Kosárra dobás I. Egy érdekes feladattal találkoztunk [ 1 ] - ben, ahol ezt szerkesztéssel oldották meg. Most itt számítással oldjuk meg ugyanezt.

Átírás

1 osárra dobás I. Egy érdekes feladattal találkoztunk [ 1 ] - ben, ahol ezt szerkesztéssel oldották meg. Most itt számítással oldjuk meg ugyanezt. A feladat Az 1. ábrán [ 1 ] egy tornaterem hosszmetszetét rajzolták meg. 1. ábra A teremben egy kosárlabdapálya van. Megadták a kosár magasságát, átmérőjét, a terem méreteit. A labda átmérője 5 cm. ( A kosár - gyűrű átmérőjének mértékegysége az ábrán helytelenül lett megadva! ) 1.) A büntetődobást 5,80 m - ről dobják. Tételezzük fel, hogy a labda a dobás pillanatában a B pontban van. Határozzuk meg azt a legalacsonyabb labdaívet, amellyel a labdát a hálótartó vasgyűrű érintése nélkül csont nélkül a hálóba dobhatják!.) A terem méreteit figyelembe véve állapítsuk meg, hogy lehet - e csont nélkül kosarat dobni egy teremhossznyi távolságból, például egyik kosártól a másikba! A megoldás A labda tömegközéppontja egy függőleges síkú másodfokú parabola - pályán halad, ha úgy tekintjük, tha a labda légüres térben mozogna. 1.) Először azt kell meghatározni, hogy a d = 5 cm átmérőjű labda milyen legkisebb szög alatt tud átesni a D = 45 cm átmérőjű gyűrűn. A. ábrán ld. [ 1 ] is! ilyen szélső helyzethez tartozó e érintőket szerkesztettek / szerkesztettünk meg, α hajlással. Ugyanis a jellegzetes szélső pályaérintő - helyzetekben az e érintő egyenesek: ~ függőlegesek; ez érdektelen, hiszen a ferde hajítás végérintője nem ilyen;

2 ~ olyanok, t a. ábrán; itt az e érintők belülről érintik a gyűrűt, kívülről a d átmérőjű kört, és az érintési pontban merőlegesek a labda - sugárra. Derékszögű háromszögből:. ábra d / d 5 cm sin 0,5556, D / D 45 cm innen 33,75. ( 1 ) Az 1.) részfeladat most már a következő. Adott: a parabola - pályának az 1. ábrán bejelölt B kezdő és végpontja, valat végérintőjének α hajlása. eresett: a labda íve ( a legalacsonyabb röppálya egyenlete ). A megoldáshoz tekintsük a 3. ábrát is! A másodfokú parabola általános egyenlete: 3. ábra

3 y a b c. 3 ( ) Az ( a, b, c ) állandók meghatározására az alábbi feltételek szolgálnak. y( = 0 ) 0; ( 3 ) dy() d tg tg 180 tg tg ; ( 4 ) y( = ) y. ( 5 ) Végezzük el az előírt műveleteket! ( ) és ( 3 ) - mal: 0 a b0 c 0, a 0. ( 6 ) Most ( ) differenciálásával: dy() b c ; d ( 7 ) majd ( 4 ) és ( 7 ) - tel: b c tg, b c tg. ( 8 ) Ezután ( ), ( 5 ) és ( 6 ) - tal: y b c, ( 9 ) majd ( 8 ) és ( 9 ) - cel: y c tg c c tg, y tg c. ( 10 ) Most ( 8 ) és ( 10 ) - zel:

4 4 y tg b c tg tg y tg y tg tg, tehát: y ( 11 ) b tg. Most ( ), ( 6 ), ( 10 ), ( 11 ) - gyel a parabola egyenlete: y y tg y( ) tg, ( 1 / 1 ) vagy y tg y tg ( 1 / ) y( ), vagy y( ) y tg y tg. ( 1 / 3 ) A pályagörbe ábrázolásához az adatok az 1. ábráról: 5,80 m1,60 m 4, 0 m; y 3,05 mh (m); thogy h értékét nem adták meg (!?! ), ezért azt felvesszük: h =,05 m; ezzel is: y 1,00 m; továbbá ( 1 ) - gyel is: tg tg33, 75 0, 668. Ezen adatokkal és ( 1 ) - vel a pályagörbe egyenlete: y() 1,1444 0,158. ( 13 ) E függvény alakja a 4. ábrán szemlélhető meg. Megjegyzések: M1. A pont a kosárgyűrű középpontja.

