pot (x o ) = 4 e (x x ) 0 4 e (x x ) = m v o 500 x + x 8 A másodfoku egyenlet megoldása x ± = m e 0 = 0 ± ± + = 000 = ± 4, x + = 3, 67 0 [m] x = 3, 87 0 [m] m e m e = ± 37, A mi esetünkben csak a pozitív eredmény jöhet szóba. 4C-37 Egy vékony, nem vezető, R sugarú gyűrűn nem egyenletes a λ lineáris töltéssűrűség: λ = λ o sin θ, ahol a θ szög a 4-C37 ábra szerint értelmezendő. a) Vázoljuk a gyűrű 6

7 .5. ábra. 4-C37 ábra a feladathoz töltéseloszlását. b) Milyen az E elektromos térerősség iránya a gyűrű középpontjában? c) λ o Mutassuk meg, hogy az elektromos térerősség nagysága a gyűrű középpontjában 4 ε o R. a) b) Osszuk fel a kör kerületét infinitizemálisan kicsi dl szakaszokra. Egy tetszőleges.6. ábra. Töltéssűrűség a szög függvényében. A zöld vonalak 4 olyan szöget jeleznek, ahol a töltéssűrűség abszolút értéke ugyanakkora θ szögnél elhelyezkedő szakasztól származó térerősség iránya vagy megegyezik a szakasztól a középpontig húzott vektor irányával (0 θ π) vagy ellentétes vele (0 θ π). A teljes térerősség az egyes szakaszoktól származó térerősségek összege. A 4-C37m ábrán 7

8 .7. ábra. 4-C37m ábra. Különböző infinitezimális dl szakaszoktól származó térerősségek összegzése. látható, hogy az eredő térerősségben csak az egyes szakaszoktól származó térerősségek függőleges, -y irányú összetevője marad meg. Tehát az eredő térerősség a negatív y tengely irányába mutat. c) Ennek nagysága egy adott θ szög esetén de y (θ) = λ(θ) dl R sin θ (.) ahol dl = R dθ. Szimmetria okok miatt de y (θ) ugyanakkora és ugyanolyan irányú a θ, π θ, π + θ és π θ szögek esetén, ezért elegendő a 0... π tartományra integrálni és 8

9 az eredményt négyszerezni: E y = 4 = 4 = 4 π/ 0 λ o R λ o R = λ o πε 0 R = λ o πε 0 R λ(θ) R sin θ dθ = R π/ 0 π/ 0 [ θ sin θ sin θ dθ = cos θ dθ = ] π/ 0 = [ π ] = (.) ahol felhasználtuk a sin θ = cosθ összefüggést. A végeredmény E y = λ o 4 ε 0 R (.3) 4C-39 Tekintsünk egy egyenletesen feltöltött R sugarú körgyűrűt, és annak tengelye mentén az elektromos teret. Mutassuk meg, hogy a térerősség maximuma E x,max a tengelyen, a gyűrű középpontjától x = R távolságban van. Vázoljuk E változását x függvényében (negatív és pozitív x értékekre). Bontsuk fel a körgyűrűt infinitezimálisan kis dl szakaszokra. A körgyűrű tengelyének minden pontja a körgyűrű összes pontjától - és így az összes szakasztól is - azonos távolságban van. A körgyűrű átellenes pontjaitól (szakaszaitól) származó térerősségek x tengelyre merőleges komponensei kiejtik egymást, ezért elegendő az E x komponenseket összegezni. Egy dl szakasz térerőssége a 4-C39 ábra szerint: de x = λ dl r cos θ = λ dl x R + x R + x = = x λ dl (R + x ) 3/ (.4) Ezt levezethetjük a következő két egyenlőségből: cos θ = cos θ sin θ és cos θ + sin θ = 9

10 .8. ábra. 4-C39 ábra. Térerősség egy egyenletesen töltött körgyűrű tengelyén A teljes térerősség E x = R π x λ (R + x ) 3/ (.5) Ennek akkor van maximuma, ha a deriváltja nulla. Ha a derivált nulla, akkor a konstansok nem számítanak, ezért azokat el is hagyhatjuk de x dx = 0 d dx x (R + x ) = 0 3/ 3 d x (R + x )3/ x dx (R + x ) = (R + x ) / x 3/ (R + x ) 3 = (R + x ) 3 x = 0 (R + x ) 5/ A nevező sosem lehet nulla, ezért átszorozhatunk vele. R x = 0 x = R (.6) Eszerint E x szélsőértéke lehet az x = második derivált ezen a helyen negatív. R helyen. Ez akkor valóban maximum ha a 0