5 5 M. A pálya B kezdőpontjának magassága függ a játékostól is. M3. A röppálya érintőjének hajlásszöge a + tengelyhez képest értendő. y.5 A kosárlabda pályagörbéje B f()=1.1444*-0.158*^ ábra.) Annak eldöntésére, hogy lehet - e csont nélkül kosarat dobni egy teremhossznyi távolságból, egyik kosártól a másikba, tekintsük az 5. ábrát is! épzeljük el, hogy a b középpontú bal oldali kosárból lőjük ki a labdát, a legalacsonyabb labdaíven lásd a. ábra jobb oldali részét is! Ekkor a másodfokú parabolára vonatkozó ismert képlettel és adatainkkal: l,80 m h tg 0,668 3,81 m, 4 4 vagyis a pálya tetőpontján a mennyezet szinte már érinti a labdát. ( Lehet, hogy pont így tervezték a tornatermet? )

6 6 5. ábra Ez azt jelenti, hogy a szimmetria miatt a labda a másik kosárba esik, csont nélkül ; vagyis a kosarak alól indítva a labdát nem lehet csont nélküli kosarat dobni a másik kosárba, hiszen a labda ekkor a másik kosár alá esik, vagy érinti a gyűrűt. Megjegyzések: M1. Ebben a feladatban, a másodfokú parabola - közelítés miatt a három állandó ( a, b, c ) meghatározásához három feltételt kellett megadni, illetve kielégíteni. M. Ne felejtsük el, hogy a labda és a levegő kölcsönhatása valamennyire megváltoztatja a röppálya alakját, vagyis a fentiek csak közelítőleg igazak! M3. Nem vitás, hogy nem igazán könnyű megoldani a játék izgalmában ezt a bizonyos értelemben vett optimalizációs feladatot, ott a helyszínen, másodpercek alatt. A dobás síkja, kezdőpontja, az irány, a kezdősebesség nagysága; bizonyára átlagon felüli képességek kellenek hozzá, hogy a csont nélküli kosár akárhányszor sikerüljön. M4. Ebben a feladatban a legalacsonyabb labdaívet határoztuk meg, tisztán geometriai feltételek alapján. Felvethető a kérdés: mekkora a kezdősebesség hajlása és nagysága az itteni hajításkor? A válaszhoz idézzük fel a ferde hajítás általános összefüggését [ ], az itteni jelölésekkel: g y() tg0. v0 cos ( 14 ) 0 Ezt összevetve ( 13 ) y() 1,1444 0, 158 alakjával, az együtthatók összehasonlításával megállapíthatjuk, hogy a röppálya kezdeti érintőjének meredeksége:

7 7 tg 1,1444, 0 innen az elhajítás hajlásszöge: 0 arctg 1, ,85 ; majd a kezdősebesség nagyságának meghatározásához: g 0,158 1/ m ; v0 cos 0 9,81 m / s v0 5, 49 m / s, 0, 158 1/ m cos 48,85 ( 15 ) végül pedig v 7, 45 m / s. ( 16 ) 0 Ezek az adatok és eredmények azt jelentik, hogy kosárlabda - játékosunk a sikeres, csont nélküli büntetődobás során a következőket teszi: ~ beáll a palánkra merőleges, - n átmenő függőleges síkba, a kosártól 4,0 m - re; ~ felemeli a labdát,05 m magasra; ~ kilövi a labdát a vízszintessel tegy 49 - os szöget bezáró irányban, kb. 7,5 m / s nagyságú sebességgel. Ezzel a feladatot megoldottuk. Irodalom: [ 1 ] Edőcs Ottó: Ábrázoló geometria II. Bolyai könyvek sorozat, Műszaki önyvkiadó, Budapest, [ ] Tasnádi Péter ~ Skrapits Lajos ~ Bérces György: Mechanika I. Dialóg Campus iadó, Budapest - Pécs, 004. Sződliget, 010. július 30. Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár